Chapitre III MECANIQUE NON LINEAIRE DE LA RUPTURE

Chapitre III MECANIQUE NON LINEAIRE DE LA RUPTURE

La mécanique linéaire de la rupture (MLR) demeure une approche valable tant que le comportement du matériau est élastique et linéaire, mais aussi lorsque la plastification à fond de fissure reste confinée dans une zone de faible taille par rapport aux dimensions des fissures et de celles de la structure fissurée. Il est quasiment impossible dans beaucoup de matériaux de respecter les deux conditions précédentes et de décrire le comportement avec la MLR. Une approche alternative s’avère nécessaire pour ces matériaux.

La mécanique élasto-plastique de la rupture (MEPR) ou mécanique non linéaire de la rupture (MNLR) s’applique au matériaux ductiles lorsque le comportement reste toutefois indépendant du temps (pas d’effets dynamiques ou de viscosité, absence de fluage…).

Comme pour la MLR, où deux paramètres équivalents (K et G) peuvent être utilisés comme critère de rupture, deux paramètres caractéristiques de la MEPR sont présentés dans ce chapitre. Nous verrons que ces deux paramètres - le déplacement à fond de fissure ou CTOD (Crack Tip Opening Displacement) et l’intégrale de contour notée J - sont aussi équivalents entre eux. Ils décrivent tous les deux, les conditions à l’extrémité d’une fissure (champs de contraintes et de déplacements) et peuvent être utilisés comme critère de rupture. Les valeurs critiques de J et du CTOD conduisent à des valeurs de la ténacité des matériaux à peu près indépendantes de la géométrie des structures, même lorsque la plastification à l’extrémité des fissures est importante. On verra également dans quelles conditions on atteint les limites de ces approches à paramètre descriptif unique (J ou CTOD).

III.1ECARTEMENT A FOND DE FISSURE (CTOD)

On s’est rendu compte dès le début des années 60, qu’il était difficile de caractériser avec la seule MLR, la ténacité de certains matériaux tels que les aciers de structure. Les matériaux étaient élaborés en recherchant une plus forte ténacité mais les concepts existants de la MLR (K ou G) n’étaient pas applicables à cette classe de matériaux comme l’ont montré les essais expérimentaux de Wells. L’émoussement de l’extrémité des fissures fut la principale observation expérimentale de Wells. La figure III.1 illustre la différence de comportement entre une fissure élastique et une fissure dont l’extrémité s’émousse du fait de l’écoulement plastique.

Wells observa que l’émoussement de l’extrémité des fissures augmentait avec la ténacité des matériaux. Cela l’a conduit à proposer l’écartement à fond de fissure comme mesure de la ténacité. Ce paramètre est connu aujourd’hui sous le nom de CTOD.

a) Fissure élastique b) Emoussement de l’extrémité Figure III.1 : Comparaison de l’ouverture d’une fissure élastique (a) et

d’une fissure dont l’extrémité s’émousse (b).

L’analyse proposée par Wells tente de relier le CTOD au FIC K lorsqu’on est en régime de plasticité confinée. Pour examiner cette approche on va considérer une fissure avec une faible zone plastifiée comme indiqué sur la figure III.2. Irwin montra qu’une telle fissure se comporte comme si elle était effectivement plus longue du fait de l’écoulement plastique à fond de fissure. On peut alors estimer le CTOD en augmentant la longueur de fissure de r_y, la correction de zone plastifiée. Le CTOD est pris égal à l’ouverture de la fissure à la distance ry en amont de l’extrémité ; le déplacement à cette distance est estimé à partir de la MLR qui prévoit en mode I :

u K r

y I

==== ++++ y ==== −−−−

==== −−−− ++++

RS T

κ

µ π

κ υ

κ υ υ

1

2 2

3 4

3 1

avec en DP en CP

( ) / ( ) ^III.1 La longueur effective de fissure est a+ ry avec ry le rayon de zone plastifiée calculé d’après l’approche d’Irwin :

r K

y

I E

====

F

HG I

1

KJ

2

2

π σ

^III.2

En combinant les 2 relations précédentes, on trouve :

δ

^{====2 ====}

π σ

4 ²

u K

y E

I E

III.3

Figure III.2 : Estimation du CTOD à partir du déplacement à la distance r_y en amont de l’extrémité d’une fissure de longueur a + ry.

δ

est le CTOD ou écartement à fond de fissure. Le CTOD peut être relié au taux de restitution d’énergie G en utilisant la relation liant G au FIC K. En contraintes planes, on a :

G K

E

I G

E

==== ² ⇒⇒⇒⇒ ==== 4

δ π σ

^III.4

Ainsi, lorsqu’on est en régime de plasticité confinée où la MLR s’applique, le CTOD est relié à G et au FIC KI. Wells postula alors que le CTOD est un paramètre approprié pour caractériser le comportement à l’extrémité d’une fissure lorsqu’on atteint les limites d’application de la MLR. Cette hypothèse s’est avérée correcte quelques années plus tard lorsqu’on établit une relation unique entre le CTOD et l’intégrale de contour J introduite par Rice (§ III.2).

Le modèle de Dugdale-Barenblatt peut aussi être utilisé pour estimer le CTOD (figure III.3).

