HAL Id: tel-01461413
https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01461413
Submitted on 20 Feb 2017HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
dissipatifs en maillage quelconque et applications à la
LES en aérothermique cavité nacelle à l’arrêt moteur
Quentin Dubois
To cite this version:
Quentin Dubois. Approximation volumes finis d’ordre élevé - Flux dissipatifs en maillage quelconque et applications à la LES en aérothermique cavité nacelle à l’arrêt moteur. Milieux fluides et réactifs. UNIVERSITE DE LORRAINE, 2016. Français. �tel-01461413�
Table des matières
Introduction v
1 Lois de conservation de la mécanique des fluides 1
1.1 Introduction . . . 2 1.2 Notations . . . 2 1.3 Contexte thermodynamique . . . 3 1.4 Équations de Navier-Stokes . . . 3 1.4.1 Théorème de transport . . . 3 1.4.2 Conservation de la masse . . . 4
1.4.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . 4
1.4.4 Conservation de l’énergie . . . 5
1.5 Fermeture des équations de Navier-Stokes . . . 7
1.5.1 Tenseur des contraintes . . . 7
1.5.2 Loi de Fourier . . . 8
1.6 Les équations d’Euler . . . 8
1.6.1 Forme conservative . . . 9
1.6.2 Forme quasi-linéaire . . . 10
1.6.3 Variables physiques . . . 10
1.6.4 Hyperbolicité des équations d’Euler . . . 11
2 Description de la chaîne Cedre 13 2.1 Présentation générale . . . 14
2.2 Modèle géométrique . . . 14
2.3 Le solveur fluide Charme . . . 15
2.3.1 Modèles physiques . . . 15
2.3.2 Discrétisation spatiale . . . 16
2.3.3 Intégration temporelle . . . 21
3 Convection naturelle : constats et problèmes 23 3.1 Introduction . . . 24
3.2 Solution analytique de type tourbillon . . . 24
3.2.1 Tourbillon statique . . . 24
3.2.2 Tourbillon en translation uniforme . . . 27
3.3 Propagation numérique d’un tourbillon en régime bas Mach . . . 28
3.3.1 Manifestation du problème bas Mach . . . 29
3.3.2 Influence des paramètres numériques . . . 30
4 Analyse du problème de transport du tourbillon 45
4.1 Introduction . . . 47
4.2 Équations d’Euler . . . 48
4.2.1 Notations . . . 48
4.2.2 Équations d’Euler linéarisées . . . 48
4.2.3 Décomposition spectrale du jacobien ˚Jn . . . 49
4.2.4 Composantes acoustique et hydrodynamique d’une perturbation q0 . . . 51
4.2.5 Exponentielle de la matrice α˚Jn . . . 52
4.3 Équations d’Euler linéarisées périodiques . . . 53
4.3.1 Notations pour fonctions périodiques sur le d-cube Ω = [0, L1] × · · · × [0, Ld] 53 4.3.2 Solution des équations d’Euler linéarisées sur le d-cube . . . . 55
4.4 Fonctions de grille périodiques dans Rd. . . . 57
4.5 Algèbre matricielle . . . 59
4.5.1 Matrice de permutation Pµ . . . 60
4.5.2 Opérateur vec et produit de Kronecker . . . 60
4.6 Équations d’Euler semi-discrètes linéarisées : schéma d’ordre 1 . . . 62
4.6.1 Analyse de dispersion vectorielle . . . 62
4.6.2 Schéma volumes finis linéarisé pour la dynamique des gaz . . . 63
4.6.3 Structure de la matrice ˚A . . . 65
4.6.4 Exponentielle de la matrice ˚A . . . 67
4.6.5 Solution du système volumes finis linéarisé . . . 68
4.7 Équations d’Euler semi-discrètes linéarisées : schémas d’ordre élevé . . . 69
4.7.1 Introduction . . . 69
4.7.2 Schéma d’ordre 2 . . . 70
4.7.3 Schéma d’ordre 4 . . . 72
4.8 Solutions continues et discrètes de type tourbillon . . . 73
4.8.1 Propagation d’ondes simples de type tourbillon . . . 73
4.8.2 Solution des équations d’Euler linéarisées d’une onde simple de type tourbillon 74 4.8.3 Solution des équations d’Euler semi-discrètes linéarisées d’une onde simple de type tourbillon . . . 74
4.9 Principe de l’analyse d’erreur entre solutions exacte et approchée . . . 75
4.9.1 Dissipation et dispersion : le cas monodimensionnel scalaire . . . 75
4.9.2 Dissipation et dispersion : le cas des équations d’Euler linéarisées bidimen-sionnelles . . . 77
4.9.3 L’erreur de projection modale . . . 79
4.10 Étude numérique de l’erreur de dispersion, dissipation et modale de quelques flux numériques . . . 81
4.10.1 Dissipation, dispersion pour un flux compressible classique . . . 81
4.10.2 Dissipation, dispersion pour le flux hllc bas mach . . . 88
4.10.3 Dissipation, dispersion pour le flux hll . . . 92
4.10.4 Détermination de l’erreur de projection modale . . . 93
5 Intégration temporelle pour la convection naturelle à bas Mach 97
5.1 Introduction . . . 98
5.2 L’intégration temporelle dans Cedre . . . 99
5.2.1 Schémas d’intégration explicites . . . 99
5.2.2 Schémas d’intégration implicites . . . 100
5.3 Stabilité des schémas de type Runge-Kutta . . . 103
5.3.1 Introduction . . . 103
5.3.2 Domaine de stabilité pour une équation différentielle scalaire . . . 104
5.3.3 Domaine de stabilité pour un système d’équations différentielles . . . 107
5.4 Stabilité des schémas Runge-Kutta pour l’équation de convection discrétisée par volumes finis . . . 109
5.4.1 Principe de l’analyse . . . 109
5.4.2 Deux représentations graphiques pour la stabilité matricielle . . . 110
5.4.3 Analyse de stabilité pour le schéma VF d’ordre 2 avec un schéma RKE2 . . 111
5.4.4 Analyse de stabilité du schéma Euler implicite (RKI1) pour une discrétisa-tion VF d’ordre 2 . . . 113
5.5 Analyse de stabilité du schéma RKE4 pour une discrétisation volumes finis d’ordre 4114 6 Analyse de stabilité matricielle pour les équations d’Euler semi-discrètes li-néarisées 119 6.1 Introduction . . . 120
6.2 Principe de la méthode . . . 120
6.3 Flux numériques pour les équations d’Euler . . . 122
6.3.1 Forme Flux Difference Splitting d’une fonction flux numérique . . . 122
6.3.2 Flux numérique de roe . . . 123
6.3.3 Flux numérique hll . . . 124
6.3.4 Flux numérique hllc . . . 125
6.3.5 Flux numérique hllc bas mach . . . 126
6.3.6 Flux numérique ausm . . . 127
6.4 Expression de la matrice ˚A . . . 130
6.5 Spectre de ˚A dans le cas supersonique . . . 131
6.5.1 Description analytique de la forme du spectre . . . 132
6.5.2 Influence du paramètre u1/h1 u2/h2 . . . 135
6.5.3 Influence de l’ordre de discrétisation . . . 135
6.6 Spectre de ˚A dans le cas subsonique . . . 136
6.6.1 Le cas du flux hll . . . 136
6.6.2 Le cas du flux hllc . . . 138
6.6.3 Le cas du flux hllc bas mach . . . 140
6.7 Influence de la forme de la matrice ˚A sur la stabilité de l’intégration en temps . . 140
6.7.1 Utilisation du schéma RKE2 . . . 142
6.7.2 Utilisation d’un schéma RKI . . . 142
6.8 Conclusion . . . 145
7 Simulation numérique d’un écoulement de convection naturelle dans la cavité nacelle 147 7.1 Introduction à l’aérothermique dans une turbomachine . . . 148
7.2 Configuration de la maquette d’essai . . . 149
7.2.4 Le banc expérimental d’essai . . . 152
7.3 Détermination des ordres de grandeur caractéristiques de l’écoulement . . . 154
7.3.1 Données générales de l’écoulement . . . 154
7.3.2 Advection et temps de séjour . . . 155
7.3.3 Nombre de Mach . . . 156
7.3.4 Effets visqueux . . . 156
7.3.5 Effet moteur de la gravitation . . . 157
7.3.6 Sillages . . . 157
7.4 Paramètres de la simulation numérique . . . 158
7.4.1 Conditions limites . . . 158
7.4.2 Détermination des paramètres numériques . . . 160
7.5 Résultats du calcul . . . 163
7.5.1 Convergence vers l’écoulement moyen . . . 163
7.5.2 Allure générale de l’écoulement . . . 164
7.5.3 Comparaisons avec les données expérimentales . . . 167
Introduction
Savoir déterminer avec certitude les paramètres des écoulements fluides ainsi que les flux d’énergie échangés avec l’extérieur est un enjeu essentiel pour l’industrie aéronautique. En effet, la connaissance de ces informations permet de concevoir et d’optimiser un aéronef soit dans sa globalité, soit par composantes. Le compartiment fan de la cavité nacelle du turboréacteur est un exemple d’une composante à étudier. Ce compartiment comprend des éléments chauffants tels que des boîtiers électroniques ou un réservoir d’huile. La connaissance de la température du fluide dans cette cavité à tout instant permettrait, par exemple, de déterminer si des protections thermiques sont nécessaires et, le cas échéant, de les dimensionner parfaitement.
