Développements méthodologiques et qualification de schémas de calcul pour la modélisation des échauffements photoniques dans les dispositifs expérimentaux du futur réacteur d'irradiation technologique Jules Horowitz (RJH)

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schémas de calcul pour la modélisation des

échauffements photoniques dans les dispositifs

expérimentaux du futur réacteur d’irradiation

technologique Jules Horowitz (RJH)

David Blanchet

To cite this version:

UNIVERSITÉ BLAISE PASCAL

(U.F.R. de Re her he S ientique etTe hnique)

ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES FONDAMENTALES

N178

THÈSE

Présentée pour obtenirle gradede

DOCTEUR D'UNIVERSITÉ

(Spé ialité : Physiquedes réa teurs)

PAR

David BLANCHET

Diplmé d'Etudes Approfondies

Développements méthodologiques et quali ation de s hémas de al ul pour

la modélisation des é hauements photoniques dans les dispositifs

expérimentaux du futur réa teur d'irradiation te hnologique Jules Horowitz

(RJH)

Soutenue publiquement le6 juin 2006,devant la ommission d'examen :

M.AbdelMjid NOURREDDINE Président etRapporteur

M.Cheikh DIOP Rapporteur

M.Alain SANTAMARINA Examinateur

M.Pierre HENRARD Dire teur de thèse

M.Ni olas HUOT Co-Dire teurde thèse

M.Mi helBOYARD Responsable AREVA-TA

M.Loï TILLARD Invité

positifsexpérimentauxdu futur réa teur d'irradiation te hnologique Jules Horowitz (RJH). La forte puissan e

nu léairespé iqueproduite(460kW/l) induitdesuxphotoniquesintenses quiprovoquentdes é hauements

etdes gradients detempératureimportants,qu'il est né essaire de maîtriserdès la on eption. Or, les al uls

d'é hauementssontpénaliséspardesin ertitudesrédhibitoiresestiméesàunevaleurenveloppeetmajorantede

30%(2

σ

)provenant desla unesetin ertitudesdesdonnéesd'émission gammaprésentesdanslesbibliothèques

dedonnéesnu léairesdebase.LeprogrammeexpérimentalADAPhviseàréduire esin ertitudes.Desmesures

pardéte teursthermolumines ents(TLD)etpar hambred'ionisationsontréaliséesdanslesmaquettes ritiques

EOLE (MOX) et MINERVE (UO2). L'interprétation rigoureuse de es mesures né essite des développements

spé iques baséssurdes simulationsMonte-Carlo detransport ouplé neutron-gammaetgamma-éle tron. Les

développementsee tuéssesingularisentnotammentparlamodélisationdephénomènesde avitésetd'émissions

gammaretardéspardé roissan edesproduitsdession.Les omparaisons al ul-mesureontpermisd'identierun

biaissystématiqueC/E=0.72 onrmantunetendan edes al ulsàsous-estimerlamesure.Uneméthode

d'ajus-tement Bayésienneaété développéean deré-estimerles prin ipales omposantesde l'é hauementgammaet

detransposer les résultats obtenus auxdispositifs du RJH dansdes onditions dereprésentativités lairement

dénies.Cettethèseapermisderéduiresigni ativementlesin ertitudessurladéterminationdesé hauements

gammade30%à15%(2

σ

).

Mots- lés:RJH.Dispositifsexpérimentaux.Modélisation.E hauementsgamma.TLD.Chambred'ionisation.

Cavités.Bayès.Ré-estimation.

Abstra t

Theobje tiveofthisthesisistodevelopthemodellingofthenu learheatingoftheexperimentaldevi esof

thefutureJulesHorowitzmaterialtestingrea tor(JHR).Thestrongspe i nu learpowerprodu ed(460kW/l),

indu esintensephotoni uxeswhi h auseheating and large gradientsintemperature,that it is ne essaryto

ontrolbythedesign.However, al ulationsofheatingarepenalizedbytheverylargeun ertaintiesestimatedat

avalueofabout30%(2

σ

) omingfromthegapsandun ertaintiesofthedataofemissiongammapresentinthe

librariesofbasi nu leardata.TheexperimentalprogramADAPhaimsatredu ingtheseun ertainties.

Measure-mentsby thermolumines entdete tors(TLD)and ionisation hamberare arried out inthe riti al assemblies

EOLE (MOX)and MINERVE(UO2). Therigorous interpretation of thesemeasurementsrequires spe i

de-velopments based onMonte-Carlo simulationsof oupled neutron-gamma and gamma-ele tron transport. The

developments arried out are madedierent inparti ularby themodelling of avitiesphenomenaand delayed

gammaemissionsbyde reaseofthessionprodu ts.The omparisons al ulation-measurementmadeitpossible

toidentifyasystemati bias onrmingatenden yof al ulationsto underestimatemeasurements.A Bayesian

methodofadjustmentwasdevelopedinordertore-estimatetheprin ipal omponentsofthegammaheatingand

totransposetheresultsobtainedtothedevi esoftheJHR,under onditions learlyanddenitelyrepresentative.

Thisthesismadeitpossibletoredu esigni antlytheun ertaintiesonthedeterminationofthegammaheating

from30%to15%(2

σ

).

Keywords:JHR.Experimentaldevi es.Modelling.Gammaheating.TLD.Ionisation hamber.Cavities.Bayesian.

Cetravaildethèses'estdéroulé auServi edePhysiquedesRéa teursetduCy ledu Centre

d'Etudes Nu léaires de Cadara he,dans les lo aux du Laboratoire de Projets Nu léaires.

J'ex-prime i i toute ma gratitude à Messieurs Alain Zaetta et Jean-Paul Grouiller, su essivement

hefs duSPRC, etMonsieurBrunoMaugard hef du LPN,qui m'ont en ouragé etpermis

d'ef-fe tuermathèse dansd'ex ellentes onditions.

Jetiensaussiàremer ierMonsieurGuyWillermozsansquitout elan'auraitpasétépossible:

toutd'abord il m'a en adré durant monstage de DESS en mathématiques appliquées au LPN

etensuiteilm'a a ordé sa onan een meproposant d'ee tuer ette thèse.

J'exprime toutemare onnaissan eà MonsieurPierre Henrardquia a epté dediriger ette

thèse et qui m'a fait onan e. Il s'est montré très disponible et ses remarques pertinentes et

onstru tivesm'ont toujours ététrès protables.

Je remer ie haleureusement Monsieur Ni olas Huot, ingénieur au CEA et o-dire teur de

ette thèse : il m'a onstamment guidé et onseillé. J'ai largement proté de son expérien e et

desondévouement sans faille. Jelui dois beau oup.

MessieursSébastien Czerne ki et Mi helBoyard,ingénieurs à AREVA-TA m'ont également

en adréetguidé enfaisant preuve d'unegrande disponibilité, qu'ilsen soient remer iés.

Je tiensàremer iervivementMonsieurAbdelMjid Nourreddine, professeuràl'université de

Strasbourg etMonsieurCheikh Diop duCEA Sa laypour m'avoir faitl'honneur des'intéresser

à e travail etpour avoira epté d'enêtre lesrapporteurs.

Un grand mer i également à Monsieur Alain Santamarina, dire teur de re her he au CEA,

àMonsieur Loï Tillard, ingénieur à AREVA-TA, età MonsieurLudo Vermeeren, ingénieur au

Centre d'EtudeNu léaire de Mol(Belgique), qui sesont intéressésà montravail et ont a epté

defaire partie de ette ommission d'examen.

Je remer ie aussi pour leur fru tueuse ollaboration Mesdames Muriel Antony et Valérie

Laval ainsique MessieursPatri k Blaise, Jean-Pas al Hudelot, Alain Ro he et HuguesServière

duServi e dePhysique Expérimentale du CEACadara he.

