cours-2

Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Ann´ee universitaire 2010-2011

Pr´ eparation au CAPES de Math´ ematiques Probabilit´ es

F. Bienven¨ ue-Duheille

Chapitre 1

Probabilit´ e, probabilit´ e conditionnelle

1 Probabilit´ e

1.1 D´ efinitions

On se place sur un ensemble Ω appel´e espace de probabilit´e ou univers.

Dans le vocabulaire probabiliste,

– Un ´el´ement ω de Ω est appel´e une exp´erience – Un sous-ensemble A de Ω est un ´ev´enement.

– Un ´ev´enement ´el´ementaire est un singleton de Ω.

– L’´ev´enement certain est Ω.

– L’´ev´enement impossible est l’ensemble vide.

– Deux ´ev´enements disjoints sont dits incompatibles.

D´efinition 1.1. Une mesure de probabilit´e P est une fonction d´efinie sur P(Ω) et `a valeurs dans R⁺ v´erifiant les propri´et´es suivantes :

1. P(Ω) = 1.

2. Si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de Ω, on a P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

3. Si (An)n≥1 est une famille d´enombrables de sous-ensembles de Ω deux `a deux disjoints, on a

P [

n≥1

A_n
=X

n

P(A_n).

On d´eduit la proposition suivante de la d´efinition d’une mesure de probabilit´e : Proposition 1.2. 1. P(∅) = 0,

2. Si A est un ´ev´enement, P(Ω\A) = 1 − P(A), 3. Si A ⊂ B sont deux ´ev´enements, P(A) ≤ P(B),

4. Si A et B sont deux ´ev´enements, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Remarque : Le troisi`eme point de la d´efinition signifie qu’une probabilit´e est une fonction croissante : c’est une fa¸con de calculer la « taille »des ´ev´enements.

On montre facilement par r´ecurrence le r´esultat suivant appel´e formule de Poincar´e ou formule du crible :

Proposition 1.3. Soit (Ak)1≤i≤n n ´ev´enements quelconques de Ω. On a

P

n

[

i=1

Ak

!

=

n

X

i=1

P (Ai)

− X

1≤i<j≤n

P (A_i∩ A_j) +

+ X

1≤i<j<k≤n

P (A_i∩ A_j ∩ A_k)

+ · · · + (−1)ⁿ⁺¹P

n

\

i=1

A_i

! .

Remarque : Si vous avez suivi un cours de probabilit´e en L3, celui se basait certainement sur la th´eorie de la mesure, et vous avez dˆu y croiser des tribus. La notion de tribu est inutile dans le cadre des probabilit´es dont vous avez besoin pour le CAPES : la plupart du temps, vous aurez affaire `a des univers Ω finis ou d´enombrables, et la tribu utilis´ee sera P(Ω). La notion de tribu est utile pour les probabilit´es dites « `a densit´e »par rapport `a la mesure de Lebesgue, mais on peut s’en passer en ne consid´erant que la probabilit´e d’un intervalle.

Pour la suite de ce cours, on se placera sur un espace Ω muni d’une mesure de probabilit´e P.

1.2 Probabilit´ es discr` etes

La mesure de probabilit´e P est dite discr`ete d`es que l’espace Ω est fini ou d´enombrable ou plus g´en´eralement, d`es qu’il existe un sous-ensemble Ω<sub>0</sub> de Ω fini ou d´enombrable et tel que P(Ω<sub>0</sub>) = 1. Une probabilit´e sur un ensemble d´enombrable sera toujours discr`ete.

On se placera dans la suite de ce paragraphe dans le cas o`u Ω est fini ou d´enombrable.

Proposition 1.4. Une probabilit´e sur un ensemble d´enombrable est compl`etement d´etermin´ee par les P({ω}) pour tout ω ∈ Ω. En effet, pour A ⊂ Ω, on a

P(A) = X

ω∈A

P(ω).

NB : le cadre le plus fr´equent des le¸cons de CAPES (hormis les lke¸cons de stat) est le cas o`u l’ensemble Ω est fini.

Remarques :

– Les poids d’une probabilit´e discr`ete P v´erifient P

ω∈ΩP(ω) = 1.

– Une mesure de probabilit´e ne permet d’´evaluer a priori que la taille de sous-ensembles de Ω.

Des exemples

• Lancer d’une pi`ece ´equilibr´ee : on souhaite mod´eliser le r´esultat du lancer d’une pi`ece sans tricherie.

Pour cela, on choisit Ω1 = {pile, face}, et donc card Ω1 = 2. L’ensemble des parties de Ω1 comporte quatre ´el´ements et on d´efinit la mesure de probabilit´e P par P{pile} = P{face} = 1/2 puisque les deux

´ev´enements sont ´equiprobables (c’est-`a-dire de mˆeme probabilit´e)..

Remarque : On aurait tr`es bien pu choisir Ω<sub>1</sub> = {pile, face, rouge, vert}, et comme mesure de probabilit´e P{pile} = P{face} = 1/2 et P{rouge} = P{vert} = 0, mais tant qu’`a faire, on choisit le plus simple...

• Lancer de k pi`eces, k ≥ 2 : on prend cette fois-ci Ω<sub>k</sub> = (Ω<sub>1</sub>)<sup>k</sup>, c’est-`a-dire l’ensemble des k-uplets de pile ou face. On a card Ω_k= 2^k et card P(Ω_k) = 2^2k. Les diff´erents k-uplets sont tous ´equiprobables donc P(ω) = 2^−k, pour tout ω ∈ Ωk.

• Probabilit´e uniforme discr`ete : sur un ensemble fini Ω = {ω1, . . . , ωn}, on d´efinit la probabilit´e uniforme par P(ω_i) = 1/n pour tout i entre 1 et n. Dans ce cas, tous les ω_i ont la mˆeme probabilit´e de se produire (i.e. sont ´equiprobables), et pour une partie A de Ω, on a

P(A) = card A

n = nb cas favorables nb cas possibles .

Par exemple, lors du lancer d’un d´e r´egulier `a six faces, chaque face est obtenue avec la mˆeme probabilit´e 1/6.

Remarque : Il ne peut bien sˆur pas y avoir de loi uniforme sur N.

• Exemple de mesure de probabilit´e sur N^∗. On lance un d´e de fa¸con r´ep´et´ee jusqu’`a obtenir un 6, et on note le num´ero du tirage du premier 6. On a ´evidemment P(1) = 1/6.

On a ´egalement

P(2) = P(au premier tirage, on n’a pas eu de 6 ; au deuxi`eme tirage, on a eu un 6)

= 5

36

car sur les 36 tirages possibles ´equiprobables, seuls 5 permettent d’obtenir le premier 6 au deuxi`eme tirage.

De mˆeme, pour tout k ≥ 2,

P(k) = P(k − 1 ´echecs puis une r´eussite) = 5^k−1 6^k = 5

6

k−1

1 6. Cela constitue bien une mesure de probabilit´e discr`ete sur N^∗ puisque P

k≥1P(k) = 1.

