Analyse graphique des boucles positives sinples à deux éléments

---Ccmne on l'a déjà vu, il existe deux boucles positives diffé­

rentes conprenant deux éléments : l'une où les deux contrôles sont

positifs, l'autre, où ils sont négatifs. Je vais maintenant montrer que les solutions stables de l'état stationnaire multiple prédites par l'approche œntinue sont qualitativement équivalentes aux états sta­ bles prédits par l'approche booléenne. Je montrerai aussi que les tra­ jectoires d'évolution prédites par les deux approches sont équivalentes.

Si l'on représente les fonctions et les variables booléennes

respectivement par et , les équations booléennes décrivant les

deux boucles positives sont

^ = ^2 ^{= Y'}

= Yi

1.1 1.2

Y2 Yi

(deux contrôles xxjsitifs) (deux contrôles négatifs)

Grâce aux méthodes ejqxDsées par Thi^mas^ on peut montrer que le système 1.1 est dans un état booléen stable lorsque soit (y^=0,y2=0] , soit

situation est illustrée dans la figure 6 présentant l'évolution des deux systèmes dans l'espace des phases.

figure 6 Représentation des trajectoires des systèmes booléens 1.1 (a) et 1.2 (b). Le quadrant supérieur droit est divisé par les seuils des variables booléennes en quatre domaines correspondant aux quatre états booléens d'un système à deux variables; les états stables sont encerclés. Les flèches sur les frontières

indiquent les transitions d'états prédites par l'approche booléenne.

Selon l'approche continue, les deux boucles positives sont re­ présentées par les systèmes d'équations différentielles suivants (les symboles ont la même signification que dans la section précédentè)

ât ^{= <(y2)}

-!.l-^

dt ^2 =

- k_2-Y2

= - ^-r^i

2.2(

■ dt ^2 ^2*^^!^ “ ^-2*^2

Les états stationnaires de ces systèmes sont déterminés par la résolution des systèmes suivants

Y2 en fonction de y^). Les solutions des systèrmes à l'état stationnaire sont définies par les intersections des deux courbes; on a démontré plus haut que seuls les états extrêmes sont stables; eux seuls retiendront notre attention. Les trajectoires des deux systèmes d'équations diffé­ rentielles 2.1 êt 2.2 sont représentées dans les figures 8 et 10. On voit que les trajectoires dans la figure 8 (10) convergent vers des points qui correspondent aux intersections définissant les solutions stables dans la figure 7 (9) (les paramètres ont la même valeur dans les figures 7 et 8 et dans les figures 9 et 10). Si l'on considère que la solution intermé­ diaire définit, pour chaque variable, le seuil qui discrimine les valeurs 0 et 1 d'une description en termes booléens de l'état du système, on remarque aisément la concordance de l'analyse continue que l'on vient de développer et de l'étude booléenne réalisée au début de cette section. En effet, dans le cas de deux contrôles positifs, les équivalents booléens des solutions extrêmes de l'état stationnaire sont [y^:0,y2:0) et

(y^:l,y2:l); dans le cas de deux contrôles négatifs, on a (y^:0,y2:l)

et (y^:l,y2;0). De plus, en coitparant la figure 6 avec les figurœ 8 et 10, on voit que, dans les domaines de l'espace des phases correspondant aux états booléens transitoires, les trajectoires des équations différentiel­ les évoluent "inévitablement" vers l'un ou l'autre des états stationnaires stables; on voit aussi que les trajectoires des équations différentielles ne quittent pas les domaines de l'espace des phases correspondant a\jx états booléens stables. Ces comportements des trajectoires des équations différentielles sont en parfait accord avec ce cjue prédit l'approche booléenne.

La même convergence entre les deux a];proches peut être montrée pour des boucles positives à plus de deux éléments. Comme les dévelop­ pements nécessaires sont beaucoup plus longs mais fondamentalement les mêmes que ceux qui précèdent, cette étude ne sera pas exposée ici.

