Analogues étales de la $p$-tour des corps de classes

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

ILALI

A

SSIM

Analogues étales de la p-tour des corps de classes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 15, n

o

3 (2003),

p. 651-663.

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_3_651_0>

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Analogues

étales de

la

des

_corps

de classes

par JILALI ASSIM

RÉSUMÉ. Nous construisons un

_analogue

"tordu" de la _p-tour de

corps de classes d’un corps de nombres

(p

un nombre

premier)

et

étudions ses liens avec la théorie d’Iwasawa. Le résultat

principal

donne un critère du _type Golod et Shafarevich pour que la tour

"tordue" soit infinie.

ABSTRACT. We construct a "twisted"

_analog

of the

_p-class

field

tower of a number field

_(p

a

_prime

number)

and

_study

its

connec-tion with Iwasawa

theory.

The main result

_gives

a criterion for the "twisted" tower to be infinité in the

_style

of Golod and

Shafare-vich.

1. Introduction

Soit F un _corps de

_nombres,

d’anneau des entiers

OF,

et soit

_{Cl F}

le

groupe des classes de F. On sait que

Cl F peut

être réalisé comme le groupe

de Galois d’une extension abélienne de F :

_{Gal (HF/F),}

où

_HF

est le _corps de Hilbert de

_F,

c’est-à-dire l’extension abélienne non ramifiée

maximale de F. On sait aussi

_(théorème

de l’idéal

_principal)

_que

_{Cl F}

ca-pitule

en entier dans i. e. _que

l’homomorphisme

naturel induit _par

l’extension des idéaux de F à

_HF

est nul. Un

_{problème qui}

en découle

na-turellement est l’étude de la finitude de la tour des _corps de classes de

_F,

F =

Fo

_C

Fl

_C ... c Fn C ... C F°° :=

Un&#x3E;o

Fn,

où,

pour tout n &#x3E;

1,

Fn est le _corps de Hilbert de

Fn-1.

Ce

_problème

a été résolu _par Golod et

Shafarevich

_([GS])

_qui

ont montré l’existence de corps de nombres F pour

lesquels

la tour des _corps est infinie.

Fixons maintenant un

nombre

_premier

_p et

_adoptons,

comme Golod et

Shafarevich,

le

_point

de vue

p-adique. Supposons

(pour simplifier)

_que F

contient le _{groupe p2p} des racines

_2p-ièmes

de l’unité. Soit

_AF

la

_p-partie

du groupe des

p-classes

de F. En théorie

d’Iwasawa,

on connait des

_analogues

"tordus" de

_{AF :}

ce sont les modules

_{Xoo(1)r , 1}

E Z

_(pour

les définitions

de

_Xoo,

_r,...,

voir le début du

_paragraphe

_2).

1)

Si i =

0,

_est

conjecturalement

fini

(conjecture

de

Gross)

_et l’on

a un

homomorphisme

_canonique

AF

dont le _noyau est contrôlé

grâce

à la suite exacte de Sinnott

_([Si]

_{5 - 6,}

voir aussi

_[J]).

Dans la théorie

du corps de classes

p-adique

de Jaulent

(cf

[J]),

ce _groupe est

_appelé

_"groupe

des classes

_{logarithmiques"}

car il

_peut

être contrôlé _par une certaine

fonc-tion

_{logarithme p-adique}

_(le

_logarithme

des valeurs absolues

_p-adiques).

2)

Si i

_#

_0,

il est bien connu

(voir

_e.g.

[S])

_que

a)

pour i

&#x3E;

_1,

n’est autre _que le _{noyau sauvage étale de F}

_([Ko],

[N2])

dont la finitude est bien connue

_grâce

aux résultats de Borel sur la

finitude des groupes de K-théorie

algébrique

K2iOF.

