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Bernard BAYLE

Télécom Physique Strasbourg

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Cours Automatique Continue

Enseignant responsable

Bernard Bayle : Pr. Télécom Physique Strasbourg.

Chercheur dans l’équipe AVR d’ICube.

http://eavr.u-strasbg.fr/~bernard

Organisation

CM : 12×1h45 ('50 min.+10 min. de pause+50 min.) TD : 10×1h45

TP : 1×4h Matlab + 3×4h Automatique

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Enseignant responsable

Bernard Bayle : Pr. Télécom Physique Strasbourg.

Chercheur dans l’équipe AVR d’ICube.

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Evaluation (documents autorisés) CCF : 1h45

(4)

Cours Automatique Continue

Quelques règles : Portable éteint.

Mains sur la table.

Je détruis :

Les 20 minutes (et je sors les étudiants les lisant).

Les téléphones qui sonnent en cours.

(5)

Notion de système

Système

Etymologiquement :ensemble organisé.

Système et Automatique

Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique, . . . d’entréeu et de sortiey.

Système dynamique

Procédé évoluant au cours du temps sous l’action de son entréeu.

(6)

Notion de système

Système

Etymologiquement : ensemble organisé.

Procédéde nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique, . . . d’entréeu et de sortiey.

Système dynamique

Procédé évoluant au cours du temps sous l’action de son entréeu.

(7)

Notion de système

Système

Etymologiquement : ensemble organisé.

Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique, . . . d’entréeu et de sortiey.

Système dynamique

Procédé évoluant au cours du tempssous l’action de son entréeu.

(8)

Notion de système asservi

Système asservi

Contre-réaction: entrée du système ajustée en réaction aux informations de sortie.

A la douche . . .

Douche à un bouton. . .

. . . après la douche brûlante, la douche à deux robinets. . . . . . un thermostat et c’est réglé !

A quoi ça sert ?

Avoir la température désirée. . . . . . le débit d’eau chaude baisse ?

(9)

Notion de système asservi

Système asservi

Contre-réaction : entrée du système ajustée en réaction aux informations de sortie.

A la douche . . .

A quoi ça sert ?

(10)

Notion de système asservi

Système asservi

A la douche . . .

. . . après la douche brûlante, la douche à deux robinets. . .

. . . un thermostat et c’est réglé !

A quoi ça sert ?

(11)

Notion de système asservi

Système asservi

A la douche . . .

A quoi ça sert ?

(12)

Notion de système asservi

Système asservi

A la douche . . .

A quoi ça sert ?

Avoir la température désirée. . .

. . . le débit d’eau chaude baisse ?

(13)

Notion de système asservi

Système asservi

A la douche . . .

A quoi ça sert ?

(14)

Systèmes asservis au cours du temps (1)

Clepsydre - Ktesibios d’Alexandrie (270 avant JC) - . . . Antique horloge à eau.

(15)

Systèmes asservis au cours du temps (2)

Machine de Watt 1769

Régulation de vitesse d’une machine à vapeur.

(16)

Systèmes asservis au cours du temps (3)

Théories classiques

Stabilité - Maxwell, Routh, Lyapunov, 1868-1893.

Servomécanismes - Nyquist, Bode, Evans, 1932-1947.

Théories modernes

Représentation d’état, Bellman, Kalman, Pontryagin, 1950.

(17)

Ce que vous allez apprendre. . .

Modélisation

Ecriture des lois de la physique, lorsque les paramètres du système sont relativement bien connus.

Identification d’un modèle dans le cas contraire.

Analyse

Caractérisation des différentes propriétés du système.

Commande

Modification de l’entrée du système par un correcteur. Mise en œuvre de ce correcteur.

(18)

Ce que vous allez apprendre. . .

Modélisation

Identificationd’un modèle dans le cas contraire.

Analyse

Commande

(19)

Ce que vous allez apprendre. . .

Modélisation

Analyse

Caractérisation des différentespropriétés du système.

Commande

(20)

Ce que vous allez apprendre. . .

Modélisation

Analyse

Commande

Modification de l’entrée du système par uncorrecteur. Mise en œuvre de ce correcteur.

(21)

Objectifs et cadre de l’étude

Systèmes étudiés

Cas dessystèmes monovariables: c’est-à-dire possédant une seule entréeuet une seule sortiey.

Analogique ou numérique ?

