QUELQUES RÉSULTATS THÉORIQUES RÉCENTS CONCERNANT LES ÉCOULEMENTS DES NAPPES D'EAU SOUTERRAINES

J A N V . - F É V . 1 9 5 6 - № 1 LA H O U I L L E B L A N C H E 23

Quelques résultats théoriques récents concernant les écoulements

des nappes d'eau souterraines (*)

(Suite et fin)

A f e w recent theoretical results concerning ground water f l o w (*)

PAR E . M E Y E E

INGENIEUR AU LABORATOIRE DAUPHINOIS D'HYDRAULIQUE, GRENOBLE

La présente partie de cet article contient essen- tiellement les justifications théoriques des assertions énoncées précédemment et relatives aux nappes de grande épaisseur. De plus, on montre clairement que les termes « grande » et « petite » épaisseur sont en réalité impropres et qu'il conviendrait plutôt de dire : « distances horizontales petites » ou « grandes devant l'épaisseur ». La théorie des nappes de grande épaisseur s'applique donc toujours vers les bords des nappes à leur surface libre; par contre, l'approximation de Dupuit peut ne jamais s'appliquer si les dimensions horizon- tales globales sont petites devant l'épaisseur (cas des digues par exemple).

On montre aussi que les caractéristiques des n'appes (perméabilité, porosité, obstacles, etc.) n'influencent que peu les forces exercées par l'eau sur les ouvrages situés dans les nappes ou sur leur bord. Ceci est particulièrement important ; en effet, dans les nappes habituelles, ces caractéristiques sont essentiellement varia- bles d'un point à un antre point (même très voisin du premier). De plus, ces caractéristiques sont souvent, difficiles à mesurer voire même à définir.

En résumé, il y a deux cas d'études possibles : éludes globales d'une nappe par une méthode dit. type « approximation de Dupuit » et en se servant des caractéristiques moyennes mesurées par des méthodes mettant en jeu des parties importantes des nappes et études locales par une méthode du type « n'appes à grande épais- seur » à la condition que les caractéristiques lointaines n'interviennent pas et que les carac- téristiques locales proches interviennent peu.

This section of the article is fundamentally concerned with theoretical proofs of statements made previously in connection with deep ground water. Furthermore it is clearly shown that the expressions "deep" and "shallow" are un- satisfactory and that it is better to say "small horizontal distances" or "large compared with depth". The theory of deep ground water can always be applied at the free surface near a boundary. On the other hand cases occur where Dupuit's approximation cannot be applied, for example when the maximum horizontal dimen- sions are small compared with the depth (e.g.

dykes).

It is also shown that conditions such as permea- bility, porosity, obstacles, etc. have, little effect upon the forces which the water exerts upon structures surrounded by, or boudaries of ground water. This is very important for, in most cases, such conditions vary fundamentally from point to point even when these points are close together. Furthermore it is often dif- ficult to measure these conditions, let alone define them.

In short, there are two possible means of inves- tigation:

An overall investigation of a ground water region by a "Dupuit Approximation" method and using mean measurements of conditions, obtained by means which reflect the effect of a large expanse of ground water; a localized investigation' using a "thick layer of ground water" method where distant conditions and conditions in the immediate vicinity have little effect.

(*) Cf. La Houille Blanche, n° 1, 1955; n° 5, 1955.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956018

24 L A H O U I L L E B L A N C H E

S O M M A I R E

№ 1 - J A N V . - F É V . 1 9 5 6

C H A P I T E E I I I . — C O N S I D É R A T I O N S T H É O R I Q U E S (Suite)

3-6. — NAPPES DE GRANDE ÉPAISSEUR.

3-7. — SURPRESSIONS SUR LES MURS DE QUAI DUES A LA MARÉE.

3-8. — PHÉNOMÈNES NON SINUSOÏDAUX DANS LES NAPPES DE GRANDE ÉPAISSEUR.

3_9. _ CONCLUSIONS DU CHAPITRE III.

C H A P I T R E I I I

C O N S I D É R A T I O N S T H É O R I Q U E S (Suite)

3-6. — N a p p e s d e g r a n d e é p a i s s e u r .

R e p r e n o n s l e s é q u a t i o n s d u p a r a g r a p h e 3-1 : A³ h — 0 d a n s le m i l i e u p o r e u x ;

dh dz dn

+

0 s u r les o b s t a c l e s

0 à l a s u r f a c e l i b r e ;

Ces é q u a t i o n s n e p e u v e n t ê t r e i n t é g r é e s q u e d a n s u n n o m b r e d e c a s t r è s r e s t r e i n t . Il f a u t p o u r c e l a :

1) Q u e le m i l i e u s o i t h o m o g è n e e t l i m i t é v e r s le b a s p a r u n e c o u c h e i m p e r m é a b l e h o r i - z o n t a l e ;

2) Q u e les a u t r e s p a r o i s s o i e n t v e r t i c a l e s e t e n - t i è r e m e n t c o n s t i t u é e s s u r c h a q u e v e r t i c a l e soit d ' o b s t a c l e s , soit d e s u r f a c e de c o n t a c l e n t r e l ' e a u s o u t e r r a i n e et d e l'eau l i b r e ; 3) Q u e l e u r t r a c é e n p l a n s o i t f o r m é :

a) ou b i e n d ' e l l i p s e s e t h y p e r b o l e s h o m o - f o c a l e s ;

b) ou b i e n d e c e r c l e s c o n c e n t r i q u e s et de d r o i t e s p a s s a n t p a r le c e n t r e ;

c) o u b i e n de d r o i t e s o r t h o g o n a l e s ; d) ou b i e n d e s p a r a b o l e s h o m o f o c a l e s ; 4) Q u e les a n g l e s v u s d e l ' i n t é r i e u r d e l ' é c o u l e -

m e n t et f o r m é s p a r les d i v e r s a r c s s o i e n t de 90" (et n o n d e 2 7 0 ° ) ;

5) Q u e c h a q u e a r c soit u n o b s t a c l e ou u n e s u r - face d e c o n t a c t avec l ' e a u l i b r e .