Reproduire le phénomène physique d’intérêt expérimentalement est un premier moyen d’ob-tenir des informations sur la convection des fluides et sur l’énergie échangée avec le milieu. Le banc d’essai peut être une maquette à échelle réduite dans une soufflerie. Il peut aussi être un système déjà fonctionnel, outillé de capteurs, permettant des relevés de vitesse, température, de pression, éventuellement équipé de dispositifs permettant de visualiser directement l’écoulement. L’approche expérimentale présente des inconvénients. Elle nécessite un outillage complexe qui doit permettre la mesure sans en influencer le résultat, de plus les mesures sont sujettes à des erreurs de relevé ; enfin le coût global de la réalisation de l’expérience, depuis la conception du banc jusqu’à l’obtention des mesures, peut rendre impraticable la réalisation de l’approche expérimentale dans certains cas.
La simulation numérique du phénomène est un autre moyen d’obtenir des informations sur l’écoulement. Elle consiste à résoudre numériquement le modèle mathématique décrivant l’écoule-ment du fluide. Le système physique d’équations aux dérivés partielles du modèle est discrétisé en espace et en temps. Ceci donne un système approché équivalent au modèle exact lorsque les pas de discrétisation tendent vers zéro. C’est ce système approché qui est résolu numériquement. Plu-sieurs classes de méthodes existent qui comprennent elles-même un certain nombre de variantes. La méthode des différences finies, la méthode des volumes finis, les méthodes variationnelles sont trois classes de telles méthodes. L’approche numérique est moins onéreuse, plus rapidement mise en œuvre, et permet de calculer les valeurs d’intérêt dans tout le domaine. Cependant des problèmes inhérents à la méthode mathématique d’approximation peuvent apparaître, que ce soit des problèmes mathématiques ou des limitations informatiques. De plus, suivant la méthode utilisée, la manifestation de ces problèmes peut dépendre du régime de l’écoulement.
Dans cette thèse, nous considérons la méthode des volumes finis appliquée à la résolution des équations de Navier-Stokes compressibles pour les écoulements de convection naturelle dans le régime bas Mach. De façon intuitive, ce régime correspond à la limite incompressible des équations de la dynamique des gaz. Il correspond à une vitesse hydrodynamique très faible face à la vitesse du son. Il est naturellement possible de concevoir des méthodes de calcul spécifiques pour ce régime. C’est le cas des méthodes pour la mécanique des fluides incompressibles. L’enjeu du présent travail consiste à utiliser une méthode de volumes finis décentrée bien adaptée à la dynamique des gaz dans le régime bas Mach pour la convection naturelle.
dans différents contextes : écoulement en milieu poreux, climatologie, écoulement de cheminée, écoulement stratifié. Dans la plupart de ces cas, les corrections proposées sont basées sur les travaux de Choi et Merkle [32,5], Chorin [6] ou Turkel et al. [41,42] pour la recherche de solutions stationnaires et sur les travaux de Guillard, Viozat et Murrone [13,44,12] ou Dellacherie, Omnes et Raviart [8,9] pour la recherche de solutions instationnaires.
L’objectif principal de ce travail est de contribuer à la compréhension du comportement de la méthode des volumes finis décentrés dans le cadre de la simulation de la convection naturelle. Pour l’industriel Safran Aircraft Engines, l’un des objectifs est d’analyser les résultats de Cedre dans un contexte tridimensionnel réaliste (banc expérimental de la cavité Nacelle). Dans un second temps, il s’agit de valider les éventuelles améliorations numériques apportées.
Le plan de la thèse est le suivant. Le chapitre 1 rappelle les équations fondamentales de la mécanique des fluides. Le chapitre 2 fait le point sur la chaîne de calcul Cedre. Le chapitre 3 constitue le point de départ de notre analyse. Celle-ci est centrée sur le problème de la convection d’un tourbillon compressible en translation uniforme. Le chapitre 4 consiste en une analyse des problèmes observés, à bas Mach, dans le chapitre 3. On dérive en particulier la solution exacte du système semi-discret obtenu pour les équations d’Euler linéarisées. Le point de vue développé dans ce chapitre permet d’éclaircir le comportement de la méthode des volumes finis décentrée pour les équations d’Euler en dimension 2 lorsque différents types de flux numériques sont utilisés. Dans le chapitre 5, on fait le point sur l’analyse de stabilité d’un schéma en temps appliqué à un système dynamique linéaire. On y rappelle en particulier, les différents types de stabilité classiquement considérés pour un système discret en temps. L’éclairage obtenu aux chapitres 4 et 5 voit son aboutissement au chapitre 6 où une analyse de stabilité matricielle pour les équations d’Euler semi-discrètes linéarisées est effectuée. On y compare en particulier la linéarisation des formules de flux numériques les plus courantes : roe, hll, hllc, et hllc bas mach. Finalement dans le chapitre 7, on présente les résultats numériques obtenus sur le cas du banc d’essai qui constitue la référence pour le problème industriel. La conclusion fait l’objet du chapitre 8.
Chapitre 1
Lois de conservation de la mécanique
des fluides
Sommaire 1.1 Introduction . . . . 2 1.2 Notations . . . . 2 1.3 Contexte thermodynamique . . . . 3 1.4 Équations de Navier-Stokes . . . . 3 1.4.1 Théorème de transport . . . 3 1.4.2 Conservation de la masse . . . 41.4.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . 4
1.4.4 Conservation de l’énergie . . . 5
1.5 Fermeture des équations de Navier-Stokes . . . . 7
1.5.1 Tenseur des contraintes . . . 7
1.5.2 Loi de Fourier . . . 8
1.6 Les équations d’Euler . . . . 8
1.6.1 Forme conservative . . . 9
1.6.2 Forme quasi-linéaire . . . 10
1.6.3 Variables physiques . . . 10
1.1
Introduction
La modélisation mathématique de la mécanique des fluides comporte deux aspects : la ther-modynamique d’une part, la modélisation des phénomènes convectifs d’autre part.
La famille des écoulements considérés dans ce travail est celle des écoulements de convection naturelle. Dans ce régime, la mise en mouvement du fluide résulte du gradient de la masse volumique. Le fluide est donc nécessairement compressible. De plus, ce gradient peut lui-même résulter d’une variation de température. Avec un tel moteur de la convection naturelle, la vitesse hydrodynamique est très faible devant la vitesse du son. On parle dans ce cas de régime bas Mach.
