GEOMETRIE NON COMMUTATIVE
by
KHELILI FARID
A Dissertation Submitted to the Faculty of the
Graduate Interdisciplinary Program
in Applied Mathematics
In Partial Ful…llment of the Requirements For the Degree of
Doctor of Philosophy
In the Graduate College
The University of Arizona
Table des matières
Chapitre 1. Introduction . . . 5
Chapitre 2. RELATIVITE GENERALE . . . 8
2.1. Introduction . . . 8
2.2. Formulation classique de la relativité générale . . . 8
2.2.1. Le principe d’équivalence . . . 8
2.2.2. Principe de covariance . . . 9
2.2.3. Connexion et courbure . . . 9
2.2.4. Equations des champs gravitationnels . . . 11
2.2.5. Action d’Hilbert-Einstein . . . 12
2.3. Formulation moderne de la relativité générale . . . 12
2.3.1. Théories de jauges . . . 12
2.3.2. Relativité générale et théories de jauges . . . 14
2.3.3. Action d’Hilbert-Einstein . . . 18
Chapitre 3. Théories De jauge Sur Un Espace Non Commutatif . . . . 19
3.1. Espace non commutatif . . . 19
3.2. Le produit de Moyal-Weyl . . . 20
3.3. Transformations de jauge non commutatives . . . 21
3.4. Transformations de Seiberg-Witten . . . 24
3.5. Théorie de jauge non abélienne SU (2)L U (1)Y sur un espace non commutatif 25 Chapitre 4. Théories de jauge "Left-Right" sur un Espace Non Com-mutatif . . . 29
4.1. Introduction . . . 29
4.2. L’opération de symétrisation de Weyl . . . 29
4.3. Théories de jauge non commutatives "Left" . . . 30
4.3.1. Transformations de jauge non commutatives "Left" . . . 30
4.3.2. Dérivée covariante non commutative . . . 31
4.3.3. Le tenseur de courbure non commutatif . . . 32
4.3.4. Transformations de Seiberg-Witten . . . 33
4.3.5. Action de Yang-Mills non commutative . . . 34
4.4. Théories de jauge non commutatives "Right" . . . 35
4.4.1. Transformations de jauge non commutatives "Right" . . . 35
4.4.2. Dérivée covariante non commutative . . . 36
4.4.3. Le tenseur de courbure non commutatif . . . 36
4.4.4. Transformations de Seiberg-Witten . . . 37
4.5. Théorie électrofaible SU (2)L SU (2)R U (1)Ynon commutative . . . 37
4.6. Courants électrofaibles . . . 39
Chapitre 5. Quantification Dynamique des Champs de Yang-Mills sur un Espace Non Commutatif . . . 42
5.1. Introduction . . . 42
5.2. Transfomations de jauge non commutatives . . . 43
5.4. d=2 Yang-Mills action . . . 46
5.5. d=4 Yang-Mills action . . . 47
5.6. Gravité non commutative . . . 49
Chapitre 6. Solution de Schwarzchild sur un Espace non Commutatif 50 6.1. Introduction . . . 50
6.2. Métrique de Schwarzchild . . . 50
6.3. Métrique de Schwarzchild non commutative . . . 52
6.3.1. Tenseur de Ricci non commutatif . . . 52
6.3.2. Equations d’Einstein non commutatives . . . 53
6.3.3. Solutions . . . 54
6.4. Métrique de Schwarzchild sur un espace non commutatif courbe . . . 56
6.5. Potentiel de Newton sur un espace non commutatif . . . 58
Chapitre 7. Géométrie De Friedmann-Robertson-Walker sur un Es-pace Non Commutatif. . . 62
7.1. Champ de gravitation non statique isotrope . . . 62
7.2. Métrique Robertson-Walker . . . 63
7.3. Dynamique cosmologique . . . 64
7.4. Modèles cosmologiques . . . 67
7.4.1. modèle elliptique : k = 1; 0 > crit: , q0 > 12 . . . 67
7.4.2. modèle de De Sitter Einstein : k = 0; 0 = crit:; q0 = 12 . . . 67
7.4.3. modèle hyperbolique : k = 1; 0 < crit:, q0 < 12 . . . 68
7.5. Solutions particulières des équations de Friedmann . . . 68
7.5.1. Univers plat (‡at universe) . . . 68
7.5.2. ère de matière ( matter dominated era ) . . . 69
7.5.3. ère de radiation ( radiation dominated era ) . . . 69
7.5.4. In‡ation . . . 69
7.6. Extensions du modèle standard cosmologique . . . 69
7.7. Métrique de Robertson-Walker sur un espace non commutatif . . . 70
7.7.1. Tenseur métrique : . . . 70
7.7.2. la connexion non commutative : . . . 70
7.7.3. Tenseur de Ricci non commutatif . . . 71
7.7.4. Equations d’Einstein non commutatives : . . . 72
7.7.5. Equations de Friedmann non commutatives : . . . 73
7.7.6. Modèles de Friedmann non commutatifs : . . . 74
7.8. Dynamique cosmologique non commutative . . . 78
Chapitre 8. Gravité Induite par Le produit de Moyal-Weyl Déformé sur un Espace Non Commutatif . . . 81
8.1. Le produit de Moyal-Weyl . . . 81
8.2. Le produit de Moyal-Weyl déformé . . . 82
8.3. Dérivation formelle de l’algèbre non commutative . . . 85
8.4. Action Noncommutative . . . 85
8.5. d=2 Gravité (Gravité couplée à un champ scalaire) . . . 86
8.6. d=2 Gravité générée par un champ scalaire . . . 88
8.7. d=4 Gravity . . . 88
Chapitre 9. La Gravitation Non-Symétrique Couplée à un Champ
Sca-laire . . . 91
9.1. Structure géométrique de la gravitation non-symétrique . . . 91
9.2. Reformulation de la N.G.T . . . 93
9.2.1. Espace des formes di¤érentielles : . . . 93
9.2.2. La courbure RAB . . . . 95
9.2.3. La Torsion TA. . . . 96
9.2.4. L’action I . . . 97
Chapitre 10. Gravitation Non-Symétrique et les groupes Discrets . . 102
10.1. Introduction . . . 102
10.2. La connexion de Spin Généralisée ab . . . 102
10.3. Le Produit Généralisé . . . 103 10.4. L’opérateur Di¤érentiel . . . 104 10.5. La Métrique . . . 104 10.6. La Courbure Rab . . . 104 10.7. La Torsion TA . . . 105 10.8. L’action I . . . 106 Chapitre 11. Conclusion . . . 109
Annexe A. Action Non Commutative . . . 111
A.1. Action . . . 111
A.2. Le Tenseur de courbure . . . 112
Annexe B. Reformulation de la Gravité dans le Cadre de la N.C.G . 114 B.1. Géométrie Riemannienne non commutative . . . 114
B.2. Action d’Hilbert-Einstein non commutative . . . 116
Annexe C. Terme Cosmologique et Trace Généralisée . . . 121
C.1. Le Tenseur de Courbure RAB . . . 121 C.2. La Torsion TA . . . 121 C.3. Le Terme Cosmologique . . . 122 C.4. La condition T rkTa= 0 . . . 123 C.5. La condition d’unitarité . . . 124 C.6. La trace généralisée . . . 124
Annexe D. Condition de Torsion Nulle . . . 125
Chapitre 1
Introduction
La relativité générale et la mécanique quantique sont les deux piliers de la physique moderne, chacune a son domaine d’application et ses prédictions, d’une part la relativité générale en elle même est une merveilleuse construction intellectuelle par sa beauté ex-trême, sa simplicité, son succé à expliquer les phénomènes physiques gravitationnels en termes de notions purement géométriques, en relativité générale l’espace temps est une variété quadridimenionnelle dont la courbure est donnée par la distribution de la matière et qui peut être altérer par le mouvement d’objects massifs ce qui fait que la géométrie est un object dynamique [1][2][3][4], d’autre part la mécanique quantique décrit le monde phy-sique à l’échelle atomique et subatomique en utilisant un langage mathématique purement algébrique très di¤érent de celui utilisé en relativité générale[5]; la mécanique quantique et en particulier la théorie quantique des champs suppose la donnée à priori d’un espace temps (Minkowskien) dans lequel évoluent les champs de matières[6] ; l’uni…cation de la mécanique quantique et la théorie de la relativité restreinte à aboutit à la construction de la théorie quantique des champs, et les théories de jauge modernes [7][8][9][10][11][12] qui ont permet d’uni…er les trois interactions fondamentales faible, forte et électromagnétique dans le cadre du modèle standard en se basant sur un principe de symétrie " the gauge principle" [11][7][17][18] ; en utilisant ce même principe on peut reformuler la relativité générale comme une théorie de jauge non abélienne ce qui permet d’uni…er la gravita-tion avec les autres interacgravita-tions fondamentales[19][20][21][22][23] ; mais le problème avec l’interaction gravitationnelle c’est qu’elle est non renormalisable en tant que théorie des champs, donc incompatible avec la mécanique quantique ; mais à l’échelle de Planck on ne peut plus ignorer les e¤ets de la gravitation et il faut donc une théorie quantique de la gravitation[79].
