DÉVELOPPEMENTS RÉCENTS DANS LA THÉORIE DES RÉACTIONS NUCLÉAIRES

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Submitted on 1 Jan 1966

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DÉVELOPPEMENTS RÉCENTS DANS LA THÉORIE

DES RÉACTIONS NUCLÉAIRES

Cl. Bloch

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Cl. Bloch. DÉVELOPPEMENTS RÉCENTS DANS LA THÉORIE DES

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DÉVELOPPEMENT

s

RÉCENT

s

DANS LA THÉORIE

DES RÉACTIONS NUCLÉAIRES

CL. BLOCH

Service de Physique Théorique, C. E. N. Saclay, B. P. no 2, GifIYvette

Résumé. - Après un résumé très court des idées de la théorie de boite noire des réactions nu- cléaires, on expose brièvement le traitement récent des réactions nucléaires considérées comme une extension du modèle des couches, obtenue en tenant compte correctement des états du continu. On décrit les premières applications numériques de cette méthode : puits carré, modèle schématique d'une réaction photonucléaire, modèle réaliste de l'absorption photonucléaire par 160. Finalement, les problèmes des résonances intermédiaires et des aspects statistiques dans les réactions nucléaires sont mentionnés en quelques mots.

Abstract.

-

After a brief review of the ideas of the black box theory of nuclear reactions, a short account is given of the recent treatment of nuclear reactions as an extension of the shell model, by taking proper account of the States of the continuum. The first numerical applications of this method are described : square well, schematic model of a photonuclear reaction, realistic model of photonuclear absorption on 160. Finally, the problems of intermediate resonances and statistical aspects in nuclear reactions are mentioned briefly.

1. Introduction.

-

Je voudrais tout d'abord m'ex- cuser de n'avoir pas à vous présenter de résultats très nouveaux, c'est-à-dire en fait de résultats qui n'aient déjà été exposés à l'Ecole de Varenna l'été dernier('). En fait, je ne vais pas chercher à faire un exposé pour les spécialistes du sujet mais plutôt une introduction d'un niveau élémentaire aux déve- loppements récents de la théorie des réactions nuclé- aires. Pour saisir le sens de cette évolution, il est utile de faire un petit peu d'historique, et en particulier de comparer l'évolution de la théorie des réactions nucléaires à celle des modèles utilisés dans la structure nucléaire, c'est-à-dire dans le calcul des niveaux stationnaires fondamentaux et excités des noyaux. Une théorie des réactions nucléaires contient toutes les difficultés de la théorie de la structure nucléaire, avec un certain nombre de difficultés supplémentaires dues au fait que le système se sépare en plusieurs fragments. Par conséquent, il n'est pas étonnant que l'évolution de la théorie des réactions nucléaires suive celle de la théorie des modèles utilisés pour la structure nucléaire avec quelques années de retard.

Dans l'étude de la structure nucléaire, on peut distinguer la période des premiers balbutiements, (1) Où on trouvera, en particulier, des références détaillées qui sont omises ici.

située il y a environ une trentaine d'années. A ce moment, le problème posé par la dynamique interne des noyaux paraissait d'une complication insurmon- table, et les premiers efforts théoriques d'interpré- tation des niveaux nucléaires visaient à tirer des conclusions sans réellement aborder le problème dynamique dans toute sa complexité. Particulière- ment typique de ce genre de travail est la théorie des supermultiplets de Wigner, qui permet une clas- sification des niveaux nucléaires en s'appuyant uni- quement sur les propriétés de symétrie des fonctions d'onde, basées elles-mêmes sur les propriétés d'inva- riance des forces nucléaires. Une telle théorie permet de classer les niveaux et dans certains cas d'évaluer des différences d'énergie entre niveaux, mais ne conduit certainement pas à des prédictions entière- ment détaillées des propriétés nucléaires. Toutefois, il n'a pas été possible de faire mieux avant que, il y a une dizaine d'années environ, les succès du modèle des couches n'ouvrent une voie à la description complète de la dynamique interne des noyaux. Depuis, le développement de ce modèle a remporté des succès considérables, aussi bien dans la prédiction des énergies des niveaux nucléaires, que dans la prédic- tion de propriétés plus détaillées telles que moments magnétiques quadrupolaires, éléments de matrice de transition, etc

...

