Application de la méthode TLM à la modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain

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propagation acoustique en milieu urbain

Gwenaël Guillaume

To cite this version:

Gwenaël Guillaume. Application de la méthode TLM à la modélisation de la propagation acoustique

en milieu urbain. Acoustique [physics.class-ph]. Université du Maine, 2009. Français. �tel-00793252�

de l'Université du Maine

Spé ialité : A oustique

É ole do torale S ien es pour l'Ingénieur, Géos ien es,Ar hite ture (ED 498)

présentée par

Gwenaël Guillaume

pour obtenirle gradede Do teurde l'Université du Maine

Appli ation de la méthode TLM à la

modélisation de la propagation

a oustique en milieu urbain

soutenue le13o tobre2009

auLaboratoireCentral des Ponts et Chaussées (Centre de Nantes)

devantle jury omposé de :

Christophe Ayrault MaîtredeConféren es(UniversitéduMaine) Co-Dire teurdethèse Philippe Blan -Benon Dire teur dere her he(É oleCentraledeLyon) Rapporteur

Di k Botteldooren Professeur (GhentUniversity) Examinateur

Jean-Lou Dubard Professeur (UniversitédeNi eSophiaAntipolis) Rapporteur Judi aël Pi aut Dire teur dere her he(LCPC) Dire teurdethèse Laurent Simon Professeur (UniversitéduMaine) Présidentdejury

Le bruit onstitue un problème so iétal majeur, en parti ulier en zones urbaines et périur-bainesoùlessour esdebruitasso iéesautra routiersontnombreusesetvariées.Leslogi iels deprévisiona oustiquea tuels,baséssurdesmodèlesénergétiquesetgéométriquesetdéveloppés initialement pour desappli ationsenmilieuxextérieurs faiblement bâtis,sont don limitéspour laprévisiona oustiqueenmilieuxurbainset périurbains(présen edebâtiset d'en ombrements, sour esde bruit réelles mobilesave un régimede fon tionnement variant dansletemps...).

Letravaildethèsea onsistéàproposerunmodèlenumériquetemporel,adaptéàla modélisa-tiondelapropagationa oustiqueenmilieuurbain.Parmilesméthodesenvisageables,laméthode TLM( TransmissionLineModelling ) onstitueuneappro heoriginale,puisqu'ellepermetde onsidérerdesdomainesdepropagationdegéométries omplexesenintégrantlaplupartdes phé-nomènesphysiquesmisenjeulorsdelapropagationdusonsurdegrandesdistan es(dira tion, réexion, phénomènes stationnaires, divergen e géométrique, atténuation atmosphérique, eets mi rométéorologiques). Toutefois, l'étude bibliographique a mis en éviden e deux limitations majeures de laméthode pour répondre pleinement à notre problématique : l'implémentation de onditions auxfrontières réalisteset lamodélisation d'un milieu depropagation inni.

Un modèle TLM générique a ainsi été développé, et permet de réaliser des simulations en deuxouentroisdimensionsen ombinantl'ensembledesphénomènesinuantsurlapropagation du son en milieux extérieurs densément bâtis. Une appro he permettant d'implémenter une onditiond'impédan eauxfrontièresaégalementétéproposée.Laméthode onsisteàappro her l'impédan e par une somme de systèmes linéaires du premier ordre. L'usage d'une méthode de onvolutionré ursivepermetparailleursdelimiterle oûtnumériqueasso iéau al uldu hamp de pression sonore sur la frontière. Des simulations de la propagation a oustique au-dessus de diérents types de sols absorbants ont été réalisées et onfrontées ave su ès aux solutions analytiques. Con ernant la modélisation d'un milieu de propagation inni, une formulation de ou hes absorbantes anisotropes permettant de limiter le domaine de al ul a également été développée.Enn,desappli ationsréalistesdeproblématiquesurbaines(é ransa oustiques, façades et terrassesvégétalisées)ont nalement étéproposées.

Noise a ounts for major so ietal matter, espe ially in urban and peri-urban areas where noise sour esarising from road tra arenumerousand varied.Based on energeti and geome-tri models and initially developed for slightly built open-spa es appli ations, urrent a ousti predi tionsoftwaresarelimitedforurban andperi-urbanareasa ousti predi tion(variousbuilt and obsta les,moving real noisesour es with time varyingrunningspeed...).

Thethesisworkhas onsistedinputtingforwardatime-domainnumeri aldomainfor model-ling the sound propagationin urban area. Among possible methods, the TLM ( Transmission LineModelling )method onstitute aoriginalapproa hasitallowstoa ount for omplex pro-pagation medium integrating most of physi al phenomena brought into playduring long range soundpropagation(edgedira tion,ree tion,steady-state phenomena,geometri aldivergen e, atmospheri attenuation, mi rometeorologi al ee ts). However, the bibliographi al study has given rise to two main limitations of the method to fullyrespond to our problemati : realisti boundaries onditions implementation and innite propagationmediummodelling.

A generi TLM model hasbeen developed and allows to perform simulations in two and in three dimensions by ombining the whole phenomena inuen ing sound propagation in urban areas.Animpedan eboundary onditionimplementation isalsoproposed. Themethod onsists in approximating the impedan e as a sum of rst-order linear systems. In addition, the use of a re ursive onvolution method enables to limit the omputational ost of the boundary sound pressure al ulation. Many simulations of sound propagation over manifold kinds of absorbing grounds have been performed and su essfully ompared with analyti al solutions. Con erning the modelingof aninnite propagationmedium,ananisotropi absorbinglayersformulation for limitingthe omputationaldomain hasalso been derived.Finally, afew realisti urban appli a-tions (a ousti barriers,vegetalized frontages andat roofs) have beenproposed.

Jetienstoutd'abordàexprimermaprofondere onnaissan eàJudi aëlPi aut,Dire teurde re her he auLaboratoireCentraldesPontset Chaussées(LCPC ),poursoninvestissement dans ladire tionet dansl'en adrement de ette thèse.J'ai parti ulièrement appré ié sadisponibilité, sapatien e etsarigueurs ientique(etorthotypographique),ainsiquesespré ieux onseilsqui m'ont guidétoutau longde estroisannées.

Jeremer ieégalementtouslesmembresdemon omitédesuivi,ChristopheAyrault,Maître de onféren es à l'Université du Maine et o-dire teur de ma thèse, Isabelle S hmi h, respon-sable du ple A oustique des salles et des volumes omplexes au CSTB de Grenoble, et plus parti ulièrement Guillaume Dutilleux,Ingénieur destravauxpubli sdel'ÉtatauLaboratoire RégionaldesPontset Chaussées(LRPC )deStrabsourg, quia parti ipé a tivement à l'en adre-ment de montravail.

J'adressedetrèssin ères remer iementsàPhilippe Blan -Benon,Dire teurdere her heà l'É oleCentrale deLyon,etàJean-LouDubard,Professeuràl'UniversitédeNi eSophia Anti-polis,quionta eptéd'êtrelesrapporteursdemontravail,ainsiqu'àLaurentSimon,Professeur àl'UniversitéduMaine,quiprésidamonjury.Jeremer ieégalementDi kBotteldooren, Pro-fesseurà l'Université de Ghent, pour sesremarques onstru tiveset en ourageantes lors et à la suite de masoutenan e.

Mespenséeslesplus ami alesvont bienentendu vers mes ollègues de ladivisionEntretien, Sé urité et A oustique des Routes, et plus singulièrement de lase tion A oustique Routière et Urbaine,quim'onta ueilli haleureusementdansleuréquipe.Jetiensenparti ulieràtémoigner masympathieà Olivier,Olivia et Ni olas.

Je remer ieennmafamilleet mespro hesdontlesen ouragements onstantsm'ontstimulé tout au long de mes études et permis nalement d'a omplir e travail. Mes pensées les plus sin èress'adressentàHélène,monamie,dontlepré ieuxsoutienm'atoujoursa ompagné dans mes projets.

