E589. Les rouges et les jaunes ***
On trace dans le plan 2019 points rouges et 2019 points jaunes tous distincts de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés.
Démontrer qu'il est possible de tracer 2019 segments qui n'ont pas de point d'intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 4038 points étant l'extrémité d'un segment et d'un seul.
PROPOSITION
Th EveilleauRelions au hasard les points rouges et jaunes deux par deux, chaque point &tant de façon unique l’extrémité d’un segment.
Nous avons 2019 segments. Sans doute certains segments se croiseront.
Soient A et B deux points rouges puis C et D deux points jaunes.
Si nous avons tracé les segments [AC] puis [BD] qui se croisent comme diagonales du quadrilatère ABCD.
Il suffit de les échanger contre les segments [AD] et [BC] comme suit sur les figures suivantes :
Cependant il se peut qu’à nouveau ces deux segments coupent d’autres segments.
Nous ne sommes pas donc pas certains a priori de diminuer ainsi le nombre de points d’intersection des segments construits.
MAIS nous diminuons la longueur totale des segments construits.
En effet si I est le point d’intersection des segments [AC] et [BD], nous avons avec l’inégalité triangulaire :
AD < AI + DI et BC < IC + IB
On déduit AD +BC < (AI+DI) + (IC +IB) SOIT AD + BC < AC + BD
Nous diminuons donc ainsi la longueur des segments construits.
Chaque point rouge doit être relié à un point jaune par un segment.
Pour le premier point rouge, nous avons n points jaunes possibles. Puis (n-1) pour le deuxième, (n-2) pour le troisième etc.
Nous avons ainsi n ! façons de relier les points rouges aux points jaunes, chaque point étant l’extrémité d’un segment et d’un seul.
Le nombre de possibilités de construire les segments est donc fini.
Pour chaque possibilité, soit Lp, la longueur totale de tous les segments.
Toutes les longueurs Lp, sont en nombre fini et ont donc un minimum.
A chaque fois que nous utilisons la procédure indiquée précédemment la longueur totale de tous les segments diminue.
Ce minimum sera forcément atteint en répétant au maximum (n ! fois) la procédure vue ci-dessus, c’est-à-dire en en remplaçant deux segments sécants par deux segments qui ne se coupent pas.
Ce minimum est atteint quand on ne peut plus diminuer et donc quand il n’y a plus d’intersection entre deux segments.
En effet, s’il restait une intersection on recommencerait le procédé en diminuant à nouveau la longueur totale des segments.
Il est donc possible avec la procédure précédente de construire 2019 segments qui n’ont aucun point d’intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 4038 points étant l’extrémité d’un segment et d’un seul.
Ce procédé est d’ailleurs valable pour tout nombre 2n de points avec n points rouges et n points jaunes.
