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Théorie et simulation en nanophotonique : non-localité dans les nanostructures métalliques

Armel Pitelet

To cite this version:

Armel Pitelet. Théorie et simulation en nanophotonique : non-localité dans les nanostructures mé- talliques. Optique [physics.optics]. Université Clermont Auvergne [2017-2020], 2018. Français. �NNT : 2018CLFAC097�. �tel-02401483�

UNIVERSIT ´ E CLERMONT AUVERGNE

U.F.R. SCIENCES ET TECHNOLOGIES

ECOLE DOCTORALE SCIENCES FONDAMENTALES ´ N

178

TH ` ESE

pr ´ esent ´ e pour obtenir le grade de DOCTEUR D’UNIVERSIT ´ E

Sp´ecialit´e : Physique

Par Armel PITELET

Master Nanostructures et Nanophotonique

TH ´ EORIE ET SIMULATION EN NANOPHOTONIQUE :

NON-LOCALIT ´ E DANS LES NANOSTRUCTURES M ´ ETALLIQUES

Soutenue publiquement le 20 D ´ ecembre 2018 devant la comission d’examen :

Pr ´ esidente : Mme Anne SENTENAC

Examinateurs : M. Christophe SAUVAN Rapporteur

M. Alexandre VIAL Rapporteur

Mme Martine MIHAILOVIC Examinatrice

M. Emmanuel CENTENO Directeur de th` ese

M. Antoine MOREAU Directeur de th` ese

Table des mati`eres

Table des mati`eres 4

Table des figures 7

Liste des tableaux 8

Introduction 9

1 Plasmon de volume et plasmon de surface 12

1.1 Ondes de volume . . . 12

1.1.1 Plasmon de volume : le bulk plasmon . . . 12

1.1.2 Onde de volume transverse . . . 16

1.2 Mod`eles de mat ´eriau . . . 18

1.2.1 Drude et Drude-Lorentz . . . 18

1.2.2 Brendel et Bormann . . . 20

1.2.3 Le mod`ele de permittivit ´e “g ´en ´eralis ´e” . . . 20

1.3 Plasmon de surface . . . 21

1.3.1 Forme g ´en ´erale des champs et relation de dispersion . . . 21

1.3.2 Relation de dispersion sans pertes. . . 23

1.3.3 Relation de dispersion avec pertes . . . 29

1.3.4 Prise en compte des ´electrons li ´es . . . 30

1.3.5 Sur l’appellation Plasmon, Polariton et Plasmon-Polaritons . . 32

1.4 Localit ´e et non-localit ´e . . . 35

1.5 Conclusion . . . 36

2 Non-localit´e et modes guid´es plasmoniques 38 2.1 Mod`ele hydrodynamique . . . 38

2.1.1 Polarisation non locale des ´electrons libres et ´equation d’Euler lin ´earis ´ee . . . 39

2.1.2 Equations d’onde non locales et conditions aux limites . . . 40

2.1.3 Forme g ´en ´erale des champs dans un milieu non local . . . 41

2.1.4 Relation de dispersion non locale . . . 42

2.2 Influence du di ´electrique sur le confinement et la non-localit ´e . . . 45

2.2.1 Relation de dispersion . . . 46

2.2.2 Distances caract ´eristiques non locales . . . 47

2.3 Le gap-plasmon . . . 51

2.3.1 Dispersion en fonction de l’ ´epaisseur de di ´electrique . . . 52

2.3.2 Dispersion du gap-plasmon `a ´epaisseur fix ´ee . . . 52

2.4 Les modes de slab fin . . . 55

2.4.1 Dispersion en fonction de l’ ´epaisseur de m ´etal. . . 57

2.4.2 Dispersion `a ´epaisseur de m ´etal fix ´ee . . . 59

2.5 Formalisme pour l’ ´etude d’un multi-couche . . . 62

2.5.1 Forme g ´en ´erale des champs et matrices S. . . 63

2.5.2 Coefficients de r ´eflexion et modes guid ´es. . . 66

2.6 Simplification : un mod`ele de cavit ´e `a un mode . . . 68

2.6.1 Formule de Fabry-Perot pour le I.M.I. . . 68

2.6.2 Simplification de la formule de Fabry-Perot . . . 73

2.6.3 G ´en ´eralisation de la simplification aux matrices S . . . 77

2.6.4 Extension du mod`ele de couche di ´electrique mince . . . 78

2.7 Conclusion . . . 83

3 Structures complexes et non-localit´e 85 3.1 Coupleurs `a prisme . . . 86

3.1.1 Couplage par g ´en ´eration d’ ´evanescents . . . 86

3.1.2 Coupleur `a gap-plasmon . . . 87

3.1.3 Coupleur `a LRSP et SRSP. . . 91

3.2 Coupleurs `a r ´eseau . . . 93

3.2.1 Diffraction et ondes ´evanescentes . . . 94

3.2.2 Contraintes num ´eriques et exp ´erimentales . . . 95

3.2.3 R ´eseau di ´electrique . . . 99

3.2.4 R ´eseau m ´etallique. . . 105

3.2.5 Caract ´erisation : probl`emes inverses et quantification d’incer- titude . . . 110

3.3 Conclusion . . . 117

4 Rayonnement d’un dipˆole dans une structure multi-couche 118 4.1 Fonction de Green dans un milieu homog`ene . . . 119

4.1.1 Th ´eorie de Green . . . 119

4.1.2 Equations int ´´ egrales de volume . . . 120

4.1.3 Fonction de Green scalaire . . . 122

4.1.4 Dyadique de Green dans un milieu homog`ene . . . 123

4.1.5 D ´ecomposition spectrale . . . 124

4.1.6 D ´ecomposition TE/TM . . . 125

4.2 Dyadique de Green pour un multi-couche . . . 126

4.2.1 Conditions aux limites . . . 128

4.2.2 Matrices S et dyadique de Green . . . 130

4.2.3 Amplitudes dans la couche source . . . 133

4.2.4 Passage en coordonn ´ees cylindriques . . . 136

4.2.5 Int ´egration par quadrarature et acc ´el ´eration du calcul . . . 138

4.2.6 V ´erifications num ´eriques . . . 146

4.3 Int ´er ˆet du dyadique de Green . . . 149

4.3.1 Diagramme de rayonnement. . . 149

4.3.2 Puissance, taux d’ ´emission et temps de vie . . . 152

4.3.3 Autres applications du dyadique de Green . . . 159

4.4 Conclusion . . . 160

Conclusion 162

Bibliographie 174

Table des figures

1.1 Courbes de dispersion volumiques . . . 17

1.2 Repr ´esentation sch ´ematique d’un plasmon de surface . . . 21

1.3 Courbe de dispersion du plasmon de surface (mod`ele de Drude sans pertes) . . . 24

1.4 Profils de champs et de vecteur de Poynting pour un plasmon de surface 26 1.5 Longueur d’onde effective, direction et intensit ´e des champs d’un plas- mon de surface. . . 27

1.6 Densit ´e de charge surfacique d’un plasmon de surface . . . 28

1.7 Courbe de dispersion du plasmon de surface (mod`ele de Drude) . . . . 28

1.8 Distances caract ´eristiques d’un plasmon de surface . . . 29

1.9 Profils de champs dans la bande interdite et pour le mode de Brewster . 30 1.10 Mod`ele de permittivit ´e de Drude Vs permittivit ´e de Brendel et Bormann 31 1.11 Courbe de dispersion du plasmon de surface (mod`ele de Brendel et Bor- mann) . . . 31

2.1 Repr ´esentation sch ´ematique d’un plasmon de surface non locale . . . . 43

2.2 Courbe de dispersion du plasmon de surface non local. . . 44

2.3 Direction du champ et densit ´e de charge associ ´es `a un plasmon de sur- face non local . . . 45

2.4 Courbes de dispersion (<(n_{ef f})) non locales en fonction de la permit- tivit ´e di ´electrique . . . 46

2.5 Courbes de dispersion (=(n_{ef f})) non locales en fonction de la permit- tivit ´e di ´electrique . . . 47

2.6 Courbe de dispersion pour une interface TiO₂/Ag . . . 48

2.7 Distances de p ´en ´etration locales Vs non locales. . . 49

2.8 Distances de propagation pour une interface TiO₂/Ag . . . 49

2.9 Diff ´erences absolues et relatives entre distances de propagation locales et non locales . . . 50

2.10 Repr ´esentation sch ´ematique du M.I.M. . . 51

2.11 Courbe de dispersion du gap-plasmon en fonction de l’ ´epaisseur du gap 53 2.12 Courbes de dispersion (<(n_{ef f}) Vs fr ´equence) du gap-plasmon pour diff ´erentes ´epaisseurs de gap . . . 54