Résumé/Abstra t iii

Remer iements vii

Table des matières xi

Table des gures xiv

Liste des tableaux xv

Introdu tion générale 1

1 Contextelégislatif et so iétal . . . 1

1.1 Impa t sanitaire et so iétaldubruit . . . 1

1.2 Contextelégislatif de lalutte ontreles nuisan es sonores . . . 2

2 Problématique s ientique . . . 2

3 Étatde l'artet limites desmodèles deprévision . . . 3

3.1 Méthodesénergétiques et géométriques. . . 3

3.2 Méthodesfréquentielles . . . 4

3.3 Méthodestemporelles . . . 6

4 Obje tifs delathèse et présentation dudo ument . . . 6

4.1 Obje tifs delathèse . . . 6

4.2 Choixde laméthode . . . 7

4.3 Présentation dudo ument . . . 7

1 Modélisation TLM de la propagation a oustique 11 1.1 Prin ipe et étatde l'artde laméthodeTLM . . . 11

1.1.1 Prin ipe de Huygens . . . 11

1.1.2 Con ept deslignesde transmission etdis rétisation spatiale . . . 12

1.1.3 Un on eptissu de l'éle tromagnétisme . . . 13

1.1.4 Appli ationsen a oustique. . . 15

1.1.4.1 A oustique dessalles. . . 16

1.1.4.2 Propagationa oustiqueen milieu extérieur . . . 16

1.2 Propagationen milieu homogène et non-dissipatif 2D . . . 18

1.2.1 Introdu tion. . . 18

1.2.2 É riturea adémique du modèle en2D . . . 18

1.2.2.1 Relationmatri iellenodale . . . 18

1.2.2.2 Loisde onnexionet analogie ave l'équation desondes . . . 20

1.2.3.1 Notionsélémentaires . . . 22

1.2.3.2 Véri ation numérique de ladivergen e géométrique . . . 22

1.3 Propagationa oustiqueen milieu hétérogèneet dissipatif. . . 26

1.3.1 Introdu tion. . . 26

1.3.1.1 Généralisationde laformulation en 1D/2D/3D . . . 26

1.3.1.2 Hétérogénéités et dissipationdanslaTLM . . . 26

1.3.2 É rituregénérique du modèleTLM . . . 27

1.3.3 Atténuation atmosphérique . . . 30

1.3.3.1 Propos liminaires. . . 30

1.3.3.2 Expressionduterme dissipatif

ζ

. . . 31

1.3.3.3 Véri ation numérique pour l'atténuation atmosphérique . . . . 32

1.3.4 Conditionsmi rométéorologiques . . . 33

1.3.4.1 Propos liminaires. . . 33

1.3.4.2 Expressionduterme d'hétérogénéité

η

. . . 33

1.4 Conditionsauxfrontières . . . 34

1.4.1 Introdu tion. . . 34

1.4.2 Modélisationdesfrontières . . . 35

1.4.2.1 Prin ipe . . . 35

1.4.2.2 Coe ient de réexionen pression . . . 35

1.4.3 Véri ation numérique . . . 37

1.4.3.1 Détermination desmodesde résonan ed'unesalle . . . 37

1.4.3.2 Cal uldu temps deréverbération d'une salle . . . 41

1.4.3.3 Propagationà grandedistan e au-dessus d'un sol . . . 42

1.5 Con lusion. . . 51

2 Conditions d'impédan e aux frontières 53 2.1 Introdu tion (E) . . . 63 2.2 Prin ipe delaTLM (E) . . . 65

2.2.1 Prin ipe de Huygenset appro heTLM (E) . . . 65

2.2.2 Impulsions in identeset diusées (E) . . . 65

2.2.3 Équivalen e ave l'équation desondes (E) . . . 66 2.3 Formulation del'impédan e (E) . . . 68 2.3.1 Introdu tion (E) . . . 68

2.3.2 Condition d'impédan eaux frontières (E) . . . 69 2.3.2.1 Prin ipe (E) . . . 69 2.3.2.2 Modèle deMiki (E) . . . 71

2.3.2.3 Modèle deZwikker et Kosten (E) . . . 71

2.4 Validation (E) . . . 75

2.4.1 Géométrie et pro édurede validation (E) . . . 75 2.4.2 Résultats (E) . . . 77 2.4.2.1 Modèle deMiki (E) . . . 77

2.4.2.2 Modèle deZwikker et Kosten (E) . . . 81 2.5 Con lusion (E) . . . 81 3 Conditions absorbantes 85 3.1 Introdu tion (E) . . . 86

3.2 Conditionsauxfrontières absorbantes pour laTLM (E) . . . 86 (E)

3.2.2 Conditionsaux frontières absorbantesarti ielles pour laTLM (E) . . . 87 3.2.2.1 Frontièresabsorbantes (E) . . . 87 3.2.2.2 Cou hesabsorbantes adaptées

(E) . . . 88 3.3 Résultats numériques (E) . . . 90 3.3.1 Prin ipe et géométries (E) . . . 90 3.3.1.1 Coe ient de réexion (E) . . . 90 3.3.1.2 Géométrie (E) . . . 91 3.3.2 Eetde laprofondeur de la ou he et duparamètre

ǫ

(E)

. . . 93 3.3.3 Comparaison entre diverses onditions absorbantes

(E)

. . . 93 3.3.3.1 Comparaisonave laformulation deDeCogan

(E)

. . . 94 3.3.3.2 Comparaisonave les frontières absorbantes

(E) . . . 96 3.3.4 Stabilité (E) . . . 96 3.3.5 E a ité enfréquen e (E) . . . 97 3.4 Appli ation en a oustiqueurbaine

(E) . . . 99 3.5 Con lusion (E) . . . 100 4 Appli ations urbaines 103 4.1 Introdu tion (E) . . . 104 4.2 Formulation TLMdes onditions auxfrontières

(E)

. . . 105 4.2.1 Prin ipe de laTLM

(E)

. . . 105 4.2.2 Condition d'impédan e omplexe

(E)

. . . 105 4.2.3 Cou hes absorbantes

(E)

. . . 106 4.3 Appli ationsen a oustiqueurbaine

(E)

. . . 107 4.3.1 Ruesparallèles

(E)

. . . 108 4.3.2 É rans a oustiquesurbains

(E)

. . . 113 4.4 Con lusion

(E)

. . . 116

Con lusion générale et perspe tives 117

Référen es bibliographiques 132

A ronymes 133

A Liste des publi ations I

B Validation de l'atténuation atmosphérique III

C Équations des ondes dans les ou hes absorbantes VII

1.1 Prin ipe deHuygens. . . 12

1.2 Réseaude lignesde transmissionau n÷ud

(i, j)

. . . 14

1.3 Impulsions in identeset diusées au n÷ud

(i, j)

. . . 19

1.4 Loisde onnexion entre n÷uds. . . 20

1.5 Dispersionnumérique. . . 21

1.6 Illustration deladivergen e géométrique. . . 22

1.7 Répartition desré epteurs pour l'étudede ladivergen e géométrique. . . 23

1.8 Validationde ladivergen e géométrique pour

∆l = 0.2

m et

∆l = 0.1

m. . . 24

1.9 Connexionsà unn÷uden 2Det en 3D. . . 27

1.10 Lo alisation desfrontières dansunréseau TLM . . . 36

1.11 Représentation desn÷udsde partet d'autre d'uneparoiverti ale. . . 36

1.12 Modespropres d'une salle . . . 40

1.13 Sour esonore gaussienne à

f = 500

Hz età

f = 1

kHz.. . . 45

1.14 Dé roissan e sonoreen unré epteur. . . 46

1.15 Dé roissan essonoresaprès intégrationpour diverses valeursde

α

. . . 46

1.16 Temps de réverbération en fon tion de

α

. . . 47

1.17 Temps de dé roissan epré o e en fon tion de

α

. . . 47

1.18 Géométrie pour l'étudede lapropagation dusonau-dessus d'un solplan. . . 48

1.19 Introdu tion d'une sour e-image. . . 48

1.20 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

à

f = 100

Hz pour un solparfaitement réé hissant. . 49

1.21 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

à

f =

100Hz et à

f =

300 Hzpour unsol réé hissant. 50 1.22 Signal reçuauré epteur et fenêtrage temporel. . . 50

1.23 Spe tres

∆L (ω)

pourun solplan homogèneparfaitement réé hissant. . . 50

2.1 Approximationpolynomiale dumodèle deDelanyet Bazley . . . 57

2.2 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

ave le modèlede Delanyet Bazley. . . 60

2.3 Spe tres

∆L (ω)

ave lemodèlede Delanyet Bazley . . . 61

2.4 Impédan esnormalisées données par les modèles deDelanyet Bazley et deMiki. 62 2.5 Impulsions in identeset diusées pour unmilieu homogène et non-dissipatif (E) . . 65

2.6 Connexionsau n÷udpour un milieu hétérogèneet dissipatif (E) . . . 67

2.7 Modélisation dusol enfaisant usaged'un n÷ud virtuel (E) . . . 70

2.8 Approximationdu modèlede Miki (E) . . . 72

2.9 Approximationde lafon tion

f t

pour lemodèle de Zwikker et Kosten (E) . . . . 75

2.10 Approximationde l'impédan epourle modèlede Zwikker et Kosten (E) . . . 76

2.11 Géométrie sour e-ré epteur pour lavalidation dela onditiond'impédan e (E) . . . 77

2.12 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

ave le modèlede Miki (E) . . . 78

2.13 Spe tres

∆L (ω)

ave lemodèlede Mikipour unsol homogène (E) . . . 79

2.14 Spe tres

∆L (ω)

ave lemodèlede Mikipour unsol dis ontinu (E)

. . . 80 2.15 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

ave le modèlede Zwikker et Kosten

(E)

. . . 82 2.16 Spe tres

∆L (ω)

ave lemodèlede Zwikker et Kosten pour un solhomogène

(E)

. . 83 2.17 Spe tres

∆L (ω)

ave lemodèlede Zwikker et Kosten pour un soldis ontinu

(E)

. . 84

3.1 Représentation des ou hesabsorbantesdansle réseauTLM (E)

. . . 87 3.2 Fa teur d'atténuation

(E)

. . . 91 3.3 Première géométrie pour l'évaluationdes onditionsaux frontièresabsorbantes

(E) . 92 3.4 Se ondegéométrie pour l'évaluationdes onditions auxfrontières absorbantes

(E) . 93 3.5 Eetdu paramètre

ǫ

enfon tion de laprofondeur

N

λ

AL

de la ou he (E)

. . . 94 3.6 Signaux temporelspour lesdeux formulations de ou hesabsorbantes

(E)

. . . 95 3.7 Comparaisondes oe ientsde réexionmoyens ave les ou hesabsorbantes

(E) . 95 3.8 Signaux temporelsen in iden e normale

(E)

. . . 97 3.9 Coe ients deréexion moyensen fon tion de l'angled'in iden e

(E)

. . . 98 3.10 Spe tres des oe ientsde réexion

(E)

.. . . 98 3.11 Spe tres des oe ientsde réexionmoyennéssurlafréquen e

(E)

. . . 99 3.12 Niveauxsonoreséquivalents dansune rue ouverte 

(E)

. . . 100

4.1 Spe tres

∆L (ω)

ave lemodèlede Zwikker et Kosten pour un soldis ontinu (E)

