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Texte intégral

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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Richelle, J. (1980). Organisation spatiale et temporelle des êtres vivants: analyse théorique de quelques modèles (Unpublished doctoral dissertation).

Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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(2)

J> ^86 BIBÜôfhÏQUE DE CHIA/IE c -1

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES FACULTE DES SCIENCES

Laboratoire de Génétique

Organisation spatiale et temporelle des êtres vivants :

analyse théorique de quelques modèles

O

Thèse présentée pour l’obtention du

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES FACULTE DES SCIENCES

Laboratoire de Génétique

Organisation spatiale et temporelle des êtres vivants ;

analyse théorique de quelques modèles

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FACULTE DES SCIENCES

L'épreuve publique pour l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences de Monsieur RICHELLE, Jean, Licencié en Sciences, pour le groupe des sciences chimiques, aura lieu le ;

JEUDI 14 FEVRIER 1980 A 16.30 HEURES

dans le Grand Auditoire des Bâtiments de l'Université Libre de Bruxelles, 67, rue des Chevaux à 1640 - Rhode-St-Genèse.

Monsieur RICHELLE présentera et défendra publiquement une dissertation originale intitulée :

"Organisation spatiale et temporelle des êtres vivants ; étude théorique de quelques modèles"!

et une thèse annexe intitulée :

"Utilisation de la mutagénèse localisée pour étudier l'effet du coupla­

ge de la traduction avec la transcription dans les processus de terminaison et d'antiterminaison de la transcription".

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plus que jamais redevable d'un grand natibre de personnes, tant il est vrai que nombreux ont été ceux qui, conscieirment ou non, ont collaboré à sa réalisation. Je crains de ne pas me souvenir de tous; que ceux que j'oublierai me pardonnent, qu'ils se voient ici remerciés et qu'ils sachent m profonde reconnaissance.

Je me rapœlle encore de l'enthousiasme du Chef le jour où André Goldberg et moi sormes allés le voir pour faire un mémoire sur la formalisation booléenne; cet enthousiasme, il n'a pas cessé de le mani­

fester jusqu'à ce jour. C'est lui qui est à l'origine de mon travail, des idées qui y sont exposées; c'est lui qui m'a dirigé tout au long de mon doctorat. Je le remercie pour la liberté totale qu'il m'a laissée. Je le remercie pour l'aide inestimable qu'il m'a donnée dans la rédaction française et anglaise. Pour tout cela, je lui exprime toute ma reconnaissance.

Je remercie M. Nicolis qui m'a acceuilli pour mes pranières armes en équations différentielles et qui a toujours été disponible pour des discussions sur mon travail.

A Alain, je dois d'avoir appris le charme discret de la Drosophile.

Je le remercie pour son aide décisive dans la rédaction anglaise et surtout pour les nombreuses discussiors scientifiques et autres.

Je remercie Christine de nous avoir acceptés avec philosophie, mes papiers et moi.

Je remercie le labo de m'avoir Intégré en son sein bien c[ue je fasse des choses totalanent différentes de l'enser±ile des chercheurs.

Je remercie mes parents qui m'ont transmis le besoin d'aller le plus loin, toujours au-delà, et qui m'en ont donné la possibilité matérielle et morale.

Je remercie l'IRSIA et le FNRS qui m'ont soutenu financièrement;

au travers de ces deux organismes, je me sens redevable du contribuable belge.

Je remercie l'étonnante 6500-6600 de CDC qui a été ma prothèse mentale; je remercie Georges qui, entre ces froides machines, m'a toujours acceuilli avec le sourire. Je remercie le système graphique Tek 4051-4062

(6)

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à Marie Jo

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(7)

Le développement d'un organisme vivant à partir d'un oeuf fécondé se réalise par une série d'événanents ayant chacun son lieu et tertps propre. Comment une telle organisation spatiale et terrporelle peut-elle se réaliser ? Corrment peut-elle se développer à partir du zygote originel ? Conment peut-elle se maintenir ? Par les quelques considérations théoriques c[ue je vais exposer dans cette thèse je vou­

drais contribuer, un tant soit peu, aux recherches menées pour répondre à ces questions qui sous-tendent toute une partie de la biologie moderne

La biologie moléculaire s'est attachée à élucider la stinicture fondamentale des organismes vivants et les interactions élémentaires entre leiors différents éléments. Les informations accumulées au cours des dernières décennies ont été quantitativement et qualitativement très inportantes; grâce à elles, il est maintenant possible de donner du vivant^ une description globale et probabloiient universelle (sur notre planète).

L'oxygène, le carbone, l'hydrogène, l'azote, le phosphore et le soufre interviennent pour près de 98 % dans le poids de la matière vivante. Ces éléments se trouvent chimiquement associés notaimient au sein de macrcmolécules synthétisées par les cellules vivantes, macroio-

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le cas des protéines, et de nucléotides pour les acides nucléiques (on trouve, dans ces macrcanoléciiLes, vingt acides aminés différents et quatre types de nucléotides). Les protéines jouent un rôle essentiel dans la vie d'une cellxiLe, celiii de catalyser les diverses réactions de produc­

tion d'énergie et de synthèse des cortposants cellulaires. La fonction spécifique d'me protéine lui est conférée par sa structure tridimen­

sionnelle. Or cette structure, et par conséquent la fonction accomplie, est essentiellement déterminée par la séquence des acides aminés qui la corposent. Ce sont des acides nucléiques qui fournissent l'information nécessaire à l'exact enchaînement des acides aminés au cours de la syn­

thèse protéique. L'acide désoxyribomcléique (ADN), qui est le support matériel du patrimoine génétique transmis de génération en génération, contient l'information nécessaire à la synthèse de l'ensemble des protéines d'un organisme^. L'expression de cette information génétique ccmprend deux étapes : la transcription et la traduction. Au cours de la trans­

cription, sont synthétisées des molécules d'acide ribonucléique (ARN)

corplémentaires de parties discrètes de l'ADN. Après maturation, certaines de ces molécules font partie intégrante de la machinerie de traduction.

D'autres, que l'on appelle messagers, sont "traduites" au cours de la syn­

thèse protéique grâce à un code faisant correspondre chaque acide aminé à trois nucléotides successifs donnés. La séquence de chaque protéine est ainsi déterminée par la succession des nucléotides dans un segment de l'ADN, un gène.