D a n s t o u s les a u t r e s c a s , il f a u t f a i r e d e s a p p r o x i m a t i o n s . A u x p a r a g r a p h e s 3-3 et 3-4, n o u s

a v o n s d é c r i t c e r t a i n s c a l c u l s f a i t s a v e c l ' a p - p r o x i m a t i o n de D U P U I T a p p l i c a b l e à u n e c e r - t a i n e d i s t a n c e d e s l i m i t e s e t q u a n d l ' é p a i s s e u r d e l a n a p p e e s t f a i b l e . N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t f a i r e u n e a u t r e a p p r o x i m a t i o n , celle (en q u e l q u e s o r t e i n v e r s e ) d e la n a p p e d e g r a n d e é p a i s s e u r , q u i r e v i e n t à s u p p o s e r l ' é p a i s s e u r d e l a n a p p e i n f i n i m e n t g r a n d e (fig. 5 1 ) .

,sol

-r-V" r

surface libre de la nappe

couche imperméable très loin

FIG. 5 1

E t u d i o n s d ' a b o r d les é c o u l e m e n t s s i n u s o ï d a u x e n p o s a n t , c o m m e a u p a r a g r a p h e 32 :

h = 61 [ H e ^ ' l , d ' o ù la c o n d i t i o n à la s u r f a c e l i b r e :

9 H dz

m

li j « H = 0

J A N V . - F É V . 1 9 5 6 - № 1 L A H O U I L L E B L A N C H E ^{2 5}

Si on p o s e d a n s t o u t le m i l i e u : ô H , m .

L a f o n c t i o n <I> s a t i s f a i t à l ' é q u a t i o n : A³$ = 0

d a n s le m i l i e u e t a u x c o n d i t i o n s :

$ — 0 à l a s u r f a c e l i b r e et :

( 3 , 1 3 )

3 H . m . ^TT

d o n n é e "

s u r les s u r f a c e s d e c o n t a c t a v e c l ' e a u l i b r e . P o u r q u e la c o n d i t i o n à l a l i m i t e s u r u n o b s - t a c l e i m p e r m é a b l e s o i t e x p r i m a b l e e n f o n c t i o n de i>, il f a u t q u e c e t o b s t a c l e s o i t u n c y l i n d r e à g é n é r a t r i c e s v e r t i c a l e s ; a l o r s :

3 $

dn dz

+

L a d e r n i è r e é g a l i t é e s t v r a i e p a r c e q u e l ' a c - c r o i s s e m e n t « dz » e s t le l o n g d e l a g é n é r a t r i c e de l a p a r o i . N o u s a v o n s a l o r s r a m e n é le p r o b l è m e avec d e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s m i x t e s à u n p r o - b l è m e n ' a y a n t q u e d e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s d u t y p e :

d<ï>

dn 0 o u :

d o n n é e

O n p e u t d o n c r é s o u d r e u n g r a n d n o m b r e d e p r o b l è m e s p l a n s e t c e r t a i n s p r o b l è m e s à t r o i s d i m e n s i o n s . C o n n a i s s a n t <T>, o n e n d é d u i t H p a r :

3 H

dz

+

Cette m é t h o d e e s t a n a l o g u e à celle d é j à e m - ployée a u p a r a g r a p h e 34 p o u r l e s i m a g e s d ' u n e s o u r c e p a r r a p p o r t à u n e p a r o i . O n p e u t g é n é - r a l i s e r c e t t e m é t h o d e a u c a s o ù les p a r o i s d u m i l i e u p o r e u x n e s o n t p a s v e r t i c a l e s , m a i s i n c l i - n é e s . TI s ' a g i t e s s e n t i e l l e m e n t d e t r o u v e r u n e f o n c t i o n <T> liée l i n é a i r e m e n t à H e t a u x d é r i v é e s n a r t i e l l e s d e H e t t e l l e q u e $ = 0 a l a s u r f a c e l i b r e e t (d$/dn) = 0 s u r l e s p a r o i s i m p e r m é a - bles. U n e m é t h o d e t r è s i n t é r e s s a n t e a é t é p u b l i é e

n a r F R I T Z J O H N [ 8 1 . L a clé d u p r o b l è m e se t r o u v e e s s e n t i e l l e m e n t p a g e 158. é q u a t i o n ( 1 ; 3 2 ) . N o u s n ' e n t r o n s p a s d a n s la d i s c u s s i o n d e c e s c a s q u i s o n t n e t t e m e n t p l u s d é l i c a t s q u e c e u x qui s e r o n t e x p o s é s ici, t o u t e n n ' a p p o r t a n t q u e d e s r é s u l t a t s s e m b l a b l e s , s a n s n o t i o n s v r a i m e n t n o u - velles.

D o n n o n s u n e x e m p l e d e l a m é t h o d e . Soit à d é t e r m i n e r l e s o n d e s p r o d u i t e s d a n s u n m i l i e u p o r e u x p a r u n e v a r i a t i o n s i n u s o ï d a l e d ' u n p l a n

amplitude —^

de la marée \ *—R~N—<;—;—\—R-

position moyenne de la surface libre

profondeur très grande

\ \

FIG. 5 2

d ' e a u l i b r e , c o m m e i n d i q u é s u r l a f i g u r e 52 ( m a r é e ) .

D a n s ce c a s , o n a :

h = H⁰ e^* s u r x = 0 ; z < 0

<ï> e s t d é t e r m i n é p a r : A² $ = 0

$ = 0 s u r z = 0 ; x > 0 m

K

/ CO H⁰ s u r x — 0 ; z < 0.

E n p l u s , <& —* 0 p o u r x—>CO.

L a s o l u t i o n <ï» e s t é v i d e n t e e t se d é d u i t d u r é s e a u i s o t h e r m e c o r r e s p o n d a n t à Z == j l o g Ç, a v e c Z = «> + j W e t Ç = x + /' z (fig. 5 3 ) .