Cas des systèmes à temps continu :u(t)ety(t)fonctions d’une variable continue.

Linéaire ou non ?

Etude des systèmes au comportement linéaire : soit linéaires, soit linéarisés autour d’un point de fonctionnement.

(22)

Objectifs et cadre de l’étude

Systèmes étudiés

Cas des systèmes monovariables : c’est-à-dire possédant une seule entréeuet une seule sortiey.

Cas dessystèmes à temps continu:u(t)ety(t)fonctions d’une variable continue.

Linéaire ou non ?

Etude des systèmes au comportement linéaire : soit linéaires, soit linéarisés autour d’un point de fonctionnement.

(23)

Objectifs et cadre de l’étude

Systèmes étudiés

Cas des systèmes monovariables : c’est-à-dire possédant une seule entréeuet une seule sortiey.

Cas des systèmes à temps continu :u(t)ety(t)fonctions d’une variable continue.

Linéaire ou non ?

Etude dessystèmes au comportement linéaire: soit linéaires, soit linéarisés autour d’un point de fonctionnement.

(24)

Première partie I

Systèmes à temps continu

(25)

Plan

1 Modélisation

Mise en équation d’un système physique Propriétés des systèmes à temps continu Représentations temporelles des systèmes Représentation par fonction de transfert Correspondances entre représentations

2 Réponses des systèmes à temps continu Réponse temporelle

Réponse temporelle des systèmes élémentaires Réponse harmonique

Réponse harmonique des systèmes élémentaires Simplification de la représentation d’un système

3 Analyse des systèmes à temps continu Commandabilité et observabilité Stabilité

(26)

Plan

1 Modélisation

(27)

Plan

1 Modélisation

(28)

Premier exemple : moteur à courant continu (1)

Description

Energie électrique : alimentation de l’induit mobile (rotor) Champ magnétique de l’inducteur (séparé et constant) Forces électriques (addition=balais+collecteur) : rotation Système : entrée=alimentation induit, sortie=rotation rotor

(29)

Premier exemple : moteur à courant continu (2)

Modélisation

Mécanique : principe fondamental de la dynamique Electrique : loi des mailles

Entrée=tension d’induit, sortie=vitesse de rotation du rotor

e(t)

R L

i(t)

f u(t) ω(t) γ(t)

i(t)

u(t)

(30)

Premier exemple : moteur à courant continu (3)

Modélisation

Modélisation mécanique :γ−fω=J^dω_dt Modélisation électrique :Ri +L_dt^di +e=u Loi couple (par construction) :γ =Kmi Loi vitesse (par construction) :e=Ke ω

e(t)

R L

i(t)

f u(t) ω(t) γ(t)

i(t)

u(t)

(31)

Premier exemple : moteur à courant continu (4)

Equations mécaniques :γ−fω=J^dω_dt etγ =K_mi Equations électriques :Ri+L^di_dt +e=uete=K_e ω Relation entréeu- sortieωavec(K_e=K_m=K):

Ki =fω+J^dω_dt K_dt^di =f^dω_dt +J^d_dt²^ω₂

R

K fω+J^dω_dt +_K^L

f^dω_dt +J^d_dt²^ω2

+K ω=u

d²ω

dt² + ^RJ+Lf_LJ ^dω_dt +^Rf_LJ^+K² ω= _LJ^K u

Relation entrée-sortie

Equation différentielle d’ordre 2, linéaire à coef. constants.

(32)

Premier exemple : moteur à courant continu (4)

Ki =fω+J^dω_dt

K_dt^di =f^dω_dt +J^d_dt²^ω₂

R

+K ω=u

d²ω

(33)

Premier exemple : moteur à courant continu (4)

R

+K ω=u

d²ω

(34)

Premier exemple : moteur à courant continu (4)

R

+K ω=u

d²ω

(35)

Premier exemple : moteur à courant continu (4)

R

+K ω=u

d²ω

dt² +^RJ+Lf_LJ ^dω_dt +^Rf+K_LJ ² ω= _LJ^K u

(36)

Premier exemple : moteur à courant continu (4)

R

+K ω=u

d²ω

dt² +^RJ+Lf_LJ ^dω_dt +^Rf+K_LJ ² ω= _LJ^K u

(37)

Deuxième exemple : suspension (1)

Description

Véhicule : massem_v

Modèle suspension : ressort amorti (k_s,f_s)

