A1740. Mano a mano (2ème épisode) ***
Q1 Existe-t-il une progression arithmétique (PA) de 11 entiers positifs tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ?
Q2 Même question avec une PA de 2021 entiers positifs.
Q3 Même question avec une PA d’une infinité d’entiers positifs.
PROPOSITION Th Eveilleau Q1
VOICI une solution avec une raison de 505 pour une suite de 11 termes démarrant à 5 : 5, 510, 1015, 1520, 2025, 2530, 3035, 3540, 4045, 4550, 5055
Q2
POURSUIVONS pour observer
Avec 12 termes, nous prendrions une raison de 5005 et raison 1 pour la somme des chiffres
5, 510, 1015, 15020, 2025, 2500, 3035, 3540, 4045, 4550, 5055, 5560
Avec 13 termes, nous prendrions une raison de 505.
Avec 14 termes, nous prendrions une raison de 505.
5, 510, 1015, 1520, 2025, 2530, 30035, 3540, 4045, 4550, 5055, 5560, 6065, 6570
De même jusqu’à 19 termes.
--- Avec 20 termes raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres
19, 118, 217, 316, 415, 514, 613, 712, 811, 910, 1009, 1108, 1207, 1306, 1405, 1504, 1603, 1702, 1801, 1900
Avec 21 termes et ce jusqu’à 30 termes à partir de 29 raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres
29, 128, 227, 326, 425, 524, 623, 722, 821, 920, 1019, 1118, 1217, 1316, 1415, 1514, 1613, 1712, 1811, 1910, 2009
Avec 31 termes et ce jusqu’à 40 termes à partir de 39 raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres
39,138,237,336,435,534,633,732,831,930,1029,1128,1227,1326,1425,1524,1623,1722,1821,1920,2019,2118,2217,2316,2415,251 4,2613,2712,2811,2910,3009
Avec 41 termes et ce jusqu’à 50 termes à partir de 49 raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres
49,148,247,346,445,544,643,742,841,940,1039,1138,1237,1336,1435,1534,1633,1732,1831,1930,2029,2128,2227,2326,2425,252 4,2623,2722,2821,2920,3019,3118,3217,3316,3415,3514,3613,3712,3811,3910,4009
Avec 51 termes et ce jusqu’à 60 termes à partir de 59
raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres Avec 61 termes et ce jusqu’à 70 termes à partir de 59
raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres raison 99 et raison 0 pour la somme des chiffres .
. Avec 91 termes et ce jusqu’à 100 termes à partir de 99
--- . Avec 101 termes et ce jusqu’à 200 termes à partir de 199 raison 999 et raison 0 pour la somme des chiffres
199,1198,2197,3196,4195,5194,6193,7192,8191,9190,10189,11188,12187,13186,14185,15184,16183,17182,18181,19180,20179,2 1178,22177,23176,24175,25174,26173,27172,28171,29170,30169,31168,32167,33166,34165,35164,36163,37162,38161,39160,40 159,41158,42157,43156,44155,45154,46153,47152,48151,49150,50149,51148,52147,53146,54145,55144,56143,57142,58141,591 40,60139,61138,62137,63136,64135,65134,66133,67132,68131,69130,70129,71128,72127,73126,74125,75124,76123,77122,7812 1,79120,80119,81118,82117,83116,84115,85114,86113,87112,88111,89110,90109,91108,92107,93106,94105,95104,96103,97102, 98101,99100,100099
--- . Avec 201 termes et ce jusqu’à 300 termes à partir de 299 raison 999 et raison 0 pour la somme des chiffres . Avec 301 termes et ce jusqu’à 400 termes à partir de 399 raison 999 et raison 0 pour la somme des chiffres .
. Avec 901 termes et ce jusqu’à 1000 termes à partir de 999 raison 999 et raison 0 pour la somme des chiffres --- . Avec 1001 termes et ce jusqu’à 2000 termes à partir de 1999 raison 9999 et raison 0 pour la somme des chiffres . Avec 2001 termes et ce jusqu’à 1901 termes à partir de 2999 raison 9999 et raison 0 pour la somme des chiffres Finalement avec 2021 termes nous aurons à partir de 2999, et la raison 9999, une suite répondant à la question avec la raison nulle pour la somme des chiffres.
Premier terme 2999,
dernier terme : 2999+2020*9999 = 20200979 La somme des chiffres de chaque terme est 29.
--- REMARQUE avec une raison différente de 0 pour la somme des chiffres et une suite de 20 à 25 termes
Avec 20 termes raison 10198 et raison 1 pour la somme des chiffres
118,10316,20514,30712,40910,51108,61306,71504,81702,91900,102098,112296,122494,132692,142890,153088,163286,173484,1 83682,193880
Avec 21, 22, 23 termes raison 20404 et raison 1 pour la somme des chiffres
408,20812,41216,61620,82024,102428,122832,143236,163640,184044,204448,224852,245256,265660,286064,306468,326872,347 276,367680,388084,408488, 428892, 449296
Avec 24 termes raison 20404 et raison 1 pour la somme des chiffres
408,40810,81212,121614,162016,202418,242820,283222,323624,364026,404428,444830,485232,525634,566036,606438,646840,6 87242,727644,768046,808448,848850,889252,929654
Avec 25 termes raison 40303 et raison 1 pour la somme des chiffres
409,40712,81015,121318,161621,201924,242227,282530,322833,363136,403439,443742,484045,524348,564651,604954,645257,6 85560,725863,766166,806469,846772,887075,927378,967681
Q3
La procédure utilisée précédemment fonctionne pour un nombre quelconque commençant par X.
On démarre avec l’entier qui s’écrit X999 et on utilise la raison 9999, avec autant de 9 que le nombre de chiffres de l’entier donnant la longueur de suite désirée.
Diophante me propose une solution générale avec 10 000 termes :
solution donnée par l'auteur (russe) du problème (extrait du Tournoi des Villes 1995), qui satisfait les conditions de l'énoncé avec des raisons de ces PA>0.
Soit une PA de 10000 termes telle que:
1er terme: 1 + 2*10^5 + 3*10^10 + 4*10^15 + ...+10^4*10^49995 raison : 1 + 10^5 + 10^10 + 10^15 + ...+10^49995
Les sommes des chiffres des 10000 premiers termes (et donc les 2021 premiers termes) de cette PA forment aussi une PA strictement croissante.