FIG. 5 3

D o n c

2 m j CO H⁰ A r c t g

2 6 LA H O U I L L E B L A N C H E № 1 - J A N V . - F É V . 1 9 5 6

D ' o ù :

- g T + - g - J » H = _ j oo H⁰ A r c t g — O n e n d é d u i t :

J L / Ü , _ £ L Hⁿ e-too»/*).

2 J K >" A r c t g — d u

- - j u) H0 e- ^ C ' / K ) - - . / ( X )

7C ' IV

P o s o n s :

m m , m

— co z = Ç ; — u i = l ; — B i i = i)

L ' e x p r e s s i o n t r o u v é e vérifie b i e n :

3 H . . m ^{T J N}

~ 3 7 + ^ - K " H = O

à la s u r f a c e l i b r e , c o m m e o n s ' e n a s s u r e f a c i - l e m e n t , m a i s p o u r s a t i s f a i r e à AH = 0, il f a u t

q u e f (5) satisfasse, à f" — / = ( 1 / ç ) . D ' o ù :

1 dw — ¹

il w

•t, ^e~w W dw E n p l u s , i l f a u t q u e H s a t i s f a s s e a u x c o n d i - t i o n s H = 0 e n x = o> e t H = H⁰ e n x — 0. Ceci r e v i e n t à e x i g e r q u e / (oo) = 0 et jf (0) = 1. L a p r e m i è r e c o n d i t i o n d o n n e E³ = w , l a d e u x i è m e :

w dw D ' o ù :

H = ^ - / H⁰e - ^f e"' A r c t g ~ du -f- j H⁰ e - J î

? 7C

DU>

— r;

dw + H⁰ e-M e-i

L a s u r f a c e l i b r e e s t d o n n é e p a r Ç = 0

H = - ; H^{0 oo e-}

CO g — W

W dw + H⁰ c - i R a p p e l o n s q u e les i n t é g r a l e s i n t e r v e n a n t s o n t d e s f o n c t i o n s d o n t il e x i s t e d e s t a b l e s (voir p a r e x e m p l e [ 5 ] ) .

L a s u r f a c e l i b r e n e c o n t i e n t p a s d ' o n d e s c o m m e d a n s le c a s d e s n a p p e s d ' é p a i s s e u r finie. E n fait n o u s a v o n s v u q u e si l a d i s t a n c e x e s t p l u s g r a n d e q u e l ' é p a i s s e u r d e la n a p p e , l ' a p p r o x i - m a t i o n d e D U P U I T r e n d b i e n c o m p t e d u p h é n o - m è n e . L ' a p p r o x i m a t i o n n a p p e d e g r a n d e é p a i s - s e u r n e p e u t d o n c ê t r e v a l a b l e q u e si la d i s - t a n c e x e s t n e t t e m e n t i n f é r i e u r e à l ' é p a i s s e u r d e l a n a p p e . N o u s t r o u v o n s i c i c e t é c o u l e m e n t t r a n s i t o i r e d a n s l ' e s p a c e d o n t il é t a i t q u e s t i o n a v a n t .

L ' a p p r o x i m a t i o n e s t d o n c s u r t o u t i n t é r e s - s a n t e p o u r é t u d i e r ce q u i se p a s s e p r è s d e s l i m i - t e s , o b s t a c l e s o u d ' a u t r e s i r r é g u l a r i t é s . A t i t r e d ' e x e m p l e , n o u s é t u d i e r o n s les s u r p r e s s i o n s d e r - r i è r e les m u r s d e q u a i .

D ' u n e f a ç o n g é n é r a l e , le p r o b l è m e se scinde, en d e u x p a r t i e s :

n) R e c h e r c h e d e la f o n c t i o n 4>;

b) R e c h e r c h e d e H p a r la f o r m u l e :

H ( / c o ) = / ' c o - ^ - e- № ( » » / K ) e / e/ w ( m/ K ) « ,J> (T; „ ) (iu

f

O n p e u t e m p l o y e r d ' u n e f a ç o n g é n é r a l e l e s v a - r i a b l e s r é d u i t e s Ç et l, d ' o ù :

H (;^W) = e-H

P

-5 V) ^

3-7. — S u r p r e s s i o n d e r r i è r e l e s m u r s d e q u a i d u e à l a m a r é e .

N o u s a d m e t t r o n s é v i d e m m e n t la m a r é e s i n u s o ï d a l e . L e m u r de q u a i e s t c e l u i s c h é m a t i s é s u r la figure 5 4 .

O n a ici : H = H⁰ p o u r x = 0 ; z < — D o n c , <I> d o i t s a t i s f a i r e :

à l ' é q u a t i o n : A <I> = 0

et a u x c o n d i t i o n s : <1> = 0 p o u r z = 0; x > 0 3 *

ci.

3 n = 0 p o u r x = 0; 0 ^ z > — a

<I> = ; w - j p - Hm ⁰ p o u r x = 0 ; z < — a

r i _{FIG. 5 4}

J A N V . - F É V . 1 9 5 6 - № 1 LA H O U I L L E B L A N C H E

C o m m e d a n s le c a s p r é c é d e n t , o n v o i t d i r e c t e m e n t q u e le c h a m p i s o t h e r m e d e l a f o n c t i o n Z = ~ ~ A r g s h (x + jz)/a (fig. 5 5 ) d o n n e l a s o l u t i o n d u p r o b l è m e .

D ' o ù :

$ ;w JE. A H0 % i A r g s h JLàlll.