London and New York (1963)

^ R. Itonas "Logical analysis of systeanns ooitprising feedback loops", J. theor. Biol. 73, 631-656 (1978)

^ Ce principe a été utilisé par Van Ham et Lasters (J. theor. Biol.

72, 269 - 1978) pour établir le cortpcrteinent de certains modèles booléens. B. C. Goodwin "Oscillatory behavior in enzymatic control processes", Adv. Enz. Reg. 3, 425-438 (1965)

M. îforales and D. McKay "Biochanical oscillations in 'controlled' Systems", Biophys. J. 7, 621-625 (1967)

J.S. Griffith "Mathematics of cellular control processes. I Négative feedback to one gene", J. theor.Biol. 202-208 (1968)

J.S. Griffith "Mathematics of cellular control processes. II Positive feedback to one gene", J. theor. Biol. 209-216 (1968)

H.D. Landahl "Some conditions for sustained oscillations in biochemi- cal chains with feedback inhibition". Bull. math. Biophys. ^,775-787 (1969)

C. F. Walter "The occurrence and the significance of limit cycle

behavior in controlled biochanical Systems", J. theor. Biol. 27, 259-272 (1970)

H.G. Othmer "The qualitative dynamics of a class of biochemical control circuits", J. math. Biol. 53-78 (1976)

® Le développeinent ci-après, ainsi que certains argumente précédents, sont largement similaires à ceux de Othmer**.

’ Cette équation tions différentiel

est le déterminant suivant dérivé du système d'équa- les linéaires (XV)

- k_^ - ü) 0

- k_2 - m

0

0

f, (y°)

0

+

^{'l I} - k -ixi

_—m

= 0

R. Thomas "Boolean formalization of genetic control circuits", J. theor. Biol. U, 563-585 (1973)

R. Theroas and P. Van Ham "Analyse formelle de circuits de régulation génétique : le contrôle de l'imnunité chez les bactériophages lambdoïdes" Biochimie 1529-1547 (1974)

Un état booléen est dit stable lorsque le système ne peut le quitter que suite à une perturbation extérieure; en l'absence d'une telle per­ turbation, il restera indéfiniment dans cet état.

® L. Glass "Combinatorial and topological methods in nonlinear Chemical kinetics", J. Chem. Phys. 1325-1335 (1975)

L. Glass and S.A. Kauffman " The logical analysis of continuons, nonlinear biochemical control netwerks" J. theor. Biol. 103-129 (1973) ^ ° Dans le chapitre suivant, je montre coitment un contrôle de type booléen

Comportements Périodiques et Boucles Négatives : Etude en Parallèle selon Diverses Approches

Le comportement des boucles sinples de régulation a été étudié sur un plan général dans le chapitre précédent. Coirme je l'ai signalé, tant l'analyse continue que l'analyse booléenne indiquent que les boucles négatives peuvent engendrer un comportement périodique. Cette propriété

n'a rien d'étonnant : Si, cortme c'est le cas dans les boucles négatives,

un produit exerce un contrôle négatif sur sa propre synthèse, celle-ci ne sera possible que lorsque ce produit est absent; du fait de cette synthèse, tôt ou tard, il sera présent et sa synthèse cessera; pour peu que le produit soit instable ou qu'il diffuse, on finira par se retrouver dans la situation où il était absent; ainsi se succéderont alternativement des périodes où le produit est soit présent soit absent. De ce fait, ce qui pourrait paraître étonnant c'est qu'une boucle négative puisse ne pas avoir un comportement périodique. C'est pourtant ce que montre l'analyse continue dans certaines conditions : elle prévoit que le conportement périodique des boucles négatives (cycle limite) est exclu notamment lors­ que le nombre d'éléments dans la boucle est inférieur à trois et/ou lors­ que la coopérativité des interactions régulatrices est faible. Une expli­ cation simple de cette situation est que, dans certaines conditions, l'amplitude du comportement soit tellement faible qu'on ne pxiisse en per­ cevoir la nat\are périodique; cet aspect sera examiné dans la partie B de ce chapitre à propos d'un système de type proie-prédateur. Dans la partie A , la divergence entre les approches continue et booléenne sera analysée dans le cas d'une boucle constituée d'un seul élément.

