Construction de bases d'ondelettes de $L^2[0,1]$ et estimation du paramètre de longue mémoire par la méthode des ondelettes.

HAL Id: tel-00666162

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00666162

Submitted on 10 Feb 2012

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Construction de bases d’ondelettes de L

2

_{[0, 1] et}

estimation du paramètre de longue mémoire par la

méthode des ondelettes.

Hatem Bibi

To cite this version:

Hatem Bibi. Construction de bases d’ondelettes de L

2

_{[0, 1] et estimation du paramètre de longue}

mémoire par la méthode des ondelettes.. Statistiques [math.ST]. Université PanthéonSorbonne

-Paris I, 2011. Français. �tel-00666162�

U.F.R. MATHÉMATIQUES

N

o

attribué par labibliothèque

THÈSE DE DOCTORAT

Présentéepar

Hatem BIBI

Pour obtenir legrade de

DOCTEUR EN SCIENCES

SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Constru tion des bases d'ondelettes de

L

2

_{([0, 1])}

&

Estimation du paramètre de longue mémoire par la

méthode des ondelettes

SouslaDire tionde

Pr. Jean-Mar BARDET &Pr. Abdellatif JOUINI

Soutenue le4Novembre 2011

Compositiondu jury

Antoine Aya he Examinateur Professeurde l'Université LilleI Jean-Mar Bardet Co-dire teur Professeurde l'Université Paris 1

Paul Doukhan Président Professeurde l'Université Cergy-Pontoise

Abdellatif Jouini Co-dire teur Professeurde l'Université deTunis François Roue Rapporteur ProfesseurTELECOM ParisTe h Mohamed Si Rapporteur Professeurde l'Université deTunis

Je tiens toutd'abord àadresser mesplus vifsremer iementsà mesdeuxen adreurs, Pr Jean-Mar Bardet et Pr Abdellatif Jouini, ils ont été présents et patients pendant toutes esannées dethèse, leuraidem'était vraiment inestimable.

Je remer ie les membres du jury pour l'intérêt qu'ils ont porté à ma thèse. Pr.Si et Pr.Roue d'avoir a epté d'être rapporteurs, Pr Doukhan qui a présidé e jury et Pr.Aya he d'y avoirétéexaminateur.

Je remer ie MarieCottrell qui m'a permis d'intégrer lelaboratoire du SAMM.Pour sonsoutienet sagentillese, et grâ eà qui,règneune onvivialitésans pareilauSAMM.

AlesmembresduSAMM,mer iàvoustous:Xavier,Annie,Patri e, Patri k,Ce ile, Ciprian,Giles,Joseph,Joel,Corrine,Omar,Olivier,Imen,Be hir,Mohamed, Madalina,

Ce ile,Vin ent,Xavier,Charles,Ciprian,Sandie, Riadh,Catherine, Fania, Khalifa, Au-relien, Lot,Hugo, Jihed, Denis,Kader, Dhaou, Moez, Solesnes,Nathanael, Lionel.

A Hédiqui m'abeau oupaidé àParis,Enaket MrHammadi.

A ma femme qui a beau oupsa rié. Elle m'a épaulé et a su être patiente pendant es années, à mes enfants Hamza et Khalil. A mes parents à qui je dois tout, à ma belle famille qui m'a soutenu, et enn à tous eux quiont ontribué à ette thèse de prés ou

Remer iements . . . iii

Résumé . . . 3

Bibliographie du résumé . . . 5

.A Préambule & Prin ipaux résultats 9 1 Constru tion de bases d'ondelettes surl'intervalle 11 1.1 Introdu tion . . . 11

1.2 Lesondelettes . . . 11

1.3 L'analysemultirésolutionet basesorthonormées d'ondelettes. . . 13

1.4 L'analysemultirésolutionbiorthogonale . . . 15

1.5 AnalyseMultirésolution orthogonalesur l'intervalle

[0, 1]

. . . 16

1.5.1 LesOndelettes orthogonales sur

[0, 1]

. . . 17

1.6 Prin ipaux résultats . . . 18

Bibliographie . . . 20

2 Estimation du paramètre de longue mémoire 23 2.0.1 Lesnotions de stationnarité . . . 23

2.0.2 Lespro essusà longuemémoire . . . 24

2.1 Lesméthodesd'estimation du paramètrede longue mémoire . . . 25

2.1.1 Lesméthodesspe trales . . . 26

2.1.2 Lesméthodestemporelles . . . 28

2.1.3 La méthode d'estimation par ondelettes . . . 30

2.2 Prin ipaux résultats . . . 31

2.2.1 Le asdespro essusgaussiens . . . 31

2.2.2 Le asdespro essuslinéaires . . . 34

Bibliographie . . . 36

.B Arti les 41 1 More general onstru tions 43 1.1 Introdu tion . . . 46

1.2 Orthogonal multiresolutionanalysison the interval[0,1℄ . . . 47

1.3 Biorthogonalmultiresolution analysison the interval[0,1℄ . . . 52

1.4 Thestudy ofregular spa es offun tionson the interval [0,1℄ . . . 55

2 Wavelet based estimator of D forstationary Gaussian pro esses 61 2.1 Introdu tion . . . 64 2.2 A entral limit theoremfor the sample varian e of wavelet oe ients . . 68

2.3 Adaptive estimator ofmemory parameter using data drivenoptimal s ales 70 2.4 Simulations . . . 74 2.4.1 Propertiesof adaptive wavelet basisestimators fromsimulations . 75

2.4.2 Comparisons fromsimulations. . . 79 2.5 Proofs . . . 80 Bibliography . . . 90

3 Wavelet based estimator of D forstationary linear pro esses 97 3.1 Introdu tion . . . 100 3.2 A entral limit theoremfor the sample varian e of wavelet oe ients . . 102

3.3 Adaptiveestimatorofthememoryparameterandadaptivegoodness-of-t test. . . 104 3.4 Simulations . . . 106

3.4.1 Comparisonof the wavelet-based estimatorwith other estimators . 107 3.4.2 Consisten yand robustness ofthe adaptive goodness-of-t test : . 110 3.5 Proofs . . . 113

L'analyseparondelettes estprésentéedans ettethèse omme alternative àl'analyse de Fourier dansdeux domaines, àsavoir la onstru tion desbases sur l'intervalle d'une partet l'estimation duparamètre de longuemémoire d'autre part.

La onstru tion desbases d'ondelettesdébutaaudébut desannées90.Ces onstru -tions utilisaient les bases splines jusqu'a la dé ouverte des bases de Daube hies et l'in-trodu tion de l'analysemultirésolution (AMR).

LaméthodeAMRdonnetouteslesbasesd'ondelettes onnuesà ejourpour l'espa e des fon tions de arré sommable

L

2

_(R)

. Une telle analyse onsiste à dé omposer le signal sur une gamme très étendue d'é helles, opération que l'on peut omparer à une

artographie

Mais qu'en est il de l'espa e des fon tions de arré sommable sur

[0, 1]

? Il ne sut pas de prendre les restri tion de es bases à

[0, 1]

. Cette initiative a été prise par Yves Meyer [9 ℄. Il montra que les restri tionsdes fon tions d'é helles à l'intervalle formaient unsystème libre alors queles restri tionsdesondelettes asso iéesformaient unsystème lié.

Nousprésentonsune solutionà ettedépendan edanslepremiervoletde ette thèse et généralisons la méthode d'Yves Meyer en partant d'une Analyse Multirésolution Or-thogonale arbitraire à support ompa t. Pour aboutir au as biorthogonale on utilise la méthode de dérivation et d'intégration. Comme appli ations, on étudie les espa es de

Sobolev

H

s

_{([0, 1])}

et

H

s

0

([0, 1])

pour

s

∈ N

.

