Électricité 2 ( Électromagnétisme ) - Exercices corrigés 2 pdf

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Travaux dirig´ es- S´ erie 2: El´ ectricit´ e II

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Electricit´e II

Travaux Dirigés: Série 2 Exercice I: nappe de courant et discontinuité de B⃗

On considère une nappe plane conductrice de courant, d’épaisseur ε négligeable et traversée par un courant uniforme. On prend, la nappe dans le plan xOy, avec −^ε₂ ≤ z ≤ ^ε₂, et le vecteur densité de courant⃗j =ε⃗j_s avec courant surfacique⃗j_s =j_s⃗e_x.

1) Faire un sch´ema d’illustration,

2) En utilisant les r`egles de sym´etrie, d´eterminer:

a) Les variables dont d´ependent le champ d’induction magnétique B,⃗ b) Montrer que le champ B⃗ est dirigé suivant ⃗e_y (c’est à dire B⃗ =B⃗e_y), 3) Pour calculer le composante B, on utilise le th´eorème d’Ampère, a) Donner la forme de la courbe d’Amp`ere Γ, justifier,

b) En d´eduire l’induction magn´etique B⃗ en tout point M(x, y, z), 4) Calculer la valeur de B⃗ pour le cas z = 0,

5) Montrer que B⃗ est discontinue,

6) D´eterminer à une constante près le potentiel vecteur A⃗ en tout point M de l’espace, 7) En d´eduire la constante dans le cas oùA⃗ est nul à l’origine.

Exercice II: Solénoide infini et calcul potentiel vecteur A⃗ On considère un solénoide S infini d’axe −→

OZ, de base circulaire de rayon R, parcouru par un courant permanent I et ayant N spires par unité de longueur. On se propose de déterminer le champ d’induction magnétique B⃗ (M) et le potentiel vecteur A⃗(M) en tout point M de l’espace.

2) En utilisant les r`egles de sym´etrie, d´eterminer:

a) Les variables dont d´ependent le champ d’induction magn´etique B,⃗ b) La direction du champ B,⃗

3) Pour calculer l’expression explicite du champ d’induction magn´etique, on utilise le théorème d’Ampère,

a) Donner la forme de la courbe d’Amp`ere Γ, justiﬁer le choix, b) En d´eduire l’induction magn´etique B⃗ en tout point M(x, y, z), 4) Montrer que B⃗ est discontinue,

Pour déterminer le potentiel vecteur A⃗(M), on utilisera une relation donnant sa circulation sur un contour fermé C que l’on déterminera.

(3)

5) En partant de la relation divB⃗ = 0, montrer que

C

A.⃗ −→ dl =

S

B.⃗ −→

dS, 6) En utilisant les r`egles de symetries de la distribution de courant, donner:

a) La direction du champ A⃗ et les variables dont ils d´ependent,

b) Le choix de la courbe C pour le calcul de la circulation de A, justiﬁer,⃗ 7) D´eterminer le potentiel vecteur A⃗ en tout point de l’espace

Exercice III: Force magn´etique et eﬀet Hall

On veut déterminer le nombre n_e d’électrons de conduction que possède un atome de cuivre en utilisant l’effet Hall. Pour cela, on considère une plaquette rectangulaireABCD de cuivre dans le plan xOy, de longueur L (0 ≤ x ≤ L)), de largeur a (0 ≤ y ≤ a), d’´epaisseur b (−^b₂ ≤ z ≤ ^b₂) et traversée par une densité de courant surfacique uniforme ⃗j = j⃗e_x. Cette plaquette est plongée dans un champ magnétique extérieur perpendiculaire B⃗ =B ⃗e_z. A l’équilibre, la tension de Hall mesurée entre les 2 bords de largeur de la plaquette estU_H = 5.510⁻⁶V.

2) D´ecrire le phénomène physique observé, commenter, 3) Donner l’expression de la force F⃗_m subit par les électrons

4) Sous l’effet de la force magn´etique, les électrons sont déviés, donner la direction du champ électrique E⃗ induit

5) En d´eduire l’expression de la force totale subit par les ´electrons

6) D´eterminer l’expression du champ E⃗_H à l’équilibre en fonction de la vitesse v et B 7) En d´eduire la valeur de v en fonction de I, a, b et la densitén_e des électrons, 8) Calculer le nombren_e d’électrons en fonction de B, I, a, b etE_H

9) En d´eduire le nombre n_e en fonction de U_H; on donne:

M_mole(cu) = 63g, B = 1T esla, b= 10⁻⁴m, ϱ_vol(cu) = 9000kg/m³ U_H = 5.510⁻⁶V, e= 1.610⁻¹⁹C, I = 10A, N = 6.0210²³ atomes/mole Exercice IV: Interaction magnétique entre fil infini et un cadre

Un fil rectiligne z’z de longueur infinie est parcouru par un courant d’intensité I₁. Dans un plan contenant z’z, on place un cadre carré ABCD indéformable, de côté a, parcouru par un courant I₂. Les côtés AB et CD sont parallèles à z’z. Soit y la distance qui sépare AB de z’z.