Figure III.3 : Estimation du CTOD à partir du modèle de Dugdale-Barenblatt

CTOD=2u_y

ry

−−−−σE

CTOD

L’ouverture de la fissure au début de la zone où les contraintes de compression

σ

E

s’exercent, correspond au CTOD

δ

dans ce modèle qui s’exprime par (annexe B) :

δ σ

π π σ

==== −−−−

F σ

HG I

F KJ

HG I

KJ

∞∞

∞∞

8

2

E

E

a

E Log cos III.5

Le développement limité au voisinage de 0 de l’équation précédente donne :

cos

π σ

σ π σ

σ π σ

σ

2 1 1

2 2

1 4 2

2 4

∞∞∞

∞ ∞∞∞∞ ∞∞∞∞

F HG I

KJ

^{==== −−−−}

F

HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

F

HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

E E E

…

δ σ

π π σ

σ π σ

σ σ π σ

====

F σ

HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

F

HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

L N M

M O

Q P

P

^{==== ++++}

F

HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

L N M

M O

Q P P

∞∞

∞∞ ∞∞∞∞ ∞∞∞∞

8 1

2 2

1

12 2 1 1

6 2

2 4 2 2

E

E E

I

E E

a E

K E

… …

En considérant uniquement le premier terme, on a :

δ

⁼⁼⁼⁼

σ

K E

I E

2

III.6

La relation III.6 diffère peu de la relation III.3 (le terme 4/π est remplacé par 1).

Le modèle de Dugdale-Barenblatt suppose un état de contraintes planes et un matériau élastique-plastique parfait c’est à dire sans consolidation. La relation plus générale entre le CTOD

δ

et le FIC KI est de la forme :

δ

⁼⁼⁼⁼

σ

⁼⁼⁼⁼

σ

K

m E

G m

I

E E

2

III.7

Où m est un coefficient sans dimension qui vaut à peu près 1 en contraintes planes et 2 en déformations planes.

Plusieurs définitions ont été proposées pour le CTOD. Les deux définitions les plus communément utilisées sont représentées sur la figure III.4. La première utilise le déplacement à l’extrémité de la fissure initiale c’est à dire de longueur non corrigée (figure III.4a). La seconde définition, illustrée sur la figure III.4b, considère le déplacement à l’intersection des deux cotés d’un angle droit issu du fond de la fissure émoussée. Cette dernière définition, couramment utilisée dans les calculs par la MEF, a été suggérée par Rice. On peut noter que les deux définitions sont équivalentes lorsque l’émoussement de l’extrémité de la fissure est de forme semi-circulaire.

a) Déplacement à l’extrémité initiale b) Déplacement à l’intersection d’angle droit Figure III.4 : Définitions du CTOD

L’écartement à fond de fissure (ou CTOD) est une grandeur locale difficilement accessible directement. La plupart des mesures en laboratoire utilisent des éprouvettes de flexion 3 points. Lorsqu’elles sont fissurées, ces éprouvettes tournent autour d’un point (centre de rotation) qui demeure à peu près fixe tout au long du chargement.

Figure III.5 : Modèle à centre de rotation (

.

) fixe pour la mesure du CTOD.

En considérant les relations entre triangles semblables, on obtient :

δ δ

r L a

V

r L a a

r L a V r L a a

( ) ( )

( )

( )

−−−− ====

−−−− ++++ ⇒⇒⇒⇒ ==== −−−−

−−−− ++++

L

a V

V

δ

^a r(L-a)

Où V est l’ouverture de la fissure et r est le facteur de rotation compris entre 0 et 1.

Le modèle à centre de rotation fixe a été ensuite amélioré pour tenir compte du déplacement élastique qui précède l’émoussement de l’extrémité de la fissure. Les méthodes standards de détermination du CTOD séparent les déplacements élastique et plastique. La figure III.6 montre un exemple type d’enregistrement de la charge en fonction de l’ouverture V de la fissure.

Figure III.6 : Enregistrement type de la charge en fonction de l’ouverture de la fissure

Le CTOD

δ

est ainsi séparé en deux composantes :

δ δ δ

==== ++++ ====

σ

++++ −−−−

−−−− ++++

el P

I E

P P

P

K

m E

r L a V

r L a a

2 ( )

( ) III.8

Le facteur de rotation plastique rP dans les procédures standards est pris égal à 0,44.

III.2INTEGRALE J

L’intégrale de contour J utilisée comme paramètre caractéristique de l’état de contrainte au voisinage de l’extrémité d’une fissure dans les matériaux dont le comportement est non linéaire, a connu un grand succès. Rice qui proposa ce paramètre, assimile le comportement élasto-plastique à un comportement élastique non linéaire. L’approche de Rice qui repose sur une telle hypothèse doit être utilisée avec précaution lorsqu’on a des décharges élastiques par exemple. La figure III.7 illustre la différence de comportement entre un matériau élasto-plastique et un matériau élastique non linéaire. Lors de la décharge, le chemin suivi par le matériau élastique non linéaire est différent du chemin réel que l’on observe dans les matériaux élasto-plastiques. Une relation unique lie la contrainte et la déformation dans un matériau élastique, linéaire ou non, mais une déformation donnée dans un matériau élasto-plastique peut correspondre à plusieurs

Ouverture V de la fissure Charge

VP

contraintes si le matériau est déchargé ou soumis à des sollicitations cycliques. Il est donc plus aisé de considérer un matériau élastique qu’un matériau où les déformations sont irréversibles.

Figure III.7 : Comportement élastique non linéaire et comportement réel

On voit bien sur la figure III.7 que les deux matériaux donnent la même réponse tant que les contraintes augmentent de façon monotone. Cette réponse peut cependant ne pas être la même lorsqu’on traite des problèmes 3D, mais dans beaucoup de cas l’assimilation des deux réponses constitue une hypothèse acceptable. Ainsi donc l’analyse qui suppose un comportement élastique non linéaire, peut être valable pour un matériau élasto- plastique en l’absence de décharges. La théorie de la déformation de la plasticité qui propose une relation unique entre les déformations totales et les contraintes dans un matériau, est équivalente à l’élasticité non linéaire.