2.13 Courbes de dispersion (=(n_{ef f}) Vs fr ´equence) du gap-plasmon pour diff ´erentes ´epaisseurs de gap . . . 54

2.14 Repr ´esentation sch ´ematique de la structure I.M.I. . . 55

2.15 Indice effectif en fonction de l’ ´epaisseur du syst`eme I.M.I. . . 58

2.16 Distance de propagation du SRSP en fonction de l’ ´epaisseur de m ´etal . 58 2.17 Distances caract ´eristiques du LRSP en fonction de l’ ´epaisseur de m ´etal 59 2.18 Courbes de dispersion (<(n_{ef f})Vs fr ´equence) du SRSP et du LRSP pour une ´epaisseur de m ´etal de 60 nm . . . 61

2.19 Courbes de dispersion (=(nef f) Vs fr ´equence) du SRSP et LRSP pour une ´epaisseur de m ´etal de 60 nm . . . 61 2.20 Courbes de dispersion (<(nef f) Vs fr ´equence) du SRSP et LRSP pour

une ´epaisseur de m ´etal de 10 nm . . . 62 2.21 Courbes de dispersion (=(nef f) Vs fr ´equence) du SRSP et LRSP pour

une ´epaisseur de m ´etal de 60 nm (zoom) . . . 63 2.22 Mod`ele `a deux modes . . . 69 2.23 Distances de p ´en ´etration dans le m ´etal en fonction de l’ ´epaisseur du

m ´etal . . . 73 2.24 Distances de p ´en ´etration dans le m ´etal de l’onde transverse δ_m et de

l’onde longitudinale δnl en fonction de la fr ´equence normalis ´ee pour un I.M.I. sym ´etrique . . . 74 2.25 Distances de p ´en ´etrationLnl et ´epaisseurs limiteshlim dans le visible . 76 2.26 Courbes de dispersion du LRSP et SRSP pour un I.M.I. compos ´e de TiO₂

et d’argent d’ ´epaisseurh= 1.7nm . . . 77 2.27 Repr ´esentation sch ´ematique de la technique des couches minces pour

la prise en compte de la non-localit ´e . . . 79 2.28 Repr ´esentation sch ´ematique de l’ ´equivalence entre les deux syst`emes . 81 3.1 Illustration de la m ´ethode de couplage par r ´eflexion totale att ´enu ´ee . . 87 3.2 Repr ´esentation sch ´ematique du coupleur `a prisme pour l’excitation du

gap-plasmon . . . 88 3.3 R ´eflectivit ´e du prisme excitant un gap-plasmon. (Air) . . . 89 3.4 R ´eflectivit ´e du prisme excitant un gap-plasmon. (di ´electrique) . . . 90 3.5 Repr ´esentation sch ´ematique du coupleur `a prisme pour l’excitation du

LRSP et SRSP. . . 92 3.6 R ´eflectivit ´e du prisme excitant les modes de slab fin . . . 92 3.7 R ´eflectivit ´e du prisme excitant les modes de slab fin (LRSP non affect ´e) 93 3.8 Repr ´esentation sch ´ematique des deux configurations possibles pour

exciter un plasmon de surface via un r ´eseau de diffraction . . . 100 3.9 R ´eflectivit ´e en fonction de la longueur d’onde pour le r ´eseau di ´electrique101 3.10 Intensit ´e de|H_y|telle queλ= 528nm pour le r ´eseau di ´electrique . . . 102 3.11 ChampH_yle long de l’interface di ´electrique en dessous du r ´eseau pour

λ= 528. . . 103 3.12 Intensit ´e de|H_y|telle queλ= 668nm pour le r ´eseau di ´electrique . . . 104 3.13 ChampH_yle long de l’interface di ´electrique en dessous du r ´eseau pour

λ= 668nm . . . 104 3.14 Courbe de dispersion du plasmon de surface (<(k_x)) pour une ´epaisseur

finie de TiO₂ . . . 106 3.15 Diff ´erences entre longueurs d’onde de couplage locales et non locales

et distances de propagation du plasmon de surface . . . 107 3.16 R ´eflectivit ´e pour diff ´erentes valeurs de l’ ´epaisseur du r ´eseauh_Get champ

magn ´etique associ ´e . . . 108 3.17 R ´eflectivit ´e du r ´eseau m ´etallique en fonction de la longueur d’onde in-

cidente . . . 109 3.18 Intensit ´e de|H_y|telle queλ= 579.5nm pour le r ´eseau m ´etallique . . . 110 3.19 R ´eflectivit ´es (locales) pour trois ´epaisseurs de di ´electriqueh_D . . . 112 3.20 R ´eflectivit ´es r ´esultant de l’ ´etape I . . . 113 3.21 R ´eflectivit ´es r ´esultant de l’optimisation direct des quatre param`etres

g ´eom ´etriques. . . 114

3.22 R ´eflectivit ´es locale et non locale obtenues en prenant en compte les incertitudes sur les param`etres locaux . . . 116 4.1 Chemin d’int ´egration choisi pour la r ´esolution de l’ ´equation (4.32) . . . 123 4.2 Sch ´ema du comportement dek_zdans le plan complexe . . . 140 4.3 Int ´egrandef_xx le long de l’axe r ´eel pour un mutli-couche compos ´e de

di ´electriques sans pertes . . . 141 4.4 Int ´egrandef_xx le long de l’axe r ´eel pour un multi-couche compos ´e de

di ´electriques `a pertes . . . 142 4.5 Int ´egrandef_xx le long de l’axe r ´eel pour une multi-couche incluant un

m ´etal . . . 143 4.6 Partie imaginaire de l’int ´egrandef_zzen fonction de la variable d’int ´egration

normalis ´ee (V.I.) . . . 144 4.7 Repr ´esentation sch ´ematique du chemin d’int ´egration pour le calcul du

dyadique de Green. . . 145 4.8 Composante G_xz du dyadique calcul ´ee par int ´egration num ´erique et

analytiquement . . . 147 4.9 Erreur num ´erique donn ´ee par l’ ´equation (4.215) et diff ´erence absolue

correspondant `a la figure 4.8 . . . 147 4.10 ComposantesGxx etGzxdu dyadique de Green . . . 148 4.11 Diagramme de rayonnement d’une source au dessus d’un multi-couche

dans le plan du dip ˆole (h= ₁₀₀^λ ) . . . 153 4.12 Diagramme de rayonnement d’une source au dessus d’un multi-couche

dans le plan du dip ˆole (h=λ) . . . 153 4.13 Diagramme de rayonnement d’une source au dessus d’un multi-couche

dans le plan du dip ˆole (h= ⁵_λ) . . . 154 4.14 Taux d’ ´emission normalis ´e pour un dip ˆole au dessus d’un plan m ´etallique

parfait . . . 156 4.15 Temps de vie d’un ´emetteur en fonction de la distance `a la surface

m ´etallique pourh_m = 200nm . . . 157 4.16 Temps de vie d’un ´emetteur en fonction de la distance `a la surface

m ´etallique pourhm = 13.3nm . . . 158

Liste des tableaux

3.1 Param`etres g ´eom ´etriques et incertitudes correspondantes (en nm) issus de notre proc ´edure de t ´el ´em ´etrie . . . 115 4.1 Equivalence entre l’ ´´ equation (4.186) et les diff ´erents d ´eveloppements

en fonctions de Bessel . . . 137

Introduction

Depuis plus d’une centaine d’ann ´ees maintenant, la communaut ´e de l’optique uti- lise le mod`ele de Drude[1] pour pr ´edire la r ´eponse optique des m ´etaux. Ce mod`ele,

´

etonnamment frustre, s’est montr ´e redoutablement efficace. On peut bien s ˆur attribuer cette efficacit ´e aux am ´eliorations qu’il a subies au cours du temps. Partant de l’id ´ee que la r ´eponse d’un m ´etal est essentiellement - mais pas enti`erement - due au gaz d’ ´electrons libres qu’il contient, la communaut ´e a peu `a peu inclus l’effet des pertes optiques dans ce gaz d’ ´electrons, puis l’influence de la polarisabilit ´e de la grille d’ions dans laquelle se meuvent les ´electrons. Ces mod`eles visaient initialement `a expliquer par exemple la couleur des m ´etaux, mais m ˆeme lorsque qu’il s’agit d’ ´etudier la r ´eponse optique de structures m ´etalliques nanom ´etriques, les mod`eles de type Drude-Lorentz continuent `a se montrer extr ˆemement pertinents. Ils ont ainsi accompagn ´e, tout au long du vingti`eme si`ecle, le d ´eveloppement du champ scientifique qui vise `a utiliser les propri ´et ´es uniques de la r ´eponse optique des m ´etaux pour contr ˆoler la lumi`ere et en faire toutes sortes de composants optiques (d ´etecteurs, modulateurs, absorbeurs…

etc.) et qu’on appelle plasmonique.

