Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales

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inégalités géométriques optimales et stabilité des

variétés extrémales

Erwann Aubry

To cite this version:

Erwann Aubry. Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales

et stabilité des variétés extrémales. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I,

2003. Français. �tel-00004006�

géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales

Remer iements

Mespremiers remer iements vont à mon dire teur de thèse,Sylvain Gallot,qui, de la li en e à la thèse, m'a fait progressivement dé ouvrir lagéométrie riemannienne (grà e a ses ex ellents ours) et le métier de her heur. Je le remer ie aussi haleureusement pour ses nombreux onseils de réda tionsanslesquels ette thèsene seraitpas e qu'elleest.

Jozeph Dodziuk, Hermann Kar her et Ja ques Lafontaine m'ont fait l'honneur d'a - epter d'é rire un rapportsurmathèse,je les enremer ie vivement.

De même, je remer ie Yves Colin de Verdière, Étienne Ghys et, de nouveau, Ja ques Lafontaine d'avoir a epté d'être membre demon juryde thèse.

Jeremer ielesmembresdel'équipedegéométrieriemanniennedeGrenoble,pour l'am-bian e à la fois studieuse et haleureuse qui règne en séminaire et en groupe de travail. J'ai une pensée parti ulière pour les thésards, Laurent Chaumard (pour les nombreuses dis ussions, mathématiques ou non), Vin ent Bayle (pour avoir supporté mesbavardages intempestifspendant es3années passéesdanslemême bureauet m'avoirappris l'artdu tir au but),Guillemette Reviron, Constantin Verni os et Ri hard Peyrerol.

Je remer ie le personnel administratif de l'institut Fourier pour son e a ité et son dévouement, notamment Arlette qui m'atoujours simpliéles formalitésadministratives.

Je n'oublierai pas mes ollègues thésards de l'institut Fourier, en ommençant par Ali e, lapetite dernièredubureau304;Vin ent,Lu ,Xavier,Stéphane, Bertrand,Alexis, Dan, l'équipede footde l'institutFourier (sansoubliernotreséle tionneur,Laurent Bona-vero);etlesnombreuxautresthésards otoyésau oursde es4annéespasséesàGrenoble.

Enn,jetiensàremer iermafamillepoursonsoutienetsapatien edurant es4années dethèse,etlafamilleBesse(mase ondefamille)poursonsoutienetsona ueil haleureux.

Pour nir, jene sauraistrouver desmotsde remer iement assez fortspourtoi, maFlo qui, par l'amour dont tu m'entoures, tes en ouragements permanents et ta onan e en moi m'a fourniles for es né essairesà l'aboutissement de ette thèse.

La ourbure de Ri i d'une variété riemannienne

(M

n

_{, g)}

est le 2-tenseur symétrique déni sur

T

x

M

parla formule:

Ric(X, Y ) =

X

i

R(X, e

i

, Y, e

i

),

où

(e

i

)

1≤i≤n

est unebase orthonormée quel onque de

(T

x

M, g

x

)

et

R

désigne le4-tenseur de ourbure de la variété. On dit qu'une variété riemannienne est de ourbure de Ri i minorée(resp.majorée)parunréel

k

lorsquelesdeuxformesquadratiques

Ric

et

g

vérient l'inégalité

Ric ≥ k.g

(resp.

Ric ≤ k.g

), e qui signieque,en restri tion à

T

x

M

les valeurs propres de la forme bilinéaire symétrique

Ric(x)

par rapport au produit s alaire

g

x

sont minorées (resp. majorées) par

k

. Il est évident qu'une borne sur la ourbure de Ri i est une hypothèse plus faible qu'une borne sur la ourbure se tionnelle : par exemple, supposer la ourbure se tionnelle négative ou nulle est une hypothèse très restri tive qui, par le théorème de Cartan-Hadamard, implique en parti ulier que la variété est revêtue par

R

n

. Au ontraire, des résultatsde J. Lohkamp (voir [68℄) prouvent que toute variété diérentiable ompa te(de dimension

n ≥ 3

) admet un gros ensemble(en fait

C

0

-dense) de métriquesde ourbure deRi i négative (ouplusgénéralement majoréeparunnombre

k

xé).Sil'hypothèse de" ourbure deRi i majorée par

k

" nedonne au une information surlastru turediérentiable(etpeuderenseignementssurlagéométrie),enrevan he,une hypothèsede" ourbure deRi iminoréeparune onstante

k

"donne desinformationsqui ommen ent àêtreà peu près omprises,surtout depuisles travauxré entsde T.Colding et J.Cheeger[38 ℄,[39 ℄,[40℄,[29℄,[30 ℄,[31 ℄et[32 ℄ quiont fourniuneversion"enmoyenne" du théorème de Toponogov omplétant e a ement l'arsenal te hnique déjà disponible, omposéessentiellement desthéorèmesde omparaison surlevolume àlaBishop-Gromov (et de leurs extensions que sont, par exemple, l'inégalité de Heintze-Kar her, le ontrle du prolisopérimétriqueà laGromov-Bérard-Besson-Gallot), de laformuledeBo hner et des estiméesanalytiques à laAbres h-Gromoll.

Dans ettethèse,ons'intéresseauxpropriétésgéométriquesdesvariétésriemanniennes dontla ourburedeRi ivérie ertaineshypothèsesintégralesquis'avèrentbeau oupplus faibles quel'hypothèse de ourburede Ri i minorée. Plus pré isément,on note

Ric(x)

la plus petite valeur propre de la forme bilinéaire symétrique

Ric(x)

sur

T

x

M

relativement au produits alaire

g

x

et, pour tout réel

k

, on dénitlafon tion

ρ

k

= Ric − k(n−1)

−

₌

max 0, −Ric + k(n−1)

; les variétés riemanniennes étudiées dans ette thèse seront de dimension

n ≥ 2

et telles que la fon tion

ρ

k

admette une norme

L

p

(pour au moins un

p > n/2

) lo ale ou globale plus petite qu'une onstante xée. On parlera alors de variétés de ourburede Ri ipresqueminoréepar

k(n − 1)

(remarqueztoutefoisque ette appellation revêt plusieurs senspossiblesqui seront pré isésdanslesénon és ultérieursde nosrésultats).

Les premiers travaux sur les variétés omplètes vériant e type d'hypothèses furent réalisés par S. Gallot (notons que, dans le même temps, M. Anderson et L. Gao établis-saient des résultats de onvergen e sur les variétés dont la ourbure se tionnelle est ma-jorée en norme

L

n

2

); en parti ulier, il a montré dans [50℄ que toute variété riemannienne omplète de diamètre plus petit que

D

et dont la ourbure de Ri i vérie l'inégalité



1

Vol M

R

M

ρ

p

k



1

p

≤ ζ(n, p, k, D)

(où

p

est un réel stri tement plus grand que

n

2

,

k

est un réelnégatifet

ζ(n, p, k, D)

estune onstanteuniversellestri tementpositive)voit ertaines de ses onstantes isopérimétriques minorées par des onstantes universelles. S. Gallot en déduitalors desmajorants universels des onstantes deSobolev de esvariétés etdes ma-jorations universelles du premier nombre de Betti desvariétés de diamètre majorépar

D

et de ourbure de Ri i presque positive.L'étude de e type d'hypothèse intégrale sur la ourbure de Ri i a été poursuivie, plus ré emment, par P. Petersen et G. Wei dans [81℄ et [82 ℄ lorsque la ourbure de Ri i est presque supérieure à une onstante négative ou nulle

1

et par P. Petersen et C. Sprouse dans[79 ℄ lorsque la ourbure de Ri i est presque supérieureà une onstante positive

2 .

1

Les auteurs démontrent dans [81℄ des minorations des volumes relatifs des boules géodésiques à la Bishop-Gromov :le volume relatif d'une boule géodésique de rayon

R

1

dans uneboule on entrique de rayon

R

2

plus grandest minoré(à un fa teur orre tif près quitend vers

1

lorsquela norme

L

p

de

ρ

k

surla boule de rayon

R

2

tendvers

0

) par le rapport des volumesdes boules de rayons

R

1

et

R

2

dans la variété riemannienne simplement onnexe de ourbure se tionnelle onstante égale à

k

. Ce résultat permetessentiellementdedémontrerlapré ompa itépourladistan edeGromov-Haudsordel'ensemble des variétés riemanniennes de diamètre majoré par

D

etde ourbure de Ri i presque minorée par

k

. P. Petersen etG.Wei ont ensuite démontrédans [82℄un équivalent dela majoration deCheng et Yau dugradientdesfon tionsharmoniquesetunéquivalentdesestiméesd'Abres hetGromollsurlafon tion ex ès

x

7→ d(x, x

0

) + d(x, x

1

) − d(x

0

, x

1

)

d'un oupledepoints

x

0

et

x

1

.

