Cavité Fabry-Perot (1)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

stephane.blin@univ-montp2.fr

A. Faisceaux Gaussiens et cavités

A.4. Cavités résonantes

Cavité Fabry-Perot (1)

Fonction de transfert

d’une cavité Fabry-Perot plan-plan

Approche usuelle en ondes planes somme des ondes en sortie

•

Déphasage aller-retour : =4 nLcos(⇧)/⌃

•

Champ de sortie :

Apparition d’une suite géométrique de raison r¹r²eⁱ soit :

Approche alternative en ondes planes : problème auto-compatible

47

E_out = t₁ t₂ e^{i /2} n

1 + r₁ r₂ eⁱ + r₁ r₂ eⁱ ² + r₁ r₂ eⁱ ³ + ...o

E_in

E_out = t₁ t₂ e^{i /2}

1 r₁ r₂ eⁱ E_in

E_c = r₁ r₂ eⁱ E_c + t₁ E_in ) E_out = t₁ t₂ e^{i /2}

1 r₁ r₂ eⁱ E_in

t₁,r₁ t₂,r₂

E_in E_out

L n

E_c

t₁,r₁ t₂,r₂

E_in

E_out

L n

θ

(6)

T_{F P} = E_out E_in

2

= T²

1 + R² 2 R cos( )

Cavité Fabry-Perot (2)

Transmission en intensité : la fonction d’Airy

Cavité Fabry-Perot plan-plan symétrique sous incidence normale

•

Symétrie : r1 = r2 = r = √R et t1 = t2 = t

•

Incidence normale : t = √T

Transmission en intensité :

expression pouvant être écrite sous la forme :

sachant que on obtient :

•

F est le coefficient de finesse :

•

est la phase cumulée sur un aller-retour

48

T_{F P} = (1 R)²

(1 R)² + 2R [1 cos( )]

sin²( /2) = [1 cos( )]/2 T_{F P} = 1

1 + F sin²( /2)

F = 4 R T² Fonction d’Airy

−4π −2π 0 2π 4π 0

0,4 0,6 0,8 1

0,2

F=0,1

F=1

F=10

T

FP

φ

t,r t,r

E_in E_out

L n

E_c

(7)

0 0,4 0,6 0,8 1

0,2

Intensité

Fréquence

ν_N

ν_N-1 ν_N+1 ν_N+2 ν_N-2

ISL

∆ν

Modes longitudinaux (1)

Modes longitudinaux d’une cavité

Fonction d’Airy :

•

Phase cumulée sur un aller-retour : = 4 n L / ⌃

•

Maxima de la fonction d’Airy pour N = N 2

➙ Longueurs d’ondes résonantes : ⌃N = 2 n L / N

•

Intervalle spectral libre (ISL) : ISL = N+1 - N

➙ Périodicité des résonances (en fréquence) : ISL = c / 2 n L

49

T_{F P} = 1

1 + F sin²( /2)

Mode

fondamental Modes d’ordre supérieur

Cavités acoustiques Cavités optiques

t,r t,r

E_in E_out

L n

E_c

(8)

Fabry-Perot avec gain / pertes (1)

Cavité Fabry-Perot avec gain / pertes sous incidence normale

Insertion de gain ou pertes linéiques :

E= E0 e^–i ^k ^z e^–⇥ ^z

avec ⇥ coefficient linéique (m^-1)

représentant les pertes si ⇥>0 ou le gain si ⇥<0

Problème auto-compatible :

Ec = r1 r2 e^–i ² ^k ^L e^{–2 ⇥} ^L Ec+ t1 Ein

Permet de déterminer la transmission :

Possibilité d’oscillation si le dénominateur s’annule :

r1 r2 e^–i ² ^k ^L e^{–2 ⇥} ^L = 1

•

Condition sur la phase (résonance) : 2 k L = 0 [2 ] soit ⌃N =2 n L / N

•

Condition sur le gain (égalité gain-pertes) : r1 r2 = e^{2 ⇥} ^L ou ⇥ = ln(r1 r2)/(2 L)

➙

Existence du champ en sortie (Eout) en absence d’excitation externe (Ein)

56

t₁,r₁ t₂,r₂

E_in E_out

L n

E_c

E_out

E_in = t₁ t₂ e ^{i k L} e ^L

1 r₁ r₂ e ⁱ²^{k L} e ² ^L

(9)

Fabry-Perot avec gain / pertes (2)

Analogie avec un

oscillateur électronique

Équations du circuit :

Vout= G Vc

Vc =Vin + H Vout

Transmission du circuit :

Critère de Barkhausen : oscillation si annulation du dénominateur :

H G = 1

•

Condition sur la phase (résonance) : arg(H(w)) +arg(G(w)) = 0 [2 ]

•

Condition sur le gain (égalité gain-pertes) : |G| |H| = 1

➙

Existence du champ en sortie (Vout) en absence d’excitation externe (Vin)

➙

Analogie avec la transmission du Fabry-Perot avant le miroir de sortie : G ⇤ e^–⇥ ^L et H ⇤ r1 r2 e^–i ² ^k ^L e^–⇥ ^L

57

∑ G

H

V

_in

V

_c

V

_out

V_out

V_in = G 1 H G