Pour e qui est du se ond volet, nous présentons dans un adre semiparamétrique, un estimateur adaptatif du paramètre de longue mémoire basé sur les ondelettes dans

le asdepro essusstationnaire gaussienpuislinéaire. Lapropriété de omportement de lavarian e du oe ient d'ondeletteen puissan esuggèreunestimateur obtenupar une

simple régression dans un s héma log-log desé helles sur la varian e empirique. L'esti-mateur obtenu vérie alors un théorème limite entral, pour lequel on estime l'é helle la vitesse maximale de onvergen e ainsique l'é helle minimale à partir de laquelle les

propriétés sont valides. Nous pro édons à des diérents ajustements an d'obtenir des estimateurs adaptés à ertaines onditions. Nousétudionsalors les propriétés de onsis-tan e et robustesse de es estimateurs. Les omparaisons ave les estimateurs existants onrment la performan e de nos estimateurs et enn un test d'adéquation est établi

L'idée d'utiliser des bases d'ondelettes s'est imposée depuis que es bases ont fait la preuve de leur e a ité dans le traitement du signal. Y. Meyer et P.G. Lemarié [8℄ dé ouvrirent la première base orthonormale d'ondelettes dans la lasse de S hwartz ,

puisI. Daube hies ave unefamille de bases orthonormalesd'ondelettes àsupport om-pa t.Finalement grâ eàlanotiond'analysemultirésolution(ou AMR)introduiteparS. Mallat, desalgorithmes rapides d'analysedans es bases ont étémis en ÷uvre. Deplus

ellesformentdesbasesin onditionnelles pour lesespa esdeSobolev.Anqueles hoses soient laires,onaura prissoin avant dedénir etteAMRdeprésenterdansle hapitre 1 lesnotions d'ondelettes et leurs transformées.

L'AMR est alors présentée. Cette analyse de l'espa e des fon tions de arrés som-mables

L

2

_(R)

quel'onprésentedansunepremièrepartiesuiviedel'analysebiorthogonale onsiste à dé ouper et espa e en une suite roissante de sous-espa es ve toriels fermés

. Ces sous-espa es sont d'interse tion égale à

{0}

et de réunion dense dans l'espa e. Chaque sous-espa e est l'ensemble de toutes les approximations possibles d'un même signal à l'é helle asso iée au sous-espa e. Le signal à analyser sera approximé par une

su essiondeproje tionsorthogonalessurlessous-espa es,onobtientainsiune artogra-phiede esignal.Lesbasesde

L

2

_(R)

sontbiendéniesetneprésententplusdedi ultés quand à leurs onstru tions, ependant quand on entame l'espa e

L

2

_{([0, 1])}

, il ne sut

pas de prendre la restri tions de es familles à l'intervalle [0,1℄, des eets de bord in-terfèrent dans les propriétés d'indépendan e né essaires à la onstru tion de es bases. Nous présentons alors la onstru tion de bases d'ondelettes sur l'intervalle dé rite par

Y. Meyer [9℄. Ce dernier montre en eet que dan le as des fon tions d'é helles, leurs restri tions à l'intervalle onserve l'aspe t de l'indépendan e e qui n'est pas le asdes famillesd'ondelettes.Nousnousproposonsdanslepremierarti le alorsdegénéraliser sa

méthodeen partant d'uneAnalyseMultirésolutionOrthogonale arbitraire, pour aboutir parextensionau asbiorthogonaleobtenueparlaméthodededérivationetd'integration. L'étude desespa esfon tionnels de Sobolev

H

s

_{([0, 1])}

et

H

s

0

([0, 1])

s'imposealors de lui même.Unrésumédesprin ipauxrésultatss'ensuit.Cetravail[5℄ayantfaitl'objetd'une

publi ation .

Le hapitre 2 est onsa rée à l'estimation du paramètre de longue mémoire par onde-lettes. Cette démar he s'ins rit dansla ontinuité naturelle destravaux qui débutèrent

ave Abryetal.[2,1℄pourlespro essusautosimilaires.Bardetetal.[3℄montrala onsis-tan e de et estimateurdansun adresemiparamétrique pour le asgaussien, Moulines et al. [10 ℄ montrèrent l'optimalité de et estimateur au sens du ritère minimax. Le as

linéaire fut entrepris par Roue et Taqqu [11 ℄. Nous yapportons notre ontribution en proposant un estimateur semi-paramétrique adaptatif pour des pro essus stationnaires

àlongue mémoire gaussienpuis linéaire.On ommen epar présenterles notions de sta-tionnarité,nousdonnonsladénitiond'unpro essusàlonguemémoirepuisdesexemples tels que les pro essus farima, brownien fra tionnaire et le bruit gaussien fra tionnaire. Dans lase tion 2.1, on présente les méthodes d'estimation du paramètre de longue

mé-moire suiviesde laméthode desondelettes et un résumédes prin ipaux résultats suivis desarti lesdansleurs versionsoriginale.L'arti le[4℄traitantdu asgaussienafait l'ob-jet d'une publi ation, le as linéaire a été soumis. On adoptera dans les as la même

pro édurede onstru tion del'estimateur. Celle iestbaséesurlapropriété delinéarité (après appli ation du logarithme) de la varian e du oe ient d'ondelette par rapport

D

(paramètredelalonguemémoire)déduitpar lesmoindres arrésvériealors un théo-rèmelimite entralet àune vitessequidépendrad'un paramètre

D

′

. C'est e paramètre quijoueunrle importantdansl'estimationdelavitessede onvergen e del'estimateur quisera soumis àdiérents ajustement adaptatif pourvérier lesbonnespropriétés que

l'on exigera. Pour les as gaussien puis linéaires. On pro édera par des simulations à desvéri ationsde onsistan eet derobustessedesestimateurs orrespondants.Un test d'adéquation pourle aslinéaire seraétabli.

[1℄ Abry, P.,Veit h,D., Flandrin,P. Long-RangeDependen e:Revisiting Aggregation with Wavelets, Journal of Time Series Analysis, 19(3): 253-266, Mai1998.

[2℄ Abry, P. and Veit h, D. Wavelet analysis of long-range-dependent tra , IEEE Trans.onInfo.Theory,44,215,1998.

[3℄ Bardet, J.M., Lang, G., Moulines, E. and Soulier, P. Wavelet estimator of long

range-dependant pro esses, Statist. Infer.Sto hast. Pro esses, Vol. 3,85-99,2000.

[4℄ Bardet, J.M., Bibi, H. and Jouini, A. Adaptive wavelet-based estimator of the

memory parameter for stationary Gaussian pro esses, Bernoulli,(2008), 14, 691-724.

[5℄ Bibi, H., Jouini, A., Kratou, M. More general onstru tions of wavelets on the interval. Communi ations in Mathemati al Analysis, vol.4 (1),pp.45-57,2008

[6℄ Jouini, A., Lemarié-Rieusset,P. G.

Analyses multirésolutions biorthogonales surl'intervalle et appli ations, Annales de L'I.H.P,Analyses nonlinéaire, Vol.10,N

o

4 (1993), pp453-476.

[7℄ Jouini, A. Constru tions de bases d'ondelettes sur les variétés, Thesis, ORSAY, 1993.

[8℄ Lemarié, P.G. and Meyer, Y. Ondelettes et bases hilbertiennes. Rev.Mat. Iberoa-meri ana, 2(1-2) :118, 1986.

[9℄ Meyer,Y. Ondelettes surl'intervalle, Revista Mathemati a Ibero-ameri ana, Vol7

(1991), pp115-134.

[10℄ Moulines,E.,Roue,FandTaqqu,M.S.Centrallimittheoremforthelog-regression wavelet estimation of the memory parameter in the Gaussian semi-parametri ontext, fra tals,15(4),301-313,2007.

[11℄ Roue, F. and Taqqu, M.S. . Asymptoti normality of wavelet estimators of the

Constru tion de bases d'ondelettes

sur l'intervalle

1.1 Introdu tion

En 1873, Dubois-Reymond onstruit une fon tion ontinue de la variable réelle xet

2

π

-périodique dont la série de Fourier diverge en un point donné. Ce ontre exemple amena A. Haar à se poser, puis à résoudre le problème de l'existen e d'une base or-thonormée

h

o

(x), h

1

(x), . . . , h

m

(x), . . .

de

L

2

_{([0, 1])}

ayant la propriété que, pour toute

fon tion ontinue

f (x)

, la série

P

_∞

0

hf, h

m

i h

m

(x)

onverge uniformément vers

f (x).