Roue : massem_r, modèle roue + pneu : ressort idéal (k_r) Système : entrée=profil route, sortie=altitude véhicule

caillou ! kr

système à l’équilibre

mv 4

mr fs ks

~z

~x

z_c zr zv

(38)

Deuxième exemple : suspension (2)

Modélisation

Deux solides à l’équilibre

Mécanique : principe fondamental de la statique

fs

ks

mv 4

fs

mr

kr

ks

−^m₄^vg

−m_rg ks∆ls

−k_r∆lr

−k_s∆ls

véhicule

roue Equilibre

(39)

Deuxième exemple : suspension (3)

Modélisation

Deux solides en mouvement

Mécanique : principe fondamental de la dynamique

fs

ks

mv 4

fs

mr

kr

ks

fsd dt(zv−zr)

−ks(zv−zr)

−f_s_dt^d(zv−zr)

ks(zv−zr)

−k_r(zr−zc)

zv

zc

véhicule

roue Variations

zr

(40)

Deuxième exemple : suspension (4)

Modélisation

Véhicule : ^m₄^v ^d_dt²^z₂^v =−k_s(z_v −z_r)−f_s

dzv

dt −^dz_dt^r Roue :mrd²zr

dt² =−k_r(zr−zc) +ks(zv −zr) +fs

dzv

dt −^dz_dt^r

mv

4 mr

fsd dt(zv−zr)

−ks(zv−zr)

−fsd dt(zv−zr)

ks(zv−zr)

−kr(zr−zc)

zv véhicule

roue zr

Relation entréez_c - sortiez_v?

(41)

Troisième exemple : régulateur de niveau (1)

Description

Réservoir alimenté en liquide

Niveau réglé par une vanne d’entrée

Système : entrée=débit vanne, sortie=niveau liquide

R

q0+qs

q₀+qe

vanne entrée

vanne sortie h0+h

(42)

Troisième exemple : régulateur de niveau (2)

Modélisation

Point de fonctionnement nominal (q₀,h₀)

Résistance du tuyau de sortie : variations hauteur de liquide/débit de sortie (variations notéeshetqs) Hauteur de liquide : fonction de la sectionC et de la différence de débit entrée - sortie

R

q0+qs

q0+qe

vanne entrée

vanne sortie h₀+h

(43)

Troisième exemple : régulateur de niveau (3)

Modélisation

Résistance (selon nature de l’écoulement)

α hauteur de liquide

h₀+h h0

débit de sortie q₀ q₀+q_s

R= tanα(q₀) = _q^h

s

Section :Cdh= (qe−qs)dt

(44)

Troisième exemple : régulateur de niveau (4)

Equation résistance :R= _q^h

s

Equation écoulement :Cdh= (q_e−q_s)dt

Relation entréeq_e- sortieh:

C^dh_dt =q_e− _R^h RC^dh_dt +h=Rqe

(45)

Troisième exemple : régulateur de niveau (4)

s

Relation entréeq_e- sortieh: C^dh_dt =q_e−_R^h

RC^dh_dt +h=Rqe

(46)

Troisième exemple : régulateur de niveau (4)

s

RC^dh_dt +h=Rqe

(47)

Troisième exemple : régulateur de niveau (4)

s

RC^dh_dt +h=Rqe

(48)

Quatrième exemple : échangeur thermique (1)

Description

Echange thermique entre circuit de vapeur et circuit d’eau Débit de vapeur réglé par une vanne d’entrée

Système : entrée=débit vapeur, sortie=température eau

θve

θe θm

θv

θee

wv

(49)

Quatrième exemple : échangeur thermique (2)

Modélisation

Chaleur amenée par la vapeur :qv =wvcv(θve−θv) (w_v : débit massique etc_v : chaleur massique de la vapeur) Bilan de chaleur :qe = ^θ^v^−θ_R ^e

(R: résistance thermique moyenne de l’échangeur) Flux de chaleur net :Cvdθv

dt =qv −qe

(C_v : capacité thermique de la vapeur)

θ_ve

θe θm

θv

θee

wv

(50)

Quatrième exemple : échangeur thermique (3)

Chaleur amenée :q_v =w_vc_v(θve−θv) Bilan de chaleur :q_e = ^θ^v^−θ_R ^e

Flux de chaleur net :Cvdθv

dt =qv −qe

Equations du système :

Flux de chaleur net, vapeur : C_v^dθ_dt^v =w_vc_v(θ_ve−θ_v)−^θ^v^−θ_R ^e

Flux de chaleur net, eau :C_e^dθ_dt^e =w_ec_e(θ_ee−θ_e) +^θ^v^−θ_R ^e Mesure :θm(t) =θe(t−τ)

Système non linéaire avec retard.