Ces caractéristiques d’écoulement peuvent suggérer une modélisation de type Boussinesq ; il s’agit d’un fluide incompressible où l’effet des variations de densité est pris en compte uniquement dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement (terme source). Cependant, ce point de vue est trop restrictif dans notre contexte : nous souhaitons délibérément demeurer dans le cadre des équations de Navier-Stokes compressibles complètes. En effet, le contexte de ce travail est le développement d’un outil logicel (Cedre) capable de résoudre tous les régimes fluides par la résolution des équations primitives (équations de Navier-Stokes compressibles). Nous ne souhaitons donc pas faire d’hypothèse a priori (de type Boussinesq par exemple ou fluide incompressible).
À terme, le but demeure le développement d’un solveur multiphysique général (Cedre) ca-pable de prendre en compte tous les régimes, en particulier le régime bas Mach quasi-incompressible. Le contexte industriel de cette étude (refroidissement à l’arrêt d’une turbomachine) est un exemple typique de l’importance de ce régime en aéronautique.
Ce chapitre est un rappel des équations à résoudre et de la thermodynamique associée. La section 1.2 rappelle les notations. La section 1.3 précise les relations thermodynamiques. La section 1.4 détaille l’obtention des lois de conservation en mécanique des fluide (point de vu Eulerien). Dans la section 1.5, on rappelle la modélisation d’un écoulement Newtonien. Finalement, les équations d’Euler sont dérivées des équations de Navier-Stokes dans la section 1.6.
1.2
Notations
Dans la suite de ce travail, on utilise les notations suivantes : L’espace est Rd avec d ∈ {1, 2, 3}. La variable d’espace est
x = (xµ)µ=1...d∈ Rd. (1.1)
La variable temps est
t∈ R+. (1.2)
La masse volumique du fluide est
ρ(x, t) ∈ R+. (1.3)
La vitesse du fluide est
u(x, t) ∈ Rd. (1.4)
La température est
T(x, t) ∈ R+. (1.5)
La pression est
1.3. CONTEXTE THERMODYNAMIQUE L’énergie totale est notée
E(x, t) ∈ R+. (1.7)
1.3
Contexte thermodynamique
Les écoulements auxquels on s’intéresse peuvent être considérés comme des perturbations d’un état initialement au repos, en équilibre thermodynamique. L’état thermodynamique au repos est décrit par deux variables d’état indépendantes. Un choix possible est la température du fluide T ainsi que sa masse volumique ρ. Les autres grandeurs thermodynamiques peuvent s’exprimer en fonction de ces deux variables. La pression au repos notamment est donnée par la loi d’état
p= pe(ρ, T ) . (1.8)
On se limite ici à la loi d’état des gaz parfaits, c’est-à-dire les gaz dont les molécules ont un volume négligeable et qui interagissent uniquement par collision élastique. Dans ce cas, on peut montrer que
pe = ρ R
MT , (1.9)
où R est la constante universelle des gaz parfaits égale à la différence des capacités thermiques molaires à pression constante et volume constant Cp− Cv et M est la masse molaire du fluide. Cette limitation se justifie dans le contexte industriel considéré ici car le fluide évolue à une température compatible avec les hypothèses du gaz parfait.
Notons finalement que l’on désigne par incompressible un fluide dont la masse volumique ne varie pas le long de ses lignes de courant et qui n’est pas affectée par les variations de pression. Dans le cas d’un fluide incompressible, l’équation d’état prend une forme particulière découlant immédiatement de cette hypothèse :
dρ
dt = 0 . (1.10)
1.4
Équations de Navier-Stokes
Dans cette section, on rappelle la forme générale des lois de conservation de la mécanique des fluides dans un repère cartésien.
1.4.1 Théorème de transport
On appelle volume de contrôle V (t) le volume matériel de fluide qui se déplace avec l’écoulement et qui contient à chaque instant t les particules de fluide contenues dans un volume V (t = 0) = V0
quelconque (figure 1.1) .
V0 V(t)
La dérivation des équations de la mécanique des fluides nécessite le théorème de transport, [7]. Ce théorème s’énonce de la façon suivante.
Théorème 1.1. Soit un volume de contrôle V (t). Pour toute fonction scalaire (x, t) → f(x, t),
on a la relation : d dt Z V(t)f dx = Z V(t) ∂tf + X 1≤µ≤d ∂µ(fuµ) dx . (1.11)
C’est un théorème d’interversion de l’opérateur de dérivation et de l’opérateur d’intégration.
1.4.2 Conservation de la masse
La première relation provient de la loi de conservation de la masse. D’après cette loi, la variation de masse dans un volume de contrôle est égale au taux de production de masse dans ce même volume. Avec une production de masse nulle, on a
d dt
Z
V(t)
ρdV = 0 . (1.12)
D’après le théorème de transport,
Z V(t) ∂tρ+ X 1≤µ≤d ∂µρuµ dx = 0 , (1.13)
et donc la forme locale de l’équation de conservation de la masse est
∂tρ+
X 1≤µ≤d
∂µρuµ= 0 . (1.14)
1.4.3 Conservation de la quantité de mouvement
L’équation de conservation de la quantité de mouvement provient du principe fondamental de la dynamique appliqué aux particules fluides d’un volume de contrôle V (t). D’après ce principe, la variation de la quantité de mouvement dans un volume de contrôle quelconque est égale à la somme des forces qui s’y applique. Les forces qui s’exercent sur le volume sont de deux natures différentes. Les premières sont des forces volumiques. Ce sont des forces telles que la force de gravité ou la force électromagnétique ; on les note fv= fv,ν1≤ν≤d. Les secondes, aussi appelées
contraintes, s’appliquent sur la surface du volume de contrôle V (t) ; on les note fs= fs,ν1≤ν≤d.
Le principe fondamental de la dynamique se traduit dans un repère cartésien par les équations intégrales suivantes d dt Z V(t)ρuν dx = Z V(t)fv,νdx + Z δV(t)fs,ν dς(x), ∀ν ∈J1, dK (1.15) où δV (t) désigne la surface du volume V (t), dx = dx1dx2dx3 est la mesure sur R3 et dς(x) est la
mesure de surface δV (t). Les équations (1.15) peuvent s’écrire sous la forme vectorielle suivante : d dt Z V(t)ρu dx = Z V(t)fvdx + Z δV(t)fsdς(x) . (1.16) Si le fluide est soumis à la pesanteur, la densité de force volumique fv s’écrit
1.4. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES où g est l’accélération gravitationnelle, verticale orientée vers le bas.
La force surfacique fs s’appliquant en un point x de la surface δV (t) s’exprime à l’aide d’un tenseur τ et de la normale à δV (t), n . Le théorème suivant donne la structure de la force surfacique fs.
Théorème 1.2. Si x → fs(x) est C1 alors il existe un tenseur d’ordre 2, τ , appelé tenseur des
contraintes tel que la force surfacique s’appliquant en un point x de la surface δV (t) est une fonction continue et linéaire de n, la normale sortante à la surface au point x :
fs= τ · n . (1.18)
Sa démonstration peut se trouver dans [1] et [2]. On a donc ici
fs(x) = τ (x) · n(x), ∀x ∈ δV (t) , (1.19) soit par composante, (1.19) s’écrit
fs,ν(x) = X 1≤µ≤d
τν,µ(x)nµ(x), ∀x ∈ δV (t), ∀ν ∈J1, dK . (1.20) La relation (1.15) se réécrit donc
d dt Z V(t)ρuν dx = Z V(t)fv,ν dx + Z δV(t) X 1≤µ≤d τν,µnµdx, ∀ν ∈J1, dK . (1.21) En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski à (1.21), on obtient
d dt Z V(t) ρuν dx = Z V(t) fv,ν+ X 1≤µ≤d ∂µτν,µ dx, ∀ν ∈J1, dK . (1.22) Par le théorème de transport, (1.22) devient
Z V(t) ∂t(ρuν) + X 1≤µ≤d ∂µ ρuνuµ dx =Z V(t) fv,ν+ X 1≤µ≤d ∂µτν,µ dx . (1.23) Cette relation étant valable pour tout volume de contrôle V (t), (1.23) s’écrit
∂t(ρuν) + X 1≤µ≤d ∂µ(ρuµuν) = fv,ν+ X 1≤µ≤d ∂µτν,µ . (1.24)
À ce stade, le tenseur des contraintes τ n’est pas spécifié en fonction des inconnues.