. . 107 4.2 Géométrie desruesparallèles

(E)

. . . 108 4.3 Eetde lavégétalisation desfaçades surles 1

ères

réexions (E)

. . . 109 4.4 Eetde lavégétalisation desfaçades et destoitssur lesfrontsd'onde

(E)

. . . 110 4.5 Eetde lavégétalisation desfaçades et destoitssur lesniveauxsonores

(E)

. . . . 111 4.6 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

auxré epteurs danslesrues parallèles (E)

. . . 112 4.7 Géométrie urbaineave uné ran a oustique

(E)

. . . 113 4.8 Eetde lavégétalisation desé rans a oustiques surles frontsd'onde

(E)

. . . 114 4.9 Eetde lavégétalisation desé rans a oustiques surles niveaux sonores

(E)

. . . 115 4.10 Niveauxéquivalents

∆L

(T )

auxré epteurs en présen ed'un é rana oustique (E)

. . 116

B.1 Validationde l'atténuationatmosphérique à

f = 100

Hz. . . III B.2 Validationde l'atténuationatmosphérique à

f = 500

Hz. . . IV

1.1 Validationde ladivergen e géométrique pour

∆l = 0.2

m. . . 25 1.2 Validationde ladivergen e géométrique pour

∆l = 0.1

m. . . 25 1.3 Fréquen es propres d'unesallede dimensions

D

x

= 10

m et

D

y

= 7

m. . . 39 2.1 Coe ients del'approximation dumodèlede Miki

(E)

. . . 74 2.2 Coe ients del'approximation dumodèlede Zwikker et Kosten

(E)

. . . 74

B.1 Validationde l'atténuationatmosphérique à

f = 100

Hzpour

∆l = 0.2

m. . . V B.2 Validationde l'atténuationatmosphérique à

f = 100

Hzpour

∆l = 0.1

m. . . V B.3 Validationde l'atténuationatmosphérique à

f = 500

Hz. . . VI

1 Contexte législatif et so iétal

1.1 Impa t sanitaire et so iétal du bruit

Le bruit onstitueun problèmeso iétalmajeur 1

,dont l'impa tsurlasanté n'est parfoispas négligeable(atteinteauxfa ultésauditives,problèmes ardio-vas ulaires,stress,insomnies, ae -tions vibro-a oustiques (Alves-Pereira et Castelo Bran o (2007 )), et .), en parti ulier en zones urbaines et périurbaines où les sour es de bruit sont nombreuses et variées. En 2000, l'institut de sondage IPSOS aainsi mis en éviden e au travers d'une étude

2

portant surles risques sani-tairesasso iés au logement,que lebruit estlamena e environnementale quiinquiète le plusles ménagesfrançais(30%delapopulationinterrogée), equipla e ettegêne aumêmeniveauque les raintes on ernant la pollution de l'air (29% dessondés). Une étude de l'INSEE , parue en o tobre 2002, indique par ailleurs que dans les agglomérations de plus de 50 000 habitants, la populationpla e lebruit devant l'insé urité quandil s'agitde hiérar hiser lesproblèmes lo aux les plus préo upants

3

. Les opinionssur les problèmes environnementaux ont ertes pu évoluer esdernières années

4

, lebruit n'en reste pasmoins unedes prin ipalesinquiétudes desfrançais (etdeseuropéens),en parti ulierdesrésidentsdezones urbaines.

Enmilieuurbain,la ir ulationest itée 3

ommesour eprin ipaledebruit,tantdansl'habitat individuelque olle tif.Ce ireprésentaiten2007unedépenseévaluéeà788millionsd'eurosrien que pour le bruit des transports (rempla ement des silen ieux des pots d'é happement, murs anti-bruits, re ensement et résorption des points noirs  bruit , et .) et 833 millions d'euros pourles dépenses liées àl'isolationdesbâtiments, soit untotal d'environ1,7milliard (+6% par an de2000 à 2007)

5 .

De nombreusesstatistiques surle sujetpourraient en ore être itées, mais toutes orrobore-raient l'importan e desenjeux so iétaux, sanitaires, environnementaux et é onomiques asso iés au bruit, notamment en milieu urbain. Ces enjeux ont d'ailleurs été soulignés dans le ré ent rapport de synthèse du groupe de travail n

o

3 du Grenelle de l'Environnement, en harge des problèmes d'environnement et de santé

6 .

1

Sour e:Afsset. 2

Sour e:enquêteIPSOS. 3

Sour e:enquêteLogement2002 INSEE. 4

Lareprésentativitéde essondagespeutévidemmentelle-mêmeêtresujetteàdis ussions. 5

Sour e:IFEN. 6

1.2 Contexte législatif de la lutte ontre les nuisan es sonores

Pour faire fa eà es enjeux,un ertain nombre de loiset dé rets ont déjà été mis en pla e depuis plusieurs années an de limiter les nuisan es sonores. La loi

7

 Bruit ou loi  Royal n

o

92-1444 du 31 dé embre 1992 relative à la lutte ontrele bruit tend par exemple à prévenir, réduire et limiterl'émissionet lapropagationde bruitssus eptibles denuireà lasanté des rive-rains.Enmatière debruitdevoisinageparexemple,ledé ret

8 n

o

2006-1099du31août2006xe des ritères a oustiques pour les a tivités à la fois sportives, ulturelles et professionnelles; en parallèle,l'arrêté

8

du 30juin1999 relatifaux ara téristiquesa oustiquesdesbâtiments d'habi-tation ontraint les maîtres d'ouvrageà respe ter des ritères d'isolation a oustiquepour toute nouvelle onstru tion. En matière de bruit destransports terrestres, nouspouvonspar exemple iter l'arti le L.571-9 du ode de l'environnement qui impose la prise en ompte du bruit dans toutprojetneufd'infrastru tureroutièreou ferroviaire,et lorsde latransformationsigni ative d'unevoieexistante,ainsique l'arti leL.571-10 qui instituele lassement desinfrastru tures de transportsterrestresenfon tiondeleurs ara téristiquesa oustiquesetdeleurtra .Surlabase de e lassement, le Préfet détermine en parti ulier les niveaux de nuisan es sonores à prendre en ompte et les pres riptions te hniques appli ableslors de la onstru tion d'un bâtiment an d'atténuer l'exposition à esnuisan es.

Au niveau européen, la dire tive 9

2002/49/CE sur l'évaluation et la gestion du bruit dans l'environnement insiste, d'une part, sur la né essité d'informer les riverains sur les risques et les eets du bruit dans l'environnement, et d'autre part, sur l'adoption de plans d'a tion en matière de prévention et de rédu tiondu bruit.Cettedire tive imposenotamment auxgrandes agglomérations de produiredes artesdebruit et tend également àharmoniser lesméthodesde al ul et de mesuresau sein dela ommunauté européenne.

Plus globalement, les obje tifs du groupe de travail n o

3 du Grenelle de l'Environnement se basent sur un ertain nombre d'éléments de e ontexte législatif, de manière à proposer des solutions pour résorber les points noirs, à éviter l'apparition de nouveaux points noirs, à améliorer la qualité de l'environnement sonore et à développer la prévention et l'information auprès dupubli .

2 Problématique s ientique

Si nousnousreplaçonsunenouvelle foisdansle ontexteduGrenelledel'Environnement,les moyensidentiéspourlaréalisationdesobje tifsdugroupedetravailn

o

3visentprin ipalement à l'amélioration des onnaissan es s ientiques, en parti ulier sur larelation bruit-santé, sur la dénitiond'indi ateursreprésentatifsdelagênesonoreetsurl'impa tdubruitsurlespathologies nonauditives.Plusglobalement, esobje tifsné essitentdenouvellesre her hesetdesavan ées te hnologiques en matière de rédu tion du bruit. Con ernant e dernier point, deux axes sont traditionnellement onsidérés : la rédu tion du bruit à la sour e (véhi ules et revêtements de hausséesmoinsbruyants,politiquede gestiondu tra , et .)et ledéveloppement dedispositifs de prote tion des habitants ontre les nuisan es sonores (murs anti-bruits, isolation a oustique desbâtiments, et .).

Entre esdeuxaxes majeurs,quel'on pourraitqualier de sour e etde ré eption, se dissimule la problématique de la  propagation  a oustique en milieu extérieur. En eet, que

7

Sour e : Ministèreen hargedel'é ologieetdudéveloppementdurable. Loi odiée aux arti les L.571.1 à L.571.26.

8

Sour e:Legifran e . 9

e soit pour la réalisation de artes de bruit dans le adre de ladire tive européenne, ou pour la détermination de l'impa t sonore d'une infrastru ture de transport dans le adre de la loi Bruit, ilestné essairedere ourir àdesoutilspourmodéliserlapropagationa oustique.Ces outils sont basés sur des modèles de référen e (i.e. modèles de laboratoire) ou sur des modèles d'ingénierie(i.e.modèlessimpliés,maisplusrapides,utilisésengénéralparlesbureauxd'étude). De e fait, de nombreux travaux dere her he ont porté et portent en ore surle développement d'appro hes et de modèles qui puissent représenter au mieux les phénomènes ren ontrés lors de la propagation a oustique. Diversesméthodes ont ainsiété proposées, notamment en milieu extérieurouvert, i.e.très faiblement bâti.Cependant, ommenousleverronsdanslase tion suivante, au une de esméthodes nepermet de répondre omplètement auxexigen esimposées pour modéliser l'environnement sonore en milieu urbain, i.e. fortement bâti et en ombré par le mobilier urbain. Le présent travail de thèse, que nous présenterons en détail dans la dernière se tionde e hapitre,tente ainsid'apporter unesolution alternative à ette problématique.

