EPREUVE OBLIGATOIRE DE MATHEMATIQUES Liste des questions pouvant êtres liées :

(1)

Liste des questions pouvant êtres liées : ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ) ( 16, 17, 18, 19, 20 )

( 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 )

Ce sujet comporte 32 questions dont 24 obligatoires.

Nous considérons l’endomorphisme '; de l’espace vectoriel E=R⁴ rapporté à sa base canoniqueB=³¡!i ; ¡!j ;¡!k ;¡!l ´

; dé…ni par son expression analytique 8>

><

>>

:

A= ¡4a + 5b + 8c + 15d

B= a ¡ c ¡ 3d

C= 2a ¡ 4b ¡ 5c ¡ 8d D= ¡3a + 4b + 6c + 11d

(1)

où l’image du vecteur¡!u = (a; b; c; d)est le vecteur'(¡!u) = (A; B; C; D):

Question n^± 01 :

A) ' n’est pas une application linéaire de E sur Ecar c’est un endomorphisme.

B) La matriceM de'dans la baseBest une matrice carrée d’ordre 3.

C) Tout endomorphisme deEest bijectif car la dimension de E est paire, donc ' est bijectif.

D) ' ne peut être injectif carB est indépen- dant de b:

Nous transformons la système (1) par les opérations élémentaires successives sur les lignes suivantes : L₁ Ã! L₂; puis L₂ Ã L₂ + 4L₁; puis L₃ Ã L₃ ¡2L₁; puis L₄ Ã L₄ + 3L₁; puisL2 ÃL2+L3 et nous obtenons un système, noté(2):

Question n^± 02 :

A) L’ordre des opérations élémentaires ci- dessus n’a pas d’incidence sur le résultat.

B) D’autres opérations élémentaires successives que celles données ci-dessus don- neront le même résultat.

Le système(2) est

C) 8>

><

>>

:

B= a ¡ c ¡ 3d

A+ 2B+C= b + c + d

¡2B+C= ¡4b ¡ 3c ¡ 2d 3B+D= 4b + 3c + 2d

D) 8>

><

>>

:

B= a + c ¡ 3d

A+ 2B+C = b + c ¡ d

¡2B+C = ¡4b + 3c ¡ 2d 3B+D= ¡4b + 3c + 2d Nous transformons la système (2) par les opérations élémentaires successives sur les lignes suivantes : L4 ÃL3+L4; puisL3 ÃL3+ 4L2 et nous obtenons un système, noté(3):

(2)

Question n^± 03 :

A) Le système(3) ne peut-être équivalent au système(2) car l’opérationL₄ ÃL₃+L₄ modi…e la ligneL₃ uniquement.

B) L’ordre des opérations élémentaires successives ci-dessus a une incidence sur le résultat.

Le système obtenu(3) est formé des deux premières lignes de (2) et des deux lignes C)

½4A+ 5C+ 6D= c + 2d

3B+D= 0 D)

½4A+C+ 6D= c ¡ d

B¡C+D= d

Nous transformons (3) par les opérations élémentaires successives sur les lignes suivantes : L₂ ÃL₂¡L₃;puisL₁ÃL₁+L₃ et nous obtenons un système, noté (4):

Question n^± 04 :

A) La première ligne de (4) est 4A¡7B+ 5C=a¡d:

B) La deuxième ligne de(4)est 3A¡4B¡4C =b¡d:

C) La troisième ligne de (4) est 4A¡6B+ 5C =c+ 2d:

D) La quatrième ligne de(4) est B+C+D= 0:

Question n^± 05 : Le système obtenu(4)

A) est semblable au système (1) mais non équivalent au système(2):

B) montre que ' est bijective car dans les trois premières lignes …gurent A; B; C et D:

C) montre que 'est injective si A=B=C =D= 0:

D) montre que ' est surjective car dans la dernière ligne ne …gure plus a; b; c etd:

Question n^± 06 :

Une équation deIm' est

A) b+c+d= 0: B)

8<

:

4a + 7b + 5c = 0

¡3a ¡ 4b ¡ 4c = 0 4a + 6b + 5c = 0 Une base B^Im^' de Im' est

C) ³¡!i ;¡!j ¡¡!k ;¡!k´

: D) ³¡!l ´

:

Question n^± 07 :

Une équation deker 'est A)

8<

:

a ¡ d = 0

b ¡ d = 0

c + 2d = 0

B) b+c+d= 0:

Une base B^ker^' deker ' est C) ³¡!i ;¡!j ¡¡!k ;¡!j ¡¡!l ´

: D) ³¡!i +¡!j ¡2¡!k +¡!l ´ :

Question n^± 08 :

Nous avons (les inclusions sont au sens large)

A) Im'½ker ': B) ker '½Im ':

C) ker ' et Im' sont deux supplémentaires de E car la réunion des bases B^Im^' et B^ker^' est une base de E.

