HAL Id: jpa-00234845
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234845
Submitted on 1 Jan 1954
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Relations entre la seconde quantification. La mécanique
ondulatoire dans l’espace de configuration, et les
problèmes du second ordre en calcul des probabilités
Georges Bodiou
To cite this version:
39.
RELATIONS ENTRE LA SECONDE
QUANTIFICATION.
LAMECANIQUE
ONDULATOIRE DANS L’ESPACE DECONFIGURATION,
ET LESPROBLÈMES
DU SECOND ORDREEN CALCUL
DES
PROBABILITÉS
Par GEORGES
BODIOU,
Faculté des sciences [de Marseille.
Sommaire. - L’état
mathématique actuel de la seconde quantification n’est pas satisfaisant. On y
introduit des opérateurs d’annihilation ~ et d’émission ~+, sans se préoccuper de définir les individus
mathématiques sur lesquels ils opèrent. Les opérateurs de Fock pour l’oscillateur harmonique [1] ou les
opérateurs ~/~n
[2], impropres d’ailleurs à opérer des fonctions de nombres entiers, ne peuvent êtreconsidérés comme des constructions des ~ (ou des ~+), mais comme des exemples prouvant que les
règles de commutation imposées aux ~ et aux ~+ ne sont pas contradictoires.
Le fait qu’il existe un autre formalisme (que nous appelons formalisme configuratif) pour traiter les
systèmes de particules, pose une question de cohérence et une question d’extension relative pour ce
formalisme et la seconde quantification [3]. ’
Le fait que les problèmes de répartitions aléatoires d’un ensemble d’objets sont classiques en calcul
des probabilités sous le nom de problèmes du second ordre incite aussi à comparer leur traitement
clas-sique avec celui que leur applique la seconde quantification.
Le but de ce Mémoire est d’examiner ces diverses questions dans le cas des bosons.
JOURNAL PHYSIQUE TOME 15, JANVIER
1954,
PAGE1. Méthode
configurative.
- A. L’état d’unensemble de N
particules
est décrit par une « onde W »fonction
complexe
des coordonnées des Nparticules :
’F(XI, Yi, ZI;
XN,.,VN,ZN) = W(-vi ,
...,MN) = BF(P),
où P est un
point
ayant
pour coordonnées xl, ..., zNdans un espace à 3N
dimensions,
dit « espace deconfiguration »
:(c).
On suppose que cette onde est normée sur
(e).
Laprobabilité
de trouver chacune desparticules
dans unparallélépipède
déterminé del’espace
à trois dimensions est(D)
étant le «pavé ))
qui
correspond
dansl’espace
de
configuration
à l’ensemble de cesparallélépi-pèdes.
,L’ensemble des fonctions
W(P),
à module carré sommable sur(e)
constitue un espace de Hilbert. L’ensemble des fonctionsf (IVli),
à module carré sommable surl’espace
ordinaire à troisdimensions,
constituel’espace
de Hilbert de laMécanique
ondulatoire
de la iièmeparticule.
Les fonctions propres del’opérateur
attaché à unegrandeur
àspectre
complet
constituent une base de ce dernierespace de
Hilbert,
soitCPI (Mi),
..., qn(Mi),
....Les fonctions
qui
sont desproduits
de N fonctions telles queSDa (Mi),
différant soit par l’indice a de la fonction propre, soit par l’indice i de laparticule,
soit par lesdeux,
constituent une base pour
l’espace
de Hilbertdes
W (P),
et l’on a(la
somme étant étendue à tous lesarrangements,
N àN,
avecpossibilité
derépétition,
des indicesd’états).