Le processus d'expression de l'information génétique que je viens de décrire ne peut pas expliquer à lui seul l'organisation spatiale et tenporelle d'un être vivant. De fait on observe que cette expression est régulée : les produits des différents gènes d'un organisme ne sont pas tous présents tout au long de la vie d'une cellule ni dans chacune des cellules de cet organisme. Dans le cas des bactéries, il a été mon­

tré que les produits de ceirtains gènes modulent leur propre expression ou celle d'autre(s) gène(s) en fonction de l'état de la cellule ou de son environnement. On imagine que des mécanismes de régulation plus ou moins similaires agissent au sein des cellules des organismes supérieurs pour

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roulement d'un processus partiel semble souvent difficile à appréhender dans sa totalité. Le but d'une approche théorique est précisément de permettre la synthèse d'un grand nombre de données grâce à un "outil formel", mathématique par exemple. L'un des intérêts majeurs de l'uti­

lisation d'une approche théorique est qu'elle permet la mise en évidence des implications ultimes d'un modèle décrivant les interactions se dé­

roulant au sein d'un système, alors que le simple énoncé de ces inter­

actions laisse souvent la plupart de ces inplications insoupçonnées.

Sans une approche théorique, qui pourrait prévoir qu'un modèle ccnme le Brusselator^ ( le "trimoléculaire") peut être à l'origine de ccmporte- îtients aussi variés que des gradients, des ondes stationnaires ou mobiles et même des structures spiralées COTine l'a montré le groupe de

I. Prigogine et G. Nicolis ? ( Encore moins évidente serait la défini­

tion a priori des domaines d'existence de ces différents comportements).

C'est dans le contexte que je viens de décrire que j'ai adopté la démarche qui est illustrée à plusieurs reprises dans cette thèse.

Cette démarche peut être résimée ccmme suit :

- En se basant sur les apports de la biologie moléculaire, un modèle d'un système biologique est élaboré; ce modèle définit les éléments du

système et leurs interacrtions à un niveau que l'on peut appeler local ou microscopique.

- Les corportements que le modèle attribue au système sont mis en évi­

dence grâce aiox méthodes fournies par une approche théorique. Certaines approches donnent une description relevant surtout du niveau local (la cellule, par exanple) tandis que d'autres permettent de passer à un ni­

veau plus global (le tissu ou la population de cellules). Les différen­

tes approches que j'ai utilisées au cours de mon travail sont les sui­

vantes : une approche, dite booléenne, basée sur l'algèbre logique, \me approche œntinue utilisant des équations différentielles, une approche stochastique qui tient compte des fluctuations moléculaires, ainsi que diverses approches plus ou moins h^isrides entre les précédentes.

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tion très simples peuvent rendre compte de l'organisation tenporelle et spatiale d'un système biologique.

Grâce à diverses études, il a été montré que, parmi les sys­

tèmes dont les éléments participent à une boucle de régulation simple, certains peuvent engendrer un corporterænt périodique tandis que d'autres permettent un choix entre des états distincts ("états multiples"). Or ces propriétés sont pleines d'intérêt en ce qui concerne l'organisation spatiale et teirporelle des êtres vivants. - Le ccnportement périodique, qui se caractérise par l'alternance de deux états, est probablement l'organisation totporelle la plus simple; elle évoque des j^éncmènes aussi divers que la division des cellules bactériennes et les battements du coeur. - La possibilité pour un système de se trouver, en fonction de son histoire, dans l'un quelconque d'au moins deux états exclusifs n'est pas sans analogie avec la réalisation de divers types cellulaires à partir d'un patrimoine génétique unique. Dans le premier chapitre, ces propriétés seront examinées dans le cas de systèmes corposés de plusieurs gènes régulateurs en interaction.

Le chapitre II sera consacré plus particulièrement â l'étude de boucles de régulation pouvant engendrer un ccmportement périodique;

cette étude sera menée en parallèle au moyen de différentes approches théoriques.

^rès avoir brièvement situé le problème de la morphogénèse et de l'information positionnelle dans le chapitre III, Le rôle que pourraient jouer des états multiples dans l'organisation spatiale d'un tissu de cellules sera illustré dans le chapitre IV.

Le modèle exposé au chapitre V montre cortment il est possible de rendre ccnpte de la localisation plus ou moins précise et reproduc­

tible de cellules individuelles au sein d'un tissu.

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A. Lvroff "L'ordre biologique", Robert Laffont, Paris (1969) F. Jacob "La logique du vivant", Gallimard, Paris (1970)

J. I't)nod "Le hasard et la nécessité". Editions du Seuil, Paris (1970) Il est à noter que le patrimoine génétique de ceirtains virus est con­

tenu dans une molécule d'acide ribonucléique.

G. Nicolis and I. Prigogine "Self-organization in noneqiuilibrium Systems" J. Wiley & Sons, New York, London, Sydney, Ibronto (1977)

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Analyse Continue des Boucles Simples de Régulation Génétique

L'organisation spatiale et temporelle des êtres vivants est difficilement concevable sans l'existence de mécanismes contrôlant l'ex­

pression de leur information génétique. Du fait de leiors propriétés, ccmportement périodique ou états multiples, certains mécanismes sont particulièrement aptes à réaliser ce contrôle ; il s'agit des boucles de régulation constituées de gènes modulant leur propre expression ou

(et) celle d'un ou plusieurs autres gènes. De telles boucles ont été mises en évidence dans divers systèmes biologiques; je citerai, à titre

d'exemple, les gènes régulateur cl et cro du bactérioftoge X : chacun réalise une boucle à un élément en contrôlant sa propre expression et ensemble ils constituent une boucle à deux éléments en se contrôlant l'un l'autre. Ce chapitre est précisément consacré à l'analyse théorique du caiportement de boucles de régulation.

Qu'entend-t-on exactement par "boucle de régulation" ?

Coitme le définit si bien B.C. Goodwin, "... its basic logical or algebraic feature is that the moleciiLar and macrcmolecular species involved in the control sequence form a closed causal circuit vAiich is essentially self- regulating "^. La structure des boucles dont il sera question ici, les boucles dites simples, peut être représentée par le schéma sioivant :

schéma 1

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régulateurs; ils exercent un contrôle positif ou négatif (--->■ )^ + sur l'expression (---»- ) du gène responsable de la synthèse de l'élé­

ment suivant dans la boucle. Selon la définition de Thotias^, je nartinerai positive ou négative une boucle suivant qu'elle ccnprend un nombre pair ou impair de contrôles négatifs.

A l'examen de ce schéma on réalise que chaque élément d'une telle boucle module sa propre expression au travers de la séquence de contrôles. Il est à noter que, d'un point de vue strictement causal, deux contrôles négatifs ( tout caittie deux contrôles positifs d'ailleurs ) sont équivalents à un seul contrôle positif, et qu'une suite de deux contrôles, l'un positif, l'autre négatif, est équivalente à un seul con­

trôle négatif. Suite à la contraction causale cŒtplète de la séquence de contrôles, on constate que dans les boucles positives (négatives) chaque élément exerce un contrôle positif (négatif) sur sa propre pro­

duction^

Divers travaux indiquent que des boucles négatives et positives sont caractérisées par des ccîtportements fondamentalement différents ; un ccxrportanent périodique pour les premières et des états multiples pour les secondes; les résultats de ces travairc seront succintement exposés dans les deux prochaines sections. Dans la troisième section de ce cha­

pitre, je présenterai les résultats de l'analyse continue des boucles définies ci-dessus.

