En d´eduire que siRm\Fr(A) est connexe alors soitAest dense soitRm\Aest dense

UNSA –Mesure et Topologie– L3 2013-2014 Examen du 17 d´ecembre 2013

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1. Fronti`ere et densit´e. Soient les partiesA⊆R<sup>m</sup>et B ⊆R<sup>n</sup>. On rappelle que la fronti`ere Fr(A) est d´efinie comme l’ensemble des pointsx∈R^m tels que tout ouvert deR^m contenantxrencontre `a la foisAet R^m\A.

1.a. Etablir les ´egalit´esA∩R^m\A= Fr(A) =A\A.^o

1.b. EcrireR^m\Fr(A) comme une r´eunion d’ouverts deR^m. En d´eduire que siR^m\Fr(A) est connexe alors soitAest dense soitR^m\Aest dense.

1.c. Montrer (R^m×Rⁿ)\(A×B) = ((R^m\A)×Rⁿ)∪(R^m×(Rⁿ\B)). En d´eduire l’inclusion (Fr(A)×B)∪(A×Fr(B))⊆Fr(A×B).

1.d. Expliciter 1.c dans le casm =n = 1, A =B = [0,1] et dans le cas m=n= 1, A=B =Q. Que constatez-vous ?

2. Connexit´e et point fixe. On note ∆ ={(x, y)∈R²|x=y}.

2.a. D´eterminer les composantes connexes de R²−∆. Montrer qu’une partie connexe Γ deR²qui rencontre toutes les composantes connexes deR²−∆

rencontre ´egalement ∆.

2.b. Soit Γ une partie connexe deR² qui ne rencontre pas ∆. Montrer que la fonctionR² → R : (x, y) 7→ x−y est `a signe constant sur Γ. En d´eduire que si Γ est contenu dans une bandeR×[−N, N] alors Γ est contenu soit dans [−N,∞[×[−N, N] soit dans ]− ∞, N]×[−N, N].

2.c. Montrer que le graphe Γf = {(x, y) ∈ R²|y = f(x)} d’une fonction continuef :R→Rest ferm´e et connexe. Montrer que f poss`ede un point fixe si et seulement si Γ<sub>f</sub> rencontre ∆. En d´eduire (`a l’aide de 2.b) que si f est continue et born´ee alorsf admet un point fixe.

2.d. Montrer que le graphe Γg ⊂[−1,1]×[−1,1] d’une fonction continue g: [−1,1]→[−1,1] est compact et connexe. Montrer que les deux projections d’une partie compacte connexe de ([−1,1]×[−1,1])\∆ sont des intervalles ferm´es de [−1,1] ne contenant pas simultan´ement −1 et 1. En d´eduire que g poss`ede un point fixe.

3. Mesures `a support fini sur Rⁿ. Soit l’espace mesurable (Rⁿ,B_Rn).

Pourx∈Rⁿ, on noteδ_x:B_Rn→R+ la fonction de Dirac d´efinie par

δ_x(A) =

(1 six∈A 0 six6∈A

3.a. Montrer queδxest une mesure sur (Rⁿ,B_Rⁿ).

3.b. Montrer que pour toute fonction ´etag´eef : (Rⁿ,B_Rⁿ)→(R,B_R) on a Z

Rⁿ

f dδ_x=f(x).

3.c. Soit µ une mesure sur (Rⁿ,B_Rⁿ). Montrer qu’il existe un ouvert Uµ

maximal deRⁿ de mesureµ(U_µ) = 0. Lesupport de la mesure µest d´efini par supp(µ) =Rⁿ\Uµ. Montrer que supp(δ_x) ={x}.

3.d. Soitµune mesure finie sur (Rⁿ,B_Rⁿ) `a support ponctuel{x}. Montrer queµ=λδxpour un r´eelλ≥0. Indication: On pourra montrer que pour tout bor´elienA∈ B_Rⁿ contenantxon aµ(A) =µ({x}) en calculantµ(A\{x}).

3.e. Soitµune mesure de probabilit´e sur (Rⁿ,B_Rⁿ) dont le support est fini, i.e. supp(µ) ={x1, . . . , xN}.

Montrer queµ=

N

P

i=1

λiδx_i pour des r´eels λi >0 tels que

N

P

i=1

λi= 1.

Calculer l’int´egrale

Z

Rⁿ

f dµ

d’abord pour une fonction ´etag´eef, ensuite pour une fonctionµ-int´egrablef.

Barˆeme indicatif: 6 + 6 + 8