Etude d'une Boucle Négative de Régulation Génétique -- Constituée d'un Seul Elément

---L'analyse booléenne et l'analyse continue semblent particu­ lièrement en désaccord dans le cas d'une boucle négative à un élément : tandis que la première prédit une oscillation permanente, la seconde exclut toute oscillation même amortie (quelle que soit la non-linéarité de l'interaction négative et quelles que soient les valeurs des paramètres)

Sans entrer maintenant dans les détails, remarquons :

1° que dans bien des systèmes biologiques (et en particulier chaque fois que des synthèses de macromolécules ont lieu) il est nécessaire de tenir compte de délais absolus (incompressibles). Comtiie on le verra, l'introduction de tels délais dans les équations différentielles "rend possible" l'oscillation entretenue d'une boucle négative à un élément pour des valeurs appropriées des paramètres même lorsque l'interaction inhibitrice est très faiblement non-linéaire;

2° qu'il est souvent nécessaire de distinguer la situation au niveau local et au niveau global. Ainsi, il est possible qu'une grandeur oscil­ le au sein de cellules individuelles et que la même grandeur soit cons­ tante au niveau global de la population. Coirme l'approche booléenne est particulièrement bien adaptée à une description locale, tandis que l'ap­ proche continue convient mieux à une description globale, elles ne sont pas nécessairement en contradiction lorsque la première prédit une oscil­ lation permanente (situation locale) et l'autre, un état stationnaire stable (situation globale);

ccirpréhension) de ces phéronènes tant au niveau local qu'au niveau global; 4° que le coirportement d'une cellule est d'autant plus proche de celui prédit par l'approche continue que chacune des espèces moléculaires est représentée en un plus grand nombre d'exemplaires.

3. RICHELLE (1)

Comparative cinalysis of négative loops by continuous, boolean and stocheatic approaches. "Ce qui nous rend ces solutions périodiques si

précieuses, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable".

POINCARE 1. Introduction.

Since the work of B.G. Goodwin (1965) who pointed out the biologiccil relevance of négative feedback loops, the dynamics of the corresponding differential équations has been extensively analysed (2). Most of these studies deal with regulatory chains in which the last element, Y^, exerts a négative control on the production of the first one, Yj (Figure 1).

Figure 1.

This System is usually described by the following set of differential équations (Othmer, 1976)

“ ["O

•^1 _{k f}

dt ^-1*1

= ki. ^ ~ 2,...,Vn

(X is supposed to corne out of a pool and there Is no need to consider explicitly Its concentration which is constant ;jYj|describes the concentration of product Yj).

This model was first used by B.C. Goodwin to describe "phenomena of feedback inhibition cmd feedback repression whereby enzymatic activities are controlled at the level of the enzyme and the gene ..." (Goodwin, 1963) ; however the meaning of the équations (I) is different in the two cetses. This important distinction will be dealt with in the following section (see also the last section of Chapter VII).

The first term of d jYjJ / dt expresses the negatively régulated pro­ duction of Y, I when there is no Y , the production Is maximum and it decreases as the

1 m

concentration of Y_ increases (figure 2). m

(1) "Aspirant" of the Fonds National de la Recherche Scientifique (Belgium).

(2) For purpose of clarity later on this approach will be referred to as "continuous description" or "continuous approach".

The sigmoid shape of the curves arises from the cooperativity of the regulatory interaction ; n is an index of this cooperativity and the higher its vaiue the steeper the sigmoid.

The anaiysis of the System of differentiai équations (I) (Othmer, 1976) shows that sustained oscillations are possible if, and only if, there are at least three éléments in the loop (m^3) and the cooperativity (n) is sufficiently high. More specifically, if m = 3 , n must be^8 ; if m is higher, sustained oscillations are possible for lower values of n ( n-*l when m-r»»).

