Etude numérique de la résolution par équations intégrales de la diffraction multiple par des disques

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Etude numérique de la résolution par équations intégrales de la diffraction multiple par des disques

Xavier Antoine, Karim Ramdani, Bertrand Thierry

To cite this version:

Xavier Antoine, Karim Ramdani, Bertrand Thierry. Etude numérique de la résolution par équations

intégrales de la diffraction multiple par des disques. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010,

Lyon, France. �hal-00533171�

10`eme Congr`es Fran¸cais d’Acoustique

Lyon, 12-16 Avril 2010

Etude num´erique de la r´esolution par ´equations int´egrales de la diffraction ´ multiple par des disques

Xavier Antoine ^1,2 , Karim Ramdani ^2,1 , Bertrand Thierry ^1,2

1

IECN, Universit´ e Henri Poincar´ e, BP 239, 54506, Vandœuvre-l` es-Nancy, France, {Xavier.Antoine,Bertrand.Thierry}@iecn.u-nancy.fr

2

INRIA Nancy (Equipe CORIDA), 615 rue du Jardin Botanique, 54600 Villers-l` es-Nancy, France, Karim.Ramdani@inria.fr

Dans cet expos´ e, nous pr´ esenterons une nouvelle m´ ethode de r´ esolution du probl` eme de diffraction mul- tiple par des cylindres circulaires, en particulier dans le cas o` u la longueur d’ondes est petite devant la taille caract´ eristique des cylindres. En effet, il est bien connu que ce r´ egime induit d’importantes difficult´ es num´ eriques, notamment parce qu’il conduit ` a la r´ esolution de syst` emes lin´ eaires de grande taille. Dans l’approche propos´ ee, le champ diffract´ e est obtenu en r´ esolvant une ´ equation int´ egrale via une projection dans une base de Fourier. Nous proposerons une m´ ethode de r´ esolution robuste et effi- cace, obtenue en combinant une troncature judicieuse des s´ eries de Fourier et un solveur it´ eratif avec pr´ econditonneur de type Krylov (GMRES). Notre m´ ethode exploite certaines propri´ et´ es remarquables de la matrice du syst` eme (matrice Toeplitz). Enfin, nous pr´ esenterons des exemples de simulation num´ erique pour la diffraction multiple ` a haute fr´ equence par des configurations al´ eatoires de disques.

1 Introduction

Les probl` emes de diffraction multiple, notamment par des sph` eres ou des disques, apparaˆıt dans un grand nombre d’applications : la t´ el´ ed´ etection [1], l’in- teraction des ultrasons et des tissus biologiques [2], la mod´ elisation photonique et phononique [3, 4], l’op- tique de champ proche en pr´ esence de micro-sph` eres di´ electriques pour les jets photoniques [5, 6], la plas- monique en pr´ esence de nano-particules m´ etalliques [7, 8, 9],... Par cons´ equent, la conception de m´ ethodes de r´ esolution num´ eriques efficaces et robustes pour la diffraction multiple par un grand nombre de sph` eres et pour une large bande de fr´ equences revˆ et une grande importance.

Concernant ces m´ ethodes num´ eriques, la litt´ erature existante traite essentiellement des basses fr´ equences (see e.g. [4, 10]). Le r´ egime de moyennes ou hautes fr´ equences [11, 12, 13] a nettement moins ´ et´ e ´ etudi´ e car il conduit ` a des difficult´ es num´ eriques tr` es sp´ ecifiques, li´ ees d’une part aux effets de fort couplage entre les obstacles et, d’autre part, au caract` ere non d´ efini de la matrice complexe du syst` eme lin´ eaire. En g´ en´ eral, les m´ ethodes num´ eriques classiquement utilis´ ees en basse-fr´ equence deviennent inop´ erantes lorsqu’elles sont utilis´ ees dans des r´ egimes plus “raides”. On propose ici d’´ etudier le cas de la diffraction multiple par des cylindres circu- laires et nous proposerons des solutions permettant de traiter ` a la fois un nombre ´ elev´ e d’obstacles et une large bande de fr´ equence.