D) dim (ker ') + dim (Im')64:

(3)

Nous considérons les vecteurs ¡!I = (2;¡1;0; 1);¡!J = (1;0; ¡1;1);¡!K = (1; 1;¡2;1) et

¡!L = (1;1;0; 0):

Soit l’équation, d’inconnue¡!u '(¡!u) =¡!u +¡!I ; (E₁) dontS^E¹ est l’ensemble des solutions.

Question n^± 09 :

A) Card (S^E¹) = 1 car' est bijective. B) S^E¹ est une droite vectorielle..

C) ¡!J 2 S^E¹: D) ¡!L 2 S^E¹:

Question n^± 10 :

Le système 8

>>

<

>>

:

¡5a + 5b + 8c + 15d = 2

a ¡ b ¡ c ¡ 3d =¡1

2a ¡ 4b ¡ 6c ¡ 8d = 0

¡3a + 4b + 6c + 10d = 1

(S₁)

A) est de rang 4. B) est de rang 2.

C) S^E1 est l’ensemble des solutions de(S₁) D) ¡!I est une solution de(S₁)car¡!I 2ker':

Question n^± 11 :

Le système 8

>>

<

>>

:

¡4a + 5b + 8c + 15d = 2

a ¡ c ¡ 3d =¡1

2a ¡ 4b ¡ 5c ¡ 8d = 0

¡3a + 4b + 6c + 11d = 1

(S₂)

A) est de rang 3. B) est de rang 4.

C) 'étant bijective, la seule solution de(S₂) est¡!u ='^¡¹³¡K!´

:

D) Les systèmes (S₁) et (S₂) ont au moins une solution commune.

Question n^± 12 : A) n¡!I ; ¡!Jo

½ S^E1: B) ¡!L =2 S^E1:

C) ¡!L 2 S^E¹: D) Card S^E¹ = 0:

P est la matrice deF =³¡!I ; ¡!J ; ¡K ;! ¡!L´

dans B etT = 0 BB

@

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 CC A:

Question n^± 13 :

A) Card F = 4doncF est une nouvelle base deE.

B) F est une famille libre, mais non généra- trice.

C) P n’est pas inversible. D) P est inversible car c’est une matrice carrée.

Question n^± 14 :

A) ¡!I est invariant par ': B) ¡!I +¡!J est invariant par':

C) ¡!L est invariant par ': D) ¡!K +¡!L est invariant par':

(4)

Question n^± 15 :

(M est la matrice de'):Nous avons

A) T P =M P: B) P T =M P:

C) Les deux assertions ci-dessus sont fausses car T n’est pas inversible.

D) T et M sont équivalentes mais non sem- blables.

Nous considérons la fonctionf de la variable réellexdé…nie par f(x) = ¡2 + 3x

x²(1 +x²)de courbe représentativeC dans le repère Oxy:

E désigne l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.

Question n^± 16 :

A) dimE= 4: B) dim E= 5:

La famille F =¡

1 +x²; x+x³; x²; x³; x²+x⁴¢

C) est une base de E car Card F = 5: D) ne peut-être une base deE car x+x³ et x²+x⁴ sont proportionnels.

Question n^± 17 :

Nous écrivons¡2 + 3x=a¡

1 +x²¢ +b¡

x+x³¢

+c x²+d x³+e¡

x²+x⁴¢ : A) a; b; c; d et e sont uniques car F est une

base deE.

B) a; b; c et d sont uniques, mais e peut prendre au moins trois valeurs distinctes.

Nous obtenons, par exemple,

C) a=¡2; b= 3; c= 2; d=¡3 et e= 0: D) a=¡2; b= 3; c=¡2; d= 3 ete= 1:

Question n^± 18 :

Nous avons la décomposition en éléments simples de f(x)de la forme f(x) = ®

x² + ¯

x+ °

1 +x² + ± x 1 +x² +":

A) ®+¯+°+±+"= 0: B) ®=a; ¯=b; ° =¡c; ±="=d:

C) f est dé…nie surR^¤donc admet une primitive sur]0;+1[:

D) Il existe au moins une primitive F de f telle que F⁰6=f en au moins un point.

Question n^± 19 : Nous notons F(¸) =

Z ¸ 1

f(x)dx où¸ >0:

A) F n’existe pas. B) F n’est pas continue.

