Exercices sur les applications de la règle de chaîne

Exercices sur les applications de la règle de chaîne

Calcul différentiel – Hiver 2020 – Yannick Delbecque

Dérivation implicite

Question 1

Déterminer, parmi les équations suivantes, celles qui définissent implicitement une fonction (mais pas explicitement).

(a) y=3t+1 4t (b) y=3y+1

4x

(c) x²+5x+6=y

(d) xy²+5y²=3x+y

Question 2

Calculer les dérivées implicites suivantes.

a) dy

dx six+y²=1.

b) dy

dx six³+y³=1.

c) dy

dx sixy=1.

d) dx dt si

√

x²+t²=2t²+4.

e) dx

dysix³−4y³=5x²+6y³. f) dy

dx six²y²+x³y=6x.

Question 3

Déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par l’équationx³+y³=2xyau point (1,1).

Question 4 Calculerdy

dxpour chacune des équations suivantes.

a) 2x²+3xy−y²=1 b) 1

x−3xy=1 y

c) 3x²y³+5x=3−5y³ d) x

y= x−y x+y

Question 5

Pour chacune des équations suivantes, calculer la pente de la tangente à la courbe au point donné.

a) 4x²+9y²=40 au point (−1,−2) b) x²y²(1+xy)+4=0 au point (1,−2) Question 6

Soit le cercle d’équationx²+y²=r²(cercle de rayonrcentré à l’origine). Montrer que la droite passant par l’origine et un point (x₀,y0) situé sur la circonférence du cercle est toujours

perpendiculaire à la droite tangente au cercle en ce point (x0,y₀).

Rappel : le produit des pentes de deux droites perpendiculaires est -1.

Question 7

SoitCla courbe d’équationx³−y⁵=7y.

Vérifier que (2,1) est sur la courbeCet déterminer l’équation de la tangente àCen ce point.

Question 8

Trouver la pente de la droite tangente à l’astéroïdex^2/3+y^2/3=4, illustrée ci-dessous, au point

1,−3√ 3

.

−8 8

−8 8

x y

Taux liés

Question 9

Le taux de variation du côté d’une boîte cubique est de 50^m/^s. Quel est le taux de variation du volume de la boîte quand le côté à 1000 m de longueur ?

Question 10

L’aire d’un cercle est liée à son rayon par l’équation A=πr². Si l’aire augmente à une vitesse constante de 5 cm²/s, à quelle vitesse grandi le rayon du cercle au moment où sa surface est de 100πcm²? Indiquez les unités dans votre calcul.

Question 11

La volume d’une sphère est liée à son rayon par l’équation V = 4πr³

3 . Si le volume diminue à une vitesse constante de

1

2m³/s, à quelle vitesse diminue le rayon de la sphère au moment où son rayon est de 100 m ?

1

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Solutions

Question 1 (b) et (d) Question 2 a) ^dy_dx=−¹

2y

b) ^dy_dx=−^x2

y²

c) ^dy_dx−^y

x

d) ^dx_dt=^4t√x2_x^+t2−t e) ^dx_dy=^3x_30y^2−10x2

f) ^dy_dx=^6−2xy_2x2y+x^2−3x32y

Question 3

dy

dx=^2y−3x_3x2−2x² et au point (1,1) la pente de la tangente à la courbe est

dy dx

(x,y)=(1,1)=2(1)−3(1)² 3(1)²−2(1)=−1 L’équation de la droite de pente -1 passant par (1,1) est

y=−x+2.

Question 4 a) dy

dx=4x+3y 2y−3x b) dy

dx=y²+3x²y³

x²−3x³y²ou1+6xy² 1−6x²y c) dy

dx=− 6x³+5 15y²+9x²y² d) dy

dx=−x y Question 5 a) Pente :−2

9

b) Pente : 2

Question 6

La pente du rayon passant par le point (x0,y0) sur le cercle et le centre (0,0) du cercle est

y0−0 x₀−0=y0

x₀.

On détermine la pente de la tangente au point (x0,y₀) à l’aide de la dérivation implicite. On suppose que y=f(x) près de (x,y).

x²+y²=r² x²+y²0

= r²0

2x+2ydy dx=0 dy dx=−2x

2y =−x y

La pente de la tangente au cercle en (x0,y₀) est donc

−x₀ y₀.

Si on multiplie la pente de la tangente et la pente du rayon, on trouve

−x0

y₀ y0

x₀=−1,

ce qui montre que la tangente est perpendiculaire au rayon.

Question 7

Le point (2,1) est sur la courbeCcar 2³−1⁵=7(1)⇐⇒ 7=7.

On trouve la pente de la tangente au point (2,1) à l’aide de la dérivation implicite. On fait l’hypothèse quey=f(x). En dérivant chaque membre de l’éga- litéx³−y⁵=7ypar rapport àx, on obtient

3x²−5y⁴y⁰=7.

En isolant, on obtient quey⁰=−^7−3x2

5y⁴ . Au point (2,1), on a quey⁰=−^7−3(2)2

5(1)⁴ =1.

Comme la droite tangente est de pente 1 et passe par le point (2,1), l’équation de la droite est

y=x+1.

Question 8

dy dx =−³

√y

√3

x. Au point 1,−3√

3

= 1,−3^3/2

, on a que

dy dx=−

√3

−3^3/2

√3

1 =√

3 (utiliser le fait que ³

√

3^3/2=3³²¹³ =3¹² ainsi que

√3

−A=−√³ A.)

Question 9

Le volumeVest lié au côtéxpar la relation V=x³.

Le taux de variation du côté est^dx_dt =50.

Le taux de variation du volume est^dV_dx.

Le lien entre ces taux de variation est trouvé à l’aide de la règle de chaine :

dV dt =dV

dx dx dt. Quandx=1000 et^dx_dy=50, on a que

dV

dt =3(1000)²(50)=150000000^m3/s.

Question 10

CommeA=πr²et que ^dA_dr =2πr, par la règle de chaine on a que

dA dt =dA

dr dr dt

dA

dt =(2πr)dr dt.

CommeA=πr², on a quer= π. Donc quand A=100π, on a quer=q

100ππ =10.

Quandr=10 et^dA_dt =5, on obtient dA

dt =(2πr)dr dt

5=(20π)dr dt En isolant^dr_dton trouve que

dr dt= 5

20π= 1 4πcm/s.

Question 11

Taux de variation du volume : ^dV_dt =−¹

2. Taux de variation du rayon :^dr_dt=−¹₂.

Lien entre rayon et volume : commeV=^4πr3³, on a que

dV dr =4πr²

Lien entre les taux de variation : Par la règle de chaine,

dV dt =dV

dr dr dt dV

dt = 4πr²dr

dt. Quandr=100 et^dr_dt=−¹₂, on obtient

dV

dt =4π(100)² −1 2

!

=−20000πm/s.

Calcul différentiel – 201-NYA – Hiver 2020