1.4.4 Conservation de l’énergie
La conservation de l’énergie totale est l’expression du premier principe de la thermodynamique sous forme locale. Elle exprime que la variation de l’énergie totale dans le volume de contrôle
V(t) est la somme de deux quantités notées Q et W :
d dt
Z
Le terme W provient du gain d’énergie résultant du travail des forces s’appliquant au volume
V(t). Le terme Q représente le gain d’énergie de type chaleur. L’énergie totale massique E est la
somme de l’énergie interne e et de l’énergie cinétique :
E = e +1
2kuk2. (1.26)
Le travail, W , des forces agissant sur le volume de contrôle V (t) est le produit scalaire entre les forces et la vitesse. Il se décompose, d’après (1.15), en la somme de deux termes : le travail des forces volumiques et le travail des forces surfaciques :
W = Z V(t) X 1≤µ≤d uµfv,µdx + Z δV(t) X 1≤µ≤d uµfs,µ dx . (1.27) Par l’équation (1.20) et le théorème de Green-Ostrogradski, la relation (1.27) se réécrit
W = Z V(t) X 1≤µ≤d uµfv,µ+ X 1≤µ≤d 1≤ν≤d ∂ν(τµ,νuµ) dx . (1.28)
La chaleur, Q, est la somme de la contribution volumique Qvet de la contribution surfacique
Qs : Q = Qv+ Qs. Considérons d’abord le terme de surface, on a
Qs= Z δV(t) X 1≤µ≤d ϕµnµdx , (1.29)
où ϕ est le vecteur densité de flux thermique. D’après le théorème de Green-Ostrogradski (1.29) équivaut à Qs = Z V(t) X 1≤µ≤d ∂µϕµdx . (1.30)
En substituant (1.27) et (1.30) dans (1.25) et en l’absence de source volumique, on obtient donc d dt Z V(t)ρEdx = Z V(t) X 1≤µ≤d uµfv,µ+ X 1≤µ≤d 1≤ν≤d ∂ν(τµ,νuµ) + X 1≤µ≤d ∂µϕµ dx . (1.31)
En utilisant le théorème de transport, l’équation (1.31) devient
Z V(t) ∂t(ρE) + X 1≤µ≤d ∂µ(ρuµE) dx =Z V(t) X 1≤µ≤d uµfv,µ+ X 1≤µ≤d 1≤ν≤d ∂ν(τµ,νuµ) + X 1≤µ≤d ∂µϕµ dx . (1.32) La forme locale de cette équation est l’équation de conservation de l’énergie
∂t(ρE) + X 1≤µ≤d ∂µ(ρuµE) = X 1≤µ≤d uµfv,µ+ X 1≤µ≤d 1≤ν≤d ∂ν(τµ,νuµ) + X 1≤µ≤d ∂µϕµ (1.33)
1.5. FERMETURE DES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES Les équations (1.11), (1.24) et (1.33) forment le système de Navier-Stokes qui décrit l’évolution des grandeurs thermodynamiques d’un fluide compressible :
∂tρ+ X 1≤µ≤d ∂µρuµ= 0 ∂t(ρuν) + X 1≤µ≤d ∂µ(ρuµuν) = fv,ν+ X 1≤µ≤d ∂µτν,µ, ∀ν ∈J1, dK ∂t(ρE) + X 1≤µ≤d ∂µ(ρuµE) = X 1≤µ≤d uµfv,µ+ X 1≤µ≤d 1≤ν≤d ∂ν(τµ,νuµ) + X 1≤µ≤d ∂µϕµ (1.34)
Les inconnues de ce système sont la masse volumique ρ, les d composantes de la vitesse u ainsi que l’énergie totale E. Les termes indéterminés sont le tenseur des contraintes τ et la densité de flux de chaleur ϕ. Au total, on a donc un système de d + 2 équations scalaires et (d + 2) + d2+ d
inconnues scalaires. Pour compléter le système d’équations, il faut spécifier τ et ϕ comme fonctions de (ρ, u, E).
1.5
Fermeture des équations de Navier-Stokes
1.5.1 Tenseur des contraintes
On rappelle que d’après le théorème 1.2, les contraintes surfaciques fs s’appliquant sur le
contour δV (t) d’un volume de contrôle V (t) s’écrivent à l’aide du tenseur des contraintes τ et de la normale à δV (t), n de la manière qui suit
fs= τ · n . (1.35)
À l’équilibre hydrostatique, c’est-à-dire pour un fluide au repos, les forces de surface sont nécessairement normales et identiques dans toutes les directions. Ceci implique que le tenseur des contraintes doit nécessairement prendre la forme
τ = −psI , (1.36)
où ps est un scalaire positif appelé pression statique et I le tenseur dont tous les coefficients sont nuls sauf ses coefficients diagonaux qui valent 1. La définition de pe, la pression au sens thermo-dynamique (voir (1.8)) est également définie pour un fluide au repos. La définition mécanique de la pression ps coïncide donc nécessairement avec pe :
ps= pe. (1.37)
On définit la pression dynamique p comme le scalaire qui prend en compte les effets dynamiques. Cette fonction est nécessairement l’opposée de la trace du tenseur des contraintes τ divisé par d. À l’équilibre, il doit se confondre avec la pression statique ps. On a donc
p= −tr(τ )
d . (1.38)
On peut montrer (voir [1]) que p est relié à la pression thermodynamique pe par la relation
où κ est le second coefficient de viscosité ou viscosité de volume. Pour des fluides quasi-incompressibles, cette contribution est négligeable et il convient alors de faire l’hypothèse de Stokes :
κ= 0, (1.40)
ce qui mène à p = pe.
Lorsque le fluide est en mouvement, les coefficients extra-diagonaux du tenseur des contraintes sont non-nuls. Le tenseur τ prend alors une forme plus générale qu’il est pratique d’écrire en suivant le formalisme utilisé par Batchelor[2] qui distingue la partie isotrope −pI de la partie non isotrope de τ :
τ = −pI + σ . (1.41)
Le tenseur σ est appelé déviateur des contraintes. Il ne faut pas le confondre avec le tenseur des contraintes visqueuses défini par ˜σ = psI + τ . Le tenseur σ s’annule lorsque le fluide est à l’équilibre et on retrouve bien alors la relation (1.36).
La relation entre le déviateur des contraintes σ et les propriétés locales du fluide dépend naturellement du fluide considéré. Un cas particulier fondamental est celui des fluides isotropes. Ce sont les fluides dont les propriétés locales ne dépendent pas de la direction considérée. Parmi ceux-ci, on distingue trois catégories se différenciant par leur comportement :
• les fluides au comportement élastique, • les fluides au comportement visqueux, • les fluides au comportement visco-élastique.
Les fluides les plus courants tels que l’air ou l’eau sont des fluides dont le comportement est principalement visqueux. Nous considérons ici le cas des fluides Newtonien, c’est-à-dire le cas où le tenseur des contraintes visqueuses est une fonction affine des taux de déformation (∇u+∇⊥u)/2.
Dans cette hypothèse, on en déduit que le déviateur des contraintes s’écrit σ= µ ∇u + ∇⊥u −2
3∇ ·uI. (1.42)
Donc le tenseur des contraintes s’écrit
τ = −pI + µ ∇u + ∇⊥u −2
3∇ ·uI. (1.43)
1.5.2 Loi de Fourier
La relation exprimant le flux de chaleur ϕ est la loi de Fourier :
ϕ= −λt∇T , (1.44)
où T est la température et λ désigne la conductivité thermique du fluide en W m−1K−1. Pour
un gaz parfait, la température s’exprime dans le jeu de variable (ρ, u, E) par la relation
T = 1 Cv E−1 2kuk2 . (1.45)
1.6
Les équations d’Euler
Les équations d’Euler correspondent aux équations de Navier-Stokes avec l’hypothèse d’un fluide idéal. Ceci signifie que l’on néglige les effets de viscosité et de conduction thermique.