Enn, qu'il me soit permis d'adresser mes remer iements à l'ensemble des membres du

La-boratoire deProjetsNu léaires, à l'équipe AREVA-TA desEtudes Physiques duRJHet à tout

Introdu tion 1

Partie I Introdu tion à la modélisation du transport des parti ules et des

é hauements nu léaires 3

Chapitre 1

Généralités sur les équations de transport et d'évolution

1.1 Dénition desse tions e a esd'intera tions . . . 6

1.2 Bibliothèques de donnéesnu léaires auformat ENDF . . . 6

1.3 Le transportdesparti ulesneutres . . . 7

1.3.1 L'équation de Boltzmann . . . 7

1.3.2 Le phénomène d'autoprote tion . . . 9

1.3.3 La méthodede Monte-Carlo . . . 10

1.3.4 La méthoded'atténuation en ligne droite . . . 10

1.4 Notions surletransportdesparti ules hargées . . . 11

1.5 Equations d'évolution . . . 12

1.5.1 Solutions analytiques . . . 13

1.6 Aperçugénéral desméthodesde résolution etdes odesde al ulasso iés . . 15

Chapitre 2 Etat et limitations de la modélisation des dommages dans les matériaux 2.1 Les défauts ristallins . . . 18

2.2 Vieillissementetendommagement desmatériauxspé iquesdes entrales nu- léaires . . . 19

2.2.1 Vieillissement thermiqueetmé anique . . . 19

2.2.2 Vieillissement sousirradiation . . . 19

2.3.1 Notion dedpa . . . 21

2.4 fragilisationsousirradiation :mé anique dela rupture . . . 23

2.5 Importan e delamaîtrise des onditions d'é hauement . . . 24

Chapitre 3 Modélisation des é hauements nu léaires 3.1 Notion deKERMA . . . 26

3.2 Lesé hauements neutroniques. . . 27

3.2.1 Le KERMAneutron . . . 27

3.2.2 Limites inématiques . . . 27

3.3 Lesé hauements photoniques . . . 30

3.3.1 Lesémissions gamma . . . 31

3.3.2 Lesintera tions photo-atomiques . . . 31

3.3.3 Intera tions des parti ules hargées . . . 34

3.3.4 Les oe ientsd'absorption etdetransfert d'énergiemassique . . . . 35

3.3.5 Analysephysique dudépt d'énergie . . . 37

3.4 In ertitudes surles émissionsphotoniques . . . 42

3.4.1 Formalisme ENDF etnotationsphysiques . . . 42

3.4.2 Analysedesdonnées de ovarian e disponibles . . . 43

3.4.3 Emissionsgamma par ssion . . . 44

3.4.4 Emissionsgamma par apture radiative . . . 48

3.4.5 Etatde l'artdesmodèles théoriquesetsemi-empiriques . . . 51

Partie II Le futur réa teur de re her he Jules Horowitz (RJH) 55 Chapitre 4 Présentation du futur réa teur d'irradiation te hnologique RJH 4.1 Situationdesréa teurs de re her he . . . 58

4.2 Lesspé i itésdu RJH . . . 59

4.3 Lesprin ipalesoptions de on eptiondu RJH. . . 60

4.3.1 Calendrierdu projet . . . 61

4.3.2 Vued'ensembledu réa teur . . . 62

4.3.3 Le ÷ur. . . 62

4.3.4 Le rée teur . . . 66

4.3.5 L'assemblage ombustible . . . 68

4.3.9 Performan es générales . . . 76

Chapitre 5 Développement des s hémas de al ul neutronique et photonique du RJH 5.1 Obje tifsdus hémade al ulHORUS3D . . . 80

5.2 Le s héma de al ulneutronique . . . 81

5.2.1 Des ription dumaillage . . . 82

5.2.2 S hémade transport"double niveau" . . . 82

5.2.3 Evolution desmilieux . . . 86

5.2.4 Validation du s hémaHORUS3D/N . . . 86

5.3 Le s héma de al ulphotonique . . . 91

5.3.1 Des ription dus hémaHORUS3D/P . . . 91

5.3.2 Homogénéisation spatiale desspe tres sour es . . . 92

5.3.3 Validation du s hémaHORUS3D/P . . . 92

5.4 Les Programmesexpérimentaux de quali ation . . . 96

5.4.1 Le programme VALMONT (Validation du ombustible ALuminium-MOlybdène pour laNeuTronique) . . . 96

5.4.2 Le programme AMMON . . . 97

5.4.3 Le programme ADAPh . . . 97

Partie III Le programme expérimental ADAPh 99 Chapitre 6 Etude de faisabilité des expérien es ADAPh 6.1 Rappeldu ontexte etobje tifsdesmesures . . . 102

6.2 Contraintes duprogramme . . . 102

6.2.1 Choix deste hniques demesure . . . 102

6.2.2 Des ription duréa teur EOLE . . . 103

6.2.3 Des ription duréa teur MINERVE . . . 105

6.3 Calendrier duprojet . . . 109

Chapitre 7 Prin ipe physique des mesures par TLD et hambre d'ionisation 7.1 Prin ipe physique desmesurespar TLD . . . 112

7.1.2 Des ription phénoménologiquede lathermolumines en e . . . 112

7.1.3 Problématique des hampsmixtes . . . 116

7.2 Des riptiondes TLD. . . 118

7.2.1 Prin ipe dele ture desTLD . . . 119

7.2.2 Lois de hauage adoptées . . . 121

7.2.3 Réponseen fon tionde ladoseabsorbée . . . 123

7.2.4 Réponsedes TLD en fon tion de l'énergie etde laqualité des rayon-nements. . . 124

7.2.5 Inuen esdiverses . . . 125

7.2.6 Cara téristiques du onditionnement desTLD utilisés . . . 125

7.3 Prin ipe physique desmesures par hambre d'ionisation . . . 127

7.3.1 Problématique des hampsmixtes . . . 127

7.3.2 Des ription dela hambred'ionisation . . . 128

7.4 Problématique desphénomènesde avité . . . 129

7.4.1 Modèles déterministes de al ul des orre tionsde avités . . . 129

Chapitre 8 Réalisation des expérien es ADAPh 8.1 Etalonnage desdéte teurs . . . 136

8.1.1 Etalonnage desTLD. . . 136

8.1.2 In ertitudesur la ara térisationindividuelledes TLD . . . 140

8.1.3 In ertitudesur l'étalonnage . . . 141

8.1.4 Interprétation del'étalonnage desTLD . . . 143

8.1.5 Etalonnage de la hambreàionisation . . . 144

8.2 Réalisationdesmesures en réa teurpar TLD . . . 144

8.2.1 Mesuresde bruitde fond gammadans le ÷ur . . . 144

8.2.2 Lesexpérien esd'irradiations . . . 146

8.2.3 In ertitudesur lamesureen réa teur . . . 150

8.2.4 Synthèse . . . 152

8.2.5 Validationdes estimations d'in ertitude . . . 153

8.3 Réalisationdesmesures par hambre àionisation dansleréa teurMINERVE 153 Chapitre 9 Développement d'uns hémade al ulde référen epourl'interprétation des expérien es ADAPh 9.1 Modélisation desphénomènesde avité . . . 157

9.1.3 Corre tions de avitéde la hambre d'ionisation . . . 165

9.2 Cal ul desdébits de dosedûs auxémissions promptes . . . 166

9.2.1 Dénition d'un motif simple représentatif du ÷ur pour des études paramétriques . . . 166

9.2.2 Cal uls en régimestationnaire danslagéométrie omplète du ÷ur . 168 9.3 Cal ul desdébits de dosedûs auxémissions retardées . . . 176

9.3.1 Interprétationdesmesures . . . 176

9.3.2 Cal uls des sour esdegamma retardés . . . 178

9.3.3 Cal uls de transportetde débitde dosedesgamma retardés . . . 178

9.3.4 Prin ipales ontributions desproduits dession . . . 182

9.4 Cal ul desdébits de dosedûs auxneutrons . . . 185

9.4.1 Corre tion de doseneutron . . . 185

9.4.2 Fa teurs dekerma neutron . . . 187

9.4.3 Détermination des orre tionsneutroniques pour la hambre d'ionisa-tion . . . 190

9.5 Résultats etin ertitudes de al ul . . . 191

9.5.1 Evaluationdesin ertitudes de al ul . . . 191

9.5.2 Résultats de al uletin ertitudes . . . 194

9.6 Comparaisons al ul-mesure . . . 197

9.6.1 Traversesaxialespar hambresà ssions . . . 197

9.6.2 Comparaisons al ul-mesure de traverses axiales sur le réa teur MI-NERVE. . . 199

9.6.3 Comparaison al ul-mesuredesdosesgammaintégralesdansEOLEet MINERVE . . . 200

9.6.4 Comparaison al ul-mesuredes dosesretardées dansMINERVE . . . 204

9.7 Synthèse . . . 205

Chapitre 10 Ré-estimation des é hauements gamma dans le ÷ur RJH 10.1 In ertitudes systématiqueset aléatoires . . . 208

10.2 Prin ipe desétudes de sensibilité . . . 208

10.2.1 Méthode desperturbations . . . 209

10.2.2 Méthode dire te . . . 211

10.3 Les méthodesd'ajustement desdonnées nu léaires de base . . . 211

10.3.2 Analysedu problèmed'ajustement . . . 213

10.3.3 Formulation linéaire . . . 214

10.3.4 Formulation nonlinéaire . . . 217

10.3.5 Lesétudes dereprésentativité . . . 217

10.4 Méthodologied'ajustementappliquéeauxparamètresma ros opiquesde l'é hauf-fement photonique . . . 220

10.5 Méthode généralede ré-évaluation desé hauementsgamma dansle RJH . . 223

10.5.1 Etudesde sensibilitéspour diérentsdispositifsetdiérentes ongu-rations . . . 223

10.5.2 Synthèse desrésultats . . . 226

10.6 Re ommandationspourlaré-évaluationdesé hauements gammadansleRJH230 10.6.1 Re ommandations parti ulières pour les dispositifs hou a isolés et hou a groupés. . . 230

10.6.2 Re ommandations générales . . . 230

Con lusion 233

Annexe A

Rappels de régression linéairesimple 237

Bibliographie 241

Table des gures 249

Les études du omportement des matériaux et des ombustibles nu léaires onstituent un

axe majeur de re her he à la fois pour le soutien aux entrales nu léaires en fon tionnement

(meilleure exploitation des ombustibles, résistan e a rue des matériaux...) maisaussi pour le

développement deste hnologies né essaires à la on eption de réa teurs nu léaires dufutur qui

permettront notamment d'optimiser les ressour es naturelles et de produire moins de dé hets.