SiF existe alors C) lim

¸!+1F(¸) = 2¡ ¼ 2 ¡ 3

5 ln 3: D) lim

¸!+1F(¸) =¡2 +¼ 2 +3

2 ln 2:

Question n^± 20 :

La fonction f est dérivable et A) f⁰(x) = (1¡x) ¡

4 +x+ 9x²¢

x³ (1 +x²)² : B) f⁰admet deux zéros réels.

C) C est concave sur [1;+1[: D) C est convexe sur au moins un intervalle fermé.

(5)

Soit la courbe¡ d’équations paramétriques x(t) = lnjtj

¡1 +t; y(t) = ln

¯¯

¯¯t+1 t

¯¯

¯¯:

Question n^± 21 :

SoitD l’ensemble des valeurs de tpour lesquelles ¡ est dé…nie.

A) D=R¡ f0;1g. B) D=R¡ f1g.

C) xn’est pas prolongeable par continuité en t= 1:

D) y n’est pas dérivable surD entier à cause de la valeur absolue.

Question n^± 22 :

Pour tout t2 D; nous pouvons écrire x⁰(t) = '(t)

(¡1 +t)² avec A) '(t) = 1¡t¡ln jtj: B) '(t) = 1¡1

t + lnjtj: Cette fonction 'est dérivable sur D et

C) '⁰(t) = 1¡t

t² : D) '⁰(t)>0;8t2]¡ 1;0[:

Question n^± 23 :

Nous posons I = [¡4;¡3] etg :I !R; t7! ¡exp(1¡1 t):

A) ¯¯¯g⁰(t)¯¯¯>1;8t2 I: B) ¯¯¯g⁰(t)¯¯¯61;8t2 I: Soit la suite (wn)n2N dé…nie parw0 =¡3 et8n>0; wn+1=g(wn):

C) (w_n)_n_2N est divergente carg⁰ est négatif. D) (w_n)_n_2N est convergente vers la solution sur I de g(t) = 0:

Question n^± 24 :

Soit¯ une solution de '(t) = 0 sur I:

A) ¯ ne peut pas être déterminé car (w_n)_n_2N n’est pas convergente.

B) ¯ existe, est unique et est aussi solution de t= exp(1¡ 1

t):

C) Pour tout t2 I; '(t) = 0 est équivalente à g(t) =t:

D) Une valeur approchée de ¯ à 10^¡² prés par excès est ¡3:60:

Question n^± 25 :

A) x⁰(¯) = 0 ety⁰(¯)>0. B) 8t2]¯;0[; x⁰(t)>0:

C) 8t2]¡1;0[; y⁰(t)>0: D) t2 f¡1; ¯g ,x⁰(t) = 0:

Question n^± 26 :

A) xetysont croissantes en même temps sur au moins deux intervalles.

B) Sur]¡ 1; ¯[; x ety sont décroissantes.

C) Sur ]1;+1[; x et y sont strictement décroissantes.

D) Sur]0;1[; yest croissante au sens large.

Question n^± 27 :

Au voisinage de t=¡1;la courbe représentative¡ admet une tangente

A) verticale carx n’est pas borné. B) dont une équation esty=xln 2:

Au voisinage de t= 1;la courbe représentative¡ admet

C) une asymptote verticale. D) une tangente de vecteur directeur(1;ln 2).

(6)

Question n^± 28 :

Au voisinage de t= 0;nous avons les équivalences A) x(t) s

t=0lnjtj: B) y(t) s

t=0¡lnjtj: C) y(t)¡x(t) s

t=0lnjtj: D) y(t) +x(t) s

t=0tlnjtj: Question n^± 29 :

¡ admet pour asymptote

A) la droite d’équation y=x: B) la droite d’équationy =¡x:

Nous pouvons préciser que si t!0⁺;

C) ¡ est en dessous de cette asymptote. D) le problème ne se pose pas car il n’y a pas d’asymptote.

Les points doubles de¡ sont les couples (u; v)tels que 8<

:

x(u) = x(v) y(u) = y(v) u 6= v

:

Question n^± 30 :

A) uv+ 1 = 0: B) u=¡v:

C) u²¡2u¡1 = 0 si u >1: D) v²¡2v+ 1 = 0si v2]¡1;0[:

Question n^± 31 :

¡ admet un point double et nous pouvons choisir (u; v)égal à A) (1¡p

2;1 +p

2) B) (¡1; 1):

Une valeur approchée des coordonnées dans le plan du point double est

C) (0:62;1:04): D) (1:04;0:62):

Question n^± 32 :

¡ possède

A) deux asymptotes obliques et une asymptote horizontale.

B) une asymptote oblique, une asymptote verticale et une branche parabolique de direction Ox:

C) une et une seule asymptote qui, de plus, est verticale.

D) seulement deux asymptotes dont une oblique.