2 Le mod` ele math´ ematique

On s’int´ eresse ` a la diffraction acoustique d’une onde plane par M cylindres circulaires parfaitement mous (le cas parfaitement rigide pouvant ˆ etre trait´ e par la mˆ eme

approche). On d´ esigne par Ω ⁻ ₁ , Ω ⁻ ₂ , . . . , Ω ⁻ _M les disques repr´ esentant les sections transverses des cylindres et par Γ 1 , Γ 2 , . . . , Γ M leurs bords. Soit Ω ⁻ = S M

p=1 Ω ⁻ _p , Γ = S M

p=1 Γ p et Ω ⁺ = R ² \ Ω ⁻ le domaine de propaga- tion ext´ erieur. Ce dernier est suppos´ e homog` ene, non ab- sorbant et caract´ eris´ e par une vitesse de propagation c.

On consid` ere une onde plane incidente u ^inc (x) = e ^ikβ·x de direction β = (cos(β), sin(β)) par les disques Ω ⁻ (la d´ ependance temporelle est suppos´ ee de la forme e ^−iωt ).

On souhaite calculer num´ eriquement le champ diffract´ e u solution du probl` eme aux limites ext´ erieur



 



 



(∆ + k ² )u = 0 (Ω ⁺ )

u = −u ^inc (Γ)

lim

|x|→+∞ |x| ^1/2

∇u · x

|x| − iku

= 0

(2.1)

o` u k = ω/c est le nombre d’onde du probl` eme.

On se propose de r´ esoudre ce probl` eme ` a l’aide d’une m´ ethode d’´ equation int´ egrales (BIE). Afin de simplifier la pr´ esentation, on se restreindra ` a l’´ etude d’une seule

´ equation int´ egrale, ` a savoir l’EFIE (Electric Field Inte- gral Equation). On renvoie ` a Colton et Kress [14] pour plus d´ etails sur les m´ ethodes int´ egrales et nous rappelle- rons simplement ici comment est obtenue cette ´ equation int´ egrale. Elle est bas´ ee sur une repr´ esentation du champ diffract´ e via un potentiel de simple couche associ´ ee ` a une densit´ e ρ (` a d´ eterminer) :

∀x ∈ Ω ⁺ , u(x) = Lρ(x) :=

Z

Γ

G(x, y)ρ(y) dΓ(y),

o` u G(x, y) = i

4 H ₀ ⁽¹⁾ (k|x − y|) est la fonction de Green

sortante de l’op´ erateur de Helmholtz dans R ² . Il est bien

connu [14] que le potentiel de simple couche Lρ satis-

fait la condition de radiation de Sommerfeld ` a l’infini et

l’´ equation de Helmholtz dans Ω ⁺ (et dans Ω ⁻ ). Il s’en- suit que la r´ esolution de (2.1) se r´ eduit ` a l’´ ecriture de la condition aux limites de Dirichlet sur Γ. Ceci conduit ` a l’EFIE, ´ equation int´ egrale obtenue en prenant la valeur au bord de l’op´ erateur de simple couche Lρ :

(Lρ) _|Γ := Lρ = −u ^inc | Γ , in H ^1/2 (Γ), (2.2) o` u L est l’op´ erateur de simple couche fronti` ere

Lρ(x) = Z

Γ

G(x, y)ρ(y) dΓ(y), ∀x ∈ Γ.

On rappelle le r´ esultat suivant concernant le caract` ere bien pos´ e de l’EFIE (les fr´ equences irr´ eguli` eres sont les valeurs de k pour lesquelles k ² est valeur propre du La- placien Dirichlet sur Ω ⁻ ) :

Th´ eor` eme 1 Si k n’est pas fr´ equence irr´ eguli` ere du probl` eme, alors u = Lρ r´ esout (2.1) si et seulement si ρ r´ esout l’EFIE (2.2).

Dor´ enavant, nous supposerons que k n’est pas fr´ equence irr´ eguli` ere du probl` eme. Afin de r´ esoudre num´ eriquement l’EFIE (2.2), on ´ ecrit sa formulation faible dans L ² (Γ) :

( Trouver ρ ∈ L ² (Γ) tel que ∀Φ ∈ L ² (Γ) : hLρ, Φi _L

2

(Γ) =

−u ^inc | Γ , Φ

L

²

(Γ) . (2.3) En introduisant une base orthonorm´ ee (Ψ _m ) _{m∈ Z} de L ² (Γ), la formulation faible ci-dessus s’´ ecrit de mani` ere

´ equivalente

( Trouver ρ ∈ L ² (Γ) tel que ∀m ∈ Z : hLρ, Ψ m i _L

2

(Γ) =

−u ^inc | Γ , Ψ m

L

²

(Γ) . (2.4) Compte tenu de la forme circulaire des fronti` eres Γ _p , le choix de bases de Fourier s’impose naturellement. Plus pr´ ecis´ ement, l’approximation spectrale propos´ ee ici est obtenue en rassemblant les M bases de Fourier associ´ ees