Pour i =

1,

la

conjec-ture de

_{Quillen-Lichtenbaum}

étant vraie

_(cf

_[T]),

est

_isomorphe

à la

_partie

_p-primaire

du _{noyau sauvage dans}

_K2.

b)

pour i

-1,

est

_{conjecturalement}

fini

_(Greenberg,

Schnei-der,..)

et l’on

_dispose

de résultats

_{partiels, grâce}

au

"miroir",

sur la

fini-tude de

_{X,,.(i)r (cf [S]}

5 -

_9).

Pour i =

-1,

la finitude de _est

équivalente

à la

_conjecture

de

_Leopoldt.

Par

_analogie

avec le _corps de

_classes,

on

_peut

alors se _poser les

problèmes

suivants :

i)

réaliser comme _groupe de Galois d’une extension abélienne de

F,

ii)

construire et

_étudier,

_pour

_{(i, p)}

_fixé,

_l’analogue

de

_{la p-tour}

des _corps de classes de F en

_{remplaçant AF}

_par et ainsi de suite

inductive-ment.

Pour i

_~

_0,

on ne sait _pas réaliser comme _{groupe de} Galois d’une

extension abélienne de F.

_Cependant,

en étendant suffisamment le _corps de

base,

Jaulent et Soriano

_([JS])

ont construit une extension

_canonique

de F

où

_{(Xoo )r}

est _{le groupe de Galois d’une extension abélienne d’un}

_étage

_(bien

déterminé)

de la

_Zp-extension

_cyclotomique

de F. On va donc

_construire,

en

imitant

_[JS],

ce

qu’on

_pourrait

_appeler

la

"(p,

i)-tour

des classes étales" de F

(appellation

suggérée

par

T.Nguyen

Quang

Do) :

Dans cette

terminologie

la tour "localement

_{cyclotomique"}

de

_[JS]

est la

_{(p, o)-tour}

des classes étales. Il est alors facile de

_donner,

à l’aide de la théorie

_d’Iwasawa,

des critères de

finitude et d’infinitude de la

_{"(p, i)-tour}

des classes élales" . De tels critères

ont

_cependant

l’inconvénient de ne _pas se lire directement sur le _corps de

base F. Le résultat

_principal

de cet article donne un critère d’infinitude à

la Golod-Shafarevich

_{(théorème 3)}

de la

_{"(p, i)-tour}

des classes élales" . Il

serait

_également

intéressant de donner un critère de finitude. Notons _que

notre critère est

_identique

à celui de

_[JS],

mais

_{qu’il s’obtient,}

_peut

_être,

_plus

facilement

_grâce

essentiellement à la trivialité

_{cohomologique}

des racines de

l’unité

_(lemme

de

_Tate).

L’idée des calculs

_{cohomologiques}

remonte bien sûr à

_[GS].

2. Construction de la tour tordue Fixons d’abord

_quelques

notations :

p : un nombre

premier.

F : un _corps de nombres contenant _{le groupe p2p} des racines

_2p-ièmes

de

l’unité.

r2 : le nombre de

places complexes

de F.

FC : la

_Zp-extension

cyclotomique

de

_F,

_{de groupe de} Galois F cr

_Zp.

Loo

=

Lo (F) :

la

pro-p-extension

maximale de

F~, décomposant

totalement

toutes les

_places

de FI.

L~ = L~ (F) :

l’extension abélienne maximale de FI contenue dans

_Loo.

Xoo

le _groupe de Galois de

_{L~ (F)}

sur FI.

Si A est un _{groupe abélien} et m est un entier

_positif,

notons

_mA

le _noyau de la

_{multiplication}

_par m et

_{A/m le}

_conoyau.