(51)

Quatrième exemple : échangeur thermique (3)

dt =qv −qe

(52)

Quatrième exemple : échangeur thermique (3)

dt =qv −qe

Flux de chaleur net, eau :C_e^dθ_dt^e =w_ec_e(θ_ee−θ_e) +^θ^v^−θ_R ^e

Mesure :θm(t) =θe(t−τ) Relation entrée-sortie

(53)

Quatrième exemple : échangeur thermique (3)

dt =qv −qe

(54)

Quatrième exemple : échangeur thermique (3)

dt =qv −qe

(55)

Plan

1 Modélisation

(56)

Linéarité

Définition

Soity₁(t)ety₂(t)les réponses d’un systèmeΣexcité séparément par les entréesu₁(t)etu₂(t)etα∈R. Le système estlinéairesi sa sortie vautαy₁(t) +y₂(t)en réponse à l’entréeαu₁(t) +u₂(t).

y1(t)

y2(t) u2(t)

u1(t)

Σ Σ

αu1(t) +u2(t) αy1(t) +y2(t) Σ

linéarité

Principede superposition.

(57)

Invariance

Définition

Soity(t)la réponse d’un systèmeΣd’entréeu(t).

Le système estinvariantsi une même commande, appliquée à deux instants différents produit la même sortie aux instants considérés.

Σ

u(t) y(t)

Σ u(t+τ)

invariance y(t+τ)

(58)

Principe de causalité

Définition

Unsignal f(t)à temps continu estcausalsif(t) =0, ∀t <0.

Définition

Soity(t)la réponse d’un système d’entréeu(t).

Le système estcausalsi,∀t <0,u(t) =0⇒y(t) =0.

La réponse du système ne précède pas son excitation.

Tout système physiquement réalisable est causal.

Hypothèse

Tous les signaux et systèmes étudiés sont causaux.

(59)

Linéarité et invariance des systèmes étudiés

Invariance

Commande appliquée à l’instantt+τ : même sortie qu’en appliquant cette commande à l’instantt, décalée deτ.

MCC : échauffement du circuit = variation de la résistance

Linéarité

Linéarité : hypothèses de modélisation.

Suspension : pas de frottement sec

Niveau de liquide : étude en un point de fonctionnement Echangeur thermique : non linéaire ?

Retard

Sans influence sur la linéarité et l’invariance.

(60)

Plan

1 Modélisation

(61)

Représentation externe par une équation différentielle

Propriété

Un système à temps continulinéaire et invariant sans retardest décrit par uneéquation différentielle linéaire à coefficients constants.

Notations

n

X

i=c

a_idⁱy(t) dtⁱ =

m

X

i=0

b_idⁱu(t) dtⁱ

a_i etb_i ∈Rtel queac,an,b₀etbm6=0

n,m∈Ntel quem6npour un système causal n:ordre du système,c6n:classe du système y(t):nCI poury etmCI pouru

(62)

Représentation externe par une équation différentielle

Propriété

Notations

n

X

i=c

a_idⁱy(t) dtⁱ =

m

X

i=0

b_idⁱu(t) dtⁱ a_i etb_i ∈Rtel quea_c,a_n,b₀etb_m6=0

(63)

Représentation externe par une équation différentielle

Propriété

Notations

n

X

i=c

a_idⁱy(t) dtⁱ =

m

X

i=0

n,m∈Ntel quem6npour un système causal

n:ordre du système,c6n:classe du système y(t):nCI poury etmCI pouru

(64)

Représentation externe par une équation différentielle

Propriété

Notations

n

X

i=c

a_idⁱy(t) dtⁱ =

m

X

i=0

n,m∈Ntel quem6npour un système causal n:ordre du système,c6n:classe du système

y(t):nCI poury etmCI pouru

(65)

Représentation externe par une équation différentielle

Propriété

Notations

n

X

i=c

a_idⁱy(t) dtⁱ =

m

X

i=0

(66)