Maisla onstru tiondusystèmede Haarne onvient pasàl'analyseet àlasynthèsedes espa esde Holder C

s

, pour un ertains

∈]0, 1[.

CeproblèmeaétéétudiédepuisletravaildePionnierdeHaar.G.FaberetJ.S hauder ont ommen éparrempla erlesfon tions

h

m

(x)

dusystèmedeHaarparleursprimitives

∆

m

(x)

puis par approximer une fon tion ontinue sur

[0

,

1]

par les sommes partielles de lasérie

a + bx +

P

_∞

1

α

m

∆

m

(x)

. Si

f (x)

appartient à

C

s

o

([0

,

1])

, on a

α

m

= o (m

−s

)

et ré iproquement, si ette onditionest vériée,lasérie

a + bx +

P

_∞

1

α

m

∆

m

(x)

onverge vers

f (x)

en norme

C

s

_([0

,

1])

. Par ontre, lesystèmede S hauder( omplété par 1et x)

ne peut plusservir à l'analysede l'espa e

L

2

_{([0, 1])}

arle oe ient

α

m

se al ule par

α

m

= f



(

k + 1

2

)2

−j



₋

1

2

h

f (k2

−j

) + f ((k + 1)2

−j

)

i

n'aplus de senssi

f (x)

∈ L

2

_{([0, 1]).}

Pour orriger edéfautdelabasedeS hauder, Ph.Franklinaeul'idée d'orthogonor-maliserlasuite

1, x, ∆

1

(x), . . . , ∆

m

(x), . . .

enutilisantlepro édédeGram-S hmidt.Mais le système de Franklin est un peu tombé dans l'oubli par e que les fon tions obtenues ne sont pas fournies par un algorithme aussi simple que elui des fon tions

h

m

(x)

du

systèmede Haar.

1.2 Les ondelettes

La transformée en ondelettes est une solution à ertaines di ultés que posaient la transformée de Fourier. Les transformées de Fourier et de Fourier à fenêtre glissante

sont respe tivement des transformations globales et lo ales mais de résolution

tempo-rellesxes.Al'opposédelatransforméed'ondelettesquiestà représentationtemporelle variable et qui revêt d'autres aspe ts tels que l'inversion de l'analyse et la re her he de représentationspar imonieuses.Lestransforméesd'ondelettessontobtenuespar

intégra-tion d'un signal multiplié par des fon tionsanalysantes debase. Une question naturelle se pose alors. Peut-on re onstruire le signal d'origine à partir de sa transformée. Sous ertaines hypothèses laréponseest oui. Il est même possible de re onstruire le signal à

partirdevaleursdis rètesdelatransformée.Ainsis'introduitlanotiondelatransformée dis rète en ondelettes. En her hant à minimiser lenombre d'informations dis rètes né- essairesàlare onstru tiondusignalonest onduitàlanotiondebasesd'ondelettes.On

introduitalorslesbasesd'ondelettesenpartantdelanotiond'analysemultirésolutionqui fournitun adrededé ompositiond'unsignalsouslaformed'unesuite d'approximation roissante omplétée par unesuite de détails.

Enn, on introduit les bases biorthogonales d'ondelettes dont l'idée est de relâ her les fortes ontraintes que doit vérier une ondelette engendrant une base orthonormée. La léestde onsidérerdeuxondelettes aulieu d'uneseule ave un liendedualitéentre es

deuxondelettes.

La transformée en ondelettes

Dénition(Ondelettemère).Uneondeletteestunefon tion

ψ

de

L

2

_(R)

(appelée ondelette mère) vériant

Z

_+∞

o

|

f

ψ(tξ)

|

2

dt

t

= C

ψ

,

pour

ξ

6= 0

où

f

ψ

est latransforméedeFourier lassiquede

ψ

donnée par :

f

ψ(λ) =

Z

R

ψ(x)e

−iλx

dx,

ave

0 < C

ψ

< +

∞

et

C

ψ

estindépendante de

ξ

. Pour touteé helle

a

∈ R

∗

+

et toute position

b

∈ R

, on déni un atome de la trans-formée par :

ψ

a,b

(t) =

1

√

a

ψ(

t

_{− b}

a

).

La famille

{ψ

a,b

}

est la famille d'ondelettes asso iées à

ψ

. La transformée ontinue en ondelettes de lafon tionf estlafamille des oe ients

C

f

(a, b)

dénispar

Analyse

:

C

f

(a, b) =

Z

R

f (t)ψ

a,b

(t)dt =

hf, ψ

a,b

i

L

2

_(R)

,

a

∈ R

∗

₊

, b

∈ R.

La formule desynthèseou dere onstru tion sous ertaines onditions dites d'admis-sibilité est: Synthèse

:

Z

]0,+∞[×R

C

f

(a, b)ψ

a,b

(t)

dadb

a

2

dans

L

2

_{(R), t}

_{∈ R.}

La transformée ontinue en ondelettes (

C

f

) asso ie à un signal

f

une innité de oe ientsdoublement indi éspar

a

∈ R

∗

La transformée dis rète est lasolution à ette redondan e. On restreint lebalayage des

valeursde

(a, b)

nonplusà

R

∗

+

× R

,maisà unsousensembledis ret. Ensexant

a

0

> 1

et

b

0

> 0

,

p, n

∈ Z

et en prenant

a

∈ {a

p

0

}

p∈Z

et

b

∈ {na

p

0

b

0

}

p,n∈Z

. On sesertalors de la

famille dénombrable d'ondelettes:

ψ

n,p

= a

p/2

0

ψ(a

p

0

t

− nb

0

).

Le hoixusuelde

a = 2

et

b = 1

estdonnépar lethéorèmedeShannon[3℄.Nousnotons:

ψ

j,k

(t) = 2

j/2

ψ(2

j

t

− k).

Exemples d'ondelettes

•

L'ondelette de Haar :C'est laplussimple desondelettes. Ellevaut :

H(x) =



+1, x

_{∈ [0,}

1

₂

[,

−1, x ∈]

1

2

, 1].

•

Les dérivées de gaussiennes : Soit une gaussienne

G(x) = e

−πx

2

. Si on note

ψ

n

=

∂

n

∂x

n

G

pour

n

∈ N

∗

. Alors l'ondelette

ψ

n

est

C

∞

et admet

n

moments nuls. Satransforméede Fourier est aussiunegaussienne.

•

L'ondelette de Morlet : Il s'agit d'unegaussienne modulée

ψ(t) = e

−iπt

2

e

2iπk

0

t

SatransforméedeFourierestunegaussiennedé aléede

k

0

etvaut

ˆ

ψ(ω) = e

−π(ω−k

0

)

.

Danslaplupart des as, lesondelettes sontdénies par leursltresasso iés.L'ondelette n'aura pasalors une formule analytique mais 'estpar un algorithmede re onstru tion (du type algorithme de Mallat)que l'on peut y a eder. Comme par exemple les onde-lettesdeI.Daube hies(dbN)qui,audébutdesannées90,ontmarquéuneétapedé isive

dansl'histoire desondelettes. Lesondelettes de Daube hies ont unsupport delongueur

2N

_{− 1}

(

N

étant lenombre demomentsnuls).Leursrégularitésaugmententave l'ordre, quand

N

estgrand alors

ψ

appartient à

C

µN

ave

µ

∼ 0, 206

.

Question : On peut se demander sous quelles onditions la famille

{ψ

j,k

}

(j,k)∈Z

est

une baseorthonormée de

L

2

_(R)

.

Réponse : Lanotion d'analysemultirésolution orthogonalerépond à etteattente.

1.3 L'analyse multirésolution et bases orthonormées

d'on-delettes

Unanalysemultirésolution(ouAMR)de

L

2

_(R)

estunefamille

M =

{V

j

}

j∈Z

desous

espa esfermésde

L

2

_(R)

vériant lespropriétés suivantes:

i)

V

j

⊂ V

j+1

.

ii)

(f (x)

∈ V

j

)

⇔ (f(2x) ∈ V

j+1

).

iii)

T

j

V

j

=

{0}

et

S

j

V

j

= L

2

(R).

v) Il existe une fon tion

g(x)

dans

V

0

tels que

{g(x − k)}

k∈Z

soit une base de Riesz pour

V

0

.