_désignera

la

_partie

p-primaire

de A et A* le dual de

_Pontryagin

de A. Enfin si i E

_Z,

et G est un

groupe

opérant

sur A _par

(g, a)

e

g(a)

_pour

_{tout g}

E G et tout a E

_A,

et

sur _up., le G-module

A(z) (le

ième tordu à la Tate de

A)

est défini comme

étant le module A muni de la nouvelle action : où x est le caractère

_{cyclotomique.}

Fixons maintenant un entier i &#x3E; 1 et notons le _{noyau sauvage étale} de F :

_Rappelons

_que c’est le _noyau de

_{l’homomorphisme}

de localisation

où _pour tout v

_p,

_Fv

est le

_complété

de F en v

(le

nombre

premier

_p ne

figure

donc _pas dans la

_notation).

Il est bien connu _que

(voir

e.g.

[S])

et

peut

donc être vu comme

_l’analogue

"tordu" du p-groupe

de

_p-classes

de

_F,

et réalisé comme _groupe de Galois d’une extension

£oo =

£oo(F)

abélienne et totalement

_décomposée

de Mais l’extension n’étant _pas

_{toujours abélienne,}

les

_arguments

ha-bituels de descente ne

_permettent

_pas de réaliser

7iétF

comme _groupe

de Galois d’une extension de F. De

_plus,

même si l’extension

_{£oo(F) /F}

était

_abélienne,

le _corps obtenu

_dépendrait

du choix du relèvement d’un

générateur topologique

de r. Pour remédier à ces

_{inconvénients,}

nous repre-nons la construction de

[JS] (i

=

0)

dans la situation

qui

nous intéresse

(i

&#x3E;

_{1) :}

Notons

F

le

_compositum

des _corps

_Fq

où

_F,y

est le _sous-corps de laissé fixe _par un

relèvement y

d’un

générateur

topologique

de r.

Proposition

1. L’extension

F

est

_galoisienne

sur F

(mais

_{pas abélienne} en

général).

Notons

_également

les

_propriétés

suivantes évidentes

_{(mais utiles)}

de F :

Remarque

2.1. Pour tout

_{relèvement -y,}

_{F7.Fc =}

et

_F7

fl Fc =

F,

F7

est alors un

complément

de Fc dans F. En

particulier

(Ê)c =

Remarque

2.2. Si F C E alors

_£oo(F)

C

_£oo(E).

Le groupe

s’injecte

dans

_{Gal (F/F)}

mais ne lui est _pas

_isomorphe

en

général.

En fait le _{noyau sauvage} étale est _{le groupe de Galois de}

l’ex-tension

F

sur un certain

_étage

_Fno

de la

_Zp-extension

_cyclotomique

de F. Plus

_{précisément}

Proposition

2. Si _2i

_0,

alors

_{[F :}

_F]

_2i

₁

et donc

F

fl Fc

pour un certain entier

_{no &#x3E;}

1.

Preuve : Pour la

_{première affirmation,}

il suffit de remarquer que pour tout

relèvement _y, on a

[F7 : F] =

_{’Y 2i} et

F

contient strictement

_F7.

Pour la deuxième

_affirmation,

_remarquant

_que

F

c

_£oo(F)

et _que

[F :

_F]

&#x3E;

[£oo (F) : Fc]

~,

on voit _que F n Fc =

Fno,

no &#x3E;

1.

Remarque

2.3. Dans

_[JS],

on donne une valeur

_{plus précise}

de l’entier _no

de la

_proposition

2 dans le cas i = 0 :

pn°

_est

l’exposant

de

Remarque

2.4. Notons

_{pr l’exposant}

p p de

7iétF

2i &#x3E;

et,

&#x3E; P pour tout n &#x3E; _

0,

CI’

n le

groupe des

p-classes

de

F (ppn).

Il est bien connu _que

G n

où

_{Gn -}

et n =

n(i)

_{est un} entier bien déterminé _et

dépendant

de i : C’est le

_{plus petit}

entier

₍

_r)

tel _que

_{~F(~pr )}

:=

divise i

_(cf

_e.g

_[NI]

5 -

_6,

où la _preuve donnée dans le cas i = 1 _se

généralise

facilement).