L’interprétation
de cettedécomposition
est quela
répartition
des Nparticules
qui
consiste en ce queMi
est dans l’état qa, ...,MN
dans l’état 9n,a pour
probabilité
1 ]ri,
..., NB2.
a, b, ..., n
La
possibilité
derépétition
des indices d’états traduit lapossibilité,
pourplusieurs
particules,
d’être dans le même état.Si l’on suppose que les
particules
sont de mêmenature et indiscernables on montre que l’invariance
des
probabilités
pour toutepermutation
entraîne que les «probabilités
complexes
r » doiventêtre,
soit
symétriques,
soitantisymétriques,
parrapport
aux indices d’étatsqui
leur sont souscrits. Dans le casd’antisymétrie,
il estimpossible
que deux des indices souscrits à un F soientidentiques
sans que ce r soit nul.L’hypothèse d’antisymétrie
convient donc pour les ensembles departicules
soumises auprincipe
d’exclusionqui
interditqu’il
y aitplus
d’une
particule
par état : on nomme de tellesparticules
desfermions,
les autres sont des bosons.40
B. Cas des bosons. -- On
peut
écrire l’état de l’ensemble :- r -, ,
La
seconde
somme 1’
dans lecrochet,
étant étendue à toutes lespermutations
des N indices d’états a,b,
..., n,qui
yfigurent;
et lapremière
somme Y
étant étendue à tous les ensembles de Nindices
d’états,
avecrépétition possible.
La secondesomme 1
est bien définie par la donnée des nombres entierspositifs :
na, nb, ..., satisfaisantà
na + nb + ... = N,
etqui
indiquent
respec-tivement combien de fois se
répètent
les indices d’états : a,b,
.... Chacun des termes deest
et
on pourra écrire
la somme étant étendue à toutes les distributions d’indices d’états aux ensembles de nombres entiers
positifs
de sommeN.
On aura alorsla somme
ayant
l’extension
précédente.
;
R(na,
nb, ...) i2
est laprobabilité
de larépar-tition aléatoire
qui
consiste en na bosons dans l’état Y,, nb bosons dans l’état Yb, etc.Considérons
N bosons dans le même état et sansinteractions. La traduction de ces
hypothèses
estpour la
première,
les C étantindépendants
de l’indice i de laparticule;
pour la
seconde;
d’oùles deux sommes
ayant
même extensionqu’au
débutde ce
paragraphe.
Donc,
dans ce cas,Il existe donc des
répartitions
de cetype,
à N bosonset à N - i bosons
respectivement,
dont lesproba-bilités sont liées par
ou
où na = N
Ca,2
est le nombreprobable,
ou moyen, de l’ensemble considéré de Nbosons,
qui
appar-tiennent à l’état p,,. ,
2. Sur certaines déterminations
particulières
derépartitions
aléatoires de N - iobjets,
àpartir
d’unerépartition
aléatoirequelconque
de Nobjets.
- A. Attribuons àchaque répartition
aléatoire
(na,
nb,... )
de Nobjets
(na
+nb + ... = N)
une
probabilité
P(na,
nb,... )
satisfaisant àoù la somme est étendue à toutes les distributions d’indices
d’états,
en infinitédénombrable,
aux ensembles de nombres entierspositifs
de somme N.S’il existe une
probabilité
élémentaire pa pour quel’un,
quelconque,
desobjets
soit dans l’état d’indice a, et cela pour toutindice,
la théorieclas-sique
desprobabilités
du deuxième ordre donne / N! BDans la même
hypothèse
d’existencede
pa, mais dans le cas où ils’agit
desrépartitions
aléatoires de N - Iobjets :
d’où
na étant le nombre
probable
ou moyend’objets
dans
l’éta,t
d’indice aquand
il y a en tout Nobjets.
Il y adonc,
dans le cas où il existe desproba-bilités déterminées pour un
objet
quelconque
d’être dans chacun des étatspossibles
-uneinterdépendance
entre les lois de
probabilités
correspondant
à desrépartitions
de N et de N -i
objets.
B. Ne supposons
plus qu’il
existe de tellesproba-bilités élémentaires pa.
étant encore des
probabilités
pour lesrépartitions
aléatoires de Nobjets,
sont tels queOn
peut
donc définir une loi deprobabilité
des.répartitions
de N- iobjets
déduite de celle quel’on s’est donnée pour N
objets,
enposant
les
na P (na,
nú,...)
sont, à la normalisationprès,
lesprobabilités
desrépartitions
aléatoires à N - iobjets,
quand
les P(na,
nú,... )
sont de tellesprobabilités
pour Nobjets,
Cecigénéralise
ladépen-dance entre lois de
probabilité
pour N et pour N - Iobjets
observée dans le cas où il existe desproba-bilités élémentaires.
