ESTIMATION NON-PARAM´ETRIQUE DES QUANTILES EXTRˆEMES CONDITIONNELS

(1)

ESTIMATION NON-PARAM´ ETRIQUE DES QUANTILES EXTRˆ EMES CONDITIONNELS

Thèse présentée par

AlexandreLEKINA

réalisée sous la direction de StéphaneGIRARD&LaurentGARDES Soutenue publiquement le mercredi 13 octobre 2010.

(2)

1 Introduction

En l’absence de covariable En pr´esence de covariable

2 Estimation des courbes de niveaux extrêmes Modèle et méthode d’estimation

Hypoth`eses et r´esultats asymptotiques

Application à l’estimation de l’indice de queue conditionnel Application à l’estimation des quantiles conditionnels très extrêmes

3 Expériences numériques et illustration sur des données réelles Expériences numériques

Estimation des niveaux de retour de pluies dans les C´evennes

4 Conclusions et perspectives Conclusions

(3)

Plan : 2 - Introduction

1 Introduction

2 Estimation des courbes de niveaux extrˆemes

3 Expériences numériques et illustration sur des données réelles

4 Conclusions et perspectives

3 / 44

(4)

Paris Match(Djakarta, mars 2009) : La rupture d’un barrage dans la banlieue de la capitale indonésienne dans la nuit de jeudi à vendredi a entrainé l’inondation d’un quartier résidentiel

(5)

Hypoth`ese

Les précipitations notéesY1, . . . ,Yn sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes et de même loi.

Trouver la hauteur des digues dont la probabilité d’être dépassée par les inondations est proche de zéro ?

0 50 100 150 200 250 300

050100150

Loi empirique des précipitations journalières (mm) à Montpellier entre 1952−2000.

5 / 44

(6)

Probl´ematique : en l’absence de covariable

Partant d’un ´echantillon d’observations ind´ependantes{Yi, i= 1, . . . ,n}.

Estimerles quantités extrêmesqαn associées à une v.aY ∈Rdéfinies par P(Y >qαn) =αn,

quandαn→0lorsquen→ ∞.

Calculerla probabilitéαn d’observer une quantité extrêmeyn définie par

αn

def= P(Y >yn), quandyn→ ∞lorsquen→ ∞.

Vocabulaire

Y est appelée la variable d’intérêt,

(7)

Résultat principal de la théorie des valeurs extrêmes

Th´eor`eme [Fisher and Tippet, 1928,Gnedenko, 1943]

Sous certaines conditions de régularité surla fonction de répartitionF, il existe un paramètre réelγet deux suites(an)n≥1>0et(bn)n≥1∈Rtels que pour touty ∈R,

n→∞lim P

max(Y1, . . . ,Yn)−bn

an

≤y

=Jγ(y), avec

Jγ(y) =

( exph

−(1 +γy)^−1/γi

siγ6= 0

exp [−exp(−y)] siγ= 0 et pour touty tel que 1 +γy>0.

etJγla fonction de répartition de laloi des valeurs extrêmes généralisée.

Vocabulaire et notation

γ est appel´e l’indice de queueou l’indice des valeurs extrˆemes.

7 / 44

(8)

3 domaines d’attraction

SiF vérifie le Théorème [Fisher and Tippet, 1928,Gnedenko, 1943], alors on dit queF appartient audomaine d’attractiondeJγ.

Fr´echet(γ >0) Weibull(γ <0) Gumbel(γ= 0)

Cauchy Uniforme Normale

Pareto Beta Exponentielle

Student Weibull Log-normale

Fr´echet Gamma

Burr Weibullm

Benktander-type I et II

(9)

Plan : 2 - Introduction

1 Introduction

9 / 44

(10)

Exemple 1 : modélisation de données de fiabilité de réacteurs nucléaires

−200 −150 −100 −50 0

406080100120140160

La ténacité de la cuve (verticalement) et la température (horizontalement).

Objectifs :

évaluer la probabilité (très faible) d’apparition de micro fissures dans ses cuves,

évaluer des quantiles de la ténacité en fonction de la température.