A tuellement, en Europe, laplupart desinstallations de re her he, telles que leréa teur

d'irra-diationte hnologiqueOSIRISàSa lay,ontété onstruitesdanslesannées 60,sont vieillissantes

etnepourront êtreexploitées audelàde 2010.Dans laperspe tive durempla ement d'OSIRIS,

leprojetde onstru tion d'unnouveau réa teur expérimental Européen, appelé Réa teur Jules

Horowitz(RJH),se ara térisepardesaméliorationsimportantesentermesdeperforman es,de

apa itéexpérimentale etdeexibilité, desorte qu'ilpuisserépondreauxobje tifsde re her he

despro hainesdé ennies.Eneet,asso iéaudéveloppement delasimulationnumérique, e

nou-veauréa teurd'irradiationte hnologiqueserévèleraindispensablepourpermettre d'ee tuerun

sautte hnologiquedansla ompréhensiondesphénomènessous irradiationetpourpasserd'une

appro he des riptive àune appro he prédi tive etanalytique.

Pour atteindre les performan es requises, la on eption de e réa teur se distingue par la

priseen omptedire tedesdispositifs expérimentaux tantdupoint devuedeleurimpa tsurle

omportementneutroniquedu ÷urquedes ara téristiquesqu'ilsprésentententermes

d'é hauf-fementsnu léaires,dedosesreçuesoudedommagessubis.L'obje tifde ettethèseestdequalier

lamodélisationdesé hauementsphotoniques quiinterviennent auniveau desdipositifs

expéri-mentaux duRJH. Eneet, laforte puissan enu léaire spé iqueproduite par le ÷ur duRJH

(460kW/l) induit des niveaux de ux photoniques importants qui ontribuent à l'essentiel (de

l'ordre de 90%) de l'é hauement nu léaire total (neutronique plus photonique) des matériaux

de stru tures non ssiles et en parti ulier des dispositifs expérimentaux. La détermination des

é hauements nu léaires fournit lesparamètres qui sont àlabasedes al ulsde thermiquedont

l'objetestd'établirdesniveauxdetempérature.L'enjeuestsurtout demaîtriserlesgradientsde

températureauniveaudesé hantillons dematériauxirradiésdetellesortequel'onpuisse

garan-tirdestransitionsdephase(du tile-fragilepar exemple)uniformesetquelesexpérien esfutures

de ara térisation des matériaux sous irradiation qui seront menées puissent être orre tement

onçues,réaliséesetinterprétées.

Les méthodes utilisées a tuellement et les s hémas de al ul asso iés pour la modélisation

desé hauements nu léaires sont disparates et ne rendent ompte que de phénomènes partiels,

généralement sans ouplagesde parti ules.L'enjeude ette thèseestde développeret demettre

en ÷uvre des s hémas de al uls pouvant répondre de façon pertinente au problème omplexe

Ce mémoire est organisé en trois parties et omprend dix hapitres :la première partie est

uneintrodu tionthéorique etgénéralequi présentele ontexte,laproblématique etles on epts

né essairesàlamodélisationdesé hauementsnu léaires.Le premier hapitre dénitles

prin i-pales notions relativesà lamodélisation dutransportdes parti uleset de l'évolution isotopique

temporelle desmilieuxirradiés. Le deuxième hapitre met enéviden e l'importan e de la

déter-mination des é hauements nu léaires dans le adre de la modélisation des dommages dansles

matériauxsousirradiation. Letroisième hapitre dénitles on eptsné essairesetlesproblèmes

liésà lamodélisationdesé hauements nu léaires.

La deuxième partie, onstituée des hapitres 4 et 5, présente les ara téristiques générales

et les hoix te hnologiques réalisés lors des études de dénition et de développement pour la

on eption duRJH. Pour réaliser es études,le maître d'÷uvre dispose du formulaire de al ul

HORUS3Dquiestun ensemble ohérent d'outilsdéveloppés,validésetqualiés enneutronique,

photoniqueetthermohydraulique. L'utilisationde e formulaire, onstituédes hémas de al ul,

imposedesexigen esfortesvisàvisdelapré isiondesrésultatsetdelaabilitédesin ertitudes

asso iées.L'in ertitude asso iée àla détermination desé hauements gamma estestimée à une

valeur enveloppe de l'ordre de 30% (2

σ

) et provient essentiellement d'une mé onnaissan e des

données d'émission photonique et de la unes dans les bibliothèques de données nu léaires de

baseutilisées.Cettein ertitude, quirestaita eptablepour laphasedesétudes dedénition, se

révèlein ompatible ave lesobje tifsde on eptionxés parle ahier des hargespour laphase

des études de développement. En eet, la prise en ompte des in ertitudes d'une façon trop

onservative onduità dessur-dimensionnements dépendant deleurs valeursetde laper eption

des risques au moment des hoix te hniques. Dans e ontexte, le programme ADAPh a été

déni pour onstituer une base expérimentale solide servant de référen e pour la quali ation

des s hémas de al ul dédiés à la modélisation des é hauements photoniques au niveau des

dispositifs expérimentaux du RJH. L'obje tif des mesures ADAPh est de quantier et réduire

l'in ertitude sur la détermination des é hauements photoniques pour la ramener à une valeur

a eptable de15% (2

σ

).

La troisième partie est onsa rée au programme expérimental ADAPh. Le hapitre six

pré-sentelesétudesdefaisabilité,les hoixte hniquesretenusetlesobje tifsxéslorsdeladénition

duprogrammeADAPh.Ils'agitd'établirdesmesuresdedosegammaàl'aidededéte teurs

ther-molumines ents(TLD) etd'une hambreà ionisationdanslesréa teurs expérimentauxde type

maquette ritiqueEOLE etMINERVE à Cadara he. Le hapitre sept est onsa réà la

des rip-tion des prin ipes physiques des mesures ee tuées par les TLD et la hambre d'ionisation. Le

hapitre huit présente l'ensemble des expérien es réalisées, le proto ole expérimental et les

ré-sultatsdesmesures.Le hapitre neufdé ritl'ensembledes al ulsee tuéspourl'interprétation

de esmesuresetdonne les omparaisons al ul-mesure. Pour terminer,le hapitre dixprésente

la méthodologie d'ajustement développée pour latransposition auRJH desrésultats obtenus à

Introdu tion à la modélisation du

transport des parti ules et des

Généralités sur les équations de

transport et d'évolution

Sommaire

1.1 Dénitiondes se tionse a es d'intera tions . . . 6

1.2 Bibliothèquesde donnéesnu léairesau format ENDF . . . 6

1.3 Le transport des parti ules neutres . . . 7

1.3.1 L'équationdeBoltzmann . . . 7

1.3.2 Lephénomèned'autoprote tion . . . 9

1.3.3 LaméthodedeMonte-Carlo . . . 10

1.3.4 Laméthoded'atténuationenlignedroite . . . 10

1.4 Notionssur letransport des parti ules hargées . . . 11

1.5 Equationsd'évolution . . . 12

1.5.1 Solutionsanalytiques . . . 13

Ce hapitreest onsa réàladénitiondesse tionse a esd'intera tion,àuneprésentation

sommaire desbibliothèques de données nu léaires de base, età quelquesgénéralités on ernant

leséquationsdutransportdesparti ulesetleséquationsd'évolution des ompositionisotopiques

desmatériauxsousirradiation.Lesdiérentesapproximationsetméthodesderésolutionutilisées

sont passées brièvement en revue; le le teur peut se reporter à l'ouvrage de référen e [1℄ pour

davantagede pré isions.