K % ^{" I} a

. . } s i g n i f i a n t : p a r t i e i m a g i n a i r e d e . E t H e s t d o n n é e p a r :

f- / co • H ==m 7 co H^{f t} °t : A r g s h

FIG. 5 5

D ' o ù :

H = — 7 co

~ —

j

j

F i n a l e m e n t , o n o b t i e n t :

H = H⁰e - W + « > e-i jU⁰e-H f¹ % S A r g s h ¹ + ^{J V}

% J _^A ' ( OC

dv en p o s a n t c o m m e p r é c é d e m m e n t :

co m „ m co , m u m co

_ Z = | ; ; _ ï = { ; _ a = .i * = „

L e c a l c u l d e H ( x ; z) e s t d é l i c a t d a n s le c a s g é n é r a l . S u r le m u r d u q u a i (1 = 0; 0 ^ Ç > — «0 o n a :

H = H⁰ «-'<*+«> - j H⁰ e - ' î f^S e ^ A r c s i n — d »

C o m p t e t e n u d e la p r e s s i o n e x t é r i e u r e d u e à la m e r , la f o r c e t o t a l e s u r le m u r e s t . F = ra J~° (H — H⁰) dz

F e s t d o n c d o n n é e p a r u n e i n t é g r a l e d o u b l e . Si o n i n t e r v e r t i t l ' o r d r e d e s i n t é g r a t i o n s , o n t r o u v e

F — — tu H⁰ a _{+ ; J - c i}

% 1.

• e-i

ir J o

e- y « w A r c s i n w dw La d e r n i è r e i n t é g r a l e p e u t s ' i n t é g r e r p a r p a r t i e s e t on t r o u v e :

— f¹ e-i«« A r c s i n wdw = j * ^ l - ~ V « ' > - j - J«^L

•K J o a a. a

J⁰ CA) : f o n c t i o n d e B E S S E L d ' o r d r e z é r o .

S⁰ (a) : f o n c t i o n d e S T U R V E d ' o r d r e zéro.

O n e n d é d u i t :

F = - * H 0 A R I - - A _ W + • 1 - J , W I TT A A

2 8 L A H O U I L L E B L A N C H E № 1 - J A N V . - F É V . 1 9 5 0

O n p e u t é g a l e m e n t c a l c u l e r le m o m e n t d e s f o r c e s p a r r a p p o r t à l ' o r i g i n e :

M = w

f°

O n p e u t c a l c u l e r c e t t e i n t é g r a l e e n f o n c t i o n d e F . T o u s c a l c u l s f a i t s , o n t r o u v e : 1 . 1 F

M = er H r . a²

4 ^ a H H⁰a

L e s y s t è m e d e s f o r c e s a p p l i q u é e s est é q u i v a l e n t à u n e f o r c e u n i q u e . S o n p o i n t d ' a p p l i c a t i o n p e u t ê t r e c a l c u l é à p a r t i r d e M. Il v a r i e p é r i o d i q u e m e n t m a i s n o n s i n u s o ï d a l e m e n t .

S u r la figure 29 on v o i t q u e si a > 6 ou 8, o n p e u t a d m e t t r e a. = a>. D ' o ù :

F = — — H⁰ a

M == -}- w H⁰ a² 4

E n p r a t i q u e ( m a r é e s d e l ' o r d r e d e v i n g t - q u a t r e h e u r e s ; m u r de l ' o r d r e d e 5 m ; K d e l ' o r d r e de 1 0 -^{; i} à 1 0 -^s; m d e l ' o r d r e d e 5 (*) à 30 % ) ; a v a r i e d e q u e l q u e s c e n t i è m e s à q u e l q u e s c e n t a i n e s .

Q u a n d a est g r a n d , t o u t r e v i e n t à n é g l i g e r 3 H / 3 z d e v a n t y<o ( m / K ) H d a n s la c o n d i t i o n d e s u r - face l i b r e . D a n s ce c a s , o n p e u t f a i r e u n c a l c u l p l u s s i m p l e , c o m m e o n le v e r r a p l u s l o i n .

R e m a r q u o n s e n p a s s a n t q u e la f o n c t i o n $ c a l c u l é e p l u s h a u t n ' e s t p a s définie d ' u n e f a ç o n u n i q u e . O n p o u r r a i t e n effet a d m e t t r e u n e s i n g u l a r i t é a u p o i n t z = — a; x = 0 ; p a r e x e m p l e u n p ô l e . P a r u n e i n v e r s i o n et u n e t r a n s f o r m a t i o n « J O U K O W S K I i n v e r s e », on o b t i e n t u n c h a m p c o n n u ( s u p e r - p o s i t i o n d ' u n c h a m p u n i f o r m e et d ' u n d o u b l e t (fig. 5 6 ) . O n p o u r r a i t d o n c a j o u t e r à l a s o l u t i o n «I»

a d o p t é e l a f o n c t i o n :

j V ( x + ; zy- + «² )

C %

d i x -f- j z C : c o n s t a n t e a r b i t r a i r e .

Cette f o n c t i o n s a t i s f a i t à t o u t e s les c o n d i t i o n s i m p o s é e s à

N é a n m o i n s , si C ^ 0, la f o r c e s u r le m u r e s t infinie. D ' u n e f a ç o n g é n é r a l e , les é c o u l e m e n t s p h y s i q u e m e n t p o s s i b l e s s o n t c e u x p o u r l e s q u e l s * n ' a p a s de s i n g u l a r i t é s u r l e c o n t o u r . A l o r s H et $ s o n t d é t e r m i n é s d ' u n e f a ç o n u n i q u e .

O n p e u t é g a l e m e n t é t u d i e r p a r c e t t e m é t h o d e d ' a u t r e s é c o u l e m e n t s p l u s c o m p l i q u é s , p a r e x e m - p l e c e u x s c h é m a t i s é s s u r l e s f i g u r e s 57, 5 7A m e t e n j e u d e s f o n c t i o n s e l l i p t i q u e s . D ' a u t r e s é c o u l e m e n t s e n c o r e m e t t e n t e n j e u d e s f o n c t i o n s h y p e r e l l i p t i q u e s n o n t a b l é e s ) ; a i n s i le c a s d e l a figure 58 ( m u r a v e c d r a i n s ) . Il s e m b l e i m p o s s i b l e d e p r é v o i r e x a c t e m e n t ce q u i se p a s s e d a n s ce c a s ; les l i g n e s d e flux p a r t a n t d e s d r a i n s a b o u t i s s e n t à la s u r f a c e l i b r e , il est d o n c difficile de f a i r e u n e a p p r o x i m a t i o n .