Rice a appliqué la théorie de la déformation pour analyser un solide fissuré. Il a démontré que le taux de restitution d’énergie non linéaire noté J, peut être déterminé à partir d’une intégrale de contour indépendante du contour d’intégration. Hutchinson, Rice et Rosengreen ont ensuite montré que ce paramètre J caractérise de façon unique les champs de contraintes et de déformations au voisinage de l’extrémité d’une fissure dans un matériau non linéaire. L’intégrale J peut donc être considérée à la fois comme un paramètre d’énergie et un paramètre d’intensité des contraintes, comme en MLR où le FIC K et l’énergie de Griffith G sont deux paramètres qui décrivent de manière équivalente la répartition des contraintes.

III.2.1 Taux de restitution d’énergie non linéaire

Rice, en proposant l’intégrale J pour analyser les solides fissurés, montra que la valeur de cette intégrale est égale au taux de restitution d’énergie dans un matériau non

Déformation Contrainte

Décharge dans un Matériau élasto-plastique Matériau élastique

non linéaire

linéaire. Pour bien comprendre la signification de ce paramètre, on va considérer comme au chapitre II, les variations d'énergie qui accompagnent une extension

∆

a d’une fissure dans un solide :

∆W_ext ==== ∆W_elast. ++++∆U III.9

où l'énergie ∆U dépensée lors de la propagation de la fissure sur la longueur

∆

^{a, se} compose de l’énergie de séparation des surfaces ∆Wsép et de l’énergie de plastification

∆W_plas :

∆U ==== ∆W_sép ++++∆W_plas

La figure III.8 représente la variation de la force lors de la propagation à déplacement imposé par exemple. Le cas du chargement à force imposée se traite tout aussi simplement.

Figure III.8 : Variation de la force lors de la propagation, à déplacement imposé, d’une fissure dans un matériau non linéaire.

L’aire hachurée de la figure III.8 correspond à l’énergie de propagation

∆

U, c’est à dire la différence entre l’énergie fournie et l’énergie élastique restituée après propagation de la fissure sur une longueur

∆

^a.

Le paramètre J est défini pour une structure d’épaisseur e=1, par :

J U

a a Fdx F

a dx

x

x x

x

x

==== ∂∂∂∂

F

∂∂∂∂

HG I

KJ

==== −−−− ∂∂∂∂

F

∂∂∂∂

HG I

KJ

^{==== −−−−}

F

^∂∂∂∂_∂∂∂∂

HG I

z

⁰

z

⁰

KJ

^III.10

F

^{x x} Propagation a

a+

∆∆∆∆

^a

Le signe moins provient du fait que l’énergie U correspond à l’aire sous la courbe (F, x) comptée négativement de sorte que lorsque la longueur de fissure augmente on a une variation positive de cette énergie.

Dans le cas d’un matériau linéaire, J G K E

==== ==== I²

' , où G est l’énergie de Griffith et E’=E en contraintes planes ou E E

'====

−−−−

1 υ² en déformations planes.

III.2.2 L’intégrale J, paramètre indépendant du contour d’intégration Le paramètre J est défini (annexe B) à partir de l’intégrale de contour suivante :

J wdy T u

x ds

i

==== −−−− ∂∂∂∂ i

F

∂∂∂∂

HG I

z KJ

Γ

III.11

où

Γ

est un contour d’intégration entourant l’extrémité de la fissure (figure III.9), ds l’élément de longueur sur

Γ

^{, T}i et ui les composantes du vecteur contrainte et du vecteur déplacement en un point de

Γ

. La densité d’énergie de déformation w est définie quant à elle par :

w====

z

^0εij

^{σ ε}

_ijd _ij ^III.12 où

σ

ij et

ε

ij sont les composantes des tenseurs de contraintes et de déformations au point courant sur le contour

Γ

^.

Figure III.9 : Contour arbitraire autour de l’extrémité d’une fissure

III.2.3 L’intégrale J, paramètre d’intensité des contraintes

Hutchinson, Rice et Rosengren (HRR) ont montré que le paramètre J caractérise les champs de contraintes et de déformations (champs HRR) à l’extrémité d’une fissure

x y

ΓΓΓΓ

dans un matériau non linéaire. Pour décrire la loi de comportement, ils utilisent la relation de Ramberg-Osgood :

ε ε ε σ α σ σ

==== ++++ ==== ++++

F σ

HG I

KJ

e p

E E

n

E E III.13

où

σ

E est la limite d’élasticité et n un exposant d’écrouissage supérieur à 1.

Hutchinson, Rice et Rosengren montrent que le produit contrainte.déformation varie comme 1/r près de l’extrémité d’une fissure. Par ailleurs pour n=1, c’est à dire dans le cas d’un matériau linéaire élastique, on doit retrouver une singularité en 1 / r prévue par la MLR. Dans la zone très proche de l’extrémité de la fissure, les déformations élastiques étant faibles comparées aux déformations plastiques, les deux conditions précédentes entraînent :

σ ε

ij

n

ij

n n

k J r k J r

====

F HG I

KJ

====

F HG I

KJ R

S ||

T |

|

++++

++++

1 1

1

2

1

III.14

où k1 et k2 sont des constantes.

Les calculs plus précis montrent que le champ HRR donné par la relation précédente, s’écrit :

σ σ

ασ σ θ

ε ασ

ασ ε θ

ij E

E n n

ij

ij

E

E n n n

ij

EJ

I r n

E

EJ

I r n

====

F

HG I

KJ

====

F

HG I

KJ R

S

| ||

T

| ||

++++

++++

2

1 1

2

1

~ ( , )

~ ( , )

III.15

où I_n est une constante d’intégration qui dépend de n, ~

σ

ij et ~

ε

ij des fonctions addimensionnelles de n et

θ

^.

L’intégrale J définit donc l’amplitude de la singularité HRR, comme le FIC K définit la singularité 1 / r en MLR. On a ainsi en régime de plasticité confinée deux zones au voisinage de l’extrémité d’une fissure dominées par des singularités : une singularité en 1 / r pour la zone élastique et une singularité en 1

1

/ rⁿ⁺⁺⁺⁺1 dans la zone plastifiée.