(11)

Exemple 2 : Carte des niveaux de retour des pluies dans une r´egion

650 700 750 800 850

1850190019502000

500 1000 1500 2000

Montpellier Privas Mende

Millau Le˙Puy

Nimes Valence

Ales Mt Aigoual

Mt Gerbier Mt Mezenc

Mt Lozere Serre Cx Bauzon

La r´egion des C´evennes-Vivarais et ses alentours.

Horizontalement : longitude (km), verticalement : latitude (km), ´echelle des couleurs : altitude (m), villes (roses), montagnes (triangles), fleuves (lignes grises) et stations d’observations (blancs).

Objectifs :

évaluer la hauteur de pluies horaires ou journalières pouvant être dépassée une fois toutes lesNannées ;

variable d’intérêt→hauteur de pluies, covariable ([bi, tri] dimensionnelle)→ position géographique.

Source: Donn´ees fournies par le Laboratoire des Transferts en Hydrologie et Environnement (LTHE) de Grenoble.

11 / 44

(12)

Probl´ematique : en pr´esence de covariable

Partant d’un ´echantillon d’observations ind´ependantes{(Xi,Yi), i = 1, . . . ,n}

du couple (X,Y).

Y ∈Rest une variable d’intérêt associée à une covariableX (aléatoire).

Estimer desquantiles extrˆemes conditionnelsq(αn|x) d´efinis par P(Y >q(αn|x)|X =x) =αn,

Evaluer´ les petites probabilit´es conditionnellesd´efinies par

αn

def=P(Y >yn|X =x), quandyn→ ∞lorsquen→ ∞.

(13)

Probl´ematique : en pr´esence de covariable

Partant d’un ´echantillon d’observations ind´ependantes{(Xi,Yi), i = 1, . . . ,n}

du couple (X,Y).

Y ∈Rest une variable d’intérêt associée à une covariableX (aléatoire).

Estimer desquantiles extrˆemes conditionnelsq(αn|x) d´efinis par P(Y >q(αn|x)|X =x) =αn,

Evaluer´ les petites probabilit´es conditionnellesd´efinies par

αn

def=P(Y >yn|X =x), quandyn→ ∞lorsquen→ ∞.

Difficult´es

P(Y >yn|X =x) : inconnue, difficile `a estimer quandyn→ ∞.

q(αn|x) est une fonction dex.

12 / 44

(14)

Plan : 3 - Estimation des courbes de niveaux extrˆemes

1 Introduction

(15)

Mod`ele d’´etude

Soit{(Xi,Yi), i= 1, . . . ,n}un ´echantillon d’observations ind´ependantes du couple (X,Y)∈R^p×R.

Estimer∀x∈R^p et∀αn→0, lescourbes de niveaux extrêmesdéfinies comme les graphes de fonctionsx ∈R^p7→q(αn|x)∈Rvérifiant :

F¯(q(αn|x)|x)^def=P(Y >q(αn|x)|X =x) =αn.

On suppose que la loi conditionnelle deY|X =x appartient audomaine d’attraction de Fr´echet,i.e.

F¯(y|x) =y^−1/γ(x)ℓ(y|x),

γ(.) une fonction inconnue et positive de la covariablexappel´ee l’indice de queue conditionnel,

ℓ(.|x) une fonction àvariations lentes(àxfixé) à l’infini,i.e.∀λ >0,

y→∞lim ℓ(λy|x)

ℓ(y|x) = 1.

14 / 44

(16)

M´ethode d’estimation et d´efinition des estimateurs

Estimerle quantile conditionnelen inversant un estimateur de ¯F(.|x),i.e.

ˆ

qn(αn|x)^def= ˆF¯_n^←(αn|x) = infn

t, Fˆ¯n(t|x)≤αn

o.

N´ecessite d’estimer la probabilit´eF(y¯ n|x)lorsqueyn→ ∞(qdn→ ∞).

(17)

M´ethode d’estimation et d´efinition des estimateurs

ˆ

o.

Utiliser les v.a{(Xi,Yi), i= 1, . . . ,n}dont les points d’observationsXi

sont distants au plus dehn>0 du pointx,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

024681012

On se place au pointX=x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

024681012

On fixe le param`etrehn>0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

024681012

On retient les Xi,Yidans laB(x,hn) 15 / 44

(18)

M´ethode d’estimation et d´efinition des estimateurs

ˆ

o.