.

Certes, il reste encore beaucoup

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DÉVELOPPEMENTS RÉCENTS DANS LA THÉORIE DES RÉACTIONS NUCLÉAIRES C l - 1 1

à faire dans ce domaine, surtout parce que les études n'ont porté jusqu'à présent essentiellement que sur les noyaux voisins des couches fermées.

En ce qui concerne la théorie des réactions nuclé- aires, on peut également distinguer une période ini- tiale datant aussi d'une trentaine d'années, dans laquelle on cherchait à déduire des propriétés des sections efficaces sans traiter dans tout son détail la dynamique interne de la réaction. Les théories de ce genre sont appelées d'une façon générale théories de (t boîte noire ». Ces théories peuvent prendre diverses formes (Kapur et Peierls, Wigner et Eisen- bud, Humblet et Rosenfeld, etc ...) et sont bien connues. Je ne vous en rappellerai que le principe en deux mots. Essentiellement, on fabrique artificiellement un problème de valeurs propres en plaçant des miroirs dans les différentes voies ouvertes. Mathématique- ment ceci revient à imposer des conditions aux limites aux fonctions d'onde dans ces voies. De cette façon, on obtient un problème de valeurs propre; dans un espace fini qui a, par conséquent, un spectre discret. Ceci définit des niveaux d'énergie et des fonctions d'onde dans la région interne du noyau. Les valeurs de ces fonctions d'onde à la surface nucléaire dans les différentes voies jouent un rôle important : ce sont les largeurs partielles réduites. Ainsi, on définit une infinité de paramètres : les valeurs des énergies propres d u problème aux valeurs propres qu'on a défini, et les largeurs partielles réduites correspondant à chacune de ces valeurs propres et à chacune des voies ouvertes. Ces paramètres dépendent dans une large mesure des conditions aux limites imposées ; ce ne sont par conséquent pas des grandeurs physiques réellement bien déterminées. Cependant, on peut montrer que les sections efficaces peuvent être entiè- rement exprimées au moyen de ces paramètres. Le résultat essentiel des théories de ce genre est donc une paramétrisation des sections efficaces : on obtient les célèbres formules de Breit et Wigner. Dans la mesure où on peut se contenter d'utiliser des formules de ce type contenant un nombre petit de termes, et par conséquent un nombre petit de paramètres, on obtient des formules qui sont très utiles dans l'interprétation des résultats expérimentaux. La limi- tation des théories de ce genre est évidente ; ces théories ne donnent en principe aucun moyen pour calculer les paramètres qui interviennent dans les expressions des sections efficaces (énergie des niveaux du pro- blème de valeurs propres et largeurs partielles réduites) à partir des forces nucléaires. C'est précisément cette lacune que s'efforcent de combler les formes plus récentes de la théorie des réactions nucléaires.

II. Le traitement des états du continu. - Ce qu'il faut faire pour transformer une théorie des états stationnaires des noyaux en une théorie des réactions nucléaires est assez évident. Dans toutes les descrip- tions des états nucléaires, on construit les fonctions d'onde sous la forme de combinaisons linéaires d'états de base formés à partir d'états de particules indépen- dantes. Ces états de particules indépendantes eux- mêmes sont obtenus comme des solutions de l'équa- tion de Schrodinger dans un potentiel à une particule choisi de façon appropriée. Pour la simplicité des calculs, certaines formes du potentiel sont parti- culièrement commodes : puits infini, oscillateur har- monique. Ces potentiels, toutefois, s'ils permettent une bonne représentation de la fonction d'onde à l'intérieur du noyau, ont l'inconvénient de conduire à des formes asymptotiques grossièrement fausses à grande distance du noyau. Or, précisément, dans une théorie des réactions nucléaires, c'est la forme asymp- totique des fonctions d'onde à grande distance du noyau qui est essentielle, puisque c'est elle qui décrit les flux de particules incidentes ou émergentes. Pour obtenir des formes asymptotiques correctes, il est évidemment essentiel de choisir comme potentiel servant à la définition des fonctions d'onde de particules indépendantes, des potentiels qui aient le comportement correct à l'infini : s'annuler à grande distance pour des particules non chargées, se réduire au potentiel coulombien pour les particules chargées. On est, par conséquent, conduit à modifier le modèle des couches dans sa forme habituelle d'une façon, en principe, très simple. Il sufit de définir les fonctions d'onde de particules indépendantes par un potentiel « réaliste », à l'infini. Le spectre des niveaux de particules indépendantes, obtenu avec des potentiels de ce genre, consistera en un nombre fini d'états discrets d'énergie négative, suivi d'un continu au- dessus de l'énergie zéro. Autrement dit, on est conduit