On date en g ´en ´eral les pr ´emisses de la plasmonique du tout d ´ebut du vingti`eme si`ecle, avec les travaux de Wood[2], contemporain de Drude, qui d ´ecouvre des anoma- lies dans la r ´eponse optique d’un r ´eseau de diffraction m ´etallique. Une cinquantaine d’ann ´ees plus tard, on peut dire que le domaine de la plasmonique naˆıt r ´eellement avec la compr ´ehension de ces anomalies : on d ´ecouvre en effet que les r ´eseaux m ´etalliques sont capables d’exciter des plasmons de surface, une onde ´electromagn ´etique qui se propage le long d’une interface entre un m ´etal et un di ´electrique. Le fait qu’ils soient guid ´es par l’interface confine les champs ´electromagn ´etiques pr`es de la surface, `a des

´

echelles inf ´erieures `a la longueur d’onde. Cette capacit ´e de confinement exceptionnelle va mener `a des d ´eveloppements intenses dans les ann ´ees 80 avec le d ´eveloppement des capacit ´es exp ´erimentales pour donner un champ scientifique aujourd’hui immense. `A cette ´epoque, on s’attend `a ce que le mod`ele de Drude et ses d ´eriv ´es ne soient plus suf- fisants pour d ´ecrire pr ´ecis ´ement la r ´eponse des m ´etaux dans un cadre o `u les champs sont si fortement confin ´es. Et on dispose d’autres descriptions, plus pr ´ecises et ancr ´ees dans une physique beaucoup plus complexe.

Parall`element en effet, les progr`es th ´eoriques, dans le cadre de la m ´ecanique quan- tique notamment, ont ´enorm ´ement am ´elior ´e notre compr ´ehension du comportement d’un gaz d’ ´electron dans un m ´etal. Les ordinateurs ont vu leur puissance augmenter ex- ponentiellement, permettant des calculs de plus en plus lourds et donc de plus en plus pr ´ecis - mais en g ´en ´eral pour de tr`es petites structures, avec un nombre relativement restreint d’atomes. On peut avoir le sentiment, au vu de la litt ´erature, qu’il y a eu une certaine divergence entre les exp ´erimentateurs, dont les techniques permettent main- tenant la fabrication de structures nanom ´etriques et m ˆeme subnanom ´etriques mais qui se contentent du mod`ele de Drude, et les th ´eoriciens, capables de simuler finement un ph ´enom`ene dans une structure tr`es petite, mais pas toujours capables d’utiliser les mod`eles les plus complexes pour pr ´edire des r ´esultats exp ´erimentaux r ´ealistes pour

des structures complexes. En somme, les mod`eles les plus avanc ´es prennent en compte un tr`es grand nombre de ph ´enom`enes tr`es complexes[3], mais cela se fait souvent au d ´etriment de l’intuition physique qu’il est possible de se forger avec un mod`ele clas- sique, rendant ces aspects inaccessibles pour les exp ´erimentateurs.

Des mod`eles interm ´ediaires existent cependant. D ´evelopp ´es dans les ann ´ees 80, ils prennent leur justification dans les mod`eles avanc ´es, mais sont plus simples `a mettre en oeuvre. Le premier ph ´enom`ene `a prendre en compte si on veut d ´epasser l’approche de Drude est sans aucun doute la r ´epulsion entre ´electrons. Elle complique la r ´eponse des m ´etaux en la rendantnon locale, c’est `a dire que le champ ´electrique en un endroit du m ´etal g ´en`ere un courant, qui va influencer le champ ´electrique plus loin. Dans les ann ´ees 80, on avait esp ´er ´e que le confinement qui se produit lorsqu’un plasmon de sur- face est excit ´e pourrait permettre de mettre en ´evidence ce ph ´enom`ene et son influence sur la r ´eponse optique des m ´etaux. Pourtant, les ´etudes publi ´ees sur ce sujet montrent toutes que, si il y a sans doute un effet, cet effet est n ´egligeable aux ´echelles consid ´er ´ees.

Le consensus de l’ ´epoque est que soit les ´echelles sont celles typiques en plasmonique et le mod`ele de Drude est toujours suffisant, soit aux ´echelles beaucoup plus petites on doit faire appel `a des mod`eles beaucoup plus complexes et pr ´ecis. C’est la commu- naut ´e des surfaces[4] (l’ ´etude des propri ´et ´es fines des interfaces entre mat ´eriaux) qui va continuer `a d ´evelopper ces mod`eles plus avanc ´es, tandis que la communaut ´e de la plasmonique s’en d ´esint ´eresse – avec l’id ´ee qu’il n’y a pas de transition douce entre les mod`eles classiques et les mod`eles tout quantiques.

Depuis, le domaine de la plasmonique s’est cependant de plus en plus int ´eress ´e aux echelles extr ˆ´ emement petites en consid ´erant des agr ´egats d’atomes m ´etalliques, des interstices entre particules de l’ordre du nanom`etre voir moins[5,6,7]. Et ces ´echelles ont une importance cruciale pour la r ´eponse globale des structures - on peut citer l’augmentation de fluorescence de mol ´ecules ou de boˆıtes quantiques due `a une tr`es rapide d ´esexcitation (mille fois plus rapide que dans le vide) `a proximit ´e de structures r ´esonantes plasmoniques[8], par exemple. Des exp ´eriences r ´ecentes[9,10] ont montr ´e qu’`a ces ´echelles la r ´epulsion entre ´electrons semble bien avoir un effet mesurable sur les r ´esonances et que les mod`eles semi-classiques sont capables de rendre compte de ces effets. Ces ´etudes ont relanc ´e l’int ´er ˆet pour ces mod`eles en plasmonique, et des techniques num ´eriques adapt ´ees ont vu le jour.

Cependant, pour mettre en ´evidence ces effets, la communaut ´e se tourne syst ´ema- tiquement vers des nanoparticules synth ´etis ´ees chimiquement, et les plus petites pos- sibles pour que la r ´epulsion entre ´electrons puisse avoir la plus grande importance possible. Au final, peu de nouvelles exp ´eriences ont ´et ´e tent ´ees pour mettre ces effets en ´evidence et l’impression qui s’en d ´egage est que ces effets sont limit ´es aux plus petites nanoparticules ou aux interstices sub-nanom ´etriques entre nanoparticules.

L’objectif de ce travail est de pr ´eciser o `u il faut s’attendre `a trouver les limites du mod`ele de Drude - pour les th ´eoriciens afin de savoir s’ils doivent ´etendre leurs ´etudes

`

a des syst`emes plus grands typiques de la plasmonique, et pour les exp ´erimentateurs pour savoir si les diff ´erences qu’ils constatent parfois entre exp ´erience et simulation ne peuvent pas ˆetre dues au mod`ele de Drude lui-m ˆeme. Pour cela, nous sommes par- tis d’une analyse physique des raisons qui peuvent faire que la r ´eponse optique d’une structure plasmonique soit sensible aux effets non locaux. En nous basant sur l’id ´ee que c’est une forme de confinement des champs qui fera intervenir ces effets, nous avons cherch ´e jusqu’`a quelle ´echelle, finalement, ils se manifestent suffisamment pour pou- voir ˆetre observ ´es ou mesur ´es. Il s’agit en d ´efinitive de jeter un pont entre les mod`eles les plus avanc ´es et l’exp ´erience.

Dans un premier chapitre nous pr ´esenterons le plasmon et plasmon de surface, `a

l’origine de la plasmonique. Nous en profiterons pour exposer les mod`eles classiques que nous utiliserons et nous en servirons pour ´etudier le comportement du plasmon de surface en consid ´erant des mat ´eriaux r ´ealistes. Dans un second chapitre, nous in- troduirons un mod`ele semi classique, le mod`ele hydrodynamique, capable de prendre en compte la nature non locale des m ´etaux. Nous l’utiliserons pour ´etudier le possible impact de cette nature sur le plasmon de surface, puis sur d’autres modes plasmoniques capables de se propager dans les milieux lamellaires. Nous montrerons que l’influence de la non-localit ´e est en fait difficilement n ´egligeable d`es lors que l’on consid`ere un confinement des champs suffisamment grand. Nous verrons comment augmenter ce confinement de fac¸on tr`es g ´en ´erale. Nous verrons que les effets non locaux peuvent alors apparaˆıtre pour des ´epaisseurs bien sup ´erieures `a l’ ´echelle subnanom ´etrique.