1.1 Dénition des se tions e a es d'intera tions

La ollisionouintera tionentredeuxparti ules,estgénéralementdé riteentermesdese tion

e a e.Cettequantitédonneunemesuredelaprobabilitéqu'uneréa tionouqu'un ertaintype

deréa tionseproduise.L'unitédese tione a eestlebarn(b):

1b = 10

−28

_m

2

.Sil'on onsidère

unfais eaude parti ules(

φ

parti ulespar

cm

2

par se onde)quifrappeperpendi ulairement une

ible planede matériaumonoatomique

M

ontenant

N

atomespar

cm

2

etd'épaisseur1atome,

lenombrede réa tions nu léaires de type

i

observéespar unité desurfa e etpar unitéde temps

est dénipar letauxde réa tion

τ

i

:

τ

i

= N

· σ

i

· φ

(1.1)

où

σ

i

estlase tione a e d'intera tion mi ros opiquedetype

i

surlematériaumonoatomique

M

.Ondistingue alors la se tione a e mi ros opiquenotée

σ

de lase tione a e

ma ros o-pique notée

Σ

etdénie par :

Σ = N

· σ

.

Pour le as des neutrons, les diérentes probabilités d'intera tion des parti ules ave les

noyaux atomiques des matériaux sont dé rites par les se tions e a es neutroniques qui

dé-pendent delavitessedesneutrons in idents, delanaturedesnoyaux iblesetde latempérature

du matériau. Il existe quatre grands domaines de variations des se tions e a es neutroniques

en fon tion del'énergiedu neutronin ident (voirgure1.1) :

 Le domaine thermique désigne les énergies inférieures à 1 eV, les se tions y présentent

généralement desvariations lentesave de faiblesgradients;

 Le domaine des résonan es résolues pour les énergies omprises entre 1 eV et quelques

dizainesde keV,où lesse tions présentent de brusquesvariations lo alisées;

 Ledomainederésonan esnonrésolues pourdesénergies omprisesentrequelquesdizaines

et quelques entaines de keV, où les se tions présentent une telle densité de résonan es

(d'amplitudes dé roissantes ave l'énergie) que l'on est in apable de les séparer, si bien

qu'ellessont dé rites par desparamètres moyens;

 Le domaine du ontinuum, pour desénergies supérieures à quelques entainesde keV, où

les résonan es sont tellement nombreuses etpro hes qu'elles sere ouvrent mutuellement,

onduisant àdesvariations à nouveau lentes desse tionsave l'énergie.

1.2 Bibliothèques de données nu léaires au format ENDF

L'ensemble des données expérimentales asso iées aux mesures de se tions e a es, ou plus

généralement,l'ensembledestravauxd'évaluationdesdonnéesnu léairesdebasesontlesdonnées

né essaires à la modélisation des systèmes nu léaires. Ces données sont regroupées dans des

 hiersinformatiquesauformatinternationalstandard"EvaluatedNu learDataFiles"ouENDF

[2 ℄. Une bibliothèque de données nu léaires au format ENDF est hierar hisée par "tape" ou

enregistrement d'unensemblede donnéessurun groupede matériaux, etsubdiviséeense tions

10

−1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

−1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

Energie [eV]

Section efficace totale [barn]

U238

Fig.1.1 Se tion e a e totale de l'Uranium-238

 MAT:repèred'un isotopeou d'unmatériau;

 MF : repère d'un  hier on ernant un type de données omme les se tions e a es en

fon tion de l'énergieou bienlesdonnées de dé roissan eradioa tive, ...

 MT:repèred'untypederéa tion ommelase tiontotaleoulase tionde aptureradiative,

...

Elleseprésente sous formed'unensemble de olonnesdedonnées au format ASCII. Laplupart

de es données se trouvent sous la forme de valeurs tabulées munies de lois d'interpolations

appropriées, et d'autres sous la forme de paramètres de modèles utilisés pour re onstruire des

entaines de milliers de points que né essite la représentation de ertains domaines d'énergies.

Lesdiérentes bibliothèques onstituent des évaluations . Citonspour exemples quelquesunes

desbibliothèques d'évaluationslesplus onnues:l'EuropéenneJEFF,l'Améri aineENDF/B,la

Japonaise JENDLou en orelaRusse BROND.

1.3 Le transport des parti ules neutres

L'équation régissant letransportdesparti ulesneutres estl'équationdeBoltzmann quel'on

présente dans la se tion suivante pour le as des neutrons, mais qui peut tout aussi bien être

appliquéedansle prin ipeau asdesphotons.

1.3.1 L'équation de Boltzmann

La population neutronique est représentée par une fon tion appelée densité neutronique et

volume au point

−

→

r

,par unitéd'énergie

E

oude vitesse

v

(

E =

1

2

mv

2

), par unitéd'angle solide

autourde ladire tion

−

→

_Ω

à l'instant

t

onsidéré. En physique desréa teurs,ilest plus ommode

de se référer à la fon tion de ux qui désigne le produit de la densité

n

par la vitesse

v

des

neutrons :

φ(−

→

r , v,

−

→

Ω , t) = v

_{· n(−}

→

r , v,

−

→

Ω , t)

(1.2)

ar ette fon tion permetd'a éder dire tement aux taux de réa tions qui sont les seules

gran-deurs physiquesmesurables.

Dans le domaine des systèmes nu léaires lassiques (réa teurs, systèmes de prote tion, ...),

lesintera tionsneutron-neutron peuventêtrenégligéesetl'équationrégissantlapopulation

neu-tronique (ou lesuxneutroniques) dansleréa teurestl'équation dutransportou l'équationde

Boltzmann qui s'é rit sous laforme intégro-diérentielle (intégrale par rapport aux variables

v

et

−

→

_Ω

,diérentiellepar rapport auxvariables

−

→

_r

et

t

) : bilan

z

}|

{

1

v

∂

∂t

φ(−

→

r , v,

−

→

_{Ω , t) =}

fuites

z

}|

{

−div

h−

→

Ω

_{· φ(−}

→

r , v,

−

→

Ω , t)

i

disparitionspar ho s

z

}|

{

−Σ

t



−

→

_{r , v,}

−

→

_{Ω , t}



_{· φ(−}

→

_{r , v,}

−

→

_{Ω , t)}

apparitionspar ho s

z

}|

{

+

Z

4π

d

−

→

Ω

′

Z

∞

0

dv

′

h

Σ

s



r, (v

′

,

−

→

Ω

′

)

→ (v,

−

→

Ω ), t



· φ(−

→

r , v

′

,

−

→

Ω

′

, t)

i

sour esdeneutrons

z

}|

{

+S(−

→

r , v,

−

→

Ω , t)

(1.3)

Le terme fuites orrespond aux dépla ements (ou fuites) des neutrons de vitesse

v

(à

dv

près), de dire tion

−

→

Ω

(à

d

2

_Ω

près) qui traversent la surfa e

dS

de l'élément de volume

d

3

_r

pendantl'intervalledetemps

dt

;leterme disparitionspar ho s orrespondauxdisparitionsdes

neutrons de l'élement

d

3

_rdvd

2

_Ω

par ho (absorption ou transfertvers une autrevitesseou une

autredire tion)pendant

dt

,ave

Σ

t

quidésigne lase tione a e ma ros opiquedetransfert;le

terme apparitionspar ho s orrespond auxapparitions desneutrons dansl'élément

d

3

_rdvd

2

_Ω

par ho (lorsque le ho n'est pas une absorption) pendant

dt

, ave

Σ

s

qui désigne lase tion

e a e ma ros opique de diusion; et le terme sour es de neutrons désigne l'ensemble des

neutrons produits par le réa teur ou par une sour e extérieure pendant

dt

. Dans un réa teur

en fon tionnement, la prin ipale sour e de neutrons orrespond aux neutrons émis par ssion.

On distingue les neutrons "prompts" produits instantanément après la ssion, et les neutrons

"retardés" émisdefaçon diéréepar désintégrationdesnoyauxradioa tifs(produitsde ssion).