1. Résultats classiques de l'analyse continue des boucles de régulation --- De nombreux auteurs** se sont intéressés à certaines des boucles de régulations répondant au schéma 1. Les modèles mathématiques étudiés dans leur travaux sont généralement de la forme suivante :

= £ (yj - K-i-Yi

(I)

= (i=2,...,m)

dt d

^^i

(14)

produits. On considère que la vitesse de dégradation de chaque produit est proportionnelle à sa propre concentration . Le taux de synthèse de est courarment représenté par une fonction ( f (y^) )

avant que ce a un graphique non-linéaire, sigmoïdale de la concentration de Y ; suivant que ce

^ (y ]

produit exerce un contrôle positif ou négatif, du type (a) ou (b) de la figure 1

(a) (b)

figure 1 Graphiques typiquÆde f (yj^) décrivant le taux de production de Yen fonction de la concentration de Yj^ dans le cas d'un contrôle positif (a) et d'un contrôle négatif (b).

Le taux de synthèse des produits Y2 a Y^ est considéré coime étant une fonction linéaire croissante de la concentration des produits Y^

à respectivement; ils exercent donc un contrôle de type positif.

Que la boucle soit positive ou négative, ne dépend donc que du signe de la variation de f en fonction de y„ .

m

1.1 Boucles négatives. Dans le cas du contrôle négatif, la fonction f (y ) habituellement adoptée est

k,

f

(y

] = ---

-

--- (II) 1 + a*y

■'m

la raideur de la sigmoïde dans la figiare 1 est déterminée par la valeur du paramètre n , l'exposant de y^ , qui est une mesure de la coopéra­

tivité de l'interaction régxüatrice.

Il a été prouvé analytiquement que le système d'équations dif­

férentielles (I) avec une fonction f de ce type admet un et un seul

(15)

temps et à suivre une trajectoire orbitale dans l'espace des concentra­

tions. Othmer'* a montré que pour qu'un tel corportement périodique puisse apparaître il faut que n , le paramètre de coopérativité, soit plus grand qu'une valeur, , dépendant du nombre d'éléments (m) dans la boucle; cette valeur est donnée par la relation

n. ^ inf

= secm TT

m (III)

Le tableau suivant donne la valeur de cette borne inférieure de n pour quelques valeurs de m

m n. _

inf

2 00

3 8

4 4

8 1.85

10 1.65

100 1.05

1.2. Boucles positives. Plusieurs fonctions différentes ont été utilisées pour f (y^) dans le cas d'un contrôle positif; voici

deux exemples

k.1

•a'Y

n m 1 + a*y^ t n

m 1 + a*y n

m K + a*y n

m

(IV)

(V)

Leur caractéristique conmune est la présence au numérateur et au dénomi­

nateur de y^ élevé à une certaine puissance, n .

On retiendra que d'une façon générale une boucle ^XDsitive peut admettre deux états stationnaires stables si et seulanent si n est strictanent plus grand que 1. Généralement ces deux états stables en­

cadrent un troisième qui, lui, est instable. Il est à noter que lorsque

(16)

La fomalisation booléenne est une approche essentiellement qualitative qui décrit l'état d'un système par des variables ayant la valeur 1 ou 0 suivant que les produits caractérisant cet état sont présents ou non en quantité efficiente. Les processus affectant l'état du système sont décrits par des fonctions qui, elles aussi, ne prennent que les valeurs 1 et 0 et cela sioivant que le processus a lieu ou non de façon efficiente. Dans le cas de systèmes génétiques, on asso­

cie une variable au produit de chaque gène et une fonction à l'état d'expression de ce gène. Le tableau suivant donne l'état d'expression d'un gène selon que le régulateur le contrôlant (positivement ou négati­

vement) est présent ou non.

présence du régulateur 0 1 état d'expression d'un

gène régulé positivement état d'expression d'un gène régulé négativement

0 1

1 0

Il a été conjecturé par Thomas^ et démontré par Van Ham et Lasters^

qoe

le conçortement de toute boucle négative sirtple est carac­

térisé par une succession cyclique d'états booléens tandis que celui de toute boucle positive simple l'est par deux états booléens stables.

3. Analyse continue des boucles simples de régulation génétique carposées de m régulateurs pouvant chacun exercer un--- contrôle positif ou négatif--- 3.1. Analyse générale.

On aura certainement remarqué la convergence entre les résultats présentés dans les sections prédédentes; l'analyse continue et l'analyse booléenne attribuent toutes deux à des boucles négatives un corportement périodique et à des boucles positives une multiplicité d'états stables.

Cependant les boucles étudiées dans les travaux mentionnés ne sont pas

(17)

De plus la situation analysée par l'approche booléenne est plus générale;

en effet n'importe quel élément de la boucle peut être soit positif soit négatif. Tel n'est pas le cas pour les boucles analysées précédomient par l'approche continue où tous les contrôles sauf un sont exclusivement positifs.

L'analyse continue prédit-elle, quelque soit la séquence de contrôlesde la boucle, un comportement en accord avec les résultats de l'analyse booléenne ?

Afin de répondre à cette question, j'ai entrepris l'étude (par l'analyse continue) de boucles simples de régulation génétique dont chaque élément, Yj , prxjduit du gène j , exerce sur la synthèse du produit d'un autre gène un contrôle de type sigmoïdal pouvant être soit positif soit néga­

tif. Le système d'équations différentielles que j'ai utilisé comme modèle s'écrit

1-' IIII

1

>i-l) - (i=2,... ,m)

{ l'indice j de f. (j=l,...,m) indique que les interactions regula-

^ +

trices peuvent être différentes pour chaque élément; f^ signifie que le contrôle considéré peut être positif (+) ou négatif (-) }

ft (y )

3

Quelle forme mathématique faut-il adopter pour les fonctions f^ ? décrit le taux de synthèse du produit du gène j synthèse contrôlée par le produit Y . Supposons que l'expression du gène j est

P

contrôlée par l'interaction entre un site régulateur du gène, l'opérateur, et un certain nombre, n. , de molécioles régulatrices, Y , produites par

3

P

le gène p . Si l'on ne orend en considération que deux états du site.

soit 0 , le site libre, et 0"

réaction suivante :

n. Y

3

P

le site occupé, on peut écrire la

(VII) o*y ^j

0

*

(18)

___l£_

1+0 ou encore, après transformation

1 O =

1 + a.*y

J

P

on a aussi d* = 1-0 =

a.-y : P 1 + a. *y

J

P

Faisons l'hypothèse c[ue l'opérateur, sous un de ces états (sa forme inactive) , errpêche conplètement l'expression du gène cfu'il contrôle, tandis que dans l'autre état (sa forme active), cette expression se fait à un taux constant, ; supposons de plus que 1'équilibre de la réaction

(VII) soit très rapidement atteint (par rapport aux autres processus, syn­

thèse et dégradation) et répondfe quasi instantanément aux modifications de la concentration du régulateur. Si ce régulateur exerce un contrôle négatif sur l'expression du gène alors le site est dans la forme active lorsqu'il est libre (O) et dans la forme inactive lorsqu'il est occupé

(0*); le taux d'expression du gène sera proportionnel à la concentration de 0, c'est à dire

f.