Relation entrée-sortie du MCC Entrée : tension d’induitu

Sortie : vitesse de rotation du rotorω d²ω

dt² +RJ+Lf LJ

dω

dt +Rf +K²

LJ ω= K LJu

n=2 : système d’ordre 2 c =06n: système de classe 0 ω(t): 2 CI pourω, ^dω_dt(0)etω(0)

(67)

dt² +RJ+Lf LJ

dω

dt +Rf +K²

LJ ω= K LJu

n=2 : système d’ordre 2

c =06n: système de classe 0 ω(t): 2 CI pourω, ^dω_dt(0)etω(0)

(68)

dt² +RJ+Lf LJ

dω

dt +Rf +K²

LJ ω= K LJu

n=2 : système d’ordre 2 c =06n: système de classe 0

ω(t): 2 CI pourω, ^dω_dt(0)etω(0)

(69)

dt² +RJ+Lf LJ

dω

dt +Rf +K²

LJ ω= K LJu

n=2 : système d’ordre 2 c =06n: système de classe 0 ω(t): 2 CI pourω, ^dω_dt (0)etω(0)

(70)

Représentation d’état du système (1)

Propriété

Un système à temps continulinéaire et invariant sans retardest décrit par une infinité de représentations sous forme de

systèmes différentiels d’ordre un, à coefficients constants.

Représentation d’état

dx

dt = Ax +Bu

y = Cx +Du

(71)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

dt = Ax +Bu, équation d’évolution, d’état y = Cx +Du, équation de sortie, de mesure

x de dimensionn×1 :vecteur d’état, représentation interne du système

A,B,CetD: matrices constantes

Ade dimensionn×n:matrice d’évolution(oud’état) Bde dimensionn×1 :matrice de commande(oud’entrée) C de dimension 1×n:matrice d’observation

Dscalaire :coefficient de transmission directe x(t)ety(t): CIx(t₀)

(72)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

(73)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

(74)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

Ade dimensionn×n:matrice d’évolution(oud’état)

Bde dimensionn×1 :matrice de commande(oud’entrée) C de dimension 1×n:matrice d’observation

(75)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

Ade dimensionn×n:matrice d’évolution(oud’état) Bde dimensionn×1 :matrice de commande(oud’entrée)

C de dimension 1×n:matrice d’observation Dscalaire :coefficient de transmission directe x(t)ety(t): CIx(t₀)

(76)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

(77)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

Dscalaire :coefficient de transmission directe

x(t)ety(t): CIx(t₀)

(78)

Représentation d’état du système (2)

Notations

dx

(79)

Modèle d’état du MCC Entréeu, sortieω

Variables d’état indépendantesx₁=ωetx₂=i

(80)

Variables d’état indépendantesx₁=ωetx₂=i Réécriture des équations :

Ri +Ldi

dt +Kω = u Ki−fω = Jdω

dt

(81)

Rx₂+Ldx₂

dt +Kx₁ = u Kx₂−fx₁ = Jdx₁

dt

(82)

Rx₂+Ldx₂

dt +Kx₁ = u Kx₂−fx₁ = Jdx₁

dt Représentation d’état

d dt

x₁ x₂

= −_J^f ^K_J

−^K_L −^R_L

! x₁ x₂

! + 0

1 L

! u,

y = 1 0 x₁

x₂

(83)

Variables d’état indépendantesx₁=ωetx₂= ^dω_dt

(84)

Variables d’état indépendantesx₁=ωetx₂= ^dω_dt Réécriture des équations :

d²ω

dt² +RJ+Lf LJ

dω

dt +Rf +K²

LJ ω = K

LJu

(85)

dx₂

dt +RJ+Lf

LJ x₂+Rf +K²

LJ x₁ = K LJu x₂= dx₁

dt

(86)

dx₂

dt +RJ+Lf

LJ x₂+Rf +K²

LJ x₁ = K LJu x₂= dx₁

dt

Représentation d’état

d dt

x₁ x₂

= 0 1

−^Rf_LJ^+K² −^RJ+Lf_LJ

! x₁ x₂

! + 0

K LJ

! u,

y = 1 0 x₁

x₂

(87)

Plan

1 Modélisation

(88)

Transformée de Laplace : définition

Définition

Soitf(t)un signal à temps continu, prenant la valeurf(t)à l’instantt. Latransformée de Laplacedef(t)est définie par :

F(s) =L{f(t)}= Z +∞

0

f(t)e^−stdt.