Si on désigne par

P

j

le proje teur orthogonalde

L

2

_(R)

sur

V

j

'està dire:

P

j

f =

P

_k∈Z

C

j,k

g

j,k

ave

g

j,k

(x) = 2

j/2

_g(2

j

_x

_{− k).}

Alorsona :

lim

j→−∞

kP

j

f

k = 0

et

lim

j→+∞

kf − P

j

f

k = 0.

On introduit la notion de fon tion d'é helle. La fon tion d'é helle

ϕ

∈ L

2

_(R)

est déniepar :

ˆ

ϕ(ξ) =

_{ P}

g(ξ)

ˆ

k∈Z

|ˆg(ξ + 2kπ)|

2



1/2

.

ϕ

vérie: i)

{ϕ(x − k)}

k∈Z

estune baseorthonormée de

V

0

.

ii) Si onnote

ϕ

j,k

(x) = 2

j/2

_ϕ(2

j

_x

_{− k),}

alors

(ϕ

j,k

)

k∈Z

estunebaseorthonorméede

V

j

.

iii)

(ϕ

j,k

)

j,k∈Z

est unebasehilbertiennede

L

2

_(R)

.

iv) Onnote

W

j

(L'espa e d'ondelettes)tel que

V

j+1

= V

j

⊕ W

j

. v) Le proje teur

P

j

s'exprime par

P

j

f =

P

k∈Z

< f, ϕ

j,k

> ϕ

j,k

.

vi) Ona larelation

P

j+1

oP

j

= P

j

= P

j

oP

j+1

.

La propriété 1.2.1)dansladénitiond'une analysemultirésolution (A.M.R)donne

l'existen e d'uneunique suite

{α

n

}

n∈Z

d'équation fon tionnelle vériée par

ϕ :

1

2

ϕ(

x

2

) =

X

n∈Z

α

n

ϕ(x

− n).

Sionpose

Q

j

= P

j+1

−P

j

.Alorsl'opérateur

Q

j

estunproje teurorthogonalde

L

2

_(R)

sur

W

j

= V

j+1

∩ (V

j

)

⊥

. Deplus. L'espa e

W

0

possède une basede Riesz

{ψ(x − k)}

k∈Z

où l'ondelette

ψ

estdonnée par :

b

ψ(2ξ) = e

−iξ

m(ξ + Π)

ϕ(ξ).

_b

Le proje teur

Q

j

s'exprime par :

Q

j

f =

X

k∈Z

< f, ψ

j,k

> ψ

j,k

ave

ψ

j,k

(x) = 2

j/2

_ψ(2

j

_x

_{− k).}

La densitédevient :

⊥

M

j

W

j

= L

2

(R).

1.4 L'analyse multirésolution biorthogonale

Les ondelettes orthogonales engendrent des bases orthonormées et onstituent des familles fa iles à manier. Cependant, elles ne sont pas évidentes à onstruire du fait de leurs régularitésoude leursdénitions impli ites.Relâ her la ontrainte d'orthogonalité

permet d'améliorer ertaines ara téristiquesdesondelettestels quelaformeoula régu-larité tout en disposant desformules expli ites pour les ondelettes. Il est alors possible de onstruire desondelettes présentant despropriétés plusattra tivesau prixde

l'intro-du tiond'unedi ultésupplémentairedansle al ul.On onstruitalorsdeuxondelettes (en dualité) que l'on note

ψ

et

ψ

∗

. Elles sont appelées ondelettes biorthogonales, d'ou l'analysemultirésolution biorthogonale.

Uneanalysemultirésolutionbiorthogonale de

L

2

_(R)

estladonnéed'un oupled'analyses multirésolutions

(V

j

, V

∗

j

)

de

L

2

_(R)

telque

L

2

_{(R) = V}

o

⊕ (V

o

∗

)

⊥

.

Ona :

i) Soit

P

j

le proje teur oblique de

L

2

_(R)

sur

V

j

parallèlement à

(V

∗

j

)

⊥

. Pour tout

f

∈ L

2

_(R)

, ona alors :

P

j

oP

j+1

= P

j+1

oP

j

= P

j

,

lim

j→−∞

kP

j

f

k

2

= 0,

j→+∞

lim

kP

j

f

− fk

2

= 0.

ii)

V

o

et

V

∗

o

ontrespe tivementlesbasesdeRiesz

{g(x − k)}

k∈Z

et

{g

∗

_(x

_{− k)}}

k∈Z

telles que:

< g(x), g

∗

(x

_{− k) >= δ}

o,k

.

(1.4.1) iii) Le proje teur

P

j

s'é rit alors

P

j

f =

P

k∈Z

< f, g

∗

j,k

> g

j,k

.

iv)

(V

j

)

et

(V

∗

j

)

sont desanalyses multirésolutions, don ona :

(

bg(2ξ) = m(ξ)bg(ξ),

bg

∗

_{(2ξ) = m}

∗

_(ξ)

_bg

∗

_(ξ).

v)

m(ξ)m

∗

(ξ) + m(ξ + π)m

∗

(ξ + π) = 1,

ou en ore

P

k∈Z

bg(ξ + 2kπ) b

g

∗

_{(ξ + 2kπ) = 1.}

vi) Si on pose

Q

j

= P

j+1

− P

j

,

alors

Q

j

est un proje teur sur

W

j

= V

j+1

∩ (V

∗

j

)

⊥

.

parallèlement à

(W

∗

j

)

⊥

ave

W

∗

j

= V

j+1

∗

∩ (V

j

)

⊥

.

vii) L'espa e

W

o

possèdeune basede Riesz

{γ(x − k)}

k∈Z

ave

bγ(2ξ) = e

−iξ

_m

∗

_{(ξ + π)}

_bg(ξ),

et l'espa e

W

∗

o

= V

1

∗

∩ (V

o

)

⊥

a une basede Riesz

{γ

∗

(x

_{− k)}}

_k∈Z

ave

c

γ

∗

(2ξ) = e

−iξ

_{m(ξ + π)}

_bg

∗

_(ξ).

viii)

Q

j

s'é rit alors

Q

j

f =

P

k∈Z

< f, γ

_j,k

∗

> γ

j,k

.

Une des propriétés fondamentales des analyses multirésolutions biorthogonales est leur ompatibilitéave ladérivation.Eneet,on onsidère

g

et

g

∗

deuxfon tionsd'é helle

16 1.5AnalyseMultirésolution orthogonalesur l'intervalle

[0, 1]

onjuguées (

g

et

g

∗

ave

g

∈ H

1

_(R)

),alors ilexistedeuxfon tionsd'é helle onjuguées

∼

g

et

∼

g

∗

vériant 1.4.1 telles quel'on ait:

(

g

′

(x) =

∼

g(x)

₋

∼

g(x

_{− 1),}

∼

g

∗

′

(x) = g

∗

(x + 1)

− g

∗

_(x).

Il est lair que si

g

et

g

∗

sont à support ompa t alors

∼

g

et

∼

g

∗

sont aussi à support ompa t. Cette méthode est appelée méthode de dérivation et d'intégration et a été

introduite par P.G. Lemarié. Si on dénit

∼

P

j

par :

∼

P

j

f =

X

k∈Z

< f,

∼

g

∗

_j,k

>

∼

g

_j,k

,

alors on a laformulede ommutation suivante :

d

dx

oP

j

=

∼

P

j

o

d

dx

.

1.5 AnalyseMultirésolutionorthogonalesur l'intervalle

[0, 1]

Dénition Une suite

{V

j

}

j≥j

0

dessous espa esfermés de

L

2

_{([0, 1])}

estdite analyse

multirésolution de

L

2

_{([0, 1])}

asso iée à

V

j

(R)

si ona : i)

∀j ≥ j

0

, v

j

([0, 1])

⊂ V

j

⊂ V

j

([0, 1]).

ii)

∀j ≥ j

0

, V

j

⊂ V

j+1

.

où

V

j

([0, 1])

l'espa e desrestri tionsà

[0, 1]

desfon tionsde

V

j

(R).