Nous verrons ´egalement qu’il est possible de prendre en compte l’impact de la non- localit ´e tout en simplifiant le mod`ele hydrodynamique. Dans un troisi`eme chapitre nous proposerons des exp ´eriences optiques bas ´ees sur l’excitation de ces modes plas- moniques pour mettre en ´evidence et potentiellement mesurer la non-localit ´e. Les propositions que nous ferons impliqueront des ´echelles largement sup ´erieures au na- nom`etre, l`a aussi. Nous montrerons que la non-localit ´e peut avoir une influence visible sur la r ´eponse optique d’interstices pouvant faire plusieurs dizaines de nanom`etres d’ ´epaisseur. Nous montrerons ensuite que le plasmon de surface lui m ˆeme peut ˆetre sensible `a cette non-localit ´e. Nous donnerons une proc ´edure permettant de la mesurer par un proc ´ed ´e exp ´erimental enti`erement bas ´e sur la r ´eponse optique de la structure - et ceci malgr ´e les ´eventuelles incertitudes sur la g ´eom ´etrie. Enfin dans un quatri`eme chapitre nous mettrons en place et v ´erifierons le formalisme n ´ecessaire `a l’ ´etude du rayonnement d’un ´emetteur dans un milieu lamellaire, possiblement plasmonique. Si les outils num ´eriques et th ´eoriques n ´ecessaires ont ´et ´e mis en place, il reste encore `a la valoriser en traitant des situations d’int ´er ˆets - et elles sont nombreuses.

Chapitre 1

Plasmon de volume et plasmon de surface

Ce chapitre a pour but d’introduire les notions de plasmon et d’onde de surface pour finalement aborder le plasmon de surface. Pour ce faire nous commencerons par voir ce qu’est un plasmon. Le mot en lui m ˆeme d ´esigne une notion de physique quantique mais nous verrons qu’il est possible de consid ´erer le plasmon dans un cadre plus classique.

Ce cadre est celui des ´equations de Maxwell que nous allons introduire en premier lieu.

Nous discuterons de mani`ere g ´en ´erale de la propagation des ondes ´electromagn ´etiques dans les m ´etaux. Nous d ´ecrirons ensuite les diff ´erents mod`eles de mat ´eriau que nous utiliserons dans tout le manuscript. Ces mod`eles nous serviront pour introduire puis discuter du plasmon de surface. Nous verrons quel est l’effet des pertes sur la propa- gation du plasmon de surface et introduirons les distances caract ´eristiques correspon- dantes. Puis, nous verrons quel est l’effet de la prise en compte des ´electrons li ´es sur la propagation du plasmon de surface. Enfin nous terminerons par pointer une des limites de nos mod`eles en introduisant le concept de non-localit ´e.

1.1 Ondes de volume

1.1.1 Plasmon de volume : le bulk plasmon

La notion de plasmon apparaˆıt pour la premi`ere fois en 1956 dans les travaux de Pines[11]. Ce dernier introduit le terme plasmon pour d ´ecrire le quantum d’excitation associ ´e aux oscillations collectives des ´electrons de valence dans un solide. Le plas- mon est ce que l’on appelle une excitation ´el ´ementaire. Une excitation ´el ´ementaire est un ph ´enom`ene collectif ´emergent de l’interaction entre un grand nombre de parti- cules. Le terme collectif signifie que les interactions en questions impliquent un nombre consid ´erable de particules se mouvant de mani`ere organis ´ee entre elles. En physique du solide, on d ´ecrit souvent gr ˆace `a ces excitations ´el ´ementaires ou quasi-particules le comportement d’un tr`es grand nombre de particules coupl ´ees suffisamment forte- ment pour qu’on ne puisse pas les consid ´erer sans interactions. Cette quantification permet de consid ´erer un solide comme une collection d’excitations ind ´ependantes, qui

´

emergent des interactions complexes entre les vraies particules constituant le solide.

Quelques ann ´ees avant l’introduction formelle du plasmon, Pines publie avec Bohms une s ´erie d’articles sur l’approche collective dans la description d’un gaz d’ ´electrons de haute densit ´e[12,13, 14]. Il montre alors que les oscillations de densit ´e du plasma

´

emergent de l’interaction collective et organis ´ee des ´electrons du plasma. A cause de la force de Coulomb `a longue port ´ee, chaque ´electron est capable d’influencer le mou-

vement des autres et l’ensemble des ´electrons est alors capable d’osciller dans un mou- vement coordonn ´e. Le plasmon est `a l’origine la quantification des ondes de densit ´e de charge d’un plasma, les ondes de Langmuir[15].

Un m ´etal contient un gaz d’ ´electrons libres. Il se comporte donc essentiellement comme un plasma. A l’int ´erieur du m ´etal, comme dans un v ´eritable plasma, se pro- pagent `a la fois des ondes transverses (dominantes et qui sont d ´ecrites ci-apr`es) et des ondes de densit ´e de charge, similaires aux ondes de Langmuir dans les plasmas. Il faut souligner que la communaut ´e a pris l’habitude d’appeler plasmons ces ondes de den- sit ´e classiques dans le gaz d’ ´electrons libres, hors toute notion de quantification. Bien que la d ´enomination de plasmon se r ´ef`ere originellement `a des quasi-particules, il est d’usage aujourd’hui d’utiliser le terme plasmon pour d ´ecrire l’onde classique de den- sit ´e de charge. C’est ces ondes que nous allons commencer par d ´ecrire dans le cadre des ´equations de Maxwell.

La diff ´erence entre un vrai plasma et un m ´etal est qu’un m ´etal est avant tout un di ´electrique (les ions du r ´eseau m ´etallique, immobiles, formant un milieu polarisable) contenant un gaz d’ ´electrons libres ( jellium). Dans le m ´etal, on peut donc ´ecrire les

´

equations de Maxwell sous la forme

∇ ∧E=−∂B

∂t, (1.1a)

∇ ∧H=J+ ∂D

∂t , (1.1b)

∇.B = 0, (1.1c)

∇.D=ρ, (1.1d)

(1.1e) avecEle champs ´electrique,Dle d ´eplacement ´electrique,Hle champs magn ´etique et B l’induction magn ´etique. Les densit ´es de courant J et de chargesρsont li ´ees entre elles par la conservation de la charge

∂ρ

∂t +∇.J= 0. (1.2)

De plus les couples (E,D) et (H,B) sont li ´es entre eux par les relations constitutives

D=₀E+P_b =_0bE, (1.3)

B =µ₀µH, (1.4)

o `ub etµsont les permittivit ´e et perm ´eabilit ´e du mat ´eriau etPb la densit ´e de polari- sation due `a la r ´eponse des ions. De mani`ere g ´en ´erale nous ne consid`ererons que des mat ´eriaux non magn ´etiques (µ = 1). Il faut souligner que ces relations constitutives en apparence simples ne sont valables que si les quantit ´es_betµsont simplement des constantes, ou alors en r ´egime harmonique, ces deux quantit ´es ´etant alors des fonc- tions de la pulsationω. Dans le domaine temporel, cela signifierait que D s’ ´ecrit en fait comme une convolution de E et de la r ´eponse impulsionnelle du mat ´eriau. Ces consid ´erations ne changent absolument pas les ´equations une fois en r ´egime harmo- nique. Dans la suite, nous ferons en r ´egime temporel comme si _b et µ etaient des´ constantes. Elles seront consid ´er ´ees comme d ´ependantes deω une fois les ´equations obtenues en r ´egime harmonique. En posant la proportionnalit ´e entre la polarisation et le champ ´electriqueau mˆeme point, on fait une hypoth`ese de localit ´e du di ´electrique.

Si la polarisation d ´ependait du champ ´electrique environnant, la densit ´e de polarisa- tion pourrait aussi s’ ´ecrire comme une convolution spatiale du champ ´electrique par

la r ´eponse spatiale du milieu. Pour le di ´electrique, on suppose que cette non-localit ´e joue `a l’ ´echelle atomique et qu’on peut la n ´egliger.

Consid ´erons un gaz d’ ´electrons infini et homog`ene `a l’ ´equilibre dans un m ´etal, caract ´eris ´e par une densit ´e d’ ´electrons libresn. Si l’on introduit dans le gaz une petite fluctuation de la densit ´e de charge par rapport `a l’ ´equilibre, il apparaˆıt un champEtel que

∇.E = ρ

₀, (1.5)

o `u<sub>0</sub> est la permittivit ´e du vide. Notons que la densit ´e de charge `a l’ ´equilibre dans un m ´etal est nulle, puisque le m ´etal est suppos ´e globalement neutre. La densit ´e de charge n’existe qu’`a cause des fluctuations de densit ´e du gaz d’ ´electrons libres.

Chaque ´electron libre situ ´e en un pointrest acc ´el ´er ´e sous l’influence de ce champ.

Ce d ´eplacement induit une densit ´e de courantJ = −ne^∂r_∂t. On a pour un ´electron de massemet de chargee

m∂²r

∂t² =−eE, (1.6)

ou encore

∂J

∂t = ne²

m E. (1.7)

Enfin, en prenant la divergence de (1.7) et en utilisant1.2et1.5on obtient

∂²ρ

∂t² +ω_p²ρ= 0, (1.8)

o `u la quantit ´e ω_p = qne²

m₀ est appel ´ee la fr ´equence plasma. Ainsi le gaz d’ ´electrons libre du m ´etal est capable de supporter des oscillations de densit ´e de charge telles que ρ(t) =ρ(0)e^−iωpt. Ces oscillations correspondent `a une r ´esonance propre dujellium.