L’étude de la structure de l’espace-temps à l’échelle de Planck, où les e¤ets de la gravité quantiques sont non négligeables, est un des principaux dé…s de la physique fondamentale. La réconciliation de la relativité générale et la mécanique quantique demande un change-ment radicale des concepts mathématiques de la relativité générale, et par suite changer les concepts de la géométrie classique où la notion d’espace temps sera une structure se-condaire qui dérive d’une théorie quantique plus fondamentale qui traite l’espace le temps, et la matière sur même pied d’égalité, la combinaison de la relativité générale et la mé-canique quantique suggère que l’espace-temps ne peut pas être une variété di¤érentielle ordinaire[79]
Donc à l’échelle de Planck (très petites distances ou très hautes énergies), il faut aban-donner la notion d’un espace temps ayant une structure lisse, et de la remplacer par une notion plus générale et plus adéquate pour la description des phénomènes physiques aussi bien à l’échelle macroscopique qu’à l’échelle microscopique de Planck [79].
Une telle généralisation de la géométrie classique à été proposée par A.Connes [69] [70] [71] dans sa géométrie non commutative et qui consiste à traiter les aspects géomé-triques de l’espace temps en terme de notions algébriques, la géométrie non commuta-tive en généralisant les concepts de la géométrie classique de manière compatible avec la relativité générale et la mécanique quantique propose des outils mathématiques qui per-mettent de comprendre la géométrie à l’echelle de Plank[6]. Cette généralisation a permet de donner une interprétation géométrique aux champs de Higgs comme des connexions
sur un espace discret, de dériver le modèle standard de Weinberg-Salam des interactions électrofaibles[80], la géométrie non commutative permet aussi de décrire des théories avec brisure spontanée de symétrie. De même la relativité générale a été reformulé dans le cadre de la géométrie non commutative par Chamsseddine[81][81], en considérant un espace-temps qui est le produit d’une variété à 4 dimensions par un espace discret à deux points, et en généralisant la notion d’espace cotangent au cas de la géométrie non commuta-tive ont pu dériver les équations de structure de Cartan généralisées, de dériver l’action d’Hilbert-Einstein décrivant un champ gravitationnel couplé avec un champ scalaire.
Récemment une autre approche a été proposé par Witten et qui consiste à rempla-cer l’espace-temps ordinaire par un espace non commutatif, cette notion de coordonnées non commutatives a émergé de la théorie des cordes, et la théorie des D-brane, en pré-sence d’un B-champs antisymétrique, ces théories aboutissent à des théories e¤ectives non commutatives des champs[24][25][26][27][28][30].
Le besoin d’introduire lés coordonnées non commutatives a son origine depuis la nais-sance de la mécanique quantique et la théorie quantique des champs, malgré les prédictions extraordinaires de l’électrodynamique quantique (prédiction des interactions électromagné-tiques électron photon avec une précision de l’ordre de 10 8, le moment magnétique de l’électron,...etc.)[24][25], ces théories malgré leurs grand succé à décrire le monde atomique et subatomique présentent des di¢ cultés intrinsèques qui surviennent à très hautes énergies ou à très courtes distances[24].
Pour se débarrasser des divergences qui apparaissent dans ces théories, Heisenberg a proposé d’introduire la notion de coordonnées non commutatives compatibles aux relations d’incertitudes pour fournir un cut-o¤ naturel, cela a pour conséquence la modi…cation de la structure de l’espace-temps à très courtes distances.
Pour les plus grandes distances nous savons que la physique est très bien décrite, dans le cadre de la géométrie di¤érentielle classique[33][34][35], avec les coordonnées commu-tatives ; d’une part les interactions fondamentales, électromagnétiques, faibles, et fortes, (qui décrivent avec un très grand succé le monde des particules élémentaires ), sont très bien décrites dans le cadre de la théorie quantique des champs et les théories de jauge modernes[36][37][38], d’autre part l’interaction gravitationnelle (qui décrit les phénomènes physiques gravitationnelles à l’échelle cosmologique) est aussi très bien décrite dans le cadre de la relativité générale [1].
La formulation mathématique de ces théories classiques se base sur le fait que l’espace-temps possède une structure lisse modélisé par un espace-l’espace-temps à 4 dimensions (espace de Minkowski, espace de Riemann, superspace,...etc.)[39][40], ceci est apparemment vraie à l’échelle macroscopique observable, mais non à l’échelle microscopique où les grandes di¢ cultées apparaissent (divergence en QFT, champs de Higgs dans le modèle standard, singularités en relativité générale,...etc.).
En mécanique quantique l’espace de phase est dé…ni en remplaçant les variables et les moments canoniques xi; pj par des opérateurs hermitiques qui obéissent aux règles
de commutations cononiques [xi; pj] = i ij [5], de même sur un espace non commutatif
les coordonnées d’espace temps ordinaire x sont remplacées par des coordonnées non commutatives bx obeissant aux règles de commutations [bx ; bx ] = i , où sont des paramètres réels antisymétriques[24][25]. Sur un espace non commutatif la construction des théories de jauge se fait de la même manière qu’en théorie de jauge sur un espace ordinaire, il su¢ t de remplacer les champs classiques par les champs non commutatifs, le produit ordinaire commutatif par le produit de Moyal-Weyl non commtatif dé…ni par[24][25]
(f g) (x) =he2i mn @ @xm @ @ynf (x) g (y) i y!x
La di¤érence entre théories de jauge sur un espace commutatif et les théories de jauge sur un espace non commutatif provient de la non commutativité du produit de Moyal-Weyl, cette non commutativité se re‡ète sur les propriétés algébriques de l’espace non commutatif[24][25].
Sur un espace commutatif l’algèbre de Lie du groupe des transformations de jauge locales est fermée dans le sens où le commutateur de deux transformations de jauge locales est une transformation de jauge locale [7][8][9]
[ ; ] (x) = a(x) b(x) [Ta; Tb] (x)
[ ; ] (x) = iCabc a(x) b(x) Tc (x) = (x)
où [ ; ] = avec = i [ ; ] est dans l’algèbre de Lie G du groupe de
jauge locale G.
Avec le produit de Moyal-Weyl le commutateur de deux transformations de jauge locales n’est plus une transformation jauge locale, [ ; ]n’est pas un élément de l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G mais un élément de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie G,[24][25]. et par suite les paramètres des transformations in…nitésimales b sont des éléments de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie G, les paramètres de transformations in…nitésimales b dépendent donc d’une in…nité de paramètres réels, a; (1)ab, (2)abc,...etc, en e¤et tous ces paramètres ne sont pas indépendants mais dépendent du paramètre a
et du potentiel de jauge ordinaire A à travers les transformations de Seiberg-Witten " the Seiberg-Witten maps", le nombre de degrés de liberté est donc …ni et le même comme dans la théorie de jauge commutative correspondante[24][25], ces tansformations de Seiberg-Witten permettent d’exprimer les champs de matière et les potentiels de jauge non commutatifs en terme des champs de matière et les potentiels de jauge classiques[24][25]. Une formulation des théories de jauge noncommutatives dans l’algèbre enveloppante a été proposée dans [24][25], en utilisant ce formalisme wess et all ont permet de construire le modèle standard,...etc.
Le problème principal dans la reformulation d’une théorie de la gravité sur un espace non commutatif [28][31] c’est que c’est di¢ cile de rendre e¤ectif des symétries telles que l’invariance sous le groupe des transformations des coordonnées générales et l’invariance de Lorentz locale. L’invariance sous les transformations des coordonnées générales, est violée explicitement par l’algèbre canonique de l’espace non commutatif. La gravitation sur un espace non commutatif a été construite dans[28], en considérant une classe restreinte des transformations des coordonnées qui conservent la structure canonique, qui correspondent aux di¤eomorphismes qui présevent le volume (volume-preserving) . L’invariance de Lo-rentz est traité comme toute transformation de jauge avec le champ de la connexion de spin est pris dans l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lorentz so(3; 1); la théorie qui en résulte est l’extension unimodulaire de la théorie de la gravitation.
Chapitre 2
RELATIVITE GENERALE
2.1
Introduction
L’incompatibilité de la théorie de Newton de la gravitation et la théorie de la relativité restreinte a conduit Einstein à élaboré une théorie relativiste des interactions gravitation-nelles qui est la théorie de la relativité générale [1][2][3][4]
La relativité générale représente l’une des pierres angulaires de la physique classique et moderne, d’une part elle permet d’étudier et de comprendre les phénomènes physiques à l’échelle astrophysiques et cosmologiques (mouvement des planètes, trous noirs, évolution d’ univers, galaxies...etc.)[41], d’étudier les propriétés géométriques de l’espace temps et les propriètés physiques de la matière d’une manière uni…e, d’autre part la relativité gé-nérale en se basant dans sa formulation sur un principe de symétrie qui est le principe de covariance des lois physiques vis-à-vis des transformations des coordonnées générales (tous les systèmes de références sont équivalents) a ouvert la porte pour la formulation moderne des théories physiques en termes de théories de jauges[17][18].