J

k.

•1 , n.;

1 + Oj-yp :

(VIII a)

Par contre, si le contrôle exercé est positif, l'opérateur est dans la forme active lorsqu'il est occupé (0*^) et le taux d'expression du gène sera

k. *a. *y ___:

0

P 1 + a.*y 1 ?

(VIII b)

On aura noté la similitude de ces expressions avec les fonctions (II) et (IV) .

Ayant explicité la forme mathématique des f. (y ), entamons 1 P

maintenant l'étude analytique du système d'équations différentielles (VI).

Par définition, l'état stationnaire d'ijn systàne d'équations différentiel­

(19)

+ (IX)

Yi = (i=2,...,m)

où l'on a posé

+

(X)

Du SYStème d'équations (IX) permettant de calculer l'état stationnaire, on peut tirer

^ Vl

^

••• ^2 •••)])= G (yJ (XI) à l'état stationnaire on a l'identité

Y[ =

G (yJ)

A titre d'exemple examinons un système à deux variables, l'équation (XI) s'écrit alors

Yi = G [yi) = % ( ^2

La figure 2 présente le graphique de la fonction g^ (y) pour un contrôle positif (a) et pour un contrôle négatif (b) .

figure 2 Graphic[ues des fonctiors (a) gJ(Y) ~ contrôle positif - et (t>) gï(Y) “ contrôle négatif; gj(Y) = fî(Y) / k_j_; fj est donné par (VlIIb) et fj , par (Villa) ; k= 2, k_= 1,

(XI) (et en particulier XII) signifie l'égalité de deux fonctiorede : la première est simplement y^^ et la deuxième est G (y^) • Graphiquement

(20)

contrôle négatif.

G(y,l

figure 3 Graphiques de y et G(y ) en fonction de y . (a) G(yi) =gi(g2(yi)) ; (h) GCy^^) =gï(g2(Yi));

(c) g

(

yi

)

= gJ(g2(Yi)) ; (d) g(yi) =gi(g2(Yi));

la valeur des paramètres est la même que dans la figure 2.

Les solutions de l'équation y^^ = G(yj) sont encerclées.

(b)

(d)

Ces graphiques sont une illustration des règles énoncées au début de ce chapitre : 1° deux contrôles positifs (a) ou négatifs (b) successifs sont équivalents à un seul contrôle positif; un contrôle négatif suivi d'un contrôle positif (c) ou l'inverse (d) sont équivalents à un contrôle négatif;

dans un boucle positive (a et b) un produit exerce, au travers de la boucle, un contrôle positif sur sa propre synthèse; ce

(21)

où il est multiple, les dérivées à gauche et à droite de (XI) doivent pouvoir être égales; la figure 4 illustre ce fait.

figure 4 Sur la frontière (b) qui sépare les régions où l'état sta­

tionnaire est sirrple (a) et celles où il est multiple (c), à l'état stationnaire les dérivées de et g(yj^) peuvent être égales(au point marqué •)

y G(yl

La dérivée partielle ( G' ) de G (yJ par rapport à y est donnée par le produit des dérivées partielles ( (gT) ' ) des fonctions g“ ,

+ + ^

g^ , ...

r ^2

rapport respectivement à y^ ,

r “ • r

Or en vertu de (X) (gT)' = [fl)' / k_j . On obtient la dérivée partielle de f^ (y ) par rapport à y à partir de (Villa) et (VlIIb).

DP P

dy.

f" [y } J ^ w

i 1 ^ p^j

(y }

= +

1 n-î-l n.*k.*a.*y

->

3 3 3 P

_____ fl + a.*y

^ 1 P ^

(XIII)

On notera que le signe de cette dérivée est le même que celui du contrôle exercé par le produit sur la synthèse du produit ; cela est logique puisque, par définition, un régulateur est positif ou négatif selon qu'une augmentation de sa concentration accélère ou ralentit le processus contrôlé. Comme G' est le produit des dérivées partielles

(g^) ' , il apparaît que le signe de G' sera positif ou négatif suivant que le nombre de contrôles négatifs dans la boucle est pair ou impair, donc suivant que la boucle est positive ou négative. Comme rë.evé plus

(22)

ne pourront jamais satisfaire cette égalité; par contre les boucles posi­

tives peuvent la satisfaire- Les boucles positives peuvent avoir des états stationnaires multiples tandis que les boucles néga­

tives ne le peuvent pas. Qn se rappelera que l'approche booléenne prédit deux états stables pour les boucles positives, or des états sta­

tionnaires multiples sont (généralement) constitués de trois solutions.

En fait, habituellement, la solution intermédiaire est instable tandis que les deux autres sont stables. D'un autre côté, en ce qui concerne les boucles négatives, l'approche booléenne prédit une succession cyclique d'états; d'après l'approche continue, comme on l'a déjà relevé, un tel comportement périodique peut apparaître si l'état stationnaire est in­

stable. Il apparaît donc opportun, aussi bien pour les boucles positives que négativesy d'entreprendre une analyse de stabilité de l'état station­

naire du système d'équations (VI)®.

La stabilité d'un état stationnaire est habituellonent déter­

minée en observant le comportement du système au voisinage de cet état.

Qn peut écrire y. = y° + u. (pour tout j) où U. est une fonction du temps; au voisinage de l'état stationnaire elle est de faible valeur et par conséquent on peut développer les fT (y^) de (VI) en des séries de puissancœde u^; de plus, pour la même raison, on peut écarter les termes où u. apparaît maintenant élevé à une puissance 2 ou

supérieure (leur contribution est négligeable par rapport aux termes d'ordre 1). Qn obtient ainsi un système d'équations différentielles li­

néaires dérivé de (VI) qui décrit l'évolution de la boucle au voisinage de l'état stationnaire :

dt ^1

î (4)

fT (yl-i)

•U - k , -u.

m -11

•u. 1 - k .*u.

1-1 -1 1 ( 1—2,..., rc\)

(XV)

Suivant que les décroissent ou croissent, le système tendra à ce

(23)

3 3

(

\)°.

est un oaramètre qui déœnd des conditions initiales, oo est un

3

paramètre qui dépend du système lui-même)

EXi fait que le paramètre üj intervient dans l'argument d'une fonction exponentielle, son signe détermine la croissance ou la décroissance de Uj et donc la stabilité de l'état stationnaire ; si co est négatif, l'état stationnaire est stable, si üj est positif, il est instable.