à refaire le modèle des couches en tenant compte proprement des états du continu qui apparaissent dès que l'on introduit un potentiel ayant le comportement correct à grande distance. Si l'on cherche à serrer la réalité de près, on sera amené à prendre comme potentiels des potentiels de Wood-Saxon, et les fonctions d'onde de particules indépendantes n'auront plus de forme analytique simple. Seul un traitement numérique sera possible.

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indépendantes, et un certain nombre au spectre continu. Dans l'approximation la plus simple, qui est la seule qui ait été considérée en détail jusqu'à présent, on restreint l'espace de configuration en ne tenant compte que des déterminants de Slater où, au plus, un nucléon se trouve dans le spectre continu. 11 s'agit évidemment d'une restriction très sérieuse de la théorie et des travaux sont en cours pour permettre son extension dans cette direction. En particulier, si on veut p ~ u v o i r considérer des réactions avec des deutérons, il est indispensable de tenir compte des fonctions d'onde où au moins deux nucléons se trouvent dans le spectre continu.

Dans le cas où on ne considère pas d'états contenant plus d'une particule du continu, il est facile d'écrire l'équation de Schrodinger dans l'espace de configuration limité ainsi défini.

On développe la fonction d'onde sous la forme :

où

1

a

>

et

1

E , j3

>

sont respectivement des déter-

minants de Slater où tous les nucléons sont dans des états discrets (désignés globalement par a), et où tous les nucléons, sauf un, sont dans des états discrets (P), le dernier nucléon ayant une énergie E positive.

On notera que certaines configurations discrètes

1

a

>

peuvent avoir une énergie assez élevée pour se trouver dans le spectre continu. On les appelle des états

<( quasi-liés ». Ces états cessent d'être des états dis-

crets lorsqu'on introduit le couplage avec les états du continu. Ils donnent alors lieu à des résonances et correspondent en fait aux états du noyau composé de Bohr. En reportant la fonction d'onde (1) dans l'équation de Schrodinger, on obtient un système d'équations intégrales linéaires pour les amplitudes a(a) et a(&, fi). De l'analyse de ces équations, on peut déduire sans difficulté les formes asymptotiques des fonctions d'onde correspondant à un nucléon s'éloi- gnant à l'infini. Ces formes asymptotiques, enfin, déterminent les éléments de la matrice S correspon- dant aux réactions dans lesquelles le système se scinde par émission d'un seul nucléon : diffusions élastique et inélastique, réactions du type np ou pn. Les détails de cette analyse peuvent être trouvés dans les cours de Varenna 1965.

III. Premières applications.

-

Le but de tout ce formalisme étant d'arriver à traiter des situations d'une manière réaliste, il est indispensable de mettre sur pied des méthodes numériques. Le spectre continu fait apparaître dans l'équation de Schrodinger des

intégrales portant sur la variable d'énergie E du nucléon

qui se trouve dans le spectre continu. Pour traiter numériquement le système linéaire constitué par l'équation de Schrodinger dans l'espace de configuration limité, il faut remplacer ces intégrales par des sommes discrètes. Ceci revient, si l'on veut, à diviser l'intervalle d'énergie en un nombre fini d'intervalles discrets. Le nombre de ces intervalles est évi- demment fondamental dans la détermination du temps de machine nécessaire à mener à bien le calcul. La dimension du système linéaire qu'il s'agit de ré- soudre est en effet égale au produit du nombre d'intervalles pris dans le spectre continu par le nombre de combinaisons des autres nombres quantiques qu'il est indispensable de considérer. Il y a encore plus grave. Si l'on envisage de pouvoir un jour traiter par des méthodes semblables le cas de deux nucléons dans le continu, alors la dimension du système linéaire à considérer sera proportionnelle au carré du nombre d'intervalles pris pour chacune des variables d'énergie continue. Autrement dit, il est essentiel de voir si l'on peut obtenir des résultats satisfaisants en pre- nant, dans le continu, un nombre de points relativement petit. Dans ce but, V. Gillet a traité, par la méthode numérique du découpage du spectre continu en un nombre variable d'intervalles discrets, le pro- blème exactement soluble et très simple de la diffusion d'une particule s par un puits carré. Le découpage du spectre continu en un nombre fini d'intervalles est un processus tout à fait analogue à l'évaluation numérique habituelle des intégrales. Une difficulté supplémentaire est cependant introduite par le fait que les amplitudes de diffusion, en tant que fonctions de l'énergie de la particule qui est dans le continu, ont une singularité sur la couche d'énergie. Ceci oblige à prendre quelques précautions dans l'évalua- tion numérique des intégrales correspondantes mais cette difficulté peut être en fait très facilement sur- montée. Dans les premiers travaux numériques, qui datent maintenant d'il y a environ un an, la méthode d'intégration employée était simplement la méthode des trapèzes.