2

lesauteursdémontrentalors(modulouneerreur,dansleurdémonstrationdelamajorationdudiamètre desvariétésde ourburedeRi ipresqueminoréeparune onstante

k(n − 1) > 0

,dontilserafaitmention dans le hapitre 4 de ette thèse) que le résultat à la Bishop-Gromov de [81 ℄ s'étend aux variétés de ourbure deRi i presque minorée par

k(n − 1) > 0

; ependant, sans lamajoration du diamètre,leur méthode ne on lut que pour des boules de rayon inférieur à

(

π

√

k

− α)

, ave un terme orre teur qui tendversl'inni lorsque

α

tendverszéro).Lesauteursdémontrentaussi(ave lamêmerestri tion)que leurméthodepermetdegénéraliserl'inégalitédeHeintze-Kar hersurlevolumedesvoisinagestubulaires deshypersurfa esde ourburemoyenne onstantedansle as où esvoisinages sont derayoninférieur à

π

√

k

− α

.Mais, enl'absen ed'unedémonstrationdufaitquelediamètrede esvariétés estmajoré par une onstantepro hede

π

√

Courbure de Ri i presque supérieure à elle de la sphère

Inégalités géométriques optimales

Dans le hapitre 4 de ette thèse, on répond à une question posée par les travaux de P. Petersen et C. Sprouse sur les variétés de ourbure de Ri i presque minorée par une onstante stri tement positive(voir[79℄).Pluspré isément,ons'intéresseàl'extension,au as où la ourbure de Ri i est presque minorée par

(n − 1)

, des inégalités géométriques optimalessuivantes,quisont lassiqueslorsquela ourburedeRi iestsupérieureouégale à

(n − 1)

(rappelonsque la ourbure deRi i de lasphère estégale à

n − 1

) :

Théorème 0 (Myers, Bishop, Gromov, Li hnerowi z, Gallot-Meyer).  Toute variété riemannienne omplète

(M

n

_{, g)}

de ourbure de Ri i supérieure ou égale à

(n−1)

vérieles inégalités suivantes:

(Myers)

Diam(M

n

_{, g) ≤ Diam(S}

n

_{, can) = π}

,

(Bishop) pour tout

R > 0

et tout point

x ∈ M

,

Vol B(x, R) ≤ A

1

(R)

; en parti ulier

Vol(M

n

_{, g) ≤ Vol(S}

n

_{, can)}

,

(Bishop-Gromov) pourtout ouple

(r, R)

tels que

0 < r ≤ R

et toutpoint

x

de

M

on a

Vol B(x,r)

V olB(x,R)

≥

A

1

(r)

A

1

(R)

, (Li hnerowi z)

λ

0

1

(M

n

, g) ≥ λ

0

1

(S

n

, can) = n

, (Gallot-Meyer)

λ

1

1

(M

n

, g) ≥ λ

1

1

(S

n

, can) = n

,

où

A

1

(r)

estlevolumed'uneboulegéodésiquederayon

r

delasphère anonique

(S

n

_{, can)}

, où

λ

0

1

(M

n

, g)

est la plus petite valeur propre non nulle du lapla ien usuel de

(M

n

_{, g)}

et où

λ

1

1

(M

n

, g)

est la plus petite valeur propre du lapla ien de Hodge sur les 1-forme de

(M

n

, g)

.

Lorsqu'on her heàgénéraliser esinégalitésauxvariétésde ourburedeRi ipresque supérieure à

n−1

onserend ompte quel'obtention d'unegénéralisation optimale de l'in-égalitédeMyersestdéterminantepourobtenirunegénéralisationdesautresinégalitéssous ette hypothèse(les démonstrations lassiquesdesinégalitésdeBishopet Bishop-Gromov utilisent également le résultat de Myers, sans quoi es inégalités ne seraient valables que lorsque les boules onsidérées sont de rayons inférieurs à

π

√

k

, omme dans le résultat de [79 ℄; de plus, pour généraliser les estimées spe trales, on a besoin d'un bon ontrle de lafon tion "prol isopérimétrique" oudes onstantes deSobolev desvariétésde ourbure

de Ri i presque supérieure à

n−1

, e ontrle ne devant pas dépendre d'une borne a priorisurlediamètrede esvariétés,voirlethéorème4.17).Orladémonstration lassique du théorème de Myers onsiste à onstruire

(n − 1)

hamps de ve teurs le long de toute géodésique de sorte que, si la variétéest de ourbure de Ri i supérieure à

n − 1

et si la géodésiqueestdelongueur stri tementsupérieureà

π

, es hampsde ve teurspermettent demontrerquelamoyenne duHessiendelafon tionnelleénergie de ettegéodésiquedans es dire tionsest stri tement négative. Cette géodésique est alors d'indi e non nul, et ne peut don pasêtre minimisante. Ce s héma de preuve se prête bien à desgénéralisations du théorème de Myers où l'on rempla e l'hypothèse globale sur la ourbure de Ri i par une hypothèse de positivité des intégrales de la ourbure de Ri i le long de toutes les géodésiques d'une variété riemannienne omplète ( ha une de es intégrales étant géné-ralement al ulée par rapport à la mesure de longueur

dt

de la géodésique), ou par des hypothèses qui permettent de s'y ramener (voir, par exemple, les résultats de Ambrose, Calabi, Avez, Markvorsen, Cheeger-Gromov-Taylor, Itokawa, Rosenberg, Wu et Sprouse [2℄, [24 ℄, [14℄, [70 ℄, [34℄, [63 ℄, [91℄, [89 ℄). Sous les hypothèses qui nous intéressent, on ne ontrle pas l'intégrale de la ourbure de Ri i le long de haque géodésique, mais seule-ment la moyenne de es intégrales dans toutes les dire tions de géodésiques issues d'un mêmepoint

x

0

. Pluspré isément,on neminorequelamoyenne,par rapportauxve teurs

v ∈ S

n−1

x

0

, de l'intégrale, lelong des géodésiques

γ

v

(de ve teur vitesse initiale

v

) et pour la mesure

θ(t, v)dt

, de la ourbure de Ri i; e qui revient à al uler la moyenne de la ourburedeRi i sur

S

n−1

x

0

×]0, R

0

[

,par rapportàlamesureriemannienne

θ(v, t) dv dt

(où

S

n−1

_x

0

estlasphèreunitaire de

(T

x

0

M, g

x

0

)

, où

R

0

estun réelpositifxéet où

θ(v, t)

estle ja obien de l'appli ation

(v, t) 7→ exp

x

0

(tv)

). Si on se refuse ( omme e sera notre as) à faire une hypothèse supplémentaire de minoration uniforme de la ourbure de Ri i (une tellehypothèseestfaitedansletravaildeC.Sprouse[89 ℄quiutiliselestravauxdeJ. Chee-geret T.Colding pour majorer lediamètre des variétésde ourbure de Ri i supérieureà

−(n − 1)

et telles qu'une norme

L

1

de

Ric − (n − 1)

−

soit petite), on ne peut déduire, de la donnée d'un minorant de ette moyenne globale, une minoration de l'intégrale de la ourbure de Ri i sur haque géodésique (ou, plus pré isément, sur au moins une des géodésiques qui joignent les paires de points de

(M

n

_{, g)}

situés à une distan e pro he du diamètre),qui estla ondition né essaireaufon tionnement de l'argument sur l'indi edu Hessien de l'énergie évoqué i-dessus (remarquons que ladi ulté est de ontrler l'inté-gralede la ourbure deRi i lelongde esgéodésiques àlamesuredelongueur

dt

, etnon pasparrapportàlamesure

θ(v, t) dt

).C'estpourquoi,dansle hapitre 4de ettethèse,on généraliselethéorèmedeMyersenpassantparl'inéquationdeRi atiquireliela ourbure moyenne d'une sphère-géodésique en unde ses points auxvaleursde la ourbure de Ri i lelongdurayongéodésiquepassant par epoint: ette ourburemoyenne étantladérivée

logarithmiquedelaformevolumedessphèresgéodésique,unbon ontrle intégralde ette ourbure moyenne sur les sphères permet d'obtenir un ontrle du volume des boules et des sphères géodésiques (du type Bishop et Bishop-Gromov) assez n pour on lure. On obtient alors lerésultat suivant :

Théorème A.Soit

n

unentier

(n ≥ 2)

.Soient

p

et

R

desnombresréelstelsque

p >

n

2

et

R > 0

. Il existe des onstantes universelles

C(p, n)

et

α(p, n)

( al uléesau hapitre 4), telles que:

(i) Si

R ≤ 4π

, toute variété riemannienne omplète

(M

n

_{, g)}

de dimension

n

, telle que

sup

_x∈M



_{Vol B(x,R)}

1

R

_B(x,R)



_{Ric − (n − 1)}

−



p



1

p

≤ ǫ ≤ α(p, n)

, vériel'inégalité :

Diam(M

n

_{, g) ≤ π 1 + C(p, n)ǫ}

2p−1

p

En parti ulier,

M

est ompa te.