An alternative description of Systems of régulation is the boolean approach. This description has mainly been developed for the anaüysis of nets of gehetic régulations. The set of boolean équations corresponding to the négative loop showed in figure 1 is

U m

O il (i “ 2,...,m)

(II)

(y. describes the State - on or off - of expression of gene j, and O j described the presence - or absence - of the product of gene j, j = l,...,m).

From équations (il) one expects, for any number of éléments in the loop (even if m = 1), permanent oscillations.

One is therefore faced with two different types of prédictions for the same regulatory structure. Why is it that the boolean description predicts permanent oscillations in ail cases while the continuous description predicts sustained oscillations only in well defined conditions ?

One élément is that in the boolean description each regulatory interaction is treated as if it were infinitely non - linear : there exists, implicitly, a threshoid of concentration below which a substance is considered to be présent at an inefficient level. Figure 3 shows the vedue of the boolean function describing the State of expression (on : 1 ; off : 0) of a negatively regulated gene as a function of the concentration of the regulatory substance.

I---a *---—I——-_____________—

» I CY.3

Figure 3.Plotting of y, , the boolean function describing the State of expression of the gene involved in thesynthesis of substance Y, , as a function of the concentration, , of the regulatory substance. The booleem variable describing the presence of substance Y„ isUm ; the boolean équation corresponding to this négative régulation is y, = . The threshoid of concentration, mentioned in the text, equals 1.

The curve obtedned corresponds to the limit, for n (the index of the cooperativity) -» »•, of the function / ( 1 (figure 2) used in the differential équations (1) for the rate of synthesis of substance Y^ (*). Therefore, in the boolean model of the négative feedback loop, ail régulations are described as infinitely cooperative ; this is evidently not the case in the continuous model. However this explanation cannot 2u:count for the fact that the continuous approach predicts also asymptotically stable behaviour for some values of the parameters and that sustained oscillations are excluded for one-element loops. In this context, it would be interesting to consider continuous models in which not only the négative, but also the positive steps (described by the linear terms k_j. Iti (I))involve non-linear (cooperative) interactions, and see for which vaiues of the parameters (number df steps, m , in the loop, cooperativity, n ) there are sustained oscillations. This is under study.

In this paper, I shall propose three éléments of response to the question arising from the discrepancy between the boolean and the continuous approaches.

The genetic Systems taken as models involve the synthesis of macromolecules. This implies absolute time delays of a significant duration. As will be seen

in section 3, even négative loops comprising a single element can be shown by the continuous approach to undergo sustained oscillations, provided the regulatory interaction is slightly cooperative and there is a sufficient time delay.

Another point is that the two approaches apply to different situations. The simple boolean approach gives an appropriate description of an individual independent cell ; it can also be used to simulate the behaviour of a population of non-inter- acting cells by assuming a stochastic point of view (section 4). On the other hand, the continuous approach is usually itot suitable for the description of individual cells as some of the regulatory éléments are présent in very small numbers so that the laws of large numbers cannot be applied. In addition the continuous description implicitly assumes that the cells are fully interacting. The rSe played by intercellular communication is studied in section 5 thanks to a stochastic approach in which one allows or not intercellular diffusion.

2. Enzymatic vs. genetic régulation.

I pointed out in the preceding section that the négative feedback loop of figure 1 may correspond to either an enzymatic or a genetic régulation. In fact, one is dealing with very different types of ssystems :

a) -^Y, ,—> is a Chain of reaction such that Y. is transformed into Y. 1 1+1 1

---

1+1 In such cases, the only properly regulatory step of the loop is the négative control exerted by Y^ on the production of Yj . This situation is found in metabolic chains but may be generalized to other Chemical reactions.

b) —»Y.----—> means that Yj is required for the production of Yj^j without being used up in the process. In other words, Y. has a catalytic effect or exerts a positive control on the synthesis of . This is the case when a gene is involved in the synthesis of a messenger RNA (transcription) itself involved in the synthesis of a protein (translation). It is also the case when, Yj , Yj ,... being the products of gene 1, 2,... respect!vely, the product of gene i is required for the expression of gene i+1 , that is the synthesis of Y.^j .