Le _{noyau sauvage étale}

_peut

donc être réalisé comme _groupe

de Galois d’une extension

_abélienne,

non ramifiée et

_{p-décomposée}

F’ de On

_pourrait

ainsi

_prendre

_pour

F

l’extension en

_question.

Mais

pour des raisons de canonicité il est

_préférable

de considérer la

construc-tion ci-dessus

_inspirée

de

_{~JS~ .}

Nous

_procédons

maintenant à la construction de la

_{(p, z)-tour}

des classes étales de la

_façon

suivante

_(i

&#x3E; 1

_fixé,

et ne

_figure

_pas dans la

notation) :

F~o~

=

F,

_{et pour tout m &#x3E;}

0,

=

F~~~.

Notons la réunion des

corps

F(m),

m &#x3E; 0. Si est de

degré fini,

nous dirons _que la

"(p, 1)-tour

des classes élales" est finie.

_Sinon,

la tour est infinie.

Dans les

_paragraphes

_qui

_suivent,

nous examinerons différentes

propriétés

de la

_{(p, i)-tour}

des classes étales. Nous donnerons en

particulier

un critère

d’infinitude à la Golod-Shafarevich en utilisant les

propriétés

fonctorielles

du

_K3

d’un _corps de nombres.

Remarque

2.5. Il est clair _que la construction ci-dessus marche _pour tout

entier i E Z si l’on suppose la finitude

(conjecturale

pour i

0)

du module

Tous les résultats _que nous énoncerons aux

paragraphes

4 et 5 _pour

i &#x3E; 1 sont d’ailleurs valables pour i

quelconque

(modulo

cette

finitude).

3.

_{(p, i)-tour}

des classes étales et théorie d’Iwasawa

Pour i fixé

_(i

&#x3E;

_1),

soit la

_{(p, i)-tour}

des classes

_étales,

et soit G

le _groupe de Galois sur F de l’extension

Remarquant

_que la finitude

(resp. l’infinitude)

de la tour des _corps est

_équivalente

à celle des _corps

(F~,,,t~)~,

on

_peut

donner un

premier

critère de finitude

(resp. d’infinitude)

à l’aide de la théorie d’Iwasawa :

Proposition

3. i)

La

_{(p, i)-tour}

des classes élales est

_finie

si et

seulement si est

_fini.

En

_particulier,

si la tour est

_finie,

alors

_X~

est

_fini.

ii)

La tour est

_infinie

si et seulement si

_{Gai (Loo (F)/ FC)}

est

infini.

En

_particudier,

si l’un des invariants d’Iwasazua attachés au module

est non

_nul,

alors la tour est

_infinie.

Preuve : C’est évident.

Exemples :

1)

F =

Q(pp)

i)

Si _{p est}

_régulier

_{(i. e}

_p ne divise _pas le nombre de classes de

_F),

alors

= 0 _et la _{tour est} finie.

ii)

Si p est

irrégulier

(i.e

p divise le nombre de classes de

F),

est

infini et la tour est infinie.

2)

Si

_X~

est fini

_cyclique,

le théorème de Burnside montre _que

Gai (Loo (F) / FC)

a un seul

_{générateur,}

donc

Loo (F)

=

Loo (F) ab

_{et la tour} est finie.

La

_{(p, i)-tour}

des classes étales est d’autant

_plus

intéressante

qu’elle

est étroitement liée à la

_{pro-p-extension}

non ramifiée totalement

décomposée

maximale de FC :

Theorème 1.

₁₎

Si la

_{(p, i) -tour}

des classes étales de F est

_finie,

alors

Remarque

3.1. Le théorème 1 montre que toutes les

_{"(p, i)-tours}

des classes étales" infinies de F coïncident et _que si l’une des

_{"(p, i)-tours}

des classes étales" de F est

_finie,

il en est de même de toutes les autres. On voit alors

que

(lorsque

F contient

1t2p)

la finitude

(ou l’infinitude)

de la

"(p, i)-tour

des

classes étales" est

_équivalente

à celle de la tour "localement

_{cyclotomique"}

(i

=

0)

construite _par Jaulent et Soriano dans

[JS]

(Si

cette dernière est

définie,

i. e. si tous les

_étages

de la tour localement

_cyclotomique

vérifient

la

_conjecture

de

_Gross).