03 peut être corrplexe ; dans ce cas u . contient un carposante angulaire et l'évolution du système au voisinage de l'état stationnaire, en s'en rapprochant ou en s'en éloignant, peut être oscillante. La valeur de 03 est obtenue par la résolution de l'équation séculaire ou caractéris­

tique du système d'équations différentielles linéaires; pour le systàne (XV) œtte équation s'écrit® :

m ^ , m

^^k_3

iii , I

f7(k + a,) - f-(y;) • rr q(yl.i)

j=l

i=2

=

0

(XVI)

Si, corne on l'a défini précédenment, on admet

(XVII) -1 i=2 k .

-1 alors l'équation caractéristique (XVI) peut s'écrire

m m

T^(k_ +03) - G'({yp) k_. =

j=l -J j=l

(XVIII)

On se souviendra que le signe de G' est le même que celui de la boucle.

On va bout d'abord examiner dans quelles conditions le systàæ (VI) peut admettre un cycle limite. Un tel coiiportanent peut exister si l'état stationnaire est instable et si, pour certaines conditions sur les paramètres, l'équation caractéristique peut admettre une solution purement imaginaire.

Soit 03 = i< (o) est purement imaginaire). On peut écrire (k j + 03) = (k_j + ii<} = rj*(cos0j + i sin9^)

(24)

G'({yp]*TT k_. = TT(k_. + i<) = j=l ^ j=l J

m

Hr, •(cos0. + i sin6. )

j=ll 3

J

DJ œs

m m m

^9 + i sin ); e •TT r.

j=l

■>

j=l j=l

on a donc m m

cos

l e. -TT

r.

j=l j=l J n m sin

I

6 . -yr r.

j=l j=l J m

m

= G'({yp)-'P[k (XIX a) j=l

(XIX b)

Il faut donc que J] 9 . = ïï pour que soit satisfaite la seconde équa- j=l ^

tion de ce système (XlXb) ; la première équation (XIXa) devient alors

m m

TI r = G' ({yp) -tï k.

i=l J ^ i=l J

Catittie les r^ et les k_^ sont tous positifs, on voit que la condi­

tion pour avoir un cycle limite n'est reraplie que si G'({y?}) est négatif : seuls les systèmes (VI) décrivant une boucle négative peuvent admettre un cycle limite.

Si l'on se rappelle que la moyenne géométrique d'une série de nombres (s^) est toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmé­

tique

r m 'i l/m

T] =i

■1=1

m

^ i.

m

on voit que l'on peut écrire la relation suivante à partir de l'équation (XVIII) (dans le cas d'une boucle négative)

m ra

(k_ + üü}"' > rT(k_. = G'({y°})-fr k_. > G'({y?}) •k_’^ (XX)

j=l J

^

1

m

I

- D=1 m

(25)

- rm

ou encore

, m m

= - k *sec COS —J

w

> G'({yp).k_"'

secm G' ({yî)) (XXI)

On se souviendra (IX et X) qu'à l'état stationnaire k .*y° = f“ (y°l

+

Du fait de la forme de f^ (VIII a et b), on a k . f- (y°) f"^ (y°)

k.

^

k. k.

et donc

f fy°) k.-a.-y°"3

3 ■ \V. ■

1

.iV. = 3 3 P_______ = k .-y?'

k. fl + a.*y°^3)^ ^ ^

3 3 P ^

k . 1 - -^«y .,

k. J-*

3

Grâce à cette relation et à la définition de G' (XVII) dans laquelle on a porté les dérivées partielles de fT (XIII), on voit que

m i' (ty°)) = TT n.

On peut aisément montrer que

j=l k .

1 - --L.y°

k. ^ 3

1 - V *y •

kj ^3j < 1 poiar tout j et donc

S' ({yp)

m

< TT n. (XXII)

j=l

On voit donc, des deux relations (XXI) et (XXII), que la condition pour que l'équation caractéristique (XVIII) admette une solution purement imaginaire est

secm TT m

< n

m n, j=l 3

(26)

m valeur minimale de n

2 00

3 2

4 1.41

8 1.08

10 1.05

100 1.0005

On peut écrire l'équation caractéristique (XVIII) forme suivante

sous la

(

S

m 1'

U) + k

ü)m-1 iii

ü)

xa-2

m

’ I k .*k

lll

+ 1 - G'[{y°}] -TTk. = 1 ) j=l 3-3

(XXIII) EXi fait que le signe de G' est le même que celui de la boucle, le

m

terme indépendant de ce polynâne est plus grand que TT k . lorscjue j=l "J

la boucle est négative et plus petit que cette valeur lorsqu'elle est positive. Si G' (Cyp) est nul, c'est à dire en l'absence de tout contrôle, ce polynôme admet comme solutions to = - k_^ (j=l,...,m) ; l'état stationnaire est stable. On a vu que l'état stationnaire peut devenir instable et un cycle limite apparaître si le système constitue une boucle négative. Dans le cas des boucles positives, lorsque la valeur de G'({y?}} croît et passe par la valeur 1 , le terme indépen­

dant du polynôme (XXIII) s'annulle puis devient négatif; de ce fait une des solutions du polynôme s'annulle puis devient positive : l'état

stationnaire devient instable. Or on a vu que G' [(yp) avait la valeur 1 à la frontière qui sépare, dans l'espace des paramètres, les régions où l'état stationnaire est sinple de celles où il est multiple. De plus, lorsque l'état stationnaire est multiple, pour la solution intermédiaire, et pour elle seule. G' ({yp} est plus grand que 1 ; cette solution, contrairement aux deux autres, est donc instable.

(27)

terme indépendant dont la valeur dépend de la valeur des paramètres du système

boucles positives boucles négatives

0

fjK.

j-i ^

valeur du terme ijidép. de (XXIII)

valeurs du terme indépendant pour lesquelles l'état stationnaire est instable, ne sont réalisées que pour la solution intermédiaire d'un état stationnaire multiple

valeurs du terme indépendant correspondant au donaine de l'espace des paramètres oü l'état stationnaire est unique et stable

valeurs du terme Indépendant pour lesquelles l'état stationnaire est Instable, le système admet un cycle limite

figure 5

3.2. Analyse graphique des boucles positives sinples à deux éléments --- Ccmne on l'a déjà vu, il existe deux boucles positives diffé­

rentes conprenant deux éléments : l'une où les deux contrôles sont positifs, l'autre, où ils sont négatifs. Je vais maintenant montrer que les solutions stables de l'état stationnaire multiple prédites par l'approche œntinue sont qualitativement équivalentes aux états sta­

bles prédits par l'approche booléenne. Je montrerai aussi que les tra­

jectoires d'évolution prédites par les deux approches sont équivalentes.