We hâve to be aware that the biological Systems taken as models in varions works are in fact "hybrids" between both types ; Goodwin writes, for instance : " ... a genetic locus ... produces messenger ribonucleic acid (mRNA).... This mRNA then combines with ribosomes to form active protein-synthesizing aggregates (polysomes)... This protein, assumed to be an enzyme then directs a metaboiic transformation giving rise to a metabolic species ... which passes through a cellular pool ... A fraction of the métabolites in the pool feeds back to the genetic locus where it serves to repress the activity of the gene, presumably in association with a macromolecule, the aporepressor". (Goodwin, 1963 ; see also Walter, 1970).

Whether one decüs with a situation of type (a) or of type (b) the dynamics of a négative feedback loop is usually described by the same set of differential

équations (I) but the meaning of various terms is different, k.. ^Y. , the first term of the second équation of (I) describes the production of Y. . In the case (a), amd in particular in the case of a cascade of Chemical reactions, this term means that the rate of transformation of Yj_^| into Y. is proportion2Ü to the concentration of Y._j. In case (b), and in particuiar in a loop comprising successive genetic régulations, k..^Y. means that one assumes a positive régulation that is non-cooperative ; it is in fact not at ail obvious that it should be so. The second term in each of the équations also has a different mecining depending on the type of the System. If it belongs to the "type b", the term simply describes the loss (by dégradation, dénaturation, ... ) of substance Y. (its form implies that this process follows an exponential kinetics, an assumption which is probably correct in many cases). In the "type a" Systems, the second term comprises in fact, in addition to the loss of Y. by any kind of dégradation, as considered previsouly, the loss due to its transformation into Y.^j . If the rate of the first process were negligible, k_j would equal kj^j .

Equations like (I) can be applied to both types of Systems. However, If one deads with Systems (type b) in which each element plays a catalytic rôle in the appearance of the next one, these équations represent a rather particular case in which each of the positive regulatory interaction would be non-cooperative.

Relative to the boolean équations (II) proposed in the preceding section to describe a négative loop, one notices that

1* The rate of decay of each substance is not explicitly expressed ; it is taken into account by the lag, usually noted t— , between the extinction of the gene i and the disappearance of its product. Y.. *

2* These équations can be used to describe Systems involving transcription emd translation ("type b" Systems). For "type a" Systems one may hâve to use a different set of boolean équations (discussed by Thomas in Chapter VII of this book).

3. Time delays.

In the preceding section, two extreme types of Systems hâve been considered in which Yj_j—>Yj meant a transformation of Yj_j into Y. or a catalytic requirement of Yj_j for the synthesis of Y. .

These two types of loops are exemplified respectively by metabolic chains, and by "genetic Systems" involving the synthesis of macromolecules. Here I want to stress another fondamental différence between these two Systems, namely that the synthesis of macromolecules involves absolute delays, contrary to the simple chemicaü transformation involved in the metabolic chains.

When a signal switches on the expression of a gene, it takes a significant tlme before the very first molécule of messenger RNA has been built by the sequential condensation of hundreds or thousands of nucléotides and the first molécule of the

protein coded by the gene has been built by scquential condensation of hundreds of aminoacids. In addition to this irreducible time it takes time before the protein has reached an efficient concentration at its site of action (accumulation and transport times).

Such irreducible delay cannot be neglected and it must be taken into considération in any model involving genetic régulation. In the continuous approach, this can be achieved by the introduction of time delays in the differential équations (1) (Landahl - 1969 (2), Mac Donald - 1977, and Richelle - 1977). In this section the use of time delays is exemplified by a model of a simple genetic régulation.

Let us consider the simplest possible négative loop, In which the synthesis of Y is inhibited by Y Itself. For this System the set of équations (1) given

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