Nous présentons la onstru tion de Meyer [?℄ d'une base orthonormée d'ondelettes

surl'intervalle

[0

,

1]

.

Nous partons toujours de l'analyse multirésolution orthogonale

(V

j

(R))

j∈Z

de

Dau-be hies et on désigne par :

• S(j)

l'intervalle d'entierskdénispar

−2N + 2 ≤ k ≤ 2

j

_{− 1}

. Cequiestéquivalent

aufaitquelesupportdelafon tion

ϕ

j,k

= 2

j

2

ϕ(2

j

x

−k)

ren ontrel'intervalle

]0, 1[

.

• j

o

lepluspetit entier jtel que

2

j

_{≥ 4N − 4}

(pourséparerlesfon tions desbords0

et 1).

On rappelle les équations d'é helle :

•

1

2

ϕ(x) =

2N −1

_P

0

α

k

ϕ(2x

− k)

ave

α

o

6= 0

et

α

2N −1

6= 0.

•

1

2

ψ(x) =

2N −1

_P

0

β

k

ϕ(2x

− k)

ave

β

o

6= 0

et

β

2N −1

6= 0.

Soit lelemme : Lemme 1.1 Soit

f (x) =

+∞

_P

−∞

c

k

ϕ(x

− k)

une fon tionde

V

o

(R).

Supposons que

f (x) = 0

pour

x

≤ 0

, alors

c

k

= 0

pour

k

≤ −1

Lelemmenouspermetde on lureque

j

≥ j

o

et

f (x) =

+∞

_P

−∞

c

k

ϕ 2

j

x

− k

unefon tion arbitrairede

V

j

(R)

telleque

f (x) = 0

pour

0

≤ x ≤ 1

, alors

c

k

= 0

pour tout

k

∈ S(j).

1.5Analyse Multirésolutionorthogonale surl'intervalle

[0, 1]

17

• {ϕ

j,k|[0,1]

, k

∈ S(j)}, j ≥ j

o

}

est une Basede Riesz de

V

j

([0, 1])

•

Si

{ϕ

j+1,k|[0,1]

, k

∈ S(j +1)}

estunebasede

V

j+1

([0, 1])

,alors

{ϕ

j,k|[0,1]

, k

∈ S(j)}

estune basede

V

j

([0, 1]).

Une baseorthonormée de

V

j

([0, 1])

estdonnée parle orollairesuivant.

Corollaire 1.1 Pour

j

≥ j

o

,

il existe

(2N

− 2)

fon tions

ϕ

α

i

,

(1

≤ i ≤ 2N − 2)

et

(2N

− 2)

fon tions

ϕ

β

i

, (1

≤ i ≤ 2N − 2)

tels que les fon tions

• ϕ

α

i,j

= 2

j/2

ϕ

α

i

2

j

x

,

(1

≤ i ≤ 2N − 2),

• ϕ

j,k

= 2

j/2

ϕ 2

j

x

− k

,

(0

≤ k ≤ 2

j

_{− 2N + 1),}

• ϕ

β

i,j

= 2

j/2

ϕ

β

i

2

j

x

− 2

j

,

(1

≤ i ≤ 2N − 2),

forment une base orthonormée de

V

j

([0, 1]).

1.5.1 Les Ondelettes orthogonales sur

[0, 1]

Nousdisposonsdéjà d'unebaseorthonormée de

V

j

([0, 1]), j

≥ j

0

.

Nousprésentonsla onstru tion d'unebase orthonormée del'espa e d'ondelettes

W

j

([0, 1]) = V

j+1

([0, 1])

∩ V

j

([0, 1])

⊥

.

Désignons par

V

o

([0, +

∞[)

l'espa e desrestri tionsà

[0, +

∞[

desfon tionsde

V

o

(R).

Alorsnousavons:

•

lesfon tions

ψ(x

− k)|

[0,+∞[

,

−2N + 2 ≤ k ≤ −N,

appartiennent à

V

o

([0, +

∞[).

•

lesfon tions

ψ(2

j

_x

_{− k)|}

[0,1]

,

−2N + 2 ≤ k ≤ −N,

appartiennent à

V

j

([0, 1]).

On peut remarquerque les fon tions

ψ(2

j

_x

_{− k)|}

[0,1]

, 2

j

− N + 1 ≤ k ≤ 2

j

− 1,

sont

dansl'espa e

V

j

([0, 1])

. Ce quinouspermet dedéduire le théorèmequi suit:

Théorème Pour tout

j

≥ 0,

unebase de

V

j+1

([0, 1])

est onstituée de laréunion de labase

ϕ

j,k

de

V

j

([0, 1])

et des fon tions

ψ

j,k

telles que

−N + 1 ≤ k ≤ 2

j

_{− N}

.

Pour onstruire une base orthonormée de

W

j

([0, 1])

pour

0

≤ j ≤ j

o

,

il sut de projeter orthogonalement sur

W

j

les fon tions

ψ

j,k

telles que

−N + 1 ≤ k ≤ 2

j

_{− N}

. Puisque nous disposons déjà d'une base orthonormée de

V

j

([0, 1])

. L'opérateur de pro-je tion orthogonale sur

V

j

([0, 1])

est expli ite. Une fois projetés sur

W

j

([0, 1])

les

ψ

j,k

deviennent des fon tions

h

j,k

qu'il onvient ensuite d'orthonormaliser entre elles pour

−N + 1 ≤ k ≤ 2

j

− N.

Et on ale orollaire suivant : Corollaire Pour

j

≥ j

o

,

il existe

(N

− 1)

fon tions

ψ

α

i

(1

≤ i ≤ N − 1)

et

(N

− 1)

fon tions

ψ

β

i

(1

≤ i ≤ N − 1)

telles queles fon tions:

• ψ

α

i,j

= 2

j/2

ψ

α

i

(2

j

x), (1

≤ i ≤ N − 1),

• ψ

j,k

= 2

j/2

ψ(2

j

x

− k), (0 ≤ k ≤ 2

j

− 2N + 1),

• ψ

i,j

β

= 2

j/2

ψ

β

i

(2

j

x

− 2

j

), (1

≤ i ≤ N − 1),

forment unebaseorthonormée de

W

j

([0, 1]).

Ainsi, nous avons présenté laméthode de Meyer [7℄ pour la onstru tion d'unebase orthonorméed'ondelettessurl'intervalle

[0, 1]

enpartantdel'analysemultirésolution or-thogonaledeI. Daube hies.Lerésultat prin ipalde etravail estque lesrestri tions des fon tions d'é helle à l'intervalle forment un système linéairement

indé-lié. Onne peut don pas dénir de la même manière une analyse multirésolution

bior-thogonale (A.M.R.O) surun domaine borné. Nousgénéralisons esrésultats dansnotre arti le dont nousprésentons lesprin ipaux résultats.

1.6 Prin ipaux résultats

Nous partons d'une AMR orthogonale

V

j

(R)

de

L

2

_(R)

dont la fon tion d'é helle

ϕ

està support ompa t

[N

1

, N

2

]

.

On désigne par:

• j

o

lepluspetit entier j telque

2

j

0

_{≥ 2 (N}

2

− N

1

− 1)

• S (j) = {k ∈ Z, −N

2

+ 1

≤ k ≤ 2

j

− N

1

− 1}

• v

j

([0, 1]) =

Ve t

{ϕ

j,k

,

supp

ϕ

j,k

⊂ [0, 1]}

• V

j

([0, 1]) =

Ve t

{ϕ

j,k/[0,1]

, ϕ

j,k

∈ V

j

(R)

}

A partir de es deux analyses onsidérées omme minimale (

v

j

([0, 1])

) et maximale (

V

j

([0, 1])

),on dénit alors l'AMR surl'intervalle omme étant omprise entre esdeux analyses.Plus exa tement,pour une suite

{V

j

}

j≥j

0

dessous espa esfermésde

L

2

_{([0, 1])}

estdite analysemultirésolution de

L

2

_{([0, 1])}

asso iéeà

V

j

(R)

sion a: i)

∀j ≥ j

0

, v

j

([0, 1])

⊂ V

j

⊂ V

j

([0, 1]).

ii)

∀j ≥ j

0

, V

j

⊂ V

j+1

.