2.2
Formulation classique de la relativité générale
2.2.1 Le principe d’équivalence
Le principe d’équivalence est à a base de la théorie de relativité générale[1][2][3][4], il se repose sur le fait expérimentale qui est l’égalité des masses gravitationnelles et inertielles. Le principe d’équivalence postule qu’il est possible en chaque point d’espace temps, dans un champ gravitationnel, de choisir un système de coordonnés local inertiel tel que les lois de la nature au voisinage de ce point soient déterminées par le principe de relativité restreinte.
Le principe de relativité restreinte postule que tous les systèmes inertiels sont complè-tements équivalents vis-à-vis des lois physiques de la nature, ce qui se traduit mathémati-quement par le fait que les équations fondamentales de la physique doivent être covariantes sous le groupe des transformations de Lorentz[42]
xa! x0a = abxb (2.1)
Le principe de relativité générale qui est à la base de la théorie de relativité générale postule qu tous les systèmes de références inertiels et non inertiels sont complètements équivalents vis-à-vis des lois physiques de la nature, ce qui se traduit mathématiquement par le fait que les équations fondamentales de la physique doivent être covariantes sous le groupe des transformations des coordonnées générales[1]
x ! x0 (x) (2.2)
Selon Einstein les forces qui apparaissent dans un système de référence non inertiel doivent être traiter sur même pied d’égalité que les autres forces réelles de la nature, ce sont des forces dûent aux champs gravitationnels non permanent crées par les masses lointaines (galaxie... etc.) en accélération par rapport au système de référence considéré[3][4]. En
outre la géométrie dans un système de référence non inertiel est donnée par une forme quadratique générale[3][4] :
ds2 = g (x) dx dx (2.3)
où les g (x) sont des fonctions des coordonnées d’espace temps et qui déterminent complètement les propriétés de la géométrie dans chaque système de coordonnées curvi-lignes.
Le principe d’équivalence établi donc l’équivalence des champs gravitationnels non permanents et les champs gravitationnels permanents produits par les corps massifs ; ceci nous permet donc de conclure que les champs gravitationnels permanents produits par les corps massifs sont aussi complètement caractérisés par un tenseur métrique symétrique g (x) et que l’espace temps en présence des champs gravitationnels n’est plus un espace Minkowskien mais a une structure de variété Riemannienne, un espace courbe avec une géométrie Riemannienne dont les géodésiques sont les trajectoires des particules libres. 2.2.2 Principe de covariance
Le principe d’équivalence se traduit mathématiquement par le fait que les équations fon-damentales de la physique doivent être covariantes sous le groupe des transformations des coordonnées générales x ! x0 (x), ces équations doivent être écrites en termes de champs
fondamentaux (tenseurs)qui se transforment suivants des représentations du groupe des transformations de coordonnées générales qui est le groupe linéaire GL (4; R) ; par dé…ni-tion un champ scalaire (x)est un invariant du groupe 0(x0) = (x), un champ vectoriel
contravariant se transforme suivant la représentation fondamentale[1][2][3] A0 (x0) = @x
0
@x A (x) (2.4)
En général un champ tensoriel contravariant se transforme comme un produit de champs vectoriels contravariants
T0 :::(x0) = @x 0 @x @x0 @x :::T :::(x) (2.5)
L’élément d’univers ds2 = g (x) dx dx est un scalaire si le tenseur métrique se
trans-forme comme
g0 (x0) = @x @x0
@x
@x0 g (x) (2.6)
En utilisant la métrique on dé…ni d’autres tenseurs dits covariants avec la loi de trans-formation T0 :::(x0) = @x @x0 @x @x0 :::T :::(x) (2.7) 2.2.3 Connexion et courbure
En générale les équations de mouvement des diverses champs de matières sont déri-vables du principe variationnel de moindre action à partir d’une action invariante sous le groupe de symétrie de la théorie[7][43], cette action est donnée par l’intégrale d’une densité Lagrangienne scalaire L (x) qui dépend des champs et de leurs dérivées ; à partir des champs tensoriels on peut construire des scalaires, mais comme la dérivée d’un champ
tensoriel ne se transforme pas comme un tenseur, alors la densité Lagrangienne L (x) ne peut être invariante.
Pour construire une densité Lagrangienne scalaire invariante L (x) qui dépend des champs et de leurs dérivées il faut dé…nir une dérivée covariante qui se transforme comme un tenseur, pour cela on introduit la notion de connexion = dx et dé…nir la dérivée covariante d’un champ vectoriel par[1][2][3]
D A = A; = @ A + A (2.8)
D A = @ A A (2.9)
où sont les symboles de Christo¤el qui se transforment comme[1][2][3]
0 (x0) = @x @x0 @x @x0 @x0 @x (x) @x @x0 @x @x0 @2x0 @x @x @x (2.10)
On dé…ni d’une manière analogue la dérivée covariante d’un champ tensoriel.
De la relation A = g A on trouve la condition de métricité "the metric postulat" [1][2][3] :
D g = @ g g g = 0 (2.11)
cette condition permet donc de déterminer en fonction de g et ses dérivées @ g = 1 2g @g @x + @g @x @g @x (2.12)
Le tenseur de courbure R est donné par[1][2][3] :
[D ; D ] A = R A (2.13)
Un cacul directe du commutateur donne[1][2][3] :
R = @ @ + (2.14)
Le tenseur de Ricci est donné par[1][2][3] :
R = R = R = @ @ + (2.15)
La courbure scalaire est dé…nie par R = g R :
Le tenseur de Riemann satisfait aux identités de Bianchi[1][2][3] :
R ; + R ; + R ; = 0 (2.16)
par contraction des indices on obtient la condition[1][2][3] :
R 1
2g R ; = G ; = 0 (2.17)
2.2.4 Equations des champs gravitationnels
Les équations des champs de gravitation peuvent être obtenues, en utilisant le principe d’équivalence, à partir des équations des champs gravitationnels faibles qui se réduisent aux équations de Newton [44][45][2].
Les équations de mouvements d’une particule libre sont données par les équations aux géodésiques d2x d 2 + dx d dx d = 0 (2.18)
qui pour des champs faibles se réduisent à la forme[1][2][3]
r2g00 = 8 GT00 (2.19)
avec T00= est la densité d’énergie
Le principe d’équivalence nous permet donc d’écrire les équations des champs gravita-tionnels quelconques sous la forme covariante suivante[1][2][3]
G = 8 GT (2.20)
où T est le tenseur d’énergie impulsion de la matière et G est un tenseur qui est combinaison linéaire du tenseur métrique g et ses dérivées premieres et secondes, mais le seul tenseur ayant ces propriètés est le tenseur de Riemann, donc G prend la forme la plus générale suivante[1][2][3] :
G = c1R + c2g R + g (2.21)
de la conservation du tenseur d’énergie impulsion et la limite Newtonienne G se réduit à la forme suivante :
G = R 1
2g R + g = 8 GT (2.22)
en d’autre terme[46][47]
R = 8 GS + g (2.23)
avec S = T 12g T , et T = T :
Ce sont les équations d’Einstein en présence de matière avec une constante cosmolo-gique , en absence de terme cosmologique les équations d’Einstein prennent la forme [1] [2] [3]
R = 8 GS (2.24)
S = T 1
2g T (2.25)
Les équations d’Einstein relient donc les propriétés géométriques de l’espace temps données par le tenseur de Ricci (R ) aux propriétés physiques de la matière données par le tenseur d’énergie impulsion (T ) en une seule équation.
2.2.5 Action d’Hilbert-Einstein
Les équations des champs gravitationnels couplés avec la matière peuvent être dériver à partir du principe variationnel en variant l’action par rapport aux champs dynamiques. Une action invariante par rapport au groupe des transformations des coordonnées générales est donnée par l’action d’Hilbert-Einstein[46][1][3] :
IH:E =
1 16 G
Z
d4xpgg R (2.26)
où G est la constante gravitationnelle et g = jdet (g )j
L’interaction de la matière avec la gravitation est donnée par l’action[46][1][3] : IM =
Z
d4xpgL (x) (2.27)
La variation deIM par rapport à g prend la forme[46][1][3]
IM =
Z
d4xpgT g (2.28)
où T est le tenseur d’énergie impulsion de la matière, le tenseur d’énergie impulsion T est le courant de Noether associe à l’invariace de l’action par rapport au groupe de symétrie GL (4; R) et qui est donc conservé.
