Online orientation distribution function reconstruction in constant solid angle and its application to motion detection in high angular resolution diffusion imaging

(1)

HAL Id: inria-00432959

https://hal.inria.fr/inria-00432959

Submitted on 17 Nov 2009

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Online orientation distribution function reconstruction in constant solid angle and its application to motion detection in high angular resolution diffusion imaging

Emmanuel Caruyer, Iman Aganj, Christophe Lenglet, Guillermo Sapiro, Rachid Deriche

To cite this version:

Emmanuel Caruyer, Iman Aganj, Christophe Lenglet, Guillermo Sapiro, Rachid Deriche. Online orientation distribution function reconstruction in constant solid angle and its application to motion detection in high angular resolution diffusion imaging. [Research Report] RR-7102, INRIA. 2009, pp.12. �inria-00432959�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

ISSN0249-6399ISRNINRIA/RR--7102--FR+ENG

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Online orientation distribution function reconstruction in constant solid angle and its application to motion detection in high angular

resolution diffusion imaging

Emmanuel Caruyer — Iman Aganj — Christophe Lenglet — Guillermo Sapiro — Rachid Deriche

N° 7102

Novembre 2009

(3)

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Centre de recherche INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex

Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65

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❣❡♥❡r❛❧❧② t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s✐♠♣❧❡st ❛♥s✇❡r ✐♥ s✉❝❤ ❝❛s❡s ✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡s✐r❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡

t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♦❢ t❤❡ r❡❛❧✲t✐♠❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❛ ❣r♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠ ❜②

♠❛❦✐♥❣ ♦♣t✐♠✉♠ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛t ❡❛❝❤ st❡♣ t♦ ✉♣❞❛t❡ ✐t ♦♥ t❤❡ ✢②✳ ❆ ♣❛r✲

t✐❝✉❧❛r ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ❬✻❪ t♦ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧❧②

❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❇■ ❖❉❋s t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✐♥

❬✷❪✳ ❘❡❝❡♥t❧②✱ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ♦❢ ❬✼❪ s❤♦✇❡❞ t❤❡ s✉❜✲♦♣t✐♠❛❧✐t② ♦❢ ❬✻❪ ❛♥❞ s✉❣❣❡st❡❞

❛ ♥❡✇ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♠♣r♦♠✐s❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧✐t②

♦❢ t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✳

■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛s ✐♥ ❬✼❪✱ ②❡t t❤✐s t✐♠❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡

❈❙❆ ❖❉❋s ❬✸❪ ♦♥✲❧✐♥❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛❣❛✐♥ ❞♦♥❡ ❜② ❙❍ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡

❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✐ts❡❧❢✿

ln(−lnE(ˆu))≈

R

X

j=1

ˆ cjYj(ˆu),

✇❤❡r❡ {Yj, j = 1, . . . , R} ✐s t❤❡ l✲t❤ ♦r❞❡r ❙❍ ❜❛s✐s ❢♦r r❡❛❧ ❛♥❞ s②♠♠❡tr✐❝

❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ❬✷❪✱R= (l+1)(l+2)/2✐s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❜❛s✐s✱

❛♥❞ˆc= (ˆcj)j=1, ..., R t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❆♥ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧

❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥tscˆ❧❡ts ✉s r❡❝♦♥str✉❝t t❤❡ ❈❙❆ ❖❉❋ ❛t ❡❛❝❤ st❡♣✱

✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛② ❛s ❞♦♥❡ ♦✤✐♥❡ ✐♥ ❬✸❪✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r ❡q✉❛t✐♦♥s

❛r❡✿ 







 ˆ

c₀ = E[c0]

P˜₀ = E[(c−cˆ₀)(c−ˆc₀)^T] P0 = ( ˜P⁻₀¹+λL)⁻¹

gk = Pk−1X^T_k(XkPk−1X^T_k +σ_k²)⁻¹ P_k = (I−g_kX_k)Pk−1

ˆ

c_k = ˆc_k₋₁+g_k(yk−X_kˆc_k₋₁)

■◆❘■❆

(8)