L'existen eetl'uni itéd'unesolutionàl'équationdutransportsurundomaine

D

né essitela

onnaissan edes onditionsinitialesetdes onditionsauxlimitesdudomaine.Ensuite,plusieurs

 l'hypothèse quelesse tions e a esma ros opiques sont indépendantesdu temps ( equi

est valide ar leurs variations sont en eet toujours trèslentes omparées au temps de vie

desneutrons dansle réa teur):

Σ

t



−

→

_{r , v,}

−

→

_{Ω , t}



_{= Σ}

_t



−

→

_{r , v,}

−

→

_Ω



(1.4)

Σ

s



r, (v

′

,

−

→

Ω

′

)

_{→ (v,}

−

→

Ω ), t



= Σ

s



r, (v

′

,

−

→

Ω

′

)

_{→ (v,}

−

→

Ω )



(1.5)

 l'hypothèse d'un milieu isotrope selon laquelle on onsidère que la se tion e a e totale

ne dépend pasdeladire tion

−

→

_Ω

,etlase tiondiérentielle dediusion nedépendquedes

osinus de l'angleformé par les dire tionsd'arrivée etde départ ( 'estune approximation

a eptable sa hant quela taille des grains de la stru ture ristalline des omposés

métal-liques du réa teur est négligeable devant la distan e moyenne par ourue par un neutron

entredeux ho ssu essifs) :

Σ

t



−

→

_{r , v,}

−

→

_Ω



_{= Σ}

_t



−

→

_{r , v}



(1.6)

Σ

s



r, (v

′

,

−

→

Ω

′

)

_{→ (v,}

−

→

Ω )



= Σ

s



r, v

′

_{→ v,}

−

→

Ω

′

_·

−

→

Ω



(1.7)

 l'hypothèse d'un régime stationnaire ou indépendant du temps est adoptée dans le as

d'étude du fon tionnement normald'unréa teur àl'état ritique :le premierterme bilan

de l'équation 1.3est alors nul et leterme sour e est exprimé à l'équilibre des émissions

promptsetretardés. Onvérie alors quel'hypothèse d'état ritiqueest orre te lorsquele

fa teurdemultipli ationee tif, 'estàdirelerapportdunombredeneutronsquinaissent

par ssionsurle nombre de neutrons quidisparaissent,est exa tement égalà 1.

1.3.2 Le phénomène d'autoprote tion

Les odes de al ul déterministes (tels que Apollo2) font appel à une dis rétisation de la

variableénergieetpar onséquentee tuent larésolution "multigroupe" del'équationde

Boltz-mann. Cette parti ularité impose la onstitution de bibliothèques de se tions e a es

multi-groupes al ulées à partir des évaluations standards, 'est à dire des bibliothèques de se tions

e a espon tuelles.La réationdebibliothèquesmultigroupesestrenduedéli ateparl'existen e

duphénomène d'autoprote tion des résonan esde se tions e a es. A l'énergiedesrésonan es,

la se tion e a e prend brutalement des valeurs très élevées, e qui signie que les neutrons

sontabsorbéspar lenoyau etdisparaissent,sibienqueleuxneutroniqueàtendan e àse

reu-ser;"Plus lase tion e a e danslarésonan e estélevée, plus ladépression duux que elle- i

induit est marquée : la résonan e se protège elle-même, permettant de parler d'un phénomène

d'autoprote tion" [1℄. Autrement dit, les se tions e a es multigroupes doivent tenir ompte

de e phénomène de dépressiondu uxpour quel'approximation multigroupe onserve les taux

de réa tion. Aussi, la se tion e a e multigroupe notée

σ

g

i,j

, ave

i

l'isotope ible,

j

letype de

se tionet

g

legroupe d'énergiedu neutronin ident, estdénie omme:

σ

g

_i,j



−

→

r



=

R

g

σ

i,j



E



_{· φ}



−

→

r , E



dE

R

g

φ



−

→

_{r , E}



_dE

(1.8)

ave

φ

leuxneutronique de pondérationet

σ

i,j

lase tione a e pontuelle. Selon ette

problème à ausedu uxde pondérationqui dépendde l'espa e.Il estdon impossiblede réer

une fois pour toutes des bibliothèques qui soient indépendantes de la géométrie : les se tions

résonantesmultigroupesdoivent être déterminées avant haque al ul.

1.3.3 La méthode de Monte-Carlo

Cetteméthode, qui estfondéesur letirage d'évènementsaléatoires, s'appuie surla

onnais-san e des lois de probabilité régissant les intera tions et le transport des parti ules dans la

matière : elle utilise don les mêmes données nu léaires que les méthodes déterministes sauf

qu'au uneapproximation n'est onsentie :

 Utilisation de se tions pon tuelles en énergies (pas d'approximation multigroupe ni de

formalisme d'autoprote tion);

 Des ription de la géométrie à partir d'un maillage physique (pas d'homogénéisation

géo-métriquede milieuxdiérents nidemaillages basés surles régionsdeuxplats).

Le résultat d'unesimulation Monte-Carlovisant à al uler un paramètre noté

u

est une valeur

moyenne

u

(obtenue sur l'ensemble des

N

histoires simulées) d'é art type

σ

proportionnel à

1/

p

(N )

.Lorsque

N

tendversl'inni,lethéorème entrallimitepermetdedénirdesintervalles

de onan eà1

σ

et2

σ

telsque

P (u

− σ < u < u + σ) =

68%et

P (u

− 2σ < u < u + 2σ) =

95%.

Laméthodelaplussimplepourréduire l'é art-typeetavoirunintervallede onan ea eptable

onsisteàsimulerplusd'histoires,mais elarequiertdavantagedetempsde al uletpour ertains

problèmes ela ne sut pas. Il existe plusieurs modèles de simulation : la façon la plus simple

et naturelle de simuler letransport desparti ules par la méthode de Monte-Carlo est d'utiliser

le modèle dit "analogue". Ce modèle s'atta he à une des ription évènement par évènement du

transport des parti ules (de manière "analogue" à la réalité). Il permet d'ee tuer le tirage

aléatoire des parti ules en s'appuyant sur les probabilités "naturelles" de haque évènement.

Le modèlede transport analogue par la méthode de Monte-Carlo donne debonnes estimations

à la ondition qu'il y ait une fra tion importante des parti ules simulées qui ontribuent au

résultatre her hé.Cen'est biensouventpasle asetilexisteheureusement d'autresmodèlesde

probabilité-qualiésde"non-analogues"-quipermettent depalierà ettedi ultéen réduisant

signi ativement lavarian edesestimations.Leste hniquesderédu tiondevarian e(biaisages)

privilégient ertaines histoires en leur ae tant des poids statistiques plus importants et en

réajustant lesrésultatsobtenusen onséquen e.Ilexistede nombreuseste hniquesderédu tion

de varian e parmi lesquelles on peut iter la roulette russe (et ...). Nous ne détaillerons pas

davantagei iles ara téristiquesd'unesimulation Monte-Carlodutransportdesneutrons:nous

renvoyons le le teur aux référen es [3℄ et [4℄ pour plus d'informations. Les prin ipaux odes

de transport de parti ules de l'industrie nu léaire utilisant ette méthode "sto hastique" sont

MCNP [5℄ et TRIPOLI4 [6 ℄ qui seront largement employés dans notre étude. Sila méthode de

Monte-Carloestuneréféren eentermesdepré isionpourles al ulsautemps

t = 0

,elledemeure

généralementtrésonéreuseentermesdetempsde al ul.Deplus,au un al ulenévolutionn'est

réalisable. En eet,lorsqu'on her he à oupler un ode Monte-Carlo 3Dàun ode d'évolution,

on est onfronté au problème de lapropagation de l'erreur statistique ommise sur leuxpour

larésolution deséquations deBateman, enparti ulier lorsquelenombrederégionsquiévoluent

est important.

1.3.4 La méthode d'atténuation en ligne droite

La méthode d'atténuation en ligne droite est un modèle permettant de traiter de manière

multiplierleuxsans ho desgamma provenant dire tement delasour eave uneatténuation

exponentielle par unfa teur synthétiqueappelé "fa teur d'a umulation"(ou "build-up fa tor"

en anglais) qui permetde tenir ompte de la ontribution des gamma diusés dansla matière.