1.6. LES ÉQUATIONS D’EULER Autrement dit, dans le cas d’un fluide Newtonien, les coefficients de viscosité µ dans (1.43) et de conductivité thermique λt dans (1.44) sont nuls :
µ= 0, λt= 0 . (1.46)
Dans ces conditions, le système (1.34) se réécrit
∂tρ+ X 1≤µ≤d ∂µρuµ= 0 ∂t(ρuν) + X 1≤µ≤d ∂µ(ρuµuν) − ∂νp= fv,ν, ∀ν ∈J1, dK ∂t(ρE) + X 1≤µ≤d ∂µ ρuµ E+p ρ = X 1≤µ≤d uµfv,µ (1.47)
Ce systèmei constitue les équations d’Euler. Le système (1.47) est entièrement spécifié par la donnée d’une équation d’état du type (1.9).
1.6.1 Forme conservative
Une écriture vectorielle plus concise se formule à l’aide du vecteur des variables conservatives q = (ρ, ρu, ρE)T∈ Rd+2
∂tq +
X 1≤µ≤d
∂µfµ(q) = S(q) , (1.48)
où le vecteur S(q) ∈ Rd+2 est le vecteur des sources volumiques. Pour tout µ, 1 ≤ µ ≤ d, la fonction vectorielle q → fµ(q) est appelée densité de flux Euler dans la direction µ. L’inconnue du système (1.48) est (t, x) 7→ q(t, x) ∈ Rd+2.
En l’absence de source de chaleur, le vecteur des sources volumiques s’écrit
S = (0, fv,u · fv)T, (1.49)
où XT désigne la transposée du vecteur X, supposé être un vecteur colonne.
En dimension d = 3, les flux Euler dans les directions x, y et z de la base canonique s’écrivent
fx(q) = ρux ρu2x+ p ρuxuy ρuxuz ux(ρE + p) , fy(q) = ρuy ρuxuy ρu2y+ p uyuz uy(ρE + p) , fz(q) = ρuz ρuxuz ρuyuz ρu2z+ p uz(ρE + p) . (1.50)
Dans le système de notations de l’équation (1.48), on a fx = f1, fy = f2 et fz = f3. Chacun des vecteurs f(q)µ, pour 1 ≤ µ ≤ 3, s’interprète comme un flux de quantité q dans la direction x, y ou z. Soit n = (n1, n2, n3) ∈ R3, le flux fn est défini par
fn(q) = X 1≤µ≤d nµfµ(q) . (1.51) De ce fait, on a fn(q) = ρu · n ρ(u · n)u + pn ρu · n(E +pρ) . (1.52)
1.6.2 Forme quasi-linéaire
L’équation (1.48) est la formulation conservative des équations d’Euler exprimées en variable q. Ce système peut aussi s’écrire dans une forme équivalente dite quasi-linéaire en développant le terme de divergence de manière à faire apparaître le gradient de q. Le système d’Euler sous forme quasi-linéaire s’écrit :
∂tq +
X 1≤µ≤d
Jµ(q)∂µq = 0 , (1.53)
où les matrices Jµ,∀µ ∈J1, dK sont définies de la manière qui suit.
Définition 1.1. On appelle matrice jacobienne dans la direction µ la matrice Jµ(q) ∈ Md+2(R)
et définie par Jµ(q)p1p2 = ∂fµ(q)p1 ∂qp2 , ∀(p1, p2) ∈J1, d + 2K2. (1.54) On appelle jacobienne des flux Euler dans la direction n ∈ Rd la matrice Jn(q) ∈ M
d+2(R) définie par Jn(q)p 1p2 = ∂fn(q)p1 ∂qp2 , ∀(p1, p2) ∈J1, d + 2K2. (1.55)
Il résulte de la relation (1.51) que pour toute direction n ∈ Rd
Jn(q) = X 1≤µ≤d nµJµ(q) . (1.56) On a alors Jn(q) = 0 nx ny nz 0
−(u · n)ux+ nx∂ρp u · n + nx(ux+ ∂ρuxp) nyux+ nx∂ρuyp nzux+ nx∂ρuzp nx∂ρEp −(u · n)uy+ ny∂ρp nxuy+ ny∂ρuxp u · n + ny(uy+ ∂ρuyp) nzuy+ ny∂ρuzp ny∂ρEp −(u · n)uz+ nz∂ρp nxuz+ nz∂ρuxp nyuz+ nz∂ρuyp u · n + nz(uz+ ∂ρuzp) nz∂ρEp
∂ρ(ρu · n(E +pρ)) ∂ρux(ρu · n(E +
p
ρ)) ∂ρuy(ρu · n(E +
p
ρ)) ∂ρuz(ρu · n(E +
p
ρ)) ∂ρE(ρu · n(E +pρ))
(1.57) qui a la structure par bloc :
Jn =
0 nT 0
(−u · n)u + ∂ρpn (u · nId+ u ⊗ nT+ ∇ρup) ∂ρEpn ∇q(ρ · u(E +pρ)) (1.58) 1.6.3 Variables physiques
Le système des équations d’Euler est parfois formulé en variables physiques (ou primitives). On appelle variables physiques le vecteur U :
U = p u T .
1.6. LES ÉQUATIONS D’EULER La forme primitive des équations d’Euler est
∂tU +
X 1≤µ≤d
∂µ˜fµ(U) = ˜S(U) , (1.59)
où U 7→ ˜fµ(U) est le flux Euler exprimé en variables physiques et ˜S(U) est le vecteur des sources volumiques exprimé en variables physiques.
1.6.4 Hyperbolicité des équations d’Euler
On rappelle la définition suivante pour un système de la forme (1.48) avec S(q) = 0.
Définition 1.6.1. Un système de lois de conservation (1.48) est hyperbolique si pour tout n ∈ Rd
et tout q ∈ Rd+2, la matrice
Jn(q) = X
1≤µ≤d
nµJµ(q) (1.60)
est diagonalisable à valeurs propres réelles.
On a la proposition suivante.
Proposition 1.6.2. Le système des équations d’Euler est un système hyperbolique. La jacobienne
des flux Jn(q) a trois valeurs propres réelles : u·n, d’ordre de multiplicité algébrique d, u·n+cknk
et u · n − cknk d’ordre de multiplicité 1.
Cette proposition peut être démontrée par deux méthodes. La première consiste en un calcul direct, effectué dans la section 4.2. La seconde méthode utilise la proposition suivante.
Proposition 1.6.3. Il existe un système de variables q 7→ ˆq(q) ∈ Rd+2tel que la matrice Ao(ˆq) = Dˆqq soit symétrique définie positive et tel que la matrice Aµ(ˆq) = Dˆqfµ(ˆq) soit symétrique. Corollaire 1.6.4. Le système des équations d’Euler est hyperbolique.
En effet, on a la démonstration suivante. Démonstration. Le système (1.53) se réécrit
Ao(ˆq)∂tˆq + X 1≤µ≤d Aµ(ˆq)∂µˆq = 0 (1.61) avec Aµ(ˆq) = Jµ(q(ˆq))Ao(ˆq), 1 ≤ µ ≤ d . (1.62) Soit n ∈ Rd, par symétrie de Aµ(ˆq) et puisque Ao(ˆq) est symétrique définie positive, il existe une base de vecteurs propres (Rα)1≤α≤d+2 et λα ∈ R tels que
X 1≤µ≤d nµAµ(ˆq)Rα = λαAo(ˆq)Rα (1.63) ce qui équivaut à X 1≤µ≤d nµJµ(q)R0α= λαRα0 (1.64) avec R0 α = AoRα.
Chapitre 2
Description de la chaîne Cedre
Sommaire
2.1 Présentation générale . . . 14 2.2 Modèle géométrique . . . 14 2.3 Le solveur fluide Charme . . . 15
2.3.1 Modèles physiques . . . 15 2.3.2 Discrétisation spatiale . . . 16 2.3.3 Intégration temporelle . . . 21
2.1
Présentation générale
La plateforme Cedre est une chaîne de calculs pour la mécanique des fluides et l’énergétique. De nombreux formats de maillage sont acceptés en entrée de chaîne (Gmsh, Icem, Centaur, Star-Ccm+ etc.) et une interface graphique sous qt permet à l’utilisateur de saisir les données de modèles physiques et méthodes numériques. Des utilitaires supplémentaires permettent de préciser des conditions initiales dépendant de l’espace, ou des conditions aux limites fonction de l’espace et/ou du temps.