Comme premier résultat important dans la onstru tion de bases orthonormées de

V

j

([0, 1])

,nous avons:

Corollaire 1.2 i) Il existe

(N

2

− N

1

− 1)

fon tions

ϕ

α

i

, (1

≤ i ≤ N

2

− N

1

− 1)

et

(N

2

− N

1

− 1)

fon tions

ϕ

β

i

(1

≤ i ≤ N

2

− N

1

− 1)

telles que les fon tions a)

ϕ

α

i,j

= 2

j/2

ϕ

α

i

(2

j

x)

|

[0,1]

, (1

≤ i ≤ N

2

− N

1

− 1),

b)

ϕ

j,k

= 2

j/2

_ϕ(2

j

_x

_{− k)}

,

(

−N

1

≤ k ≤ 2

j

_{− N}

2

),

)

ϕ

β

i,j

= 2

j/2

ϕ

β

i

(2

j

x

− 2

j

)

|

[0,1]

, (1

≤ i ≤ N

2

− N

1

− 1),

forment une base orthonormée de

V

j

([0, 1]).

ii) Soit

V

j

, j

≥ j

o

,

une analyse multirésolution de

L

2

_{([0, 1])}

asso iée à

V

j

(R)

, alors il existe

N

o

fon tions

ϕ

α

i

(1

≤ i ≤ N

o

)

et

N

o

fon tions

ϕ

β

i

(1

≤ i ≤ N

o

)

telles que les fon tions a)

ϕ

α

i,j

= 2

j/2

ϕ

α

i

(2

j

x)

|

[0,1]

, (1

≤ i ≤ N

o

),

b)

ϕ

j,k

= 2

j/2

_ϕ(2

j

_x

_{− k)}

,

(

−N

1

≤ k ≤ 2

j

_{− N}

2

),

)

ϕ

β

i,j

= 2

j/2

ϕ

β

i

(2

j

x

− 2

j

)

|

[0,1]

, (1

≤ i ≤ N

o

),

forment une base orthonormée de

V

j

.

Ainsil'espa e

V

j

ontientunsystèmeorthonormée

ϕ

j,k

= 2

j/2

_ϕ(2

j

_x

_−k)

,

(

−N

1

≤ k ≤ 2

j

_−N

2

),

auquel onajouteles fon tionsdesbords

{0}

et

{1}

des olle tions

ϕ

α

i,j

et

ϕ

β

i,j

. Nous

dis-posonsdon d'unebaseorthonormée de

V

j

([0, 1])

.

Onnote :

V

j

([N

1

, +

∞[) =

Ve t

{ϕ

j,k/[N

1

,+∞[

, ϕ

j,k

∈ V

j

(R)

}.

Il estimportant deremarquerque

W

j

([0, 1])

n'est pasl'espa edesrestri tionsà

[0, 1]

des fon tions de

W

j

(R)

. La onstru tion des ondelettes sur l'intervalle

[0, 1]

repose sur l'énon ésuivantquipermetde ompléterlabase

ϕ

j,k

, k

∈ S(j),

enunebasede

V

j+1

([0, 1])

etquispé iequeLesfon tions

2

j/2

_ψ(2

j

_x

_−k)

/[0,1]

telque

−

1

2

(N

2

+N

1

−1) ≤ k ≤ 2

j

−

1

2

(N

2

+N

1

+1),

forment unebasede Riesz de l'espa e

W

j

([0, 1]).

Lanotion d'analysemultirésolutionbiorthogonale surl'intervalle

[0, 1]

introduitepar A.Jouini P.G. Lemarié[4 ℄ seprésente omme suit :

Dénition Une suite

(V

j

, V

∗

j

)

des sous espa es fermés de

L

2

_{([0, 1])}

asso iée à une

analysemultirésolution biorthogonale

(V

j

(R), V

∗

j

(R))

de

L

2

_(R)

estdite analyse

multiré-solutionbiorthogonale de

L

2

_{([0, 1])}

si

• v

j

([0, 1])

⊂ V

j

⊂ V

j

([0, 1])

et

v

∗

j

([0, 1])

⊂ V

j

∗

⊂ V

j

∗

([0, 1]).

• V

j

⊂ V

j+1

et

V

∗

j

⊂ V

j+1

∗

.

• L

2

_{([0, 1]) = V}

j

⊕ (V

j

∗

)

⊥

.

Soit

(V

j

(R), V

∗

j

(R))

uneanalysemultirésolutionbiorthogonale de

L

2

_(R)

asso iéeaux fon tionsd'é helle onjugué

g

et

g

∗

ave supp

g = [N

1

, N

2

].

Onnote

P

α

i

(x) =

P

k≤−N

1

−1

k

i

_g(x

_{− k),}

et

P

β

i

(x) =

P

k≥−N

2

−1

k

i

_g(x

_{− k)}

.

Nouspouvonsénon er e premier résultat surlapropriété de ommutation entre les proje teursobliques et la dérivation.

Théorème 1.1 Soit

(V

j

(R), V

∗

j

(R))

uneanalysemultirésolutionbiorthogonalede

L

2

_{(R), (g, g}

∗

₎

sont les fon tions d'é helle à support ompa t et

(V

j

, V

∗

j

)

est l'analyse multirésolution biorthogonale de

L

2

_{([0, 1])}

asso iée à

(V

j

(R), V

∗

j

(R)).

Onsuppose que i) g est diérentiable etg

′

(x) =

∼

g(x)

₋

∼

g(x

_{− 1).}

ii)

V

j

ontientles fon tions

P

α

0,j

(x)

=

P

α

0

(2

j

x)

/[0,1]

et

P

β

0,j

(x)

=

P

β

0

(2

j

x

− 2

j

)

/[0,1]

.

Si on désigne par

∼

V

j

=

{f ∈ L

2

([0, 1])

\∃h ∈ V

j

, f = h

′

},

V

_j

∗

=

_{{f ∈ L}

2

([0, 1])

_\f

′

_{∈ V}

_j

∗

, f (0) = f (1) = 0

_}.

Alors,

(

∼

V

j

,

∼

V

j

∗

)

est une analyse multirésolution biorthogonale de

L

2

_{([0, 1]).}

De plus,

si on désigne par

P

j

(resp

∼

P

j

)

le proje teur oblique de

L

2

_{([0, 1])}

dans

V

j

(resp.

∼

V

j

)

parallèlement à

(V

∗

j

)

⊥

(resp

(

∼

V

j

∗

)

⊥

_),

alors on a la formulede ommutation

d

dx

oP

j

=

∼

P

j

o

d

dx

.

Corollaire 1.3 Soit

V

j

(R)

une analysemultirésolution orthogonalede

L

2

_(R)

asso iée à

une fon tion d'é helle

g

de lasse

C

m

_(m

_{∈ N}

∗

_).

On désigne par

(V

(m)

j

(R)

,

V

∗(m)

j

(R))

Alors

V

(m)

j

([0, 1])

et

V

∗(m)

j

([0, 1])

∩ H

0

m

([0, 1])

forment une analysemultirésolution bior-thogonalede

L

2

_{([0, 1]).}

Deplus,siondésignepar

P

(m)

j

leproje teurobliquesur

V

(m)

j

([0, 1])

parallèlement à

[V

∗(m)

j

([0, 1])

∩ H

0

m

([0, 1])]

⊥

,

on a

d

dx

oP

(m)

j

= P

(m+1)

j

o

d

dx

.

Proposition 1.1 Soit

P

(m)

j

le proje teur oblique sur

V

(m)

j

parallèlement à

V

∗(m)

j

et

P

(m)∗

son adjoint. On dénit

Q

(m)

j

= P

(m+1)

j

− P

(m)

j

, Q

(m)∗

j

= P

j+1

(m)∗

− P

j

(m)∗

et

j

o

un entiersatisfaisant

2

j

o

_{− 1 ≥ 2N}

2

− 2N

1

− 2+ 2m.

