Plan• Implantations d'un graphe• Parcours d'un graphe• Algorithme de Roy-Warshall• Algorithme de Floyd

Plan

• Implantations d'un graphe

• Parcours d'un graphe

• Algorithme de Roy-Warshall

• Algorithme de Floyd

Matrice d'adjacence

M_i,j = {

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 si (i, j) G

1 si (i, j) G

1 2

3 4

int graphe[N][N];

Exemple d'utilisation

Thm Soit M la matrice d'adjacence d'un graphe G. Pour tout n ≥ 0, M_i,j est égal au nombre de chemins de longueur n de i à j.

Remarque Si M est considérée comme matrice booléenne, on a

M_i,j = {

n

n 1 s'il existe un chemin de longueur n de i à j 0 sinon

Matrice d'incidence

1 si i est l'origine de a M_i,a = { -1 si i est l'extrémité de a

0 sinon

Exercice : montrer que M est unimodulaire, i. e. le déterminant de toute sous-matrice carrée de M vaut 0, -1 ou 1.

(Graphe sans boucle)

1 0 1 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 -1 -1 1 0

1 2

3 4

1

2 3

4 5

Thm La matrice d'incidence d'un graphe est unimodulaire.

Preuve Récurrence sur n, taille de la matrice carrée extraite.

• Clair pour n = 1

• On développe le calcul du

déterminant D_n par rapport à une colonne.

- Si une colonne est nulle, D_n = 0 - Si une colonne contient un seul coefficient non nul, 1 ou -1,

D_n = ± D_n-1

- Toutes les colonnes ont deux coefficients non nuls (1 et -1).

Dans ce cas, la somme des colonnes est nulle et D_n = 0

Liste de successeurs

1 : 2 4 ω 2 : 4 ω 3 : 3 ω 4 : 3 ω

#define NMax 30

(* Nombre maximal de sommets *)

#define DegreMax 5

(* Degré maximal d'un sommet *)

#define OMEGA -1 typedef int Sommet;

Sommet graphe[NMax][DegreMax];

(ou liste chaînée…)

1 2

3 4

Comparaison des tailles

Graphe à n sommets et m arcs.

Matrice d'adjacence : n² Matrice d'incidence : nm

Liste de successeurs : n + m

Parcours d'un graphe connexe non orienté à partir d'un sommet s C'est une suite S de sommets t.q.

(1) s est le premier sommet de S

(2) Chaque sommet apparaît une fois et une seule dans S

(3) Tout sommet sauf la racine est adjacent à un sommet placé avant lui dans la liste.

Exemple : 5 3 6 2 1 4 7 est un parcours issu de 5

1

2

3

4 5 6

7

On obtient une arborescence de Trémeaux.

Ici, en partant de s = 1 :

Complexité (n sommets, m arêtes) O(n + m) avec des listes de

successeurs, O(n²) avec des matrices d'incidence

Parcours en profondeur Initialisation : S = (s)

Si S = (s₁ , …, s_n-1), on prend pour s_n un voisin de s_n-1, ou, à défaut, un voisin de s_n-2, ou, à défaut, un voisin de s_n-3, etc.

1

2

3

5 6 7

4

Trémeaux Récursif

#define Nmax 50

typedef int Sommet;

typedef Sommet

GrapheSuc[Nmax][Sucmax];

typedef Sommet Arbo[Nmax];

void TremauxRec(Sommet u, Arbo pere, GrapheSuc succ, int n)

{ int k;

Sommet v;

for (k = 1; succ[u][k] != Omega; ++k) { v = succ[u][k];

if (pere[v] == Omega) {

pere[v] = u;

TremauxRec(v, pere, succ, n);

} }}

Parcours en largeur à partir d'un sommet s F₀ = {s}

F_n+1 est constitué de l'ensemble des successeurs des éléments de F_n moins les éléments de

∪

0 ≤ k ≤ n

F = {1}

F = {2, 3}

F = {4, 5, 6, 7}

0

1

2

1

2

3

4 5 6

7

Arborescences

On peut représenter une arbores - cence à l'aide de la fonction père.