Le code Cedre proprement dit fait interagir un ensemble de solveurs consacrés à des sous-systèmes physiques intervenant dans les applications d’énergétique :
• le solveur Charme simule l’écoulement d’un milieu soumis aux équations de l’aérother-mochimie (extension des équations de Naviers-Stokes prenant en compte les réactions chimiques entre plusieurs espèces) ;
• le fluide peut porter une phase dispersée liquide ou solide traitée dans l’approche eulérienne (solveur Spiree) ou suivant le point de vue lagrangien (solveur Sparte) ;
• le solveur Acacia permet de simuler les transferts thermiques dans des parois solides indéformables ;
• les échanges radiatifs sont simulés par suivi de rayons (solveur Astre) ou par une méthode d’ordonnées discrètes (solveur Rea) ;
• le solveur Film applique une approche de Saint-Venant à la simulation de films liquides ruisselant sur les parois.
Diverses possibilité de post-traitement sont offertes en sortie de chaîne : passage par une interface graphique sous qt pour l’exploitation des résultats globaux et l’écriture de fichiers pour les logiciels de visualisation, sorties directes Ensight, écritures sur nuages de points pour certains types de post-traitements (acoustique etc.)
Le code Cedre est adapté au calcul massivement parallèle. La parallélisation s’étend éga-lement aux opérations d’entrée-sortie et à divers prétraitements géométriques (partitionnement dynamique, intersections de maillages, etc.)
2.2
Modèle géométrique
L’espace physique de simulation est représenté par une ou plusieurs zone(s) ou domaine(s)
utilisateur. En général, chacun de ces domaines correspond au résultat d’une séance de maillage
et à une numérotation indépendante pour les diverses entités géométriques (sommets, faces, cellules, faces limites). Pour les besoins du calcul parallèle, chaque domaine est partitionné auto-matiquement (PtScotch, ParMetis) en sous-domaines, mais cette opération est maintenant transparente pour l’utilisateur et ne concerne pas le modèle géométrique proprement dit.
Chaque domaine utilisateur est constitué de cellules polyédriques quelconques. Plus précisé-ment,
• chaque cellule est limitée par un nombre quelconque de faces comme dans l’exemple en 2 dimensions de la figure 2.1. Inversement, chaque face met en communication deux cellules exactement, y compris aux frontières où le maillage est complété par des cellules limites qui serviront de supports à des degrés de liberté indépendants,
• chaque face repose sur un nombre quelconque de sommets. Le contour polygonal (en général non plan dans une configuration géométrique en 3 dimensions) de chaque face est constitué de segments de droites reliant les sommets, ce qui définit complètement le vecteur surface. Par convention, chaque face est constituée d’une triangulation reposant sur les arêtes du
2.3. LE SOLVEUR FLUIDE CHARME
α β
Fig. 2.1 Maillage de polyèdres quelconques : cellule α ayant 6 faces au contact
d’une cellule β à 4 faces. La triangulation unique depuis les barycentres est en pointillé.
contour et sur un point commun. En général, il est commode de définir ce point commun comme centre de gravité de la triangulation car cette définition implicite a une solution unique. On représente la triangulation des cellules α et β en pointillé sur la figure 2.1. Chaque cellule est ainsi complètement définie et on peut calculer toutes ses propriétés géométriques (volume et centre de gravité de chaque cellule, vecteur surface et centre de gravité de chaque face
etc.). Les données de maillages sont les positions de sommets et les connectivités définissant • la liste des sommets du contour de chaque face,
• la liste des faces de chaque cellule, • le nom affecté à chaque face limite.
Ce maillage peut être mobile et/ou déformable (fonctionnalité Ale) : la connaissance de la position de chaque sommet en fonction du temps permet de calculer à chaque instant les données géométriques et cinématiques (vitesses moyennes de faces, volumes balayés pendant un intervalle de temps donné etc.). La position des sommets en fonction du temps peut être imposée ou calculée (cas d’un maillage lié rigidement à un solide soumis à un torseur dynamique issu du fluide).
Le code permet maintenant des remaniements topologiques au cours du calcul, ce qui signifie que la liste des sommets, faces et cellules et les connectivités associées peuvent évoluer au cours d’un calcul. La première application opérationnelle de cette généralisation est de permettre d’intersecter dynamiquement des maillages en éliminant les parties cachées.
2.3
Le solveur fluide Charme
2.3.1 Modèles physiques
Ce solveur est dédié aux simulations numériques fondées sur les équations de bilan de l’aéro-thermochimie. Par rapport à la turbulence, divers niveaux de modélisation sont possibles (pas de modèles, modèles adaptés à la simulation des grandes échelles, modèles de type Rans). Le jeu de variable des quantités conservées q, étendu aux équations de l’aérothermochimie, décrivant l’état du système en tout point et à chaque instant est
• masses volumiques des espèces chimiques du mélange fluide (nesp quantités),
vecto-rielle),
• énergie volumique du mélange (1 quantité),
• scalaires par unité de volume supplémentaires représentant par exemple certaines grandeurs turbulentes dans l’approche Rans (nsca quantités).
A chacune de ces nq = 4 + nesp + nsca variables correspond une équation de bilan, et le système qui en résulte permet de déterminer l’évolution du système en fonction de l’espace et du temps. En pratique, l’état du système sera souvent rapporté dans le jeux de variables primitives U constitué de la pression p, de la vitesse u, de la température T , des fractions massiques y = (y1, . . . , ynesp) des espèces (y1 + · · · + ynesp = 1) et des scalaires par unité de masse z = (z1, . . . , znsca). On considérera ici que les deux systèmes sont en relation biunivoque, c’est-à-dire que l’on a les changements de variable
q = qU(U), U = Uq(q) . (2.1)
Les bilans de masses prennent en compte les sources des masses générées par les réactions chimiques entre espèces ; dans le cas particulier nesp = 1, il reste une seule équation de masse et le système s’identifie aux équations de Navier-Stokes rappelées dans le chapitre 1. Les bilans de quantité de mouvement et d’énergie incluent les effets des forces de volume comme la pesanteur, ce qui donne accès en particulier à des situations de convection naturelle ou mixte. D’autres types de sources modélisent des phénomènes plus spécifiques (pénalisation pour des milieux poreux etc.). De nombreux types de conditions aux limites incluant des options de non-réflexion donnent accès à des modélisations généralistes ou liées à des applications spécifiques (propulseurs etc.).
Une particularité importante du modèle fluide est de permettre la prise en compte de lois d’état quelconques. Les variables d’état indépendantes étant par exemple la pression p, la température
T et les fractions massiques y = (y1, . . . , ynesp), toute variable dépendante f est une fonction de ce système de variables, f = f(p, T, y). Diverses options sont disponibles pour les propriétés des espèces et du mélange : gaz parfait à chaleur massique constante ou variable, gaz réel simulant par exemple un mélange en équilibre chimique, liquide compressible, etc. Toutes les fonctions thermodynamiques utiles (densité du mélange, énergie interne, enthalpie, entropie, etc.) sont prises en charge par la bibliothèque Thermolib, qui fournit en outre les propriétés de transport. Cette bibliothèque est par ailleurs appelée par tous les autres éléments de la chaîne Cedre utilisant la thermodynamique du fluide.
La plupart des modèles sont déclinables par domaine utilisateur, dans la limite cependant de la convertibilité entre modèles aux frontières entre domaines.
2.3.2 Discrétisation spatiale
La discrétisation spatiale constitue une étape strictement séparée de l’intégration temporelle, suivant la méthodologie connue sous le nom de méthode des lignes. On trouvera dans [14] des explications complètes sur la plupart des sujets abordés dans cette section.