Ceci comporte deux paramètres : A l'intervalle élé-

mentaire d'énergie, D l'énergie maximal: considérée. Les figures 1 et 2 montrent l'influence de la variation des paramètres sur l'exactitude des résultats obtenus. Sur la figure 1, l'intervalle A était maintenu constant

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l'énergie maximale considérée E = 20. Sur la figure 2, au contraire

D

a été maintenu constant et égal à 50, alors que l'intervalle A prenait différentes valeurs. On voit que la précision augmente lorsque A est

réduit jusqu'à 0,5, alors que les courbes A = 0,5 et A = 0,33 ne sont pas discernables. On notera que dans ces calculs la dimension du système linéaire égale à DIA varie de 25 à 150. La figure 3 indique

V,-10 R,1

O 5 10 15 20

FIG. 1.

A?

0150 A:(

comment varie la précision lorsque la profondeur du potentiel passe de 5 à 10 et 20. Pour les deux pre- mières valeurs il y a un seul état lié, alors que pour la plus grande valeur il y a deux états liés. L'intérêt de cette discussion vient du fait que, dans l'expression qu'on obtient pour la matrice S, figure un premier terme qui n'est rien d'autre que l'approximation de Born. Seul le second terme implique réellement la résolution du système d'équations linéaires. Il est donc essentiel de s'assurer que les résultats restent bons pour des potentiels suffisamment forts pour que l'approximation de Born ne soit plus valable. C'est bien ce qui apparaît sur la figure 3.

La même méthode peut être appliquée à l'absorp- i 5 20 tion d'un photon par un noyau. Dans le but de vérifier

5 40

la possibilité de faire effectivement un traitement

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très simple comportant deux continus et un état remarquable de voir que le mélange de configurations quasi lié. La figure 4 donne les résultats pour diffé- suffit à faire apparaître un pic de résonance bien

caractérisé. Dans les cas IIA, IIB et IIC, les valeurs de QB sont égales à 0,03, - 0,10 et

-

0,14, respectivement (QI = Q, = 1). Dans tous ces cas, les fonctions d'onde nucléaires sont les mêmes, l'interaction nucléaire restant inchangée. Les figures montrent nettement différents types d'interférences entre la contribution directe de l'état quasi lié, et sa contri- O

bution par l'intermédiaire du mélange de configurations. Ces figures ressemblent en fait beaucoup à celles qu'on obtient dans le cas de la diffusion élastique par l'effet de l'interférence de la diffusion potentielle et de la diffusion résonnante causée par un état du noyau composé.

O Un calcul réaliste d'absorption photonucléaire

a été effectué par Gillet, Raynal et Melkanoff pour le cas de 160. Dès qu'on aborde un problème réaliste, on est obligé de limiter très soigneusement les configurations dont on va tenir compte, si on ne veut pas dépasser les capacités des ordinateurs actuelle- ment disponibles. Dans le calcul en question, les

O neutrons ont été complètement négligés, et pour les

I I

rentes valeurs des opérateurs de transition électro- magnétique QI, Q , et Q B entre l'état fondamental et les états du premier continu, du deuxième continu, et l'état quasi lié. Les courbes pointillées indiquent ce qui se passe en l'absence d'état quasi lié ; la variation de la probabilité de transition en fonction de l'énergie est très lente. Dans les courbes en trait plein, l'état quasi lié donne lieu à un mélange de configurations relativement important par suite de l'introduction d'une force nucléaire relativement forte. Dans le cas 1 on a fait Q B = 0, Q I = Q, = 1, de sorte que l'état quasi lié ne contribue pas direc- tement à la probabilité de transition. Il est cependant