(*) Les sols alternativement à sec et dans l'eau ont souvent une faible porosité effective.

Fio. 56 FIG 57 A Fio. 57 в Fio. 58

J A N V . - F É V . 1 9 5 « - N " 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 2 9

E l u d i o n s m a i n t e n a n t r a p i d e m e n t q u e l q u e s c a s n o u v e a u x e n a d m e t t a n t l ' a p p r o x i m a t i o n q u i c o n s i s t e à p o s e r H — 0 à la s u r f a c e l i b r e .

D a n s ce c a s , le p r o b l è m e e s t c l a s s i q u e p u i s q u ' o n c o n n a î t soit H , s o i t dH/dn d a n s t o u t e s l e s f r o n t i è r e s . f.

Cette a p p r o x i m a t i o n « é t e i n t » l e s o n d e s p u i s q u e H a u r a l a m ê m e p h a s e p a r t o u t . E l l e n ' e s t a c c e p t a b l e q u e t o u t p r è s d e l a f r o n t i è r e d e la n a p p e e t p e u t s e r v i r à c a l c u l e r l e s efforts s u r l e s o u v r a - ges. O n p e u t f a i r e c e t t e a p p r o x i m a t i o n q u a n d l ' o u v r a g e e s t t e l q u e :

m co

K

a > 5 o u 1 0

a : d i m e n s i o n p r i n c i p a l e d e l ' o u v r a g e .

D a n s c e t t e a p p r o x i m a t i o n , l e s c a r a c t é r i s t i q u e s m e t K n ' i n t e r v i e n n e n t p l u s ; o n n ' a d o n c p a s b e s o i n d e l e s c o n n a î t r e a v e c p r é c i s i o n e t e l l e s o n t le d r o i t d ' ê t r e v a r i a b l e s d a n s u n e c e r t a i n e m e s u r e .

E n o u t r e , o n n ' a p l u s b e s o i n d ' a d m e t t r e l a p r o f o n d e u r i n f i n i e . Soit d ' a b o r d l a d i s p o s i t i o n s c h é m a t i s é e s u r l a figure 5 9 . H e s t d o n n é p a r :

AH = 0

0 s u r A B C 3/i

H = H⁰ s u r C D 3 H

dn

H = 0 s u r A F

D a n s le c a s d e s p r o b l è m e s p l a n s , o n p e u t a s s o c i e r à la f o n c t i o n h a r m o n i q u e H la f o n c t i o n G telle q u e :

3 G ⁼ _ j ) H ^et 3 G _ 3 H

3 x dz 'dz 3 x

G est a l o r s défini à u n e c o n s t a n t e a d d i t i v e p r è s . N o u s a j u s t e r o n s c e t t e c o n s t a n t e p a r l a s u i t e . A l o r s :

H (x; z) + j G (x; z) =f(x + jz)=f (Ç)

a v e c :

x + j z = Ç

L a force h y d r a u l i q u e e x e r c é e s u r la p a r t i e A B C d u m u r e s t a l o r s d o n n é e p a r s e s c o m p o s a n t e s F i » et F^{l B} :

H d z — xss

F ^{l œ} = f pdz = m f H d z — us f^A zdz

Je Je Je F , . = ra / H r f x — /

Jo Je z dx

L a f o r c e s u r l a p a r t i e C G e s t d o n n é e p a r :

F^{2 a}, = T o - / H⁰ dz •—- ctr / z d z

Je Je

F^{2 a} = cT H⁰dx — w J~^G zdx

FIG. 59 e t :

30 L A H O U I L L E B L A N C H E № 1 - JANV.-FÉV. 195C

L a force t o t a l e e s t d o n n é e p a i^- :

/""G /"*A /" A,

F^ = bt / H⁰ dz — bt / H d z 4 - H / zdz

Je Jo Ja r<3 /-A r A

F^z = sr ! Hⁿdx — 07 / H d x + ra / zdz

Ja Jo Jg

zdz e s t v i s i b l e m e n t n u l l e ; bt / zdx e s t l a p o u s s é e d ' A r c h i m e d e , soit A : Ja

rA JOr

D ' o ù

Si o n p o s e F est d o n n é p a r :

¥^x = tu H⁰ ( z^G — Za) — bt F~ = tu H⁰ {x^G — x^G) — or

F = F^s + y F^a, -

F = w H⁰«^G — W — w

C o m m e ( 3 H / 3 n ) = 0 s u r le m u r l a f o n c t i o n G y e s t c o n s t a n t e . N o u s c h o i s i r o n s la c o n s t a n t e a d d i t i v e d o n t il é t a i t q u e s t i o n p l u s h a u t , d e t e l l e f a ç o n q u e G = 0 s u r le m u r . A l o r s o n a :

BT H⁰ ( ÇG — <;c) — tu

O n p e u t d e m ê m e c a l c u l e r le m o m e n t p a r r a p p o r t à l ' o r i g i n e ; il e s t d o n n é p a r : M = d t j - ^ ( ç02_ ! y » ) _w Ç / ( Ç ) d ç J + MA

dv " I . . • I s i g n i f i a n t p a r t i e r é e l l e de...

M^A : m o m e n t d û à l a p o u s s é e d ' A r c h i m e d e .

E t u d i o n s à t i t r e d ' e x e m p l e le c a s s c h é m a t i s é s u r la figure 60.

Fio. 6 0 FIG. 6 2

L e c h a m p i s o t h e r m e d e la f o n c t i o n / (Ç) e s t d o n n é p a r l a figure 6 1 . Soit l ' a b s c i s s e d e C : — a ; celle d e D : — L .

P a r la t r a n s f o r m a t i o n T = s h O Ç/2 L ) o n o b t i e n t la figure 62 q u i r e p r é s e n t e le r é s e a u iso- t h e r m e d e :

9 O )

K (*)

I

(*) K est ici le quart de la période de la fonction « sn ». La perméabilité n'intervient pas dans le pro- blème, puisqu'on a admis que co m a/K était grand, donc K petit.