Attention : Ne pas confondre cette probabilit´e avec la probabilit´e de tirer un 6 exactement parmi les k premiers lancers.

1.3 Probabilit´ e ` a densit´ e

On se place sur R et on note dx l’´el´ement d’int´egration de la mesure de Lebesgue. Soit f : R → R une fonction positive et d’int´egrale sur R ´egale `a 1. On supposera que f est continue par morceaux. Il est facile de v´erifier que l’on d´efinit une mesure µ en posant, pour tout I ⊂ R :

µ(I) = Z

R

1_I(x)f (x) dx.

Une telle mesure est dite `a densit´e (par rapport `a la mesure de Lebesgue sur R). On dit ´egalement que c’est une probabilit´e continue.

Remarque : Pour faire le lien avec la th´eorie de la mesure, la d´efinition ci-dessus est un cas particulier des mesures `a densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue sur R. Dans le cas g´en´eral, il suffit que la fonction f soit bor´elienne, et on peut consid´erer la probabilit´e de tout bor´elien de R.

Des exemples

• La mesure uniforme sur l’intervalle [a, b], o`u a < b : On d´efinit µ(A) =

Z

R

1_A∩[a,b](x) dx b − a.

• La mesure de Gauss sur R. On utilise ici la fonction f (x) = 1

√2πσ exp



−(x − m)² 2σ²

 , o`u m ∈ R et σ ∈ R<sup>+∗</sup> sont deux param`etres fix´es.

2 Probabilit´ e conditionnelle, ind´ ependance

D´efinition 1.5. On se donne deux ´ev´enements A et B de Ω, avec P(B) > 0. On d´efinit la probabilit´e conditionnelle de A sachant B, not´ee P(A|B) ou PB(A) par

PB(A) = P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).

La notation PB(A) est celle `a privil´egier pour le CAPES, notamment pour les le¸cons d’oral. Cette notation ´evite en effet toute confusion sur le rˆole des deux ´ev´enements A et B, et met en ´evidence le fait que P<sub>B</sub>(.) est une probabilit´e sur Ω (cf ci-dessous). Par contre, elle est plus lourde `a l’usage d`es que l’´ev´enement B est un tant soit peu compliqu´e `a d´ecrire.

Par exemple, si l’on dispose d’un ´echantillon de ma¨ıs comportant des grains lisses (L) ou fripp´es (F) et de couleur jaune (J) ou bleue (B), on peut calculer la proportion de jaunes parmi les fripp´es dans l’´echantillon consid´er´e c’est-`a-dire P(J et F)/P(F). On a donc l`a la probabilit´e de tirer au hasard un grain jaune et frip´e, sachant qu’on a tir´e un grain frip´e.

La probabilit´e conditionnelle v´erifie les mˆemes propri´et´es qu’une probabilit´e : on a ainsi PB(Ω) = 1, P_B(∅) = 0, si A₁ et A₂ sont disjoints, P_B(A₁∪ A₂) = P_B(A₁) + P_B(A₂), P_B(Ω\A) = 1 − P_B(A)...

On peut donc ´enoncer la proposition suivante :

Proposition 1.6. Soit B un ´ev´enement de probabilit´e strictement positive. On note P_B la probabilit´e conditionnelle sachant l’´ev´enement B. Alors P_B est une probabilit´e sur Ω, c’est-`a-dire que

– Pour tout A ∈ Ω, P_B(A) ≥ 0.

– P_B(Ω) = 1

– Si A₁ et A₂ sont incompatibles, P_B(A₁∪ A₂) = P_B(A₁) + P_B(A₂).

Les probabilit´es conditionnelles permettent de d´ecomposer un ´ev´enement suivant des sous-ensembles de Ω sur lesquels on maˆıtrise mieux ce qui se passe. Pour cela, introduisons la notion de syst`eme complet d’´ev´enements :

D´efinition 1.7. Un syst`eme complet d’´ev´enements est une famille d´enombrable ou finie (B<sub>n</sub>) d’´ev´e- nements deux `a deux disjoints et v´erifiant ∪_nB_n= Ω.

Remarque : Plusieurs d´efinitions d’un syst`eme complet d’´ev´enements cohabitent : suivant l’une d’elle par exemple, un syst`eme complet d’´ev´enements est une partition de Ω, d’autres d´efinitions imposent que les Bn soient tous de probabilit´e strictement positive ; on peut aussi ne pas imposer que la r´eunion des Bn

soit ´egale `a Ω, mais plutˆot qu’elle soit de probabilit´e 1... Le point commun `a ces d´efinitions est que les B_n sont deux `a deux disjoints et que leur r´eunion est « presque » Ω. La d´efinition indiqu´ee ici n’implique en particulier pas que les Bn soient non vides.

Remarque : Si l’ensemble Ω est fini, tout syst`eme complet ne comporte qu’un nombre fini d’´ev´enements non vides.

Proposition 1.8 (Formule des probabilit´es totales). Soit B_n un syst`eme complet d’´ev´enements tel que, pour tout n ≥ 1, P(B_n) > 0, et A un ´ev´enement quelconque. On a P(A) =P

nP_Bn(A)P(B_n).

Remarque : Si par exemple P(B₁) = 0, on pourait poser P_B1(A) = 0, ou 1, ou 1/2 pour tout A, cela n’interviendrait pas dans la formule ci-dessus. N´eanmoins il est plus p´edagogique d’imposer que les B_n soient tous de probabilit´e strictement positive, pour que la formule ci-dessus soit rigoureuse.

D´emonstration. Par d´efinition, P_Bn(A)P(B_n) = P(A ∩ B_n) et les ´ev´enements A ∩ B_n sont deux `a deux disjoints car les B_n le sont. On en d´eduit donc que

X

n

P_Bn(A)P(B_n) = P(∪(A ∩ B_n))

= P(A ∩ (∪nBn)) = P(A).

Un probl`eme courant est de d´eterminer P<sub>B</sub>(A) `a partir de P_A(B). La seule donn´ee de P_A(B) n’y suffit pas. Il faut par exemple connaˆıtre aussi P(A) et P(B) : on a alors

P_B(A) = P_A(B)P(A)/P(B).

Une autre possibilit´e est de connaˆıtre P(A) et PA¯(B) o`u ¯A est le compl´ementaire de A : Formule de Bayes :

– Soient A et B deux ´ev´enements de probabilit´e strictement positive. On v´erifie que PB(A) = P_A(B)P(A)

P_A(B)P(A) + PA¯(B)P(A).

– Soient (A_n) un syst`eme complet d’´ev´enements tel que, pour tout n, P(A_n) > 0 et B un ´ev´enement tel que P(B) > 0. On a pour tout i :

P_B(A_i) = P_Ai(B)P(A_i) P

nP_An(B)P(A_n).

D´emonstration. Le d´enominateur du membre de droite vaut en fait P(B), alors que le num´erateur vaut P(A ∩ B), d’o`u le r´esultat.