C.
Il est faciled’interpréter
ladépendance
ci-dessus définie entre les P’(na
- I, nb,...)
etles P
(na,
n,),...).
Supposons
d’abord
que la réalisation de l’évé-nement : «annihilation
de l’un des Nobjets,
parmi
ceux
qui
sont dans l’état c?u » soit certaine.Suppo-sons ensuite
que
sa réalisation dans l’une desrépar-titions
possibles
de ces Nobjets,
parexemple
dansla répartition (na,
nb,... ),
soit aléatoire et que sa«
probabilité
déterminée »,quand
on sait que cetterépartition
particulière
estréalisée,
soitP
nb,... Laprobabilité qu’il
y ait annihilation de l’un desobjets
dans l’état Cfa pour larépartition (na,
nb, ...),
qui
est en mêmetemps
laprobabilité
,d’obtenir
larépartition particulière
(na
- I, ni,,... )
compor-tant N - I
objets,
est doncavec la condition
Supposons
maintenant
que l’annihilation d’unobjet
déterminé,
dans l’état cp, etappartenant
à larépartition (na,
ni,,... )
soit un événement aléa-toire nedépendant
que de cet état qa, et non del’objet particulier envisagé,
ni de larépartition
particulière
(na,
nb,... )
àlaquelle
ilappartient :
on devra alorsprendre
P ( a )
proportionnelle
na, nb, ...
au nombre des
objets
de larépartition
(na,
nb,... )
qui
sont dans l’état cpa, le coefficient depropor-tionalité
étantindépendant
de larépartition,
soitet
La normalisation des P’ conduit alors à k
(N)
na
c’est-à-dire conduit à la
dépendance particulière
que nous étudions entre une loi deprobabilité
quelconque
desrépartitions
de Nobjets
et certaines. lois de
probabilitë
desrépartitions
de N - iobjets.
En résumé cette
dépendance
découle del’hypo-thèse que les annihilations d’un
objet,
appartenant
à l’état cpa dans les diversesrépartitions
de Nobjets,
sont
équiprobables.
’
3. Généralisation de la
description
d’un état derépartition
de Nparticules
donné par le formalismecbnfiguratif,
à ladescription
d’un état derépartition
d’un nombre variable departicules.
- A.Supposons
d’abordqu’il s’agit
desrépartitions
aléatoires d’un « nombre borné »de
particules,
sur une « infinité dénombrable »d’états
possibles,
avec ou sansprincipe
d’exclusion. L’infinité desrépartitions
possibles :
(na,
nb,... )
est dénombrable comme on levoit,
parexemple,
en observant que l’onpeut
fairecorrespondre
à chacune’d’elles,
un nombrepositif
plus petit
que i et écrit dans lesystème
de numérationayant
pourbase
la bornesupérieure
N’ du nombre total departicules :
o, 0, n2, 0, ..., Ili, ... ; le iième chiffre décimal de
ce nombre étant le nombre de
particules
dans l’état p, ; l’ensemble de cesnombres,
qui
necomprennent
qu’un
nombre fini de chiffres nonnuls,
est un ensemble de nombresrationnels,
donc dénombrable. Faisonscorrespondre
à chacune de cesrépar-titions un nombre
complexe
R(na,
nb, ... )
dont lecarré du module soit la
probabilité
de larépartition
correspondante :
et satisfaisant par
conséquent
à la condition de normalisation ’(la
somme étant étendue à l’infinité dénombrabledes
répartitions).
L’ensemble des
R (n,,,
nb,...)
est donc l’en-semble des coordonnées d’un vecteur unitaire Il’dans un espace de Hilbert : espace euclidien
complexe
à une infinité dénombrable de dimensions. Levecteur W décrit la loi de
probabilité
de’ cesrépar-titions aléatoires. Nous écrirons sa
décomposition
sur les axes orthonormaux :W (na,
nb, ... ) :
B.
Supposons
maintenantqu’il
s’agit
desrépar-titions aléatoires d’un nombre « non borné » de
particules
sur un « nombre fini »,N, d’états,
cequi
n’est évidemment pascompatible
avec leprincipe
d’exclusion. L’infinité des
répartitions possibles
élé-42
ments
pouvant
être mis encorrespondance
avec un terme d’une sérieN-uple.
