D309 Le ver dans la pomme [*** à la main]
Solution
Soit C le point symétrique de A sur la pomme par rapport au centre O. C est nécessairement différent de B car la distance D parcourue par le ver est de 99 mm et elle est inférieure au diamètre AC de la pomme égal à 2x5 cm = 100 mm. On peut alors tracer le plan P médiateur du segment BC passant par le centre O de la pomme. Ce plan coupe bien la pomme en deux moitiés égales et l’on va démontrer que l’une des deux moitiés est saine (i.e . non traversée par le ver).
A et B sont du même côté par rapport à P. Supposons que la galerie creusée par le ver traverse P au moins une fois en un point Q. Le triangle QBC étant isocèle, on a QB = QC.
On a les inégalités suivantes : D AB+QB = AB+QC. Or dans le triangle QAC, la somme des deux côtés QA et QC est au moins égale au troisième côté AC.
Il en résulte : DAB+QCAC=100 mm. D’où la contradiction. Le point Q d’intersection de la galerie avec la plan P n’existe pas. La moitié de la pomme qui ne contient ni A ni B est donc parfaitement saine.