`

a chaque disque pour former une base orthonorm´ ee de L ² (Γ 1 ) × L ² (Γ 2 ) × . . . × L ² (Γ M ). Chaque obstacle Ω ⁻ _p , p = 1, . . . , M est un disque centr´ e en O p et de rayon a p . Un point x ∈ R ² est d´ ecrit par ses coordonn´ ees polaires locales associ´ ees ` a Ω ⁻ _p :

r _p (x) = O _p x, r _p (x) = |r _p (x)|, θ _p (x) = Angle( −−→

Ox ₁ , r _p (x)).

On introduit ´ egalement pour tout 1 ≤ p ≤ M : b p = OO p b p = |b p | α p = Angle( −−→

Ox 1 , b p ) et pour tous 1 ≤ p 6= q ≤ M :

b _pq = O _q O _p b _pq = |b _pq | α _pq = Angle( −−→

Ox ₁ , b _pq ).

On introduit pour chaque disque Ω ⁻ _p , p = 1, . . . , M , la base de Fourier (ϕ ^p _m ) _m∈

Z d´ efinie par

∀m ∈ Z , ∀x ∈ Γ _p , ϕ ^p _m (x) = e ^imθ

^p

^(x) p 2πa _p . Cette famille constitue une base orthonorm´ ee de L ² (Γ _p ).

Ces M familles sont rassembl´ ees via les functions (Φ ^p _m ) _{m∈ Z ,p=1,...,M} d´ efinies par

∀p, q ∈ {1, . . . , M } , ∀m ∈ Z , Φ ^p _m | Γ

_q

= δ pq ϕ ^p _m (2.5)

o` u δ _pq d´ esigne le symbole de Kronecker. Enfin, B = (Φ ^p _m ) _m∈

Z ,p=1,...,M forme une base orthonorm´ ee de L ² (Γ), que l’on appellera par commodit´ e la base de Fou- rier. En d´ ecomposant la densit´ e inconnue ρ dans la base B :

ρ =

M

X

p=1

X

m∈Z

ρ ^p _m Φ ^p _m . (2.6)

la formulation faible (2.4) devient



 



 



Trouver les coefficients (ρ ^q _n ) _{1≤q≤M,n∈ Z} tels que

∀1 ≤ p ≤ M, ∀m ∈ Z ,

M

X

q=1

X

n∈Z

L ^p,q m,n ρ ^q _n = f _m ^p , (2.7) o` u les coefficients L ^p,q m,n et f _m ^p sont donn´ es par

L ^p,q m,n = hLΦ ^q _n , Φ ^p _m i _L

2

(Γ) f _m ^p =

−u ^inc | _Γ , Φ ^p _m

L

²

(Γ) . Pour une onde plane, les coefficients f _m ^p de l’onde inci- dente sont connus explicitement [10, p.125] :

∀1 ≤ p ≤ M, ∀m ∈ Z : f _m ^p = − p

2πa p e ^im (

^π2

−β ) J m (ka p ).

Concernant les coefficients L ^p,q m,n du syst` eme infini- dimensionnel (2.7), on consid` ere tout d’abord le cas des blocs diagonaux (p = q) et on rappelle le r´ esultat suivant [15].

Th´ eor` eme 2 Pour tout p = 1, . . . , M et tous m, n ∈ Z , on a les relations

L ^p,p m,n = δ mn

iπa _p

2 J m (ka p )H _m ⁽¹⁾ (ka p ).

Pour les blocs extra-diagonaux (p 6= q), on doit d´ ecomposer la fonction de Green G(x, y) dans la base B. Pour ce faire, on utilise le Th´ eor` eme suivant (“two- centre expansion”, voir [10, Theorem 2.14]).

Th´ eor` eme 3 (Two-centre expansion) On se donne 1 ≤ p 6= q ≤ M . Alors, pour x ∈ Γ p et y ∈ Γ q , on a

H ₀ ⁽¹⁾ (kkx − yk) = 2π √

a _p a _q X

n∈Z

X

m∈Z

J m (ka p )S nm (b pq )J n (ka q )ϕ ^q n (y)ϕ ^p _m (x), (2.8) o` u la fonctions de s´ eparation S _nm sont donn´ ees pour tous m, n ∈ Z par

S nm (b pq ) = H _n−m ⁽¹⁾ (kb pq )e ^i(n−m)α

^pq

.