Attribuer auxYi s´electionn´ees, des poids qui tiennent compte de la distance de leurXi au pointx,

(19)

M´ethode d’estimation et d´efinition des estimateurs

ˆ

o.

Attribuer auxYi s´electionn´ees, des poids qui tiennent compte de la distance de leurXi au pointx,

Estimer ¯F(.|x) par une moyenne pond´er´ee,i.e.

ˆ¯

Fn(yn|x) =

n

X

i=1

K

x−Xi

hn

1{Yi>yn}

, _n X

i=1

K

x−Xi

hn

, [Collomb, 1980]

1{.}est la fonction indicatrice.

Kest une fonction positive, bornée, intégrable et à support compactS⊆R^p. hnest une suite non aléatoire telle quehn→0 quandn→ ∞.

15 / 44

(20)

Plan : 3 - Estimation des courbes de niveaux extrˆemes

1 Introduction

(21)

Hypothèses de régularité

Notations: soitg la densit´e deX, on d´esigne pard(x,x^′) la distance entre deux points (x,x^′)∈R^p×R^p.

Conditions de Lipschitz: il existe des constantesy0>1,cγ>0,cℓ>0 et cg >0 telles que

1 γ(x)− 1

γ(x^′)

≤ cγd(x,x^′),

sup

y≥y0

logℓ(y|x)

logy −logℓ(y|x^′) logy

≤ c_ℓd(x,x^′), g(x)−g(x^′)

≤ cgd(x,x^′).

17 / 44

(22)

Normalit´e asymptotique de ¯ F (y

n

|x)

Th´eor`eme Si de plus,

yn→ ∞tqnh_n^pF¯(yn|x)→ ∞etnh^p+2_n log²(yn) ¯F(yn|x)→0qdn→ ∞, {aj,j= 1, . . . ,J}une suite strictement positive et croissante,

alors, pour toutx ∈R^p tel queg(x)>0, (

q

nh^pnF¯(yn|x) ˆ¯ Fn(ajyn|x)

F¯(ajyn|x) −1

!)

{j=1,...,J}

→ NL

0_RJ,kKk²2

g(x)C(x)

,

o`uC_j,j′(x) =a^1/γ(x)_j∧j′ pour (j,j^′)∈ {1, . . . ,J}².

(23)

Normalit´e asymptotique de ¯ F (y

n

|x)

yn→ ∞tqnh_n^pF¯(yn|x)→ ∞etnh^p+2_n log²(yn) ¯F(yn|x)→0qdn→ ∞, {aj,j= 1, . . . ,J}une suite strictement positive et croissante,

alors, pour toutx ∈R^p tel queg(x)>0, (

q

nh^pnF¯(yn|x) ˆ¯ Fn(ajyn|x)

F¯(ajyn|x) −1

!)

{j=1,...,J}

→ NL

0_RJ,kKk²2

g(x)C(x)

,

o`uC_j,j′(x) =a^1/γ(x)_j∧j′ pour (j,j^′)∈ {1, . . . ,J}².

Remarques sur la variance asymptotique Inversement proportionnelle `anh^pnF¯(yn|x).

Terme additionnel1/F¯(yn|x)→ ∞par rapport au casyn=y bornée où [Berlinet et al., 2001, Théorème 6.3] trouvent ^F^¯^(y|x⁾(¹⁻^F^¯^(y|x))

nh^p_n

kKk²₂ g(x).

18 / 44

(24)

Interpr´etation de la condition nh

^pn

F ¯ (y

n

|x) → ∞

CNS pour qu’il y ait presque sˆurement au moins un point dans la r´egion B(x,hn)×[yn,+∞[∈R^p+1.

Siyn est born´e, alors on retrouve la condition de normalit´e asymptotique classique :nh^p_n→ ∞.