Formulation volumes finis
Le point de départ pour l’approche volumes finis est constitué des équations de bilan pour les quantités conservées q(x, t) écrites sur un volume de contrôle quelconque V de frontière A de normale extérieure n, que l’on supposera ici indéformable et fixe dans le référentiel du calcul. Si on note f la densité de flux non dissipative (contribution "Euler"), ϕ la densité de flux dissipative (contribution "Navier-Stokes") et s les sources par unité de volume, le système d’équations de
2.3. LE SOLVEUR FLUIDE CHARME l’aérothermochimie s’écrit d dt Z V q dV = − Z A(f + ϕ) · n dA + Z V sdV . (2.2)
Dans le cadre des modèles utilisés, les différentes contributions sont en général de la forme f = f(U), ϕ= ϕ(U, ∇U) avec ϕ(U, 0) = 0, s= s(U, ∇U) . (2.3) Lorsque nesp = 1 et nsca = 0, la densité de flux dissipative f · n coïncide avec la définition du flux Euler fn(q) donnée en (1.52).
Chaque cellule α constitue un volume de contrôle sur lequel on applique le bilan (2.2). On désignera par vα le voisinage par les faces de la cellule α, défini comme l’ensemble des cellules β partageant au moins une face avec α. Les grandeurs indicées αβ sont relatives aux faces, c’est-à-dire aux couples formés par une cellule α et une de ses voisines β ∈ vα. Le signeRαβ par exemple désigne l’intégrale sur les faces communes aux cellules α et β. Introduisons des notations pour le volume de la maille α et le vecteur surface de l’interface αβ
Vα= Z αdV, Aαβ = Z αβn dA, Aαβ = kAαβk, nαβ = Aαβ Aαβ , (2.4)
et pour les différentes moyennes volumiques et surfaciques apparaissant dans les bilans sur Vα
qα= 1 Vα Z Vα q dV, sα= 1 Vα Z Vα sdV , (2.5) fn(αβ)= 1 Aαβ Z Aαβ f · n dA, ϕn(αβ)= 1 Aαβ Z Aαβ ϕ· n dA . (2.6)
Dans ce chapitre, pour simplifier les écritures, on note les vecteurs des moyennes et aux interfaces avec une graisse normale. Avec ces notations, le bilan (2.2) sur la cellule α s’écrit
Vαdqdtα = −
X
β∈vα
(fn(αβ)+ ϕn(αβ)) Aαβ + Vα sα. (2.7) En pratique, un seul des deux couples fn(αβ), ϕn(αβ) ou fn(βα), ϕn(βα) est calculé sur chaque interface, le deuxième couple étant opposé au premier. On obtient donc automatiquement les conditions
fn(αβ)+ fn(βα)= 0 et ϕn(αβ)+ ϕn(βα)= 0, (2.8)
qui expriment la conservativité de la méthode : en sommant les équations (2.7) sur un ensemble C de cellules, les flux sur les interfaces internes s’annulent deux à deux, de sorte que l’intégrale de q dans C varie uniquement sous l’effet des sources internes et des flux aux limites. Au-delà de cette caractéristique structurelle, les propriétés de la méthode (précision, stabilité, robustesse) seront véritablement définies par l’ensemble des hypothèses permettant d’évaluer les densités de flux
fn(αβ), ϕn(αβ) et la source sα à partir des moyennes de mailles qα, qui constituent les variables indépendantes du calcul.
Reconstruction
Un élément essentiel pour la précision et la stabilité de la méthode est la reconstruction, qui définit un modèle de variation spatiale pour les variables d’état à un instant donné dans chaque volume de contrôle α. La reconstruction peut se faire dans l’un ou l’autre des systèmes U ou
q, ou plus généralement dans un troisième système équivalent. On désignera par w le système effectivement utilisé pour la reconstruction, sans préjuger du choix précis fait à ce niveau :
q = qU(U) = qw(w), U = Uq(q) = Uw(w), w = wq(q) = wU(U) . (2.9)
On définit pour chaque cellule α un point représentatif xα qu’il est commode de situer au centre de gravité
xα= 1
Vα
Z
αx dV (2.10)
et une représentation approchée polynômiale de degré k (en pratique actuellement k = 1, 2 ou 3) de la solution wα(x) = wα(xα) + Rα(x) , (2.11) avec Rα(x) = k X j=1 Pαj, (2.12) où Pj
α est un polynôme homogène de degré j en (x −xα). La reconstruction (2.11, 2.12) obéit à la contrainte de reproduire exactement tout polynôme de degré k, ce qui implique qu’elle représente une fonction quelconque à un O(hk+1) près, où h est une échelle représentative de la taille de la maille.
Le premier terme P1
α s’exprime simplement à l’aide d’une approximation σαdu gradient moyen de maille,
Pα1(x) = σα· (x − xα). (2.13)
Plus généralement, Pj
αcontient des approximations des djdérivées j−ièmes de chaque composante de la fonction w (on a d1= 3, d2= 6, d3= 10), qui peuvent être évaluées par moindres carrés ou
par des méthodes de type Green à partir d’un voisinage de la cellule α. La précision visée et le type de maillage influent fortement sur la taille de ce voisinage, qui doit donc obéir à des règles simples et applicables à toutes les configurations. Dans Charme, on a choisi d’utiliser uniquement le premier voisinage par les faces vα, qui est exactement celui qui intervient dans la construction des bilans (2.7). Ainsi, on peut évaluer le gradient moyen de maille σα intervenant dans la partie linéaire de la reconstruction (relation 2.13) par une méthode de moindres carrés utilisant comme données les valeurs dans la cellule courante et son premier voisinage vα. Cette évaluation est en général seulement consistante (c’est-à-dire exacte pour une fonction linéaire), et l’application de la même méthode aux gradients du voisinage ne donne pas (sauf symétries particulières du maillage) une approximation consistante de la dérivée seconde. Cependant, la thèse [14] démontre qu’il est possible de corriger la valeur obtenue pour rendre cette approximation consistante, et plus généralement d’obtenir des dérivées k−ièmes consistantes et des dérivées l−ièmes exactes à l’ordre
k−l+1 près nécessaires pour une reconstruction (2.11) exacte à l’ordre k+1 près. L’algorithme de reconstruction est ainsi un processus itératif fini dont chaque étape fait intervenir le seul premier voisinage. Le nombre minimal d’étapes est k pour une reconstruction polynomiale de degré k : ce nombre d’étapes est suffisant lorsque vα contient suffisamment de cellules, mais [14] montre qu’il peut être nécessaire pour des raisons de stabilité de généraliser légèrement l’algorithme en impliquant un niveau de voisinage supplémentaire sur les cellules présentant un voisinage pauvre (tétraèdres).
En calcul parallèle, le recours au seul voisinage par les faces permet de maîtriser complètement les échanges entre partitions (taille des interfaces et volume de données échangées par mpi) et de standardiser la bibliothèque d’échange autour d’un seul modèle de relation entre partitions.
2.3. LE SOLVEUR FLUIDE CHARME Interpolation aux faces et limitations
La reconstruction (2.11) (2.12) appliquée aux deux cellules α et β donne deux évaluations
wαβ = wα(xα) + Rα(xαβ) et wβα = wβ(xβ) + Rβ(xαβ) de l’état en chaque point xαβ de l’interface commune (voir figure 2.2). Pour un champ mal résolu sur le maillage, ces deux valeurs peuvent sortir nettement de l’intervalle [wα(xα), wβ(xβ)] (perte de monotonie), ce qui peut conduire à une mauvaise évaluation des flux non dissipatifs fn(αβ)et fn(βα)= −fn(αβ). Dans ce cas, on remplace donc wαβ et wβα par des valeurs dites "limitées". Pour la cellule α par exemple, on calculeraweαβ par e wαβ = wα(xα) +Reαβ (2.14) avec e Rαβ Lαβ = φ Rα(xαβ) Lαβ ! . (2.15)
Dans (2.15), Lαβ est une valeur de référence pour la reconstruction Rαβ égale à la valeur qui serait adoptée pour une fonction linéaire de x et φ est une fonction de limitation telle que φ ≤ 1 et égale à l’unité pour une fonction linéaire, φ(1) = 1. Le changement de variables (2.9) permet de revenir aux variables "naturelles"ueαβ, ueβα. On peut également définir une moyenne centrée
uαβ des deux interpolations par uαβ = 12(ueαβ+ueβα).