Les «probabilités
complexes R (na,
nb,... ) »
définies comme auparagraphe précédent
sont encore les coordonnées d’un vecteur unitaire dans un espace de Hilbert. C. Onenvisage
parfois,
sanstoujours
le direexplicitement
l’ensemble desrépartitions
aléatoires d’un nombre non borné departicules
sur une infinité dénombrable d’états. Or cet ensemble a lapuissance
ducontinu,
comme le montre le raisonnement duparagraphe
3. Aqui
permet
de fairecorrespondre
à celles de cesrépartitions qui
necomportent
qu’un
nombre borné departicules
par état tous lesnombres,
rationnels et
irrationnels,
compris
entre oet
1.Il suit de là
qu’il
estimpossible
de décrire l’état derépartition
par un vecteur norme d’un espace deHilbert,
puisque
un tel vecteur n’aqu’une
infinitédénombrable
de coordonnées. Mais il suit aussiqu’il
est dénué de sens de
parler
de laprobabilité
de l’une de cesrépartitions,
sauf à supposer « presque toutes » cesprobabilités
nulles. L’extension consi-dérée relève donc d’autres instrumentsmathéma-tiques
que del’espace
de Hilbert et du calcul desprobabilités.
D. Précisons en
quel
sens le formalismeconfi-guratif
est uns casparticulier
de cesdescriptions
hilbertiennes des états derépartitions
aléatoires d’ensemblescomprenant
un nombre variable departicules;
et,plus précisément
de celles consi-dérées auparagraphe
3,
A,
communes aux bosonset aux fermions. Nous avons vu que ces dernières
sont décrites par le vecteur unitaire :
où la somme est étendue à l’infinité dénombrable des
répartitions possibles,
la somme na + nb +...étant
simplement
bornéepar_N’.
Ellescomprennent
donc celles pourlesquelles
la sommeprécédente
aune valeur fixée et
égale
à N(N à N’).
La méthodeconfigurative
donne bien unedescription
de cetteforme mais avec un espace de Hilbert réalisé sous forme
fonctionnelle,
les vecteurs de baseqr (na,
nb, ...)
devenant des fonctions de base :Mais il
n’y
a là que réalisationparticulière
del’espace
hilbertien.Dans le cas de
répartitions
plus
générales
d’un nombresimplement
borné,
parN’,
departicules
les vecteurs de base
W (na,
nb,...)
pourlesquels
na + nb + ...
=N,
sous-tendent un sous-espace del’espace
de Hilbertisomorphe
àl’espace
hilbertien du formalismeconfiguratif
pour Nparticules.
Groupant
dans le Wgénéral
sesprojections
sur cesvecteurs de
base,
etopérant
de même pour toutesles valeurs
possibles
deN,
on met T sous la formeet l’on a
= probabilité qu’il
yâit lY particules dans
l’ensemble.Par ailleurs le
produit
scalaire hilbertien de Wet T(N,) est
nul,
ces deux vecteursn’ayant
aucunecomposante
non nulle simultanément sur un mêmeaxe :
d’où
et donc
qui exprime
le résultatclassique,
que laprobabilité
pour que le nombre departicules
soit inférieur ouégal
à N" est la somme desprobabilités
qu’il
ait l’une des ,valeursqui
satisfont à cette condition.E.
Supposons
que l’onchange
lagrandeur
àspectre
complet
parrapport
àlaquelle
sont faites lesrépartitions.
Cela se traduit dansl’espace
deHilbert de la méthode
configurative,
par suite de la réalisationparticulière
de sa base par despro-duits de fonctions propres de
l’opérateur
qui
règle
lesrépartitions,
par unchangement
debase,
ouune transformation unitaire bien déterminés. Chacun
des sous-espaces en
lesquels
nous avonsdécomposé
l’espace
de Hilbert de la secondequantification
étantisomorphe
à un espace de Hilbertconfiguratif,
lechangement
de lagrandeur
répartitrice
setraduit,
dans chacun d’eux par un
changement
d’axes ouune transformation unitaire bien déterminés
qui
induisent dans
l’espace
total unchangement
d’axesou une transformation unitaire bien déterminés.