3 État de l'art et limites des modèles de prévision

Dans e paragraphe, nous itons très su in tement les diérentes appro hes développées pour modéliser la propagation en demi-espa e ouvert (présen e d'un sol), et en parti ulier en milieu urbain. L'obje tif n'est pasi ide faireune listeexhaustive desmodèles,maisde montrer rapidement les prin ipaleslimitesdesappro hesexistantes, souvent soulignéesparde nombreux her heurs, notamment dans le ontexte urbain. Pour un état de l'art pré is, le le teur pourra se reporter à desdo uments de référen e, en parti ulier aux ouvrages de Attenborough et oll. (2006 ),Salomons(2001 ),Ostashev(1997 )etàl'arti ledeBérengier et oll.(2003 ) on ernant la propagationa oustiqueenmilieu ouvert,ainsiqu'àl'ouvrage deKang(2007 ) etau mémoire de Pi aut(2006 ) on ernant lapropagationa oustiqueen milieu urbain.

3.1 Méthodes énergétiques et géométriques

De nombreuses appro hes développées pour modéliser la propagation a oustique en milieu extérieursont historiquement fondéessurlestravauxréalisésena oustiquedessalles domaine de re her he beau oupplus an ien et sonten parti ulier basées sur le on ept de l'a oustique géométrique (Kuttru , 1973 ). Emprunté lui-même à l'optique géométrique, e on ept suppose qu'une ondesonore(i.e. ara tériséepar unepression a oustique)puisseêtre représentéeparun rayon sonore, porteur d'une ertaine énergie (i.e. proportionnelle à une pression quadratique) se propageant dans le domaine d'étude. Ce on ept permet don de transformer une appro he ondulatoire, en prin ipe relativement omplexe, en une appro he énergétique beau oup plus simple. Cette transformation est toutefois valide uniquement en  hautes fréquen es , lorsque la longueur d'onde est petite devant les obsta les et devant la distan e de propagation. On onsidère alors que le hamp sonore est in ohérent, 'est-à-dire qu'il n'existepas de relation de phase

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entrelesdiérentes omposantesdu hampsonore( hampdire t, hampréé hi, hamp dira té, et .), de telle manière qu'il est possible de sommer les énergies et non les pressions a oustiques.

Traditionnellement, deux appro hes peuvent être distinguées, l'une basée sur la théorie des sour es-images, l'autre sur le lan er de rayons. La première appro he onsiste à onsidérer des sour es-imagespoursubstituerlesmultiples réexionsdesrayonssonoressurlesobsta les,entre

10

Lesmodèles deréféren e basés surle tirderayonsetdéveloppésparles laboratoires dere her hetiennent ompte,quant à eux,de laphase.Ces modèles sont ependant basés, non pas surdes appro hes énergétiques,

unesour eréelleetunré epteur.Chaquesour e-imageémetalorsunrayonsonoreendire tionde haqueré epteur. Lase onde appro he, plussimple, onsidèrequel'énergie a oustiqueproduite par unesour e sonorepeut êtrereprésentéeparun ensemblederayonsre tilignessepropageant ensuite dans le domaine. Pour les deux appro hes, l'énergie sonore au niveau d'un ré epteur est obtenue en umulant les ontributions, soit de ha une des sour es-images, soit de ha un des rayonssonores. Ces ontributions dépendent du trajet du rayon sonore dans le domaine et rendentainsi omptedesphénomènespropagatifsélémentairestelsqueladivergen egéométrique, l'absorption atmosphérique, l'absorption sur les parois et sur le sol,la dira tion sur les arêtes desobsta les,et .La prin ipalelimitepratiquede esméthodesréside, d'unepart,dansle hoix destrajetsdesrayonsdontla ontributionestlaplusimportante,etd'autrepart,danslenombre derayonssonoresoudesour es-imagesà onsidérerpourobtenirune intensitésonoreréalisteau niveaud'unré epteur,notammentpour desdomainesdepropagation omplexes. Toutefois,ave l'évolutiondes apa itésde al ulnumériqueetdesto kagedesdonnées, esappro hesontdonné lieu àdesméthodesde al ul standardisées(i.e.d'ingénierie), tellesque, àl'é helle nationale, la Nouvelle Méthode de Prévision du Bruit (NMPB 2008, norme française NF S31-133 (2007 )

11 ) et,àl'é helle internationale,lanormeISO9613-2:1996(1996 ),quisontintégréesdanslaplupart deslogi iels ommer iaux,et très largement utilisées aujourd'hui par lesbureaux d'étude.

On aurait également pu dé rire d'autres appro hes géométriques et énergétiques, telles que laméthodedulan erdefais eauxoudusuivideparti ules(évolutionsdesméthodesderayons), la méthode des ré epteurs-images (ré iproque de la méthode des sour es-images), les méthodes detransport-diusionet deradiosité (empruntées àlathermique), desméthodesde hampdius (empruntées à l'a oustique des salles), et des méthodes mixtes ombinant plusieurs appro hes diérentes, et . Même si, globalement, l'ensemble de es appro hesdonnent desrésultats satis-faisantsdansdes assimples, toutes es méthodes énergétiques ou géométriquesont nalement les mêmeslimites dufait del'hypothèse d'in ohéren e des omposantesdu hampsonore.

En eet, la propagation a oustique en milieu extérieur est soumise à de nombreux phéno-mènes propagatifs dénis par un omportement ondulatoire (i.e. relation de phase entre les omposantes du hamp sonore). Il est bien onnu que les eets de sol (impédan es homogènes et dis ontinues), les eetsde réexiona oustiquesurles objets(bâti,sol,mobilierurbain, et .), leseetsdedira tionparlesarêtesdesobsta les (bâti)oulesirrégularitésdesurfa e(façades), les eets météorologiques (gradients verti aux moyens de vent et de température, turbulen e atmosphérique)interagissent lesuns ave lesautres. Ces interféren es génèrent une distribution du hampsonorequinepeutpas,enprin ipe,êtremodéliséeparuneappro heénergétique,mais qui né essiteuneappro he ondulatoire.

3.2 Méthodes fréquentielles

En évoquant lanotion d'appro he ondulatoire, il vient immédiatement à l'esprit l'équation d'ondedansledomaine temporelou l'équationd'Helmholtzdansledomaine fréquentiel. T oute-fois, la résolution analytique dire te de es équations, dans des domaines de propagation aussi omplexesqu'enmilieuextérieur,n'estévidemmentpaspossible.Pouryremédier,desméthodes numériques ont été proposées. La méthode des éléments nis (FEM) onsiste par exemple à résoudre l'équation de propagation des ondes a oustiques exprimée sous sa forme dis rète en subdivisant les dimensions spatiales et le temps en  éléments  (Wright, 1995 ). La méthode desélémentsde frontière (BEM)reposequantà elle surlarésolution de l'équationintégrale des problèmesauxlimites(Chandler-Wilde etHothersall , 1985).Leseetsdelatopographie dusite, et laprésen e d'un sold'épaisseur nieave desdis ontinuités d'impédan e(Boulanger et oll.,

1997 ) ou d'éventuels é rans anti-bruits (Hothersallet oll., 1991 ), peuvent également être pris en ompte.Comme l'a démontré Kludszuweit (1991 ), esappro hes nesont paslimitées en soit à lamodélisation dans le domaine fréquentiel, mais le oût numérique d'une dépendan e tem-porelle les rend rapidement inexploitables. Ces méthodes sont néanmoins bien adaptées pour étudier lapropagationa oustiquedansdesmilieuxdegéométries omplexes arellespermettent de modéliserla majorité desphénomènes propagatifsPremat (2000).

Lesméthodesbasées surl'équationparabolique(PE)ontégalement étélargementemployées pour la modélisation de la propagationa oustique en milieu extérieur dansune atmosphère en mouvement (Ostashev et oll., 1997 ), dans une atmosphère turbulente (Gilbertet oll., 1990; Chevret , 1994; Chevret et oll. , 1996), et présentant des topographies et des géométries om-plexes (Bérengieret oll. , 2003; Lihoreau et oll., 2006 ). Des modèles tridimensionnels existent également (Diet Gilbert,1998 )pourunmilieuhétérogèneenmouvement(Cheng et oll. ,2007 ). Cette méthode est toutefois valable uniquement en hamp lointain et pour de faibles angles d'ouverturede lasour e.Danslamajorité destravauxportant surl'EP ,larétropropagation des ondes sonoreset les ara téristiques a oustiquesdes obsta les sont négligées

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(i.e. le al ul est uniquement valable derrièreles obsta les,laréexiona oustiquepar l'obsta len'étant pasprise en ompte).

Partant du postulat que la propagation en milieu extérieur peut être supposée invariante dansunedire tion,laméthode dessour eséquivalentes en2.5dimensions,publiée parDuhamel (1996 ), permet d'aboutir à la solution tridimensionnelle de l'équation d'Helmholtz à partir de la transforméede Fourier inverse spatiale des solutions de l'équation d'Helmholtz bidimension-nelle

13

. Cetteappro he aétéemployée par Salomonset oll.(1997 ), Duhamelet Sergent (1998 ) et Defran e et Jean(2003 ) notamment, pour l'étudede l'e a ité de divers é rans a oustiques. Hornikx et Forseén (2007 ) ont quant àeuxappliqué ette méthode àune géométrie de rues pa-rallèlesen onsidérantunerueinniedese tiontransversale onstante.Leseetsatmosphériques ne sont pas pris en ompte dans ette dernière référen e qui sefo aliseen parti ulier sur l'eet d'une sour e linéique in ohérente, qui représente le passage d'un véhi ule, sur les phénomènes d'absorption et de diusionpar desfaçades urbaines.