D´efinition 1.9. Deux ´ev´enements A et B sont dits ind´ependants si P(A ∩ B) = P(A)P(B). On a alors P(A|B) = P(A) et P(B|A) = P(B) si P(A) > 0 et P(B) > 0.

Exercice :

1. Montrer qu’un ´ev´enement de probabilit´e nulle est ind´ependant de tout ´ev´enement.

2. Montrer que si A et B sont ind´ependants, alors Ω\A et B le sont.

3. Montrer qu’un ´ev´enement de probabilit´e 1 est ind´ependant de tout ´ev´enement.

Exemples :

• Lors d’un lancer de pile ou face, les ´ev´enements « tomber sur pile au premier tirage » et « tomber sur pile au deuxi`eme tirage » sont g´en´eralement ind´ependants (sauf en cas de tricherie...)

• Tirage avec remise. On dispose d’une urne contenant N boutons noirs et J boutons jaunes. `A chaque ti- rage, on prend un bouton au hasard, on note la couleur du bouton obtenu et on le remet dans l’urne. Les ´ev´e- nements A = {tirer un bouton noir au premier tirage} et B = {tirer un bouton jaune au deuxi`eme tirage}

sont-ils ind´ependants ?

• Urne de Polya. On dispose toujours d’une urne contenant N boutons noirs et J boutons jaunes. `A chaque tirage, on note la couleur du bouton obtenu et on le remet dans l’urne accompagn´e d’un bouton de la mˆeme couleur. Mˆeme question que pr´ec´edemment.

D´efinition 1.10. Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. n ´ev´enements A<sub>1</sub>, . . . , A<sub>n</sub> sont (mutuellement ou n `a n) ind´ependants si pour tout choix d’indices i₁, . . . , i_k deux `a deux distincts, on a

P(A_i1 ∩ . . . ∩ A_ik) = P(A_i1) × · · · × P(A_ik).

Des ´ev´enements n `a n ind´ependants le sont bien ´evidemment 2 `a 2 mais la r´eciproque est fausse.

Exercice :

• On choisit Ω = {1, 2, 3, 4} et on le munit de la probabilit´e uniforme. Trouver trois ´ev´enements deux

`

a deux ind´ependants mais pas trois `a trois.

• Sur Ω = {1, . . . , 8} muni de la probabilit´e uniforme, trouver trois ´ev´enements A, B et C tels que P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) mais tels que A, B et C ne sont pas ind´ependants.

Chapitre 2

Variables al´ eatoires r´ eelles

1 La loi

1.1 D´ efinition

Une variable al´eatoire X sur Ω est une fonction X : Ω → R.

Notons µ la fonction d´efinie de P(R) (ou de P(X(Ω))) et `a valeurs r´eelles d´efinie par : pour tout sous-ensemble B de R (ou de X(Ω)),

µ(B) = P(X⁻¹(B)).

Enon¸cons la propri´´ et´e fondamentale de µ :

Proposition 2.1. La fonction µ ainsi d´efinie est une probabilit´e sur R (ou sur l’ensemble X(Ω)).

D´efinition 2.2. La probabilit´e µ est appel´ee la mesure image de P par X, ou la loi de X.

Sa loi est ainsi compl`etement d´etermin´ee par la donn´ee de l’ensemble X(Ω) ainsi que par les quantit´es µ(B) = P(X<sup>−1</sup>(B)) pour tout sous-ensemble B de R. On note parfois µ = X(P) ou µ = P<sub>X</sub> (attention dans ce dernier cas `a ne pas faire de confusion avec la probabilit´e conditionnelle).

Notation : Pour tout intervalle I, on note

{X ∈ I} = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ I} = X⁻¹(I), et pour tout x ∈ R,

{X = x} = {ω ∈ Ω, X(ω) = x} = X⁻¹({x}).

Remarque : En lien avec la th´eorie de la mesure : normalement, notamment lorsque Ω n’est pas d´enom- brable, on d´efinit la probabilit´e P sur une tribu Σ, qui est incluse dans P(Ω). Une variable al´eatoire X : (Ω, Σ) → (R, B(R)) est alors une fonction mesurable, c’est-`a-dire que, pour tout bor´elien B ∈ B(R), X⁻¹(B) ∈ Σ.

La loi est la principale information dont on disposera sur une variable al´eatoire : souvent l’ensemble Ω sera inconnu ou implicite, on n’aura donc pas d’information sur X(ω).

D´efinition 2.3. – La variable al´eatoire X sera discr`ete si elle prend ses valeurs dans un ensemble discret (et sa mesure-image est alors une mesure discr`ete). Sa loi sera caract´eris´ee par l’ensemble X(Ω) (ou par un ensemble d´enombrable contenant X(Ω)) et par les probabilit´es P(X = x) pour tout x ∈ X(Ω).

– X sera `a densit´e (on dit aussi que X est continue) si sa mesure image admet une densit´e, c’est-`a- dire s’il existe une fonction f : R → R⁺ telle que pour tous r´eels a et b v´erifiant a ≤ b,

P(X ∈ [a, b]) = Z b

a

f (x) dx.

En particulier en prenant a = b dans l’´egalit´e ci-dessus, on remarque P(X = a) = 0 pour tout a ∈ R.

Remarque : Si Ω est un ensemble fini ou d´enombrable, toute variable al´eatoire d´efinie sur Ω sera discr`ete.

Attention : Deux variables al´eatoires peuvent suivre la mˆeme loi sans ˆetre ´egales : par exemple deux tirages successifs de pile ou face.

Nous allons maintenant ´etudier quelques exemples de variables al´eatoires discr`etes ou `a densit´e, mais il faut garder `a l’esprit que cela ne recouvre pas tous les types de variables al´eatoires.

1.2 Exemples de variables al´ eatoires discr` etes

D´efinition 2.4. La loi d’une variable al´eatoire discr`ete est donn´ee par – l’ensemble (d´enombrable) X(Ω),

– pour tout x ∈ X(Ω), la quantit´e

P({ω ∈ Ω tels que X(ω) = x}) = P(X⁻¹{x}) = P(X = x) Remarque : On doit avoirP

xP(X = x) = 1, o`u la somme est prise sur x ∈ X(Ω).

Pour construire une variable al´eatoire discr`ete `a valeurs dans N, on peut aussi commencer par d´efinir une mesure de probabilit´e sur N en se donnant le poids p_n de chaque entier n (avec P p_n = 1) puis consid´erer une variable al´eatoire X d’un certain espace Ω dans N dont la loi est donn´ee par P(X = n) = p_n.

Exercice : On se donne une variable al´eatoire X : Ω → N. Montrer que la famille A_n = {ω, X(ω) = n}

pour tout n ≥ 0 forme un syst`eme complet d’´ev´enements.

Des exemples

• Pour un ´ev´enement A ⊂ Ω, on note 1_Ala fonction suivante : 1_A(ω) = 1 si ω ∈ A et 1_A(ω) = 0 sinon.

Cette fonction, appel´ee l’indicatrice de l’´ev´enement A, est une variable al´eatoire discr`ete tr`es utile.