1) Faire un sch´ema,

2) Rappeler le champ magn´etique B⃗₁ créé par le fil z’z

3) D´eterminer la résultante des forcesF⃗₁₂ exercées par le fil sur le cadre

4) Retrouver l’expression deF⃗₁₂en utilisant la relation entre le travail et le ﬂux magn´etique

(4)

1 Solution de la s´ erie II

Exercice I: Nappe plane de courant 1) schema d’illustration

Figure 1: Nappe plane de courant J⃗=j_s ⃗e_x.

2) D´eterminer le champ d’induction magn´etique B⃗ en tout point M de l’espace a) 2 symetries de translations: suivant x et y

B⃗ (M) =

B_x(z) B_y(z) B_z(z) b) direction de B⃗

Le plan de la nappe (c`ad Π_s=xOz) est un plan de symetrie, donc B⃗ ⊥Π_s ⇒ B⃗ =B(z)⃗e_z

3) Théorème d’Ampère

I

Γ

B.⃗ −→

dl = µ₀I

a) la courbe d’Amp`ere Γ est un rectangle rectangle ABCD de surface S, dont le sens de parcours positif est comme indiqu´e sur la ﬁgure ??.

surface deABCD=L_AB×L_BC =ε×L , cot´eBC=L

(5)

Figure 2: Contour d’Amp`ere.

Il passe par les points M₁ et M₂, sym´etriques par rapport `a la nappeb) Calcul de la composnate B

i) calcul de I

Γ

B.⃗ −→ dl

I

Γ

B.⃗ −→ dl =

I

Γ

Bdy

= (∫B A +∫C

B +∫D C +∫A

D

) B

= ∫C

B Bdy+∫D C Bdy

= −∫C

B Bdy+∫A D Bdy

= 2BL

avec ∫_A

D dy =−∫_C

B dy = L ii) calcul de I

µ₀I = µ₀

∫∫

S

J .⃗−→

dS

= µ₀J×S , car J⃗=J ⃗e_x

= µ₀ J| {z }×ε

Js

×L = µ₀J_s×L on a:

µ₀

∫∫

S

J .⃗−→

dS = µ₀J ×S

= µ₀ J×ε×L

= µ₀J_s×L

(6)

iii) r´esultat

2BL=µ₀J_sL ⇒ B = ^µ⁰₂^J^s =Cst B⃗(M₁) = −^µ⁰₂^J^s⃗e_y

B⃗(M₂) = ^µ⁰₂^J^s⃗e_y 4) B⃗ au point z = 0

Au point O, origine de l’espace, on distingue 2 plans de sym´etrie de la nappe xOy et xOz

donc B⃗ doit être perpendiculaire à ces 2 plans, c’est à dire

B⃗ =



 0 0 B



 et B⃗ =



 0 B 0





par conséquent B⃗ à l’origine O, et pour z = 0 en général, ne peut être que nul B⃗(z = 0) =⃗0

5) B⃗ discontinue

B⃗ est tangent à la nappe de courant; il doit donc vérifier la relation de continuité B⃗_1T (M)−B⃗_2T (M) = µ₀J⃗_s(M)∧⃗n₂₁

avec

⃗

n₂₁ la normale orient´e de 2 vers 1 Dans notre cas

J⃗s(M) =Js ⃗ex et ⃗n21 =⃗ez

B⃗_1T (M)−B⃗_2T (M) =µ₀J_s ⃗e_x∧⃗e_z =−µ₀J_s⃗e_y ce qui est en accord avec

B⃗1(M)−B⃗2(M) =−^µ⁰₂^J^s⃗ey− −^µ⁰₂^J^s⃗ey =−µ₀Js⃗ey

ou on a utilis´e

B⃗ (M1) = −^µ⁰₂^J^s⃗ey , B⃗ (M2) = ^µ⁰₂^J^s⃗ey

(7)

6) le potentiel vecteur A⃗

a) symetrie de translation suivant x et suivant y

A⃗=





A_x(z) A_y(z) A_z(z)





b) direction de A:⃗

yOz = Π_a est un plan d’antisymetrie

A⃗ ⊥ Π_a ⇒A⃗(z) =





Ax(z) 0 0





c) Expression de A⃗

De la relation B⃗ =rot ⃗A, on obtient

0 B(z)

0

=

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∧

A(z) 0 0

=

0

∂A

∂z

0−0 d’o`u

A=

∫ Bdz Trois cas `a distinguer:

(i)z >0

B(z) =−µ₀J_s

2 ⇒ A(z) =−µ₀J_s

2 z+C₁ (ii)z <0

B(z) = µ₀J_s

2 ⇒ A(z) = µ₀J_s

2 z+C₂ (iii)z = 0

B = 0 ⇒ A(0) =C₃ 7) cas o`uA⃗ est nul `a l’origine.