Globalement, es méthodes, onsidérées en ore aujourd'hui omme des appro hes de réfé-ren e,sontmalgrétoutlimitéespardes onsidérationsnumériques.Ellessontsouventrestreintes à des appli ations en deux dimensions, monofréquentielles (i.e. un al ul par fréquen e), et  basse-fréquen e  du fait d'une résolution spatiale très (trop) ne en plus haute fréquen e par rapport aux distan es de propagation onsidérées. Des travaux ré ents visent néanmoins à étendre ette appro he à des appli ations tridimensionnelles (voir Pelat et oll., 2008 ). Par ailleurs, esappro hes fréquentielles ne permettent pasd'avoir une des ription temporelle de la propagation a oustique. Or, si on se repla e dans un ontexte de prévision du bruit en milieu extérieur, les nuisan es sonores sont souvent perçues à travers des notions d'émergen e d'une sour esonore par rapportaubruitde fondambiant, émergen esouvent liée au ara tèremobile et dynamiquedessour es.Par ailleurs,destravauxré ents surlaproblématique desindi ateurs de gêne en milieu urbain, ont bien montré la né essité de disposer d'indi ateurs dynamiques en a oustiqueenvironnementale, et enparti ulier d'indi ateurs liésauxu tuationstemporelles du tra routier

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(Can, 2008). Enn, les onditions météorologiques omme les eets de sol évoluent également dansletemps,à desé hellesde temps toutefoisdiérentes. Ces u tuations

12

Ilest ependantpossibledetenir omptedelarétropropagationdesondessonores,asso iéeparexempleàla présen ed'unobsta le, ommel'aproposéAballéa(2004).

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La solutiondel'équation d'Helmholtzendeuxdimensions peutêtre déterminéepardiversesappro hes nu-mériques,e.g.un al ulBEMoulaméthodedessour esimages

 naturelles  sont à l'origine d'une très grande variabilité des niveaux sonores notamment à longuedistan e(Junker et oll.,2007 ).Depuisquelquesannées,leseortsdes her heurssesont don orientés vers une nouvelle génération de modèles de référen e, basée sur une résolution temporelledesphénomènespropagatifs.

3.3 Méthodes temporelles

À la diéren e des méthodes fréquentielles, les méthodestemporelles sont évidemment par-ti ulièrement adaptéesàlamodélisationdelapropagationdusondansdesmilieuxvariant dans letemps.Àtitred'exemple,laméthodedesdiéren esnies dansledomaine temporel(FDTD) appliquéeauxéquationsd'Euler linéariséesafaitl'objetdenombreux travauxetpermetdetenir omptedel'ensembledesphénomènespropagatifs itésauparavant on ernantlapropagationdu son en milieu extérieur (Salomons et oll., 2002 ). Quelques appli ations en a oustique urbaine ont également été proposées en FDTD. En parti ulier, Heimann(2007 ) a étudié l'eet du vent sur lapropagationdu son enmilieu urbain idéalisé. Van Renterghem et Bottledooren (2008 ) se sont intéressésà lapropagationdu sonau-dessusde toitsvégétalisés.

Comme toutes les méthodes temporelles, la FDTD reste également limitée par le oût nu-mérique, du fait du ompromis à trouver entre la nesse des pas de dis rétisation spatiale et temporelle,etdesdistan esdepropagation onsidéréesenmilieuextérieur.Desalgorithmes opti-miséspermettenttoutefoisdeminimiser e oûten onsidérantdess hémasauxdiéren esnies d'ordreélevé.Bogeyet Bailly(2004 )ontainsidéveloppéuns héma entréd'ordre4sur11points optimisés pour les mailles situées à plus de 5 points d'une limite du domaine. Berland et oll. (2007 ) ont également proposé un s héma dé entré d'ordre 4 pour les mailles situées à moins de 5 points d'une limite du domaine. Ce type de s héma numérique garantit une bonne pré i-sion pour un pas de dis rétisation spatiale inférieur au inquième d'une longueur d'onde. Les longueurs d'onde plus petites sont par ailleurs supprimées en faisant usage de ltres séle tifs (Bogeyet oll. ,2008 ).

Plusré emment,etenparallèle àlaFDTD,quelquesauteursontproposéuneappro he tem-porellealternativeetoriginale,baséesurlaméthodeTransmissionLineMatrix ouTransmission LineModeling (TLM ).Cetteméthodenumérique,issuedel'éle tromagnétisme,estbaséesurune représentation dis rète desphénomènes ondulatoires. Departsanature dis rète, ette méthode né essite de mailler le domaine uide simulé, e dernier devant par ailleurs être de dimension nie.Laméthode TLMn'afaitl'objetquedepeudetravauxdansledomaine delapropagation a oustique en milieu extérieur. Cette appro he semble toutefois parti ulièrement adaptée à la modélisation de lapropagation du sondans desmilieux hétérogènes, de topographie et de géo-métrie omplexes,etpermettraitégalementdeprendreen omptelaplupartdesphénomènesqui inuent surlapropagation a oustiqueen milieuextérieur. Notretravailde thèseaainsi onsisté à développer une appro he TLM adaptée à la problématique de la propagation a oustique en milieu extérieur omplexe, eten parti ulier en milieuurbain.

4 Obje tifs de la thèse et présentation du do ument

4.1 Obje tifs de la thèse

L'obje tifgénéraldelathèseestdon deproposerunmodèletemporelpertinent deprévision a oustique en milieu urbain, pouvant modéliser des onditions réalistes de propagation et qui pourrait,àpluslongterme,s'intégrerdansunefuturegénérationd'outilsd'ingénierie. Cemodèle

des ondes sonoresen milieu extérieur  i.e. la réexion, l'absorption, la dira tion, la diusion par les frontières et par les onditions météorologiques  et être bien adapté à des géométries omplexes(distributionderues,morphologieirrégulièredesfaçadesdesbâtiments),àlaprésen e de nombreux obsta lesau ours delapropagation, ainsiqu'à destopographies non-planes.

4.2 Choix de la méthode

Après un état de l'art pré is des méthodes a tuelles, notre hoix s'est don porté sur l'ap-pro he originale de la TLM , qui, par rapport à la méthode FDTD , présente l'intérêt d'être fondéeimpli itement surune appro he dis rète desphénomènes ondulatoires, e quilui permet d'envisager des méthodes de résolution numérique plus e a es. En eet, la nature matri ielle inhérente àlaTLM, liéenotamment àunmaillage régulier artésien en2Dou ubiqueen 3D,la rend parti ulièrement appropriée à la distribution des al uls sur un réseau d'ordinateurs, ou à laparallélisation surdiérents ÷ursde al ul

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. Outre et aspe tde al ul numérique très at-tra tif,destravauxré entsont également montréquel'usaged'un maillage tétraédriquerégulier en 3Dplutt qu'unmaillage ubiquetraditionnel, permettraitde limiter le oûtnumérique qui deviendraitalors du même ordrede grandeur que elui d'un modèle bidimensionnel artésien.

4.3 Présentation du do ument

Dans le hapitre suivant ( hapitre 1), après une présentation et un rapide historique de la TLM en éle tromagnétisme puis en a oustique, nous reviendrons en détail sur l'appli ation de laméthodepour lamodélisationde lapropagationdusonen milieu extérieur.Dans unpremier temps, et an de poser simplement le on ept de base de la TLM, nous présenterons le as de la propagation a oustique dans un milieu homogène et non-dissipatif. Puis, dans un se ond temps, le as plus réalistede lapropagation a oustique dans unmilieu hétérogène et dissipatif sera détaillé. Dans e premier hapitre, nous avons fait le hoix d'utiliser un formalisme très générique,quis'appliqueaussibienàunproblèmeà une,deuxou troisdimensions. Par ailleurs, nousproposonsune é riture trèsgénérale ombinant simultanément l'ensembledesphénomènes propagatifs pouvant être ren ontrés, en intégrant l'ensemble des travaux présentés dans la lit-térature sur e sujet. Dans le but de montrer la pertinen e de la formulation proposée, nous présenterons systématiquement des éléments de validation et quelquesappli ations simples. Ce premier hapitre mettra également en éviden eles manques de la méthode TLM en matière de modélisationdes onditions d'impédan e auxfrontières(eets desolset impédan edesparois), ainsi que les onditions d'absorption aux limites du domaine de al ul (frontières ou ou hes absorbantes).Cesdeuxpoints onstituent d'ailleurslesdeux ontributions majeures delathèse, qui seront développéesdansles deux hapitressuivants.