Si l'on représente les fonctions et les variables booléennes respectivement par et , les équations booléennes décrivant les deux boucles positives sont

^ = ^2 = Y'

= Yi 1.1 1.2

Y2 Yi

(deux contrôles xxjsitifs) (deux contrôles négatifs)

Grâce aux méthodes ejqxDsées par Thi^mas^ on peut montrer que le système 1.1 est dans un état booléen stable lorsque soit (y^=0,y2=0] , soit

(y^=l,y2=l); les deux états stables du système 1.2, par contre, sont

(28)

situation est illustrée dans la figure 6 présentant l'évolution des deux systèmes dans l'espace des phases.

figure 6 Représentation des trajectoires des systèmes booléens 1.1 (a) et 1.2 (b). Le quadrant supérieur droit est divisé par les seuils des variables booléennes en quatre domaines correspondant aux quatre états booléens d'un système à deux variables; les états stables sont encerclés. Les flèches sur les frontières

indiquent les transitions d'états prédites par l'approche booléenne.

Selon l'approche continue, les deux boucles positives sont re­

présentées par les systèmes d'équations différentielles suivants (les symboles ont la même signification que dans la section précédentè)

ât = <(y2) -

!.l-^

dt ^2 =

-

k_2-Y2

= - ^-r^i

2 . 2 (

■ dt ^2 ^2*^^!^ “ ^-2*^2

Les états stationnaires de ces systèmes sont déterminés par la résolution des systèmes suivants

Ces deux systèmes sont analysés graphiquement dans les figures suivantes;

(29)
(30)

Y2 en fonction de y^). Les solutions des systèrmes à l'état stationnaire sont définies par les intersections des deux courbes; on a démontré plus haut que seuls les états extrêmes sont stables; eux seuls retiendront notre attention. Les trajectoires des deux systèmes d'équations diffé­

rentielles 2.1 êt 2.2 sont représentées dans les figures 8 et 10. On voit que les trajectoires dans la figure 8 (10) convergent vers des points qui correspondent aux intersections définissant les solutions stables dans la figure 7 (9) (les paramètres ont la même valeur dans les figures 7 et 8 et dans les figures 9 et 10). Si l'on considère que la solution intermé­

diaire définit, pour chaque variable, le seuil qui discrimine les valeurs 0 et 1 d'une description en termes booléens de l'état du système, on remarque aisément la concordance de l'analyse continue que l'on vient de développer et de l'étude booléenne réalisée au début de cette section. En effet, dans le cas de deux contrôles positifs, les équivalents booléens des solutions extrêmes de l'état stationnaire sont [y^:0,y2:0) et

(y^:l,y2:l); dans le cas de deux contrôles négatifs, on a (y^:0,y2:l) et (y^:l,y2;0). De plus, en coitparant la figure 6 avec les figurœ 8 et 10, on voit que, dans les domaines de l'espace des phases correspondant aux états booléens transitoires, les trajectoires des équations différentiel­

les évoluent "inévitablement" vers l'un ou l'autre des états stationnaires stables; on voit aussi que les trajectoires des équations différentielles ne quittent pas les domaines de l'espace des phases correspondant a\jx états booléens stables. Ces comportements des trajectoires des équations différentielles sont en parfait accord avec ce cjue prédit l'approche booléenne.

La même convergence entre les deux a];proches peut être montrée pour des boucles positives à plus de deux éléments. Comme les dévelop­

pements nécessaires sont beaucoup plus longs mais fondamentalement les mêmes que ceux qui précèdent, cette étude ne sera pas exposée ici.

(31)

London and New York (1963)

^ R. Itonas "Logical analysis of systeanns ooitprising feedback loops", J. theor. Biol. 73, 631-656 (1978)

^ Ce principe a été utilisé par Van Ham et Lasters (J. theor. Biol.

72, 269 - 1978) pour établir le cortpcrteinent de certains modèles booléens.

B. C. Goodwin "Oscillatory behavior in enzymatic control processes", Adv. Enz. Reg.

3,

425-438 (1965)

M. îforales and D. McKay "Biochanical oscillations in 'controlled' Systems", Biophys. J. 7, 621-625 (1967)

J.S. Griffith "Mathematics of cellular control processes. I Négative feedback to one gene", J. theor.Biol. 202-208 (1968)

J.S. Griffith "Mathematics of cellular control processes. II Positive feedback to one gene", J. theor. Biol. 209-216 (1968)

H.D. Landahl "Some conditions for sustained oscillations in biochemi- cal chains with feedback inhibition". Bull. math. Biophys. ^,775-787 (1969)

C. F. Walter "The occurrence and the significance of limit cycle behavior in controlled biochanical Systems", J. theor. Biol. 27, 259-272

(1970)

H.G. Othmer "The qualitative dynamics of a class of biochemical control circuits", J. math. Biol. 53-78 (1976)

® Le développeinent ci-après, ainsi que certains argumente précédents, sont largement similaires à ceux de Othmer**.

’ Cette équation tions différentiel

est le déterminant suivant dérivé du système d'équa- les linéaires (XV)

- k_^ - ü)

0

- k_2 - m

0 0

f, (y°)

0

+ 'l I

- k —m

-ixi

=

0

R. Thomas "Boolean formalization of genetic control circuits", J. theor. Biol.

U,

563-585 (1973)

R. Theroas and P. Van Ham "Analyse formelle de circuits de régulation génétique : le contrôle de l'imnunité chez les bactériophages lambdoïdes"

Biochimie 1529-1547 (1974)

Un état booléen est dit stable lorsque le système ne peut le quitter que suite à une perturbation extérieure; en l'absence d'une telle per­

turbation, il restera indéfiniment dans cet état.

® L. Glass "Combinatorial and topological methods in nonlinear Chemical kinetics", J. Chem. Phys. 1325-1335 (1975)

L. Glass and S.A. Kauffman " The logical analysis of continuons, nonlinear biochemical control netwerks" J. theor. Biol. 103-129 (1973)

^ ° Dans le chapitre suivant, je montre coitment un contrôle de type booléen correspond à une fonction sigmoïdale du type

, /r-, ,

m ,

(32)

Comportements Périodiques et Boucles Négatives : Etude en Parallèle selon Diverses Approches

Le comportement des boucles sinples de régulation a été étudié sur un plan général dans le chapitre précédent. Coirme je l'ai signalé, tant l'analyse continue que l'analyse booléenne indiquent que les boucles négatives peuvent engendrer un comportement périodique. Cette propriété n'a rien d'étonnant : Si, cortme c'est le cas dans les boucles négatives, un produit exerce un contrôle négatif sur sa propre synthèse, celle-ci ne sera possible que lorsque ce produit est absent; du fait de cette synthèse, tôt ou tard, il sera présent et sa synthèse cessera; pour peu que le produit soit instable ou qu'il diffuse, on finira par se retrouver dans la situation où il était absent; ainsi se succéderont alternativement des périodes où le produit est soit présent soit absent. De ce fait, ce qui pourrait paraître étonnant c'est qu'une boucle négative puisse ne pas avoir un comportement périodique. C'est pourtant ce que montre l'analyse continue dans certaines conditions : elle prévoit que le conportement périodique des boucles négatives (cycle limite) est exclu notamment lors­

que le nombre d'éléments dans la boucle est inférieur à trois et/ou lors­

que la coopérativité des interactions régulatrices est faible. Une expli­

cation simple de cette situation est que, dans certaines conditions, l'amplitude du comportement soit tellement faible qu'on ne pxiisse en per­

cevoir la nat\are périodique; cet aspect sera examiné dans la partie B de ce chapitre à propos d'un système de type proie-prédateur. Dans la partie A , la divergence entre les approches continue et booléenne sera analysée dans le cas d'une boucle constituée d'un seul élément.