FIG. 6 1

J A N V . - F É V . 1 9 5 6 - № 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 3 1

s n "³ é t a n t la f o n c t i o n i n v e r s e d e « s n ».

D ' o ù :

f{0 =H(x;z) + jG(x;z) = - | & s n ~^] (-L s h - | | - ;

P o u r £ = = ( ) , on a H = G = 0 ; la c o n s t a n t e a d d i t i v e e s t n u l l e .

- f du ⁼ U k / ~ * ^^2L dv

f<$=^tj^*

u

)

L e p o i n t C e s t v i s i b l e m e n t d o n n é p a r T = — j k.

D o n c :

Ç^c == — (2 A ) /' L A r c s i n 7c a v e c k = s i n a %/2 L . So = — 7 ' a

et

f

' G 'C Ji y _ j o . / o V I + d A²) s h² v H⁰ L / " « • / " (2 f A ) — ( a / L ) df

o u

K (% a/2 L ) Jo V s i n² (a « / 2 L ) — s i n² t

F I ß / ' 1 ( 1 — u) du

D e m ê m e

7 w H0 a K (ß) y o V s i n² ß — s i n2 (ß u)

M 1 I ß / " ¹ ( 1 —- u²) du

a²H⁰w 2 2 K ( ß ) . A V s i n² ß — s i n² (ß u )

Ces i n t é g r a l e s définies n e p e u v e n t p a s s ' e x p r i m e r a u m o y e n d e f o n c t i o n s t a b l é e s . O n p e u t n é a n - m o i n s f a c i l e m e n t d é t e r m i n e r l e u r v a l e u r p a r p l a n i m é t r a g e . O n t r o u v e f i n a l e m e n t F / c o H⁰ a et M A H⁰ a² en f o n c t i o n d e ($ (fig. 3 2 ) . A p a r t i r d e ( a / L ) < ( 2 / 3 ) , ( c ' e s t - à - d i r e g < 1 ) , o n p e u t a d m e t t r e L = o o .

P a r ce c a l c u l et d ' a u t r e s a n a l o g u e s , o n p e u t f a c i l e m e n t v o i r q u e s e u l s les o b s t a c l e s et i r r é g u - l a r i t é s s i t u é s à u n e d i s t a n c e i n f é r i e u r e à l a t a i l l e d e l ' o b s t a c l e p r i n c i p a l i n t e r v i e n n e n t e n ce q u i c o n - c e r n e les f o r c e s .

C o m m e a u t r e e x e m p l e , é t u d i o n s le c a s d u m u r é p a i s (fig. 6 3 ) .

L e r é s e a u i s o t h e r m e d e / (Ç) e s t d o n n é p a r l a l i g u r e 64. O n p e u t t r o u v e r s o n e x p r e s s i o n a n a l y - t i q u e p a r la m é t h o d e de l ' h o d o g r a p h e . Celui-ci e s t r e p r é s e n t é s u r l a figure 6 5 . E n u t i l i s a n t l a t r a n s - f o r m a t i o n q u i f a i t c o r r e s p o n d r e log z à z, o n o b t i e n t la figure 66. L a f o n c t i o n r é c i p r o q u e e s t r e p r é - s e n t é e s u r la f i g u r e 67.

FIG. 6 3 FIG. 6 4

32 L A H O U I L L E B L A N C H E № 1 - JANV.-FÉV. 1 9 5 0

L e s é q u a t i o n s d e ces r é s e a u x s o n t :

F i g u r e 67 : Z = — 1/2 log X'² [ s i n (T — a). s i n (T + a) ] F i g u r e 66 : T = — 1/2 log X'² [ s i n (Z — a). sin (Z + a)'

1

r î g u r e bi) : T : X' V s i n (Z — a ) . s i n (Z + a )

Fie. 6

FlG. 66 L ' é q u a t i o n d e l a f o n c t i o n c h e r c h é e e s t d o n c :

df 1

( l Ç X' V s i n (u, f — a ) — s i n (u. / + a ) D ' o ù

Ç = X e?u V s i n² u — s i n² a + O L a c o n s t a n t e i n t r o d u i t u n e t r a n s l a t i o n d e Ç. O n p e u t d o n c l a s u p p r i m e r .

L a c o r r e s p o n d a n c e d e s p o i n t s e s t l a s u i v a n t e

/• = 0 : Ç = 0

j*. jf = e a : Ç = s y X [ E (a) — c o s² a K (a) ] = s j B a v e c s — ±-. 1

s i n² a K ( a

¡1. / = s TC/2 : Ç ( S w / 2 ) = Ç TE a) + X

O n o b t i e n t l ' é c o u l e m e n t c h e r c h é à u n e s y m é t r i e p r è s e n p o s a n t

= « J ' B + C

2 H „ L e s l o n g u e u r s s o n t d o n n é e s p a r :

L I = A B = X [ E (a) — c o s² a K (a)"

L O = B C = X E , ^T - a s i n² a K ( — a

\ 2 L e r a p p o r t A B / B C n e d é p e n d q u e d e l a q u a n t i t é « a ». C a l c u l o n s F

J o

FIG. fi?

J A N V . - F É V . 1 9 5 0 - N " 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 3 3

D ' o ù :

a L, H „

sr L., H „

= 1

it [ E (fl) — c o s - a K (a) ] J^a

E ( - - - — a ) — s i n² a K I — a

u V s i n² n — s i n - a du / u V s i n² a — s i n - u

\ I y ⁰

d u

Si o n p o s e ( A B / B G ) = p, o n p e u t c a l c u l e r F^x/(iss L^X H⁰) et F s / ( S T L²H⁰) e n f o n c t i o n d e ? s e u l (fig. 3 1 ) . 3-8. — P h é n o m è n e s n o n s i n u s o ï d a u x d a n s l e s n a p p e s d e g r a n d e é p a i s s e u r .