Le hapitre2porteraainsisurledéveloppement de onditionsauxfrontièrespertinentespour modéliser des onditions d'impédan e au sein de laformulation TLM. En eet, omme nous le verrons, lamajorité destravauxportant surlamodélisationTLMen a oustique on ernent des milieux fermés pour lesquels les onditions aux frontières du domaine sont dénies par un o-e ient de réexion en pression.Cela onstitue une forterestri tion de la méthode, onduisant inévitablement à des erreurs signi atives sur la prévision large-bande des niveaux sonores à grande distan e. Une modélisation pré isedes onditions auxfrontières est permise en onsidé-rant une ondition d'impédan e omplexe.L'introdu tion d'une telle ondition dansun modèle temporelesttoutefoisparti ulièrementdéli ate arlesmodèlesd'impédan esonthistoriquement

15

OnpourraitparexempleenvisagerunerésolutiondelaTLMenutilisantles apa itésnumériquesdes artes

exprimésdansledomaine fréquentiel; leurtransposition dansledomaine temporelrequiert à la foislerespe tde onditions de ausalité, deréalité etde passivitédu modèled'impédan e, et la résolution d'un produit de onvolution. Con ernant la TLM , seulsHofmann et Heuts hi (2007 ) ontproposéune implémentation de e type,ensebasant surune représentation polynmiale de l'impédan e,méthode qu'ilsavaient par ailleursdéjà appliquéeen FDTD.Commenousle mon-trerons, ette te hnique montretoutefoisde fortesdis ordan esave lessolutions analytiques.Il nousadon sembléprimordialdedévelopperunenouvelleformulation,mieuxadaptéeàlaTLM. Sur la base d'autres travaux réalisés en FDTD, la méthode que nous proposerons onsistera à approximer l'impédan e par une somme de systèmes linéaires du premier ordre. L'usage d'une méthode de onvolution ré ursive permettra par ailleurs de limiter le oût numérique asso ié au al ul du hamp de pression sonore sur la frontière. An de valider ette formulation, des simulations numériques de lapropagation a oustiqueau-dessus d'un sol seront présentées, puis onfrontées aux solutions théoriques données par les modèles de propagation d'Ingard-Rudni k pourunsolhomogène etde Rasmussenpour unsolave dis ontinuité d'impédan e.Ces ompa-raisonsmontreront lapertinen e delaformulation proposée.

Lessimulations présentées pré édemment pour validerlaformulation des onditions d'impé-dan esontréaliséesenrepoussantleslimitesdudomainede al ulsusammentloindudomaine d'intérêtpourgarantirl'absen ederéexionsparasitessurleslimitesdudomaine.C'estd'ailleurs e même hoix quiest faitdansl'ensembledestravauxproposésdanslalittérature surlaTLM, portant sur la propagation a oustique en milieu extérieur. En eet, une di ulté majeure de l'étudedelapropagationdusonenmilieuouvertestqu'ellené essitepardénitiondemodéliser un espa e  inni . L'élargissement du domaine de al ul pour éviter les réexions parasites dans la plage temporelle d'intérêt est parti ulièrement oûteux numériquement et ne permet pas de réaliser des simulations sur de longues durées. L'introdu tion de onditions aux fron-tières absorbantes onsistealors à fermervirtuellement ledomaine de al ul enlimitant es réexions parasites. Dans le hapitre 3 , nous présenterons les onditions aux frontières absor-bantesproposées dans lalittérature pour laTLM . En parti ulier, nousmontrerons, d'une part, quela formulation basée surun développement de Taylordu hamp depression surla frontière (El-Masri et oll., 1996 ) n'est pas exploitable du fait des instabilités numériques apparaissant après le passage du front d'onde, et d'autre part, que la méthode onsistant à appliquer une ondition d'impédan e purement réelle aux frontières n'est pas exploitable. Nos travaux porte-ront alors sur le développement de ou hes absorbantes anisotropes en amont de la limite du domainede al ul,atténuantprogressivement le hampdepression.Laformulationproposéeest basée sur les travaux suggérés par DeCogan et oll. (2005 ), et onsiste dans notre as à atté-nuer lesimpulsionssonoressepropageant uniquement dansladire tion depropagation orientée versla limite dudomaine de al ul.À l'aided'une étudenumérique,nousmontrerons que ette appro hesimplepermet d'obtenirdesrésultatsplussatisfaisantsqu'ave lesautresformulations. Dans le hapitre 4,nousprésenterons nalement deuxexemplesd'appli ation de la formula-tionTLMàlapropagationdusonenmilieuurbain,enintégrantlesformalismesdéveloppésdans les deux hapitres pré édents, on ernant les onditions d'impédan e omplexes et les ou hes absorbantes sur les limites du domaine. Le asd'un bâtiment protégé par un é ran a oustique  bas, plat ou en  L, et le as d'unezone alme derrière un bâtiment donnant sur une rue bruyante seront traités.Danslesdeux as, unrevêtement végétal surlesé rans a oustiques, sur les façades et surle toit des bâtiments sera aussi testé. Ce hapitre ne onstitue pas en soi uneétudedelarédu tiondesnuisan essonoresapportéepar uné rana oustiqueouparun trai-tementensurfa esvégétalisées. Lesanalysesquenousfaisonssontd'ailleursassezsu in tes. Ils'agit pluttd'uneétudedefaisabilité del'appli ation delaTLMàlaproblématiqueurbaine.

Modélisation TLM de la propagation

a oustique

L'obje tif de e hapitre est multiple. Dans un premier temps (se tion 1.1), nous revenons sur le prin ipe général de laTLM et réalisons un bref état de l'art du développement de ette méthode en éle tromagnétisme, puis détaillé en e qui on erne ses appli ations en a oustique. Enparti ulier, nousinsistons surlespremièresappro hesproposées pourmodéliser ertains des phénomènesphysiquesmisenjeudanslepro essusdepropagationa oustiqueenmilieuextérieur. Dansun se ondtemps (se tion 1.2), ande posersimplement les bases delaformulation TLM, nous dé rivons le as a adémique de lapropagation a oustiqueen milieu homogène  ouvert  (i.e.en hamplibre)etsansdissipation.Dansuntroisièmetemps(se tion1.3 ),nous onsidérons le asplusréalistedelapropagationa oustiquesoumiseauxeetsdeshétérogénéitésdumilieude propagation (eetsmétéorologiques) et de ladissipation (absorption atmosphérique)au sein de emilieu, àtraversune formulation générique1D/2D/3DquenousproposonsdelaTLM. Cette é riture onstitue d'ailleurs l'originalité de e premier hapitre puisque nous intégrons, au sein d'uneunique formulation, l'ensemble des ontributions proposées dans lalittérature adaptées à notre problématique. Nousen avonspar ailleurs généralisé ertaines en trois dimensions. Dans la se tion suivante (se tion 1.4 ), nous introduisons les onditions aux limites du domaine de propagation et en donnons quelquesexemples d'appli ation à lamodélisation du hamp sonore dansunesalleferméeetàlapropagationa oustiqueau-dessusd'unsolparfaitementréé hissant enmilieuextérieur.Enn,nous on luons(se tion1.5)surleslimitesdel'appro heproposéepour la prévisiona oustiqueen milieu urbain et énonçons ainsi les perspe tivesdu travail développé dansles hapitres suivants.

1.1 Prin ipe et état de l'art de la méthode TLM

1.1.1 Prin ipe de Huygens

Le physi ien néerlandais Christiaan Huygens publia en 1690 le  Traité de la lumière  dans lequel il développe ses théories on ernant desphénomènes optiques tels que la réexion, latransmission, la réfra tion,ladira tion et les pro essusinterférentiels. Il ydé rit la lumière ommeunevibrationmé aniquequisetransmetentreparti ulesvoisinespardes ho sélastiques dans toutes les dire tions de l'espa e. D'après lui, la propagation de la lumière peut ainsi être assimiléeàladiusiond'impulsionslumineusesentrephotons

1

voisinsà desintervallesde temps 1

L'usage de e termeest quelquepeu abusifétantdonné que les quanta delumièren'ont éténommés ainsi qu'en1926 parle himisteG.N.Lewisdanslapubli ation The onservationof photons,DansNature,vol.

réguliers(dis rétisationsspatiale et temporelle).

Huygens onsidère don qu'unfront d'onde peut êtredé omposé enun ensemble desour es se ondaires qui émettent des ondelettes sphériques de fréquen es, d'amplitudes et de phases identiques, dont les enveloppes peuvent à nouveau être dé rites par une nouvelle génération de sour es rayonnant également des ondelettes sphériques. Ce prin ipe, s hématisé à lagure 1.1, illustre par onséquent des phénomènes physiques omplexes en onsidérant qu'une onde se propage(ou plus exa tement sediuse)de pro heen pro he dansl'espa e.

Fig.1.1 S hématisation duprin ipe de Huygens(Kagawa et oll.,1998 ). Sour e

Sour e se ondaire

Ondelette

Fronts d'onde

1.1.2 Con ept des lignes de transmission et dis rétisation spatiale

D'après le prin ipe de Huygens, les phénomènes ondulatoires peuvent être représentés par destransfertslo auxd'impulsions.Unmilieu depropagationpeut par onséquent êtredis rétisé souslaformed'unréseauden÷udsreliésentreeuxpar deslignesdetransmissionquiassurentle transfert desimpulsionsarrivant à haque n÷udvers les n÷udsadja ents. En a oustique, ilest ertainement plus approprié de onsidérer des anauxreliant desvolumes, plutt quedeslignes de transmission onne tant des n÷uds entre eux (voir paragraphe 2.2.1 ), tels que le pré isent parexemple Kagawa et oll.(1998 ).Ilestimportantde garder ettedistin tionàl'esprit, même si, parlasuite,nous ontinueronsà employer lestermesren ontrés danslamajorité destravaux surlaTLMen a oustique(i.e. lignesde transmission et n÷uds ).