Remarque

3.2. La

_{"(p, i)-tour}

des classes étales" est finie

_si,

et seulement

si,

il existe un entier m &#x3E; 0 tel que = 0 _ou, de

façon

équivalente,

1 - 2i

s’il existe un entier m &#x3E; 0 _pour

lequel

Xoo(F(m))

= 0.

Remarque

3.3. Notons comme d’habitude

Fn

le n-ième

étage

de la

Zp-extension

_cyclotomique

FI de F. Il est clair _que la finitude

_(resp.

l’infini-tude)

de la tour des

_F(m)

est

_équivalente

à celle des

Preuve du théorème :

₁₎

et le fait _que C

_{Loo (F)}

dans le cas d’une

tour infinie sont évidents. Pour montrer l’inclusion

_Loo(F)

dans

_2),

notons d’abord _que contient

_{L~ (F) :}

Lemme 1. Si la

_{(p, i)-tour}

des classes étales d’un _corps de nombres F

contenant _J-L2p est

_infinie,

alors

_L:(F)

C

Preuve du lemme : La

_proposition

2 montre _que contient la

Zp-extension

_cyclotomique

Fc de F. Pour

_chaque

_étage

_Fn

de la

_Zp-extension

cyclotomique

de

_F,

il existe donc un entier m tel _que

Fn

C

_{F(y) .}

Nous

en déduisons _que

£oo(Fn)

C C

_F(.),

soit C

_{F(~) .}

Reste à déterminer D’une

_part,

il est clair _que C

Lab F .

D’autre

_part,

.

00

( )

où _pour

_{0, r n =}

D’où

_{l’égalité}

=

Laboo(F)

et donc l’inclusion

_Laboo(F)

C

_F(,,,,).

-OID 00

Pour achever la _preuve du théorème

_1,

notons H _{le groupe de Galois}

sur Fc de

Loo(F),

et considérons la filtration

_(complète)

de H à l’aide des Frattini successifs :

où pour

chaque

entier n

_{&#x3E;_}

_0,

=

(Hn)P[Hn,

Hn~ .

Soit

Ln

le _sous-corps

de

_{{ )}

fixé par

Hn .

Le lemme

précédent

montre que

Li

C 00 C = Il existe alors un entier m tel _que

LI

C

et donc

_L:(L1)

C Utilisant à nouveau le lemme

_précédent,

il vient

L2

C

L:(L1)

C ainsi de suite inductivement _{pour tout}

n &#x3E; 0. D’où l’inclusion

_{Lo (F)}

=

Un&#x3E;oLn C

qui

achève la _preuve du

théorème 1.

-Notons,

enfin,

le résultat suivant sur le _rang du groupe de Galois sur F

de la

_{{p, i)-tour}

des classes étales.

_Rappelons

_que si G est un _{groupe de}

type

fini,

le _p-rang de

_G,

noté dans toute la suite est la dimension du

_Fp-espace

vectoriel

_Gab/p.

Proposition

4. Soit G le _groupe de Galois sur F de la

(p, i)-tour

des

classes étales de F. Alors

_rgp(G)

= 1 ₊ Ce _{rang ne}

dépend

pas

de l’entier i.

Nous avons besoin du résultat bien connu suivant

(cf

_e.g

[JMi]]) :

Lemme 2. Pour tout i E

_Z,

= en

parti-culier,

ne

_dépend

_pas de l’entier i.