III.2.4 Zone de grandes déformations à l’extrémité d’une fissure

La singularité HRR présente la même anomalie que la singularité de la MLR : toutes les deux prédisent des contraintes infinies lorsque r→→→→0 . Le champ singulier dominant dans une zone près de l’extrémité d’une fissure, ne persiste pas en fait à l’extrémité même de la fissure où les grandes déformations qui se développent causent un émoussement de la fissure, ce qui réduit la triaxialité des contraintes. Les lèvres de la fissure étant libres, on a σx ====0 quand r→→→→0.

L’analyse qui conduit à la singularité du champ HRR ne considère pas l’effet de l’émoussement de l’extrémité de la fissure sur le champ de contraintes, et ne prend pas en compte non plus les grandes déformations qui se développent près de l’extrémité de la fissure. Cette analyse s’appuie sur la théorie des petites déformations, qui reste valable lorsque les déformations plastiques n’excèdent pas 10%.

Les premiers calculs par éléments finis effectués par McMecking et Parks utilisant une théorie des grandes déformations montrent que le champ HRR des contraintes ne peut plus décrire la répartition des contraintes à l’extrémité d’une fissure lorsqu’on s’approche à une distance inférieure à 2.CTOD de l’extrémité. La figure III.10 compare schématiquement le champ HRR aux résultats des calculs par éléments finis.

Figure III.10 : Champ HRR et résultats de calculs par la MEF

Cette défaillance du champ HRR à décrire la répartition des contraintes lorsqu’on est trop près de l’extrémité d’une fissure conduit à se poser la même question sur cette approche que sur les limites de la MLR lors du chapitre précédent. Peut-on utiliser l’intégrale J comme critère de rupture compte tenu de l’émoussement de l’extrémité d’une fissure ? La réponse est similaire à celle du chapitre précédent. Tant qu’il existe une région entourant l’extrémité de la fissure où le champ des contraintes est

x

σ σ

y E

4

2.CTOD

Champ HRR

Calculs par la MEF

correctement décrit par les équations III.15, l’intégrale J caractérise de façon unique ce champ et peut alors être utilisée pour quantifier la ténacité.

III.2.5 Méthodologie de mesure de l’intégrale J

Tant que le comportement du matériau est linéaire, l’intégrale J correspond à l’énergie de Griffith qui est directement reliée au FIC K lui même proportionnel à la charge appliquée et pouvant être calculé à partir des conditions de chargement et de la taille de la fissure.

Les choses se compliquent lorsque le comportement est non linéaire. Le principe de superposition n’est plus vérifié et l’intégrale J n’est plus proportionnelle à la charge appliquée. Aussi il n’existe pas de relation simple entre J, la charge appliquée et la taille de la fissure.

Une manière de déterminer J consiste à appliquer la définition de cette intégrale, donnée par la relation III.11, à la configuration de chargement. Les premières mesures de l’intégrale J sur des plaques fissurées, utilisaient un ensemble de jauges de déformations collées sur un contour entourant la fissure. Comme l’intégrale J est indépendante du contour d’intégration, on choisissait un contour de collage des jauges de telle sorte que les mesures soient le plus simples possible. Cette méthode était également utilisée pour les calculs par éléments finis où l’on détermine les contraintes, les déformations et les déplacement le long d’un contour généralement circulaire pour ensuite calculer l’intégrale J à partir de la relation III.11. Les approches numériques modernes utilisent toutefois une extension virtuelle de la fissure qui donne des résultats plus précis.

Cependant cette méthode de contour est impraticable dans beaucoup de cas.

L’instrumentation requise est coûteuse et elle devient acrobatique lorsque les structures sont complexes. La méthode beaucoup plus appliquée actuellement utilise la définition du paramètre J donnée par la relation III.10. La figure III.11 décrit le principe de cette approche.

A partir d’une série d’éprouvettes de même géométrie et de même taille, on introduit des fissures de différentes longueurs, obtenues généralement par essais de fatigue. Les variations de la force appliquée F avec le déplacement ∆ sont ensuite enregistrées pour les différentes longueurs de fissure. On trace à partir de ces enregistrements à ∆ fixé, l’énergie U, c’est à dire l’aire sous la courbe (F,∆) comptée négativement, en fonction de la longueur de fissure a. De ces tracés on déduit la pente des courbes qui correspond à la valeur de l’intégrale J donnée, pour des éprouvettes d’épaisseur e, par :

J e U

==== ∂∂∂∂a

F

∂∂∂∂

HG I

1

KJ

∆

III.16

La dernière courbe obtenue sur la figure III.11 est une courbe de calibration qui s’applique au matériau, à la géométrie et à la taille des éprouvettes pour lesquels elle a était déterminée. Cette méthodologie expérimentale nécessite donc un grand nombre

d’éprouvettes pour déterminer le paramètre J dans différentes configurations de chargement.

Rice a montré qu’il était possible de déterminer l’intégrale J dans certains cas, à partir d’un seul enregistrement de la variation de la force F avec le déplacement ∆. Il utilise pour cela l’analyse dimensionnelle en mécanique de la rupture, introduite dans le chapitre I.

Figure III.11 : Détermination expérimentale du paramètre J

Exemple

Considérons une plaque, doublement fissurée et sollicitée en traction (figure III.12).