An que lefront d'onde sepropage àla même vitessedanstoutes les dire tions de l'espa e, ilestpréférablequetoutesleslignesde transmissionaientunelongueur identique

∆l

, e qui im-pliquelemêmepasdetemps

∆t

pourletransfertdesimpulsionsentren÷udsvoisins(gure1.2). Cette te hnique permet d'assurer une vitesse de propagation identique dans l'ensemble du do-maine de al ul. Un maillage irrégulier est ependant également envisageableen ranant le

passpatial

∆l

àproximitédesfrontières(voir Trenki et oll. ,1995 ).Dans ettezone, lepas

∆l

′

doit être tel que

∆l

′

= ∆l/n

, où

n

est un nombre entier. Par onséquent, lepas temporel pour ette régiondu domaine de al ul vaut également

∆t

′

= ∆t/n

et les quantitésdéterminées dans le reste du domaine (i.e. ave un pas spatial

∆l

) doivent être gardées en mémoire pendant

n

in réments de temps

∆t

′

. Cependant, ette te hnique omplexie et alourdit substantiellement l'algorithmede al ulet etteméthode devientquasimentinexploitabledansdesmilieuxde pro-pagation omplexes.Par onséquent, nousavonsfaitle hoix d'unmaillage régulier quiprésente l'avantagede simplier onsidérablement lapro édurede dis rétisationspatiale.Cetype de dis- rétisationex lutdon unemodélisations rupuleusedelagéométried'undomaine,enparti ulier si edernierprésenteunemorphologiefortementirrégulière.Uneméthodeaainsiétéproposéeen a oustiqueparS ott et DeCogan(2008 )ande orriger l'é artentrelalo alisationréelle d'une frontière et elle du modèle numérique. Elle onsiste à apporter une orre tion de l'impédan e pour haque ligne de transmission onne tée à la frontière en fon tion de la distan e entre le n÷ud adja ent à lafrontière et la lo alisationréelle de la frontière. Cetteappro he, qui doit se traduire par une modi ation des éléments de la matri e de diusion (Éq. 1.5 ) orrespondant aux lignes de transmission on ernées dans la formulation TLM présentée par la suite, n'a pas étéexploitéedansle adrede notretravail.

Parailleurs,ladistan e

∆l

entren÷udsvoisinsdoitêtresusamment ourtepourquel'onde sonore sepropageant dans haque lignepuisseêtre onsidérée omme plane. Cettedistan edoit ainsien général respe ter la onditionsuivante :

∆l 6

λ

min

10

,

(1.1)

ave

λ

min

la plus petite longueur d'onde d'intérêt. Le respe t de ette ondition a un triple intérêt. Tout d'abord, ela permet de onrmer l'hypothèse d'ondes planes dans les lignes de transmission telle qu'elle vient d'être énon ée. Cela a également pour onséquen e de limiter la dispersion numérique qui sera expli itée au paragraphe 1.2.2.2 . Enn, dans le adre de la modélisationdelapropagationa oustiquedansun milieuréel,i.e.ave desdimensionspré ises, l'appli ation d'un passusamment n permet de minimiser l'é art entre lamorphologie réelle desfrontières et lemodèlenumérique.

1.1.3 Un on ept issu de l'éle tromagnétisme

La méthode TLM est un on ept numérique basé sur le prin ipe de Huygens et inspirée deste hniques desimulation de réseau (Whinneryet Ramo, 1944 ). Elle a étésuggérée et déve-loppée par Johnset Beurle (1971)pour larésolution de problèmes bidimensionnels de diusion des ondeséle tromagnétiques dans desguides d'onde homogènes. Dès es premiers travaux, les auteurs soulignent le risque de onfusion possible entre la vitesse de propagation dans l'espa e dis rétisé et la vitesse réelle de propagation dans le milieu réel ( e point sera détaillé au para-graphe1.2.2.2 ).Johns(1972 )proposapar lasuiteune extensiontridimensionnelle qu'ilemploya pourévaluerlesfréquen esde oupuredeguidesd'ondedese tionsarbitrairesetpourtraiterdes milieux hétérogènes (Johns , 1974 ). Shih et Hoefer (1980 ) ont ensuite présenté les trois sour es d'erreur potentielles ae tant l'analyse desphénomènes ondulatoires omplexes par laméthode TLM : les erreurs de tron ature (phénomène de Gibbs), de vitesse ( et eet est expli ité au paragraphe 1.2.2.2 )et derésolution spatiale.Hoefer(1985 )adé rit plustardlamodélisationde frontières irrégulières, ainsi que des propriétés dispersives et anisotropiques des matériaux, en reprenantlestravauxdeSaguetet Pi (1982 ) on ernant unenouvelleformededis rétisationde

(i, j)

(i − 1, j)

(i + 1, j)

(i, j − 1)

(i, j + 1)

∆l

∆l

Fig. 1.2 Représentation duréseau de lignesde transmission entrésur len÷ud

(i, j)

.

Johns (1987a ) montra plus tard l'équivalen e numérique de la formulation TLM et de la méthode des diéren es nies, et donna naissan e à la forme la plus employée de la méthode TLM par la suite,sous l'appellation  Symmetri al Condensed Node

2

 (SCN)(Johns , 1987b ). Simonset Bridges (1991 ), ainsi que Chenet oll. (1991 ), se sont également intéressés à l'équi-valen e delaméthode desdiéren esnies dansledomaine temporel(FDTD ) ave laméthode TLM . Ces deux méthodes se distinguent prin ipalement d'un point de vue on eptuel puisque la FDTD repose sur une dis rétisation des équations régissant lapropagation des ondes tandis que laTLM est baséesur une représentation dis rète du mé anisme physique ondulatoire dans un réseaude lignesde transmission.

Bien que la méthode TLM soit fondamentalement temporelle, Jin et Vahldie k (1992 ) ont proposé une nouvelle formulation de e on ept dans le domaine fréquentiel et souligné le fait que des erreurs négligeables dans le domaine temporel peuvent s'avérer onsidérables dans le domainedeFourier.L'introdu tionde onditionsauxfrontièresabsorbantesaensuiteétédé rite par Morente et oll. (1992 ), qui en proposèrent troisappro hes diérentes, la plusprometteuse onsistantenunjeude onditionsabsorbantesdis rètesdire tementdérivéesdelaformedis rète de l'équation d'onde et développées par Higdon (1986 , 1987 ). Les ou hes absorbantes parfai-tement adaptées ( Perfe tly Mat hed Layer(s)  (PML )),proposées initialement par Bérenger (1994 ), ont ensuite été introduites par Eswarappaet Hoefer (1995 ) dans un modèle hybride ouplant TLM et FDTD, les deux méthodes étant employées respe tivement pour modéliser la propagationdanslemilieud'intérêt etdansles PML.Lapremièreimplémentation dePMLdans unmodèleintégralementTLMaétéinitiéepar Dubardet Pompéi(1997;2000 )dont lestravaux ont été repris par Le Maguer (1998 , 2001). La méthode TLM a été largement employée par la suite dansde nombreux domainesde l'éle tromagnétisme.

2

1.1.4 Appli ations en a oustique

Johns(1977 )avaitdéjàproposétrèsttd'appliquerlaTLMàd'autresdomainesque l'éle tro-magnétisme, ets'était en parti ulierintéresséà larésolution d'uneéquation dediusion.Hoefer (1985 ) avait également pressenti les potentialités d'adaptation de la TLM à des problèmes de thermique (Smyet oll., 2001; Ho ine et oll. , 2003) et d'a oustique. Par la suite, ette repré-sentation dis rète de la propagation des ondes a ee tivement été employée ave su ès pour desappli ationsdiversesena oustique.LaTLMestégalement régulièrement ren ontréedans e domaine souslesappellationsDigitalWaveguide Networks (DWN),DigitalWaveguide Mesh (DWM), ou en ore S atteringElement Method (SEM ).

L'appli ation delaméthodeTLMena oustiquea étéinitiée par Salehet Blan held(1990 ) pourl'analysed'un modèlederayonnement a oustiquede barrettesdetransdu teurs. La propa-gationdusondansle onduitvo alaensuiteétéétudiée parEl-Masri et oll.(1996 )danslebut, notamment, d'évaluer l'eet des modes propagatifs d'ordres supérieurs. Les auteurs présentent une formulation de onditions aux frontièresabsorbantes baséeun développement de Taylordu hampde pression surla limite du domaine de al ul et inspiréede travaux réaliséspar Saguet (1991 )enéle tromagnétisme. Cettete hnique aégalement étéintroduiteplustarddansdes mo-dèles DWMpar Murphyet Mullen (2002 ) et Kelloniemiet oll.(2004 ). Un systèmede ontrle a tif dubruitde tuyaux d'é happement a étéétudié parO'Connor et Cavanagh (1997) endeux dimensions.Ilssoulignentlefaitquelaméthodeestpréférablementvouéeàdessimulationsbasses fréquen es en raison desperforman es informatiques requisesen terme de mémoire.En eet, le nombre

n

de n÷uds des modèles TLM suit une loi en

o n

2

en deux dimensions, le maillage TLMdé rivant dans e asune surfa e,et une loi en

o n

3

en troisdimensions, lemaillage re-présentant alorsunvolume.LaTLMaaussiétéplusré emment utiliséepar Lee et Wang(2006 ) pour évaluer les propriétés a oustiques, telles quel'absorption et latransmission, de matériaux absorbantsou d'isolants multi- ou hes dansdestubesde Kundt.

Lamodélisationd'unmilieuhétérogène,dispersifetnon-linéaireaétéinitiéeparKagawa et oll. (1998 )pourl'étudedu hampa oustiqueaxisymétriquedansun onduit.Kagawa et oll.(1999 ) ontégalement employé plustardleurmodèlepourdesappli ationsplusoriginales on ernant la lo alisation de sour es sonores par renversement temporel, ainsi que la re onstru tion d'objets suivantleprin ipedelatomographie.Dansunautredomained'appli ation,lestravaux onduits par Kagawa et oll. (2001 ) ont onsisté à modéliser la propagation des ondes a oustiques dans l'o éan, où la vitesse de propagation ne dépend pas de la dire tion de propagation mais de la positiondans l'espa e (milieu hétérogène), ainsi quedans un é oulement pour lequel la élérité dépenddeladire tiondepropagation(milieuanisotrope).Dans etarti le,lesauteursemploient l'équation de Ma kenzie (1981 )pour déterminer la élérité en fon tion de latempérature, de la salinitéetdelaprofondeur.Deleur té,Portí et Morente(2001a ,b)ontétudiédesguidesd'onde bidimensionnelsave une hambre de ompressionetave unrésonateurdeHelmholtzet ont dé-terminé les fréquen es de résonan e d'une boîte ubique. L'équipe de Kagawa a par la suite modélisé lapropagationdesondes élastiques longitudinales et transversales dansdesmatériaux élastiques homogènes(Kagawa et oll. , 2002; Kagawa, 2003).