En posant les ´equations de Maxwell comme nous l’avons fait, nous avons explici- tement consid ´er ´e le m ´etal comme un di ´electrique polarisable accompagn ´e de la den- sit ´e de courant et de charge du gaz d’ ´electrons libres. Supposons qu’il est possible de d ´ecrire le gaz d’ ´electrons lui aussi comme un milieu polarisable, c’est `a dire un milieu di ´electrique. Nous pouvons alors r ´e ´ecrire les ´equations de Maxwell pour le m ´etal de la m ˆeme mani`ere qu’on aurait pu le faire pour un simple di ´electrique

∇ ∧E=−∂B

∂t , (1.9a)

∇ ∧H= ∂D

∂t , (1.9b)

∇.B= 0, (1.9c)

∇.D= 0. (1.9d)

(1.9e) On ne peut faire cela qu’en modifiant le vecteur de d ´eplacement ´electriqueDpour qu’il comprenne la densit ´e de courant des ´electrons libres. Nous devons donc changer nos relations constitutives. En comparant (1.1b) et (1.1d) avec (1.9b) et (1.9d) nous avons

∂D

∂t =0

∂E

∂t +∂Pb

∂t +J, (1.10)

∇.D =₀∇.E+∇.P_b−ρ. (1.11)

L’equation (1.10) nous permet de voir la densit ´e de courant des ´electrons libres J_f =Jcomme la variation temporelle d’une densit ´e de polarisationP_f induite parE. On a

J_f = ∂P_f

∂t . (1.12)

De plus, la conservation de la charge nous permet d’ ´ecrire la densit ´e de charge comme la variation spatiale de cette densit ´e de polarisation

ρ=−∇.Pf. (1.13)

Finalement, nous pouvons r ´e ´ecrireDcomme

D=0E+Pb+Pf. (1.14)

Dans le cadre d’un mod`ele locale, les densit ´es de polarisation sont directement proportionnelles au champE. On a

P_b=₀χ_bE, (1.15)

Pf =0χfE, (1.16)

avecχ_f,χ_b, les susceptibilit ´es des ´electrons libres (jellium), respectivement li ´es (r ´eseau m ´etallique). En posant= 1 +χ_f +χ_b on a donc

D =₀E. (1.17)

Dans cette description, le m ´etal peut ˆetre consid ´er ´e comme un di ´electrique et ca- ract ´eris ´e par une permittivit ´ealors m ˆeme que sa r ´eponse est essentiellement condi- tionn ´ee par celle du gaz d’ ´electrons libres et des courants associ ´es.

Pour avoir des oscillations de la densit ´e de charge dans le plasma, il faut que∇.E6=0 alors m ˆeme que l’on a∇.D = 0. Cela implique, dans la description purement locale que nous avons adopt ´ee, qu’on doive avoir = 0. C’est `a cette condition qu’on peut avoir des oscillations du gaz d’ ´electrons faisant apparaˆıtre une densit ´e volumique de charge non nulle.

La condition = 0implique cependant ´egalement queD = 0. A partir de l`a∇ ∧ H = 0. Enfin, puisque ∇.B = 0 les champs B et H doivent finalement ˆetre nuls.

Finalement, pour que l’ ´equation1.8soit valide, c’est `a dire qu’on ait une oscillation du jellium, il faut queEsoit longitudinal, c’est `a dire∇ ∧E=0.

Ces diff ´erentes conclusions dessinent le portrait d’une onde longitudinale, sans champ magn ´etique, associ ´ee `a une oscillation de densit ´e de charge. Le plasmon, au sens strict, est le quantum d’excitation de cette onde. Pour ˆetre plus exact on parle de plasmon de volume (oubulk plasmon), par opposition au plasmon de surface que l’on verra un peu plus loin. Enfin on peut noter que la conditionD= 0implique₀E=−P. On peut donc voir le plasmon comme une onde de polarisation effective.

1.1.2 Onde de volume transverse

Le plasmon n’est pas, au contraire, la seule solution des ´equations de Maxwell dans le volume du m ´etal consid ´er ´e comme un di ´electrique de permittivit ´e - permittivit ´e induite par la polarisabilit ´e du milieu ambiant. Les d ´etails de l’interaction lumi`ere- mati`ere sont contenus dans cette permittivit ´e. Le mod`ele du plasma n’apparaˆıtra donc que lorsque l’on voudra pr ´eciser cette derni`ere. Pour l’instant nous consid`ererons cette permittivit ´e comme une simple fonction de la fr ´equenceω, avec les pr ´ecautions donn ´ees au dessus concernant les ´equations en temporel.

En prenant le rotationnel de l’ ´equation 1.9a et en utilisant l’ ´equation 1.9b et les

´

equations constitutives on obtient l’ ´equation d’onde :

∇ ∧ ∇ ∧E+ c²

∂²E

∂t² = 0, (1.18)

aveccla c ´el ´erit ´e de la lumi`ere. Le d ´eveloppement du double rotationnel conduit alors

` a

∇(∇.E)− ∇²E+ c²

∂²E

∂t² = 0, (1.19)

o `u le terme∇(∇.E)est un gradient d’une divergence, et le second∇²Eun laplacien.

En consid ´erant des champs monochromatiques et harmoniques en temps de la forme E₀e^−iωt l’ ´equation d’onde devient :

∇(∇.E)− ∇²E−k²₀E = 0, (1.20) o `uk0 = <sup>ω</sup><sub>c</sub> est le nombre d’onde dans le vide. A partir d’ici, on peut envisager deux types de solutions. L’onde de volume que l’on cherche peut ˆetre transverse ou bien longitudinale. Math ´ematiquement cela revient `a chercher une solution v ´erifiant∇.E= 0(solution transverse) ou bien∇ ∧E = 0(solution longitudinale). Si l’on envisage une onde longitudinale, le gradient de la divergence et la divergence du gradient s’annulent.

L’ ´equation d’onde conduit alors `a une relation de dispersion particuli`ere

= 0. (1.21)

La propagation d’une onde de volume longitudinale ne peut donc se faire que lorsque la fonction di ´electrique du mat ´eriau s’annule. De plus, on peut noter que pour une telle onde ∇.E 6= 0. Il existe donc dans le volume du m ´etal une densit ´e volumique de charge associ ´ee au champ longitudinal. L’ ´equation1.21est la relation de dispersion d’une onde longitudinale associ ´ee `a une oscillation de la densit ´e volumique de charge.

Il s’agit donc de la relation de dispersion du plasmon de volume discut ´e au paragraphe pr ´ec ´edent.

Si l’on cherche maintenant une solution transverse, l’ ´equation d’onde devient

∇²E+k²₀E = 0, (1.22)

qui n’est rien d’autre que l’ ´equation d’Helmoltz. En cherchant une solution de la forme E=E0e^ik.r, on voit apparaˆıtre dans cette ´equation la relation de dispersion de l’onde transverse

k² =k₀² =ω²

c², (1.23)

qui lie le vecteur d’ondek`a la fr ´equenceω et `a . Pour pouvoir discuter de la propa- gation de ces ondes, nous devons pr ´eciser l’expression de. On utilise ici le mod`ele de

0 1 2 3 4

0 0.05 0.1 0.15

plasmon onde de volume

transverse

ldl

ω ω_p

k ( rad.nm

)

Figure 1.1 – Courbes de dispersion des ondes pouvant se propager dans le volume d’un m ´etal tel queω =f(k). En pointill ´es noirs, la courbe de dispersion du plasmon de volume (eq. (1.21)). En trait plein noir, la courbe de dispersion de l’onde de volume transverse (eq. (1.23)). En traits pointill ´es bleus, la ligne de lumi`ere (ldl) qui est la courbe de dispersion d’une onde EM dans le vide.

Drude sans pertes qui sera d ´etaill ´e dans la suite de ce chapitre. Ce mod`ele d ´efinit la permittivit ´e m ´etallique comme

= 1− ω²_p

ω². (1.24)

Cette relation, une fois inject ´ee dans l’ ´equation (1.23), permet de pr ´eciser l’ ´equation de dispersion de l’onde transverse qui devient

ω= q

ω²_p +k²c². (1.25)

La figure1.1montre les courbes de dispersion pour les deux types d’onde dans le m ´etal. De mani`ere g ´en ´erale, une relation de dispersion lie la fr ´equence ω au vecteur d’ondek, ou bien `a une de ses projections sur le syst ˆeme d’axe que l’on consid`ere. La figure1.1montre aussi la ligne de lumi`ere, qui est la courbe de dispersion d’une onde EM dans le vide. Vue la forme de, la courbe de dispersion du plasmon (solution lon- gitudinale) est une droite horizontale et situ ´ee `aω =ωp. Cette dispersion est typique d’un m ´etal. Au dessus de cette pulsation la permittivit ´e est positive et le m ´etal se com- porte donc comme un mat ´eriau di ´electrique c’est `a dire transparent pour la lumi`ere.