❖♥❧✐♥❡ ❈❙❆ ❖❉❋ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❍❆❘❉■ ✺

✇❤❡r❡yk = ln(−lnE(ˆuk))✐s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❤❡

❞✐r❡❝t✐♦♥uˆk✱Xk ✐s t❤❡k✲t❤ r♦✇ ♦❢ t❤❡ ❙❍ ♠❛tr✐①X✱ ✇❤❡r❡ Xk,j =Yj(ˆuk)✳ Pk

❛♥❞gk ❛r❡ st❛♥❞❛r❞ ♥♦t❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐① ❛♥❞ ❣❛✐♥✱ ❛♥❞

σ²_k ✐s t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♠❡❛s✉r❡❞ ❛t ✐t❡r❛t✐♦♥ k✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ♦♥

t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ✈❡❝t♦rs ❛♥❞ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✇❡ ❦✐♥❞❧② r❡❢❡r t❤❡ r❡❛❞❡r t♦ ❬✼❪✳

❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❙❍ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❈❙❆ ❖❉❋ ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s✿

ˆ c^′_j=







1

2√π j= 1

−_8π¹(−1)^lj² ¹₂^×_×³₄^×_×^..._...^×_×^(l_(l^j_j⁺¹⁾₋₂₎cˆj j >1

✇❤❡r❡ lj ✐s t❤❡ ♦r❞❡r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ j✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ❙❍ ❜❛s✐s

✭s❡❡ ❬✷✱ ✸❪ ❢♦r ❞❡t❛✐❧s✮✳ ❲❡ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❛t ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡

s❛♠❡ ❖❉❋ ❛s ✇❡ ✇♦✉❧❞ ♦❜t❛✐♥ ❜② ♦✛✲❧✐♥❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✳

✷✳✷ ▼♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥

❚❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✶ r❡❝♦♥str✉❝ts t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❤❛r♠♦♥✐❝s

❝♦❡✣❝✐❡♥ts ˆc t♦ ❜❡st ✜t t❤❡ s✐❣♥❛❧ ln(−ln(E))✱ ❢♦r t❤❡ ℓ2 ♥♦r♠✳ ❆❢t❡r ❛ ❢❡✇

✐t❡r❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡ˆck−1✐s st❛❜❧❡ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ♣r❡❞✐❝t ✇✐t❤ ❣♦♦❞ ❛❝❝✉r❛❝② t❤❡

♥❡①t s✐❣♥❛❧ ♦✉t❝♦♠❡yk✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ✐❢ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ♠♦✈❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s❝❛♥♥❡r✱ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✇❡✐❣❤t❡❞

✐♠❛❣❡s ✇✐❧❧ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❜❡ r❡❣✐st❡r❡❞ t♦ t❤❡ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡✱ ❛♥❞ ♣✐①❡❧s ✇✐❧❧ ♥♦t

♠❛t❝❤ ❢r♦♠ ♦♥❡ ✈♦❧✉♠❡ t♦ ❛♥♦t❤❡r✳ ❆♥ ❛❜♥♦r♠❛❧ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r

♦❢ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ s✐❣♥❛❧ ❞✉r✐♥❣ ♦♥✲❧✐♥❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❛♥❞ ❡①♣❡❝t❡❞

❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♣❛t✐❡♥t ♠♦t✐♦♥✳ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ✉s❡ t❤✐s q✉❛♥t✐t② ❛s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r t♦ ✇❛r♥ t❤❡ s❝❛♥♥❡r ♦♣❡r❛t♦r t♦ st♦♣ t❤❡ s❝❛♥ ✐♥ s✉❝❤ ❛ s✐t✉❛t✐♦♥✱ ❛s t❤❡ ♥❡①t

❛❝q✉✐s✐t✐♦♥s ✇♦✉❧❞ ❤❛r❞❧② ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r ❖❉❋ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥✱

✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ǫk=yk−Xkcˆk−1 ❛t ❡❛❝❤ ✈♦①❡❧✱ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡

t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ sq✉❛r❡❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ♦♥ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ♠❛s❦❡❞ ✈♦❧✉♠❡✳

◆❡①t✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t r❡s✉❧ts ♦❢ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❛♥❞ ✐♥ ✈✐✈♦ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣ ❞❡t❡❝t✐♦♥✱ ❛s

✇❡❧❧ ❛s ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥✳

✸ ❊①♣❡r✐♠❡♥ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts

✸✳✶ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❛rt✐✜❝✐❛❧ ❞❛t❛

❲❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣ ❜② ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐♠❛❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦

❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧s✿

E(ˆu) =1 2

e⁻û^ˆ^T^D¹^ˆû+e⁻û^ˆ^T^D²û^ˆ

✭✷✮

✇❤❡r❡ D1 ✐s ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡♥tr✐❡s (9,2,2) ❛♥❞ D2 ✐s D1

r♦t❛t❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ y✲❛①✐s✱ ♦♥❝❡ ❜②60^◦ ❛♥❞ ❛♥♦t❤❡r t✐♠❡ ❜②90^◦✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ❛♥

❛♣♣❛r❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✭❆❉❈✮ ♦❢0.7×10⁻³♠♠²✴s ✭t❤❡ ♠❡❛♥ ❞✐✛✉s✐✈✐t② ✐♥

❜r❛✐♥ ♣❛r❡♥❝❤②♠❛✮✱ t❤❡s❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❛b✲✈❛❧✉❡ ♦❢ ✹✽✵✵ s✴♠♠²✳

❚❤❡ ❖❉❋s ✇❡r❡ r❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦✉rt❤ ♦r❞❡r ❙❍ ❜❛s✐s ✉s✐♥❣ ✸✵ ✐t❡r❛t✐♦♥s✳

❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶ ❢♦r ❈❙❆ ◗❇■✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❢♦r ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❇■ ❢♦❧❧♦✇❡❞

❜② ▲❛♣❧❛❝❡✲❇❡❧tr❛♠✐ s❤❛r♣❡♥✐♥❣ ✭I−α∇²_b ♦♣❡r❛t♦r✱ s❡❡ ❬✶✸❪✮✱ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r α= 0.15❝❤♦s❡♥ t♦ ♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❈❙❆ ◗❇■ ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸❪ t♦

❘❘ ♥➦ ✼✶✵✷

(9)

✻ ❊✳ ❈❛r✉②❡r✱ ■✳ ❆❣❛♥❥✱ ❈✳ ▲❡♥❣❧❡t✱ ●✳ ❙❛♣✐r♦✱ ❘✳ ❉❡r✐❝❤❡

(a)

(b)

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧❧② r❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ❖❉❋s ❢r♦♠ s②♥t❤❡t✐❝ ❞❛t❛ ✇✐t❤ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣s

♦❢ ✭❛✮60^◦❛♥❞ ✭❜✮90^◦✱ ❢♦r ✐t❡r❛t✐♦♥s ✶ t♦ ✸✵ ✭❧❡❢t t♦ r✐❣❤t✮✱ ✉s✐♥❣ ✭t♦♣✮ ❈❙❆ ◗❇■✱ ❛♥❞

✭❜♦tt♦♠✮ ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❇■ ✇✐t❤ ▲❛♣❧❛❝❡✲❇❡❧tr❛♠✐ s❤❛r♣❡♥✐♥❣✳

❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❈♦r♦♥❛❧ s❧✐❝❡✿ ❈❙❆ ❖❉❋✱ ❛❢t❡r ✐t❡r❛t✐♦♥ ✶✵✵ ♦❢ t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✳ ❚❤❡

❖❉❋s ❛r❡ s❤♦✇♥ ♦♥ t❤❡ t❡♥s♦r ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❆♥✐s♦tr♦♣② ♠❛♣✳

r❡s♦❧✈❡ t❤❡ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣s st❛rt✐♥❣ ❛t ❛ s♠❛❧❧❡r ❛♥❣❧❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧

◗❇■✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶ t❤❛t t❤❡60^◦ ❝r♦ss✐♥❣ ✐s ❜❡tt❡r r❡s♦❧✈❡❞

❜② t❤❡ ❈❙❆ ❖❉❋ ❛t ♠♦st ✐t❡r❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡ 90^◦ ❝r♦ss✐♥❣ ✐s r❡❝♦♥str✉❝t❡❞

❡q✉❛❧❧② ✇❡❧❧ ❜② ❜♦t❤ ♠❡t❤♦❞s✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧❧②✱ ❢✉rt❤❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❞❡♠♦♥str❛t❡❞

t❤❛t ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s s❧✐❣❤t❧② ❢❛st❡r ✇❤❡♥ ✉s❡❞ ✇✐t❤ t❤❡

❈❙❆ ❖❉❋ t❤❛♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❖❉❋ ✭r❛t❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✇❛s s♠❛❧❧❡r ❜② ✵✳✵✵✶ ❢♦r