Convention : la racine est son propre père

typearborescence = array [1..Nmax] of integer;

[1, 1, 1, 2, 3, 2, 4]

Exercice : Calculer la fonction père en partant de l'une des trois représentations d'un graphe.

Une arborescence maximale

1

2

3

4 5 6

7 1

2

3

4 5 6

7

Arborescence

des plus courts chemins

Soit F un parcours en largeur à partir de s d'un graphe G. Pour chaque sommet v ≠ s, il existe un premier élément v' de F tel que (v', v) soit un arc du graphe. Soit G(s) le sous-graphe constitué de ces arcs.

Proposition

(1) G(s) est une arborescence (2) x ∈ G(s) ssi il existe un

chemin de s à x

(3) Si x ∈ G(s), le chemin de s à x dans G(s) est un plus court chemin de s à x dans G.

Relation d'accessibilité (fermeture transitive)

Soit S = {1, 2, …, n} les sommets.

Soit G₀ le graphe initial, complété d'une boucle en chaque sommet.

On note G_k le graphe (S, A_k) avec (i, j) A_k ssi il existe dans G₀ un chemin de i à j dont les sommets internes sont dans {1, 2, …, k}

Proposition

• On a (i, j) A_k ssi (i, j) A_k-1 ou (i, k) A_k-1 et (k, j) A_k-1

• Pour j = k, on trouve

(i, k) A_k ssi (i, k) A_k-1

1 2

3

4 5

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 A = 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Matrice d'adjacence

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 A₀ = 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 A₁ = 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 A₂ = 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 A₃ = 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A₄ = 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

Programme

void RoyWarshall(GrapheMat *g, int n) { int i, j, k;

for (i = 0; i < n; i++) (*g)[i][i] = 1;

for (k = 0; k < n; k++) for (i = 0; i < n; i++)

if ((*g)[i][k])

for (j = 0; j < n; j++)

(*g)[i][j] = (*g)[i][j] ||

((*g)[i][k] && (*g)[k][j]);

}

Complexité : O(n³)

Justification

On suppose qu'à l'étape k, i, j,

M[i,j] contient M_i,j avant la ligne

M[i,j] := M[i,j] or (M[i,k] and M[k,j])

Alors M[i, k] contient

M_i,k si k ≥ j et M_i,k si k < j et M[k, j] contient

M_k,j si k ≥ i et M_k,j si k < i D'après la proposition, on aura dans tous les cas :

M[i,j] = M_i,j or (M_i,k and M_k,j )

= M_i,j

(k-1)

(k-1) (k)

(k-1) (k)

(k-1) (k-1) (k-1)

(k)

Complexité

• Le parcours en profondeur conduit à un algorithme pour la fermeture transitive en

O(n(m + n)) (listes)

O(n³) (matrices)

• L'algorithme de Roy-Warshall est en O(n³).

Il s'agit de trouver les chemins

élémentaires de valeur maximum.

Soit M_i,j la valeur maximale des chemins élémentaires de i à j dont les sommets intérieurs sont dans {1, 2, …, k}.

M⁽⁰⁾_i,j = {

e si (i, j) A et i ≠ j, 0 si i = j,

- ∞ sinon.

(k)

M_i,j^(k) = max {M_i,j^(k-1) , M^(k-1)_i,k + M^(k-1)_k,j } 0 1 - ∞ -3 - ∞ 0 - ∞ 2 -1 - ∞ 0 - ∞ - ∞ - ∞ 2 0

1 2

3 4

1 -3 2

2 -1

Floyd

type

matrice = array [1.. NMax, 1.. NMax ] of integer;

procedure Floyd(var M : matrice, n : integer);

var i, j, k : Sommet;

begin

for i := 1 to n do M[i, i] := 0 ;

for k := 1 to n do for i := 1 to n do

for j := 1 to n do

M[i,j] := Max(M[i,j], M[i,k] + M[k,j]) end;

L'algorithme de Floyd est en O(n³).

