CONTROLE N°5 seconde 7.

(1)

CONTROLE N°5 seconde 7.

Le jeudi 26 janvier 2017.

VECTEURS

I. Dans un repère ort honorm al , on donne

A( 2 1 ), B (1 1), C(2,5 2 ), D(5 0), E(2 2 ) et F(7 2 ).

1. Mont rer que l e quadrilat ère ABDE est un parallélogramme.

2. Les points A ,B et C sont-ils alignés ? Justifier.

3. Les droites (AD ) et ( BF ) sont-elles parallèles ? Justifier.

4. Déterminer les coordonnées du point H tel que ACHD soit un parallélogramme.

5. Cal cul er l a longueur AB .

6. Déterminer les coordonnées du point M tel que AM 2 BM AC .

7. N est le point d intersection de la droite (AB ) et de l axe des ordonnées. On note ( ^x ^N ^y ^N ) ^ses

coordonnées.

a. Quelle est la valeur de x _N ?

b. Déterminer en fonction de y n les coordonnées du vecteur AN . c. Que peut-on dire des vecteurs AN et AB ?

d. En dédui re y N en résolvant une équation.

e. Donner alors les coordonnées de N.

II. ABCD est un parallélogramme. M est le point tel que AM 1

2 AB 1

3 AD et N est le point tel que BN 2 3 BC . On s e pl ace dans le repère ( ^{A AB AD} ) ^.

1. Donner sans justifier les coordonnées de tous les points de la figure.

2. Montrer que les points A,M et N sont alignés.

III. ABCD est un parallélogramme.

1. Placer sur la fi gure au dos l es poi nts M et N tels que : AM 2 AC et CN 3

2 DC 3 BC . 2. Bonus.

P est le point tel que AP BP 2 BC

a. Exprimer AP en fonction de AB et BC puis placer le point P.

b. Montrer que les droites ( AP ) et (CN) sont parallèles.

IV. A,B, C et D sont quatre points. En utilisant la relation de Chasles et sans faire de figure, montrer que CD CA DB AB . (Ecrire toutes les étapes).

ALGORITHMIQUE

V. f est la fonction définie sur par f (x ) 2x² 5.

1. Calculer l image de 3 par f.

2. Ecrire un algorithme qui demande un nombre x puis calcule et affiche l image de ce nombre par f.

VI. Ecrire un algorithme qui demande à l utilisateur un nombre N, le multiplie par 3 et enlève 1, multiplie

le résultat par 3 et enlève 1, recommence ... L algorithme doit effectuer l opération 24 fois puis afficher le

résultat final.

(2)

(3)

CORRECTION DU CONTROLE N°5. 2 ^nde 7.

VECTEURS

I. 1. AB  

  1 ( 2)

1 1 donc AB  

  3

2 ED  

  5 2

0 2 donc ED  

  3

2 AB ED donc l e quad rilatère ABDE est un parallélogramme.

2. AB  

  3

2 et AC  

  4,5

3 .

3 ( 3 ) 9 et 4,5 ( 2) 9. Les vecteurs AB et AC sont colinéaires donc les points A , B et C sont alignés.

3. AD  

  7

1 et BF  

  6

1 7 ( 1) 7 et 6 ( 1) 6. Les vecteurs AD et BF ne sont pas colinéaires donc les droites ( AB) et (BF) ne sont pas parallèles.

4. H ( ^x ^H ^y ^H ) ^{. ACHD} est un parallélogramme donc AC DH . AC  

  4,5

3 et DH   

 

 x _H 5

y H

AC DH donc

 

 x H 5 4,5

y H 3 , c'est-à-dire

 

 x H 9,5

y H 3 . H(9,5 3).

5. AB ( ^x B x _A ) ² ( ^y B y _A ) ² 3² ( 2)² 13 6. Notons M (x y ).

AM  

  x 2

y 1 ; BM  

  x 1

y 1 et AC  

  4,5

3 . AM 2 BM AC donc

 

 x 2 2( x 1) 4,5

y 1 2( y 1) 3 donc

 

 3 x 4,5

3 y 1 3 donc

 

 x 1,5 y ⁴ 3

M  

  3 2

4 3 . 7.

a. N est un point de l axe des ordonnées donc x N 0.

b. AN  

  2 y N 1

c. N est un point de la droite ( AB) donc AN et AB sont colinéaires.

d. AB  

  3

2 et AN  

  2

y N 1 sont col inéai res donc 3 ( ^y ^N ¹ ) ² ⁽ 2), c'est-à-dire y N

1 3

e. On a donc N

 

 

0 ¹

3 .

II. 1. A(0 0), B (1 0), C(1 1), D (0 1), M

 

  1 2

1 3 et B

 

  1 ²

3 .

2. AM

 



 



1 2 1 3

et AB







1 

2 3

. AB 2 AM : les vecteurs AB et AM sont colinéaires donc les points

A,M et N sont alignés.

(4)

III. .

1. AM 2 AC BC et CN 3

2 DC 3 BC . 2. P est le point tel que AP BP 2 BC

a. AP BP 2 BC donc AP BA AP 2 BC

donc 2 AP AB 2 BC donc AP 1

2 AB BC

b. CN 3

2 DC 3 BC . Or ABCD est un parallélogramme donc DC AB . Ainsi CN 3

2 AB 3 BC . D autre part, AP 1

2 AB BC .

On a alors CN 3 AP . Les vecteurs CN et AP sont colinéaires donc les droites (AP ) et ( CN ) sont parallèles.

CONTROLE N°5 seconde 7.