❝r♦ss✐♥❣ ❛♥❣❧❡s ❧❡ss t❤❛♥50^◦✱ ❛♥❞ ❛❜♦✉t t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❧❛r❣❡r ❛♥❣❧❡s✮✳

✸✳✷ ■♥ ✈✐✈♦ ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥

❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✷✵✵ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ s❛♠♣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡

♦❢ ❬✼❪ ✇❛s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♦♥ ❛ ❙✐❡♠❡♥s ✸❚ s❝❛♥♥❡r ❛t t❤❡ ❈❡♥t❡r ❢♦r ▼❛❣♥❡t✐❝ ❘❡s✲

♦♥❛♥❝❡ ❘❡s❡❛r❝❤✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▼✐♥♥❡s♦t❛✱ t♦ s❝❛♥ ❛ ❤❡❛❧t❤② ✈♦❧✉♥t❡❡r✳ ❉✉r✐♥❣

t❤❡ ❛❝q✉✐s✐t✐♦♥✱ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ✇❛s ❛s❦❡❞ t♦ t✐❧t ❤✐s ❤❡❛❞ ❛❢t❡r ❛❜♦✉t ✽✵ ❞✐✛✉s✐♦♥

✇❡✐❣❤t❡❞ ✐♠❛❣❡s ✇❡r❡ ❛❝q✉✐r❡❞✳ ❆ ♣✐❧♦t s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤♦✉t ♠♦t✐♦♥ ✇❛s ❛❧s♦ ❛❝✲

q✉✐r❡❞ ❢♦r ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✷✮✳

■◆❘■❆

(10)

❖♥❧✐♥❡ ❈❙❆ ❖❉❋ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❍❆❘❉■ ✼

❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❆①✐❛❧ s❧✐❝❡s ♦❢ t✇♦ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡s✿ ✭❧❡❢t✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ✭r✐❣❤t✮ ❛❢t❡r t❤❡ ♠♦t✐♦♥

♦❝❝✉rr❡❞✳

50 100 150

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

1.4 Average Squared Prediction Error 200 dirs, Regular 200 dirs, With motion

❋✐❣✉r❡ ✹✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ sq✉❛r❡❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ✇✐t❤ ❛♥❞ ✇✐t❤♦✉t ♠♦✲

t✐♦♥✳

❚❤❡ ♠♦t✐♦♥ ✇❛s q✉❛♥t✐t❛t✐✈❡❧② ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ ✭❜✉t ♥♦t ❝♦rr❡❝t❡❞✮ t❤r♦✉❣❤ r✐❣✐❞

r❡❣✐str❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡s ❛❝q✉✐r❡❞ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♦❝❝✉r❡❞✳

❲❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❙❧✐❝❡r✸ r✐❣✐❞ r❡❣✐str❛t✐♦♥ ♠♦❞✉❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❡st✐♠❛t❡❞ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛✲

t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❜♦✉t 20^◦ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ③✲❛①✐s✱ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤ ❛ s♠❛❧❧

tr❛♥s❧❛t✐♦♥✳ ❆①✐❛❧ ✈✐❡✇s ♦❢ ❜♦t❤ ♣♦s✐t✐♦♥s ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳

❚❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✶ ✇❛s ✉s❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❙❍ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢

t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧✱ ✇✐t❤ ❛ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r λ= 0.006✳

❚❤❡ ✈♦①❡❧✲✇✐s❡ sq✉❛r❡❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ✇❛s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✱ ❛♥❞ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❣ ✈♦❧✉♠❡✳ ❚❤✐s r❡❣✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✇❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ s✐♠♣❧❡ t❤r❡s❤♦❧❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡✳

■♥ ❋✐❣✳ ✹✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❞✉r✐♥❣ ❜♦t❤

❛❝q✉✐s✐t✐♦♥ s❡q✉❡♥❝❡s✳ ❋♦r t❤❡ ♣✐❧♦t ❛❝q✉✐s✐t✐♦♥✱ t❤❡ ✜t ❣❡ts ❜❡tt❡r ❛s ♥❡✇ ♠❡❛✲

s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❛❝q✉✐r❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❞❡❝r❡❛s❡s✱ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞✳ ❖♥ t❤❡

❝♦♥tr❛r②✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❞❞❡♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①♣❡r✐✲