Cette méthode permet don de faire l'é onomie d'un al ul expli ite du ux en tout point de

l'espa e.Sil'on onsidèreunesour epoly inétiquedegammaspatialementdistribuée dedensité

S(−

→

r

0

, E,

−

→

Ω )

(nombre de gamma émis par unité de temps au point

−

→

r

0

, par unité de volume, à

l'énergie

E

parunitéd'énergie,dansladire tion

−

→

Ω

parunitéd'anglesolide).Leuxsans ho

φ

0

estlasolution du transport de parti ulesneutres en milieu purement absorbant (non diusant)

quis'é rit :

φ

0



−

→

_{r , E}



₌

y

V

S

−

→

r

′′

, E,

−

→

r

−

−

→

r

′′

k−

→

r

−

−

→

r

′′

k



· exp

h

−

Z

−

→

r

′′

0

Σ

t



k−

→

r

₋

−

→

r

′

_{k, E}



d

−

→

r

′

i

_·

d

−

→

r

′′

k−

→

r

−

−

→

r

′′

k

2

(1.9) où:

−

→

_{Ω =}

−

→

r

₋

−

→

r

′′

k−

→

r

₋

−

→

r

′′

_k

1

k−

→

r −

−

r

→

′′

_k

2

·exp

h

−

R

−

→

r

′′

0

Σ

t



k−

→

r

−

−

→

r

′

k, E



d

−

→

r

′

i

estappelénoyaupon tueld'atténuation("attenuation

point kernel");

V

est le volume sour e;

Σ

t



k−

→

r

₋

−

→

r

′

_{k, E}



est lase tion e a e ma ros opique

totale à l'énergie

E

au point situé à la distan e

k−

→

r

−

−

→

r

′

_k

du point de al ul

−

→

r

. La méthode

d'atténuation en ligne droite onsiste àé rirele ux ommeleproduitdu uxsans ho

φ

0

par

lefa teurd'a umulation approprié pourtenir ompte desphotons diusés :

φ



−

→

r , E



= φ

0



₋

_→

r , E



_{· B}

h

E, η



_k−

→

r

_{− −}

→

r

0

k, E

i

(1.10)

B

h

E, η



_k−

→

r

_{− −}

→

r

0

k, E

i

estlefa teurd'a umulation asso iéauux

φ

àl'énergie

E

d'ungamma

émis par la sour e et orrespondant à la traversée de tous les milieux existant entre un point

de la sour e

−

→

r

0

et le point de al ul

−

→

r

.

η(E) = Σ

t

(E, Z)ρ

désigne le nombre de longueurs

de relaxation ave

Σ

t

(E, Z)

la se tion e a e ma ros opique des gamma d'énergie

E

pour un

matériau de numéro atomique

Z

, et

ρ

est l'épaisseur de matériau traversé. En pratique, e

fa teurd'a umulationesttabuléunefois pour toutesenfon tion desdiérentsparamètreset il

estobtenuparrésolution del'équationdeBoltzmannàl'aided'uneméthodeexa tedéterministe

(SN)ou sto hastique(Monte-Carlo).

La méthode d'atténuation en ligne droite est très rapide. Elle est surtout utilisée en

spe -trométrie gamma pour évaluer les orre tions d'auto-absorption dans les objets mesurés (sans

fa teurd'a umulation)ouen al ulderadioprote tionpourl'évaluationdedébitdedose.

L'éva-luationdufa teurd'a umulation demeure ependant enta hé d'importantes in ertitudesquant

àlamodélisation de ladiusion desmilieuxtraversés, 'est pourquoi ette méthode n'apasété

utiliséedans e travail.

1.4 Notions sur le transport des parti ules hargées

Lorsquelesdimensionsdudéte teuroudel'é hantillonsont petitesparrapportàladistan e

d'arrêt des éle trons (typiquement de l'ordre du mm à 1 MeV), il est né essaire de simuler

(voir hapitre ADAPh Ÿ7.4). Letransport deséle trons estfondamentalement diérent de elui

desparti ulesneutres(neutronsouphotons).Lesintera tions neutroniquesouphotoniques sont

des intera tions à très ourte portée, es parti ules suivent don une traje toire libre d'un site

d'intera tion à un autre. Au ontraire les éle trons subissent une intera tion Coulombienne à

longue portée ave les éle trons et les noyaux du matériau tout au long de leur trajet. Par

exemple uneperted'énergie de 0.5MeV à0.0625 MeVdansde l'aluminiumestee tuéeen une

trentainede ollisionsdansle asd'unneutron,unedizainedansle asd'unphotonetenviron

10

5

pour unéle tron. Lamodélisationdutransportd'éle tron ollisionpar ollisionn'est engénérale

pasréalisable. Diérentsmodèles théoriques dela perte linéiqued'énergie etdeses u tuations

(aussi bien énergétiques qu'angulaires) ont été établis sur la base d'un nombre d'intera tions

statistiquement important pour une perte d'énergie

δE

(ou une distan e par ourue

δx

). La

modélisation Monte-Carlo du transport d'un éle tron est don une suite de pas élémentaires

orrespondant à une perte d'énergie

δE

donné par

_dE

dx



δx

; àl'issue de haque pas,l'énergie et

la dire tion de l'éle tron sont orrigés par les termes de u tuations aléatoires énergétiques et

angulaires.Dans es onditions,on omprendqueletempsde al ulpour modéliserletransport

d'éle tron soit beau oup plus important que dans le as des neutrons et des photons. C'est

pourquoi au hapitre 9, nous serons amenés à modéliser le dépt d'énergie éle tronique sur

un motif de taille réduite en mode gamma-éle tron à partir d'un al ul ÷ur neutron-gamma,

puisqu'un al ulneutron-gamma-éle tron estirréalisable.

1.5 Equations d'évolution

La ompositiondesmilieuxirradiésévoluedansletempspar lebiaisdesréa tionsnu léaires

etdesphénomènesdedé roissan eradioa tive.Les on entrations

N

i

(t)

au oursdutemps

t

des

noyauxradioa tifsd'espè es

i

satisfont àunsystèmed'équationsdiérentielleslinéaires ouplées

appeléeséquations deBateman quis'é rivent d'une façongénérale souslaforme :

dN

i

(t)

dt

= B

i

+

X

j6=i

C

ij

· N

j

(t)

− C

ii

· N

i

(t)

(1.11)

oùle oe ient

C

ij

désigneletauxdetransmutation dunoyaud'espè e

j

enunnoyaud'espè e

i

suiteàunpro essusdedé roissan eradioa tiveoubienàuneréa tionnu léaire,le oe ient

C

ii

désigne letaux de disparition d'un noyau d'espè e

i

,tous pro essus physiques onfondus, et le

oe ient

B

i

désigne unterme sour e onstant par palierd'irradiationet alimentant lenu léide

i

. L'équation 1.11 peut être réé rite sous une forme plus spé ique selon que l'on s'interesse à

l'évolution desproduitsde ssion, desnoyauxlourds,desproduits d'a tivationou de spallation

[7 ℄.Ons'intéresseplusparti ulièrementàl'évolutiondes on entrationsdeproduitsdessionqui

ontribuent prin ipalement aux émissions photoniques dîtes retardées. Dans e as, on exprime

(pour unseul isotope ssile) :

B

i

= N

f

· σ

f

· φ · Y

f i

(1.12)

C

ij

= λ

ij

+ σ

ij

· φ

(1.13)

C

ii

= λ

i

+ σ

i

· φ

(1.14)

ave

N

f

lenombre denoyaux ssiles,

σ

f

la se tione a e de ssion,

φ

leux neutronique,

Y

f i

lerendement dessionde l'isotope

i

,

λ

ij

la onstante de dé roissan e radioa tive de l'isotope

j

radioa tive del'isotope

i

,et

σ

i

lase tione a e d'absorption del'isotope

i

.Il existediérentes

méthodes de résolution des équations de Bateman : une méthode analytique qui s'appuie sur

un développement de la solution sur une base de fon tions exponentielles dé roissantes et des

méthodesnumériquesdetypeRunge-Kuttaauquatrièmeordre.Nousallonsdévelopperles

solu-tionsanalytiques pour quelques asparti uliers etl'onpourrasereporterà laréféren e[7℄pour

davantage d'informations, notamment surles méthodes numériques.

Le spe tre d'émission des gamma retardés à l'instant

t

,

D(E

γ

, t)

, s'exprime à partir des

données

λ

i

de dé roissan e, des on entrations

N

i

_(t)

au temps

t

, des énergies moyennes

E

i

γ

d'émission gamma et desspe tres normalisés de gamma retardés

d

i

_(E

γ

)

de l'ensembledes

pro-duitsde ssion:

D



E

γ

, t



=

X

i

λ

i

N

i

(t)E

i

γ

d

i

(E

γ

)

(1.15)

La sommede l'expressionpré édente s'étendà l'ensemble des produits de ssion. Les systèmes

d'équationsdiérentiellesdeBatemanrégissentl'évolutiondela on entration

N

i

_(t)

desproduits

de ssion, des noyaux lourds et des produits d'a tivation. Deux méthodes de résolution des

équations de Batemanont été implémentées dansle moduled'évolution PEPIN2 duformulaire

DARWIN : une méthode analytique basée sur un développement de la solution sur une base

de fon tions exponentielles dé roissantes et une méthode numérique de type Runge-Kutta du

4ièmeordre. Lessystèmes diérentielsainsique leurs méthodes derésolution sontexposésdans

lanoti edeprin ipeduformulaireDARWIN[7℄àlaquelleonseréfèrerapourplusd'expli ations.