Preuve du lemme : Fixons un entier i E Z. Soit d _{le p-rang de} Nous avons

Soit y

un

_{générateur topologique}

de r. Comme F contient _p2p,

Preuve de la

_{proposition :}

Si la tour est

_infinie,

le résultat est une

conséquence

directe du lemme

_précédent

et du théorème 1. Si la tour est

finie,

considérons le sous-corps

LI

de fixé par où H =

Gal(Loo(F)/ FC).

Notons

F le

_compositum

des _sous-corps de

_L1

fixés par un

relèvement d’un

_{générateur topologique}

de r

_(c’est

la même construction

que pour le

corps Ê

de la

proposition

1 sauf

qu’on remplace

£oo(F)

par

L 1 ) .

Alors,

4. Sur la

_capitulation

du

_KZ

_{d’un corps de nombres}

Dans ce

paragraphe,

nous traitons

uniquement

le cas du noyau sauvage,

i. e. le cas i = 1. Il existe

cependant

un

_analogue

étale du théorème 2

ci-dessous

_(Voir

_e.g

_[KM],

theorem

_1.2)

et tous les calculs se

_{généralisent}

au

noyau sauvage étale. En

outre,

le p-rang du module ne

dépend

_pas

de i e Z

_(lemme

_2;

_rappelons

_que F contient ce

qui

sera suffisant

pour la preuve du théorème 3.

Pour toute extension

_E/F

de _corps de

_nombres,

_{de groupe de} Galois

_G,

notons

_{f :}

_{K2F --~}

(K2E)G

_{l’homomorphisme}

de fonctorialité étudié dans

[Ka].

Nous

_rappelons

dans le théorème

_qui

suit certains résultats de

_[Ka]

qui

nous seront utiles _pour la suite. Bien _que les résultats de loc. cit. soient

plus généraux,

nous nous

limitons,

_pour nos

besoins,

aux extensions finies

de _corps de nombres :

Theorème 2.

_{flKa] )}

Soit

_E/F

une extension

finie

de _corps de nombres

de _groupe de Galois G. Alors

i)

ii)

Si,

de

_plus,

l’extension

_E/F

n’est _pas

_rarri2fiée

à

_{l’infini :}

iii) (Borel)

K3E

est un _groupe abélien de _rang

fini,

En

_plus,

_K3E

_vérifie

la descente

_galoisienne

en tant que

G-module,

i. e.

(K3E)G

=

K3F.

Grosso

_modo,

_K3E

est

_l’analogue

"tordu" du _groupe des unités de E et

est celui de la

_{partie p-primaire}

_{du groupe des}

_p-classes

de E. Si L

est la

_{pro-p-extension}

non ramifiée maximale de

F,

il est bien connu _que

la

_p-partie

_{du groupe de classes de L} est nulle : c’est une

conséquence

du

théorème de l’idéal

_principal.

Nous

_disposons

d’un résultat

_analogue

_pour la

_partie

_p-primaire

du _{noyau sauvage.}

_Rappelons

_{que pour} une extension

E de

_F,

Wé E

₂ = où la limite inductive

_porte

sur toutes les sous-extensions finies K de F contenues dans E et les

_{homomorphismes}

de liaison sont induits _par

_{l’application}

fonctorielle

_{f .}

Proposition

5.

Preuve :

_Chaque

élément de

né (F(,,,,,»

provient,

par

définition,

d’un

Lemme 3. Si K est un _corps de

nombres,

tout élément de

capi-tule dans la

_p-extension

abélienne

_maximale,

non

ramifiée

et

_{p-décomposée}

d’une

_{p-extension cyclotomique}

convenable de K.

Preuve du lemme : On sait _que

_{pour n » 0,}

où

_{CI’ n}

est _{le groupe des}

_p-classes

de

_K(¡Jpn)

et

_{Gn =}

Comme tout élément d’ordre

_p-primaire

de

_capitule

dans le _p-corps

des

_p-classes

de Hilbert de

_{K(ppn )}

_(théorème

de l’idéal

_principal),

il en est

de même de tout élément de

Pour finir la _preuve de la

_proposition

_5,

remarquons que si la

des classes étales est finie

_{(i. e.}

s’il existe m &#x3E; 0 tel _que

F(m»)

le

noyau sauvage étale de est nul par définition. Si la tour est

infinie,

la

_proposition

est une

conséquence

immédiate du lemme

précédent

et du

théorème 1.