En dessous la permittivit ´e est n ´egative et le mat ´eriau devient r ´efl ´echissant, le compor- tement optique d’un m ´etal standard. La courbe de dispersion de la solution transverse commence `a la fr ´equence plasma puis tend vers la ligne de lumi`ere pour les fr ´equences plus hautes.

En raison de cette particularit ´e certain auteurs [16,17,18,19] donnent `a la solution transverse le nom de “bulk plasmon polariton”. L’id ´ee derri`ere ce nom est que l’onde transverse n’est ni une simple onde ´electromagn ´etique, ni un plasmon, mais un hybride

entre les deux. La solution transverse r ´esulterait de l’anti-croisement entre la disper- sion du bulk plasmon et de la ligne de lumi`ere. Cette onde serait le r ´esultat d’un cou- plage entre une onde EM (transverse) et un bulk plasmon (longitudinal). Un couplage entre une quasi particule (ou excitation ´el ´ementaire) et un photon est appel ´e un pola- riton, d’ou cette appellation. D’autres l’appellent le “transverse bulk plasmon”[20,21]

par analogie avec le bulk plasmon, parfois appel ´e “longitudinal bulk plasmon” en rai- son de sa nature.

Nous verrons un peu plus tard dans ce chapitre que ces appelations sont plut ˆot une source de confusion. Pour l’instant nous nous contenterons de relever que l’onde transverse satisfait∇.E =0donc que En’est pas associ ´e `a une densit ´e de charge. Il ne peut donc pas exister de variation de la densit ´e de charge lors de la propagation.

Donner `a cette onde le nom de plasmon ne me paraˆıt donc pas justifi ´e.

Dans tout les cas, l’onde EM dans un volume de m ´etal nous a permis d’illustrer les notions de plasmon et d’onde de volume (transverse ou longitudinale). De plus nous avons vu que la relation de dispersion d’une onde d ´epend essentiellement de la permit- tivit ´e du mat ´eriau dans lequel elle se propage. Avant de discuter du plasmon de surface, nous allons donc d ´ecrire les diff ´erents mod`eles de mat ´eriaux que nous utiliserons.

1.2 Mod`eles de mat´eriau

En cherchant un mod`ele de mat ´eriau, on veut pr ´eciser la forme de la permittivit ´e qui lie les vecteursEetD. En d’autres termes on cherche `a caract ´eriser la polarisation induite dans la mati`ere par le passage d’une onde EM. De mani`ere g ´en ´erale nous allons faire une distinction entre la r ´eponse des ´electrons libres (dit de conductions) et li ´es (dit de valences). Nous ´ecrirons les permittivit ´es sous la forme tr`es g ´en ´erale

= 1 +χ_f +χ_b, (1.26)

o `uχ_f etχ_b sont les susceptibilit ´es des ´electrons libres, respectivement li ´es en r ´egime harmonique. L’int ´er ˆet d’ ´ecrire la permittivit ´e sous cette forme sera discut ´e au chapitre suivant.

1.2.1 Drude et Drude-Lorentz

A l’origine conc¸u par Drude[1] comme une application de la th ´eorie cin ´etique des gaz pour expliquer la conductivit ´e des m ´etaux, ce mod`ele est le plus simple que l’on puisse trouver. Cependant, il est toujours tr`es largement utilis ´e. D’abord `a cause de sa simplicit ´e, et ensuite puisqu’il peut ˆetre am ´elior ´e pour prendre en compte des ph ´enom`enes alors ignor ´es `a l’ ´epoque. Ce mod`ele suppose qu’un m ´etal est form ´e d’un gaz d’ ´electrons libres dans une matrice d’ions fixes. En d’autre terme le m ´etal peut ˆ

etre vu comme un plasma contenu dans une r ´egion bien d ´etermin ´ee de l’espace. Les

´

electrons de massem oscillent sous l’influence d’un champ excitateurEet subissent des collisions `a une fr ´equence γ = <sup>1</sup><sub>τ</sub>, o `u τ est le temps de relaxation des ´electrons libres, typiquement de l’ordre de10⁻¹⁴s dans le visible [22]. De plus, on consid`ere que les ´electrons n’interagissent pas entre eux, ou avec les ions.

Soitrle vecteur position d’un ´electron suppos ´e ponctuel. Le principe fondamental de la dynamique appliqu ´e `a cet ´electron donne

m∂²r

∂t² +mγ∂r

∂t =−eE. (1.27)

En consid ´erant des champs harmonique en tempsE = E0e^−iωt, on s’attend `a des solutions aussi harmoniques, c’est `a direr = r₀e^−iωt car les ´equations sont lin ´eaires.

On a donc

r = e

m(ω²+iγω)E. (1.28)

Le d ´eplacement de la densit ´e ´electroniquenparrinduit un vecteur de densit ´e de po- larisation

P=−ner =− ne²

m(ω²+iγω)E. (1.29)

De plusPest li ´e `aDpar la relation

D =₀E+P=₀E, (1.30)

c’est `a dire pour la permittivit ´e

= 1− ω²_p

ω²+iγω. (1.31)

Dans ce mod`ele, on a compl`etement n ´eglig ´e la polarisabilit ´e des ´electrons li ´es, c’est

`

a dire= 1 +χ_f. On a aussi n ´eglig ´e les d ´etails de la structure cristalline. Pour prendre en compte les effets de la structure cristalline p ´eriodique on peut remplacer la masse de l’ ´electron m par sa masse effective m^∗, une quantit ´e qu’on peut estimer gr ˆace `a la th ´eorie des bandes[23]. Pour mod ´eliser les ´electrons li ´es on peut leur appliquer le mod`ele de Lorentz qui consid`ere que le mouvement d’un ´electron est d ´ecrit par

m∂²r

∂t² +mγ∂r

∂t +mω²₀r =−eE, (1.32)

o `u ω<sub>0</sub> est la fr ´equence de r ´esonance de l’oscillateur constitu ´e de l’ ´electron li ´e `a son noyau. Cette fr ´equence ´emerge d’une force de rappel exerc ´ee par le noyau sur l’ ´electron et, d’un point de vue quantique, repr ´esente la fr ´equence d’une transition entre deux

´

etats ´energ ´etiques possibles pour l’ ´electron. La transition entre ces deux ´etats est un facteur d’absorption important pour les m ´etaux dans le visible. On peut obtenir une

´

equations similaire pour chaque transition possible. La sommes des contributions des

´

electrons li ´es et libres sugg`ere alors une permittivit ´e de la forme = 1− ω_p²

ω²+iγω +X

j

A_j

ω_0,j² −ω²−iγ_jω, (1.33) o `uA_j repr ´esente la force de l’oscillateurj. Cette fois ci on a= 1 +χ_f +χ_b avec

χf =− ω_p²

ω²+iγω, (1.34)

χ_b =X

j

Aj

ω_0,j² −ω²−iγ_jω. (1.35) Sous cette forme la permittivit ´e est dites de Drude-Lorentz. Cette permittivit ´e per- met de mod ´eliser des m ´etaux comme des di ´electriques. Cependant, si on l’utilise pour d ´ecrire un m ´etal aux fr ´equences optiques ou proches infra-rouges, le mod`ele a tendance

`

a pr ´edire une absorption trop forte loin des transitions interbandes et a du mal `a repro- duire la forme exacte de la fonction di ´electrique[24]. En cons ´equence, pour mod ´eliser les m ´etaux, nous utiliserons un mod`ele un peu plus r ´ecent, le mod`ele de Brendel et Bormann.

1.2.2 Brendel et Bormann

Le probl`eme du mod`ele de Drude-Lorentz r ´eside dans la contribution des ´electrons li ´es, χ_b. Pour mieux mod ´eliser cette quantit ´e, l’id ´ee de Brendel et Bormann[25] est de remplacer chaque oscillateur de Lorentz par une somme infinie d’oscillateurs pour tenir compte d’un ´eventuel ´elargissement des raies par effet Doppler, par exemple. Le nombre d’oscillateurs par intervalle de fr ´equence est d ´etermin ´e par une fonction Gaus- sienne. A la base, les auteurs ont cr ´ee ce mod`ele pour mod ´eliser les solides amorphes dans l’infrarouge. Cependant Rakic et. al[24] ont montr ´e qu’il ´etait possible d’appliquer ce mod`ele pour la description des m ´etaux dans le visible et l’infrarouge. En plus de donner une formule impl ´ementable, Rakic et. al donnent ´egalement les valeurs des pa- ram`etres de mod ´elisation qu’ils ont obtenus par ajustement `a des donn ´ees exp ´erimentales.