La variation de l’actionI = IH:E+IM par rapport à g donne les équations d’Einstein
en présence de matière [46][1][3]
G = R 1
2g R = 8 GT (2.29)
En utilisant les identitées de Bianchi on voit que le tenseur d’énergie impulsion T est conservé dans le sens
T ; = 0 (2.30)
en outre le tenseur d’énergie impulsion est symétrique par dé…nition même de T .
2.3
Formulation moderne de la relativité générale
2.3.1 Théories de jauges
La formulation moderne des théories physiques en termes des théories de jauge se base sur le principe de symétrie, qui détermine la dynamique ainsi que l’interaction de la matière avec les bosons de jauge porteurs de l’interaction[7][8][9][10][11][12].
Ces théories de jauges sont à la base des théories d’uni…cations des interactions fon-damentales électromagnétiques, faibles et fortes qui sont bien décrites dans le cadre du modèle standard de Weinberg-Salam[48][7][37].
En théories de jauge les champs de matières sont représentés par des champs locaux complexes l(x) qui se transforment suivant les représentations (irréductibles) unitaires
de dimensions …nies d’un groupe de Lie G [49][7][50][51], qui est le groupe de symétrie de la théorie, dit groupe de jauge local, les bosons de jauge responsable de l’interaction sont représentés par des Champs locaux réels Aa(x) et qui se transforment suivant la représentation adjointe du groupe de Lie G.[38][7][37]
La dynamique des champs de matières est complètement déterminée par une den-sité Lagrangienne L ( , @ ) invariante sous les transformations globales du groupe de symétrie G[38][7][9]
l(x)! 0l(x) = exp (iK) l(x) (2.31)
avec K = KaT
a , où les Ka sont des paramètres réels constants, et fTag , a = 1:::N,
sont les générateurs du groupe de Lie G satisfaisants aux lois de commutations
[Ta; Tb] = iCabcTc , (Ta)+= Ta (2.32)
Cabc sont les constantes de structures du groupe de Lie G.
L’idée des théories de jauge c’est de rendre cette symétrie globale en une symétrie locale, donc les champs de matières se transforment indépendamments en chaque point d’espace temps, la loi de transformation des champs l(x)devient donc :
l(x)! 0l(x) = exp (iK (x)) l(x) (2.33)
où les paramètres Ka= Ka(x) sont des fonctions des coordonnées d’espace temps.
Sous les transformations de jauge locales la dérivée @ l ne se transforme pas comme
le champ l, et par suite la densité LagrangienneL ( , @ ) n’est plus invariante, pour
restaurer l’invariance on doit dé…nir une dérivée covariante D l ayant la même loi de
transformation que les champs l[38][7][9]
D l! (D l)0 = exp (iK (x))D l (2.34)
D ! (D )0 = exp (iK (x))D exp ( iK (x)) (2.35)
Alors toute densité LagrangienneL ( , D ) formée à partir des Champs locaux l
et leurs dérivées covariantes D l est loclement invariante si elle est invariante pour les
transformations globales avec des paramètres constants Ka.
Une dérivée covariante peut être dé…nie en introduisant une connexion A (x) = Aa(x) T
a , dite boson de jauge ou potentiel de jauge, qui est un élément de l’algèbre
de Lie G du groupe de Lie G [38][7][9] :
D = @ iAa(x) Ta (2.36)
La dérivée covariate D se transforme suivant la loi (2:35) si la connexion A (x) se transforme comme :
A (x) ! A0 (x) = @ K (x) + exp (iK (x))A (x) exp ( iK (x)) (2.37) La dérivée covariante des Champs locaux l est donnée par[38][7][9] :
D l= @ l iAa(x) (ta)lm m (2.38)
où ftag sont des matrices donnants une représentation du groupe de Lie G.
Sous une transformation in…nitésimale de paramètre f$ag, les champs se transforment suivant la loi :
l(x) = i$a(x) (ta)lm m(x) (2.39)
D l(x) = i$a(x) (ta)lmD m(x) (2.40)
où $ (x) = $a(x) T a
A (x) = i [$ (x) ,A (x)] + @ $ (x) = D $ (x) (2.42)
Aa (x) = @ $a(x) iAc (x) tAc ab$b(x) =D $a(x) (2.43)
où tA
a est un ensemble de matrices donnant la représentation adjointe du groupe de
Lie G , avec [38][7][10]
tAa bc = iCabc (2.44)
Le tenseur de courbure F est donné par :[38][7][10]
iF = [D ; D ] (2.45)
ou en terme des connexions :
F =Fa Ta = @ A @ A i [A ; A ] (2.46)
avec
Fa = @ Aa @ Aa + CabcAb ;Ac (2.47)
Par sa dé…nition même le tenseur de courbure F se transforme d’une manière cova-riante suivant la représentation adjointe :
F = i [$ (x),F ] (2.48)
Fa = i$c(x) tAc abFb (2.49)
Une action invariante sous le groupe de jauge locale (qui est renormalisabble et in-variante sous le groupe de Poincaré), décrivant la dynamique des champs de matières en interactions avec les champs de Yang Mills est donnée par[38][7][8] :
IM = Z d4xLM( , D ) 1 2g2T r Z d4xF F (2.50)
où g est la constante de couplage(charge), T r est la trace normalisée telle que T rTaTa = 1
2 ab
LM( , D ) la densité Lagrangienne de matiére couplée avec les champs de
Yang-Mills, pour des champs de Dirac de spin 12 en interactions avec les bosons de jauge du groupe SU (2) , LM( , D ) a la forme [38][7][9]
LM( , D ) = i D m (2.51)
avec D = @ iAa(x) a
2 , f g les matrices de Dirac, et
a
2 les
matrices de Pauli.
2.3.2 Relativité générale et théories de jauges
La relativité générale se base aussi sur un principe de symétrie qui est l’invariance sous le groupe des transformations des coordonnées générales, où l’interaction de la matière avec les champs de gravitation est obtenue par le principe de couplage minimale, en gé-nérale les équations de mouvements d’un système en absence des champs gravitationnels sont déterminées par le principe de relativité restreinte (covariance des lois physiques sous le groupe des transformations de Lorentz), et en appliquant le principe d’équivalence on
obtient les équations de mouvements du système en présence des champs gravitationnels, pour cela il su¢ t de remplacer les tenseurs Lorentzien Tabc:::par des tenseurs Riemannien (covariants sous le groupe des transformations des coordonnées générales) T ::: , les
dé-rivées ordinaires @ par des dédé-rivées covariantes sous le groupe des transformations des coordonnées générales D = @ , et la métrique de Minkowski par la métrique de Riemann g , alors ce couplage minimale assure la covariance de équations de mouve-ments (et l’invariance de l’action correspondante) sous le groupe des transformations des coordonnées générales[1].
Le problème avec ce couplage minimale c’est qu’il est valide seulement pour les champs tensoriels de spin entier mais non pour les autres champs de spin demi entier tels que les champs de Dirac qui se transforment suivant les représentations spinoriels du groupe de Lorentz (le groupe d’invariance de la relativité générale GL (4; R), n’admet pas de représentations spinoriels).
Pour décrire l’interaction des champs de matière de spin quelconque avec les champs de gravitations il y a un autre formalisme plus adéquat qui est le formalisme des veilbeins (tétrades) où le groupe d’invariance locale est le groupe de Poincaré locale ISO(3; 1) [22][20][21][19][23][52][31]. On impose donc à la théorie d’être invariante sous le groupes des transformations de Lorentz locales SO(3; 1) ainsi que le groupe des translations locales. Dans ce formalisme la relativité générale peut être reformuler comme toute les théories de jauge locales non abéliennes, où les champs de gravitations joueront le rôle de bosons de jauge associes aux générateurs du groupe d’invariance locales ISO(3; 1):
Par analogie aux théories de jauge classiques, la loi de transformation des champs de matières, sous une transformation in…nitésimale du groupe de jauge, est donnée par [22][20][21] :
l(x) = i [K (x) ; l(x)] (2.52)
où K (x) est le paramètre de transformation in…nitéimale, un élément de l’algèbre de Lie ISO(3; 1) du groupe de Lie ISO(3; 1), paramètrisé par [22][20][21] :
K (x) = P + 1
2
ab
Jab (2.53)
où = (x), et ab = ba = ab(x), sont des paramètres locales réels de l’algèbre de Lie ISO(3; 1):
P = i @ , et Jab = Jba sont les générateurs du groupe de Lie ISO(3; 1), avec P =
i @ sont les générateurs des translations et Jab sont les générateurs des transformations
de Lorentz locales SO(3; 1) satisfaisants aux lois de commutations : [22][20][21]
[P ; P ] = 0 (2.54) Jab; Jcd = i ::[c [a ::d] b] (2.55)
Sous une transformation in…nitésimale du groupe de Lorentz SO(3; 1) , xa
! xa+ a ::bxb
, les champs de matières l se transforment suivants des représentations du groupe de
Lorentz SO(3; 1) [22][20][21][7] l(x) = i 2 ab (x) [Jab; l(x)] = i 2 ab (x) (Lab)lm m(x) (2.56)
où Lab est un ensemble de matrices donnant une représetatation du groupe de Lorentz
représentation scalaire : (x) = 0 , Lab = 0 représentation vectorielle : va= a::bvb , (Lab) ::d c = i c[a ::d b]
représentation spinorielle( spin 12) : = 12 ab( ab)
où Lab = 4i [ a; b] = i ab
De même sous le groupe des translations x ! x + , les Champs locaux se trans-forment comme [22][20][21] :
l(x) = i [K (x) ; l(x)] = @ l(x) (2.57)
Pour assurer l’invariance locale il nous faut donc introduire des conexions a pour
chaque générateur P et Jab a(x) = ha@ + i 2! cd aJcd (2.58)
une dérivée covariante est dé…nie par [22][20][21] :
Da = @a+ a = @a+ ha@ + i 2! cd aJcd (2.59) Da = ea@ + i 2! cd aJcd = eaD (2.60) D = @ + i 2! cdJ cd= eaDa (2.61)
où ea et !ab sont les connexions associées aux générateurs P et J
ab , ea est dit veilbein
et !ab est dite connexion de spin (e
a est l’inverse du veilbein ea , eaea = , eaeb = a b)
La dérivée covariante D l est donée pour chaque type de champ par [7][22][20] :
D l= @ l+ i 2! ab [Jab; l] = @ l i 2! ab (x) (Lab)lm m(x) (2.62)
D (x) = @ (x) , pour un champ scalaire (spin=0)
D va(x) = @ va+ !::::bavb , pour un champ vectoriel (spin=1)
D = @ 12!ab(x) (
ab) , pour un champ de Dirac (spin=12).