Si le n i v e a u d ' e a u l i b r e v a r i e d ' u n e f a ç o n n o n s i n u s o ï d a l e d a n s le t e m p s , o n p e u t d é c o m p o s e r la f o n c t i o n h⁽, (t) d o n n a n t c e t t e v a r i a t i o n e n s p e c t r e (ou s é r i e ) d e F O U R I E R e t o b t e n i r l a s o l u t i o n d u p r o b l è m e p a r l a m é t h o d e b i e n c o n n u e d e F O U R I E R .

L e s p e c t r e d e h⁰ (t) s e r a n o t é 3C⁰ ( j w) :

r+ co

dCo(j<*)= / h⁰(t)ei*"dt

~J — co

O n p e u t r é s o u d r e les p r o b l è m e s d ' é c o u l e m e n t s q u e l c o n q u e s d a n s t o u s les c a s o ù l ' é c o u l e m e n t s i n u s o ï d a l e s t c o n n u , c ' e s t - à - d i r e e n p a r t i c u l i e r d a n s les c a s e x p o s é s a u p a r a g r a p h e 3-7. E n r e p r e n a n t les n o t a t i o n s d e ce p a r a g r a p h e , o n a (voir p . 26) :

H ( / Cü) — j cù ^e- i " ( m / K ) 2 / ^eyco(m/K)M $ (^a.^{; u}) (J^u (3-14) O n e n d é d u i t

1 rOT m

IR 7 o K

O n p e u t a u s s i t r a n s f o r m e r l a r e l a t i o n (3-14) e n i n t é g r a n t p a r p a r t i e s :

H (j « o ) = * (x; z) — - L . * 'E ( . T ; Z ) + ( J L - L - Y =p. . .

m J » \ m ; u y

D ' o ù :

A ( 0 = A⁰( 0 * ( a : ; z ) — ^ - 7 i ⁰ ( 0 d r + ( - 5 - Y tf'V / " * df h,

m _ /o \ m

J

A i n s i , si : h⁰ (t) = = H I T (t), o n o b t i e n t :

(*) dt :

h{t) = ^ x ; z — - g - f

L e s t r o i s d e r n i è r e s r e l a t i o n s n e s o n t v a l a b l e s q u e si les s é r i e s c o r - r e s p o n d a n t e s c o n v e r g e n t . P r a t i q u e m e n t , elles n e c o n v e r g e n t q u ' e n u n

FIG. 68 a ^{FIG. 68 b FIG. 68 C}

n o m b r e t r è s l i m i t é d e c a s . O n v o i t d e s u i t e q u e c e l a n e p e u t se p r o d u i r e q u e si H ou 3 H / 3 n a u n e v a l e u r c o n s t a n t e s u r c h a q u e l i m i t e v e r t i c a l e . Il n ' e x i s t e q u e t r o i s c a s o ù c e l a e s t vérifié. Ils s o n t s c h é m a t i s é s s u r l a figure 6 8 . L e t r o i s i è m e n ' a a u c u n e v a l e u r p r a t i q u e . L e s d e u x a u t r e s d o n n e n t :

4

3 4 L A H O U I L L E B L A N C H E № 1 - J A N V . - F É V . 1 9 5 0

, „ 2 ^A . z — ( K / m ) t

h H, — A r c t g — — - — e t

h = Hx ~

J

m £ c t g (a; — a ) A r c t g t h z- K

m í ) c t g (x + a)

D a n s t o u s les a u t r e s c a s , il c o n v i e n t d ' e m p l o y e r la f o r m u l e 3-14. P r a t i q u e m e n t , il n ' e x i s t e p a s d e c a s s i m p l e s o ù h (t) p u i s s e ê t r e e x p r i m é a u m o y e n d e f o n c t i o n s t a b l é e s . P a r c o n t r e , o n p e u t c h e r - c h e r les f o r c e s et m o m e n t s s u r c e r t a i n s o u v r a g e s . A i n s i p o u r le m u r d e l a figure 54, o n o b t i e n t à p a r t i r d e :

F ( ; <Û) = â€o (Y <«>) ra a 2 / 2 r¹

— - \ — — e~^ia) -| / e~>^aV A r c s i n v dv

re a it Jo

(o ma a v e c : a = • K

F (i)

= TO

— h (t) K

_ a m y í— (aro/K)

a / n \

lu (u) d u + — / h ⁰ ( t — ~ ) A r c s i n p cfu

* y o V ^K

Si h⁰ (t) = H^x Y (t), c ' e s t - à - d i r e p o u r u n a b a i s s e m e n t b r u s q u e d u p l a n d ' e a u l i b r e , o n a (fig. 33) : F (i) = a xs H^x 2 am

it

2

V I ' — — T - | T A r c s i n T p o u r t ^ K F (f) = 0 p o u r í > am

IT

a v e c : T : t K a m

O n v o i t q u e l a f o r c e t o m b e r i g o u r e u s e m e n t à z é r o a u b o u t d ' u n t e m p s fini, a l o r s q u e l ' é c o u l e - m e n t p e r s i s t e j u s q u ' à t = <».

3-9. — C o n c l u s i o n s d e l a I I I^e p a r t i e .

N o u s a v o n s e s s a y é d ' a p p l i q u e r à l a t h é o r i e d e s n a p p e s s o u t e r r a i n e s u n c e r t a i n n o m b r e d e c o n - n a i s s a n c e s d e la p h y s i q u e m a t h é m a t i q u e , e t p l u s s p é c i a l e m e n t d e « l ' h y d r a u l i q u e m a t h é m a t i q u e ».