L’expression des coefficients L ^p,q m,n s’en d´ eduit alors ais´ ement :

Proposition 1 For all 1 ≤ p, q ≤ M , and for all m, n in Z , we have

L ^p,q m,n =



 

 

δ _mn iπa _p

2 J _m (ka _p )H _m ⁽¹⁾ (ka _p ), si p = q, iπ √

a _p a _q

2 J m (ka p )S nm (b pq )J n (ka q ), sinon.

(2.9) En vue de sa r´ esolution num´ erique, on notera que l’on peut r´ ecrire (2.7) comme un syst` eme lin´ eaire infini- dimensionnel :

Le e ρ = e f , (2.10)

avec la structure par blocs suivante











L e ^1,1 L e ^1,2 . . . L e ^1,M L e ^2,1 L e ^2,2 . . . L e ^2,M .. . .. . . . . .. . L e ^M,1 L e ^M,2 . . . L e ^M,M



















 e ρ ¹ e ρ ² .. .

e ρ ^M











=











 e f ¹ e f ² .. . e f ^M











 ,

(2.11) o` u

• Les blocs L e ^p,q = ( L ^p,q m,n ) _{m,n∈ Z} , 1 ≤ p, q ≤ M , sont donn´ es par

L e ^p,q =



 

  iπa p

2 e J ^p H e ^p , si p = q, iπ √

a _p a _q

2 e J ^p (e S ^p,q ) ^T e J ^q , sinon, (2.12) o` u e J ^p et H e ^p d´ esignent les matrices diagonales de coefficients respectifs J _m (ka _p ) et H m ⁽¹⁾ (ka _p ).

La matrice (infinie) (e S ^p,q ) ^T est la transpos´ ee de e S ^p,q d´ efinie par e S = (e S ^p,q m,n ) _{m,n∈ Z} avec e S ^p,q m,n = S _mn (b _pq ).

• Le vecteur infini ρ e ^p = (ρ ^p _m ) _{m∈ Z} contient les coef- ficients de l’inconnue ρ dans la base de Fourier de L ² (Γ _p ).

• Le second membre e f ^p = (f _m ^p ) m∈ Z est le vecteur des coefficients de Fourier −u ^inc _|Γ

p

.

Les blocs diagonaux L e ^p,p repr´ esentent la diffraction simple par le disque p alors que les blocs extra-diagonaux L e ^p,q , 1 ≤ p 6= q ≤ M , repr´ esentent le couplage induit par la diffraction multiple entre les disques p et q. On notera de plus que les blocs extra-diagonaux sont pleins alors que les blocs diagonaux sont diagonaux.

Remarque 1 Une fois d´ etermin´ ee la densit´ e ρ, il est possible d’en d´ eduire d’autres grandeurs physiques utiles telles que le champ diffract´ e en tout point x ∈ Ω ⁺ , sa d´ eriv´ ee normale sur Γ ou encore le champ lointain as- soci´ e. Par exemple, ce dernier est donn´ e par la relation :

u(x) =

M

X

p=1

X

m∈Z

ρ ^p _m iπa p

2 p

2πa _p J m (ka p )H _m ⁽¹⁾ (kr p (x))e ^imθ

^p

^(x) . (2.13)

3 R´ esolution num´ erique ` a basse fr´ equence

On s’int´ eresse ici au r´ egime basse-fr´ equence corres- pondant ` a ka <sub>p</sub> 1, pour tout 1 ≤ p ≤ M . La premi` ere question qui se pose lors de la r´ esolution num´ erique du syst` eme lin´ eaire infini (2.10) est celle de sa tronca- ture. Autrement dit, il s’agit de d´ eterminer le nombre de modes de Fourier significatifs ` a conserver pour chaque obstacle. On notera ce nombre 2N p + 1 pour l’obstacle p, en ne conservant que les modes −N p ≤ m ≤ N p . Evidemment, les param` etres de troncature (N p ) p=1,...,M

peuvent ˆ etre choisis ind´ ependamment, en fonction du rayon a p de l’obstacle Ω ⁻ _p et de la fr´ equence k. En tron- quant la s´ erie de Fourier ` a N p et en projetant sur la le sous-espace de dimension finie correspondant, on abou- tit au syst` eme lin´ eaire