(ii) Si

R > 4π

, les mêmes on lusions sont valables sous l'hypothèse plus restri tive

R

2

_sup

x∈M



1

Vol B(x,R)

R

B(x,R)



Ric − (n − 1)

−



p



1

p

≤ ǫ ≤ α(p, n)

.

Nous verrons aussi qu'à ondition de rempla er

R

par

6π

, l'hypothèse intégrale du théorème A

(i)

n'abesoind'être vériéequepour unseulpoint

x

de

M

.Cettemajoration du diamètre des variétés de ourbure de Ri i presque supérieure à

n − 1

nous permet d'obtenir desgénéralisations optimalesdesinégalités géométrique itées plushaut :

Théorème B. Sous les mêmes hypothèsesque elles du théorème pré édent, il existe une onstante

C(p, n)

, al uléeau hapitre 4,telle qu'onait lesinégalités :

Vol(M

n

_{, g) ≤ Vol S}

n

1 + C(p, n)ǫ

4p−n−1

p

λ

0

₁

(M

n

_{, g) ≥ n 1 − C(p, n)ǫ}

λ

1

₁

(M

n

_{, g) ≥ n 1 − C(p, n)ǫ}

,

et don

H

1

_{(M ) = {0}}

où

λ

0

1

est la première valeur propre non nulle du lapla ien usuel, où

λ

1

1

est la première valeurpropredulapla iendeHodgesurles1-formesetoù

H

1

_{(M )}

estlepremiergroupede ohomologie réelle de

M

n

. Deplus, enposant

δ = 1 − C(p, n)ǫ

p

4(2p−1)

, ona lesinégalités:

(i) pourtous les rayons

r > 0

, et tous lespoints

x

de

M

n

:

Vol B(x, r)

_≤



1 + C(p, n)ǫ

4p−n−1

p



A

1

(r)

” Vol

_n−1

∂B(x, r)

_{” ≤}



1 + C(p, n)ǫ

2(2p−1)

p



L

1

(δr)

où

” Vol

n−1

∂B(x, r)

”

désigne levolume

(n−1)

-dimensionnel de lapartie régulière de la sphère

∂B(x, r)

(voirlase tion4.1.2pourunedénitionpré ise),etoù

L

1

(r)

(resp.

A

1

(r)

)

est le volume

(n−1)

-dimensionnel d'une sphère (resp. le volume d'une boule) géodésique derayon

r

de lasphère anonique

(S

n

_{, can)}

.

(ii)pour tousles ouples de nombresréelstels que

0 < r ≤ R

, et touslespoints

x

de

M

n

,

Vol B(x, r)

Vol B(x, R)

≥



1 − C(p, n)ǫ

4p−n−1

p

 A

1

(r)

A

1

(R)

” Vol

_n−1

∂B(x, R)

”

L

1

(δR)



1

2p−1

−

” Vol

n−1

∂B(x, r)

”

L

1

(δr)



1

2p−1

≤ C(p, n)ǫ

2(2p−1)

p

_{(R − r)}

2p−n

2p−1

Les onstantesqui interviennent dans esinégalités sont pré iséesdansle hapitre 4.

Dans le hapitre 4 de ette thèse, on onstruit de plus une suite de variétés rieman-niennesqui ontreditlesénon ésdesthéorèmesAetBlorsqu'onprend

p = n/2

(et

n ≥ 3

) dansl'hypothèse intégrale surla ourbure deRi i.

Métriques presqu'extrémales

Dansle hapitre 5,ons'intéresse auxvariétésde ourburede Ri i presquesupérieure à

n − 1

dont les invariants riemanniens, bornés par les théorèmes A et B qui pré èdent, prennent desvaleurs presqueextrémales. Rappelons que les inégalités géométriques opti-males du théorème 0 sont telles que, si une variété riemannienne omplète de ourbure de Ri i supérieure ou égale à

(n − 1)

réalise le asd'égalité dans l'une de es inégalités, alors ette variété est né essairement isométrique à la sphère anonique ( 'est une onsé-quen e des travaux de S.Y. Cheng [35 ℄ et M. Obata [73 ℄). Une autre manière d'exprimer ettepropriétéest dedireque, surl'ensembledesvariétés de ourbure deRi i supérieure ou égale à

n−1

(modulo isométries), la fon tionnelle qui, à haque variété riemannienne

(M

n

, g)

, asso iesondiamètre(resp.sonvolume,resp.son

λ

0

1

,resp. son

λ

1

1

)atteint son ex-tremumabsolupourlasphère anonique,et pour lasphèreseulement.Deplus, J.Cheeger etT.Coldingontdémontrélerésultatsuivantdestabilitédesmétriquespresqu'extrémales de ourbure de Ri i supérieureou égaleà

(n−1)

( f[38℄,[39℄ et [30℄) :

Théorème (J. Cheeger-T. Colding [30℄).  Il existe une onstante

ε = ε(n)

telle quetoutevariétériemannienne ompa te

(M

n

_{, g)}

de ourbure deRi i supérieureàn-1 et vériant l'inégalité :

Vol(M

n

_{, g) ≥ (1 − ε) Vol(S}

n

, can)

soit diéomorphe à

S

n

.

La onstante universelle

ε(n)

(qui n'est pasexpli itable par la preuve) ne dépend pas de bornes a priori sur la ourbure se tionnelle. Ce point est l'amélioration fondamentale apportée par T. Colding et J. Cheeger aux travaux antérieurs de Shiohama, Perelman,

Otsu-Shiohama, Yamagu hi, et . ( f [88℄). T. Colding et J. Cheeger ont aussi démontré les variantes de e théorème onsistant à rempla erl'hypothèse de presquemaximalitédu volume par la presque maximalité du Radius ou la proximité, en distan e de Gromov-Hausdor, ave la sphère anonique. P. Petersen [77 ℄ a,quant à lui, rempla é l'hypothèse sur levolume par l'hypothèse

λ

0

n+1

≤ n + ǫ

.

La preuve de e théorème par T.Colding et J.Cheeger sedé ompose endeux étapes:

1) La première étapeest unrésultat de o-stabilitéde ertainsinvariantsgéométriquesde lasphère anoniqueen ourburedeRi i supérieureà

(n−1)

.Pluspré isément,T.Colding a montré dans [38℄ et [39℄ que, sur l'ensemble des variétés riemanniennes omplètes de ourbure de Ri i supérieure à

(n−1)

, il équivalent d'être de volume pro he de elui de la sphère, d'être de radius pro he de elui de la sphère ou d'être pro he de

(S

n

_{, can)}

en distan edeGromov-Hausdor.P.Petersen omplète eséquivalen esdans[77℄enmontrant que ha une de es 3 onditions est équivalente à eque

λ

0

n+1

soit pro he de

n

.

2) Dans un se ond temps, T. Colding et J. Cheeger ont démontré dans [30℄ que, si une suite devariétésriemanniennes, ompa tesetde ourburedeRi iuniformément minorée, onverge(endistan edeGromov-Hausdor)versunevariétériemannienne ompa texée de même dimension,alors tousses élémentssont diéomorphesàlavariété-limite à partir d'un ertainrang.

Dansunpremiertemps,le hapitre5est onsa réàl'extension delapremièreétapede lapreuveduthéorèmedeColding-Cheegerau asdesvariétésde ourburedeRi ipresque supérieure à

(n−1)

. Ondémontre lerésultat de o-stabilité suivant :

ThéorèmeC.Ilexistedes onstantes

C(p, n)

et

β(n)

tellesque,sil'on onsidèretoutes les variétés riemanniennes omplètes

(M

n

_{, g)}

qui vérient les hypothèses de ourbure du théorème Aet l'unedestrois inégalitéssuivantes :

Vol(M

n

_{, g) ≥ (1 − ǫ) Vol(S}

n

, can)

ou

λ

0

n

(M

n

, g) ≤ n + ǫ

ou

Radius(M

n

_{, g) ≥ (1 − ǫ) Radius(S}

n

_{, can),}

toutes es variétés sont à distan e de Gromov-Hausdor de

(S

n

_{, can)}

plus petite que

C(p, n)ǫ

β(n)

.