Illustration g´eom´etrique denhp

nF¯(yn|x)→ ∞, avecp= 1

yn

(25)

Interpr´etation de la condition nh

^p+2n

F ¯

n

(y

n

|x) log

²

(y

n

) → 0

Condition pour que le carr´e du biais asymptotique, de l’ordre de (hnlogyn)²,

soit n´egligeable devant la variance asymptotique, de l’ordre de 1

nh^pnF¯(yn|x).

Siyn est born´e, alors on retrouve la condition de normalit´e asymptotique classique :nh^p+2n →0.

20 / 44

(26)

Hypoth`ese sur la fonction ` a variations lentes

Représentation de Karamata: toute fonction à variations lentes peut s’écrire [Bingham et al., 1987, Théorème 1.3.1]

ℓ(y|x) =c(y|x) exp Zy

1

ε(u|x) u du

, avecc(y|x)→c(x)>0etε(y|x)→0quandy → ∞ ℓ(.|x) est normalis´ee,i.e.c(y|x) =c(x).

(27)

Hypoth`ese sur la fonction ` a variations lentes

Représentation de Karamata: toute fonction à variations lentes peut s’écrire [Bingham et al., 1987, Théorème 1.3.1]

ℓ(y|x) =c(y|x) exp Zy

1

ε(u|x) u du

,

avecc(y|x)→c(x)>0etε(y|x)→0quandy → ∞ ℓ(.|x) est normalis´ee,i.e.c(y|x) =c(x).

Cons´equence:∀x ∈R^p, la fonction auxiliaireε(y|x) est d´efinie par

ε(y|x) =yℓ^′(y|x) ℓ(y|x).

21 / 44

(28)

Normalit´e asymptotique de ˆ q

n

(α

n

|x)

αn→0telle quenh^p_nαn→ ∞ etnh^p+2_n αnlog²(αn)→0quandn→ ∞ {τj,j= 1, . . . ,J}une suite strictement positive et d´ecroissante.

Alors, pour tout x∈R^p tel queg(x)>0,

pnh^pnαn

qˆn(τjαn|x) q(τjαn|x) −1

{j=1,...,J}

→ NL

0_RJ, γ²(x)kKk²₂ g(x)Σ

, o`uΣ_j,j^′ = 1/τ_j∧j^′ pour (j,j^′)∈ {1, . . . ,J}².

(29)

Normalit´e asymptotique de ˆ q

n

(α

n

|x)

pnh^pnαn

{j=1,...,J}

→ NL

Remarques sur la variance asymptotique

Inversement proportionnelle `anh^pnαn et proportionnelle `aγ²(x).

Terme additionnel1/αn→ ∞par rapport au casαn=α∈]0,1[ fixé où [Berlinet et al., 2001, Théorème 6.4] trouvent ^α(1−α)_nhp

n kKk²₂

g(x) 1 f²(q(α|x)|x).

22 / 44

(30)

Normalit´e asymptotique de ˆ q

n

(α

n

|x)

pnh^pnαn

{j=1,...,J}

→ NL

Remarques sur l’ordre des quantiles extrˆemes

nh^pα → ∞etnh^p+2α log²(α )→0impliquentα >log^p(n) .

(31)

Plan : 3 - Estimation des courbes de niveaux extrˆemes

1 Introduction

23 / 44

(32)

Application ` a l’estimation de l’indice de queue conditionnel

Soit(βn)n≥1une suite positive telle queβn→0.

1 Estimateur `a noyau de type Pickands: adaptation de l’estimateur de [Pickands, 1975] au cas conditionnel.

ˆ

γ^Pn(x) = 1 log 2log

qˆn(βn|x)−qˆn(2βn|x) ˆ

qn(2βn|x)−qˆn(4βn|x)

.

(33)

Application ` a l’estimation de l’indice de queue conditionnel

Soit(βn)n≥1une suite positive telle queβn→0.

1 Estimateur `a noyau de type Pickands: adaptation de l’estimateur de [Pickands, 1975] au cas conditionnel.

ˆ

γ^Pn(x) = 1 log 2log

qˆn(βn|x)−qˆn(2βn|x) ˆ

qn(2βn|x)−qˆn(4βn|x)

.

2 Estimateur `a noyau de type Hill: adaptation de l’estimateur de [Hill, 1975]

au cas conditionnel.