A(0) =C₃ = 0

la continut´e de A exige que les constantes soient nulles, lim

z→0^±A(z) = 0 =⇒ C₁ =C₂ = 0

Exercice II

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Figure 3: théorème d’Ampère appliqué ausélénoide infini d’axe −→

OZ 1) schema d’illustration: voir ﬁg 3

2) r`egles de symetrie:

a) La sym´etrie cylindrique de S implique: B⃗(M) =B⃗(ρ) b) La direction du champ B⃗

Π_s = (⃗e_ρ, ⃗e_φ) est un plan de sym´etrie du sol´enoide:

B⃗ ⊥⃗e_z ⇒ B⃗ (ρ) = B(ρ)⃗e_z 3) expression explicite de B⃗

a) courbe d’Amp`ere Γ:

rectangles ABCD domme dans la ﬁgure Selon le choix de Γ, on distingue trois cas:

i) cas du contour (1)

Pas de courant qui traverse la surface d´elimit´ee par le contour,

∫ B.⃗ −→

dl = 0 D’autre part, on a:

∫ B.⃗ −→

dl = ∫

ABB⃗e_z.−→ dl +

∫

BC

B⃗e_z.−→ dl

| {z }

=0

+∫

CDB⃗e_z.−→ dl +

∫

DA

B⃗e_z.−→ dl

| {z }

=0

= ∫

ABBdz−∫

CDBdz

= (B_AB−B_CD)×h

(9)

Donc le champ B⃗ à l’interieur du solénoide infini est uniforme BAB =BCD =µ₀N I

ii) cas du contour (2)

On obtient le même résultat (B_AB−B_CD)×h= 0 que pour le cas précédent, c’est

`

a dire un champ uniforme à l’extérieur. Mais comme ce champ doit être nul à l’infini, on en déduit qu’il est nul partout.

B_AB =B_CD = 0 on red´ecouvrera ce r´esultat dans le cas suivant.

iii) cas du contour (3)

Dans ce cas, la surface délimitée par le contour est traversée par N ×h courants entrants; par suite nous avons par un calcul similaire auparavant:

(B_AB−B_CD)×h=−µ₀N I×h ⇒ B_AB −B_CD =−µ₀N I

Comme on sait que le terme B_CD =µ₀N I, il en d´ecoule que le champ d’induction B_AB à l’exterieur du sélénoide est nul.

B_AB = 0 iv) Conclusion

B⃗(ρ) = {

µ₀N I ⃗e_z , 0≤ρ < R 0 , ρ > R 4) B⃗ est discontinue:

B⃗_1T (M)−B⃗_2T (M) = µ₀J⃗(M)∧⃗n₂₁ comme

⃗

n₂₁=−⃗e_ρ, ⃗j=N I ⃗e_φ on a bien la relation

B⃗_1T −⃗0 = −µ₀N I ⃗e_φ∧⃗e_ρ

= µ₀N I ⃗e_z 5) En partant de la relation

divB⃗ = 0 ⇒ B⃗ =rot ⃗A

(10)

par integration sur une surface S s’appuiant sur un contour C,

∫∫

S

B⃗ =

∫∫

S

rot ⃗A

= I

C

A.⃗ −→ dl 6) r`egles de symetries de la distribution de courant

a) La sym´etrie cylindrique de S implique: A⃗(M) =A⃗(ρ) La direction du champ A⃗

Π_a = (⃗e_ρ, ⃗e_z) est un plan d’antisym´etrie du sol´enoide A⃗ ⊥⃗e_φ ⇒ A⃗(ρ) =A(ρ)⃗e_φ b) La courbe C est un cercle de rayon ρ et d’axe−→

Oz

Justification, elle est dictée par la symétrie cylindrique car I

C

A.⃗ −→ dl =

I

C

Aρdφ

= A

I

C

ρdφ car A ne d´epend pas de φ

= 2πρA

7) Le potentiel vecteur A⃗ en tout point de l’espace on applique la relation I

C

A.⃗ −→ dl =

∫∫

S

B.⃗ −→

dS ce qui conduit `a:

A = _2πρ¹

∫∫

S

B.⃗ −→

dS

= _2πρ¹

∫∫

S

B×ρdρdφ 2 cas `a distinguer selon la valeur de B; c`⃗ ad:

B⃗(ρ) = {

µ₀N I ⃗e_z , 0≤ρ < R 0 , ρ > R On a:

i) ρ > R

A(ρ) = _2πρ¹

∫∫

S

Bρdρdφ

= _2ρ^BR² =µ₀N I^R_2ρ² ii) ρ < R

A(ρ) = _2πρ¹

∫∫

S

Bρdρdφ

= ^B₂ρ=µ₀N I^ρ₂

(11)

Exercice III: Effet Hall classique 1) schéma d’illustration: voir fig 4,

un electron de la plaquette du plan xOy de vitesse ⃗v se d´eplace suivant ⃗e_x sous

Figure 4: plaque rectangulaire normale à ⃗e_z de largeur a, d’épaiseur b et de longueur suffisamment grande.

l’effet d’une ddp aux induite par la ddp aux bords x= 0 et x=L de la plaquette fournie par un générateur de courant dont le sens est comme désigné sur la figure.

On a:

⃗v =v⃗e_x, v =− |v| dans le schéma 2) phénomène physique observé: Effet Hall

Cette effet a une version classique et une version quantique selon l’intensité du champ magnétique exterieur B.⃗

Pour des valeurs du champ magnétique B⃗ relativement petites; le phénomène ob- servé est comme suit, voir fig 5:

a) deviation des ´electrons sous l’action de B⃗

b) naissance d’un d´eﬁcit de charge ´electrique aux 2 bords de la plaquette

c) apparition d’une ddp aux 2 bords de la largeur de la plaqueette: A l’equilibre cette tension est la tension de Hall U_H qui induit un champ ´electriqueE⃗_H

3) Force magn´etique:

Sous l’eﬀet de B, l’´⃗ electron de vitesse ⃗v =v⃗e_x est soumis `a la force F⃗_m = −e⃗v∧B,⃗ e=|e|= 1.60217733×10⁻¹⁹C

= evB⃗e_y

(12)

Figure 5: effet Hall classique: (i) déviation des charges sous l’effet du champ B. (ii)⃗ naissance d’une ddp aux bornes de la largeur de la plaque

4) le déficit des charges entre les 2 faces y= 0 et y=a crée une ddp

∆U =U₂−U₁ et donc une champ ´electrique suivant⃗e_y

E⃗ =−∇⃗U =E⃗e_y 5) r´eaction par opposition `a B⃗

Le champ electriqueE⃗ =E⃗e_y agit à son tour sur l’électron par une force électrique F⃗_el =−e ⃗E =−eE⃗e_y

Cette force s’oppose à la force magnétique F⃗m crée parB⃗. L’expression de la force totale subit par l’électron est alors

F⃗m+F⃗el = (evB−eE)⃗ey

6) Equilibre des forces F⃗_m et F⃗_el = Eﬀet Hall, on a:

F⃗_m+F⃗_el = 0 ⇒ evB =eE ce qui donne

E_H =vB, c’est la valeur du champ de Hall (1.1)

(13)

7) vitesse de d´eplacement des ´electrons: ⃗v =− |v|⃗ex

elle est obtenue en calculant l’expression du courant ´electrique I de deux facons et en comparant les r´esultats.

a) D’une part

I =∫ J⃗−→

dS =J S =J ab soit

J = I ab ii) d’autre part

J⃗=ρ⃗v =−ne⃗v =ne|v|⃗e_x

= J⃗e_x

ce qui donne

ne|v| = _ab^I d’ou

|v| = _abne^I 8) Le champ E_H d´ecoule de la relation

E_H =vB, v = −I abne soit

E_H = ⁻_abne^IB d’o`u

n = _eabE⁻^IB

H

De la relation entre le potentiel ´electrique U et le champ E =−gradU =⇒ U =−

∫ E⃗ −→

dl on tire

U_H = −∫ E⃗_H −→ dl

= −E_H∫_a

0 dy

= −aE_H 9) Nombre de e⁻par unit´e de volume et par atome de Cu:

de la relation

n = _ebaE⁻^IB

H

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on tire

n= IB ebU_H Application num´erique

b = 10⁻⁴m , ϱ_vol(cu) = 9000kg/m³ I = 10A , m_mole(cu) = 63g

B = 1T esla , e = 1.610⁻¹⁹C

U_H = 5.510⁻⁶V , N = 6.0210²³ atomes/mole n = _1.610₋19C^10A×10^×⁻^{1T esla}⁴m×5.510⁻⁶V