Lorsque

la tour est

_finie,

nous avons le résultat suivant sur la

_cohomologie

de

_qui

sera utilisé dans la _preuve du théorème 3 :

Proposition

6. Soit F un _corps de nombres contenant _p2p tel

que la

(p,1

)-tour des classes étales soit

_finie,

i. e E := est un _corps de

nombres. Alors

,.-Preuve : Pour tout _corps

_K,

soit := Notons

pn

l’ordre

de

_M(E)

et G le _groupe de Galois de E sur F.

_Puisque

_Xoo

est fini

_(car

notre tour

_l’est),

on

_peut

_supposer,

_quitte

à

_{grimper quelques}

étages

dans

la

_Zp-extension

_cyclotomique

de

_F,

_que

i)

rn

:=

_opère

trivialement sur

_Xoo,

et

ii)

p’~

tue

_Xoo.

Il est bien _connu, en

_effet,

_que si M := ~E~ =

E(¡Jpoo)

(en

fait M =

Loo

dans ce

cas),

alors

Hl (MIE, K3 M)

est contenu dans

7ïét E,

donc est nul. La suite exacte

montre alors que

Hl(E/F,

K3E) -

Hl(M/F,

K3M).

Supposons

alors

véri-fiés

_i)

et

_ii).

D’une

_part,

_{pour tout i} &#x3E; 1

(Théorème 2).

D’autre

_part

la nullité du noyau sauvage étale de E

Dans

_(4.2),

le module est

_{cohomologiquement}

trivial. En

_effet,

l’extension :=

F(J.tpn),

étant

p-décomposée,

nous avons

pour toute

place v

de F au-dessus de p et toute

place

w de E

divisant v,

Ew

= Pour tout i _E

Z,

nous avons alors

Mais ce dernier groupe est nul

_grâce

au lemme de Tate sur la trivialité

cohomologique

des racines de l’unité pour l’action de

(cf

[S]).

Quant

à la trivialité

_{cohomologique}

du G-module

_p(Ew),

pour

les

_{places v}

ne divisant _{pas p,} elle résulte

simplement

du fait _que l’extension

E/F

n’est _pas ramifiée en ces

places.

Nous déduisons alors de

(4.1)

et

(4.2)

que :

Ainsi,

pour i =

1,

(dualité

pour la

cohomologie

des groupes

finis).

Pour finir la preuve, la suite

spectrale

de Hoschchild-Serre et la trivialité

co-homologique

de _pour l’action de

_Gn

:=

Gal(F(p,pn)/F)

donnent

l’isomorphisme

où H =

Gad(E/Fn).

Comme

et comme :=

Gal(FC / Fn)

opère

trivialement sur

(hypothèse i)),

nous obtenons ,

soit

(hypothèse

ii)) ;

d’où

_1).

Pour

_2),

_{H-1(G, ~u(E)),}

_lequel

est un

quotient

de

_p(E)

donc

_cyclique.

5. Critère d’infinitude à la Golod-Shafarevich

Le _p-rang d’un _groupe abélien A de

_type

_fini,

noté dans toute la suite

Theorème 3. Soit F un _corps de nombres contenant tel _que

Alors la

_(p,i)-tour

des classes étales de F est

_infinie.

Corollaire 1. Sous les

_hypothèses

du théorème

_3,

est

in-fini.

Remarque

5.1. Le lemme _{2 montre que} le _p-rang du module ne

dépend

pas de l’entier i E Z. Le théorème 3

_peut

alors être énoncé

(mo-dulo la finitude de pour toutes les

(p, i)-tours

de classes étales

(i

E

_Z).