ˆ γn^H(x) =

J

X

j=1

[log ˆqn(τjβn|x)−log ˆqn(τ1βn|x)]

, _J X

j=1

log (τ1/τj),

avecJ>1 et (τj)j≥1est une suite de poids strictement positive et d´ecroissante.

24 / 44

(34)

Hypoth`eses sur la fonction ` a variations lentes

Rappel: repr´esentation de Karamata quandℓ(.|x) est normalis´ee

ℓ(y|x) =c(x) exp Z y

1

ε(u|x) u du

.

Condition du second ordre: on suppose que|ε(.|x)|est d´ecroissante `a l’infini.

La fonctionε(y|x) représentele terme de biais. Il contrôle la vitesse de convergence des estimateurs en théorie des valeurs extrêmes.

(35)

Normalit´e asymptotique des estimateurs de l’indice de queue conditionnel

Corollaire

Si de plus βn→0tqnh^p_nβn→ ∞,nh^p+2_n βnlog²(βn)→0et

nh^p_nβnε²(q(2βn|x)|x)→0qdn→ ∞, alors pour toutx ∈R^ptqg(x)>0,

pnh^pnβn

γˆn^P(x)−γ(x) _L

→ N

0, γ²(x)(2^2γ(x⁾⁺¹+ 1) 4(log 2)²(2^γ(x)−1)²

kKk²2

g(x)

.

26 / 44

(36)

Normalit´e asymptotique des estimateurs de l’indice de queue conditionnel

Corollaire

Si de plus βn→0tqnh^p_nβn→ ∞,nh^p+2_n βnlog²(βn)→0et

nh^p_nβnε²(q(2βn|x)|x)→0qdn→ ∞, alors pour toutx ∈R^ptqg(x)>0,

pnh^pnβn

γˆn^P(x)−γ(x) _L

→ N

0, γ²(x)(2^2γ(x⁾⁺¹+ 1) 4(log 2)²(2^γ(x)−1)²

kKk²2

g(x)

.

Corollaire

Si de plus βn→0tqnh^pnβn→ ∞,nh^p+2n βnlog²(βn)→0et

nh^p_nβnε²(q(τ1βn|x)|x)→0qdn→ ∞, alors pour toutx ∈R^ptqg(x)>0,

pnh^pnβn

ˆ

γ^Hn(x)−γ(x) _L

→ N

0, γ²(x)kKk²2

g(x)VJ

, o`u

(37)

Deux exemples de suites de poids

La suite de poids harmonique: siτj^Ha= 1/j alors

V_J^Ha=J(J−1)(2J−1)/(6 log²(J!)) est minimum pourJopt^Ha= 9et V₉^Ha≃1.245.

0 10 20 30 40

1.21.41.61.82.02.22.4

27 / 44

(38)

Deux exemples de suites de poids

La suite de poids harmonique: siτj^Ha= 1/j alorsVJ est minimum pour Jopt^Ha= 9etV₉^Ha≃1.245.

La suite géométrique de la balle rebondissante:τj^BR=b^2j où0<b<1. Si b= 8/9 alorsVJ est minimum pourJopt^BR = 11 etV_J^BR_opt ≃1.141.

1.61.82.02.22.4

(39)

Plan : 3 - Estimation des courbes de niveaux extrˆemes

1 Introduction

28 / 44

(40)

Application ` a l’estimation des quantiles conditionnels tr`es extrˆemes

Estimateur `a noyau de type Weissman: adaptation de l’estimateur de [Weissman, 1978] au cas conditionnel.

ˆ

q^W_n (αn|x) = ˆqn(βn|x)(αn/βn)^−ˆ^γⁿ^(x),

avec ˆ

qn(βn|x) l’estimateur à noyau précédent, ˆ

γn(x) est un estimateur de l’indice de queue conditionnel, (αn/βn)^−ˆ^γⁿ^(x⁾permet d’extrapoler.

(41)

Normalit´e asymptotique de l’estimateur ` a noyau de Weissman

Th´eor`eme Si de plus

βn→0tqnh^p_nβn→ ∞etnh^p+2_n βnlog²(βn)→0.