1.5.1 Solutions analytiques

L'hypothèse selonlaquellela haînedeliationestsupposéene ontenirau un hemin fermé

permetd'ordonnerlesnu léidesdemanièreà equele al uldu

i

-ièmenu léidenefasseintervenir

que des nu léides déjà al ulés. On re her he une solution générale sous la forme d'une série

exponentielle.Sa hantque

N

i

(t)

tendversunevaleurdesaturation

N

s

i

lorsque

t

→ ∞

,onpose:

N

i

(t) = N

i

s

−

i

X

j=1

K

ij

· e

−C

jj

t

(1.16) ave

N

s

i

et

K

ij

à déterminer. En dérivant l'équation 1.16 et en reportant dansl'équation 1.11,

onobtient une expressionqui,pour

t

→ ∞

,donne :

N

_i

s

=

1

C

ii



B

i

+

i−1

X

j=1

C

ij

N

j

s



si

C

ii

6= 0

(1.17) Pour

t = 0

,on suppose

N

i

(0) = N

0

i

,quel'on reportedansl'équation 1.16, pour obtenir :

K

ii

= N

i

s

− N

i

0

−

i−1

X

j=1

K

ij

(1.18)

Enn, onpeutmontrer par ré urren eque :

Dansle asparti ulier ou

C

ii

= 0

, 'estle asdesnoyauxstables,on her he pluttunesolution de laforme:

N

i

(t) = N

i

s

−

i−1

X

j=1

K

ij

· e

−C

jj

t

+ P

ii

· t

(1.20)

et on pro ède delamême façonque pré édemment pour obtenir :

K

ij

=

−

1

C

jj

i−1

X

k=j

C

ik

· K

kj

(1.21)

K

ii

= B

i

+

i−1

X

j=1

C

ij

· N

j

s

(1.22)

N

_i

s

= N

_i

0

+

i−1

X

j=1

K

ij

(1.23)

Ces résolutions de l'équationde Bateman supposent queles

C

ij

sont indépendants du temps et

don que leux estindépendant dutemps. Pour vérier ette hypothèse, il sut de dis rétiser

les variations de puissan e dans le temps en petits paliers d'irradiations sur lesquels on peut

résoudreles équations deBateman arleuxest onstant.

Au ours du refroidissement, le ux est nul, don la sour e de produ tion des nu léides

B

i

devient nulle et les expressions se simplient :

B

i

= 0

,

C

ij

= λ

ij

et

C

ii

= λ

i

; l'équation de

Batemandevient :

dN

i

(t)

dt

=

X

j=1

i−1

λ

ij

· N

j

(t)

− λ

i

· N

i

(t)

(1.24)

Dans le asdesnu léides instables, on peutdémontrer par ré urren e quelasolution estalors :

N

i

(t) =

−

i

X

j=1

K

ij

· ·e

−λ

j

t

ave : (1.25)

K

ij

=

1

λ

i

− λ

j

i−1

X

k=j

λ

ik

· K

kj

(1.26)

K

ii

=

−N

i

0

−

i−1

X

j=1

K

ij

(1.27)

et dansle asdes nu léides stables:

1.6 Aperçu général des méthodes de résolution et des odes de

al ul asso iés

Pour résoudrenumériquementl'équationdutransport,onpeutavoirre oursàdesméthodes

probabilistesde typeMonte-Carlo [4℄oubienàdesméthodesdéterministesquifontappelà

dif-férentesdis rétisationsdesvariablesd'énergieetd'espa etellesquelesméthodesdesprobabilités

depremière ollision

P

ij

[8 ℄,les méthodes dîtes d'ordonnées dis rètes(SN,diéren es nies,...)

[9℄ou les méthodesdes ara téristiques[10℄. Laméthode sto hastique de Monte-Carlos'oppose

auxméthodesdéterministesparlefaitqu'au unedis rétisationspatiale,angulaireouénergétique

n'est onsentielorsdelarésolution del'équationdutransport.Le respe tdelaréalitéphysique,

en termes de géométrie du problème, de omposition des matériaux et de lois mi ros opiques

dé rivant les intera tions neutrons-noyaux, onfère à ette méthode son ara tère de référen e

(pasde prise en ompte de l'autoprote tion ave les se tions pon tuelles). Cependant,

l'utilisa-tionde esdiérentesméthodesresteparfoispénaliséepardestempsde al ulstropimportants,

sibien qu'il peutêtre avantageux d'ee tuer en ore d'autresapproximations (toutes basées sur

des onsidérations physiques), omme par exemple l'approximation de la diusion [11℄ pour le

asdesneutrons,ou laméthoded'atténuation en ligne droite [12 ℄ pour le asdes photons.

Ainsileséquations dutransportetde l'évolution, quisont leséquationsfondamentalesdela

neutronique etde la photonique, ont faitl'objet de nombreux travaux d'analysenumérique qui

sont àl'originedu développement de diérents odesde al uldesréa teurs :

 APOLLO2estle odede al ulfrançaisdetransportdesréa teursthermiques,notamment

des ÷ursde REP (Réa teursà Eau Pressurisée),développédansle adred'una ord de

partenariat entre le CEA, EDF et AREVA-NP. Ce ode de al ul 2D prend en ompte

l'évolution des milieux par résolution des équations de Bateman à l'aide de méthodes

numériquesdetype Runge-Kutta(voirŸ1.5).Il estbasésurunear hite ture modulaireet

intègreles diérentesméthodesderésolutionsdéterministesquel'onaévoquéesplushaut.

 TRIPOLI4 est le ode de transport Monte-Carlo poly inétique multi-parti ules français

développé auCEA.

 MCNP estle ode detransportMonte-Carlopoly inétiquemulti-parti ules améri ain.

 CRONOS2[13℄,développéau CEA,estun ode de al ulparélémentsnis permettantla

résolution 3Dde l'équationde ladiusiondesneutrons, etquiprenden ompte (defaçon

ouplée)l'évolutiondesmilieux par résolution deséquations deBateman.

 PEPIN2 est un module duformulaire DARWIN [7℄ permettant de résoudreles équations

de Bateman régissant l'évolution temporelle des noyaux radioa tifs en utilisant à la fois

dessolutions analytiques etdes méthodesnumériquesde type Runge-Kutta.

 MERCURE [14 ℄ est un ode de al ul de radioprote tion, développé au CEA, utilisant

l'approximation delaméthode d'atténuation enligne droitepour résoudreleproblème du

Etat et limitations de la modélisation

des dommages dans les matériaux

Sommaire

2.1 Lesdéfauts ristallins . . . 18

2.2 Vieillissement et endommagement des matériaux spé iques

des entralesnu léaires . . . 19

2.2.1 Vieillissementthermiqueetmé anique . . . 19

2.2.2 Vieillissementsousirradiation . . . 19

2.3 Méthodes de simulation . . . 20

2.3.1 Notiondedpa . . . 21

2.4 fragilisationsousirradiation: mé anique de la rupture . . . 23

Le oeur du RJH est spé ialement onçu pour a ueillir un maximum de dispositifs

expé-rimentaux qui béné ient d'une exposition importante et parfaitement ontrlée aux ux

neu-troniques. On privilégie notamment une forte intensité du ux de neutrons rapides au niveau

de es dispositifs pour soumettre des é hantillons tests de matériaux à des doses d'irradiation

importantes. Le ahier des harges fon tionnel du RJH [15 ℄ spé ie des besoins en termes de

niveau d'endommagement supérieursà 15 dpa(dépla ements par atome) par an. L'idée des

ex-périen esd'irradiationestd'a élérerlepro essusdevieillissement dumatériauetdesimuleren

peu de temps les dommages qu'il pourrait re evoir pendant toute une vie dans un réa teur de

puissan e. Cela permetd'anti iperlerempla ement despiè esirradiéesetde dénirladuréede

vie des entrales nu léaires. Ainsi, les a iers de uve des entrales du par nu léaire a tuel font

l'objet d'une surveillan e attentive pour des raisons évidentes de sé urité. Les lières de

réa -teurs du futur expriment aussi des besoins en termes de développements te hnologiques et de

quali ationde matériauxetdesystèmessousirradiation. Cependant,lesmé anismes

d'endom-magement sont très omplexes etfont intervenir de nombreux phénomènes qui sont loin d'être

parfaitement ompris et maîtrisés. L'un des enjeux du RJH sera de pouvoir piloter en temps

réel des séquen es expérimentales innovantes de mesure en ligne deseets umulés de

l'irradia-tionneutroniqueetdes ontraintesmé aniquesselon diérentes onditionsdetempérature etde

orrosion. La réalisation de es expérien es omplexes etplus généralement l'a quisition d'une

onnaissan e expérimentaledesmé anismesélémentaires d'endommagement desmatériauxsous

irradiation s'ins rit bien sûr en ohéren e ave le développement des outils de simulation

nu-mérique qui intègrent es résultats expérimentaux pour améliorer notre apa ité expli ative et

prédi tive visà visdessituationsréelles.