∆∆∆∆

a F

F

∆∆∆∆

∆∆∆∆1111 ∆∆∆∆2222 ∆∆∆∆3333 ∆∆∆∆4444 a₁₁₁₁ a₂₂₂₂ a₃₃₃₃ a₄₄₄₄ a1<a2<a3<a4

-U

a -U ∆∆∆∆1

∆∆∆∆2

∆∆∆∆3

∆∆∆∆4

−−−−dU da a1

a2

a3

a4

∆∆∆∆

J

L’intégrale J est définie par J U A _F

==== ∂∂∂∂

F

∂∂∂∂

HG I

KJ

^{avec dA====2eda==== −−−−2edb} et pour une épaisseur unité on a alors :

J a dF

b dF

F F

F

==== ∂∂∂∂ F

F

∂∂∂∂

HG I

KJ

^{==== −−−−}

F

^∂∂∂∂∂∂∂∂

HG I

z z KJ

1 2

1 2

0 0

∆ ∆

III.17

Figure III.12 : Plaque doublement fissurée

Pour calculer J, il est nécessaire de connaître la relation entre la charge F, le déplacement ∆ et les dimensions de la plaque. Si le comportement du matériau est décrit par la loi de Ramberg-Osgood, l’analyse dimensionnelle permet d’écrire :

∆ ====

F

HG I

KJ

bf F b

a

b E n

E

E

σ

^{, ,}

σ υ α

^{, , ,}

Où f est une fonction sans dimension. Pour des propriétés données du matériau, on ne considère alors que la charge et les dimensions de la plaque comme variables. Le déplacement peut être séparé en composante élastique et composante plastique, soit :

∆ ∆==== e ++++∆p III.18

Des relations III.17 et III.18, on déduit :

F

a 2b

J b b dF K

E b dF

e F

p F

F I p

F

==== −−−− ∂∂∂∂ F

F

∂∂∂∂

HG I

KJ

^{++++ ∂∂∂∂}∂∂∂∂

F HG I L KJ

N MM O

Q PP

^{==== −−−−}

F

^{∂∂∂∂∂∂∂∂}

HG I

z z KJ

1 2

1 2

0

2 0

∆ ∆ ∆

' ^III.19

Où E E

'====

−−−−

1 υ² en déformations planes et E’=E en contraintes planes.

Si la déformation plastique reste confinée dans le ligament non fissuré de longueur 2b - entre les deux extrémités des fissures - on peut considérer que cette longueur est la seule dimension qui influencera la composante plastique

∆

p du déplacement. C’est une hypothèse raisonnable à condition toutefois que la fissuration de la plaque soit suffisamment profonde de sorte que les contraintes moyennes dans le ligament non fissuré soient bien plus élevées que la contrainte appliquée. On peut alors utiliser l’analyse dimensionnelle et écrire :

∆p bH F

====

F

b

HG I KJ

Une dérivation partielle de cette relation par rapport à la longueur du ligament non fissuré et par rapport à la force F respectivement, donne :

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

KJ

⁼⁼⁼⁼

F HG I

KJ

⁻⁻⁻⁻

F HG I

∆p

KJ

b F H F

b H F

b F

' b et ∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

KJ

⁼⁼⁼⁼

F HG I

∆p

KJ

F b H F ' b Ce qui conduit à :

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

KJ

^{==== −−−− ∂∂∂∂}∂∂∂∂

F HG I L KJ

N MM O

Q PP

∆_p ∆ ∆

F

p

p

b b F b

F

1 III.20

En substituant III.20 dans III.19 et en intégrant par parties, on obtient :

J K

E^I b ^pFd _p F _p

==== ++++

L

−−−−

NM O

z QP

2

0

1

2 2 ^∆ ∆ ∆

III.3RELATIONS ENTRE L’INTEGRALE J ET LE CTOD

En mécanique linéaire de la rupture, la relation entre le CTOD

δ

et l’énergie de Griffith G, est donnée par l’équation III7. Lorsque le comportement du matériau est linéaire élastique, J=G, et le même type de relation existe donc entre J et

δ

^:

J ====mσ δ_E ^III.21

où m est une constante sans dimension qui dépend de l’état des contraintes et des propriétés du matériau. La relation précédente est en fait vérifiée bien au delà des limites de validité de la MLR.

Considérons par exemple le modèle de Dugdale-Barenblatt - figure III.13 - dont le chargement sur la zone plastifiée est représenté sur la figuré III.13b. On peut choisir pour le calcul de l’intégrale J le contour Γ indiqué sur cette figure.

Si la longueur

ρ

de la zone endommagée est grande devant le CTOD

δ

, le premier terme de l’intégrale J (relation III11) est nul puisque dy≈≈≈≈0 . La normale au contour Γ étant y , l’intégrale J est alors donnée par :

J u x

x ds

E

==== ∂∂∂∂ y

z

∂∂∂∂

σ

_Γ ^{( )}

Figure III.13 : Modèle de Dugdale-Barenblatt

Si on prend l’origine du repère à l’extrémité de la zone endommagée, ce qui revient à faire le changement de variable X=x-

ρ

, le déplacement uy ne dépend que de X à

δ

^fixé et l’intégrale J s’écrit :

J ====²

^σ

_E

z

^0ρdu_y⁽X⁾====

^σ

_E

z

^0δd

^{δ σ δ}

==== _E ^III.22 Cette relation est similaire à la relation III.6 établie précédemment en ne considérant que le 1^er terme du développement limité de Log(cos). Une telle hypothèse n’a pas été nécessaire pour obtenir la relation III22. Ainsi le modèle de Dugdale-Barenblatt, appliqué à un matériau fissuré, dont le comportement est élastique plastique parfait, sollicité en mode I et en contraintes planes, prévoit m=1 à la fois dans des conditions élastiques et élastoplastiques.