αn/βn→0.

pnhn^pβn(ˆγn(x)−γ(x))→ N^L 0,v²(x)

avecv(x)>0.

Alors pour toutx∈R^p tel queg(x)>0, pnh^pnβn

log (βn/αn)

qˆ^W_n (αn|x) q(αn|x) −1

L

→ N

0,v²(x) .

Au delà du Théorème

La loi limite de ˆqn^W(.|x) peut d´ependre du comportement de ˆqn(.|x).

30 / 44

(42)

Plan : 4 - Expériences numériques et illustration sur des données réelles

1 Introduction

(43)

Exp´eriences num´eriques

On génèrem= 100réplications d’un échantillon{(Xi,Yi),i = 1, . . . ,n}de taillen= 1000suivant le modèleX ∼U[0,1]etY|X =x est distribué selon une loi deFréchet,i.e.

F¯(y|x) = 1−exp

−y^−1/γ(x) , avecγ(x) = 1

2 1

10+ sin (πx) 11 10−1

2exp

−64 (x−1/2)² .

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.10.20.30.40.5

x

γ(x)

32 / 44

(44)

Exp´eriences num´eriques

On génèrem= 100réplications d’un échantillon{(Xi,Yi),i = 1, . . . ,n}de taillen= 1000suivant le modèleX ∼U[0,1]etY|X =x est distribué selon une loi deFréchet,i.e.

F¯(y|x) = 1−exp

−y^−1/γ(x) , avecγ(x) = 1

2 1

10+ sin (πx) 11 10−1

2exp

−64 (x−1/2)² .

But: estimer le quantile extrˆeme conditionnel

q(αn|x) = (−log(1−αn))^−γ(x)d’ordreαn∈ {5 log(n)/n,1/2n}.

On utilise unnoyau bi-quadratique

K(x) =15 16

1−x²2

1{|x|≤1}.

(45)

Exp´eriences num´eriques : l’estimateur ˆ q

n

(α

n

|x)

Choix du param`etre de lissage

Validation crois´ee:

ˆhcv= arg min

hn∈H n

X

i=1 n

X

j=1

n

1{Yi≥Yj}−Fˆ¯n,−i(Yj|Xi)o2

, [Yao, 1999]

ˆ¯

F_n,−i est l’estimateur à noyau calculé sur l’échantillon {(Xℓ,Y_ℓ),1≤ℓ≤n, ℓ6=i}.

33 / 44

(46)

Exp´eriences num´eriques : l’estimateur ˆ q

n

(α

n

|x)

Choix du param`etre de lissage

Validation crois´ee:

ˆhcv= arg min

hn∈H n

X

i=1 n

X

j=1

n

1{Yi≥Yj}−Fˆ¯n,−i(Yj|Xi)o2

, [Yao, 1999]

ˆ¯

F_n,−i est l’estimateur à noyau calculé sur l’échantillon {(Xℓ,Y_ℓ),1≤ℓ≤n, ℓ6=i}.

Strat´egie Oracle:

hˆoracle= arg min

h_n∈HD(ˆqn(αn|.),q(αn|.)), avec

D(u,v) = ( _L

X(u(tℓ)−v(tℓ))² )1/2

.

(47)

Exp´eriences num´eriques : l’estimateur ˆ q

n

(α

n

|x).

Oracle : transparent – Validation crois´ee : gris

Histogramme des erreurs calcul´ees surN= 100 r´eplications.

0 2 4 6 8 10 12 14

0.00.10.20.30.4

34 / 44

(48)

Exp´eriences num´eriques : l’estimateur ˆ q

^W_n

(α

n

|x)

Choix des param`etreshnetβn

Dans la suite de ces exp´eriences,

ˆ

qn^W(αn|x) = ˆqn(βn|x) (αn/βn)^−ˆ^γ^Hⁿ^(x⁾.

Approche pr´econis´ee:

(1) Choisirhnpar le critère devalidation croiséeprécédent,

(2) Estimerβnen mesurant lasimilarit´eentre deux estimateurs de quantiles,i.e.

βˆ_1,2= arg min

βn∈]0,1]D

ˆ

q^W_n,1(αn|.),qˆ^W_n,2(αn|.) ,

qˆ_n,1^W(αn|.) construit avecτ_j^Ha= 1/jo`uJ_opt^Ha= 9.