Dans e hapitre,on présente brièvement lesmé anismes élémentaires del'endommagement

desmatériauxsousirradiationetleseorts demodélisationqui leursont onsa rés.La faiblesse

desmodèlesa tuels,leursdomainesd'appli abilitésrestreintsetleurs ara tères empiriquessont

mis en exergue : la di ulté est de pouvoir établir des liens théoriques entre les phénomènes

élémentaires ayant lieu à l'é helle mi ros opique et leurs onséquen es globales à l'é helle

ma- ros opique. Nombre deparamètres sontà prendreen ompte,etparmi eux, latempérature des

matériauxetles onditions d'é hauements nu léaires jouent un rlefondamental.

2.1 Les défauts ristallins

La plupart des matériaux présentent une stru ture atomique ristalline. Au dessus du zéro

absolu,unmatériausoliden'est jamaisun ristalparfaitementordonné:il ontient toujoursune

multitude dedéfauts.Les diérentstypesde défauts ristallinssont :

les défauts thermiques : les atomesvibrent autour deleur positionmoyenne et ette

agita-tionthermiquegénèreuntypeparti ulierdedéfautsappelésphononsquisontresponsables

par exemple de ladiminution de la ondu tivité éle trique des métaux lorsque la

tempé-rature roît (diusion des éle trons par les phonons) et qui jouent aussi un rle dans la

ondu tivité thermique(diusion desphononspar d'autres phonons);

les défauts éle troniques: undopage par unélément étranger induit desniveaux d'énergie

d'impuretés (éle tronsoutrous éle troniques) quiselogent danslabande interdite;

les défauts atomiques : dansl'approximation du modèle dessphères dures, les défauts

ato-miquesélémentairessontdesla unes,desinterstitiels,desdislo ations,desjointsdegrains,

desinterfa es quipeuvent s'asso ierpourformer desdéfauts plus omplexes ommeles

responsablesdeladégradationdespropriétésmé aniquesd'unmatériau(élasti ité,module

d'Young).

Nousnousintéressonsplusparti ulièrementauxdéfautsatomiquespon tuelsquisontdes

per-turbationsde lapériodi ité ristallinedont ladimension est elledesdistan es inter-atomiques,

'est à dire de l'ordre de l'angström. La la une orrespond à un manque d'atome en un site

normal du réseau et l'interstitiel est un atome pla é en insertion dans le réseau. Un ensemble

la uneplus intertitielproduit simultanément onstitue unepaire de Frenkel.Denombreuses

re- ombinaisonsdepairesdeFrenkelseproduisentspontanémentpar migrationdesdéfautsjusqu'à

e qu'un équilibre thermodynamiques'instaure. La température joue un rle fondamental dans

esre ombinaisons.La on entrationde esdéfautsàl'équilibrepeutêtredéterminée parleslois

delamé anique statistique :

N

_{∝ exp − ∆H/kT}

(2.1)

ave

k

la onstante deBoltzmann,

∆H

l'enthalpiede formationdudéfautet

N

la on entration

dedéfauts à l'équilibre. Il existe diérents modèles théoriquesqui permettent de déterminer les

enthalpies de formation etde migration desdiérentsdéfauts.Nous reviendronsplus en détails

sur etaspe tthermodynamiquedansle adredesprin ipesphysiquesdemesurepardéte teurs

thermolumines ents ( hapitre 7), où l'on s'intéresseraen parti ulier aux inétiques de réations

etdere ombinaisons desdéfauts éle troniquesdansun ristal.

2.2 Vieillissement et endommagement des matériaux spé iques

des entrales nu léaires

Le vieillissement des matériaux, 'est une modi ation des propriétés physiques ou

mé a-niquesenfon tion du temps dueà uneformation irréversible de défautatomique. Cette

modi- ationestd'abordmi ros opiquepuiselledevientma ros opiqueselondespro essusd'évolutions

omplexes.Coupléautemps,diérentsparamètresprovoquentuneformed'endommagement

par-ti ulièredesmatériaux:latempératureunvieillisement thermique,l'environnement himiquela

orrosion,l'irradiationunefragilisationetla hargemé aniqueunvieillissementsous ontrainte.

Ces paramètres peuvent se umuler dans le temps, mais dans tous les as, le phénomène de

basedel'endommagement est undépla ement desatomesquiprovoqueun réarrangement dela

stru ture ristalline.

2.2.1 Vieillissement thermique et mé anique

L'expérien ea montré qu'une fragilisation desa iers inoxydables onstituant les oudes des

ir uits de refroidissement du ir uit primaire dans une entrale nu léaire REP pouvaitse

pro-duireaprèsdesmaintiens delongueduréeà latempérature de300C.Lesexamensetexpertises

réaliséesont montréquelafragilisationétait liéeà uneteneurimportanteen Moet également à

d'autresélémentsd'additiondel'alliage ommeparexemplelateneuren hrome.Lesmé anismes

delafragilisationdes alliages sont omplexesetdemandent desétudestrès approfondies.

2.2.2 Vieillissement sous irradiation

Fragilisation sous irradiation

Lesneutrons dehautes énergiesémispar ssioninteragissent fortement ave lesnoyaux

leur énergie par ho s su essifsjusqu'à seretrouveren équilibre thermique ave les atomesdu

milieu (s'ils n'ont pasété apturésavant). Au ours de sonralentissement, un neutron

ommu-nique à l'atome hoqué une énergieplus ou moins importante etprovoque, si ette énergie est

susante, le dépla ement de l'atome hors de son site ristallin. L'atome dépla é devient à son

tour proje tile et se ralentit par ollisions ave d'autres atomes dans le réseau : il en résulte

une as ade dedépla ements. Cephénomène estinstantanée:enquelquespi ose ondes,surun

volume de quelquesdizaines d'angström derayon, unmillier d'atomes hangent de sites

ristal-lins, une dizaine de sitesrestent va ants (la unes) et les atomes orrespondants s'insèrent dans

le réseau (interstitiels). Sousl'eet de l'agitation thermique, es défauts pon tuels hangent de

sitesetl'é helle detemps de esréarrangementsestlami rose onde. Par esmé anismes

mi ro-s opiques de dépla ements d'atomes et de réarrangements du réseau ristallin, l'irradiation en

réa teur provoque à long terme des dommages ertains qui se manifestent par une dégradation

despropriétésphysi o- himiquesetdelatenuemé aniquedesmatériaux.Unexempleimportant

de ette formed'endommagement estlafragilisationdes a iersde uve desréa teurs.

A té des dommages réés par les atomes de re ul dans la stru ture ristalline, il faut

prendre en ompte également lesdommages asso iés aux réa tions nu léaires de transmutation

(qui hangent la nature du noyau de l'atome) et les réa tions nu léaires produisant du gaz

(hélium,gaz de ssionquipeuvent onduire augonement du matériau).

A élération de la orrosion sous irradiation

Nouspouvonsmentionner quel'irradiationa roîtlavitessede orrosion :en eet,ilsemble

quela réationdedéfautspon tuelssousirradiation,parexempledesla unesd'oxygène,favorise

ladiusion de l'oxygènedansl'oxyde, e quia élère lavitesse de orrosion.Prenons l'exemple

de la orrosion des gaines de zir aloy ontenant le ombustible nu léaire (UO2) dans un REP.

Lespastilles de ombustible sont onnées dansdestubes en zir aloyregroupés enassemblage.

Le tout baigne dans de l'eau sous pression (150 bars) à une température voisine de 300C. Le

zir aloy s'oxyde selon les héma :

Zr + 2H

2

O

→ ZrO

2

+ 2H

2

(2.2)

Une partie de l'hydrogènelibéré par la réa tion sedissout partiellement dans le métalà haud

et ypré ipite à froid sous forme d'hydrures. La orrosion desgaines dépend du temps et de la

température. La ou he d'oxyde roît ave letemps; ette ou he d'oxyde diminue lesé hanges

thermiques ave l'eau de refroidissement et diminue également la résistan e mé anique de la

gaine. Cette forme d'endommagement est l'élément limitant la durée de vie des assemblages

ombustibles.

2.3 Méthodes de simulation

Il est possible de simuler les phénomènes d'endommagement par des mé anismes

d'intera -tions àl'é helle atomique.Lessimulationss'appuientsurladénitiond'unestru ture ristalline

d'empilement d'atomes etsur ladénition d'unpotentield'intera tion entre es atomes.

L'évo-lution de e matériau numérique dans le temps, en fon tion des solli itations qu'il subit, peut

être déterminée par deuxtypesde méthode :

la méthode de dynamique molé ulaire quirepose surl'équation lassique du mouvement