La TLM a aussi été utilisée dans le adre de problématiques radi alement diérentes. Ci-tons par exemple les travaux de Cio anet Ida(2003 ) qui,en vued'améliorer les te hniques de Contrle Non-Destru tif (CND), ont simulé la propagation d'ultrasons dans divers matériaux multi- ou hesd'impédan es a oustiques diérentes. Dans ledomaine de la synthèse sonore mu-si ale, Bensa et oll. (2003 ) ont modéliséles vibrations transversesde ordes depiano.

dedis rétiserledomaineave desmaillesrégulières(i.e.ave unpasspatialidentiquedanstoutes lesdire tionsdel'espa e)ou,dansle asd'unranementdumaillageauxlimitesdudomaine,de dimensionnerlessous-maillespar unedivisionentière desmaillesprin ipales. S ottet DeCogan (2008 )ontainsiproposéd'appliquerune orre tiondel'impédan edeslignesdetransmissionaux n÷uds adja entsdes frontières, quis'é rit pour ha une de eslignes enfon tion de ladistan e entre esn÷uds et lavéritable frontière.

Con ernantplusspé iquementnotreproblématique,i.e.lapropagationa oustiqueenmilieu aérien, quelques travaux ont été proposés dans la littérature, dans le domaine de l'a oustique des salles et dans elui de la propagation a oustiqueen milieu extérieur. Les deuxparagraphes suivants reviennent plus endétail sur es ontributions.

1.1.4.1 A oustique des salles

Kagawa et oll.(1999 ) ontappliquéleurmodèleaux al ulsdestempsderéverbération dans une salle ubique et dans une salle de formes irrégulières. Ils ont onfrontés leurs résultats à eux fournis par les appro hes lassiques en a oustique des salles, i.e. les formules de Sabine et de Eyring. Un modèle SEM tridimensionnel a été proposé par Blau et Wilde (2004) pour déterminer desindi ateurspropres à l'a oustiqued'unesalle, tels queletemps de réverbération et la larté

3

. Dans e modèle, un amortissement arti iel a été ajouté sur les murs de la salle, par l'intermédiaire de ltres passe-bas du premier ordre, de manière à reproduire l'absorption des parois. Enn, Chai et Kagawa (2007 ) se sont intéressés à la ara térisation de matériaux absorbants, quisont modélisés en prolongeant lemilieu de propagationuidepar une région de ara téristiques(densité, vitessedepropagation) diérentes reposant surune surfa e rigide.

D'un point de vue de l'optimisation du s héma numérique, et toujours on ernant des ap-pli ations en a oustique des salles, Miklav i et Eri sson (2004 ) ont poursuivi les travaux de VanDuyne et Smith III(1995,1996 )enDWMsurl'usaged'unmaillagetétraédriqueaulieud'un maillage ubiquetraditionnel.Cettetopologie,quipeutêtredé riteparunestru turemolé ulaire ristalline dediamant (Van Duyne, 2007), permet alors d'employer laformulation bidimension-nelle de laTLMpour dessimulationstridimensionnelles, et de réduire ainsisigni ativement le temps de al ul ainsique l'espa e mémoire par rapportà un maillage tridimensionnel artésien lassique.Camposet Howard (2005 )ontd'ailleurs testédiérentestopologiesde maillage et dé- rivent les avantages d'une dis rétisationde l'espa e par une grille tétraédrique,tant en termes de nombre d'opérations par n÷udquede dispersionnumérique.

1.1.4.2 Propagation a oustique en milieu extérieur

La propagation d'uneonde sonore mono hromatique en milieu urbain a été modélisée pour la première fois dans une appro he TLM par Kristiansen et oll. (2000 ). Ces derniers ont ainsi montré, au travers de simulations en deux dimensions, que les eets de dira tion et les phé-nomènes d'ondes stationnaires sont naturellement pris en ompte dans la formulation TLM. Kristiansen et Jezzine (2000 ) ont également étudié la propagation d'une impulsion sonore au-dessusd'un solporeux in lusdansledomaine de al ul.Le matériauporeuxestalors dé rit par unensembledeparamètres ara téristiques(résistan eaupassagedel'air,porositéettortuosité) qui sont reliés aux paramètres du modèle TLM. Hübelt (2003 ) s'est également intéressé à l'in-uen e d'un sol poreux (revêtement drainant), surla propagationdes ondesa oustiques depuis un point sour e situé au onta t d'un pneumatique et de la haussée. Dans e travail, le sol

3

d'épaisseurnie et dissipatifest dé rit par lemodèle d'impédan ephénoménologique de Hamet (1992 ).Le domaine de al ul est alors onstitué de deuxmilieux : le solet leuide ( edernier, l'air,étantsupposéhomogèneetnon-dissipatif).Parailleurs,Dutilleux et Kristiansen(2004 )ont étudiélesréexions diusessurunesurfa e rugueusedé riteselondiérentes appro hes, notam-ment en onsidérant une représentation de la paroi rugueuse par l'intermédiaire d'un ensemble de guidesd'onde parallèlesde profondeursdiérentesou par générationd'unesurfa e aléatoire. Con ernant laprise en omptedes onditions auxlimitesdanslaformulation TLM,quelques appro hesontétéprésentées.Ens'inspirantdeleursproprestravauxenFDTD(Heuts hi et oll., 2005 ),Hofmann et Heuts hi(2007 )ontparexemple proposéuneapproximationd'une ondition d'impédan e auxfrontières basée surune représentation polynomiale de l'impédan e omplexe, dénie par le modèle de Delanyet Bazley (1970 ), pour modéliser la propagation du son au-dessusd'unesurfa e poreuse. Lapertinen ede ette appro he esttoutefois dis utable

4

, puisque les simulations présentées dansl'arti le de référen esont uniquement onfrontées aux solutions théoriques intégrant l'approximation de l'impédan e au lieu du modèle d'impédan e original. Danslemêmedomaine,Es olano et Ja obsen(2006 )ont proposéuneméthodedeltrage numé-riqueauxfrontières,ave desltresIIR(InniteImpulseResponse)du40

e

ordre,pourdé rireune surfa eàréa tionlo aliséedansunmodèleDWM .Tsu hiya(2008 )aemployélamêmeappro he ave des ltresIIRd'ordre 5 pour représenter l'absorption d'un matériau en in iden e normale uniquement, appliquée àun modèleunidimensionnel.

Auniveaudelapriseen ompted'hétérogénéitésdanslemilieudepropagation(i.e.leseets météorologiques), les travaux de Hofmann et Heuts hi (2007 ) ont permis d'introduire la notion de éléritéee tivedusondansunmodèleTLM .Apriori,l'implémentationproposéenepermet ependant de modéliser qu'un ux moyen unidire tionnel, e qui n'est pas représentatif de la réalité pour l'étude de lapropagation en milieu  ouvert. Une autre méthode développée par Dutilleux(2007 )permetenrevan hedeprendreen ompteles hampsmoyensdetempératureet devent,ainsiquelaturbulen eatmosphérique,quellequesoitladire tionduuxaérodynamique. Cetteméthodené essitede al ulerl'intensitéa oustiquemoyenne en haquen÷uddudomaine, et par onséquent le ve teur vitesseparti ulaire, an d'estimer la dire tion de propagation des ondes.

Con ernant leseetsdissipatifsdanslemilieudepropagation,Tsu hiya (2006 )aintroduitla dépendan eenfréquen edel'absorptionatmosphériqueenfaisantusagedeltresnumériquesde type FIR (Finite Impulse Response). Des ltres d'ordre 20 expriment alors les ara téristiques relativesaupro essusderelaxationmolé ulaireduuide,tandisquedesltresd'ordre10sont re-quispourretrans rirel'absorption lassique.Lemêmemodèle,appliqué ettefoisàlasimulation unidimensionnelle de lapropagationdu sondanslamer, suggère toutefoisla fortelimitation de etteméthode,àsavoirson oûtnumérique.Hofmann et Heuts hi(2007 ) ont proposéuneautre solution onsistant à introduire un paramètre dissipatifdans les hémanumérique, fon tion du oe ient d'absorption atmosphérique pour unefréquen eparti ulière.

Con ernant l'implémentation de ou hes absorbantes pour limiter virtuellement le domaine de al ul, une appro he hybride TLM FDTD, proposée par Eswarappaet Hoefer (1995 ) pour introduire desPML ,aétéexploitéepar Portí et Morente (2001a )et a on luàune performan e largement supérieure de la méthode par rapport à elle utilisant des frontières absorbantes de Higdon (1986 , 1987 )

5

En théorie, l'introdu tion rigoureuse de PML dans un modèle TLM né-4

Cepointseradéveloppéau hapitre2. 5

Les onditionsauxfrontièresabsorbantesdeHigdonpermettentd'atténuerlesondesin identessurlalimite du domaine de al ul en fon tion de leurs angles d'in iden e,un fa teur d'atténuation étant ainsidéni pour haqueangled'in iden e.Cetypede onditionsauxfrontièresnedonnepar onséquentdesrésultatssatisfaisants