Ré iproquement, si la distan e de Gromov-Hausdor entre

(M

n

_{, g)}

et

(S

n

_{, can)}

est plus petite que

ǫ

, alors

V ol(M

n

_{, g) ≥ 1 − C(p, n)ǫ}

β(n)

_Vol(S

n

_{, can)}

,

λ

0

n+1

(M

n

, g) ≤ n +

C(p, n)ǫ

β(n)

et

Radius(M

n

_{, g) ≥ 1 − C(p, n)ǫ}

β(n)

_Radius(S

n

_{, can)}

. Les onstantes

C(p, n)

et

β(n)

sont expli itables.

Onremarqueraque, pour prouver que ladistan ede Gromov-Hausdor entre

(M

n

_{, g)}

et

(S

n

_{, can)}

possède

(n + 1)

valeurspropres presque inférieuresà

n

: en eet,ilsut quelavariétéen possède

n

pourobtenirlamême on lusion.Appliquédansle asparti ulieroùla ourbure deRi iestsupérieureà

(n − 1)

, e iaméliorelerésultatdeP.Petersenenétablissant le: CorollaireD.Soit

n

unentier

(n ≥ 2)

. Ilexistedes onstantesuniversellesstri tement positives

ǫ(n)

,

β(n)

et

C(n)

(expli itement al ulables)tellesque,si

(M

n

_{, g)}

estunevariété riemanniennededimension

n

quivérie

Ric(M

n

_{, g) ≥ (n−1)}

et

λ

0

n

(M

n

, g) ≤ n+ǫ(n)

,alors

M

estdiéomorphe à

S

n

et

d

GH

(M

n

_{, g), (S}

n

_{, can)}

_{≤ C(n) λ}

0

n

− n

β(n)

.

On montre que e orollaire est optimal, au moins en e qui on erne la deuxième on lusion, en onstruisant une suite de métriques

g

k

sur

S

n

, de ourbure de Ri i supé-rieureà

(n−1)

, tellequelasuite

Vol(S

n

_{, g}

k

)

k

tendevers

0

,lasuite

Rad(S

n

_{, g}

k

)

k

tende vers

π

2

et la suite

(S

n

_{, g}

k

)

_k

tende (au sens de Gromov-Hausdor) vers l'hémisphère de dimension

n−1

muniedesamétrique anonique,maistellequelasuite

λ

0

i

(S

n

, g

k

)

_k

tende vers

n

pour tout

i ≤ n − 1

.C'est en oreunproblèmeouvertde savoirsi

n

estlepluspetit desentiers

p

tels quetoute suite

(M

k

)

k∈N

de variétésriemanniennes dedimension

n

et de ourbure de Ri i supérieure à

(n−1)

, telles que

λ

0

p

(M

k

)

tende vers

n

lorsque

k → +∞

, soitforméedevariétésquisonttoutes diéomorphesà

S

n

àpartird'une ertainrang (rap-pelons queM. Anderson [4℄etY.Otsu [74℄ont onstruitdesvariétésde ourbure deRi i supérieureà

(n−1)

, non homotopes à

S

n

, dont le

λ

1

est arbitrairement pro he de

n

). La méthode de démonstration du théorème C est une appli ation des résultats de omparaison du hapitre 4 et d'estimées analytiques (démontrées dansla première partie delathèse,au hapitre3)surles ombinaisonslinéairesdese tionspropres desopérateurs (lapla ien+potentiel) agissant surlesse tions d'unbré riemannien. Par exemple,dansla sous-se tion 5.4.2, on s'inspire des travaux de S. Gallot dans [46℄ et de P. Petersen dans [77℄ endénissant une appli ation :

(

Φ : M

_{→ S}

n

_{⊂ R}

n+1

x 7→ Φ(x) = F (x)/kF (x)k

où

F (x) = f

1

(x), . . . , f

n+1

(x)

et où

(f

i

)

1≤i≤n+1

estune famille

L

2

-orthonormée de fon -tions propres du lapla ien de

(M

n

_{, g)}

asso iéesà des valeurs propres pro hes de

n

. Pour montrerquel'appli ation

Φ

est orre tementdénieet étudier sespropriétés,on onstruit unbrériemannien

E → M

derang

(n+1)

etdesse tions

S

i

de ebréasso iéesaux fon -tions

f

i

.Onmontrealorsque,sousnoshypothèses,lesse tions

S

i

sontdesse tionspropres asso iées à des petites valeurs propres d'un opérateur (lapla ien+potentiel) de potentiel presquepositif;uneversionfaibleduprin ipedeBo hner,démontréedansle hapitre3de ettethèse,impliquequelesse tions

S

i

formentunrepèrepresqu'orthonormédubré

E

en

ǫ

-presquetoutpointdelavariété

M

(i.e.surunepartie

M

ǫ

de

M

telleque

Vol M

ǫ

Vol M

> 1 − ǫ

). Les

S

i

permettent ainsi de dénir une appli ation linéaire de

R

n+1

presque-isométrie pour

ǫ

-presque tout point

x

de

M

et dont la restri tion à

T

Φ(x)

S

n

est partout pro he de

t

_d

x

Φ

; on en déduit que

Φ

est une fon tion dénie sur tout

M

, surje -tive, dedegré

±1

, quiréalise une

C(p, n)ǫ

β(n)

-approximation de Hausdorde

(M

n

_{, g)}

sur

(S

n

, can)

(notez que, ontrairement à e qui est faitdansles travaux de T.Colding, nous onstruisons expli itement l'approximation de Hausdor).

Dans la se tion 5.5, nous étudions (en l'état a tuel de nos re her hes) les extensions possibles aux variétés de ourbure de Ri i presque supérieure à

(n−1)

de la deuxième étape de la démonstration du théorème de Colding et Cheeger. En parti ulier, nous dis- utons d'un outil qui joue un rle fondamental dans les travaux de Colding et Cheeger sur la nitude du type diérentiable en ourbure de Ri i minorée (voir par exemple le résultat ité i-dessus); etoutilnoussembledi ileàétendreau asde ourburedeRi i presque minoréepar

(n−1)

. Toutefois, nousdémontrons dans ette se tionque, sion sup-pose l'existen e d'une borne

L

p

a priori sur la ourbure se tionnelle (i.e.

kRk

L

p

_(M)

≤ A

) ou

L

∞

sur la ourbure de Ri i (i.e.

k Ric k

∞

≤ A

), alors l'appli ation

Φ

devient un dif-féomorphisme de onstante deLips hitz

C(p, n, A)ǫ

β(n,A)

-pro hede

1

. Ce idé ouleen ore des résultatsanalytiques delapremière partie de lathèse oùon démontre quedes ombi-naisonslinéaires dese tionspropres asso iéesà despetitesvaleurspropresd'un opérateur (lapla ien+potentiel) presque positif sont presque parallèles si on suppose le potentiel et la ourburedu bré bornésen normeintégrale.

On nit le hapitre 5 en étendant au as des variétés de ourbure de Ri i presque supérieure à

(n−1)

un résultat deS. Ilias[62℄.En fait, nousmontrons le:

Théorème E.  Soit

n

unentier (

n ≥ 2

).Soient

p

,

R

et

A

desnombres réelsarbitraires telsque

p > n/2

,

R > 0

et

A > 0

.Ilexisteunefon tion

α(p, n, A)

(universelleet al ulable) telle que, pour toute variété riemannienne omplète

(M

n

_{, g)}

, de dimension

n

, qui vérie

sup

_x

_{k Ric − (n − 1)}

−

_k

_L

p

_(B(x,R))

≤ α(p, n, A)

et

kRk

2p

≤ A

, on ait:

Si

λ

1

≤ n + α(p, n, A),

alors

M

est homéomorphe à

S

n

_.

Si

Diam(M ) ≥ π − α(p, n, A),

alors

M

est homéomorphe à

S

n

_.

Les ontre-exemples de M. Anderson ([4℄) et Y. Otsu ([74 ℄) déjà ités i-dessus prouvent qu'on ne peut, dans e as, s'aran hir del'hypothèse surla ourbure se tionnelle.

Courbure de Ri i presque positive

Dans le hapitre 2 de ette thèse, on s'intéresse à la généralisation d'un résultat de rigidité en ourbure de Ri i positive ou nulle dûà Bo hner :

Théorème (Bo hner).  Soit

(M

n

_{, g)}

une variété riemannienne ompa te telle que

Ric

g

≥ 0

. Alors son premier nombre de Betti

b

1

= dim H

1

_{(M, R)}

est inférieur à

n

. Si de plus

b

1

= n

alors

(M

n

_{, g)}

est isométriqueà untoreplat.