(33)

Etude d'une Boucle Négative de Régulation Génétique --- Constituée d'un Seul Elément ---

L'analyse booléenne et l'analyse continue semblent particu­

lièrement en désaccord dans le cas d'une boucle négative à un élément : tandis que la première prédit une oscillation permanente, la seconde exclut toute oscillation même amortie (quelle que soit la non-linéarité de l'interaction négative et quelles que soient les valeurs des paramètres)

Sans entrer maintenant dans les détails, remarquons :

1° que dans bien des systèmes biologiques (et en particulier chaque fois que des synthèses de macromolécules ont lieu) il est nécessaire de tenir compte de délais absolus (incompressibles). Comtiie on le verra, l'introduction de tels délais dans les équations différentielles "rend possible" l'oscillation entretenue d'une boucle négative à un élément pour des valeurs appropriées des paramètres même lorsque l'interaction inhibitrice est très faiblement non-linéaire;

2° qu'il est souvent nécessaire de distinguer la situation au niveau local et au niveau global. Ainsi, il est possible qu'une grandeur oscil­

le au sein de cellules individuelles et que la même grandeur soit cons­

tante au niveau global de la population. Coirme l'approche booléenne est particulièrement bien adaptée à une description locale, tandis que l'ap­

proche continue convient mieux à une description globale, elles ne sont pas nécessairement en contradiction lorsque la première prédit une oscil­

lation permanente (situation locale) et l'autre, un état stationnaire stable (situation globale);

3° que l'oscillation, au niveau global de la population, d'une gran­

(34)

ccirpréhension) de ces phéronènes tant au niveau local qu'au niveau global;

4° que le coirportement d'une cellule est d'autant plus proche de celui prédit par l'approche continue que chacune des espèces moléculaires est représentée en un plus grand nombre d'exemplaires.

(35)

3. RICHELLE (1)

Comparative cinalysis of négative loops by continuous, boolean and stocheatic approaches.

"Ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable".

POINCARE 1. Introduction.

Since the work of B.G. Goodwin (1965) who pointed out the biologiccil relevance of négative feedback loops, the dynamics of the corresponding differential équations has been extensively analysed (2). Most of these studies deal with regulatory chains in which the last element, Y^, exerts a négative control on the production of the first one, Yj (Figure 1).

Figure 1.

This System is usually described by the following set of differential équations (Othmer, 1976)

“ ["O

•^1 k f

dt -1*1

= ki. ^ ~ 2,...,Vn

(X is supposed to corne out of a pool and there Is no need to consider explicitly Its concentration which is constant ;jYj|describes the concentration of product Yj).

This model was first used by B.C. Goodwin to describe "phenomena of feedback inhibition cmd feedback repression whereby enzymatic activities are controlled at the level of the enzyme and the gene ..." (Goodwin, 1963) ; however the meaning of the équations (I) is different in the two cetses. This important distinction will be dealt with in the following section (see also the last section of Chapter VII).

The first term of d jYjJ / dt expresses the negatively régulated pro­

duction of Y, I when there is no Y , the production Is maximum and it decreases as the

1 m

concentration of Y_ increases (figure 2).

m

(1) "Aspirant" of the Fonds National de la Recherche Scientifique (Belgium).

(2) For purpose of clarity later on this approach will be referred to as "continuous description"

or "continuous approach".

(36)

The sigmoid shape of the curves arises from the cooperativity of the regulatory interaction ; n is an index of this cooperativity and the higher its vaiue the steeper the sigmoid.

The anaiysis of the System of differentiai équations (I) (Othmer, 1976) shows that sustained oscillations are possible if, and only if, there are at least three éléments in the loop (m^3) and the cooperativity (n) is sufficiently high. More specifically, if m = 3 , n must be^8 ; if m is higher, sustained oscillations are possible for lower values of n ( n-*l when m-r»»).

An alternative description of Systems of régulation is the boolean approach. This description has mainly been developed for the anaüysis of nets of gehetic régulations. The set of boolean équations corresponding to the négative loop showed in figure 1 is

U m

O il (i “ 2,...,m)

(II)

(y. describes the State - on or off - of expression of gene j, and O j described the presence - or absence - of the product of gene j, j = l,...,m).

From équations (il) one expects, for any number of éléments in the loop (even if m = 1), permanent oscillations.

One is therefore faced with two different types of prédictions for the same regulatory structure. Why is it that the boolean description predicts permanent oscillations in ail cases while the continuous description predicts sustained oscillations only in well defined conditions ?

(37)

One élément is that in the boolean description each regulatory interaction is treated as if it were infinitely non - linear : there exists, implicitly, a threshoid of concentration below which a substance is considered to be présent at an inefficient level. Figure 3 shows the vedue of the boolean function describing the State of expression (on : 1 ; off : 0) of a negatively regulated gene as a function of the concentration of the regulatory substance.

I---

a *---—I——-_____________—

» I CY.3

Figure 3.Plotting of y, , the boolean function describing the State of expression of the gene involved in thesynthesis of substance Y, , as a function of the concentration, , of the regulatory substance. The booleem variable describing the presence of substance Y„ isUm ; the boolean équation corresponding to this négative régulation is y, = . The threshoid of concentration, mentioned in the text, equals 1.

The curve obtedned corresponds to the limit, for n (the index of the cooperativity) -» »•, of the function / ( 1 (figure 2) used in the differential équations (1) for the rate of synthesis of substance Y^ (*). Therefore, in the boolean model of the négative feedback loop, ail régulations are described as infinitely cooperative ; this is evidently not the case in the continuous model. However this explanation cannot 2u:count for the fact that the continuous approach predicts also asymptotically stable behaviour for some values of the parameters and that sustained oscillations are excluded for one-element loops. In this context, it would be interesting to consider continuous models in which not only the négative, but also the positive steps (described by the linear terms k_j. Iti (I))involve non-linear (cooperative) interactions, and see for which vaiues of the parameters (number df steps, m , in the loop, cooperativity, n ) there are sustained oscillations. This is under study.

In this paper, I shall propose three éléments of response to the question arising from the discrepancy between the boolean and the continuous approaches.

The genetic Systems taken as models involve the synthesis of macromolecules. This implies absolute time delays of a significant duration. As will be seen

(38)

in section 3, even négative loops comprising a single element can be shown by the continuous approach to undergo sustained oscillations, provided the regulatory interaction is slightly cooperative and there is a sufficient time delay.