L ρ = f , (3.1)

ou encore











L ^1,1 L ^1,2 . . . L ^1,M L ^2,1 L ^2,2 . . . L ^2,M .. . .. . . . . .. . L ^M,1 L ^M,2 . . . L ^M,M



















 ρ ¹ ρ ² .. . ρ ^M











=









 f ¹ f ² .. . f ^M









 ,

o` u

• le bloc L ^p,q = ( L ^p,q m,n ) −N

_p

≤m≤N

_p

,−N

_q

≤n≤N

_q

est la matrice (2N p + 1) ×(2N q + 1), de coefficients L ^p,q m,n

donn´ es par (2.9). Comme pour le syst` eme de di- mension infinie, ces blocs peuvent ˆ etre ´ ecrits sous la forme plus compacte

L ^p,q =



 

  iπa p

2 J ^p H ^p , si p = q, iπ √

a p a q

2 J ^p ( S ^p,q ) ^T J ^q , sinon, o` u la notation sans tilde est utilis´ ee pour d´ esigner des approximations de dimensions finies. du syst` eme (2.10).

• ρ ^p = (ρ ^p _m ) _−N

_p

_≤m≤N

_p

est le vecteur contenant les 2N _p + 1 approximations des coefficients de Fourier de ρ dans la base associ´ ee ` a Γ _p .

• f ^p = (f _m ^p ) _−N

_p

_≤m≤N

_p

est le vecteur contenant les 2N _p + 1 premiers coefficients de Fourier de l’onde incidente dans la base associ´ ee ` a Γ p .

En basse fr´ equence, on peut s’attendre ` a ce que seuls les premiers modes soient significatifs et permettent d’obte- nir une bonne approximation de la solution. Pour confir- mer cette assertion, on consid` ere la configuration d´ ecrite dans la Figure 1. Elle est constitu´ ee de M = 200 disques de rayon unitaires al´ eatoirement distribu´ es dans le carr´ e [−25; 25] ² pour une fr´ equence k = 0.1 (de sorte que ka p = 0.1). On se place en champ lointain et d´ efinit la RCS (Radar Cross Section) par :

RCS(θ) = 10 log ₁₀ (2π|A(θ)| ² ) (dB).

Pour la configuration consid´ er´ ee, on calcule une RCS de r´ ef´ erence RCS ^ref obtenue avec N p = 15 modes par obstacles et on analyse l’erreur relative pour la norme L ^∞ (kf (θ)k ∞ = max _0≤θ≤2π |f (θ)|) :

∆RCS = kRCS ^ref − RCS ^N

^p

k ∞

kRCS ^ref k ∞

.

Les r´ esultats, report´ ees sur la Figure 2 (Courbe “Di- rect solution”), montrent la d´ ecroissance de cette er- reur relative en fonction de N p . Les r´ esultats num´ eriques sugg` erent qu’une approximation pr´ ecise de la RCS peut ˆ etre obtenue avec N <sub>p</sub> = 2, conduisant ` a une erreur rela- tive de l’ordre 10 ⁻⁴ .

Passons maintenant ` a l’analyse des effets de la dif- fraction multiple en basse fr´ equence. La Figure 3 montre le module de chaque mode de Fourier |ρ ^p _m | pour −N _p ≤ m ≤ N _p = 15, 1 ≤ p ≤ M (Courbe “Multiple scatte- ring”). Bien ´ evidemment, seuls les modes correspondant

`

a quelques disques sont repr´ esent´ es. Le syst` eme lin´ eaire est r´ esolu par une m´ ethode directe (solveur de Gauss).

Par comparaison, on repr´ esente ´ egalement les modules

des coefficients de Fourier correspondant ` a la diffrac-

tion par un seul disque. On voit que les modes propaga-

tifs du probl` eme de la diffraction multiple sont toujours

d’amplitude inf´ erieure ` a ceux de la diffraction simple.

Ceci traduit l’absorption par multi-diffusion dans le mi- lieu. De plus, on remarque que des modes d’ordre ´ elev´ e sont excit´ es par les effets de la diffraction multiple et sont plus importants que pour la diffraction simple. En champ proche, ces modes doivent ˆ etre pris en compte pour obtenir une bonne approximation de la solution.

