Solutions de questions proposées

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Solutions de questions proposées

Nouvelles annales de mathématiques 4

série, tome 9 (1909), p. 141-142

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SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES.

2099.

( 1 9 0 8 , p . 4 7 8 . )

Si l'on considère les trois équations a b x

( i ) y 4- -h 7 = 0 ,

' b — x x — a a — b a b x

{ (b — x)'1 (x—a)'2 (#— b )'z

l'équation (a) du cinquième degré contient les trois racines de l'équation ( i ).

Les deux autres racines de ('À) sont racines doubles de Véquation (3) qui a six racines. (E.-N. BARISIEN.)

SOLUTION Par M. J. ROSÉ.

Les équations ( [ ) et ('À) s'écrivent encore

2 ^

Or le premier membre de (2') est égal au premier membre de ( 1') multiplié par l'expression

x*-— (a -h b)x -h a*-+- b2 — ab qui s'annule pour

( q H-6) ± ( a — 6 ) y/3 (4) 37=

Donc l'équation (2) contient les racines de ( 1 ).

Pour résoudre l'équation (3), on pose

x — a—y"1, b — x^z1, b — a = c1; on est ainsi ramené au système

O r , on a successivement

z{y-+-z)5

y -+- z)

c1 = c1 — iyz c*-h \ $ y2 z2 cz — -y* zz c ou

yz(yz — c2)2 — o, qui se décompose en

y — o, z — o, yz — e-.

Les deux premières donnent

x — a, x = b,

et la troisième donne l'équation comptée deux fois (.r— rt)(6 — x) = ( 6 — « )2.

Or, cette dernière admet pour racines les valeurs ( 4 ) . Donc les racines doubles de ( 3 ) sont les racines de ( 2 ) qui ne sa- tisfont pas à ( 1 ). D é p l u s , l'équation ( 3 ) a six racines.