• Le nombre de piles obtenus lors des 8 premiers tirages d’un jeu de pile ou face est aussi une variable al´eatoire discr`ete.

• Loi de Dirac en a ∈ R. On fixe un nombre r´eel a. La loi de Dirac en a, g´en´eralement not´ee δ_a, est la loi de la variable al´eatoire suivante : X(Ω) = {a} et P(X = a) = 1. On dit que X vaut « presque-sˆurement » a.

Exercice : Montrer que, pour A ⊂ R, P(X ∈ A) = 1_A(a) si X suit la loi de Dirac en a.

• Loi de Bernoulli. La loi de Bernoulli B(p) de param`etre p ∈ [0, 1] est donn´ee par X(Ω) = {0, 1}

et P(X = 1) = p = 1 − P(X = 0). Lors d’un tirage de pile ou face d’une pi`ece ´equilibr´ee, si on note X = 1 si la pi`ece tombe sur pile et 0 sinon, on obtient une variable al´eatoire de loi de Bernoulli B(¹₂).

Plus g´en´eralement, pour un ´ev´enement A quelconque, la variable al´eatoire 1_A suit une loi de Bernoulli de param`etre P(A).

• Loi binomiale. La loi binomiale Bin(n, p), pour n ∈ N^∗ et p ∈ [0, 1] est donn´ee par X(Ω) = {0, . . . , n}

et P(X = k) = ⁿ_k
p^k(1 − p)^n−k, pour tout k ∈ {0, . . . , n}. On retrouve ici la probabilit´e d’obtenir k fois exactement au cours de n tentatives (ind´ependantes) la r´ealisation d’un ´ev´enement dont la probabilit´e est p. Par exemple, la probabilit´e de tirer exactement k 6 lors des n premiers lancers d’un d´e est ⁿ_k
5^n−k6⁻ⁿ.

• Loi uniforme sur {1, . . . , n}. On a ici X(Ω) = {1, . . . , n} et cette loi affecte le mˆeme poids `a chacun des ´el´ements. On a donc P(X = k) = 1/n, pour tout k ∈ {1, . . . , n}.

• Loi g´eom´etrique G(p), p ∈]0, 1[ : Cette loi est donn´ee par X(Ω) = N^∗ et P(X = k) = p(1 − p)^k−1 pour tout k ∈ N^∗. On a vu plus haut que c’est la loi du num´ero du tirage o`u un ´ev´enement se r´ealise pour la premi`ere fois.

• Loi de Poisson P(λ), λ > 0. C’est la loi de la variable al´eatoire X v´erifiant X(Ω) = N et P(X = k) = e^−λλ^k/k!. Elle est g´en´eralement utilis´ee pour mod´eliser le nombre d’appels re¸cus par un serveur au cours d’un laps de temps donn´e.

1.3 Exemples de loi ` a densit´ e

• Loi uniforme sur [a, b] : c’est la loi de la variable al´eatoire X de densit´e 1_[a,b]/(b − a). La probabilit´e qu’une variable al´eatoire de loi uniforme sur [a, b] appartienne `a un sous-intervalle de [a, b] est proportion- nelle `a la longueur de ce sous-intervalle. On a en particulier P(X ∈ [a, b]) = 1.

• Loi exponentielle de param`etre λ. Il s’agit de la loi de densit´e f<sub>λ</sub>(x) = λ exp(−λx)1<sub>x>0</sub>. Si X suit cette loi, on a P(X ≥ 0) = 1. La loi exponentielle est dite sans m´emoire au sens o`u pour tous r´eels positifs s et t, on a P(X > t + s|X > s) = P(X > t). C’est pour cette raison qu’elle est utilis´ee g´en´eralement pour mod´eliser des temps d’attente entre deux ´ev´enements : par exemple entre deux pannes successives d’une machine, ou entre deux requˆetes re¸cues par un serveur informatique.

• Loi normale, ou loi de Gauss centr´ee r´eduite. Il s’agit de la loi de la variable al´eatoire X de densit´e f (x) = e^−x2/2/√

2π. C’est une loi tr`es utilis´ee en statistique et en mod´elisation. Nous allons commencer par v´erifier que c’est bien la densit´e d’une probabilit´e : f est une fonction positive, il reste `a voir que I =R

Rf (t) dt = 1. On ne connaˆıt pas de primitive explicite de la focntion f , mais nous allons calculer I². On a

I² =

Z +∞

−∞

f (t) dt

²

=

Z +∞

−∞

f (t) dt



×

Z +∞

−∞

f (s) ds



=

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f (s) ds



f (t) dt

=

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f (s)f (t) ds dt

= Z

R²

e^−(s2+t2)/2ds dt 2π .

Proc´edons `a un changement de variables en coordonn´ees polaires en posant s = r cos θ et t = r sin θ. Il vient

I² = Z ∞

0

Z π

−π

e^−r2/2 r dr dθ 2π

= Z ∞

0

re^−r2/2dr

= 1.

La loi normale N (m, σ²) est de densit´e f (x) = 1

√2πσ exp − (x − m)² 2σ²



2 Esp´ erance, variance, fonctions g´ en´ eratrice et caract´ eristique

2.1 Esp´ erance et variance

Donnons tout d’abord la d´efinition g´en´erale de l’esp´erance, avant de l’appliquer aux variables al´eatoires discr`etes ou `a densit´e.

Soit X : Ω → R une variable al´eatoire de loi µ.

D´efinition 2.5. Une variable al´eatoire X est dite int´egrable si la quantit´e Z

Ω

|X| dP = Z

R

|x| dµ est finie. On d´efinit alors son esp´erance par

E(X) = Z

Ω

X dP = Z

R

x dµ.

Plus g´en´eralement, pour toute fonction continue par morceaux h : R → R, on a E(h(X)) =

Z

Ω

h(X) dP = Z

R

h(x) dµ, lorsque la quantit´e

Z

Ω

|h(X)| dP = Z

R

|h(x)| dµ < ∞.

Dans le langage courant (et aussi probabiliste), l’esp´erance est appel´ee moyenne. C’est un param`etre de position, qui indiaue autour de quelle valeur la variable al´eatoire est r´epartie.

Cette d´efinition g´en´erale induit deux ´ecritures diff´erentes suivant que la variable al´eatoire X est discr`ete ou `a densit´e :

– Si X est une variable al´eatoire discr`ete, l’int´egrabilit´e se traduit par X

x∈X(Ω)

|x|P(X = x) < ∞

et on a alors :

E(X) = X

x∈X(Ω)

xP(X = x).

Plus g´en´eralement, pour toute fonction h : X(Ω) → R, on a E(h(X)) = X

x∈X(Ω)

h(x)P(X = x)

si h(X) est int´egrable, c’est-`a-dire, si

E|h(X)| = X

x∈X(Ω)

|h(x)|P(X = x) < ∞.

– Si X est une variable al´eatoire `a valeurs r´eelle et de densit´e f : R → R⁺, elle est int´egrable si Z

R

|x|f (x) dx < ∞ et on a dans ce cas

E(X) = Z

R

xf (x) dx.

