E585. Devinez…
Problème proposé par Raymond Bloch
Vous jouez avec moi. Je choisis, sans vous le dire, un nombre entier N que vous devez deviner en posant des questions de la forme : « N est-il égal à 10 ? » et je dois répondre ou bien « Oui, vous avez gagné » ou bien
« Non, 10 est trop petit » ou bien « Non, 10 est trop grand » mais dans ce dernier cas, vous recevez une pénalité et votre essai est compté pour deux questions au lieu d’une. Vous avez droit à 6 essais et vous gagnez si au sixième essai au plus tard, je vous réponds « Oui, vous avez gagné ».
Déterminez la plus grande valeur de N que je peux choisir pour que vous soyez certain à 100% de trouver en 6 essais au maximum n’importe quel entier que j’aurais sélectionné entre 1 à N (inclus).
Quelle est votre stratégie ?
Pour les plus courageux : Combien d'essais au plus (le moins possible) vous faut-il pour trouver tout nombre de 1 à 1596 ?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet Q1 : En s'inspirant de la suite de Fibonacci ;
Le but est de descendre le moins souvent et éviter un maximum de perdre 2 points ( on dispose de 6 points au départ ) ,
Avec N = 20 , je propose : F6 = 8 ; si 8 > n (-2 points) , je redescends à F4 = 3 ; si 3 > n (-2 points) , je propose finalement 1 , puis 2 (-6 points avec n = 2)
si 3 < n ( - 1 point) , je propose F5 = 5
Si 5 > n (-2 points) et je propose finalement 4 (-2 -1 -2 -1 = -6 points )
Si 5 < n (-1 point ) et je propose 6 , puis 7 ( -2 -1 -1 -1 -1 = -6 points avec n = 7 .)
Si n = 20 , les nombres proposés dans l'ordre sont : 8 , 13 , 16 , 18 , 19 , 20 ( F6 , F6 + F5 , F6 + F5 + F4 , F6 +..+ F3 , F6 +..+ F2 , F6 +..+ F1 ) ; dans ce cas 6 questions
à 1 point ont été posées .
Si n = 1 , les nombres proposés dans l'ordre sont : 8 , 3 , 1 (-5 points ) ( F 6 , F 4 , F 2 ) Si n = 2 , les nombres proposés sont dans l'ordre : 8 , 3 , 1 , 2 (-6 points) ( F 6 , F 4 , F 2 , F 3) Si n = 7 , les nombres proposés sont dans l'ordre : 8 (-2), 3 (-1) , 5 (-1) , 6 (-1) , 7 (-1)
Dans ce cas , N = 20 = 21-1 = F 8 - 1 et Q = 6 questions .
Pour N = 33 = F 9 - 1 , 7 questions sont nécessaires pour n = 33 par exemple . ( 13 , 21 , 26 , 29 , 31 , 32 , 33 )
Q2 : 1596 = 1597 - 1 = F17 - 1
Dans ce cas , 15 questions suffiraient pour trouver n
ex: n = 1596 , les 15 nombres proposés sont : 610 , 987 , 1220 , 1364 , 1453 , 1508 , 1542 , 1563 , 1576 , 1584 , 1589 , 1592 , 1594 , 1595 , 1596 .
Ce qui correspond à : ( F15 , F15 + F14 , F15 +...+ F13 , .... , F15 +...+ F1 )
Si n = 1541 ( ce nombre est < 1542 qui est proposé à la 7 ième question (-8 points) et 1542 - 1508 = 34 = F9) ; je propose par la suite :
1508 + F7 = 1508 + 13 = 1521 , 1521 + 8 = 1529 , 1529 + 5 = 1534 , 1534 + 3 = 1537 , 1537 + 2 = 1539 , 1539 + 1 = 1540 , 1541 ( -7 points )
Si n = 33 , je propose la liste suivante qui va engendrer plusieurs fois la perte de 2 points : 610 , 233 , 89 , 34 ( -8 points ) , 13 (-1 point) . Je viens de perdre 9 points .
Je propose ensuite : 13 + 8 = 21 , 21 + 5 = 26 , 26 + 3 = 29 , 29 + 2 = 31 , 31 + 1 = 32 , 32 + 1 = 33 ( - 6 points ) ---> - 15 points
Soit ( F7 + F6 , F7 + F6 + F5 , F7 +..+ F4 , F7 +..+ F3 , F7 +..+ F2 , F7 +..+ F1 )
Si n = 4 , les nombres proposés sont : 610 , 233 , 89 , 34 , 13 , 5 , 2 , 3 & 4 ( 6 x -2 points + 3 x -1 point = -15 points).
Ces nombres proposés sont donc F15 , F13 , F11 , F9 , F7 , F5 , F3 , F3 + F2 & F3 + F2 + F1 Dans ce dernier cas F5 = 5 est le dernier nombre proposé coutant 2 points.
tous les nombres non F précédant un nombre F sont les plus couteux ( 15 points ). ex: 4 , 7 , 12 , 20 , 33 ...
609 , 986 & 1596.
