E577. Traitement à intervalles réduits **
On trace 29 intervalles de longueurs finies sur une même droite avec des chevauchements possibles de certains d’entre eux. On désigne parIle plus petit intervalle fermé qui les contient tous.
Si on réduisait chaque intervalle d’un tiers de sa longueur sur sa partie droite,I aurait une longueur de 50,0 cm.
Si on réduisait chaque intervalle d’un tiers de sa longueur sur sa partie gauche,Iaurait une longueur de 40,3 cm.
Est-il possible que le plus long des 29 intervalles ait exactement 29 cm de plus que l’intervalle le plus court ?
Solution de Claude Felloneau La réponse est négative
SoitLla longueur de l’intervalleI,a(respectivementb) la longueur du plus court (respectivement du plus long) des 29 intervalles.
On aL>50 doncL=50+xavecx>0. Par réduction à gauche, la longueur deI serait 40,3 cm donc on réduit de 9, 7+x. Cette réduction est inférieure ou égale au tiers de la longueur d’un des 29 intervalles donc 9, 7+x6b/3 d’oùb>29, 1+3x.
De même par réduction à droite, la réduction dex est supérieure ou égale au tiers de la longueur d’un des 29 intervalles doncx>a/3, d’oùa63x.
Ainsi
b−a>(29, 1+3x)−3x>29, 1.
Il est impossible queb−a=29.
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