Plus g´en´eralement, pour toute fonction continue par morceaux h : R → R, la variable al´eatoire h(X) est int´egrable, si

E|h(X)| = Z

R

|h(x)|f (x) dx < ∞ et on a alors

E(h(X)) = Z

R

h(x)f (x) dx.

Remarque importante pour le cas discret : Supposons que l’espace Ω soit fini : Ω = {ω1, . . . , ωk}.

Dans ce cas, toute variable al´eatoire X : Ω → R est discr`ete. Notons n = card (X(Ω)) et X(Ω) = {x₁, . . . , x_n}. On a

E(X) =

n

X

i=1

x_iP(X = x_i)

=

n

X

i=1



x_i X

ω∈Ω;X(ω)=xi

P({ω})





=

n

X

i=1





X

ω∈Ω;X(ω)=xi

x_iP({ω})





=

n

X

i=1





X

ω∈Ω;X(ω)=xi

X(ω)P({ω})





= X

ω∈Ω

X(ω)P({ω})

Cette expression est tr`es utile pour les le¸cons de probabilit´e : elle permet de justifier tr`es simplement que, pour toute variable al´eatoire X : Ω → R, partant d’un espace fini Ω, et pour toute fonction h : R → R, on a

E(h(X)) = X

x∈X(Ω)

h(x)P(X = x).

Cette expression de l’esp´erance de h(X) est appel´ee « th`eor`eme du transfert ». Sa preuve peut donc se faire simplement dans le cas discret (avec Ω fini ou d´enombrable) ; on peut la faire ´egalement pour certaines fonctions simple dans le cas des variables al´eatoires `a densit´e, mais le cas g´en´eral n´ecessite des connaissances en th´eorie de la mesure.

Pourquoi l’int´egrabilit´e ? Les s´eries (et les int´egrales) qui ne convergent pas absolument ne sont pas facile- ment manipulables. Par exemple, la s´erie

X

n∈Z^∗

1 n

est mal d´efinie. En effet, les sommes partielles de −N `a +N sont nulles, et donc on a plutˆot envie de dire que la s´erie converge vers 0. Mais consid`erons la somme S_N de −N `a +N², on a

S_N =

n=N²

X

n=N +1

1 n

≥

Z N²+1 N +1

1 xdx

≥ ln(N²+ 1) − ln(N + 1) et donc S_N tend vers l’infini...

En pratique, on v´erifie donc toujours qu’une variable al´eatoire est int´egrable avant de l’int´egrer, sauf si X est une variable al´eatoire positive, c’est-`a-dire si P(X ∈ R⁺) = 1.

Remarque :

Si X(Ω) ⊂ R⁺, on pourra ´ecrire E(X) mˆeme lorsque la s´erie ne converge pas, mais on ne pourra

´evidemment pas dire que X est int´egrable avant d’avoir v´erifi´e si E(X) < ∞.

Si X(ω) est born´e, alors X sera une variable al´eatoire int´egrable.

Exemple : Calcul de l’esp´erance de la loi g´eom´etrique de param`etre p. On se donne une variable al´eatoire X de loi G(p). On a vu que X(Ω) = N^∗ : il est inutile de v´erifier l’int´egrabilit´e de X puisque X(Ω) ⊂ R⁺.

Puisque X est une variable al´eatoire discr`ete, on a

E(X) = X

n≥1

nP(X = n)

= X

n≥1

np(1 − p)ⁿ⁻¹

= pX

n≥0

n(1 − p)ⁿ⁻¹

Or n(1 − p)ⁿ⁻¹ est la d´eriv´ee de −(1 − p)ⁿ etP

n≥0(1 − p)ⁿ = 1/p . On obtient (en inversant une d´erivation et une s´erie, ce qui est licite car il s’agit d’une s´erie enti`ere) :

X

n≥0

n(1 − p)ⁿ⁻¹ = − d dp

1 p = 1

p². Finalement, E(X) = 1/p.

Exemple : Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire Y de loi exponentielle, c’est-`a-dire de densit´e f (y) = λ exp(−λy)1<sub>R</sub><sup>+</sup>(y) o`u λ > 0 est une constante. On constate que Y est une variable al´eatoire positive (l’int´egrale de sa densit´e sur R⁻ est nulle). On peut donc s’abstenir de v´erifier l’int´egrabilit´e, et passer directement au calcul de l’esp´erance.

On a par d´efinition

E(Y ) = Z

R

yf (y) dy = Z

R⁺

λye^−λy dy.

Cette int´egrale s’int`egre par parties : E(Y ) =



y × (− exp(−λy))

+∞

0

− Z +∞

0

(− exp(−λy)) dy = 1 λ. Exercice : Calculer l’esp´erance des lois des paragraphes 1.2 et 1.3.

Proposition 2.6. • Soient a une constante et X une variable al´eatoire int´egrable. Les variables al´eatoires X + a et aX sont int´egrables et on a E(X + a) = a + E(X) et E(aX) = aE(X).

• Si X est une variable al´eatoire positive et int´egrable, alors E(X) ≥ 0.

• Si X et Y sont deux variables al´eatoires int´egrables v´erifiant X ≤ Y alors E(X) ≤ E(Y ). On d´eduit de cette propri´et´e que toute variable al´eatoire born´ee par une constante (ou plus g´en´eralement par une variable al´eatoire int´egrable) est int´egrable.

• L’esp´erance est une op´eration lin´eaire : si X et Y sont deux variables al´eatoires int´egrables et a et b deux nombres r´eels, E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )

Exercice :

• On se donne un ´ev´enement A. Montrer que E(1_A) = P(A).

• On consid`ere une variable al´eatoire X et un r´eel x. Calculer E(1_X≤x).

D´efinition 2.7. La variance d’une variable al´eatoire de carr´e int´egrable X est ´egale `a var X = E((X − E(X))².

On appelle ´ecart-type la quantit´e σ = pvar (X). La variance et l’´ecart-type sont des param`etres de dispersion : plus ils sont grands, plus la variable al´eatoire est dispers´ee au tour de sa moyenne (c’est-`a- dir : prend des valeurs ´eloign´ees de la moyenne).

Proposition 2.8. – Pour toute variable al´eatoire de carr´e int´egrable X, on a var X = E(X²) − (E(X))².

– Si X est une variable al´eatoire int´egrable et si a est une constante, on a var (X + a) = var (X) et var (aX) = a²var (X).

– La variance d’une variable al´eatoire de carr´e int´egrable est toujours une quantit´e positive. Elle n’est nulle que si la variable al´eatoire suit une loi de Dirac.

Preuve :

1) Notons m = E(X). On a (X − m)² = X²− 2mX + m². Donc

E(X − m)² = E(X²) − E(2mX) + E(m²)

= E(X²) − 2mE(X) + m²

= E(X²) − m².

2) On pose Y = X + a. On a E(Y ) = a + E(X) et var (Y ) = E((Y − E(Y ))²).