L e s b a s e s d e n o s é t u d e s d o n t les é q u a t i o n s li- n é a r i s é e s d u p a r a g r a p h e 3 - 1 . Ces é q u a t i o n s s o n t a s s e z p r o c h e s d e s é q u a t i o n s r é g i s s a n t les é c o u l e - m e n t s d e s fluides p a r f a i t s d a n s l ' a p p r o x i m a t i o n d e la « h o u l e d e S t o k e s ». S e u l e la c o n d i t i o n à la

s u r f a c e l i b r e e s t d i f f é r e n t e : Z²$/dt^z e s t r e m - p l a c é e p a r 3 $ / 3 f . C e t t e r e s s e m b l a n c e p e r m e t l ' a p p l i c a t i o n d ' u n c e r t a i n n o m b r e d e p r o c é d é s m a t h é m a t i q u e s q u i o n t été s p é c i a l e m e n t c o n ç u s p o u r l ' h y d r a u l i q u e , a i n s i les m é t h o d e s e m p l o y é e s a u x p a r a g r a p h e s 3-2, 3-6 et 3-7. D u p o i n t d e v u e p h y s i q u e , p a r c o n t r e , il n ' y a a u c u n e a n a l o g i e p r o f o n d e : le t e r m e 3²* / 3 f² r e p r é s e n t e u n e i n e r - tie, d o n c u n e é n e r g i e c i n é t i q u e q u i p e u t à t o u t m o m e n t se r e t r a n s f o r m e r e n é n e r g i e p o t e n t i e l l e ; le t e r m e 3 $ / 3 f r e p r é s e n t e a u c o n t r a i r e u n e r é - s i s t a n c e d i s s i p a n t d e l ' é n e r g i e . L a h o u l e est u n é c o u l e m e n t s a n s p e r t e d ' é n e r g i e , t a n d i s q u e les é c o u l e m e n t s e n m i l i e u p o r e u x s o n t d e s é c o u l e -

m e n t s a v e c d e t r è s g r o s s e s p e r t e s d ' é n e r g i e e t s a n s i n e r t i e : a u s s i b e a u c o u p d e p h é n o m è n e s p h y s i - q u e s d e la h o u l e n ' o n t p a s d e p e n d a n t e n c e q u i c o n c e r n e les é c o u l e m e n t s e n m i l i e u p o r e u x . A i n s i , p a r e x e m p l e , les o n d e s d e M a c h , les p h é n o m è n e s d e r é s o n a n c e , les v a g u e s d e p e n t e , e t c . .

P a r a i l l e u r s , il a é t é r e c o n n u u n e fois d e p l u s q u ' u n e a p p r o x i m a t i o n d u g e n r e « D U P U I T »

e s t a s s e z b o n n e d a n s le c a s d e s n a p p e s , s e u l e s les r é g i o n s t r è s v o i s i n e s d e s l i m i t e s o u d e s g r o s s e s i r r é g u l a r i t é s s o n t m a l r e p r é s e n t é e s . Il suffit le p l u s s o u v e n t d e c h a n g e r l e s c o n d i t i o n s a u x l i m i - t e s p o u r o b t e n i r d e b o n s r é s u l t a t s . Il e s t é v i d e n t q u e les n o u v e l l e s c o n d i t i o n s à a d o p t e r n e p e u - v e n t p a s ê t r e d é t e r m i n é e s p a r u n c a l c u l b a s é s u r l ' a p p r o x i m a t i o n d e D U P U I T ; p a r c o n t r e , d ' a u t r e s a p p r o x i m a t i o n s p e u v e n t ê t r e f a i t e s , c o m m e le m o n t r e le c a s d e s m u r s d e q u a i . R a p p e l o n s éga- l e m e n t q u e les a p p r o x i m a t i o n s d u g e n r e D U P U I T

n ' o n t a u c u n s e n s d a n s le c a s d e s é c o u l e m e n t s à t r a v e r s les d i g u e s ou d ' a u t r e s é c o u l e m e n t s p o u r l e s q u e l s les r a p p o r t s

D i s t a n c e s h o r i z o n t a l e s D i s t a n c e s v e r t i c a l e s

JANV.-FÉV. 1 9 5 6 - № 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 3 5

n e s o n t p a s a u m o i n s d e l ' o r d r e d e 5 o u d e 10.

( D a n s le c a s d e s n a p p e s , c e s r a p p o r t s s o n t e n g é n é r a l a u m o i n s d e l ' o r d r e d e 30, s o u v e n t d e 100 et p l u s . )

E n ce q u i c o n c e r n e les q u e s t i o n s e n c o r e e n s u s p e n s , il s e m b l e q u e les t r o i s s u i v a n t e s s o i e n t d u p l u s g r a n d i n t é r ê t :

a) E n se b a s a n t s u r l a r e s s e m b l a n c e m a t h é m a t i - q u e a v e c l a h o u l e , i l s e r a i t u t i l e d ' é t u d i e r u n e a p p r o x i m a t i o n m e i l l e u r e q u e l a l i n é a - r i s a t i o n . P o u r l a h o u l e , c e t t e a p p r o x i m a - t i o n e s t celle q u i c o n d u i t a u x « o n d e s c n o ï d a l e s ». U n e t e l l e é t u d e a d é j à é t é f o r -

t e m e n t d é v e l o p p é e p a r M . J A E G E R [ 4 ] .

m a i s se h e u r t e d a n s la p l u p a r t d e s c a s à d e g r o s s e s difficultés m a t h é m a t i q u e s ; b) Il c o n v i e n d r a i t d ' é t u d i e r l ' é q u a t i o n ( 3 ; 11)

d ' u n e f a ç o n p l u s a p p r o f o n d i e q u e n o u s l ' a v o n s t'ait i c i ;

e) Il c o n v i e n d r a i t d ' é t u d i e r p l u s e x a c t e m e n t les c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s à i m p o s e r à l ' é q u a - t i o n ( 3 ; 1 1 ) .

N é a n m o i n s , o n v o i t q u e les m a t h é m a t i q u e s c l a s s i q u e s s o n t r a p i d e m e n t i n s u f f i s a n t e s . Il c o n - v i e n d r a i t p r o b a b l e m e n t d ' é t u d i e r n u m é r i q u e m e n t u n c e r t a i n n o m b r e d e p r o b l è m e s e n f a i s a n t v a - r i e r l e s p a r a m è t r e s . Ces é t u d e s n e p e u v e n t m a l h e u r e u s e m e n t ê t r e effectuées q u ' a v e c d e p u i s - s a n t e s m a c h i n e s à c a l c u l e r a r i t h m é t i q u e s .

BIBLIOGRAPHIE

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