La démonstration de e théorème ombine le prin ipe de Bo hner sur les opérateurs (lapla ien+potentiel positif)etl'utilisationde l'appli ationd'Albanese:soit

(α

i

)

unebase

L

2

-orthonormée de 1-formesharmoniques, il existe une appli ation

Alb : M → T

b

1

dont la diérentielle est donnée par les

α

i

. De la positivité de l'opérateur

D

∗

_D

on déduit que toute1-forme harmonique estparallèle en ourbure deRi i supérieure ou égaleà

0

, puis quel'appli ation d'Albanese

Alb

estun isométrie si

b

1

= n

.

Cerésultat adéjàétégénéralisépar T.Coldinget J.Cheegerdelamanièresuivante :

Théorèmedutore(Colding [40℄; Colding-Cheeger[30℄).Ilexisteune onstante

ǫ(n) > 0

tellequepourtoutevariétériemannienne ompa te

(M

n

_{, g)}

vériantla ondition

Diam(M )

2

_{Ric ≥ −ǫ}

, onait

b

1

≤ n

. Side plus

b

1

= n

, alors

(M

n

_{, g)}

est

ǫ

-pro he d'un tore

T

n

platen distan ede Gromov-Hausdoret

M

estdiéomorphe à

T

n

.

I i, 'estla ara térisation du asoù

b

1

= n

qui estle résultatnouveau,lamajoration

b

1

≤ n

était un résultatantérieur de M. Gromovet de S. Gallot. Le s héma de preuve de e résultat (tel qu'il est revisité dans[51 ℄) estle suivant : sous eshypothèses de presque positivitédela ourburedeRi i,lesestiméesanalytiquesdelapremièrepartiedelathèse nous donnent que

kαk

∞

kαk

2

≃ 1

et

Diam(M )kDαk

2

≤ ǫ

pour toute 1-forme harmonique de lavariété

(M

n

_{, g)}

. Onen déduitque

(α

i

)

est unefamille

ǫ

-presque orthonorméeau-dessus d'un ensemble de volume presque égal à elui de

M

. Grà e au lemme de Toponogov

L

2

, on montreque, dansun

ǫ

-voisinage de tout ouplede pointsde

M

, il existe un ouple de points reliés par une géodésique minimisante surlaquelle

(α

i

)

est

ǫ

presque-orthonormée sur

ǫ

-presque toute sa longueur. On en déduit que l'appli ation d'albanese

Alb

est une

ǫ

-approximation de Hausdor. Le diéomorphisme dé oule du théorème de nitude du genre diérentiable(en ourbure de Ri i minorée) de Coldinget Cheeger ité plushaut. Remarquezque, dans e théorème, onne ontrle pluslamétriqueausens Lips hitz eton ne onnait pas le diéomorphisme. Toutefois, si on rajoute une borne

L

p

surla ourbure se tionnelle,lesestiméesanalytiquesdelapremièrepartiede ettethèsenousdonnent que

Diam(M )kDαk

∞

≤ ǫ

pour toute1-forme harmonique, et don lafamille

(α

i

)

est partout

ǫ

-presque-orthonormée.

Alb

devient alors un diéomorphisme presque-isométrique. Il dé oule des travaux de S. Gallot sur les variétés ompa tes de ourbure de Ri i presque positive que leur lapla ien de Hodge sur les 1-formes a au plus

n

petites valeurs propres.Sionsupposequ'ilenaexa tement

n

,onobtientlerésultatsuivant( fladeuxième partie de ettethèse) :

Théorème F.  Pour tout

n ∈ N \ {0, 1}

, pour tout

p > n

et tout

ǫ ∈]0, 1]

, il existe des onstantes

ζ(p, n) > 0

et

β(p, n) > 0

telles que toute variétériemannienne ompa te

(M

n

_{, g)}

vériant :

(

Diam(M )

2

_kRic

−

_k

p/2

< ǫ.ζ(p, n) 1 + Diam(M )

2

kRk

q/2

_−β(p,n)

Diam(M )

2

λ

1

_n

< ǫ.ζ(p, n) 1 + Diam(M )

2

_kRk

_q/2

−β(p,n)

(où

q = max(p, 4)

,

ǫ ∈]0, 1]

et

λ

1

n

est la n-ième valeur propre du lapla ien de Hodge sur les 1-formes diérentielles) est diéomorphe à une nilvariété, i.e. à un quotient d'un groupe nilpotent simplement onnexe

G

par un sous groupe dis ret

Γ

. De plus, il existe une métrique

g

0

, invariante à gau he sur

G

, qui passe au quotient sur

M = Γ \ G

en une métrique

ǫ

-pro he de

g

.

Dans le as où lelapla ien de Hodge surles 1-formes de

(M

n

_{, g)}

admet seulement

n − 1

petites valeurs propres, alors soit

M

est diéomorphe à une nilvariété, soit

M

est diéo-morphe à une infra-nilvariété non-orientable. Dans les deux as, la métrique est pro he d'une métriqueinvariante àgau he.

Ce théorème semble beau oup plus faible que le résultat de T. Colding et J. Cheeger puisqu'il suppose une borne sur la ourbure se tionnelle; pourtant ette faiblesse n'est qu'apparente : l'hypothèse supplémentaire (i.e. la borne

L

q

2

sur la ourbure se tionnelle) estenquellequesorteleprixàpayerpourunproblèmequis'avèrebeau oupplus omplexe que lesthéorèmes delasphèreet dutore deT. Coldinget deJ.Cheegeret T.Colding ( f lesdeuxénon és i-dessus).Eneet,danslethéorèmedelasphère,on omparaitlavariété

(M

n

_{, g)}

à unmodèlegéométrique unique : lasphère anonique. La situation estdéjà plus ompliquée danslathéorème dutore: i ilemodèlegéométrique (un toreplatà hoisiren fon tion de

(M

n

_{, g)}

) n'est plusunique, 'est sonrevêtement universel(l'espa e eu lidien) qui est unique; une grande partie de la di ulté dansla preuve de T. Colding, vient du fait qu'une fois prouvé quele revêtement universelde

(M

n

_{, g)}

est pro he (en distan e de Gromov-Hausdorpointée)de l'espa e eu lidien,ilfaut dénir et ontrler métriquement l'a tion induite par

Π

1

(M )

sur

R

n

de sorte que l'approximation de Hausdor passe au quotient enune approximation deHausdor de

(M

n

_{, g)}

surun toreplat.

Dans lethéorèmeF, lasituation esten ore plus omplexe,puisque toutenilvariétéestun modèle qui doit être pris en onsidération : en eet, toute nilvariété admet une métrique invarianteàgau hequivérieleshypothèsesduthéorèmeF, equiapporteunejusti ation à eshypothèses(voirlaproposition5.1deladeuxièmepartiede ettethèse).Enfait, ette hypothèse supplémentaire surla ourbure se tionnelleest indispensable : enadaptant des ontre-exemplesdusàM.Anderson,nousprouvons(danslaproposition4.1deladeuxième partie de ette thèse) que, pour tout

n ≥ 4

et tout

ǫ > 0

, ilexiste une innité de variétés riemanniennes (non homotopes entre elles), de dimension

n

, de diamètre inférieur à

1

,

de ourbure de Ri i minorée par

−ǫ

et telles que les

n

premières valeurs propres du lapla iende Hodge soient inférieures à

ǫ

.On aura ompris qu'une desdi ultésnouvelles ren ontrées dans lapreuve de notre théorèmeF(si on la ompare à elledu théorèmedu toredeT.Coldinget J.Cheeger)résidedanslefaitquelesformespropres dulapla iende Hodge orrespondant à des petites valeurs propres non nulles ne sont plus fermées, mais ofermées.

Le théorème F i-dessus (et ladis ussion et les ontre-exemples qui le suivent) est le fruit d'une ollaboration ave B. Colbois, P. Ghanaat et E. Ruh. Ce théorème se pla e dansl'esprit du théorème de M. Gromov sur les variétés presque-plates( f [23 ℄ pour une réda tion omplète, due à P. Buser et H. Kar her); rappelons que e théorème dit que toutevariétériemannienne quivérie

Diam(M )

2

_kRk

L

∞

< ǫ(n)

(où

ǫ(n)

est une onstante universelle stri tement positive) estdiéomorphe àunenilvariété.Cependant lapreuveen estdiérente,puisqu'ellereposesurdesargumentsd'analyse.Enrevan he,lefaitquetoute nilvariétéadmette une famille

g

ǫ

de métriques invariantes à gau he qui vérient (pour la mêmevaleurde

ǫ

) leshypothèsesduthéorèmeGreposesurun al ulfaitpar M.Gromov ( f[23℄ p. 126). Pour démontrer e i,M. Gromovprouve que, si

ω : T (Γ \ G) → R

n

est la 1-forme de Maurer-Cartan de la Nilvariété, elle vérie

Diam(g

ǫ

)kdωk

∞

≤ ǫ

pour une métrique

g

ǫ

bien hoisie. Notre preuve du théorème F s'appuie sur une ré iproque de e résultat, due à P. Ghanaat, qui étend aux variétés trivialisables un théorème prouvé par Zassenhauss,Kazhdan, Margulis dansle asdesgroupesde Lie:

Théorème (Ghanaat [54℄).  Il existe des onstantes

ǫ(n) > 0

,

C(n) > 0

telles que toute variété ompa te admettant une trivialisation

ω

:

T M → R

n

qui vérie

Diam(M )kdωk

∞

≤ ǫ(n)

(pour la métrique

g

ω

= ω

∗

_can

) estdiéomorphe à une nilvariété

Γ \ G

.Deplus,ilexiste alorsunetrivialisation

ω

de

T Γ \ G

= T M

quiestinvariante par

G

et telleque :

kω − ωk

∞

+ Diam(M )kdω − dωk

∞

≤ C(n) Diam(M)kdωk

∞

.