D’o`u var (Y ) = E((X − E(X))²) = var (X).

Posons aussi Z = aX. On a E(Z) = aE(X) et var (Z) = E((aX − E(Z))²).

D’o`u var (Y ) = a²E((X − E(X))²) = a²var (X).

3) La variance est l’esp´erance d’une variable al´eatoire positive : elle est donc positive. Elle ne peut ˆetre nulle que si X = E(X) p.s.

Remarque : Rappelons les expressions usuelles de E(X²) : – Si X est une variable al´eatoire discr`ete,

E(X²) = X

x∈X(Ω)

x²P(X = x)

– Si X est une variable al´eatoire de densit´e f , E(X²) =

Z +∞

−∞

x²f (x) dx.

Exemple : Calcul de la variance d’une variable al´eatoire X de loi G(p). On a d´ej`a vu que E(X) = 1/p.

Calculons maintenant E(X²). On a :

E(X²) = X

n≥1

n²P(X = n)

= X

n≥1

n²p(1 − p)ⁿ⁻¹

On va essayer de faire apparaˆıtre une d´eriv´ee seconde en ´ecrivant n² = n(n − 1) + n : E(X²) = p(1 − p)X

n≥1

n(n − 1)(1 − p)ⁿ⁻²+ pX

n≥1

n(1 − p)ⁿ⁻¹

= p(1 − p) d² dp²

X

n≥0

(1 − p)ⁿ
+ 1 p

= p(1 − p) d² dp²

1 p +1

p

= 2p(1 − p) p³ + 1

p

= 2 − p p²

On en d´eduit maintenant la variance de X : var (X) = E(X²) − (E(X))² = (1 − p)/p².

Exemple : Calcul de la variance d’une variable al´eatoire Y de loi exponentielle de param`etre λ. On a vu (cf p.11) que l’esp´erance de Y est ´egale `a 1/λ. Calculons maintenant E(Y²) :

E(Y²) = Z

R

x²λe^−λx1_x≥0 dx

=

Z +∞

0

x²λe^−λx dx

= −x²e^−λx+∞

0 + 2 Z +∞

0

xe^−λx dx

= 2/λ²

On a donc var (Y ) = 1/λ².

Exercice : Calculer les variances des lois des paragraphes 1.2 et 1.3.

2.2 Fonction de r´ epartition de la loi d’une variable al´ eatoire

D´efinition 2.9. On consid`ere une variable al´eatoire X : Ω → R. La fonction de r´epartition de la loi de X est la fonction F_X : R → [0, 1] d´efinie pour tout x ∈ R par

F_X(x) = P(X ≤ x).

La fonction de r´epartition caract´erise la loi d’une variable al´eatoire.

Si X suit une loi discr`ete, on a

FX(x) = X

t≤x

P(X = t),

o`u la somme est prise sur tous les t ∈ X(Ω) inf´erieurs ou ´egaux `a x. On obtient une fonction constante par morceaux.

Si X suit la loi de densit´e f ,

F_X(x) = Z x

−∞

f (t) dt.

C’est alors une fonction continue.

Proposition 2.10. La fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire discr`ete est toujours croissante et continue `a droite. On a lim_x→−∞F_X(x) = 0 et lim_x→+∞F_X(x) = 1.

Exemple : Fonction de r´epartition de la loi binˆomiale B(3, 1/2). On a P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8, P(3) = 1/8, et P(k) = 0 pour tout k ≥ 4.

Exemple : Fonction de r´epartition de la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Si X est de loi uniforme sur [0,1], X admet pour densit´e la fonction 1_[0,1]. Notons F sa fonction de r´epartition. Pour tout x ∈ R, on a donc

F (x) = Z x

−∞

1_[0,1](t) dt.

– Si x < 0 : on a F (x) = 0, car 1_[0,1](t) = 0 pour tout t ∈] − ∞, x].

– Si x ∈ [0, 1], on a

F (x) = Z 0

−∞

1_[0,1](t) dt + Z x

0

1_[0,1](t) dt

= 0 + Z x

0

1 × dt

= x – Si x > 1,

F (x) = Z 0

−∞

1_[0,1](t) dt + Z 1

0

1_[0,1](t) dt + Z

1

x1_[0,1](t) dt

= 0 + Z 1

0

1 × dt + 0

= 1

La fonction de r´epartition F de la loi uniforme sur [0, 1] est donc nulle sur R⁻, ´egale `a la fonction identit´e sur [0, 1] et constante ´egale `a 1 sur [1, +∞[. On peut remarquer que cette fonction F est continue, d´erivable sur R\{0, 1}, et que sa d´eriv´ee co¨ıncide avec la densit´e de X l`a o`u elle existe.

2.3 Fonctions g´ en´ eratrice, caract´ eristique et transform´ ee de Laplace

D´efinition 2.11. La fonction g´en´eratrice de la loi de la variable al´eatoire X : Ω → R⁺ est la fonction G_X d´efinie pour tout s ∈ [0, 1] par

G_X(s) = E(s^X) = X

x∈X(Ω)

s^xP(X = x).

Cette fonction est d´efinie (et finie) pour s ∈ [0, 1] puisque pour tout s ∈ [0, 1], la variable al´eatoire s^X est positive et major´ee par 1 : c’est donc une variable al´eatoire int´egrable.

La fonction g´en´eratrice est surtout utilis´ee pour les variables al´eatoires `a valeurs dans N. Dans ce cas, on peut ´egalement la d´efinir pour s ∈ [−1, 0] et on a

G_X(s) = E(s^X) = X

n∈N

sⁿP(X = n).

Remarque : La fonction G_X est polynˆomiale si et seulement si X(Ω) ⊂ {0, . . . , n}. Plus g´en´eralement, si X(Ω) ∈ N, G_X est une s´erie enti`ere.

Proposition 2.12.

– Soit X une variable al´eatoire discr`ete positive et int´egrable. On a E(X) = G⁰_X(1⁻).

– Plus g´en´eralement, si X : Ω → R⁺ est une variable al´eatoire v´erifiant E(Xⁿ) < ∞, la d´eriv´ee n<sup>i`eme</sup> de GX en 1<sup>−</sup> est ´egale `a E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)).

– Si deux variables al´eatoires positives ont la mˆeme fonction g´en´eratrice, alors elles suivent la mˆeme loi. On dit que la fonction g´en´eratrice caract´erise la loi des variables al´eatoires positives.

On utilise ´egalement la transform´ee de Laplace L_X(λ) = E(exp(−λX)) = G_X(exp(−λ)). Si X est une variable al´eatoire positive, sa transform´ee de Laplace est d´efinie sur R⁺ (au moins) et caract´erise sa loi.

Si X est int´egrable, on a E(X) = −L⁰_X(0+), et si X est suffisamment int´egrable, E(X^k) = (−1)^kL^(k)_X (0+).