1 2

3

4 5

Résultat

0 1 * * *

* 0 2 * * A₀ = -3 * 0 2 1

* * * 0 -4

* * * 3 0

0 1 * * *

* 0 2 * * A₁ = -3 -2 0 2 1

* * * 0 -4

* * * 3 0 0 1 3 * *

* 0 2 * * A₂ = -3 -2 0 2 1

* * * 0 -4

* * * 3 0

0 1 3 5 4 -1 0 2 4 3 A₃ = -3 -2 0 2 1

* * * 0 -4

* * * 3 0 0 1 3 5 4

-1 0 2 4 3 A₄ = -3 -2 0 2 1

* * * 0 -4

* * * 3 0

-3 2

2 1

-4 3

0 1 3 7 4 -1 0 2 6 3 A₅ = -3 -2 0 4 1

* * * 0 -4

* * * 3 0

Il s'agit de trouver les chemins les plus courts.

Soit M_i,j la valeur maximale des chemins élémentaires de i à j dont les sommets intérieurs sont dans {1, 2, …, k}.

M⁽⁰⁾_i,j = {

e si (i, j) A et i ≠ j, 0 si i = j,

+ ∞ sinon.

(k)

M_i,j^(k) = min {M^(k-1)_i,j , M^(k-1)_i,k + M^(k-1)_k,j } 0 1 + ∞ 3 + ∞ 0 + ∞ 2 1 + ∞ 0 + ∞ - ∞ + ∞ 2 0

1 2

3 4

1 3 2

2 1

type

matrice = array [1.. NMax, 1.. NMax ] of integer;

procedure PlusCourtChemin(var M : matrice, n : integer);

var i, j, k : Sommet;

begin

for i := 1 to n do M[i, i] := 0 ;

for k := 1 to n do for i := 1 to n do

for j := 1 to n do

M[i,j] := Min(M[i,j], M[i,k] + M[k,j]) end;

L'algorithme est en O(n³).

1 2

3

4 5

Résultat

0 1 * 3 *

* 0 2 * * A₀ = 3 * 0 4 1

* * * 0 2

* * * 2 0

0 1 * 3 *

* 0 2 * * A₁ = 3 4 0 4 1

* * * 0 2

* * * 2 0 0 1 3 3 *

* 0 2 * * A₂ = 3 4 0 4 1

* * * 0 2

* * * 2 0

0 1 3 3 4 5 0 2 6 3 A₃ = 3 4 0 4 1

* * * 0 2

* * * 2 0 0 1 3 3 4

5 0 2 6 3 A₄ = 3 4 0 4 1

* * * 0 2

* * * 2 0

3 2

4 1

2 2

0 1 3 3 4 5 0 2 5 3 A₅ = 3 4 0 3 1

* * * 0 2

* * * 2 0 3

Tri topologique

Un graphe est dit sans circuit si sa fermeture transitive est une relation d'ordre partielle sur l'ensemble des sommets.

Prop. Toute relation d'ordre partielle admet une extension linéaire (relation d'ordre total).

Effectuer un tri topologique sur un graphe sans circuit consiste à trouver une extension linéaire.

1

2

3

4 5 6

7

1 < 2 < 3 <4 < 5 < 6 < 7

Tri topologique

On peut le réaliser à partir du parcours (récursif) en profondeur en partant d'un sommet sur lequel aucun arc n'aboutit dans le graphe dual.

Il suffira d'ajouter un

printf("%d", v)

à la fin de la procédure ^{Tremeaux .}

Arborescences préfixes

Définition : Pour tout sommet i, l'ensemble des descendants de i est de la forme [i,i'].

1

8 2

9 10 3 5

11 13 12 4 6 7

[1…13]

[8…13] [2…7]

[10…13] [3, 4] [5…7]

9

11 13 12 4 6 7