PourmontrerquelesvariétésquivérientleshypothèsesdenotrethéorèmeFsatisfont les hypothèses du théorème 0.5 de Ghanaat, nous onstruisons une appli ation de

T M

dans

R

n

dont les omposantes sont les

n

formes propres

{α

i

}

1≤i≤n

orrespondant aux

n

petites valeurs propres du lapla ien de Hodge. La preuve du fait que e i onstitue une trivialisation repose sur nosestimées du hapitre 3 de la première partie de ette thèse : sousles hypothèses duthéorème F,toute ombinaison linéaire

α

des

α

i

vérie :

1 −

inf |α|

sup |α|

< C

′

_{(p, n)ǫ}

β

′

_(p,n)

où

β

′

(p, n)

et

C

′

(p, n)

sont des onstantes universellespositives. Lapreuve dufait queles

kdα

i

k

L

∞

sontpetitsreposesurlefait(banal)que

kdα

i

k

2

L

2

≤ λ

n

kα

i

k

2

_L

2

etsurlamajoration du rapport

kdα

i

k

L∞

kdα

i

k

_L2

donnée au hapitre 3 dela premièrepartie de ette thèse.

Lapremière partie de ettethèse ( orrespondant aux hapitres1,2 et3) met enpla e les outils analytiques né essaires dans les autres parties de la thèse et dans le preprint [11 ℄. Son aspe t te hnique la rend un peu austère, 'estpourquoi nous onseillons au le -teur spé ialiste de géométrie de ommen er lale ture de ette thèse par les parties II et III, et de revenir sur ette partie I lorsque le besoin des démonstrations l'exige. C'est aussi pourquoi, pour la des ription des résultats de ette première partie (des estimées analytiques du type Sobolev ou Harna k sur les se tions des brés riemanniens qui, lors-qu'elles sont appliquées à des ombinaisons linéaires de se tions propres d'un opérateur (lapla ien+potentiel), donnentdesgénéralisationsdelate hnique deBo hner au asoù le potentiel est designe quel onque) nousrenvoyonsà l'introdu tion dupremier hapitre de ette thèse.

Notez enn que, parmi les appli ations de es estimées analytiques, nous avons déve-loppé une te hnique d'approximation expli ite des valeurs propres d'une variété rieman-nienne ompa te, mais nous n'avons pas pu rédiger ette partie dans les temps impartis (nous renvoyons don le le teur intéressé au preprint [11℄ en ours de réda tion). Pour dé rire brièvement ette méthode, disons qu'on utilise les résultats du hapitre 3 de la première partie pour borner (en norme

L

∞

) le gradient et le Hessien deséléments

f

ap-partenant à la somme des espa es propres asso iés aux

k

premières valeurs propres du lapla ien d'une variété riemannienne

(M

n

_{, g)}

. Ces résultats permettent de ontrler pré- isément les variations de

f

et de

df

au voisinage despoints d'un

ǫ

-réseau dis rétisant la variété

(M

n

_{, g)}

,etde al ulerdesapproximationsdesnormes

L

2

de

f

etde

df

surlavariété àpartirdesvaleursprisesparlafon tiondis rétiséeauxdiérentspointsduréseau.Lebut est de al uler des approximations de haque valeur propre du lapla ien de

(M

n

_{, g)}

par diagonalisation d'unematri e( onstruitepar uneméthode dedis rétisationdelavariétéà partir d'un

ǫ

-réseau) et de pouvoirassurer apriori (sans onnaître lavariété)que l'erreur faite surle al ulde la

k

-ièmevaleurpropreestinférieure àune fon tionuniverselle

C

k

(ǫ)

de la taille

ǫ

de la maille du réseau ( e qui signie que

C

k

(ǫ)

ne dépend ni de la variété ni de sa dis rétisation par un

ǫ

-réseau, pourvu que elles- i appartiennent à un ensemble de variétéset de dis rétisationsdélimitées par ertaines bornes géométriques); on her he don unemajorationabsolue

C

k

(ǫ)

del'erreur,valablepourtout

ǫ

inférieuràune onstante

α

, déterminée demanière universelle,et nonsimplement une estimationasymptotique de ette erreur, valablepour des

ǫ

inniment petits

3 .

3

variétésousformedegraphesnisgéodésiquementplongésoudetriangulationsoudepseudo-triangulations etde onstruire, surl'ensemble

R

S

des fon tions déniessurle

ǫ

-réseau

S

formé parles sommetsde la dis rétisationdonnée,deuxformesquadratiquesdis rètesetgéométriquesquiapproximentrespe tivement lanorme

L

2

des ombinaisonslinéairesniesdefon tionspropresde

(M

n

_{, g)}

etlanorme

L

2

deleurgradient. C'estlespe tredeladeuxièmeformequadratiquedis rèteparrapportàlapremière(quis'avèreêtreun produits alaire)quisertd'approximationdesvaleurspropresdelavariétériemannienne.Lemajorantde l'erreursurle al ul dela

i

-ième valeurpropreestalorsunefon tionuniversellede

i

,de ertainesbornes surla géométrie de lavariété

(M

n

_{, g)}

(bornes surla ourbure se tionnelleet le diamètre,minorant du rayond'inje tivité)etdesa dis rétisation(minorantdesanglesentrelesarêtes etmajorant

ǫ

delataille delamailledugrapheplongé);iltendvers

0

ave

ǫ

.

Introdu tion 7

I Inégalités analytiques de type Sobolev et Harna k dans les brés

riemanniens 23

1 Introdu tion,Notations et Dénitions 25

1.1 Introdu tion . . . 25

1.2 Fibrés eu lidienset opérateurs(lapla ien+potentiel) . . . 28

1.3 Outils analytiques . . . 30

1.3.1 Inégalité d'interpolation . . . 30

1.3.2 Inégalités de Sobolev etde Harna k . . . 31

2 Se tions quel onques 33 2.1 Majoration de

kSk

∞

/kSk

2

. . . 33 2.2 Majoration de

kDSk

∞

en fon tion de

kDSk

2

. . . 36 2.3 Majoration de

kDSk

r

(

r > n

) en fon tion de

kDSk

2

. . . 44 2.4 Majoration de

sup

|S| − inf|S|

, résultatsdenon annulation . . . 52 3 Combinaisons linéaires de se tions propres 57

3.1 Majoration de

kSk

∞

/kSk

2

, spe tre et quasi-trivialisations . . . 58 3.2 Majoration de

kDSk

∞

en fon tion de

kDSk

2

. . . 70 3.3 Majoration de

kDSk

r

enfon tion de

kDSk

2

. . . 72 3.4 Majoration de

sup

|S| − inf|S|

et trivialisation desbrés . . . 75

II Cara térisation spe trale des Nilvariétés 81

de Ri i presque-minorée 101

4 Théorèmes de omparaison en ourbure de Ri i presque-minorée 103 4.1 Introdu tion,Notations et Dénitions . . . 103 4.1.1 Introdu tion. . . 103 4.1.2 Forme volume,Bouleset Sphères géodésiques . . . 107 4.1.3 Courburemoyenne desSphères . . . 108 4.1.4 Lemme fondamental et Volume desSphères . . . 110 4.2 Minorant négatif dela ourburede Ri i . . . 118 4.2.1 Comparaisondesvolumes . . . 118 4.2.2 Retoursurles hypothèses intégrales de ourbure . . . 123 4.3 Minorant positif dela ourburede Ri i . . . 125 4.3.1 Majoration duDiamètre . . . 126 4.3.2 omparaison desvolumes . . . 137 4.3.3 Constantesde Sobolev . . . 142 4.3.4 minoration du

λ

1

. . . 144 4.3.5 Annulation dupremier groupe de ohomologie. . . 145

5 Théorèmes de la Sphère ave hypothèses intégrales de ourbure 151 5.1 Introdu tion . . . 151 5.2 Notations . . . 157 5.3 Rappels surlasphère

(S

n

_{, can)}

. . . 158 5.4 Stabilité desinvariantsgéométriques . . . 160 5.4.1 Variétés de Radiuspresque maximal . . . 161 5.4.2 Variétés vériant

λ

n+1

≤ n+ǫ

. . . 168 5.4.3 L'approximation deHausdor . . . 182 5.5 Cara térisation dutype diérentiable . . . 184 5.6 Autres théorèmesde lasphère . . . 188 5.6.1 Variétés vériant

λ

n

≤ n + ǫ

. . . 188 5.6.2

λ

1

≤ n + ǫ

ou

Diam(M ) ≥ π − ǫ

. . . 199

Inégalités analytiques de type

Sobolev et Harna k dans les brés

Introdu tion, Notations et

Dénitions

1.1 Introdu tion

Cette première partie de la thèse met en pla e les outils fondamentaux et prin ipes ommuns aux deux autres parties qui suivent. Il s'agit de généralisations de la te hnique de Bo hner et de sesdérivées.