En exigeant que la dérivée covariante D l (ou Da l = eaDa l) doit se transformer
comme les champs l
l(x) = i [K (x) ; l(x)] , D l = i [K (x) ;D l] (2.63)
on trouve la loi de transformation des veilbeins ea et les connexions de spin !ab
[52][22][20]
ea = @ ea+ @ ea+ a::beb (2.64)
!ab = @ !ab+ @ !ab+ ::ca !cb+ b::c!ac+ @ ab (2.65) Les champs ayants des indices mixtes, locales l; m; n:::; a; b; c; :::etc. et des indices cur-vilignes ; ; ; :::etc. tels que ea , la métrique g , les spineurs de Majorna ...etc.,
ils se transforment sous le groupe de Lorentz SO(3; 1) comme des scalaires par rapport aux indices curvilignes, et comme des tenseurs par rapport aux indices locales l; m; n:::; a; b; c; :::etc. Sous le groupe des translations ils se transforment suivant la représentation adjointe : v = [ ; v], où = @ et v = v @ , d’où la loi de transformation [52][22][20] :
v = @ v (@ ) v (2.66)
v = @ v + @ v (2.67)
En particulier la métrique g = abeaeb se transforme sous le groupe de Lorentz
SO(3; 1) comme un scalaire et comme un tenseur sous le groupe des translations locales :
g = @ g + @ g + @ g (2.68)
Le tenseur de courbure est dé…ni par [52][22][20] : [D ; D ] = i 2R abJ ab (2.69) où D = @ +2i! abJ ab
un calcul directe donne[52][22][20]
Rab = @ !ab @ !ab+ !ac!bc !ac!bc (2.70) Les identités de Jacobi D[ ;D ; D ] = 0 donnent les identités de Bianchi pour Rab
[52][22][20]
D[ Rab] = 0 (2.71)
Comme D se transforme d’une manière covariante il en est de même pour le tenseur de courbure Rab:
La dérivée covariante pour les champs ayants des indices mixtes, locales l; m; n:::; a; b; c; :::etc. et des indices curvilignes ; ; ; :::etc. est dé…nie par [22][20] :
r v = eaD va= @ v v (2.72)
où va= eav et = eaD ea = eaD ea
de cette dé…nition on voit que le veilbein satisfait à la condition “ the veibein postulat” [22][20]
r ea = @ ea !abeb ea = 0 (2.73)
Pour un tenseur mixte l la dérivée covariante est dé…nie par[22][20] :
r l = @ l l
i 2!
ab(
Lab)lm m (x) (2.74)
Si on dé…ni ; = g on trouve la condition “ the metric postulat”[22][20] :
@ g = ; + ; (2.75)
qui exprime le fait que la dérivée covariante de la métrique g est nulle[22][20] :
2.3.3 Action d’Hilbert-Einstein
En théories de jauge une action invariante sous le groupe de jauge est donnée par l’intégrale
Z d4x
L ( , D )d’une densité Lagrangienne invariante sous le groupe de jauge L ( , D ), et qui est construite à partir des Champs locaux et leurs dérivées covariantes, en relativité générale on ne peut pas construire une densité Lagrangienne invariante sous le groupe de Poincarré[22][20][21], en e¤et L est un scalaire qui se transforme donc comme L = @ L , et par suite l’action n’est plus invariante, pour résoudre ce problème on utilise le fait que det ea = e se transforme comme une dérivée totale e=@ e ce qui donne
(eL) =@ eL et par conséquent une action invariante sous le groupe de jauge est
donnée par[22][20][21] Z
d4xeL ( , r ) (2.77)
avec e = det ea , et
L ( , r ) est une densité scalaire sous le groupe de Lorentz SO(3; 1), construite à partir des Champs locaux l et leurs dérivées covariantes r l :
Une action invariante sous le groupe des translations locales et le groupe de Lorentz locale SO(3; 1), pour les champs de gravitations en abscence de matière est donnée par[22][20][21] : IH:E = 1 16 G Z d4xeR (e; $) = 1 16 G Z d4xeeaebRab ($) (2.78) où R (e; $) = eaRa = ea Ra , et Ra(e; $) = ebRab ($)
Les équations des champs sont obtenues en variant indépendamment ea et !ab [22] [20]
[21] IH:E ea = 0 ) Ra (e; $) 1 2 e a R (e; $) = 0 (2.79) IH:E !ab = 0 ) e[aeb]S :::: + e[aD eb] = 0 (2.80) où S:::: = = e aD[ ea] , et S = $ + $ avec = ea @[ ea]
l’éq(2:80) nous permet de déterminer $ en fonction de ea, la solution est donnée
par [22][20][21] :
$ = 1
2 [ ] (2.81)
(e) = ea @[ ea] (2.82)
en utilisant cette expression de $ en fonction de ea dans l’éq(2:79) on obtient les équations d’Einstein dans le vide [22][20][21] :
Ra (e) 1 2 e a R (e) = 0 (2.83) R (g) 1 2 g R (g) = 0 (2.84)
Chapitre 3
Théories De jauge Sur Un Espace Non Commutatif
3.1
Espace non commutatif
L’espace non commutatif est dé…ni en terme d’un ensemble de générateursbxm, dits
co-ordonnées non commutatives satisfaisant aux relations de commutations, notée R[24][25] :
[bxm;bxn] = i mn , mn = nm 2 C (3.1)
Soit Axl’algèbre des polynômes formels des coordonnées non commutativesbxm modulo
les relations de commutations R :
Ax = C bx1;bx2; :::;bxN R (3.2)
Les éléments de cette algèbre Ax sont dits champs non commutatifs
(bx) = bx1;bx2; :::;bxN 2 Ax (3.3)
Par analogie aux théories de jauge ordinaires on dé…ni de même les transformations de jauge in…nitésimales par [24][25][26][27] :
(bx) = i (bx) (bx) , (bx) 2 Ax , (bx) 2 Ax (3.4)
Un champ (bx) qui se transformation suivant cette loi est dit covariant.
Les coordonnéesbxmsont invariants sous l’action de ces transformations de jauge bxm =
0:
Le champ (bx) bxm est donc covariant, a la même loi de transformation que le champ
(bx) lui même, mais à cause des relations de commutations(3:1) ; le champ bxm (bx) n’est pas covariant :
[bxm (bx)] = bxm [i (bx) (bx)] 6= i (bx) [bxm (bx)] (3.5) Pour avoir des champs covariants on doit, comme en théories de jauge ordinaires, introduire des connexions (potentiels de jauge) Am(bx) 2 Ax pour dé…nir des coordonnées
covariantes bXm =bxm+
Am(bx) , tels que le champ bXm (bx) se transforme d’une manière
covariante[24][25] :
h b
Xm (bx)i= i (bx) hXbm (bx)i (3.6)
ceci est possible si bXm se transforme comme : b
Xm = ih (bx) ; bXmi (3.7)
le potentiel de jauge Am(bx) se transforme donc comme[24][25] :
Am(bx) = i [ (bx) ; Am(bx)] i [bxm; (bx)] (3.8) A partir des potentiels de jauge Am(bx) on dé…ni le tenseur de courbure Fmn(bx) par :
Fmn(bx) =hXbm; bXni i mn (3.9) en terme des potentiels de jauge Am(bx), le tenseur de courbure Fmn(bx) a la forme :
Fmn(bx) = [bxm;An(bx)] [bxn;Am(bx)] + [Am(bx) ; An(bx)] (3.10) Fmn(bx) se transforme d’une manière covariante :
Fmn(bx) = i [ (bx) ; Fmn(bx)] (3.11)
3.2
Le produit de Moyal-Weyl
Dans le cadre de la quanti…cation canonique de la mécanique quantique Hermann Weyl a donné une prescription qui permet d’associer des opérateurs à des fonctions classiques des variables canoniques. La même procédure peut être utiliser pour associer à chaque élément f (bx) de l’algèbre Ax une fonction des variables classiques x1; x2; :::; xN .