Alorsona lesformulesde ommutation suivantes : si

f

∈ H

1

_{([0, 1]),}

d

dx

(P

(m)

j

f ) = P

(m+1)

j

(

df

dx

),

si

f

∈ H

1

o

([0, 1]),

d

dx

(P

(m+1)

∗

f ) = P

_j

(m)

∗

(

df

dx

)

On aune ara térisationdesespa es

H

s

_{([0, 1])}

et

H

s

o

([0, 1])

en termes denormes:

Théorème 1.2 On suppose que la fon tion d'é helle

ϕ

est de lasse

C

p+ε

,

p

∈ N

∗

,

p

≥ m

,

ε > 0

et

j

o

unentier satisfaisant

2

j

o

_{− 1 ≥ 2N}

2

− 2N

1

− 2 + 2p.

Alors on a : i) Pour

f

∈ L

2

_{([0, 1]),}

_kfk

2

≈ kP

_j

(m)

_o

f

k

2

+ (

P

_j≥j

_o

kQ

(m)

_j

f

k

2

2

)

1

2

.

ii) Pour

f

∈ L

2

_{([0, 1]),}

_kfk

2

≈ kP

j

(m)∗

o

f

k

2

+ (

P

j≥j

o

kQ

(m)∗

j

f

k

2

2

)

1

2

.

iii) Pour

s

∈ Z

tel que

−m ≤ s ≤ p − m,

on a

• f ∈ H

s

_{([0, 1])}

_{⇔ P}

(m)

j

o

f

∈ L

2

_{([0, 1])}

et

P

j≥j

o

4

js

_kQ

(m)

j

f

k

2

2

< +

∞.

• f ∈ H

−s

o

([0, 1])

⇔ P

j

(m)∗

o

f

∈ L

2

_{([0, 1])}

et

P

j≥j

o

4

−js

kQ

(m)∗

j

f

k

2

2

< +

∞.

[1℄ Cohen,A.,Daube hies,I.,Jawert,B.andVial,P.MultirésolutionAnalysis,wavelets and fastalgorithms onan interval, C.R.A.S, 1992.

[2℄ Daube hies, I. Ten le tures on wavelets, SIAM,1992.

[3℄ Mallat, S. Awavelet tourofsignalpro essing, A ademi Press, SanDiego,

Califor-nia, 1998.

[4℄ Jouini,A.P.et G.Lemarié-Rieusset, Analysemultirésolution biorthogonalesur l'in-tervalle et appli ations, Annales del'I.H.P. Se tion C10 (1993)453-476.

[5℄ Meyer, Y. Ondelettes et opérateurs,tome 2 : Opérateurs de Calderon-Zygmund, Hermann,1997.

[6℄ Meyer,Y.et Jaard,S. Basesd'ondelettesdansdesouverts de

R

n

_.

J. MathPures

et Appl, 68,pp95-108, 1989.

[7℄ Meyer,Y. Ondelettes surl'intervalle, Revista Mathemati a Ibero-ameri ana, Vol7

Estimation du paramètre de longue

mémoire

Préambule mathématique

Ons'intéresseauxpro essus

{X

k

}

k≥1

stationnaires,àvarian esnies dont ladensité spe trale

f (λ)

pour

λ

∈ (−π, π)

se omporte omme une loi de puissan e aux basses fréquen es, 'està dire en

|λ|

−2d

quand

λ

→ 0

+

. Le as

d > 0

orrespond à lamémoire longue,

d = 0

à la mémoire ourte et

d < 0

à la dépendan e négative. Pour que

X

k

soit stationnaire, ilest né essaireque

R

π

−π

f (λ)dλ <

∞

et don que

d < 1/2

.

Dans lamajorité des as,ladensité spe traleest ae téed'unefon tion de nuisan e

quel'onnote

f

∗

_(λ)

jouissantd'une ertainerégularité auvoisinagedel'origine.Laforme générale de la densité spe trale est alors

|λ|

−2d

_f

∗

_(λ)

et le but est alors d'estimer le paramètre

d

en présen ede

f

∗

_(λ)

.

La né essité de stationnariserle pro essusest importante. En eet lafaible station-narité est lepremier aspe t que toutstatisti ien her hera à vérier. A titre d'exemple

dans la modélisation linéaire du type Box et Jenkins, il est né essaire que le pro essus étudié soit faiblement stationnaire. Dans e as lepro essus

(X

t

)

t∈Z

est intégré d'ordre

0

, sinon on supposera qu'il existe un

k

∈ N

∗

tel que

(I

− B)

k

_X

t

soit asymptotiquement faiblement stationnaire 1 . Lepro essus

(X

t

)

t∈Z

estditintégréd'ordre

k

. Lamajorité des asétudiésprésentent unordre d'intégration d'ordre l'unité, (travauxde Fuller [25℄,

Di- key et Fuller [21 ℄). Un intérêt vers les valeurs fa tionnaires

d

∈]0, 1[

s'ensuivit, e qui apportaune grandesouplesse àlamodélisation.

Plus généralement, on dit qu'un pro essus

(X

t

)

t∈Z

est un pro essus intégré d'ordre

d

_{∈ (0, 1)}

si

(I

− B)

d

_X

t

est asymptotiquement faiblement stationnaire. Il est toutefois important dedénir mathématiquement esdiérentes notions de stationnarité.

2.0.1 Les notions de stationnarité

Dénition 2.1 Le pro essus

X

t

est dit stri tement ou fortement stationnaire si pour tout

k, n

∈ N

∗

len-uplet

t

1

< t

2

< . . . < t

n

,

tel que

t

i

∈ Z

, la suite

(X

t

1

+k

, . . . , X

t

n

+k

)

a la même loi deprobabilité que la suite

(X

t

1

, . . . , X

t

n

).

1.

B

étantl'opérateurretarddénipour

b

∈ N

par:

B

b

_X

Dénition 2.2 Un pro essus

X = (X

t

)

t∈Z

est ditstationnaire d'ordre deux ou station-naire ausens faible, si on a :

• ∀t ∈ Z, E(X

t

2

) <

∞,

et

E

(X

t

) = m

indépendantde t,

• ∀t, h ∈ Z

, ov

(X

t

, X

t+h

) = r(h)

indépendant de t. 2.0.2 Les pro essus à longue mémoire

Soit unpro essus stationnaire

(X

t

)

t∈Z

de se ondordre.

X

t

estdità longuemémoire sil'une de troispropositions suivantes estvériée.

•

La suitedes ovarian es n'est passommable :

P

_+∞

−∞

|r(k)| = ∞

, où

r(.)

estla fon tiond'auto ovarian e,

•

La suitedes ovarian es tend verszéro lentement et defaçon régulière : ov

(X

1

, X

n+1

) = n

−D

_{L(n), 0 < D < 1}

L

étant une fon tion à variations lentes àl'inni 2

.

•

La densitéspe tralede

X

t

admet une singularitéen

λ

0

:

f (λ) =

_{|λ − λ}

0

|

D−1

L



₁

|λ − λ

0

|



, 0 < D < 1, λ

_{→ λ}

0

.

L(λ)

3

étant à variations lentesen

0

.

Le bruit gaussien fra tionnaire (fgn)

Rappelons auparavant ladénition dumouvement brownien fra tionnaire.

B

H

=

{B

H

(t), t

∈ R

+

}

est un brownien fra tionnaire lorsque

B

H

est gaussien entré, ontinu, àa roissementsstationnaires ettelque

E

(B

H

(t)

− B

H

(s))

2

_{= σ}

2

_{|t − s|}

2H

pour tout

(t, s)

∈ R

2

et

H

∈ (0, 1)

. Le bruitgaussien fra tionnaire

X

H

=

{X

H

(t), t

∈ R

+

_}

est

dénialors omme étant les a roissementsunitaire de

B

H

soit:

X

H

(t) = B

H

(t + 1)

− B

H

(t), t

∈ R

+

Sa fon tiond'auto ovarian e est:

r

H

(k) =

σ

2

2

|k + 1|

2H

₊

_{|k − 1|}

2H

_{− 2|k|}

2H

_,

_{∀k ∈ N}

(2.0.1)

∼ H(2H − 1)|k|

2H−2

, k

_{→ ∞.}

Le pro essus FARIMA

(p, d, q)

Soit

(ε

t

)

t∈N

une suite de variables aléatoires entrées, iid 4

et devarian e nie. Un pro essus

X =

{X

t

, t

∈ Z}

estunFARIMA

(p, d, q)

où

d

∈ (−

1

2

,

1

2

)

s'ilvérie :

φ(B)(1

_{− B)}

d

(X

t

) = θ(B)ε

t

,

où

ε

t

estun bruitblan entré devarian e

σ

2

, Bl'opérateur de retardet (

φ(.), θ(.)