−−−−

σ

E

CTOD

Γ

δ

x

ρ

X

2uy

On peut également montrer, à partir du champ de déplacement HRR qu’il existe une relation du type J ====mσ δ_E entre le CTOD et l’intégrale J. Le champ de déplacement prévu par l’approche HRR, est de la forme :

u E

EJ

I r ru n

i

E

E n n n

====

F

i

HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

ασ

ασ

₂ ¹ ~ ( , )

θ

III.23

En utilisant la procédure, proposée par Rice, de détermination du CTOD indiquée sur la figure III.14, il apparaît que :

δ π π

2 ====r*−−−−u r_x( *, )≈≈≈≈u r_y( *, ) III.24 La relation III.23 peut aussi s’écrire :

u E

J

I r u n

i

E n

E n n n

n

====

F

i

HG I

KJ F

HG I

++++

KJ

++++

ασ ++++

σ θ

1

1 1 1

1~ ( , )

Figure III.14 : Procédure de détermination du CTOD

En utilisant cette relation dans III.24 on obtient : ασ

σ θ θ

E n

E n n n

n

x y

E

J

I r u n u n r

F HG I

KJ F

HG I

KJ

^{++++ ====}

++++ ++++

++++

1

1 1 1

1 ~ ( , ) ~ ( , ) *

La résolution de cette équation permet de déterminer r* :

uy

u_x

r* δδδδ

r E u n u n J I

E n

x y

n n

E n

*====

F

~ ( , ) ~ ( , )

HG I

KJ

^{++++ ++++}

ασ θ θ

σ

1

1

Connaissant r* on détermine le CTOD

δ

====2u r_y( *, ) , soit :

π

δ ⁼⁼⁼⁼ σ

d J_n

E

III.25 avec

d

u n

E u n u n

n I

y

E

x y

n

n

====

L

++++

NM O

QP

2

1

~

b g π

,

ασ n

~ ( , ) ~ ( , )

θ θ s

III.26

La figure III.15 montre l’allure des courbes d_n en fonction de 1/n pour α=1. On peut observer la forte influence de l’exposant d’écrouissage en contraintes planes comme en déformations planes et l’augmentation de dn lorsque le rapport σE/E augmente.

En comparant les relations III.20 et III.25, il apparaît que d_n = 1/m .Par ailleurs, comme le prévoit le modèle de Dugdale-Barenblatt, dn = 1 pour un matériau non écrouissable ( n→→ ∞→→∞∞∞) en contraintes planes.

a- Contraintes planes b- déformations planes Figure III.15 : Allure des courbes d_n ====d n_n( )

On voit bien qu’il existe une relation unique entre le CTOD et l’intégrale J. Ces deux quantités équivalentes, sont des paramètres caractéristiques des conditions qui existent à

σσσσE/E dn

1/n 1

0

0 0,6

dn

1/n 1

0

0 0,6

σσσσE/E

σσσσE/E

l’extrémité d’une fissure dans un matériau élastoplastique. La ténacité d’un matériau peut donc être quantifiée à partir d’une valeur critique de l’intégrale J ou du CTOD.

L’analyse précédente qui s’appuie sur le champ de déplacement HRR pour démontrer la relation qui existe entre le CTOD et l’intégrale J contient néanmoins une incohérence.

En effet, comme le montre la figure III.10, le champ des contraintes HRR dévie du champ réel déterminé de façon plus précise par la MEF lorsqu’on s’approche de l’extrémité de la fissure à une distance inférieure à 2 fois le CTOD. Or dans le calcul du CTOD précédemment effectué, on se place à une distance moitié du CTOD donc dans une région où l’approche HRR ne prévoit plus correctement la répartition des contraintes et notamment la relaxation des contraintes. Cependant la solution CTOD obtenue par la MEF, plus précise, est similaire à celle donnée par la relation III25. Ce résultat montre par conséquent que le champ de déplacement HRR est raisonnablement précis même lorsqu’on se place dans une zone tout près de l’extrémité de la fissure.

Annexe B EQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MECANIQUE ELASTO-PLASTIQUE DE LA RUPTURE

La mécanique élastoplastique de la rupture (MEPR) s’est développée à partir des connaissances sur la mécanique linéaire de la rupture. Les deux paramètres importants utilisés par la MEPR sont le déplacement à fond de fissure ou CTOD (Crack Tip Opening Displacement) et l’intégrale de contour notée J. Aussi la présente annexe commence par la description des fondements théoriques de ces deux paramètres.

Lorsque la plastification à l’extrémité d’une fissure devient excessive et envahie toute la structure fissurée, la caractérisation à l’aide d’un seul paramètre tel que le CTOD ou J n’est plus possible. La théorie des lignes de glissement est parfois utilisée pour estimer les contraintes dans un matériau élastique plastique parfait. Cette théorie sera également présentée dans cette annexe.

B.1 DETERMINATION DU CTOD

L’approche décrite ci-dessous consiste à appliquer les fonctions complexes de contraintes introduites par Westergaard au modèle de Dugdale-Barenblatt. L’expression du CTOD est déterminée en superposant un chargement de compression (contraintes de fermeture s’appliquant à l’extrémité des lèvres d’une fissure) et en considérant que l’ouverture à fond de fissure est donnée par l’écartement des lèvres en amont de la zone de fermeture.

Les contraintes en mode I (mode d’ouverture) s’expriment, en utilisant la fonction Z de Westergaard en élasticité plane (annexe A), par :

Re Im '

Re Im '

Re '

x y

xy

Z y Z

Z y Z

y Z

σ σ

τ

 = −

 = +

 = −



B.1

Z est une fonction de la variable complexe z=x+iy et la fonction Z’ qui intervient dans l’équation ci-dessus est la dérivée de Z par rapport à z.