Réciproquement,
on pourrainterpréter
toutchan-gement
derepère
orthonormal,
ou toute transfor-mation unitaire del’espace
entier,
qui
laissent invariants chacun des sous-espaces pourlesquels
lenombre
departicules
estdonné,
comme traduisantle
changement
de lagrandeur
ordonnatrice. De telschangements
laissent invariants chacun desT(Il’),
c’est-à-dire la
probabilité
qu’il
y ait un nombredéterminé,
soitN,
departicules.
L’utilisation de
l’espace
de Hilbert en secondequantification
pour décrire des lois deprobabilités
a donc la mêmesignification qu’en Mécanique
ondulatoiresimple :
ilpermet
d’exprimer
unedépen-dance
stochastique
nonclassique
entregrandeurs,
justement
cellequi
setraduit,
lors du passage de lastatistique
d’unegrandeur
à celle d’une autregrandeur,
par la transformationunitaire,
déterminée par cesgrandeurs,
duvecteur
hilbertienqui
déter-minait la
première
loi deprobabilités
en celuiqui
Méca-nique
ondulatoiresimple
à la secondequantifi-cation est d’abord celui des
problèmes
dupremier
ordre à ceux du deuxièmeordre,
avecsauvegarde
du modequantique
fondamental dedépendance
stochastique.
4.
Opérateurs’
d’annihilation etopérateurs
d’émission,
pour les bosons. - Nous voulonsdéfinir un
opérateur
linéaire -na del’espace
deHilbert de la seconde
quantification,
telqu’il
trans-forme tout état normé à N bosons en un
état,-non
nécessairement
normé,
à N - I ibosons;
la loi deprobabilité
desrépartitions
de ces N - ibosons,
déterminée par ce second
état,
après
normalisation,
devant se déduire de la loi initiale par
l’hypothèse
d’équiprobabilité,
des annihilations éventuelles d’un bosonappartenant
à l’état Cfa dans l’unequelconque
desrépartitions
à N bosons.Nous noterons cet
opérateur
na et le nommerons :«
opérateur
d’annihilation d’un bosonappartenant
à l’état Cf fl" »
En
appliquant
Y)n à l’état propre, à Nbosons,
W.(na,
nb,... )
on devra donc avoiret,
d’après
leparagraphe
3 :mais il
n’y
aqu’un
seulP (n,,
nb, ...)
nonnul,
celui dont les indices sont ceux de l’état propreenvisagé,
et celui-là estégal
à 1; donc le seul Cnon nul est le
C (na - I,
nb,... )
pourlequel
les na, ni,, ... ont ces valeurs et l’ona’ pour
lui :dont la solution la
plus
simple
estnous poserons
donc,
par définition de na :pour tous les ensembles d’indices
possibles
dansl’espace
de Hilbert considéré. Cette relation définit bien unopérateur,
évidemmentlinéaire,
etsatis-faisant à la condition énoncée au début du
para-graphe
4;
en effet :Soit un état normé
quelconque
à N bosons :dont la norme est
B/n,
si donc on pose :est un état normé à N - I bosons dont les
proba-bilités se déduisent de celles
correspondant
à l’état initial à N bosons par larelation
que nous avons reconnu traduire
l’équiprobabilité
des annihilations
possibles
d’un bosonappartenant
à l’état Cfa dans l’une
quelconque
desrépartitions
à Nbosons pondérées
par la loi initiale de proba-bilité.Supposons
maintenant que l’onapplique
l’opé-rateur na à l’étatconfiguratif
particulier
qui
décrit. un ensemble de N bosons, tous dans le même étatindividuel,
et sansinteractions;
cet état estrelation
qui exprime
que letransformé,
parl’opé-rateur d’annihilation na, d’un état
configuratif
à N
bosons,
dans’ le même étatindividuel
etsans
interactions,
est leproduit,
par le scalaireVN
C.
d’un étatconfiguratif
à N - Ibosons,
dans’
lemême état
individuel,
qui
est resté le mêmequ’avant
l’annihilation,
et sans interactions. Cette relationprécise
le lienqui
existe entrel’opérateur
na etles
probabilités complexes
Ca,
quand
il existe de tellesprobabilités
individuelles;
elleremplace
lanotion,
quelques
peu vague de «remplacement
descoefficients Ca par des
opérateurs
», rencontréedans les
exposés classiques.