) étantdespolynmesà oe ientsréelsàra inesendehorsdu er leuniténon ommunes auxdeux polynmes.

2.

L

estbornéesurles intervallesnisetpourtout

t >

0

àl'inni.

L(tx)

L(x)

→ 1, x → +∞

• φ(B) = 1 − φ

1

B

− φ

2

B

2

− . . . − φ

p

B

P

.

• θ(B) = 1 − θ

1

B

− θ

2

B

2

− . . . − θ

p

B

q

.

La fon tion

(1

− B)

d

est dénipar

(1

_{− B)}

d

=

X

k≥0

b

k

(d)B

k

òu

b

k

(d) =

Γ(k

_{− d)}

Γ(k + 1)Γ(

−d)

La densitéspe traledu pro essusFARIMA(p,d,q) est:

f (λ) =

σ

2

_|θ(e

iλ

₎

_|

2

2π

|φ(e

iλ

₎

_|

2

|1 − e

iλ

_|

−2d

_{: λ}

_{∈ [π, 0[∪]0, π].}

Pour

0 < d <

1

2

,

{X

t

}

t∈Z

estalors stationnaire àlongue mémoire.

2.1 Les méthodes d'estimation du paramètre de longue

mé-moire

C'esten1951qu'uningénieurhydrauli iendunomdeHurst[33℄publiaunarti lesur les ruesduNil.C'étaitlepointdedépartdestravauxsurlespro essusàlonguemémoire

. Diversesméthodesont étéélaborées.Tant dansledomaine spe tralquetemporel.Les méthodesspe tralesontpour butl'estimationdel'exposantde lapuissan edeladensité spe traleexpriméeaupointde singularitéqui généralement est zéro.Ces méthodessont

dites lo ales lorsque les hypothèses de régularité de

f

sont onsidérées au voisinage de zéroet globales endehors desvoisinages de zéro.

Les méthodes les plus onnues sont basées sur la transformée de Fourier. Elles furent

développéespar Peter Robinson ([42 ,43 ℄et sont basées surleprin ipe suivant : Si on néglige la fon tion de nuisan e

f

∗

dans l'expression de la densité spe trale alors

f (λ) =

|λ|

−2d

, en appliquant le

log

on a alors

log f (λ)

∼ −2d log(|λ|)

, ainsi le paramètre d'intérêt

d

peut etreestimé par une régressionlinéaire surle périodogramme (notiondéveloppéeultérieurement).CetteméthodediteGPH(GewekeetPorter-Huda k) est présentée dans [26℄ dans un adre paramétrique. Le adre semiparamétrique a été onsidérépar Küns h[35 ℄et développépar Robinson[43 ℄.La méthode deWhittlebasée

surFourier(ou LWF 5

)estuneméthodebaséesurlepseudo-maximum devraisemblan e . Elle a été développée par Fox et Taqqu [23℄ dansun adre paramétrique puis étendue au adre semi-paramétrique par Robinson [42℄. Moulines et et al dans [38, 40, 41℄ ont

repris les mêmes travauxen utilisant les ondelettes. Les ondelettes présentent plusieurs avantages dont larobustesseaux tendan es polynomiales. La méthode d'estimation par ondelettes d a vu le jour ave Abry et Veit h [1 ℄ sous l'hypothèse de la dé orrélation

des oe ients d'ondelettes, s'ensuivirent d'autres développements en 1999 [2℄,en 2000 [7℄ et en 2003 [1℄.Veit h et al [47℄ dans le hoix de lafon tion d'é helle et laséle tion automatique de la fréquen e de rupture dans [46 ℄. Bardet al. (2000) ont montré des

résultatsasymptotiquespour e typed'estimateur (notéLRW 6

)dansle asgaussien,et Bardet (2002) a onsidéré le as parti ulier du mouvement Brownien fra tionnaire [12℄. Dans un adre semi-paramétrique et en onsidérant le as des observations ontinues,

desrésultatssurla onsistan ede esestimateursfurentprésentesparBardetetal.dans

[13 ℄, esderniersrésultatsontétéaméliorésparMoulinesetetal en2007[40℄endonnant

une vitesse de onvergen e optimale au sens du ritère minimax. Finalement Roue et Taqqu[17 ℄ présentèrentedesrésultatsanaloguesà esdernierspourla asdespro essus linéaires. En2009 Abry et al. [5℄ onsidérèrent le as nongaussien.

Nousprésentonsdans equisuitdesméthodesd'estimationslo alesetglobalestantdans ledomaine temporelque spe tral.

2.1.1 Les méthodes spe trales

Les Méthodes lo ales

La onstru tion desestimateurs par les méthodes lo ales supposent (outre

l'intégra-bilité sur

(

−π, π]

) quele omportement de ladensitéspe trales enzéro soit de laforme

f (x)

∼ Cx

−2d

quand

x

→ 0

+

ave

−1/2 < d < 1/2

. Lesparamètres àestimer sontalors

C

et

d

. Ces méthodes en questions utilisent le log-périodogramme de Geweke Porter Huda k [26 ℄. Elles ont été améliorées par Kuns h [35 ℄. Les versions adaptatives ont été

proposées par Hurvi h etal..

L'estimateur Geweke Porter Huda k (GPH)

Soit

m

un entier xé, pour tout

n

on pose

n

m

= 2M [

N

2m

]

et

K

n

= [

N

2m

]

. On dénit alors lepériodogramme

I

n

(x)

de

{X

1

, X

2

,

· · · , X

n

m

}

omme suit :

I

n

(x) =

|ω

n

(x)

|

2

,

où

ω

n

(x) = (2πn

m

)

−1/2

n

m

X

t=1

X

t

e

itx

Ces quantitéssont évaluées auxfréquen esde Fourier

x

s

=

2πs

n

, 1

≤ s ≤ n

. Ledomaine fréquentiel est alors subdivisé en segments disjoints de longueur

m

et la moyenne du périodogramme est al ulée sur haque segment. Plus exa tement, pour

k = 1,

· · · , K

n

on note

J

k

=

{m(k − 1) + 1, · · · , mk}

et

Y

n,k

= Y

n,2K

n

−k+1

= log



2e

−τ

m

X

i∈J

k

I

n

(x

i

)



.

ave

τ

m

= ψ(m)

,

σ

2

m

= mψ

′(m)

où

ψ(z)

la fon tion digamma

ψ(z) =

Γ′(z)

Γ(z)

, la fon tion

Γ(z)

étant lafon tion usuellegamma.De pluson pose:

g(x) =

_{−2 log |1 − e}

ix

_|

et

y

k

=

(2k

_{− 1)π}

2K

n

, 1

_{≤ k ≤ K}

n

.

Pour

0 < L < M

≤ K

n

ave

L

et

M

onvenablement hoisis.Ondénit alors :

ˆ

d(L, M ) ,

P

M

j=L+1



g(y

i

)

− (M − L)

−1

P

M

j=L+1

g(y

i

)Y

n,j



P

M

j=L+1



g(y

i

)

− (M − L)

−1

P

M

j=L+1

g(y

i

)



2

'estl'estimateur par moindres arrés ordinaires de

d

pour lemodèlelinéaire

Y

n,j

= C + d.g(y

j

) + η

j

, l + 1

≤ j ≤ m

Uneremise enquestiondestravauxde Geweke etPorter Huda k1983[26 ℄par Robinson surlavaliditéde ertaines approximations nonvalidesdansle asde lalonguemémoire