Les relations donnant les déplacements dans la direction y pour des chargements plans s’écrivent :

Pour un état de déformations planes

1 2 1

Im Re 2(1 ) Im Re

y 2

u Z y Z Z y Z

E

λ µ υ υ

µ λ µ

 +  +  

=  + − =  − −  B.2

Pour un état de contraintes planes (on remplace λ ^par λ λ µ

λ µ

*====

++++

2

2 avec µ inchangé)

u Z y Z

E Z y Z

y ==== ++++

++++ −−−−

L NM O

QP

^{==== ++++}

L

^{++++ −−−−}

NM O

1

QP

2 4

3 2

1 2

µ

1

λ µ

λ µ

υ

Im Re

υ

Im Re B.3

où Z est l’intégrale de Z par rapport à la variable z (annexe A).

La fonction de Westergaard s’écrit dans le cas d’une fissure de longueur 2a1 (figure II.16) dans une plaque de grandes dimensions soumise à un chargement de traction uniforme

σ

^{∞∞∞∞ :}

Z z z

z a

( )====

−−−−

∞

∞

∞

σ

∞ 2

1

2 B.4

Les fonctions de Westergaard pour les chargements représentés sur les figures ci- dessous (a₁ = a+

ρ

) sont données par :

Z z Fz

z X

a X

z a

( )====

−−−−

−−−−

−−−−

2

2 2

1

2 2

2 1

π c h

2 ^{et Z z( )==== −−−− E z z}−−−−^{a aa za xx dx}

−−−−

z

−−−−

2

2 1

2

1

2 2

2 2

σ

1

π

La relation ci-dessus de droite s’obtient aisément en remplaçant F par –

σ

Edx et en intégrant pour x variant de a à a1.

En faisant successivement les deux changements de variables suivants : x ====a1cosθ ^{puis t} ====cotθ

on obtient :

Z z z

z a

a a

a z

z a

a a

( )==== −−−− E cos cot

−−−−

F HG I

KJ

^{−−−− −−−−}−−−−

F

HG I

KJ L

N M

M O

Q P

−−−− −−−−

P

2

2 1

2 1

1

1

2 1

2

1

2 2

σ

π ^B.5

2a₁ X

F

X F

2a++++2ρ ρ

−−−−σE

Le calcul de la zone plastifiée qui se développe à l’extrémité de la fissure en utilisant le modèle de Dugdale-Barenblatt donne (chapitre 2, § II.11.2) :

a a

a

a _E

++++ ==== ====

F

HG I

KJ

∞∞∞

∞

ρ πσ

1 cos 2

σ

Le premier terme de l’expression B.5 de Z(z) ci dessus devient :

− −

F HG I

KJ

^{= −} ₋ ^{= −} ₋

− ∞ ∞

2 2

2

2 1

2 1

1 2

1

2 2

1 2

σσσσ ππππ

σσσσ

ππππ πσ πσ πσ πσ

σσσσ σσσσ

E E

E

z

z a

a a

z

z a

z

z a

cos

En superposant le chargement de traction

σ

^∞∞∞∞ au chargement de compression sur les lèvres de la fissure, la fonction de Westergaard s’écrit :

Z z z

z a

z

z a

a a

a z

z a

a a

( )==== E cos cot

−−−− −−−−

−−−−

F HG I

KJ

^{−−−− −−−−}−−−−

F

HG I

KJ L

N M

M O

Q P P

∞

∞

∞

∞ −−−− −−−−

σ σ

π

2 1

2 2

1 2

1 1

1

2 1 2

1

2 2

2

soit après simplification :

Z z a

z

z a

a a

( )==== E cot −−−−

−−−−

F HG

I

−−−−

KJ

2 ₁ ² ₁²

1

2 2

σ

π

^B.6

Et en posant k a

==== a

1

, l’expression de Z(z) devient :

Z z k

z

z a

k

( )= E cot −

−

F HG

I

−

KJ

2

1

1

2 1 2 2

σσσσ

ππππ

^B.7

Le calcul de Z par intégration de Z donne :

Z z( )= 2 ^E z −a

1 2

σσσσ

ππππ ωωωω ωωωω ^B.8

avec ω1

1

2 1

2

1 2

==== −−−−

−−−−

L N M

M O

Q P

−−−−

P

cot k

z

z a

k et ω2

1 1

2 1 2 2

1

==== 1 −−−−

−−−−

L N M

M O

Q P

−−−−

P

cot a

z a

k

Dans le plan de la fissure, y=0 (z réel) et le déplacement en contraintes planes est alors donné d’après B.3 par :

u_y ==== E2 Z Im

On se place le long des lèvres comprimées de la fissure (z ≤a1) et en considérant la partie imaginaire de Z on obtient :

u E a

a

a z

k z k

z

a z

y k

= E −

−

L N M

M O

Q P

P

⁻

L

⁻⁻

N M

M O

Q P P F

HG

I

− −

KJ

4 1

1 1

1 1

1

2 2

2

1 1

2 2

2

σσσσ

ππππ

^{coth coth B.9}

Rappel :

Pour déterminer l’écartement à fond de fissure, on fait tendre z vers a ce qui conduit à la relation III.5 du chapitre III :

δδδδ σσσσ

ππππ

σσσσ ππππ

πσ πσ πσ πσ

= = =

F σσσσ

HG I

KJ

^{= −}

F

HG I

F KJ

HG I

KJ

∞

2 8 1 8

u z a a 2

E Ln k

a E Ln

y

E E

E

( ) cos B.10

La relation liant le CTOD et l’intégrale J dans le modèle de Dugdale-Barenblatt s’écrit (Chapitre III, équation III.22) :

J =

σ δ

E

En considérant le facteur d’intensité des contraintes effectif défini par : K_eff ==== JE

et en combinant les trois relations précédentes, on obtient l’expression II.52 du chapitre II, soit :

K_{eff E} a Log

E

= −

F

HG I

F KJ

HG I

KJ

σ π

∞

π πσ

σ

8

2 cos 2 B.11

δδδδ 2a1

2a

B.2 INTEGRALE DE CONTOUR J

Rice a montré que l’intégrale J ne dépendait pas du contour d’intégration. Pour démontrer cette indépendance, il évalue l’intégrale J le long d’un contour fermé Γ*

(figure ci-dessous) :

J wdy T u

x ds

i

* i

*

==== −−−− ∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

z KJ

Γ

B.12

les différents termes intervenant dans cette expression sont donnés au § III.2.2.