Pour des variables al´eatoires X : Ω → R dont le signe n’est pas constant, on utilisera plutˆot la transform´ee de Fourier ou fonction carat´eristique de X : φ_X(α) = E(exp(iαX)). Cette fonction est d´efinie pour tout α dans R et caract´erise la loi de la variable al´eatoire de la mˆeme fa¸con que la fonction g´en´eratrice ou la transform´ee de Laplace. Tout comme pour la fonction g´en´eratrice ou pour la transform´ee de Laplace, il existe un lien entre les d´eriv´ees de φ et l’esp´erance de X : si X est int´egrable, on a E(X) = iφ⁰_X(0) et si X est suffisamment int´egrable, E(X^k) = (−i)^kφ^(k)_X (0).

Remarque : En pratique, il est parfois rentable de calculer la fonction g´en´eratrice d’une variable al´eatoire (ou transform´ee de Laplace ou transform´ee de Fourier), et de la d´eriver pour en d´eduire l’esp´erance et la variance.

Aide-m´emoire : La d´eriv´ee de s → s^X est ´egale `a Xs^X−1. En prenant l’esp´erance pour s = 1, on obtient donc G⁰_X(1) = E(X).

De mˆeme, la d´eriv´ee seconde de s → s^X est ´egale `a X(X − 1)s<sup>X−1</sup>, et apr`es la mˆeme op´eration que pr´ec´edemment, G⁰⁰_X(1) = E(X(X − 1)).

En faisant le mˆeme genre d’op´eration `a partir des fonctions λ → exp(−λX) ou α → exp(iαX), on retrouve les liens entre esp´erance et d´eriv´ees des transform´ees de Laplace et de Fourier.

Exemple : Calcul de l’esp´erance et de la variance d’une loi de Poisson `a partir de la fonction g´en´eratrice.

Soit X une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etre m > 0. Calculons sa fonction g´en´eratrice G<sub>X</sub>. Comme X est `a valeurs dans N, on a

GX(s) = E(s^X)

= X

n≥0

sⁿP(X = n)

= X

n≥0

sⁿe^−mmⁿ n!

= e^−me^ms En d´erivant, on obtient, E(X) = G⁰_X(1) = e^−mme^m×1 = m.

En d´erivant `a nouveau : E(X(X − 1)) = G⁰⁰_X(1) = e^−mm²e^m×1 = m².

On en d´eduit alors la variance de X : par d´efinition, var X = E(X²) − (E(X))² et en ´ecrivant E(X²) = E(X(X − 1)) + E(X), on obtient var (X) = m.

2.4 Comment calculer la loi

Le probl`eme se pose fr´equemment de calculer la loi d’une variable al´eatoire Y d´efinie par exemple comme fonction d’une autre variable al´eatoire X : Y = g(X), la fonction g ´etant continue par morceaux.

Si Y est une variable discr`ete, il suffit de d´eterminer l’ensemble des valeurs prises par Y , puis pour tout y ∈ Y (Ω), on aura P(Y = y) = P(X ∈ g<sup>−1</sup>({y})), ce qui se calcule donc `a l’aide de la loi de X.

Si on pense que Y va avoir une densit´e, on peut imaginer calculer sa fonction de r´epartition : P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y).

Si la fonction g est monotone, on imagine facilement la suite... mais sinon ? La m´ethode habituellement utilis´ee consiste `a utiliser une fonction test h : R → R continue et born´ee. Si on r´eussit alors `a ´ecrire E(h(Y )) sous la forme

E(h(Y )) = Z

R

h(y) dµ(y),

on aura gagn´e : la mesure de probabilit´e µ obtenue sera la mesure image de Y (de la forme dµ = f_Y(y) dy si Y est `a densit´e). En effet, en fixant x ∈ R et en prenant h de la forme h(y) = 1_y≤x, on retrouve ainsi la fonction de r´epartition de la loi de Y . L’avantage est que le changement de variable auquel il faut proc´eder apparaˆıt clairement.

Exemple : Soit X une variable al´eatoire de densit´e f_X D´eterminons les lois de Y = aX + b et de Z = (1 + X)/(1 − X). Prenons donc une fonction test h continue par morceaux et born´ee. On a

E(h(Y )) = E(h(aX + b)) = Z

R

h(ax + b)f_X(x) dx.

Petite remarque pr´ealable : la suite de la d´emonstration pr´esent´ee ici est bas´ee sur des notions de calcul int´egral (programme L3) : ne vous avisez pas `a utiliser de telles justifications devant une classe de terminale ! Il est tout `a fait possible de traiter s´epar´ement les cas a > 0 et a < 0 pour rentrer dans le cadre des programmes de lyc´ee.

On effectue alors le changement de variable y = ax + b. Ce changement de variable est bien un bi- diff´eomorphisme de R et son jacobien vaut dx = dy/|a|. Il vient :

E(h(Y )) = Z

R

h(y)f_X y − b a

 dy

|a|.

On en d´eduit donc que Y admet pour densit´e la fonction f_Y d´efinie sur R par f_Y(Y ) = f_X y − b

a

 1

|a|. Proc´edons de mˆeme pour Z :

E(h(Z)) = Z

R

h 1 + x 1 − x



fX(x) dx

= Z

R

h(z)fX

 z − 1 z + 1

 2

(z + 1)² dz

On a en effet pos´e z = (1 + x)/(1 − x), soit x = (z − 1)/(z + 1) = 1 − 2/(z + 1). Ce changement de variable est un bi-diff´eomorphisme de R\{−1} vers R\{1}. Remarquons qu’il est souvent plus pratique de raisonner en terme de jacobien plutˆot qu’en terme de d´eriv´ee : il n’y a pas `a s’occuper du sens des bornes des int´egrales, mais il suffit de v´erifier qu’un domaine s’envoie bien sur un autre domaine de R (et de ne pas oublier de mettre la valeur absolue de la d´eriv´ee et non la d´eriv´ee elle-mˆeme). On traite alors ce changement de variable comme un changement de variable dans une int´egrale multiple.

Chapitre 3

Couples et vecteurs de variables al´ eatoires

1 Couples et vecteurs al´ eatoires discrets

1.1 Loi conjointe

On se donne X et Y deux variables al´eatoires discr`etes avec X(Ω) = {x_i, i ∈ N} et Y (Ω) = {y_i, i ∈ N}.

La loi conjointe du couple (X, Y ) est donn´ee par (X, Y )(Ω) (ou par X(Ω) et Y (Ω)) ainsi que par les probabilit´es

P(X = x, Y = y) = P{ω, X(ω) = x et Y (ω) = y}, pour tout couple (x, y) ∈ (X, Y )(Ω).

Remarque : On doit bien entendu avoirP

x,yP(X = x, Y = y) = 1.

Plus g´en´eralement, si X₁, . . . , X_n sont n variables al´eatoires discr`etes `a valeurs dans N, la loi conjointe du vecteur (X₁, . . . , X_n) est donn´ee par (X₁, . . . , X_n)(Ω) ⊂ Nⁿ ainsi que par les probabilit´es P(X₁ = i₁, . . . , X_n= i_n), pour tout n-uplet (i₁, . . . , i_n) ∈ Nⁿ.