Pour conclure cette analyse en basse-fr´ equence, examinons plus en d´ etail la r´ esolution num´ erique du syst` eme lin´ eaire obtenu apr` es troncature. On a repr´ esent´ e ` a cet effet sur la Figure 4 (k = 0.1) le temps CPU n´ ecessaire ` a la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire lorsque le nombre de disques M augmente (the filling box is [−65; 65] <sup>2</sup> ), en utilisant un solveur direct (´ elimination de Gauss) ou un solveur it´ eratif GMRES [16] avec un param` etre de restart de 50 et une tol´ erance ε = 10 ⁻⁴ (not´ e dans la suite GMRES(50, 10 ⁻⁴ )). Pour le calcul de RCS, cette tol´ erance est suffisante pour N _p = 2 comme on peut le voir sur la Figure 2. Pour une plus grande pr´ ecision, il suffit de r´ eduire la valeur de ε. Ainsi, la m´ ethode it´ erative permet de r´ eduire le temps de cal- cul de 50% par rapport au solveur direct (pour N p = 2).

Cette approche devient donc particuli` erement adapt´ ee lorsque le milieu de propagation est dense (M grand).

Figure 1 – Configuration type

0 5 10 15

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

N_p log10(||! RCS||"/||RCSref||")

Direct solution GMRES(50, 10⁻⁴)

Figure 2 – Pr´ ecision de l’approximation RCS

20 40 60 80 100 120 140 160

−6

−5

−4

−3

−2

−1

(m,p) log(|!m p|)

Single scattering Multiple scattering

Figure 3 – Repr´ esentation des modes

0 500 1000 1500 2000 2500

0 100 200 300 400 500 600

Number of scatterers (M )

cputime (sec)

Direct solution, with N p = 2 Direct solution, with N_p = 1 Direct solution, with N_p = 0 Gmres(50, 10⁻⁴), with N_p = 2 Gmres(50, 10⁻⁴), with N_p = 1 Gmres(50, 10⁻⁴), with N_p = 0

Figure 4 – R´ esolution num´ erique du syst` eme lin´ eaire

4 R´ esolution num´ erique ` a moyenne et haute fr´ equences

L’approche directe d´ evelopp´ ee en basse-fr´ equence n’est plus envisageable ` a haute-fr´ equence (ka <sub>p</sub> 1). En effet, le nombre de modes ` a conserver dans la solution s’av` ere ˆ etre de l’ordre de [13] :

N _p =



ka _p + ln(2 √

2πka _p ε ⁻¹ ) 2 √

2

!

²₃

(ka _p ) ^1/3 + 1



 , (4.1) o` u ε est le seuil souhait´ e pour les coefficients de Fou- rier (et qui sera ´ egalement le param` etre d’erreur du GMRES dans a suite). On peut v´ erifier que le solveur di- rect n´ ecessite un stockage m´ emoire en O [ka] ² M ²

et la que r´ esolution du syst` eme lin´ eaire requiert O [ka] ³ M ³ op´ erations (on suppose ici que a _p ≈ a, pour tout 1 ≤ p ≤ M ). Par cons´ equent, l’utilisation d’un tel solveur devient vite impossible.

Toutefois, ces deux coˆ uts peuvent ˆ etre r´ eduits de la mani` ere suivante. Soit N = P M

p=1 (2N _p + 1) le nombre

total de modes consid´ er´ e. Bien que la matrice com-

plexe L soit pleine, il s’av` ere qu’elle pr´ esente une struc-

ture creuse par blocs. En effet, chaque bloc diagonal

L ^p,p est obtenu comme le produit de deux matrices

diagonales J ^p ∈ C ^2N

^p

^+1,2N

^p

⁺¹ et H ^p ∈ C ^2N

^p

^+1,2N

^p

⁺¹ .

Par ailleurs, chaque bloc extra-diagonal L ^p,q s’exprime

comme le produit de 2 matrices diagonales J ^p et J ^q ,

et de la matrice ( S ^p,q ) ^T ∈ C ^2N

^p

^+1,2N

^q

⁺¹ qui pr´ esente la particularit´ e d’ˆ etre Toeplitz. En effet, ses coefficients S ^p,q m,n = H _m−n ⁽¹⁾ (kb _pq )e ^i(m−n)α

^pq

ne d´ ependent que de la diff´ erence (m − n). Par suite, un stockage creux de la matrice ( S ^p,q ) ^T est donn´ e par le vecteur racine γ ^pq (construit ` a partir de la premi` ere ligne et de la premi` ere colonne de ( S ^p,q ) ^T )

γ ^pq = (S _{N q,−N} ^pq

p

, . . . , S _{−N q+1,−N} ^pq

p

, S ^pq _{−N q,−N}

p

, . . . , S _{−N q,N} ^pq

p

) ^T . Le nombre total de coefficients ` a stocker pour la matrice compl` ete est donc en fait 2N (2M − 1) coefficients, ` a comparer aux N ² coefficients pour un stockage plein.