Pour chaque fonction f (x), on note ef (q)sa transformé de Fourier
f (x) = 1 (2 )N 2 Z dNqeiqmxmf (q)e (3.12) e f (q) = 1 (2 )N 2 Z dNxeiqmxmf (x) (3.13)
On associe à f un opérateur noté W (f) par[24][25][26][27] :
W (f) = 1
(2 )N 2 Z
dNqeiqmxbmf (q)e (3.14)
Ces opérateurs W (f), W (g) ,...etc. peuvent être multiplies pour donner d’autres opé-rateurs, l’opérateur produit W (f) W (g) est lui même associe à une fonction classique h (x) notée h (x) = (f g) (x)
W (f) W (g) = W (f g) (3.15)
L’opérateur produit W (f) W (g) s’écrit sous la forme :
W (f) W (g) = 1
(2 )N Z
dNqdNpeiqmbxmeipqmxbmf (q)e eg(p) (3.16)
En utilisant la formule de Campbell-Baker-Hausdor¤ [C-B-H] [53] eAeB = eA+B+12[A ; B]+
1
12[[A ; B] ; B] 1
12[[A ; B] ; A]+::: (3.17)
L’opérateur produit W (f) W (g) prend la forme
W (f) W (g) = W (f g) = 1 (2 )N Z dNqdNpei(qm+pm)xbm 2iqmpn mnf (q)e eg(p) W (f g) = W 1 (2 )N Z dNqdNphe2i mn @ @xm @ @yneiqmxm+ipmym i y!x e f (q)eg(p) W (f g) = W h ei2 mn @ @xm @ @ynf (x) g (y) i y!x (3.18)
donc W (f) W (g) = W (f g) avec (f g) (x) est une fonction des variables classiques donnée par [24][25][26][32] : (f g) (x) =he2i mn @ @xm @ @ynf (x) g (y) i y!x (3.19) (f g) (x) = f (x) g (x) + i 2 mn @ @xmf (x) @ @xng (x) + O 2 (3.20) Le produit des fonctions classiques (f g) dé…ni par 3:19 est associatif mais non commutatif, dit produit de Moyal-Weyl.
3.3
Transformations de jauge non commutatives
En utilisant le produit de Moyal-Weyl on associe à chaque élément f (bx) de l’algèbre Ax une fonction f (x) des variables classiques x1; x2; :::; xN , bxm ! xm , f (bx) ! f (x), le
produit (f g) (bx) dans l’algèbre Ax, est représenté par le produit de Moyal-Weyl (f g) (x)
dans l’algèbre des fonctions des variables classiques.
Les transformations de jauge des éléments (bx) = W ( (x)) de l’algèbre Ax est
donnée par [24][25][26] :
(bx) = i (bx) (bx) (3.21)
et en utilisant l’opérateur de Weyl on obtient la loi de transformation des champs classiques (x)
W ( (x)) = iW ( (x)) W ( (x)) = W (i (x) (x)) (3.22)
b (x) = i (x) (x) (3.23)
De même on obtient la loi de transformation des potentiels de jauge classiques Am(x)à
partir de la loi de transformation des potentiels de jauge Am(bx) de l’algèbre Ax[24][25][26] :
b Am(x) = i [ (x) ;
Am(x)] i [xm; (x)] (3.24)
le tenseur de courbure Fmn(x)se transforme d’une manière covariante :
b Fmn(x) = i [ (x) ;
Fmn(x)] (3.25)
En utilisant le produit de Moyal-Weyl le commutateur [xm;f (x)] s’écrit, pour mn
constante, sous la forme
[xm;f (x)] = i mn@nf (x) (3.26)
la loi de transformation des potentiels de jauge classiques Am(x)devient donc :
b Am(x) = i [ (x) ;
Am(x)] + mn@n (x) (3.27)
Cette loi de transformation suggère de dé…nir les potentiels de jauge non commutatifs b
Am(x)
par la relation Am(x) = mn b
An(x) ce qui nous donnent la loi de transformation
des potentiels de jauge ordinaires :
b bAm(x) = @m (x) + i [ (x) ;
le tenseur de courbure non commutatif bFmn(x)est dé…ni par
Fmn(x) = i mk mlFbkl(x) (3.29)
avec la loi de transformation
b bFmn(x) = ih (x) ; b
Fmn(x)i (3.30)
en terme des potentiels de jauge bAm(x)
, le tenseur de courbure Fmn(x)a la forme :
b Fmn(x) = @mAbn(x) @nAbm(x) i h b Am(x) ; bAn(x) i (3.31) Le commutateur [f (x) ;g (x)] = f (x) g (x) g (x) f (x) a les mêmes propriètés que le commutateur ordinaire.
La construction de théories de jauge sur un espace non commutatif se fait de la même manière que celle des théories de jauge classiques, les champs de matières sont représen-tés par des Champs locaux complexes bl(x) qui se transforment suivant les
represénta-tions (irréductibles) unitaires de dimensions …nies d’un groupe de Lie G, de générateurs fTag1 a N qui est le groupe de symétrie de la théorie, les bosons de jauge responsable
de l’interaction sont représentés par des Champs locaux réels bA (x), une transformation in…nitésimale des champs de matières non commutatifs bl(x), prend la forme[24][25][26] :
b bl(x) = b (x)lm bm(x) (3.32)
où b (x) est le paramètre des transformations in…nitésimales.
La dérivée covariante des Champs locaux non commutatifs bl(x) est dé…nie comme
dans le cas classique par [24][25][26] : b
D bl = @ bl i Ab lm
bm (3.33)
Par dé…nition bD bl se transforme d’une manière covariante :
b hD bb l(x)i = b (x)lm D bb m(x) (3.34)
ce qui nous donne la loi de de transformation des potentiels de jauge non commutatifs b
A (x) [24][25][26]
b bA (x) = @ b (x) + ihb (x) ; bA (x)i (3.35)
De même le tenseur de courbure non commutatif bF (x) est dé…ni comme en théorie de jauge classique :
b
F (x) = ihD ; bb D i (3.36)
avec la loi e transformation
b bF (x) = ih (x) ; bF (x)i (3.37)
en terme des potentiels de jauge bA , le tenseur de courbure bF a la forme [24][25][26] : b
Une action invariante sous le groupe des transformations de jauge non commutatives in…nitésimales, décrivant la dynamique des champs de matières non commutatifs en inter-actions avec les potentiels de jauge non commutatifs est donnée par[24][25][26] :
IM = Z d4xLM b , bD b 1 2g2T r Z d4x Fb Fb (3.39)
où g est la constante de couplage(charge), T r est la trace normalisée telle que T rTaTa = 1
2 ab:
LM b , bD b la densité Lagrangienne de matiére couplée avec les champs de
Yang-Mills, pour des champs de Dirac de spin 12 en interactions avec les bosons de jauge du groupe , LM b , bD b a la forme
LM b , bD b = b i D bb m b b (3.40)
avec bD b = @ b i Ab b , f g les matrices de Dirac.
La di¤érence entre théories de jauge sur un espace commutatif et les théories de jauge sur un espace non commutatif provient de la non commutativité du produit de Moyal-Weyl, cette non commutativité se re‡ète sur les propriétés algébriques de l’espace non commutatif.
Sur un espace commutatif l’algèbre de Lie du groupe des transformations de jauge locales est fermée dans le sens où le commutateur de deux transformations de jauge locales est une transformation de jauge locale
(x) = i a(x) Ta (x) (3.41)
[ ; ] (x) = a(x) b(x) [Ta; Tb] (x) (3.42)
[ ; ] (x) = iCabc a(x) b(x) Tc (x) = (x) (3.43)
d’où [ ; ] = avec = i [ ; ] est dans l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G.