On ne donnera pas ici tout les d ´etails mais juste ce qui est n ´ecessaire pour une impl ´ementation facile et rapide. Encore une fois la permittivit ´e d’un m ´etal est donn ´e par= 1+χ_f+χ_b. Dans ce mod`ele,χ<sub>f</sub> a la m ˆ` eme forme que dans le mod`ele de Drude. Chaque oscillateur j est repr ´esent ´e par χ_j et la susceptibilit ´e des ´electrons li ´es χ_b est donn ´ee par leur somme. On a

χ_j = i√ πf_jω_p² 2√

2σ_j

w

a_j −ω

√2σ_j

+w

a_j +ω

√2σ_j

, (1.36)

aveca_j =p

ω²+iωγ_jtel que=(a_j)>0,σ_jl’ ´ecart type de la fonction gaussi`enne qui est un param`etre `a fitter exp ´erimentalement. Enfin, pour un nombre complexez on a

w(z) = e^−z2erfc(−iz), (1.37) o `uerf cest la fonction erreur compl ´ementaire[26]. Pour calculer cette fonction, on uti- lise un code matlab fournit par Weideman dans son article sur le calcul de la fonction erreur compl ´ementaire[27]. Dans la suite du manuscript, sauf mention contraire, on utilise ce mod`ele pour la permittivit ´e des m ´etaux. Une exception notable sera l’utili- sation d’un mod`ele de permittivit ´e g ´en ´eralis ´e lors d’un travail en collaboration avec l’Institut National de Recherche en Informatique et Automatique (INRIA).

1.2.3 Le mod`ele de permittivit´e “g´en´eralis´e”

Ce mod`ele a ´et ´e mis au point par l’INRIA dans le cadre du d ´eveloppement du logiciel DIOGENeS qui permet des simulations ´electromagn ´etiques dans le domaine temporel.

Sa construction peut ˆetre trouv ´ee dans [28]. On ne donnera ici que l’adaptation que nous en avons faite pour pouvoir exprimer comme 1 +χ_f +χ_b, que l’on veuille mod ´eliser un m ´etal ou bien un di ´electrique. Le mod`ele de Brendel et Bormann n’est en effet pas utilisable facilement dans le cadre d’une simulation temporelle. L’expression deχ_f est identique aux deux cas pr ´ec ´edents en revanche pourχ_bon a

χ_b =C−X

l

c_l−iωd_l

ω²−e_l+iωf_l, (1.38)

o `uC, c<sub>l</sub>,d<sub>l</sub>, e<sub>l</sub>,f<sub>l</sub> sont des constantes r ´eelles. Via la recherche de ces coefficients, le mod`ele g ´en ´eralis ´e permet de reproduire la fonction di ´electrique donn ´ee par un mod`ele de Drude ou un mod`ele de Brendel-Bormann. Ce mod`ele permet ´egalement de fitter directement des donn ´ees exp ´erimentales. D’un point de vue pratique, c’est l’INRIA qui r ´ealise les fits afin de nous fournir les constantes. Le mod`ele g ´en ´eralis ´e permet surtout de pouvoir comparer nos simulations avec celle de l’INRIA avec l’assurance de travailler avec les m ˆeme fonctions di ´electriques.

ˆ z

ˆ ˆ x

y

₁

₂

∞ ∞

∞

∞

Figure 1.2 – Repr ´esentation sch ´ematique d’une interface supportant un plasmon de surface se propageant de gauche `a droite. Les traits bleus sch ´ematisent le profil des champs correspondant `a une onde de surface, ´evanescente dans la directionˆz mais propagative dans la directionxˆ.

Maintenant que nous avons expos ´e les mod`eles de mat ´eriau, nous allons pouvoir les utiliser pour discuter du plasmon de surface.

1.3 Plasmon de surface

Tout comme le plasmon de volume, le plasmon de surface est une oscillation col- lective d’ ´electrons dans un plasma. Cependant, les mouvements des ´electrons en ques- tion sont limit ´es `a la proximit ´e imm ´ediate de l’interface d’o `u le nom de plasmon de surface[29, 30]. Le plasmon de surface est aussi une des solution des ´equations de Maxwell sans champ incident, c’est donc un mode guid ´e. Le plasmon de surface est en fait un mode guid ´e EM accompagn ´e d’une oscillation de densit ´e de charge. Cer- tains auteurs[22,31,17] l’appellent donc le plasmon-polariton de surface. Nous nous contenterons de l’appellation plasmon de surface et reviendrons sur ce choix un peu plus tard. Comme pr ´ec ´edemment nous allons chercher cette solution des ´equations de Maxwell afin d’obtenir une relation de dispersion. Cependant nous ne cherchons pas ici une solution correspondant `a une onde se propageant dans un volume mais une onde se propageant le long d’une interface entre deux mat ´eriaux caract ´eris ´es par les permittivit ´es<sub>1</sub>et<sub>2</sub>. En d’autres termes, nous allons imposer la propagation de l’onde le long de cette interface et dans le m ˆeme temps imposer une solution correspondant `a des champs non propagatifs dans le volume des mat ´eriaux. Un mode guid ´e poss ´edant de telles caract ´eristiques est g ´en ´eralement appel ´e onde de surface.

La structure et le syst`eme d’axes que l’on consid`ere sont montr ´es sur la figure 1.2.

Cette figure sch ´ematise ´egalement les profils de champs correspondant `a une onde de surface, c’est `a dire des champs ´evanescents dans la direction normale `a l’interface [32,33].

1.3.1 Forme g´en´erale des champs et relation de dispersion

En reprenant les ´equations de Maxwell (1.9a,1.9b,1.9c,1.9d) et constitutives (1.17,1.4) et en consid ´erant la sym ´etrie du probl`eme (∂<sub>y</sub> = 0) on obtient deux sous-syst`emes

d’ ´equations. Le premier correspond `a la polarisation transverse ´electrique (TE)

−∂_zE_y =iωµ₀H_x, (1.39a)

∂_xE_y =iωµ₀H_z, (1.39b)

∂zHx−∂xHz =−iω0Ey, (1.39c) et le second correspond `a la polarisation transverse magn ´etique (TM)

∂_zH_y =iω₀E_x, (1.40a)

∂_xH_y =−iω₀E_z, (1.40b)

∂_zE_x−∂_xE_z =iωµ₀H_y. (1.40c) Ces ´equations permettent d’obtenir une ´equation d’onde pour chaque polarisation.

Encore une fois on consid`ere des champs harmoniques en temps. Pour le cas TE on a

∂_x²+∂_z²+k₀²

E_y = 0, (1.41)

et pour le cas TM on a

∂_x² +∂_z²+k₀²

H_y = 0. (1.42)

Supposons que la solution soit une onde plane se propageant dans la directionr. Les champsE_youH_yse propageant dans un milieuipeuvent s’ ´ecrire sous la formeA_ie^iki.r, avecA_i une amplitude etk_ile vecteur d’onde de l’onde tel quek_i.r =k_i,xx+k_i,yy+ ki,zz. Les deux ´equations pr ´ec ´edentes permettent d’obtenir un lien entre les projections du vecteur d’onde sur les directionsxˆetˆz. On a

k_i,z = q

k²_0i−k²_x, (1.43)

o `u l’on n’a pas laiss ´e l’indiceisurk_xcar ce dernier est le m ˆeme quel que soit la couche de mat ´eriau consid ´er ´ee.

Ici, nous pouvons expliciter la notion de confinement le long de l’interface. Nous cherchons une onde li ´ee `a l’interface, c’est `a dire dont les champs sont ´evanescents dans la direction perpendiculaire `a cette derni`ere. Cette condition d’ ´evanescence se traduit par le fait quek_i,zdoit ˆetre un nombre essentiellement imaginaire positif. Nous voulons de plus que cette onde soit propagative dans la direction de l’interface.