Plus pré isément, la situation à laquelle on s'intéresse est elle d'un bré riemannien

E → M

au-dessus d'unevariétériemannienne

(M

n

_{, g)}

ompa tesans bord 1

de dimension

n

etd'unopérateur(lapla ien+potentiel)

△+V

agissantsurlesse tionsde

E

(où

V

estun hamp d'endomorphismes symétriques de la bre, généralement exprimable, dansles ap-pli ations géométriquesvisées,enfon tion de la ourburede

(M, g)

).L'étude desse tions propres de tels opérateurs est un problème fé ond en appli ations géométriques et topo-logiques. Eneet,beau oupd'invariants topologiquesetgéométriquespeuvent s'exprimer omme le noyau d'un opérateur (lapla ien+potentiel) (nous parlerons alors d'invariant harmonique) agissant sur les se tions d'un bré ad ho : 'est le as, par exemple, des groupesde ohomologie réelle, des1-jetsd'isométries, des1-jets de transformations biho-lomorphes, onformes, proje tives,et . D'autres invariants sontmajorés par lenombre de valeurspropres d'un opérateur(lapla ien+potentiel) inférieuresà unnombre

λ

donné (on parle alors d'invariants sous-harmoniques) : 'est le as de la dimension des espa es de modules (par exemple de l'espa e des modules des métriques d'Einstein sur une variété donnée), de l'indi ede l'opérateur "variationse onde" d'unesous-variétéminimale(ou de ourbure moyenne onstante), du nombre de valeurspropres du lapla ien situées dansun

1

Lespropositionsde ettepartieontdesanaloguesdansle asdevariétés

(M

n

_{, g)}

omplètesouàbord, maislesappli ationsquisontdonnéesdanslespartiesIIetIIIne on ernantquelesvariétés ompa tes, nousn'avonspasjugéutiledelesénon er,pournepasalourdirunepartiedéjàassezte hnique.

intervalle

[0, λ]

donné,oudesinvariantsdonnésparlethéorèmedel'indi ed'Atiyah-Singer (parexemple,l'indi e de l'opérateur de Dira ,ou

A

ˆ

-genre).

La méthode de Bo hner lassique permet de ontrler la dimension du noyau d'un opérateur (lapla ien+potentiel) de potentiel positif ou nul. Dans e as, la positivité de l'opérateur

△

impliqueimmédiatementquetoutese tionharmoniquedel'opérateur

△+V

estparallèle.Toutefamille

L

2

-orthonorméedese tionsharmoniquesestdon orthonormée enrestri tion àlabre de

E

au-dessus detoutpoint

m

delavariété

M

, et onobtient que ladimensionde

Ker △+V

estmajoréeparladimensiondelabrede

E

.L'étudedes as oùle potentiel

V

est designe quel onque a étéinitiée par P. Lidansle asde l'opérateur de Hodge sur les p-formes diérentielles ([66 ℄), améliorée et généralisée par S. Gallot, et S.GallotetD.Meyer,auxbrésetopérateurs(lapla ien+potentiel)quel onques([46 ℄,[48 ℄, [49℄, [50℄, [47℄ et [53 ℄). Leur appro he onsiste à remarquer que la dimension d'un sous-espa e

F

dese tionsde

E

peut-êtremajoréeparunefon tionuniverselle durang

rg(E)

de

E

etdesvariables

sup

S∈F \{0}

kSk

kSk

p

2

et

p

(

p

étantunréelde

]2, +∞]

).Pourmajorerlenombre de valeurspropres d'un opérateur (lapla ien+potentiel) ( omptées ave leur multipli ité) inférieures à un réel

λ

donné (on note

E

λ

le sous-espa e de

E

engendré par les se tions propres asso iéesà es valeurspropres), il sut de majorer (uniformément sur

E

λ

\ {0}

) lerapport

kSk

p

kSk

2

. Cela sefait aisément par unpro édé d'itérationd'inégalités de Sobolevà laDeGiorgi-Moser.

Dans ette partie, nous généralisons et systématisons e genre d'estimées. Notre mé-thode s'applique aux se tions

S

du bré qui sont des ombinaisons linéaires de se tions propres de l'opérateur (lapla ien+potentiel)

△ + V

orrespondant à des valeurs propres inférieuresou égales à 0 (ou à un nombre

λ

donné)ou, plus généralement, à desse tions

S

de

E

telles quela norme

k △ + V

Sk

n+α

2

soit bornée (pour

α > 0

arbitraire). On ob-tient alors, pour de telles se tions, une majoration expli ite des rapports

kSk

∞

kSk

2

(voir les propositions 2.1et 3.1),

kDSk

∞

kDSk

2

(voir les propositions 2.2 et 3.6),

kDSk

r

kDSk

2

(voir entre autres les propositions 2.4et 3.7) et

sup |S|

inf |S|

(voir entreautres les propositions 2.10 et 3.11).Pour esmajorations,nousnoussommesimposéderespe terlesdeux ontraintessuivantes,par ailleursné essairesà laplupart desappli ations viséesdans ettethèse :

(i) Ces majorants doivent être universels, i.e. ils doivent se al uler (expli itement) a priori, sans avoir à pré iser quelle est lavariété surlaquelle on travaille ni samétrique. Les seules informations né essaires étant un majorant d'une onstante de Sobolev d'un plongement

H

1,2

_{(M ) → L}

q−2

2q

(pour au moins un

q ≥ n

), unmajorant du diamètre de la variété

(M, g)

et une borne

L

n+α

2

de la partie négative du potentiel

V

(dans le as de la majoration du rapports entres normes

L

p

et

L

2

de

DS

, il faut rajouter une norme

L

n+α

2

dela ourburedubréetdupotentiel

V

,et pourlesinégalitésdeHarna k,ilfautrajouter un majorant d'une onstante de Sobolev d'un plongement

H

1,q

_{(M ) → L}

∞

de S. Gallot([48 ℄, [49℄,[50 ℄) permettent de sedispenser deshypothèsessur les onstantes de Sobolev,quisontalorsrempla éesparunehypothèseintégralesurla ourburedeRi i. Un desimpératifsauxquelsdoitobéir, enparti ulier, ette onditiond'universalitéestque lemajorantdurapportentrenormesintégrales de

S

(resp.

DS

)reste uniformément borné sur une suite de variétés riemanniennes qui s'eondrent (i.e. dont le volume ou le rayon d'inje tivité tend vers

0

touten étant de ourbure et dediamètre bornés).

(ii) Ces majorants doivent être optimaux, e qui signie qu'il doit être possible de déterminer apriori(i.e.indépendammentdelavariété onsidérée, omme aupoint(i))une fon tion universelle

η(ǫ)

(tendantvers

0

ave

ǫ

)tellequelesrapportsentreslesnormes

L

p

(

2 < p ≤ ∞

) et

L

2

de

S

et

DS

soient majorés par

(1 + η(ǫ))

quand les normes

L

n+α

2

de

△ + V

S

et delapartie négative de

V

sont inférieuresà

ǫ

.

A titre de point de repère, les résultatsde P. Li ([66℄) ités plus haut n'obéissaient à au un desdeux impératifs

(i)

et

(ii)

, eux de S. Gallot yobéissaient uniquement dans le as delamajoration de

kSk

p

kSk

2

.