On a aussi vu _que toutes les

(p, i)-tours

infinies coïncident. Notre

critère est donc

_identique

à celui de Jaulent et Soriano

_([JS]

th

₁₂₎

sur

l’in-finitude de la tour "localement

_{cyclotomique"}

_(i

=

0).

Nous _verrons dans la preuve que le "twist" se

simplifie

_par

_rapport

au cas i = 0

_grâce

essentielle-ment aux deux constatations suivantes

(déjà

utilisées dans la _preuve de la

proposition

6) :

i)

L’action de

_{GaI (Loo/ FC)}

sur les racines de l’unité est

_triviale,

d’où la

possibilité

de faire sortir le "twist".

ii)

La descente

_(ou

la

_co-descente)

se fait bien

_grâce

au lemme de Tate sur

la trivialité

_{cohomologique}

de

_Qp/Zp(i),

i

_~

_0,

_pour l’action de

Preuve du théorème :

_Supposons

_que sous les

hypothèses

du

théorème,

la tour est finie. Notons G le _groupe de Galois de E :=

sur

_F,

d :=

Z/p)

le nombre minimal de

générateurs

de G et

r :=

rgpH2(G,

Z/p)

le nombre de relations. Alors

(cf

_e.g

[R]

theorem

10) :

(inégalité

de

_{Golod-Shafarevich).}

Soit

pn

l’ordre du G-module

_{p(E) =}

ppn(E).

Puisque

notre tour est

_finie,

on

_peut

_supposer, comme dans la

preuve de la

proposition 6,

que

r~

:=

opère

trivialement

sur

Xoo,

et _que

e

tue

_Xoo.

Les suites exactes de G-modules

donnent par

cohomologie

les suites exactes

_respectives

et

D’où

La clef de la preuve va être le calcul de chacun des p-rangs dans le membre

de droite de cette dernière

_inégalité.

Nous avons

, -et- -, . -. -..

-(ii)

H-2(G, ~Cpn (E)) _

(preuve

de la

_proposition

_6).

En

_plus,

d =

(proposition

4).

D’où

(E))

= d-1.

(iii)

Pour nous utilisons encore une fois la suite exacte

(4.2),

la trivialité

_{cohomologique}

de théorème 2

22~ :

1 1. 1 1 Il i , , -, i ,. - , ,

Utilisant alors le théorème 2

_iii),

il vient :

Regroupant

tout ce

_qui

_précède,

nous avons

c~ /4

r

_{( 1 +r2 ) ~- (d -1 ) + 1,}

soit

_{d2/4 -}

d -

₍₁

+

_r2)

0 ou encore d 2 +

2~/r2 + 2.

Nous obtenons

finalement,

compte

tenu de la

_proposition

_4,

_{l’inégalité}

rgpliét(F)

1 +

2 r2 + 2, qui

contredit les

_hypothèses

du théorème.

Exemple :

Prenons _p =

3,

F =

Q( 3)

et considérons une extension

cyclique

E de

_F,

de

_degré

3 dans

_laquelle

9 idéaux

_premiers

_{(au moins)}

sont _{ramifiés. La formule des genres pour} le _{noyau sauvage étale}

_(cf

_[KM]

theorem

_2.11)

montre _que

soit 6. Le théorème ci-dessus montre alors _que la tour des _corps

E(m)

est infinie

_{(6 &#x3E;}

1 +

_{2 r2(E)}

+ 2 = 1 ₊

2v’5).

Remerciements. Je tiens à remercier

_T.Nguyen

_Quang

Do

_qui

a attiré mon attention sur l’article

[JS]

et dont les nombreux conseils m’ont

permis

de mener à bien ce travail.

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Jilali ASSIM

Département de Mathématiques et Informatique

Université Moulay Ismail B.P 4010 Bni M’hamed

Meknès, Maroc