= 1.14×10²⁹e⁻/m³ Le nombre d’atomes par m³

mvol×N

mmole = ^9000kg/m³^×^6.0210²³atomes/mole 63×10⁻³kg

= 8,6×10²⁸ atomes/m³ Le nombre d’´el´ectrons par atome est alors

1.14×10²⁹e⁻/m³

8,6×10²⁸ atomes/m³ = 1.33 e⁻/atome Exercice IV: interaction entre conducteurs

1) Sch´ema d’illustration

Figure 6: force magnetique exerc´ee par un ﬁl sur un cadre

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2) Expression du champ B⃗1 cr´ee par le ﬁl

B⃗₁ = µ₀I₁ 2πρ⃗e_φ 3) ForceF⃗₁₂ exerc´ee par le ﬁl sur le cadre ABCD.

On a 2 conducteurs:

− Un fil infini parcouru par un cournat I₁ créant un champ magnétique B⃗₁,

−Un cadreABCD dans le plan (ρ, φ) parcouru par un courantI₂ cr´eant un champ magn´etique B⃗₂ :

En g´en´eral on a:

Force F⃗₁₂ exercée par B⃗₁ sur le cadre ABCD parcouru par I₂ Force F⃗₂₁ exercée par B⃗₂ sur le fil parcouru par I₁

F⃗₁₂+F⃗₂₁ =⃗0

Pour faire le calcul de F⃗₁₂, on prendra l’exemple o`u le cadre ABCD dans le plan yOz; c’est `a dire φ= ^π₂. Dans ce cas le plan (⃗e_ρ, ⃗e_φ) coincide avec (⃗e_y,−⃗e_x) c`ad:

⃗eρ = ⃗ey

⃗ex = −⃗eφ

et B⃗1 = −^µ_2πy⁰^I1⃗ex

B⃗₁ = ⁻_y^b⃗e_x, b= ^µ_2π⁰Î¹ Par définition la force F⃗₁₂ exercée par B⃗ sur le cadre est

F⃗₁₂ = ∫

ABCDAI₂−→ dl ∧B⃗₁

= F⃗_AB+F⃗_BC +F⃗_CD+F⃗_DA soit

F⃗_AB = ∫

ABI₂−→ dl ∧B⃗₁ F⃗_BC = ∫

BCI₂−→ dl ∧B⃗₁ F⃗CD = ∫

CDI2−→ dl ∧B⃗1

F⃗_DA = ∫

DAI₂−→ dl ∧B⃗₁ avec

∫

ABI2−→

dl ∧B⃗1 = −I2b∫a 0

dz

y ⃗ez∧⃗ex = −I2ab y⃗ey

∫

BCI₂−→

dl ∧B⃗₁ = −I₂b∫_y+a

y dy

y ⃗e_y∧⃗e_x = I₂bln^y+a_y ⃗e_z

∫

CDI₂−→

dl ∧B⃗₁ = =−I₂b∫0 a

dz

y+a ⃗e_z∧⃗e_x = I₂_y+a^ab ⃗e_y

∫

DAI₂−→

dl ∧B⃗₁ = =−I₂b∫_y

y+a dy

y ⃗e_y ∧⃗e_x = −I₂bln^y+a_y ⃗e_z

(16)

Noter que

F⃗BC =−F⃗DA

La r´esultante des forces F⃗ agissant sur le cadre est F⃗ = F⃗_AB +F⃗_CD

= −I₂ab (1

y −_y+a¹ )

⃗e_y

= ⁻_2πy(y+a)^µ⁰Î¹²Î²â²⃗e_y

Si le cadre était libre, il serait attiré vers le fil c’est-à-dire vers la région où est plus intense pour que le flux de B à travers le cadre soit maximum (r`egle du flux maximal)

4) Autre m´ethode

Le travail des forces magn´etiques pour un d´eplacement virtuel dy du cadre est:

dW =

{ F .⃗ −→

dl =F dy

I2dΦ ⇒ F =I₂^dΦ_dy Le ﬂux magn´etique est

Φ =

∫∫

B.⃗ −→

dS

= −∫∫ ( B.⃗ −→e_x

) dzdy

= −∫a

0 dz∫y+a y

−bdy y

= abln^y+a_y

dΦ

dy = ab ( 1

y+a− ¹_y)

= _2πy(y+a)⁻^µ⁰Îa² F = ⁻_2πy(y+a)^µ⁰ÎI^′â²