Propriété

Soits=σ+jω. La transformée de Laplace est généralement définie sur un demi-plan complexe pour lequelσ∈]σ0, +∞[.

La valeurσ₀définissant la limite de convergence est appelée abscisse de convergencede la transformée.

(89)

Transformée de Laplace : calcul

Tables de transformées

Autant que possible, on utilise des tables de transformées pré-calculées :

δ(t) → 1

U(t) → ¹_s . . .

Calcul

Calcul direct de l’intégrale

(90)

Exemple de calcul

Calcul de la transformée de Laplace def(t) =e^−at U(t).

(91)

Exemple de calcul

Définition(s=σ+jω) : F(s) =

Z +∞

0

e^−ate^−stdt,

=

Z +∞

0

e^−ate^−(σ+jω)tdt,

=

Z +∞

0

e^−(σ+a)te^−jωtdt.

(92)

Exemple de calcul

Convergence en valeur absolue de l’intégrale : Z +∞

0

|e^−(σ+a)te^−jωt|dt =

Z +∞

0

|e^−(σ+a)t||e^−jωt|dt,

=

Z +∞

0

|e^−(σ+a)t|dt,

=

Z +∞

0

e^−(σ+a)tdt,

=

"

−e^−(σ+a)t σ+a

#t→+∞

t=0

.

Converge en valeur absolue ssiσ+a>0, doncσ > σ₀=−a.

(93)

Exemple de calcul

Calcul :

F(s) =

Z +∞

0

e^−(s+a)tdt,

=

"

−e^−(s+a)t s+a

#t→+∞

t=0

= 1

s+a

(94)

Exemple de calcul

Transformée dee^−at U(t) Finalement :

F(s) =L{e^−at U(t)}= 1 s+a pour touts=σ+jωsi et seulement siσ >−a.

(95)

Transformée de Laplace : propriétés principales

linéarité L{f(t) +αg(t)}=F(s) +αG(s), ∀α∈R retard L{f(t−τ)}=e^−τsF(s), ∀τ ∈R

intégration Ln Rt

0f(τ)dτo

= ^F^(s)_s

dérivation ent Ln_df_(t)

dt

o

=sF(s)−f(0) valeur finale limt→∞f(t) = lims→0sF(s) convolution L{f(t)∗g(t)}=Ln

R+∞

−∞ f(τ)g(t−τ)dτo

=F(s)G(s)

(96)

Transformée de Laplace : inversion

Définition

SoitF(s)la transformée de Laplace def(t). Latransformée de Laplace inversedeF(s)s’écrit :

f(t) =L⁻¹{F(s)}= 1 2πj

Z

Γ

F(s)e^stds.

Tables de transformées

Décomposition en éléments simples pour utiliser les tables de transformées.

. . .sinon formule d’inversion et calcul des résidus.

(97)

Transformée de Laplace : intérêt

Réécriture du modèle du système

Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l’évolution dynamique du système en équations algébriques ens.

Conditions initiales Dérivation ent :Ln

df(t) dt

o

=sF(s)−f(0) Termes liés aux CI6=0

(98)

Relation entrée-sortie du MCC ent Variablet:

ω(t) + RJ+Lf Rf +K²

dω(t)

dt + LJ

Rf +K²

d²ω(t)

dt² = K

Rf +K² u(t),

Transformée de Laplaceà CI nulles: Ω(s) + RJ+Lf

Rf +K²sΩ(s) + LJ

Rf +K² s²Ω(s) = K

Rf +K² U(s),

Relation entrée-sortie du MCC ens

1+ RJ+Lf

Rf +K²s+ LJ Rf +K² s²

Ω(s) = K

Rf +K² U(s),

(99)

Relation entrée-sortie du MCC ent Variablet:

ω(t) + RJ+Lf Rf +K²

dω(t)

dt + LJ

Rf +K²

d²ω(t)

dt² = K

Rf +K² u(t), Transformée de Laplace à CI nulles :

Ω(s) + RJ+Lf

Rf +K²sΩ(s) + LJ

Rf +K² s²Ω(s) = K

Rf +K² U(s),

Relation entrée-sortie du MCC ens

1+ RJ+Lf

Rf +K²s+ LJ Rf +K² s²

Ω(s) = K

Rf +K² U(s),