Another point is that the two approaches apply to different situations. The simple boolean approach gives an appropriate description of an individual independent cell ; it can also be used to simulate the behaviour of a population of non-inter- acting cells by assuming a stochastic point of view (section 4). On the other hand, the continuous approach is usually itot suitable for the description of individual cells as some of the regulatory éléments are présent in very small numbers so that the laws of large numbers cannot be applied. In addition the continuous description implicitly assumes that the cells are fully interacting. The rSe played by intercellular communication is studied in section 5 thanks to a stochastic approach in which one allows or not intercellular diffusion.

2. Enzymatic vs. genetic régulation.

I pointed out in the preceding section that the négative feedback loop of figure 1 may correspond to either an enzymatic or a genetic régulation. In fact, one is dealing with very different types of ssystems :

a) -^Y, ,—> is a Chain of reaction such that Y. is transformed into Y.

1 1+1 1

---

1+1

In such cases, the only properly regulatory step of the loop is the négative control exerted by Y^ on the production of Yj . This situation is found in metabolic chains but may be generalized to other Chemical reactions.

b) —»Y.----—> means that Yj is required for the production of Yj^j without being used up in the process. In other words, Y. has a catalytic effect or exerts a positive control on the synthesis of . This is the case when a gene is involved in the synthesis of a messenger RNA (transcription) itself involved in the synthesis of a protein (translation). It is also the case when, Yj , Yj ,... being the products of gene 1, 2,... respect!vely, the product of gene i is required for the expression of gene i+1 , that is the synthesis of Y.^j .

We hâve to be aware that the biological Systems taken as models in varions works are in fact "hybrids" between both types ; Goodwin writes, for instance : " ... a genetic locus ... produces messenger ribonucleic acid (mRNA).... This mRNA then combines with ribosomes to form active protein-synthesizing aggregates (polysomes)... This protein, assumed to be an enzyme then directs a metaboiic transformation giving rise to a metabolic species ... which passes through a cellular pool ... A fraction of the métabolites in the pool feeds back to the genetic locus where it serves to repress the activity of the gene, presumably in association with a macromolecule, the aporepressor". (Goodwin, 1963 ; see also Walter, 1970).

Whether one decüs with a situation of type (a) or of type (b) the dynamics of a négative feedback loop is usually described by the same set of differential

(39)

équations (I) but the meaning of various terms is different, k.. ^Y. , the first term of the second équation of (I) describes the production of Y. . In the case (a), amd in particular in the case of a cascade of Chemical reactions, this term means that the rate of transformation of Yj_^| into Y. is proportion2Ü to the concentration of Y._j. In case (b), and in particuiar in a loop comprising successive genetic régulations, k..^Y. means that one assumes a positive régulation that is non-cooperative ; it is in fact not at ail obvious that it should be so. The second term in each of the équations also has a different mecining depending on the type of the System. If it belongs to the "type b", the term simply describes the loss (by dégradation, dénaturation, ... ) of substance Y. (its form implies that this process follows an exponential kinetics, an assumption which is probably correct in many cases). In the "type a" Systems, the second term comprises in fact, in addition to the loss of Y. by any kind of dégradation, as considered previsouly, the loss due to its transformation into Y.^j . If the rate of the first process were negligible, k_j would equal kj^j .

Equations like (I) can be applied to both types of Systems. However, If one deads with Systems (type b) in which each element plays a catalytic rôle in the appearance of the next one, these équations represent a rather particular case in which each of the positive regulatory interaction would be non-cooperative.

Relative to the boolean équations (II) proposed in the preceding section to describe a négative loop, one notices that

1* The rate of decay of each substance is not explicitly expressed ; it is taken into account by the lag, usually noted t— , between the extinction of the gene i and the disappearance of its product. Y.. *

2* These équations can be used to describe Systems involving transcription emd translation ("type b" Systems). For "type a" Systems one may hâve to use a different set of boolean équations (discussed by Thomas in Chapter VII of this book).

3. Time delays.

In the preceding section, two extreme types of Systems hâve been considered in which Yj_j—>Yj meant a transformation of Yj_j into Y. or a catalytic requirement of Yj_j for the synthesis of Y. .

These two types of loops are exemplified respectively by metabolic chains, and by "genetic Systems" involving the synthesis of macromolecules. Here I want to stress another fondamental différence between these two Systems, namely that the synthesis of macromolecules involves absolute delays, contrary to the simple chemicaü transformation involved in the metabolic chains.

When a signal switches on the expression of a gene, it takes a significant tlme before the very first molécule of messenger RNA has been built by the sequential condensation of hundreds or thousands of nucléotides and the first molécule of the

(40)

protein coded by the gene has been built by scquential condensation of hundreds of aminoacids. In addition to this irreducible time it takes time before the protein has reached an efficient concentration at its site of action (accumulation and transport times).

Such irreducible delay cannot be neglected and it must be taken into considération in any model involving genetic régulation. In the continuous approach, this can be achieved by the introduction of time delays in the differential équations (1) (Landahl - 1969 (2), Mac Donald - 1977, and Richelle - 1977). In this section the use of time delays is exemplified by a model of a simple genetic régulation.

Let us consider the simplest possible négative loop, In which the synthesis of Y is inhibited by Y Itself. For this System the set of équations (1) given previously is reduced to :

à

M

dt U «K [y]'' - X-l-M (III)

To take into account the time of synthesis of macromoiecuie Y, we use the foliowing équation d Y,

dt lÜ .

U «.CYr

it-x)

-

Kl

•Cy] (t) ( [y] means the concentration of Y at time t ).

(IV)

The first term of (IV) expresses the rate of production of substance Y : it is at the stage of its initiation that the synthesis of new macromoiecuies Y is (negatively) controlled by the concentration of Y aiready présent at that moment ; thus the rate of production of Y at time t dépends on the concentration of Y at time (t -1), X being the lag between the initiation and compietion of the macromoiecuie synthesis. The second term expresses that the rate of dégradation of Y at time t is proportionai to its concentration at the same time.

Whereas the steady State of équation (III) is, in any case, globaily asymptotically stable, équation (IV) yields sustained oscillations for appropriate values of the parameters, provided n> 1 (Landahl - 1969 ; for an analyticai proof, see appendix B). Figure 4 gives a numerical intégration of équations (III) and (IV) for the same values of the parameters, kj > ><_ j i * and n (see legend).

(1) Notice that these delays (in differential équations) do not mean exactly the same as the boolean delays used elsewhere in this book ; the distinction will become dearer in the next section. To avoid confusion, in the rest of this chapter, "transition times" will be used in place of boolean "delays".

(2) Notice that Landahl (1969) introduces time delays to take into account the transport process but, as Glass and Kauffm2m (1972 ) hâve done, this can be achieved by considering spatial diffusion.

Figure

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