Parmi les généralisations du prin ipe de Bo hner (dé rit plus haut) que permet ette méthode, on peut iter les résultats géométriques et qualitatifs suivants : la majoration du rapport entre les normes

L

∞

et

L

2

de

S

permet de montrer qu'un opérateur (lapla- ien+potentiel) à potentiel presque positif ( 'est à dire dont la norme

L

n+α

2

de la partie négative du potentiel est universellement petite) ne peut avoir un nombre de petites va-leurs propres (i.e. inférieures à une onstante universelle stri tement positive) plus grand queladimensionde labre de

E

(voirlespropositions 3.2et3.4pour desénon és pré is). De plus, toute famille

L

2

-orthonormée de se tions propres asso iéesà despetites valeurs propres est presque-orthonormée en restri tion à la bre au-dessus de haque point d'un ensemble

M

′

de volume presqu'égal au volume de

M

(voir le lemme 3.5 pour un énon é pré is). Enn, si on se xe un majorant d'une norme

L

n+α

2

de la ourbure du bré

E

, alors toute ombinaison linéaire de se tions propres d'un opérateur (lapla ien+potentiel) à potentiel presquepositif(lanotiondepetitessedépendant maintenant delabornesurla ourbure de

E

) asso iéesàdespetitesvaleurspropresestpresqueparallèle ettoutefamille

L

2

-orthonormée de se tions propres asso iées à des petites valeurs propres est presque-orthonormée enrestri tionàlabreau-dessusde haquepoint

m

de lavariété

M

(voirles propositions 2.5 et 3.12).

La plupart des résultats de ette partie ne sont que des extensions de résultats déjà ontenus dansles travauxde de P. Li et S. Gallot ités plus haut,ou dans les travauxde S. Ilias[62 ℄ et de M. Le Couturier et G. Robert[65 ℄,majorant lerapport

kDSk

p

/kDSk

2

. Par exemple les propositions 3.1, 3.2 et 3.4 sont déjà ontenues dans es travaux, mais sont redémontrés dans ette partie danslebut de fournir un exposé omplet et unié des outils te hniquesutilisésdanslasuite.La prin ipaleoriginalité de ettepartie résidedans

les énon és du hapitre onsa ré aux se tions quel onques et dans l'extension, aux om-binaisons linéaires quel onques de se tions propres de l'opérateur (lapla ien+potentiel), des majorations des rapports entre les normes

L

p

et

L

2

de

DS

(et du rapport

sup |S|

inf |S|

qui en dé oule), qui n'étaient valables que pour les se tions harmoniques dans [62℄ et [65 ℄. On remarquera ( e qui est important pour les appli ations) que les majorants que nous donnons i i (quand on les applique à des ombinaisons linéaires de se tions propres) ne dépendent pasdu nombre de valeurspropres mises en jeu, maisuniquement d'uneborne de es valeurs propres. Nous avons également du modier la preuve de la majoration de

kDSk

p

kDSk

2

donnée dans[65℄, demanière à e qu'ellereste valable en dimension inférieureà

4

.

1.2 Fibrés eu lidiens et opérateurs (lapla ien+potentiel)

Danstoutelathèse (saufmentionexpli ite du ontraire)

(M

n

_{, g)}

désigneraunevariété riemannienne ompa te sans bord de dimension

n

. Dans ette partie, on se donne aussi un bré ve toriel riemannien

E → M

sur

M

( 'est-à-dire un bré ve toriel muni d'un produit s alaire

< ., . >

E

lisse et d'une onnexion linéaire

D

ompatibleave

< ., . >

E

) et

W =

P

k∈N

N

k

_T

_∗

_M

⊗ E

le bré des tenseurs ovariants de

M

à valeurs dans

E

. Onnote

l

la dimension de la bre de

E

.

Notez que

W

est lui même anoniquement muni d'une stru ture de bré riemannien. Eneet,le produits alaire de

E

s'étend anoniquement à

W

par :

< T, T

′

>

W

(m) =

X

i

1

,... ,i

k

< T (i

1

, . . . , i

k

), T

′

(i

1

, . . . , i

k

) >

E

,

où

T (i

1

, . . . , i

k

)

estunenotation abrégéepour

T (e

i

1

, . . . , e

i

k

)

etoù

{e

i

}

1≤i≤n

estunebase orthonormée de

(T

m

M, g

m

)

. La onnexion riemannienne de

E

s'étend aussi de manière unique en une onnexion linéaire sur

W

qui ommute ave la ontra tion : 'est-à-dire qu'on onvientque, pour toute se tion

α

de

W

,

D

E

_X

(α(Y

1

, . . . , Y

n

)) = (D

X

W

α)(Y

1

, . . . , Y

n

) +

k

X

i=1

α(Y

1

, . . . , D

M

X

Y

i

, . . . , Y

n

),

où

D

M

est la onnexion de Levi-Civita de la variété

(M, g)

. La onnexion

D

W

ainsi onstruite est ompatible ave leproduits alaire

< ., . >

W

déni i-dessus.

Onnote

R

E

(resp.

R

W

)letenseur de ourbure asso iéà la onnexion

D

E

(resp.

D

W

). Rappelons que, par dénition, ona :

R

E

(X, Y )S = D

_X,Y

2

_{S − D}

_Y,X

2

S = D

_X

E

(D

_Y

E

_{S) − D}

_Y

E

(D

_X

E

_{S) − D}

_{[X,Y ]}

E

S.

Le produits alaire sur

E

(ou sur

W

) etlamesure riemannienne de

(M, g)

permettent dedénir un produit s alaire

L

2

sur l'ensemble des se tions

C

∞

de

E

(ou de

W

) par :

T |T

′

=

1

Vol M

Z

M

< T, T

′

> dv

g

(toutes lesnormes

L

p

,notées

k.k

p

,serontrelativesà lamesuredeprobabilitériemannienne

dv

g

Vol M

sur

M

).Soit

D

∗

l'adjointformeldel'opérateur

D

pour eproduits alaire(lanotation

D

étant i i utiliséepour

D

W

).Ona don :

(D

∗

T )(i

1

, . . . , i

p−1

) = −

n

X

k=1

DT (e

k

, e

k

, i

1

, . . . , i

p−1

)

pour tout

p

-tenseur à valeurs dans

E

. On dénit alors le lapla ien brut agissant sur

W

par :

△T = D

∗

DT = −

n

X

k=1

D

2

T (e

k

, e

k

; · , . . . , ·)

On note

Sym(E)

le bré des endomorphismes symétriques de E. On appelle opéra-teur (lapla ien+potentiel) un opérateur agissant sur les se tions

C

∞

de

E

de la forme

△ + V,

où

V

estunélément de

Sym(E)

.Parmilesexemplesstandardsd'opérateurs (lapla- ien+potentiel) intervenant en géométrie riemannienne signalons le as où

E

est le bré otangent

T

∗

_M

et où l'opérateur (lapla ien+potentiel) est

△

g

= △ + Ric

(où

Ric

est la ourbure de Ri i de

(M, g)

) agissant surles1-formes diérentielles de

M

. D'aprèsla for-muledeBö hner, etopérateur estlelapla iendeHodge,plussouventdéniparla formule

△

g

= dδ +δd

où

d

estladiérentielleextérieure desformesdiérentielleset

δ

estl'adjointe

L

2

de

d

. De façon plus générale, l'opérateur de Hodge sur les p-formes diérentielles est un opérateur (lapla ien+potentiel) (voir[52℄ pourle al ul exa tdupotentiel et quelques-unesde sespropriétés; voiraussi[64℄ pour uneintrodu tion auxformules deWeitzenbo k en général). Cette famille d'opérateurs ontient en parti ulier tous les lapla iensnaturels agissant sur les brés ve toriels de

M

asso iés au même

O(n)

-bré prin ipal que le bré tangent de

M

(dans e as

V

dépend linéairement du tenseur de ourbure

R

de

E

, f [21 ℄,Se tions1.134 à1.156).Endehorsdeslapla iensnaturels,onpeut itertroisgrandes sour es d'opérateurs(lapla ien+potentiel) intéressants en géométrie riemannienne :

1) l'étudedes transformation innitésimales de métriques.L'algèbre de Liedu groupe des isométrie d'une variété riemannienne peut s'identier au noyau de l'opérateur

△ −

Ric

agissant sur les hamps de ve teur sur

T M

. Ces hamps sont appelés les hamp de Killingdelavariétériemannienne.Defaçongénérale,les1-jetsdesdéformations onformes, Einstein, biholomorphes, proje tives, et . peuvent s'identier au noyau d'un opérateur (lapla ien+potentiel).

2) le al ul des variations. L'équation d'Euler Lagrange (ou formule de la variation se onde d'une fon tionnelle énergie au voisinage d'un point ritique) donne naissan e à un opérateur (lapla ien+potentiel) dont l'indi e renseigne sur la stabilité du point ri-tique. Par exemple, les hamps de Ja obi sont les se tions harmoniques d'un opérateur (lapla ien+potentiel) surle bré "tiré enarrière"

γ

∗

T M

au-dessusd'une géodésique

γ

de