La reconstruction (2.11) (2.12) repose sur la connaissance des dérivées d’ordres 1 à k dans les cellules α et β, ce qui permet d’approcher le gradient σαβ nécessaire pour l’évaluation des flux diffusifs [27].
wα
wβ
wβα
wαβ
Fig. 2.2 Cellule α au contact d’une cellule β. Une évaluation des quantités aux
points xαβ de l’interface est obtenue grâce à la fonction de reconstruction. Quadratures surfaciques et volumiques
Les flux fn(αβ) Aαβ et ϕn(αβ) Aαβ des bilans (2.7) sont des intégrales de surface (voir (2.5)) que l’on évalue par quadratures de Gauss. Il suffit donc de calculer la densités de flux fn(αβ) et
ϕn(αβ) en un ensemble de points de Gauss dont le nombre et la position dépendent de la valeur
de k et de la géométrie de la face. Pour une reconstruction linéaire k = 1, l’unique point de Gauss nécessaire s’identifie au centre de gravité de la face.
La reconstruction (2.11)(2.12) permet d’évaluer les intégrales de volume qα et σα des bilans (2.7) par quadratures de Gauss sur la cellule. En raison de la non linéarité du changement de
variable (2.9) et de la reconstruction (2.11)(2.12), le lien entre valeurs ponctuelles des variables reconstruites et moyennes de mailles n’est pas direct,
qα6= qw(wα(xα)) . (2.16)
Il est cependant toujours possible à l’ordre k + 1 près d’expliciter les relations entre moyennes et valeurs ponctuelles et d’utiliser les moyennes qα comme variables indépendantes de base.
Flux numériques
Les valeurs aux points de Gauss des densités de flux non dissipatifs sont données par des formules de flux numériques consistantes avec les flux exacts,
fn(αβ)= fn(ueα,ueβ), avec fn(u, u) = f(u) · n . (2.17) Diverses variantes de flux numériques (roe et variantes, hll, hllc, famille ausm etc.) sont disponibles ; la variante hllc bas mach est particulièrement utile dans la limite incompressible. Ces flux sont explicités en détail dans la section 6.3.
La densité de flux dissipatif en chaque point de Gauss s’évalue par application directe de la deuxième relation (2.3) aux variables d’état interpolées aux faces,
ϕn(αβ)= ϕ(uαβ, σαβ) · nαβ. (2.18) Remarques finales sur la discrétisation spatiale
Les méthodes développées dans cette section permettent en pratique d’obtenir des solutions précises à l’ordre k + 1, la précision dépendant de la reconstruction, des limitations et des qua-dratures. La formule pour le flux numérique non dissipatif n’a pas d’effet sur la précision au sens propre, mais peut conditionner le bon comportement qualitatif de la solution suivant le domaine physique abordé.
La discrétisation spatiale fournit un système d’équations différentielles ordinaires dQ
dt = F(Q) + S(Q) , (2.19)
où Q est un vecteur constitué des moyennes qα pour l’ensemble des cellules du domaine. En plus des bilans sur les cellules internes précédemment décrits, (2.19) contient également des équations pour les degrés de liberté dans les cellules limites du domaine. Au second membre de (2.19), on a séparé les contributions F des flux et S des sources ; la connaissance de la somme F + S suffit dans le cas des méthodes d’intégration temporelle explicites, mais les méthodes implicites ou semi-implicites exigent également des approximations des jacobiennes,
b
J = ∂Fb
∂Q, Kc= ∂Sb
∂Q. (2.20)
En pratique, la reconstruction d’ordre élevé conduit à une forme extrêmement complexe pour la jacobienne exacte ∂F
∂Q : c’est la raison pour laquelle (2.20) la remplace par une approximationJb
correspondant en pratique au schéma sans reconstruction k = 0. De la même manière, on peut en général se contenter d’une approximation Kcde la jacobienne des sources.
2.3. LE SOLVEUR FLUIDE CHARME
2.3.3 Intégration temporelle
Cette partie décrit les méthodes disponibles pour intégrer en temps le système (2.19). Le pas de temps courant permet de passer d’une approximation Qn de la solution à l’instant tn à une approximation Qn+1 à l’instant tn+1= tn+ ∆t. On notera
Fn,F(Qn) , Sn, S(Qn) , δQ , Q
n+1− Qn
∆t . (2.21)
Méthodes explicites
Des méthodes de Runge-Kutta de 2 à 6 étapes sont disponibles pour l’intégration temporelle de (2.19). Ces méthodes classiques dans la littérature n’appellent pas de commentaire particulier (voir [23] pour une introduction). Le pas de temps sera alors réglé sur les plus petites échelles
temporelles (temps convectifs et acoustiques ou liés aux sources). Méthodes semi-implicites Asirk
Dans certains cas, les temps caractéristiques convectifs et acoustiques sont beaucoup plus grands que les échelles temporelles liées aux sources. S’il n’est pas nécessaire de résoudre finement ces dernières, il peut être intéressant d’utiliser une méthode implicitant uniquement les sources avec un pas de temps réglé sur les temps convectifs et acoustiques. La famille de schémas Additive
Semi-Implicit Runge-Kutta[25] (ASIRK) répond à cette demande. Méthodes implicites
Il peut arriver également que l’on s’intéresse uniquement aux échelles de temps convectives lorsque ces dernières sont beaucoup plus grandes que les temps acoustiques ; cette situation se produit à faible nombre de Mach lorsqu’on ne s’attend pas à des effets acoustiques significatifs.
Des méthodes implicites sont disponibles pour traiter cette situation. La plus simple et la moins précise est le θ−schéma linéarisé, qui s’écrit pour (2.19)
h
I− θ∆t(Jbn+Kcn)iδQ = Fn+ Sn. (2.22)
Des méthodes plus précises dites Rki2 et Rki3 [3] combinent plusieurs étapes de forme analogue à (2.22), et peuvent être considérées comme des variantes de méthodes de Rosenbrock (voir les travaux de Butcher[4] et Hairer et Wanner[17] sur ce sujet) . Les méthodes définies dans [3] présentent également la particularité d’introduire une correction au second membre pour contrebalancer l’approximation des matrices jacobiennes.
Le système (2.22) (ou les sytèmes analogues pour les autres méthodes implicites linéarisées) ne peut être résolu par des méthodes directes pour des raisons d’occupation mémoire et de temps de calcul. Des méthodes itératives de Krylov pour systèmes non symétriques ont été proposées pour le code Cedre [35]. Parmi ces méthodes, gmres présente de nombreuses propriétés favorables : convergence monotone (le résidu ne peut pas augmenter d’une itération à la suivante), réduction rapide au cours des itérations des composantes à haute fréquence du résidu [35], efficacité en matière de temps de calcul (un seul produit matrice × vecteur par itération). La méthode est maintenant entièrement parallélisée, ce qui signifie qu’elle donne la même solution pour un calcul partitionné parallèle et pour un calcul séquentiel sur le même maillage non partitionné. Cette propriété est très importante pour les applications bas Mach comme on le verra dans le chapitre 3.
Chapitre 3
Convection naturelle : constats et
problèmes
Sommaire
3.1 Introduction . . . 24 3.2 Solution analytique de type tourbillon . . . 24
3.2.1 Tourbillon statique . . . 24 3.2.2 Tourbillon en translation uniforme . . . 27
3.3 Propagation numérique d’un tourbillon en régime bas Mach . . . 28
3.3.1 Manifestation du problème bas Mach . . . 29 3.3.2 Influence des paramètres numériques . . . 30 3.3.3 Observations sur l’intégration temporelle implicite . . . 36 3.3.4 Observations sur l’intégration explicite du flux hllc bas mach . . . . 38