♠❡♥t✱ ❛t ❛ ♣♦✐♥t ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡①❛❝t❧② t♦ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ✭✐t❡r❛t✐♦♥ ✽✵✮✳

❘❘ ♥➦ ✼✶✵✷

(11)

✽ ❊✳ ❈❛r✉②❡r✱ ■✳ ❆❣❛♥❥✱ ❈✳ ▲❡♥❣❧❡t✱ ●✳ ❙❛♣✐r♦✱ ❘✳ ❉❡r✐❝❤❡

✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❲❡ ❤❛✈❡ ❛❞❛♣t❡❞ ❛♥❞ ❡①t❡♥❞❡❞ t❤❡ ♦♥✲❧✐♥❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ t❤❡

♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ❝♦rr❡❝t ❈❙❆ ❖❉❋❀ ♦✉r ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s s❤♦✇♥ t♦

❞❡t❡❝t ❝r♦ss✐♥❣s ✐♥ ✇❤✐t❡ ♠❛tt❡r ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❛❝q✉✐s✐t✐♦♥ ❛♥❞ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♣r♦✲

❝❡ss ❜❡②♦♥❞ ✇❤❛t ✇❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✇✐t❤ r❡❣✉❧❛r ❖❉❋✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛❧s♦ st✉❞✐❡❞ ❧♦❝❛❧

❝❤❛♥❣❡s ✐♥ ❞✐✛✉s✐♦♥ s✐❣♥❛❧ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② s✉❜❥❡❝t✬s ♠♦t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❤❛✈❡ s❤♦✇♥ t❤❛t

♠♦t✐♦♥ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ♦♥✲❧✐♥❡ ✇❤❡♥ ❛ ❝♦❤❡r❡♥t ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r

✐s r❡♣♦rt❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❣ ✈♦❧✉♠❡✳ ❲❡ ❜❡❧✐❡✈❡ t❤❡s❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts ♣r♦✈✐❞❡

t❤❡ ❝❧✐♥✐❝✐❛♥s ✇✐t❤ ❛ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ❛♥❞ ♠♦r❡ ✢❡①✐❜❧❡ t♦♦❧ ❢♦r ◗❇■ ❛❝q✉✐s✐t✐♦♥

❛♥❞ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❢♦r ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦r ♣❛t✐❡♥ts ✇❤♦ ❤❛✈❡ ❞✐✣❝✉❧t② s✉st❛✐♥✐♥❣

♣r♦❧♦♥❣❡❞ s❝❛♥♥✐♥❣ s❡ss✐♦♥s✳

❚❤❡ ♥❡①t ❝❤❛❧❧❡♥❣✐♥❣ st❡♣ t♦✇❛r❞s t❤❡s❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s ❝♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t

♦❢ ❛ ♠♦t✐♦♥ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✳ ❘❡❛❧✲t✐♠❡

♠♦❞❡❧ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛❧s♦ ♦♣❡♥s t❤❡ ✇❛② ❢♦r ❛ ✇✐❞❡ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ♦♥✲❧✐♥❡ ♣♦st✲♣r♦❝❡ss✐♥❣

♠❡t❤♦❞s✱ s✉❝❤ ❛s s❝❛❧❛r ✐♥❞❡① ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦r ✜❜❡r tr❛❝t♦❣r❛♣❤②✱ ❣✐✈✐♥❣ ✈❛❧✉❛❜❧❡

❢❡❡❞❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r✳

❆❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡♠❡♥ts

❚❤✐s ✇♦r❦ ✇❛s ♣❛rt❧② s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❉✐✛✉s✐♦♥ ▼❘■ ✭❈❉✲

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Centre de recherche INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Centre de recherche INRIA Bordeaux – Sud Ouest : Domaine Universitaire - 351, cours de la Libération - 33405 Talence Cedex Centre de recherche INRIA Grenoble – Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier Centre de recherche INRIA Lille – Nord Europe : Parc Scientifique de la Haute Borne - 40, avenue Halley - 59650 Villeneuve d’Ascq

Centre de recherche INRIA Nancy – Grand Est : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique 615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex

Centre de recherche INRIA Paris – Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex Centre de recherche INRIA Rennes – Bretagne Atlantique : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex Centre de recherche INRIA Saclay – Île-de-France : Parc Orsay Université - ZAC des Vignes : 4, rue Jacques Monod - 91893 Orsay Cedex

Éditeur

INRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

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