ˆ

q_n,2^W(αn|.) construit avecτ_j^BR= (8/9)^2jo`uJ_opt^BR= 11.

(49)

Exp´eriences num´eriques : l’estimateur ˆ q

^W_n

(α

n

|x)

Choix des param`etreshnetβn

Dans la suite de ces exp´eriences,

ˆ

qn^W(αn|x) = ˆqn(βn|x) (αn/βn)^−ˆ^γ^Hⁿ^(x⁾.

Approche pr´econis´ee:

(1) Choisirhnpar le critère devalidation croiséeprécédent,

(2) Estimerβnen mesurant lasimilarit´eentre deux estimateurs de quantiles,i.e.

βˆ_1,2= arg min

βn∈]0,1]D

ˆ

q^W_n,1(αn|.),qˆ^W_n,2(αn|.) ,

qˆ_n,1^W(αn|.) construit avecτ_j^Ha= 1/jo`uJ_opt^Ha= 9.

ˆ

q_n,2^W(αn|.) construit avecτ_j^BR= (8/9)^2jo`uJ_opt^BR= 11.

Stratégie Oracle: hî,oracle,βî,oracle

= arg min

hn∈H,βn∈]0,1]D ˆ

q^W_n,i(αn|.),q(αn|.) , aveci = 1,2. Dans la suitei = 1.

35 / 44

(50)

Exp´eriences num´eriques : estimation du quantile d’ordre α

n

= 5 log(n)/n.

— ˆqn(αn|.): validation crois´ee— ˆqn(αn|.) : oracle— ˆq^W_n,1(αn|.) : oracle

Estimateurs m´edians

0123

(51)

Exp´eriences num´eriques : estimation du quantile d’ordre α

n

= 1/2n.

— ˆq_n,1^W(αn|.): validation crois´ee + similarit´e— ˆq^W_n,1(αn|.): oracle

Estimateurs m´edians

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−101234

37 / 44

(52)

Plan : 4 - Expériences numériques et illustration sur des données réelles

1 Introduction

(53)

Estimation des niveaux retour de pluies (en mm) dans les C´evennes

Horizontalement : longitude (km), verticalement : latitude (km), échelle des couleurs : altitude (m), losanges roses : villes, triangles : montagnes, lignes grises : cours d’eaux, losanges blancs : 225 stations de Météo France.

La r´egion des C´evennes-Vivarais et ses alentours

650 700 750 800 850

1850190019502000

500 1000 1500 2000

Millau Le˙Puy

Nimes Valence

Ales Mt Aigoual

Estimer leniveau de retoursur 100 ans, i.e.le quantile des pr´ecipitations journali`eres d’ordre1/(365×100).

39 / 44

(54)

Estimation des niveaux retour de pluies (en mm) dans les C´evennes

190019502000

1000 1500 2000 Privas

Mende

Millau Le˙Puy

Nimes Valence

Ales Mt Aigoual

Pourquoi ?

Construire des digues d’une hauteur appropri´ee,

op´erations de nettoyage des fleuves.

(55)

Estimation des niveaux retour de pluies (en mm) dans les C´evennes

650 700 750 800 850

1850190019502000

500 1000 1500 2000

Millau Le˙Puy

Nimes Valence

Ales Mt Aigoual

Pourquoi ?

Construire des digues d’une hauteur appropri´ee,

op´erations de nettoyage des fleuves.

n= 821925 observations

Noyau uniformeK(x) =1{|x|≤1}.

39 / 44

(56)

Estimation des niveaux retour de pluies (en mm) dans les C´evennes

Niveaux de retour journalier (mm) sur 100 ans en fonction de la longitude et de la latitude

1850190019502000

100 150 200 250 300 350

Millau

Le˙Puy

Nimes Valence

Ales Mt Aigoual

Voir [Molini´e et al., 2008] pour une comparaison.

(57)

Plan : 5 - Conclusions et perspectives

1 Introduction

Perspectives

41 / 44

(58)

Conclusions

Trois contributions

Lorsque la loi conditionnelle deY en un pointx de la covariableX appartient au domaine d’attraction de Fr´echet.