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DÉVELOPPEMENTS RÉCENTS DANS LA THÉORIE DES RÉACTIONS NUCLÉAIRES

c l

- 1 5

correspond assez bien aux résultats expérimentaux. Toutefois quelques incertitudes demeurent encore en ce qui concerne la calibration absolue des courbes, et également la structure fine qui pourrait être super-

1 / /

RlOTOdBSûRPTlON TOTALE

.-

E (MeV)

I I

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

posée à la structure obtenue dans ce calcul. Les mêmes auteurs s'efforcent maintenant de tenir compte des neutrons (ceci modifiera la valeur absolue des sections efficaces), et des configurations à 2 particules et 2 trous (ceci introduira une structure fine de la section efficace).

IV. Structures intermédiaires et aspects statistiques.

-

Je serai très bref sur ces aspects de la théorie des réactions nucléaires qui concernent surtout les noyaux lourds, le présent colloque étant consacré aux noyaux légers. Les aspects statistiques s'intro- duisent d'une façon inévitable dès qu'on se trouve dans un noyau quelque peu lourd à une énergie un peu élevée, de telle façon que la densité des niveaux nucléaires devient extrêmement grande. La situation est alors si compliquée qu'il devient impossible, et sans doute dépourvu d'intérêt, de s'intéresser à tous

les détails du comportement des sections efficaces. L'idée la plus naturelle est alors d'effacer une partie de cette complication, en considérant non plus la section efficace elle-même mais sa moyenne sur un intervalle d'énergie convenablement choisi. Ces no- tions ont été discutées, il y a une dizaine d'années, lorsqu'est apparu le modèle optique. Le résultat essentiel est que, lorsqu'on s'intéresse aux moyennes des sections efficaces, on voit apparaître des variations lentes de la section efficace en fonction de l'énergie, qui sont liées à des configurations parti- culièrement simples du système composé. Ces variations sont extrêmement différentes des variations très rapides produites par les états composés très compliqués de Bohr. Par exemple, dans la collision d'un neutron avec un noyau, les configurations du système composé formé, consistant en une fonction d'onde du neutron incident dans le potentiel moyen créé par le noyau cible, multipliée par la fonction d'onde de l'état fondamental de ce noyau cible, jouent un rôle prépondérant. Bien sûr, l'interaction du neutron avec le noyau cible va produire des configurations plus compliquées, dans lesquelles le noyau cible sera excité. Cependant on peut montrer qu'en ce qui concerne les sections efficaces moyennes, ces configurations plus compliquées produisent un effet qui peut être représenté simplement par l'introduction d'un potentiel complexe. D'où le modèle optique et les résonances géantes. Dans le présent formalisme de la théorie des réactions nucléaires, ceci peut être décrit de façon très simple. On divise les configurations qui figurent dans la fonction d'onde en deux catégories. Les configurations de la première caté- gorie seront conservées telles quelles et traitées exactement. Au contraire, pour les configurations de la seconde catégorie, on se contentera d'un traitement statistique simplifié. L'idée du modèle optique a récemment été généraIisée de la façon suivante. Si

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, C l - 1 6 CL. BLOCH

pliquées, on obtiendra des sections efficaces présen- tant avec l'énergie des variations plus rapides, pouvant ,être observées si on utilise une résolution en énergie plus grande que dans les expériences visant à vérifier le modèle optique. Sur le plan théorique, on obtient ainsi un modèle optique étendu, dans lequel un nouveau potentiel complexe représente la dissolution des configurations traitées exactement, en des configurations plus compliquées traitées statistiquement. Du point de vue expérimental on devrait donc s'at- tendre à observer, tout au moins dans les cas favo- rables, des résonances intermédiaires, plus fines que les résonances géantes du modèle optique, mais beaucoup plus larges que les résonances du noyau composé. Si l'existence de ce phénomène semble maintenant bien établie, on ne sait pas encore quelle est l'étendue de sa généralité.

Sur le plan théorique, je voudrais enfin signaler que le problème statistique n'a encore jamais, à ma