B. Nous nous proposons de
compléter
l’étude del’opérateur
d’annihilation,
deconstruire
àpartir
de lui de nouveauxopérateurs
d’émission,
de nombrede bosons dans l’état cpa, et de donner les
relations
de cesopérateurs
entre eux, enparticulier
lesrègles
de commutation.Remarquons
d’abord que la définition de donneLa matrice de na, est donc définie par
44
Considérons
l’opérateur-adjoint
de na, soit.ni ;
sa matriceest
d’où
on constate que -fi’ na, c’est-à-dire que r" n’est
pas
self-adjoint
ou hermitien. On voit quel’opé-rateur
r, ;
transforme un état à N - i bosons enun état à N bosons
(N
appartenant
à l’ensemble des nombrespossibles
de bosons :N £
N’);
nous le nommerons «opérateur
d’émission d’un bosondans l’état 9fl ».
On trouve
pour un état
quelconque
norméq’,
les sommes étant étendues à toutes lesrépartitions possibles.
Cela s’écrit aussi :ou encore
Cette dernière relation est de la forme
générale
des valeurs moyennesd’opérateurs;
l’opérateur
ni na,
dont la valeur moyenne est celle du nombre de bosonsqui,
parmi
ceux dont on étudiel’ensemble,
sont dans l’état cpa, sera nommé : «opérateur-nombre. de bosons dans l’état ma », et noté
(na). :
(na)
=na+na.
On vérifieimmédiatement,
à l’aidedes
propriétés
de na et dena+,
quel’opérateur (na)
a pour vecteurs propres tous les vecteurs debase,
W (na,
nô,... ),
la valeur proprecorrespondante
étant celle de l’indice na du vecteur propre
consi-déré. La matrice de
(na)
est donc la matricedia-gonale :
tous les autres éléments étant nuls.
Considérons maintenant
l’opérateur
nana+;
on trouvesauf. s’il
s’agit
d’un ensemble de bosons en nombre borné par N’ et si na+
nb+ ...
=N’ ;
c’est-à-diresi la
répartition (na,
nl,,... )
estsaturée;
appliqué
à un vecteur propre saturé,
nana+
donne zéro.Il suit de là que
On
peut
donc écrire la relationopératorielle
qui
est l’une des relations que pose la méthodeaxiomatique,
mais cette relation est soumise à la réserve ci-dessusquand
ilpeut
y avoir saturation del’état,
c’est-à-dire dans le cas desrépartitions
d’un nombre borné de bosons sur une infinité dénom-brable d’états.Considérons
l’opérateur
.rjô.fi,,; on trouve,
si n «= o, on trouve zéro. On’
pourrait
appeler
cetopérateur
-r)l b -n,,
: «opérateur
detransfert,
d’unboson de l’état ?a à l’état pi, ».
On trouve de même
à condition que
’II’ (na,
ni,,... )
ne soit pas saturéet
que na
o, sinon on trouve zéro.On déduit de ce
qui précède
la relationopéra-torielle :
sauf pour
les
étatsqui
peuvent
êtresaturés,
c’est-à-direqui
ont unecomposante
non nulle sur l’un des états propres saturés.Mais on
vérifie,
sans aucunerestriction,
lesrela-tions
Nous avons ainsi
retrouvé,
avecquelques
res-trictions,
les relations que la méthodeaxiomatique
énonce commepostulats.
Il est bon de remarquer que ces restrictionstiennent,
non essentiellementaux
opérateurs,
mais àl’espace
de Hilbert danslequel
ilsopèrent;
celaexplique qu’elles
ne sontpas
explicitées
par des méthodesqui
laissent cet espace à l’étatimplicite.
Manuscrit reçu le 3 juillet 1953.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] DIRAC P. A. M. - La seconde
quantification. Ann. Inst. H. Poincaré, I949, 11, I.
[2] BROGLIE L. DE. - Nouvelle Théorie de la lumière,
I, ,
p. 2I0-227.
