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A20172. Syracuse Le “problème de Syracuse” étudie les suites d’entiers qui font suivre le terme x

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Academic year: 2022

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A20172. Syracuse

Le “problème de Syracuse” étudie les suites d’entiers qui font suivre le terme x par 3x+ 1 six est impair, parx/2 six est pair.

a/ Quels sont les entiersx qui ont deux antécédents ?

b/ Dans une variante, on ne garde que les termes impairs et un terme x est suivi du plus grand diviseur impair de 3x+ 1. Peut-il exister une suite croissante de 2017 termes ?

Solution

Ce problème tire son nom, non de la patrie d’Archimède, mais de l’univer- sité américaine (Etat de New York) où a été popularisée la conjecture de l’Allemand Lothar Collatz : la suite finit toujours par répéter la boucle 4, 2, 1 (ou, dans la variante, aboutir à 1). Il s’agit ici d’aspects beaucoup plus élémentaires.

Question a/ : un entiernadmet l’antécédent impair 2m+ 1 sin= 6m+ 4 ; il admet aussi l’antécédent pair 2n, ce qui donne à cetnles antécédents 2m+1 et 12m+ 8.

Question b/ : pour que ak+1 > ak, il faut que 3ak + 1, pair, ne soit pas multiple de 4 ; alorsak+1 = (3ak+ 1)/2 et 1 +ak+1 = (1 +ak)(3/2). Ainsi ak peut être le premier terme d’une suite croissante de m termes si 1 +ak est multiple de 2m−1.

Références

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