Avec le produit de Moyal-Weyl le commutateur de deux transformations de jauge locales n’est plus une transformation jauge locale
[ ; ] b (x) =hb;bi b (x) (3.44) [ ; ] b = 1 2 n ba; bbo[T a; Tb] b + 1 2 h ba; bbi fTa; Tbg b (3.45)
donc [ ; ]n’est pas un élément de l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G mais un élément de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie G, et par suite les paramètres des transformations in…nitésimales b sont des éléments de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie G[24][25][26] b (x) = a(x) T a+ (1)ab(x) : TaTb : + (2)abc(x) : TaTbTc : +::: (3.46) où : Ta : = Ta , : TaTb := 12fTa; Tbg , : Ta1Ta2:::Tan := 1 n! X 2Sn Ta (1)Ta (2):::Ta (n)
Les paramètres de transformations in…nitésimales b dépendent donc d’une in…nité de paramètres réels, a; (1)ab, (2)abc,...etc., en e¤et tous ces paramètres ne sont pas indépendants mais dépendent du paramètre a
et du potentiel de jauge ordinaire A à travers les transformations de Seiberg-Witten " the Seiberg-Witten maps" [24][25][26].
3.4
Transformations de Seiberg-Witten
Les paramètres des transformations non commutatives in…nitésimales b = b [A] qui appartiennent à l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie G du groupe de jauge local G, sont entièrement déterminés par les paramètres (x) = a(x) T
a des transformations de
l’algèbre de Lie G et le potentiel de jauge classique Aa(x) T a
b b (x) = b [A] b (x) (3.47)
Pour déterminer la dépendence fonctionnelle de b [A] en fonction de (x) et A (x) on demande que les transformations non commutatives in…nitésimales (3:47) forment une algèbre fermé dans le sens [24][29][27]
h
b ;b i= b , = i [ ; ] (3.48)
qui peut s’écrire sous la forme
ib b [A] ib b [A] +hb [A] ;b [A]i= ib [A] (3.49)
ensuite on développe b [A] suivant les puissances du b [A] = (x) + (1)[
A] + (2)[A] + ::: (3.50)
on remplace (3:50) dans (3:49) on trouve à l’ordre l’équation[24][29][27]
i (1)[A] ib (1)[A] +h ; (1)[A]i ; (1)[A] i (1) [A] = i
2 f@ ; @ g
(3.51) La solution générale de cette contrainte est donnée par[24][29][27] :
(1)[
A] = 14 f@ ; A g (3.52)
d’où à l’ordre , b [A] est donnée par la transformation de Seiberg-Witten " the Seiberg-Witten map"
b [A] = (x) + 14 f@ ; A g + O 2 (3.53)
Les transformations de Seiberg-Witten nous permettent de considérer les autres champs non commutatifs b ; bA ; bF , comme des fonctionnelles des champs ordinaires ;A ; F , pour trouver cette dépendence fonctionnelle on demande que les lois de transformations des champs classiques :
(x) = i (x) (x) , (x) = a(x) Ta (3.54)
A (x) = @ (x) + i [ (x) ;A (x)] (3.55)
iduisent les mêmes lois de transformations sur les champs classiques non commutatifs b , bA , bF :
b b (x) = b [A] b (x) (3.57)
b bA (x) = @ b [A] + ihb [A] ; bA (x)i (3.58)
b bF (x) = ihb [A] ; bF (x)i (3.59)
on développe b ; bA ; bF ; suivant les puissances du
b (x) = (x) + (1)(x) + (2)(x) + ::: (3.60)
b
A (x) = A (x) + A(1)(x) +A(2)(x) + ::: (3.61)
b
F (x) = F (x) + F(1)(x) +F(2)(x) + ::: (3.62)
on remplace(3:60) dans(3:57) on obtient les conditions suivantes [24][29][27] : A(1) = @ (1)+ i (1);A + i ;A(1) 1
2 f@ ; @ A g (3.63)
(1) = i (x) (1)+ i (1) 1
2 @ @ (3.64)
La solution générale est donée par les transformations de Seiberg-Witten [24][27] :
b [A] = (x) + 14 f@ ; A g + O 2 (3.65) b (x) = (x) 1 2 A @ + i 4 A A + O 2 (3.66) b A (x) = A (x) 1 4 fA ; @ A + F g + O 2 (3.67) b F (x) = F (x) +1 2 fF ; F g 1 4 fA ; @ F + D F g + O 2 (3.68)
3.5
Théorie de jauge non abélienne
SU (2)
LU (1)
Ysur un espace
non commutatif
Une théorie de jauge non abélienne non commutative invariante sous le groupe de Lie SU (2)L U (1)Y , peut être construite d’une manière similaire au cas classique [37][38][12][11], comme champs de matières on prend le doublet L =
e Lqui se trans-forme suivant la représentation fondamentale du groupe SU (2)L et le singlet R = eR qui
se transforme suivant la représentation triviale du groupe SU (2)L , où e est le champ de Dirac des éléctrons, est le champ de Dirac des neutrinos, avec eR = 12 (1 5) e ,
eRL = 12(1 + 5) e, et R = 12(1 5) .
La loi de transformation in…nitésimale est donnée par :
avec (x) = a(x) a
2 + (x) Y , où
a
2 son les générateurs du groupe SU (2)L et Y
est le générateur du groupe U (1)Y (l’hypercharge), a , a = 1; 2; 3 , sont les matrices de
Pauli. Les champs de matières L (x) et R (x) se tansforment comme :
L (x) = i a(x) a
2 L (x) + i (x) Y L (x) (3.70)
R (x) = i (x) Y R (x) (3.71)
l’hypercharge des champs de matières L (x) et R (x) est donnée par :
Y L (x) = 1
2 e
L
(3.72)
Y R (x) = R (x) = eR (3.73)
Le potentiel de jauge est donné par :
V (x) = gBa(x) a 2 + g
0
A (x) Y (3.74)
La dérivée covariante des champs de matières L (x) et R (x) est donnée par
D L (x) = @ L (x) iV (x) L (x) (3.75) D L (x) = @ L (x) igBa(x) a 2 L (x) + ig 0A (x) Y L (x) (3.76) D R (x) = @ R (x) iV (x) R (x) (3.77) D R (x) = @ R (x) ig0A (x) Y R (x) = @ R (x) + ig0A (x) R (x) (3.78) Le tenseur de courbure G est donné par :
G = i [D ; D ] = gFa (x) a 2 + g
0f (x) Y (3.79)
ou en terme des connexions :
G = @ V @ V i [V ; V ] (3.80)
F = @ B @ B i [B ; B ] (3.81)
f = @ A @ A (3.82)
Un action invariante sous les transformations du groupe de jauge SU (2)L U (1)Y est donnée par : I = Z d4xLM(L; R, D L; D R) 1 2T r Z d4xF F 1 4 Z d4xf f (3.83)
oùLM est la densité Lagrangienne de matiére couplée avec les champs de Yang-Mills
LM = Li D L + Ri D R (3.84)
La théorie de jauge non commutative s’obtient de la même manière, les champs de matières sont représentés par les champs non commutaifs bL (x), bR (x), bV (x), bG , le
produit ordinaire par le produit de Moyal-Weyl, l’action invariante sous les transformations in…nitésimales non commutatives est donnée par[26] :
IN C = Z d4x bL i D bb L + bR i D bb R 1 2gT r1 Z d4x bG Gb 1 2g0T r2 Z d4x bG Gb où bL (x) , bR (x) , bV (x) , bG , sont relies aux champs de matières classiques L (x) , R (x) , V (x) , G , par les transformations de Seiberg-Witten :
b L (x) = L (x) + L(1)(x) + O 2 (3.85) b R (x) = R (x) + R(1)(x) + O 2 (3.86) b V (x) = V (x) + V(1)(x) + O 2 (3.87) b G (x) = G (x) + G(1)(x) + O 2 (3.88)
avec L(1)(x) , R(1)(x), V(1)(x), et G(1)(x) ; sont donnés par[26] :
L(1)(x) = 1 2 V @ L + i 4 V V L (3.89) R(1)(x) = 1 2 V @ R + i 4 V V R (3.90) V(1)(x) = 1 4 fV ; @ V + G g (3.91) G(1)(x) = 1 2 fG ; G g 1 4 fV ; @ G + D G g (3.92)
T r1 et T r2 sont des traces des groupes SU (2)L et U (1)Y :
la dérivée covariante est donée par[26] :
D G = @ G + i [V ; G (x)] (3.93)
b
D bL = @ bL i bV Lb (3.94)
b
D bR = @ bR i bV Rb (3.95)
Cette action est invariante sous les transformations in…nitésimales non commutatives : b bL (x) = ib (x) L (x)b , b bL (x) = ib (x) L (x)b b bV = @ b + ihb; bV i , b bG = ihb; bG i
où b (x) est le paramètre des transformations in…nitésimales non commutatives qui est fonction du paramètre (x)et du potentiel de jauge classique V (x) [26] :
b (x) = (x) + 1
4 f@ ; V g + O
2 (3.96)
IN C = Z d4xLN C L; bb R, bD bL; bD bR; bV (3.97) avecLN C L; bb R, bD bL; bD bR; bV =L + L(1)+L(1)g où L = Li D L + Ri D R 1 2T r1F F 1 4f f (3.98)
est le Lagrangien classique,
L(1) = 1 4 LG i D L 1 2 Li G D L 1 4 Rf i D R 1 2 Ri f D R
est la contribution à l’action de matière de la non commutativité de l’espace, L(1)g = g T r1F F F
1
2g0T r2f f
(1) (3.99)
est la contribution à l’action de Yang-Mills de la non commutativité de l’espace, en e¤et L(1)g = 0 pour le groupe SU (2)L U (1)Y [26]:
Chapitre 4
Théories de jauge "Left-Right" sur un Espace Non
Commutatif
4.1
Introduction
Le modèle standard donne une description uni…ée des interactions électromgnétiques, faibles et fortes dans le cadre des théories de jauge SU (3)c SU (2)L U (1)Y avec brisure spontanée de symétries. Malgré que ce modèle décrit avec un très grand succès tous les phénomènes concernant les interactions des particules élémentaires aux faibles énergies (de l’ordre de100Gev.), il introduit un très grand nombres de paramètres libres, et il laisse un très grand nombres de questions non résolues telles que la quanti…cation de la charge électrique, le nombre des générations, le choix des représentations des champs de matières, la masse du Higgs, les paramètres des matrices CKM, violation de la parité, et la masse des neutrinos,...etc. Des considérations astrophysiques et cosmologiques telles que le problème des neutrinos solaires, la masse manquante de l’univers, formations des galaxies...etc suggèrent que les neutrinos ont une masse non nulle de l’ordre d’électron-volt.[13][14][15]
Ces problèmes et d’autres tels que l’absence de la gravitation dans ce modèle, le problème hiérarchique, ont suggérés d’autres extensions du modèle standard (théories de grande uni…cation, modèle standard supersymétrique, théories des cordes, Kalusa-Klein...etc.), parmis les extensions minimales du modèle standard, le model left-right qui est basé sur l’invariance locale sous le groupe SU (2)L SU (2)R U (1)B L[13][14][15], reproduit à faibles énergies (100 Gev.) tous les aspects du modèle standard et qui permet d’expliquer d’autres phénomènes qui apparaissent à hautes énergies (1Tev.), tels que la violation de la parité (CP violation) et la masse des neutrinos (oscillations des neutrinos) qui sont résolus dans ce modèle d’une manière uni…és. En e¤et dans ce modèle le Lagran-gien est invariant sous la symétrie de parité à des énergies au delà des énergies de validité du modèle standard et la violation de la parité à basse énergie vient du fait que l’état du vide est non invariant sous cette symétrie de parité (brisure spontanée de symétrie) ceci à pour conséquence que les neutrinos doivent être massifs donc présence d’états left et right en même temps ce qui entraîne le phénomène d’oscillations des neutrinos[13][14][15][16].