Rice utilise ensuite le théorème de Stokes pour transformer l’intégrale de contour en intégrale de surface :

J w

x x

u

x dxdy

j ij

i A

*

*

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ −−−− ∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

F KJ

HG I

z ^σ KJ

^B.13

où A* est la surface plane limitée par Γ*.

w étant un potentiel élastique, le premier terme de l’intégrale précédente peut s’écrire :

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

KJ

^{++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂}

F

^{∂∂∂∂∂∂∂∂}

HG I

L KJ N M M

O Q P

w

P

x w

x x x

u

x x

u

ij x

ij ij

ij

ij

i j

j

ε

i

ε σ ε

1

σ

2

Le tenseur des contraintes étant symétrique

σ

ij ====

σ

ji, l’expression précédente peut se transformer en :

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

w

KJ

x x

u

ij x

j

σ

i

Et compte tenu de l’équation d’équilibre ∂∂∂∂

∂∂∂∂

σ

ij ====

xj 0 , on a également : ΓΓΓΓ* A*

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I

KJ

⁼⁼⁼⁼ ∂∂∂∂^∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

F HG I KJ

^{==== ∂∂∂∂}∂∂∂∂

x

u

x x

u x

w

j x

ij i

ij j

σ σ

i

L’intégrale J* est donc nulle.

Considérons maintenant deux contours Γ1 et Γ2 autour de l’extrémité d’une fissure (figure ci-dessous). On obtient un contour ferme en reliant les deux contours Γ1 et Γ2 par des segments Γ3 et Γ4 le long des lèvres de la fissure. Dans ces conditions, on peut appliquer le résultat précédent au contour fermé Γ= Γ1+ Γ2+ Γ3+ Γ4.

L’intégrale J sur le contour Γ est la somme des intégrales Ji sur les quatre contours Γi. On a alors :

J = J1 +J2 +J3 + J4 =0

Comme le long de Γ₃ et Γ₄ les intégrales sont nulles (T et _i dy=0), on a :

1 2

J = −J ^B.14

Les deux intégrales sont opposées car les sens de parcours des contours sont inversés, et donc l’intégrale J est bien indépendante du contour d’intégration entourant l’extrémité de la fissure

B.3 J TAUX DE RESTITUTION D’ENERGIE NON LINEAIRE

Considérons un solide fissuré bidimensionnel limité par un contour Γ’ ; on notera A’ la surface de ce solide (figure ci-dessous).

Dans des conditions quasi statiques et en l’absence des forces de volume, l’énergie potentielle est donnée par :

ΓΓΓΓ1

ΓΓΓΓ2

ΓΓΓΓ3

ΓΓΓΓ4

E_P wdA T u ds

A

i i

=

z

−

z

' Γ''

B.15

où Γ’’ est la portion du pourtour Γ’ sur laquelle s’exerce le chargement de traction Ti.

La variation d’énergie potentielle liée à une avancée virtuelle da de la fissure à T_i constant le long de l’axe x, s’écrit :

dE da

dw

da dA T du da ds

P A

i

=

z

−

z

i

' Γ'

B.16

Les déplacements ne variant pas sur la portion de contour Γ’- Γ’’, l’intégrale de contour peut être prise sur tout le contour Γ’. Par ailleurs lorsque la fissure progresse de da, l’axe x est rétréci de la même quantité da. Aussi, la dérivée par rapport à a peut s’écrire :

d

da a

x

a x a x

= ∂∂ + ∂

∂

∂

∂ = ∂

∂ − ∂

∂

et la variation d’énergie potentielle devient : dE

da

w a

w

x dA T u

a u

x ds

P A

i

i i

= ∂

∂ − ∂

∂

F HG I

KJ

^{− ∂}∂ −∂

∂

F HG I

z z KJ

' Γ'

B.17

avec

∂

∂ = ∂

∂

∂

∂ = ∂

∂

∂

∂

F HG I

w

KJ

a w

a x

u

ij a

ij ij

j i

ε

ε σ

ΓΓΓΓ’ A’

a

x

y Ti

Le principe des travaux virtuels permet d’écrire :

σσσσ

ij

j i A

i i

x u

a dA T u

a ds

∂

∂

∂

∂

F HG I

KJ

^{= ∂}∂

z z

' Γ'

B.18

L’énergie potentielle pourra alors s’exprimer par : dE

da T u

a ds w a dA

P i

i A

= ∂

∂ − ∂

z z

∂

Γ' '

B.19

En appliquant à nouveau le théorème de Stokes, on peut transformer le deuxième terme en intégrale de contour :

dE

da T u

a wn ds

P

i i

= ∂ x

∂ −

F HG I

z KJ

Γ'

B.20

Comme n ds_x =dy, le taux de restitution d’énergie J aura finalement pour expression :

J dE

da wdy T u

x ds

P

i

= − = − ∂ i

∂

F HG I

z KJ

Γ'

B.21

B.4 THEORIE DES LIGNES DE GLISSEMENT

La théorie des lignes de glissement découle de l’application de la théorie différentielle de la plasticité.

Pour un état de déformations planes, on a :

ε

z

ε ε

P xz P

yz

= = P=0

et en appliquant les équations de Levy-Misès (équations du comportement avec υP = 0.5) On a :

σ z= 1 σx +σy σxz =σyz =

2

d i

0 ^B.22

et

σ σ σ σ

σ

m

x y z

= + + z

3 = B.23

(σz est donc égale à la contrainte moyenne).