(1/3) X ∈R^pal´eatoire, voir la pr´esentation.

Contribution: Kernel estimators of extreme level curves.TEST. `A paraˆıtre. En collaboration avecA. Daouia, L. Gardes et S. Girard.

(2/3) X d´eterministe et de dimension non-n´ecessairement finie.

Contribution: Functional nonparametric estimation of conditional extreme quantiles.Journal of Multivariate Analysis, 101, 419–433, 2010.

En collaboration avecLaurent Gardes et St´ephane Girard.

Lorsque la loi deY appartient au domaine d’attraction de Fr´echet.

(59)

Plan : 5 - Conclusions et perspectives

1 Introduction

Perspectives

43 / 44

(60)

Perspectives

A court terme`

1 Normalité asymptotique de nos estimateurs dans le cas des données α-mélangeantes.

2 Etendre ces r´esultats aux autres domaines d’attractions.´

3 Adapter d’autres estimateurs existants de l’indice de queue au cadre conditionnel.

4 Proposer de nouveaux estimateurs `a noyau (ou double noyau) de l’indice de queue et des quantiles extrˆemes conditionnels dans le cadre fonctionnel.

(61)

Perspectives

A court terme`

1 Normalité asymptotique de nos estimateurs dans le cas des données α-mélangeantes.

2 Etendre ces r´esultats aux autres domaines d’attractions.´

3 Adapter d’autres estimateurs existants de l’indice de queue au cadre conditionnel.

4 Proposer de nouveaux estimateurs `a noyau (ou double noyau) de l’indice de queue et des quantiles extrˆemes conditionnels dans le cadre fonctionnel.

A moyen terme`

1 Affiner les critères de sélection des paramètresβn ethn.

A long terme`

1 Convergence en processus des estimateurs de l’indice de queue et des quantiles extrˆemes conditionnels.

44 / 44

(62)

Annexe

Exp´eriences num´eriques : estimation du quantile d’ordreαn= 5 log(n)/n.

Estimateurs correspondants au 9`eme d´ecile de l’erreur de l’erreur D

0123

(63)

Annexe

Exp´eriences num´eriques : estimation du quantile d’ordreαn= 5 log(n)/n.

Estimateurs correspondants au 1er d´ecile de l’erreurD.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−10123

(64)

Annexe

Exp´eriences num´eriques : estimation du quantile d’ordreαn= 1/2n.

Estimateurs correspondants au 9`eme d´ecile de l’erreur de l’erreur D.

1234

(65)

Annexe

Exp´eriences num´eriques : estimation du quantile d’ordreαn= 1/2n.

Estimateurs correspondants au 1er d´ecile de l’erreurD

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−101234

(66)

Bibliographie I

Berlinet, A., Gannoun, A., and Matzner-Lober, E. (2001).

Asymptotic normality of convergent estimates of conditional quantiles.

Statistics, 18 :1400–1415.

Bingham, N. H., Goldie, C. M., and Teugels, J. L. (1987).

Regular Variation, volume 27.

Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press.

Collomb, G. (1980).

Estimation non param´etrique de probabilit´es conditionnelles.

Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences, 291 :427–430.

Fisher, R. and Tippet, L. (1928).

Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample.

Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 24 :180–190.

(67)

Bibliographie II

Hill, B. (1975).

A simple general approach to inference about the tail of a distribution.

Annals of Statistics, 3(5) :1163–1174.

Molini´e, G., Yates, E., Ceresetti, D., Anquetin, S., Boudevillain, B., Creutin, J., and Bois, P. (2008).

Rainfall regimes in a mountainous mediterranean region : Statistical analysis at short time steps.

Article soumis.

Pickands, J. (1975).

Statistical inference using extreme order statistics.

Annals of Statistics, 3(1) :119–131.

Weissman, I. (1978).

Estimation of parameters and large quantiles based on thek-largest observations.

Journal of the American Statistical Association, 73(364) :812–815.

(68)

Bibliographie III

Yao, Q. (1999).

Conditional predictive regions for stochastic processes.

Technical report, University of Kent at Canterbury.