Les Figures 5 (ka p = 200, 1 ≤ p ≤ M ) et 6 (M = 100, a p = 1, 1 ≤ p ≤ M ) indiquent la d´ ependance du nombre de coefficients stock´ es pour le stockage plein et compress´ e respectivement vis ` a vis de M et k (avec ε = 10 ⁻⁴ dans le GMRES et dans (4.1)). On notera que dans les deux cas, le stockage creux autorise le traitement de configurations bien plus complexe pour k grand et pour un grand nombre de disques M .

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

4 5 6 7 8 9 10

8 Go

1 Go

Number of scatterers (M ) Number of stored coefficients (log10)

Full storage Compressed storage

Figure 5 – Stockage en fonction de M

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0

2 4 6 8 10 12 14

Wavenumber (k) Number of stored coefficients (log10)

8 Go

1 Go

Full storage Compressed storage

Figure 6 – Stockage en fonction de k

La contrepartie de ce stockage compress´ e est qu’il rend l’utilisation d’un solveur it´ eratif n´ ecessaire. Ici, on a utilis´ e un GMRES(50, 10 ⁻⁴ ) dont nous allons maintenant ´ etudier le coˆ ut global. Celui-ci est ´ egal au coˆ ut d’un produit Matrice-Vecteur (MVP) multi- pli´ e par le nombre d’it´ erations n ^iter . Chaque MVP

peut ˆ etre calcul´ e de mani` ere rapide et pr´ ecise en uti- lisant un algorithme de type FFT pour la partie du MVP li´ ee aux blocs Toeplitz de L . Le coˆ ut global d’un MVP est alors en O(60(M − 1) ² ka log ₂ (4ka)).

Il est ` a comparer au coˆ ut O(4(M − 1) <sup>2</sup> (ka) <sup>2</sup> ) d’un MVP plein. Concernant l’acc´ el´ eration de la conver- gence (i.e. la r´ eduction de n <sup>iter</sup> ), nous proposons deux pr´ econditionneurs. Le premier pr´ econditonneur, not´ e P1, consiste ` a pr´ econditionner le syst` eme lin´ eaire par sa partie diagonale correspondant aux effets de la dif- fraction simple. Ce pr´ econditionneur conduit au syst` eme dont la matrice est de la forme b L = I + F b , o` u I est la matrice identit´ e et F b contient les blocs extra-diagonaux de L b pr´ econditonn´ ees par la diffraction simple. Un se- cond pr´ econditionneur, not´ e P2, est obtenu par deux aproximations successives. Dans un premier temps, on approche b L <sup>−1</sup> par les deux premiers termes de sa s´ erie de Neumann : L b <sup>−1</sup> ∼ I − b F = P . A ce stade, le pr´ econditionneur est une matrice pleine (en rai- son du terme b F ). Pour “creuser” cette matrice, on ne conserve dans un second temps que les blocs corres- pondant aux interactions proches. On obtient ainsi le pr´ econditionneur P2. On renvoie ` a [13] o` u une strat´ egie similaire est d´ ecrite plus en d´ etail.

On a report´ e la d´ ependance du temps CPU n´ ecessaire ` a la construction du syst` eme lin´ eaire et ` a sa r´ esolution en fonction de M (Figure 7) et de k (Figure 8) pour diff´ erents algorithmes de r´ esolution du syst` eme lin´ eaire. Sur la Figure 7, on fixe ka = 200 et on ac- croˆıt le nombre M de disques dans le domaine de calcul [−25; 25] ² , avec un GMRES(50, 10 ⁻⁴ ). La distance mini- male distance entre deux disques est de 0.5 (on rappelle que les disques sont de rayon 1).