Nous voulons donc que k_x soit une quantit ´e r ´eelle positive. Pour expliciter ces conditions nous r ´e ´ecrivons les champs sous la forme g ´en ´erale

Aie^ikxx+iki,zz =Aie^{ikxx−κi,zz}, (1.44) avecκi,z =−iki,z =p

k_x²−ik²₀. La condition d’ ´evanescence devient alors<(κi,z >

0). Nous pouvons d ´esormais appliquer les conditions aux limites afin de d ´egager la relation de dispersion du plasmon de surface. Pour ce faire, nous posons l’origine de nos axes le long de l’interface et consid ´erons dans un premier temps le cas TE. Le champ E_y est donc d ´ecrit par l’ ´equation1.44. La continuit ´e des composantes tangentielles de EetHimpose

A₁ =A₂, (1.45)

−κ_1,zA₁ =κ_2,zA₂, (1.46)

ce qui m`ene `a

A₁(κ_1,z +κ_2,z) = 0. (1.47) Comme nous d ´esirons <(κi,z) > 0, la seul solution est d’avoir A1 = A2 = 0. En cons ´equence, il est impossible d’obtenir une onde li ´ee `a une interface en consid ´erant une polarisation TE. Nous pouvons cependant nuancer en remarquant qu’une telle solution pourrait exister `a condition de consid ´erer des milieux magn ´etiques de per- meabilit ´e µ_i oppos ´ees. En polarisation TM l’ ´equation 1.44d ´ecrit H_y et la continuit ´e donne

A₁ =A₂, (1.48)

−κ_1,z

₁ A₁ = κ_2,z

₂ A₂, (1.49)

qui m`ene `a

κ_1,z

₁ + κ_2,z

₂ = 0. (1.50)

Cette fois ci, une onde confin ´ee le long de l’interface existe si<(₁)et<(₂)sont de signe oppos ´es. En d’autres termes, une onde de surface ne peut exister qu’`a l’interface entre un milieu di ´electrique et un milieu m ´etallique. A partir d’ici, on peut donc rem- placer₁ par un_d et₂ par un _m. On peut d ´evelopper l’ ´equation 1.50pour obtenir une relation de dispersion analytique

k_x =k₀

r _dm d+m

. (1.51)

Sous cette forme, la relation de dispersion laisse apparaˆıtre une seconde condition d’existence pour le plasmon de surface, en tout cas si l’on consid`ere des permittivit ´es r ´eelles, c’est `a dire des mat ´eriaux sans pertes. Pour ˆetre consid ´er ´ee comme propaga- tive, l’onde doit avoir un vecteur d’ondekxr ´eel et positif. Cette condition est satisfaite si la quantit ´e ^dm

d+m

sous la racine est positive. Comme le produit_dm est n ´egatif, le d ´enominateur _d +_m doit l’ ˆetre ´egalement. Pour qu’un plasmon de surface puisse exister il faut donc que |d| < |m|. Pour discuter de la relation de dispersion plus en d ´etails, il nous faut maintenant choisir un mod`ele de mat ´eriau. Consid ´erons une interface entre de l’air et de l’argent pour la suite.

1.3.2 Relation de dispersion sans pertes

Nous allons commencer par discuter du plasmon de surface dans le cas le plus simple, sans pertes, ni prise en compte de l’influence des ´electrons li ´es responsables eux aussi d’une bonne partie des pertes. Nous repr ´esenterons le m ´etal par une permittivit ´e _mdite de Drude sans pertes, et le di ´electrique par une simple constante_d. En prenant m d ´efinit par l’ ´equation1.31avecγ = 0la relation de dispersion devient

k_x =n_dk₀

s ω²−ω²_p (1 +d)ω²−ω_p²

(1.52) o `un_d = √

_dest l’indice optique du di ´electrique. La courbe de dispersion corres- pondante est trac ´ee sur la figure1.3. Premi`erement, cette courbe pr ´esente 2 branches qui se distinguent par leur position par rapport `aω_p. Au dessus de la fr ´equence plasma,

ω

0 1

0 0.05 0.1 0.15

mode de Brewster

plasmon de surface ldl

ω ω_p

<(k

) ( rad.nm

)

Figure 1.3 – Courbe de dispersion du plasmon de surface (voir eq. (1.52)) donnant le lien entre ω et k_x. La r ´eponse du m ´etal est mod ´elis ´ee par un mod`ele de Drude sans pertes. Les pointill ´es noirs indiquent la fr ´equence plasmaω<sub>p</sub>. La fr ´equence du plasmon de surface estω<sub>sp</sub> = 0.707ω<sub>p</sub>. Les pointill ´es bleus correspondent `a ce qu’on appelle la ligne de lumi`ere. Dans le cas pr ´esent, cette ligne repr ´esenterait une onde qui se propage dans le di ´electrique parall`element `a l’interface.

_mest positif, le m ´etal peut ˆetre consid ´er ´e comme un simple di ´electrique. Dans ce cas l`a, l’onde est propagative dans les deux milieux. En cons ´equence, la branche haute de la dispersion ne correspond pas `a une onde de surface au sens propre. Il s’agit en fait de ce que l’on appelle le mode de Brewster[22,17,33], qui correspond `a un z ´ero du coeffi- cient de r ´eflexion de l’interface. Cette branche haute caract ´eriserait une onde incidente TM enti`erement transmise `a travers l’interface, d’o `u son nom. La branche basse, elle, se situe en dessous de la fr ´equence plasma. On la trouve, de plus, en dessous du c ˆone de lumi`ere. Cette branche caract ´erise une onde li ´ee `a l’interface, ´evanescente dans la di- rectionzˆ. La branche basse est donc la courbe de dispersion correcte du plasmon de sur- face. Dans le cas sans pertes cette dispersion poss`ede deux asymptotes caract ´eristiques.

Aux basses fr ´equences, l’ ´equation1.52devient

w→0limk_x =n_dk₀. (1.53)

Plus on se rapproche des basses fr ´equences et plus la dispersion se rapproche de la ligne de lumi`erek<sub>x</sub> =k<sub>0</sub>. Dans ce cas l’onde est toujours li ´ee `a l’interface mais se rapproche de plus en plus d’une onde qui se propagerait dans le di ´electrique parall`element `a l’in- terface, elle est alors tr`es peu confin ´ee. La seconde asymptote d ´efinit une fr ´equence particuli`ere appel ´ee fr ´equence du plasmon de surfaceω_sp[22]. Dans le cadre du mod`ele de Drude sans pertes sa d ´efinition est donn ´ee par

lim

kx→∞ω=ω_sp = ω_p

√1 +_d. (1.54)

Cette fr ´equence particuli`ere correspond `a la fr ´equence o `u permittivit ´e m ´etallique et di ´electrique ont la m ˆeme valeur absolue. Un vecteur d’onde infini signifierait au

contraire une vitesse de groupe nulle et un confinement maximal. L’abaissement de la vitesse de groupe, connue sous le nom de ralentissement plasmonique et la capacit ´e `a confiner spatialement la lumi`ere sont les deux caract ´eristiques qui font l’attrait du plas- mon de surface. A l’inverse des basses fr ´equences, les champs EM sont tr ´es concentr ´es le long de l’interface.

On peut quantifier cette concentration en d ´efinissant des distances caract ´eristiques de p ´en ´etration dans les mat ´eriaux. Pour ce faire on passe par le vecteur de PoyntingS et plus pr ´ecis ´ement par sa moyenne temporelle d ´efinie en notation complexe par

hSi= 1

2<(E∧H^∗). (1.55)

Comme les champs ne sont propagatifs que dans la direction de l’interface, le trans- port de l’ ´energie EM se fait ´egalement dans cette direction et on ne s’int ´eresse qu’`a la composante dehSidans la directionˆx, qui s’ ´ecrit

hSi_x = 1

2< −E_zH_y^∗

. (1.56)

En utilisant l’ ´equation (1.40b) on a dans un milieuj =m, d hSi_x= 1

2<

k_x ωj

|H_y|²

. (1.57)

On peut alors d ´efinirδj, la distance de p ´en ´etration dans le milieujcomme la distance a partir de laquelle` hS(z =δ_j)i_x = ^hS(z=0)i_e ^x. AvecH_y donn ´e par l’ ´equation (1.44) cela nous laisse comme condition

e^{−2<(κj,z)δj} = 1

e, (1.58)

pour finalement arriver `a

δ_j = 1

2<(κ_j,z). (1.59) Il est possible de donner une d ´efinition alternative[17] qui consid`ere non pas l’ ´energie transport ´ee mais simplement l’amplitude du champ. Cela a pour cons ´equence de faire disparaˆıtre le facteur 2 dans l’ ´equation1.59mais ne change pas fondamentalement la d ´efinition de ces distances. La figure1.4montre le profil deH_y et dehSi_x en fonction de l’ ´eloignement de l’interface pour une fr ´equence basse et une fr ´equence proche de ωsp. Ces profils permettent d’illustrer les distances de p ´en ´etration du champ dans le di ´electriqueδ_det dans le m ´etalδ_m.

En plus de ces distances de p ´en ´etration verticales, un plasmon de surface pr ´esente une p ´eriodicit ´e horizontale puisque tous les champs s’ ´ecrivent avec un facteure^ikxx. La p ´eriode des champs, donn ´ee par ^2π

kx

, est appel ´ee longueur d’onde effective et est not ´ee λ_{ef f}. On d ´efinit alors l’indice effectif du plasmon de surface par la relation

n_{ef f} = k_x

k₀ = λ₀

λ_{ef f}. (1.60)

Plus cet indice est grand par rapport `a celui du di ´electrique, plus les champs sont confin ´es le long de l’interface, parce que plusk_x est grand.