4.2
L’opération de symétrisation de Weyl
La construction d’une théorie de jauge sur un espace non commutatif est analogue à la construction d’une théorie de jauge classique invariante sous un groupe de Lie G[7][8][9][10], pour cela il su¢ t de remplacer les champs de matières l(x)et les potentiels de jauge
clas-siques A par les champs de matières bl(x)et les potentiels de jauge bA non commutatifs,
le produit ordinaire commutatif par le produit de Moyal-Weyl non commutatif, en …n les transformations de de Seiberg-Witten permettent d’exprimer les champs de matières et les potentiels de jauge non commutatifs bl(x)et bA en termes des champs de matières et
les potentiels de jauge classiques l(x)et A [24][25][26][27][29]:
Dans le cas non commutatif, la non commutativité du produit de Moyal-Weyl impose une très sévère restrictions sur l’algèbre du groupe de symétrie de la théorie, la théorie
n’est plus invariante sous les transformations de l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G, mais invariante sous les transformations de l’algèbre enveloppante de G.
Le passage de la théorie classique à la théorie non commutative est similaire au passage de la mécanique classique à la mécanique quantique[5], où on se trouve face au problème du choix de l’équivalent quantique d’une grandeur physique classique F (q; p) qui dépend des variables canoniques classiques (q; p) ; classiquement la grandeur F (q; p) = qp2 p2q
est nulle par contre son équivalent quantique F (q;bp) =b bqpb2 pb2qb
6= o est non nulle, pour résoudre ce problème en mécanique quantique on doit symétriser l’expression classique avant de passer à son équivalent quantique, cette symétrisation due à Weyl, " The Weyl ordering ", est donnée pour une grandeur de la forme F (q; p) = F (q) p2 par [36] :
F (q) p2 W = 1
4 F (q) p
2 + 2pF (q) p + p2F (q) (4.1)
En géométrie non commutative on trouve un problème similaire, l’algèbre de Lie des transformations de jauge in…nitésimales n’est pas fermé comme dans le cas classique, pour résoudre ce problème on dé…ni les grandeurs non commutatives telles que, les transforma-tions de jauge, la dérivée covariante, le tenseur de courbure,...etc, à partir des grandeurs classiques par un processus de symétrisation similaire à la symétrisation de Weyl, "The Weyl ordering".
On dé…ni "The Weyl ordering" de la manière suivante : ( )W =f ; g = 1
2( + )
Les transformations de jauge in…nitésimales : b bl(x) = b (x)lm bm(x)
W = i
2 b (x)lm bm(x) + bm(x) b (x)lm
Pour les champs ayants des indices de l’algèbre de Lie, tels ques les paramètres des transformations in…nitésimales ba;les potentiels de jauge non commutatifs bAa,...etc., "The Weyl ordering" est dé…ni par :
iTaiTbba bb ! iTaiTb ba bb W iTaiTbbfa bbg= 12iTaiTb n ba; bbo iTaiTbbb ba! iTaiTb bb ba W iTaiTbbfb bag= 12iTaiTb n bb; bao
Pour les grandeurs mixtes telles que ba b bb "The Weyl ordering" est dé…ni par :
iTaiTbba b bb ! iTaiTb ba b bb W iTaiTb bfa b bbg = iTaiTb ba b bb+ bb b ba iTaiTbbb b ba! iTaiTb bb b ba W iTaiTb bfb b bag = iTb iTa ba b bb+ bb b ba
Noté l’ordre des générateurs Ta; Tb est inversé dans cette dernière expression, on doit
respecter l’ordre des indices a, b,...etc. avant de symétriser. En appliquant ces règles de symétrisations on peut construire une théorie de jauge non commutative sur l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G et non pas sur l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie G.
4.3
Théories de jauge non commutatives "Left"
4.3.1 Transformations de jauge non commutatives "Left"
Les transformations de jauge sur un espace non commutatif sont dé…nies de la même manière que les transformations de jauge classiques[7][8][11], les champs de matières sont
représentés par des Champs locaux complexes bl(x) qui se transforment suivant les
re-présentations (irréductibles) unitaires de dimensions …nies d’un groupe de Lie G, de géné-rateurs fTag1 a N .
On dé…ni donc les transformations in…nitésimales des champs non commutatifs bl(x),
de la manière suivante : b bl(x) = n b (x)lm; bm(x) o = i 2 b (x)lm bm(x) + bm(x) b (x)lm (4.2) b b = iTa n ba; bo= i 2Ta b a b + b ba (4.3) où b (x) = ba(x) (T
a)lm est le paramètre des transformations in…nitésimales non
com-mutatives, un élément de l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G, et ba(x) sont
des paramètres réels, fonctions des coordonnées d’espace temps.
En utilisant " The Weyl ordering " dé…ni dans la section précédente, le commutateur de deux transformations de jauge in…nitésimales non commutatives prend la forme :
b b b = iTaiTb n bfa;nbbg; b ioo b b b = i 2Ta i 2Tb bfa bbg b + b bfb bag + i 2Ta i 2Tbbfa b bbg +i 2Tb i 2Tabfb b bag b b b = iTaiTb nn ba; bbo; b io+ i 2Ta; i 2Tb b a b bb+ bb b ba de même on trouve b b b = iTbiTa nn ba; bbo; b io+ i 2Ta; i 2Tb b a b bb+ bb b ba d’où le commutateur h b ;b i b = [Ta; Tb] nn ba ; bbo; b io (4.4)
Avec notre dé…nition des transformations de jauge in…nitésimales non commutatives, et les propriétés du " The Weyl ordering ", l’algèbre de ces transformations est donc fermée, et les paramètres des transformations in…nitésimales non commutatives b sont donc des éléments de l’algèbre de Lie G du groupe de jauge locale G.
4.3.2 Dérivée covariante non commutative
On généralise la dérivée covariante au cas non commutatif b
D b = @ b iTa
n b
Aa; bo (4.5)
où bAa sont les potentiels de jauge non commutatifs.
L’équivalent non commutatif de la loi de transformation de la dérivée covariante non commutative est donné par :
b hD bb i= iTa n bfa; bD bo= iT a n ba;@ bo iT aiTb n bfa;nAbbg; boo (4.6)
Cette loi de transformation est possible si les potentiels de jauge non commutatifs bAa
se transforment comme :
b bA (x) = @ b (x) + i [Ta; Tb]
n ba; b