Sur la Figure 8, on repr´ esente pour M = 50 disques le temps CPU pour des valeurs croissantes de ka et une distance minimale de 0.5 entre les obstacles dans le do- maine [−15; 15] ² avec un GMRES(50, 10 ⁻⁴ ). On observe que compar´ e ` a notre algorithme, l’approche directe est fortement limit´ ee. Concernant la solution GMRES, le pr´ econditionneur est n´ ecessaire pour assurer la conver- gence de l’algorithme. Le pr´ econditionneur P1-P2 peut conduire ` a une am´ elioration de la convergence, notam- ment lorsque les disques sont assez ´ eloign´ es ou pour une structure en r´ eseau. Lorsque les obstacles sont proches, le pr´ econditionneur P1 semble plus robuste. Toutefois, il apparaˆıt que la construction d’un pr´ econditionneur re- lativement g´ en´ eral et robuste pour ce type de probl` emes demeure une question encore ouverte.

Remerciements

Les auteurs ont ´ et´ e en partie soutenus par le pro- gramme blanc de l’ANR via le projet de recherche

“Micro-Wave” (http ://microwave.math.cnrs.fr/) et par l’INRIA Nancy Grand-Est (Equipe-Projet CORIDA).

R´ ef´ erences

[1] Tsang L., Kong J., Ding K., Ao C., ”Scattering

of Electromagnetic Waves, Numerical Simulation”,

Wiley Series in Remote Sensing J.A. Kong, Series

Editor, New York (2001)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200

400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

Number of scatterers (M )

cputime (sec)

Full storage with direct method Compressed storage with P1 Compressed storage with P1 and P2

Figure 7 – Temps CPU en fonction de M

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Wavenumber k

cputime (sec)

Full storage with direct method Compressed storage without preconditioner Compressed storage with P1 Compressed storage with P1 and P2

Figure 8 – Temps CPU en fonction k

[2] Doyle T., Tew A., Warnick K., Carruth B., ”Simu- lation of elastic wave scattering in cells and tissues at the microscopic level”, Journal of the Acoustical Society of America 125, 1751-1767 (2009)

[3] Joannopoulos J., Li E., ”Photonic Crystals : Mol- ding the Flow of Light”, Princeton University Press, New York (1995)

[4] Zhang Y., Tew A., Warnick K., Carruth B., ”Fast multipole accelerated scattering matrix method for multiple scattering of a large number of cylin- ders”, Progress in electromagnetics research-PIER 72, 105-126 (2007)

[5] Devilez A., Stout B., Bonod N., Popov E., ”Spectral analysis of three-dimensional photonic jets”, Optics Express 16, 14200-14212 (2008)

[6] Ferrand P., Wenger J., Devilez A., Pianta M., Stout B., Bonod N., Popov E., Rigneault H., ”Direct imaging of photonic nanojets”, Optics Express 16, 6930-6940 (2008)

[7] Hewageegana P., Apalkov V., ”Second harmonic ge- neration in disordered media : Random resonators”, Physical Review B 77, 075132 (2008)

[8] Bidault S., de Abajo F., Polman A., ”Plasmon- based nanolenses assembled on a well-defined DNA template”, Journal of the American Chemical So- ciety 130, 2750–2751 (2008)

[9] Mertens H., Koenderink A., Polman A., ”Plasmon- enhanced luminescence near noble-metal nanos-

pheres : Comparison of exact theory and an im- proved Gersten and Nitzan model”, Phys. Rev. B 76, 115123 (2007)

[10] Martin P., ”Multiple scattering”, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 107, Cambridge University Press, Cambridge (2006)

[11] Antoine X., Geuzaine C, Ramdani K., ”Computa- tional methods for multiple scattering at high fre- quency with applications to periodic structure cal- culations”, in Wave Propagation in Periodic Me- dia. Analysis, Numerical Techniques and Practical Applications, Progress in Computational Physics (PiCP) 1, Bentham Sci. Publ., Cambridge (2010) [12] Bruno O., Reitich F., Geuzaine C., ”On the O(1)

solution of multiple-scattering problems”, IEEE Trans. Magn. 41, 1488-1491 (2005)

[13] Antoine X., Chniti C., Ramdani K., ”On the nu- merical approximation of high-frequency acoustic multiple scattering problems by circular cylinders”, J. Comp. Phy. 227, 1754-1771 (2008)

[14] Colton D., Kress R., ”Integral equation methods in scattering theory”, Pure and Applied Mathematics John Wiley & Sons Inc., New York (1983)

[15] Kress R.,, ”Minimizing the condition number of boundary integral operators in acoustic and electro- magnetic scattering”, Quart. J. Mech. Appl. Math.

38, 323-341 (1985)

[16] Saad Y., Schultz M., ”GMRES : a generalized mi-

nimal residual algorithm for solving nonsymmetric

linear systems”, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 7,

856-869 (1986)