Exemple 1 : Fixons p ∈]0, 1[ et λ > 0 et consid´erons le couple de variables al´eatoires (X, Y ) `a valeurs dans {0, 1} × N dont la loi est donn´ee par :

P(X = 0, Y = 0) = 1 − p

P(X = 1, Y = k) = pe^−λλ^k/k!, pour tout k ∈ N P(X = j, Y = k) = 0 sinon.

On a bien P

i,jP(X = i, Y = j) = 1 : on a donc bien ´ecrit la loi d’un couple al´eatoire discret.

Exemple 2 : On dispose d’une urne contenant quatre jetons num´erot´es de 1 `a 4, et on tire au sort succes- sivement deux jetons sans remise. On note (X, Y ) les r´esultats des deux tirages.

On a : P(X = i, Y = i) = 0 pour tout i entre 1 et 4 et P(X = i, Y = j) = 1/12 si 1 ≤ i, j ≤ 4 et i 6= j.

On peut ´ecrire les probabilit´es sous la forme du tableau suivant (o`u par exemple dans la deuxi`eme case de la premi`ere ligne, on lit P(X = 1, Y = 2)) :

1 2 3 4

1 0 1/12 1/12 1/12 2 1/12 0 1/12 1/12 3 1/12 1/12 0 1/12 4 1/12 1/12 1/12 0

Exemple 3 : Loi trinomiale. On se fixe un nombre entier n strictement positif et deux param`etres r´eels positifs px et py tels que px + py ≤ 1. La loi trinomiale (n, px, py) est la loi du couple (X, Y ) tel que

(X, Y )(Ω) ∈ N² et donn´ee pour tout (i, j) ∈ N² tels que i + j ≤ n par : P(X = i, Y = j) = n!

i!j!(n − i − j)!pⁱ_xp^j_y(1 − p_x− p_y)^n−i−j, et P(X = i, Y = j) = 0 sinon.

La loi trinomiale est une extension de la loi binomiale. Imaginons en effet une exp´erience qui a trois issues possibles, not´ee x, y et z, avec comme probabilit´e de r´ealisation p_x, p_y et p_z = 1 − p_x− p_y. R´ep´etons n fois cette exp´erience (n est fix´e) de fa¸con ind´ependante et comptons le nombre d’apparitions de x (nombre not´e X) et de y (not´e Z) parmi ces n r´ep´etitions. C’est alors un exercice de d´enombrement que de d´emontrer que le couple (X, Y ) suit alors une loi trinomiale de param`etres (n, p_x, p_y).

1.2 Lois marginales

D´efinition 3.1. Les (deux) lois marginales du couple (X, Y ) sont les lois des variables al´eatoires X et Y . On les obtient de la fa¸con suivante :

P(X = x) = X

y∈Y (Ω)

P(X = x, Y = y),

P(Y = y) = X

x∈X(Ω)

P(X = x, Y = y).

Preuve : On a

{X = x} = {X = x, Y ∈ Y (Ω)} = [

y∈Y (Ω)

{X = x, Y = y}.

Comme la r´eunion est d´enombrable et disjointe, il vient : P(X = x) = X

y∈Y (Ω)

P(X = x, Y = y).

Plus g´en´eralement, un vecteur (X₁, . . . , X_n) `a valeurs dans Z<sup>n</sup> poss`ede n lois marginales unidimension- nelles, mais ´egalement n(n − 1) lois marginales bidimensionnelles, et ainsi de suite. On a par exemple

P(X₁ = x) = X

(x2,...,xn)∈Zⁿ⁻¹

P(X₁ = x, X₂ = x₂, . . . , X_n= x_n).

Reprenons les exemples pr´ec´edents : Exemple 1.

D´eterminons la loi de X : X est `a valeurs dans {0, 1} et on a : P(X = 0) =X

j∈N

P(X = 0, Y = j) = 1 − p.

De la mˆeme fa¸con :

P(X = 1) = X

j∈N

P(X = 1, Y = j) = X

j≥0

pe^−λλ^j/j! = p.

La variable al´eatoire X suit donc une loi de Bernoulli de param`etre p. Calculons aussi la loi de Y : P(Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = 1 − p + pe^−λ.

Et pour tout j ≥ 1,

P(Y = j) = P(X = 0, Y = j) + P(X = 1, Y = j) = pe^−λλ^j/j!.

Exemple 2 : Il suffit de sommer en colonne pour avoir la loi de X, et en ligne pour obtenir celle de Y . En pratique, on peut ajouter une colonne et une ligne au tableau pour y ´ecrire les lois de X et Y . Et avant de conclure, on prend le soin de v´erifier que la somme de cette colonne (et de cette ligne) vaut 1.

On trouve ici que X et Y suivent une loi uniforme sur {1, 2, 3, 4}.

Exemple 3 : On consid`ere le couple (X, Y ) de loi trinomiale (n, p_x, p_y). D´eterminons la loi marginale de X : fixons j ∈ {0, . . . , n} et ´evaluons P(X = j).

On a

P(X = j) =

n

X

k=0

P(X = j, Y = k)

=

n−j

X

k=0

P(X = j, Y = k) +

n

X

k=n−j+1

P(X = j, Y = k)

=

n−j

X

k=0

n!

j!k!(n − j − k)!p^j_xp^k_y(1 − p_x− p_y)^n−j−k+ 0

= n!

j!(n − j)!p^j_x

n−j

X

k=0

(n − j)!

k!(n − j − k)!p^k_y(1 − px− py)^n−j−k

= n j



n^jp^j_x(1 − p_x)^n−j

La variable al´eatoire X suit donc une loi Bin(n, p_x). Un calcul similaire montre que Y suit une loi binomiale Bin(n, py).

1.3 Loi de f (X, Y )

Probl`eme : On dispose d’un couple de variables al´eatoires discr`etes (X, Y ) dont on connaˆıt la loi conjointe et on voudrait connaˆıtre la loi de la variable al´eatoire Z = f (X, Y ), o`u f : X(Ω) × Y (Ω) → R est une fonction donn´ee. Par exemple, on a souvent besoin de connaˆıtre la loi de X + Y , ou celle de X − Y , ou de XY . Et d´eterminer la loi de X `a partir de celle de (X, Y ) revient `a consid´erer la fonction f (x, y) = x.

Proposition 3.2. On a Z(Ω) = f ((X, Y )(Ω)) et pour tout z ∈ f ((X, Y )(Ω)), on a

P(Z = z) = X

(x,y)∈(X,Y )(Ω),f (x,y)=z

P(X = x, Y = y).

Exemple : Reprenons une nouvelle fois l’exemple 1 et consid´erons la fonction f (x, y) = xy. La variable al´eatoire XY est `a valeurs dans N et on a

P(XY = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = 1 − p + pe^−λ et, pour tout k ∈ N^∗,

P(XY = k) = P(X = 1, Y = k) = pe^−λλ^k k!.

Un cas particulier. Nous consid´erons ici la fonction f (x, y) = x + y. On obtient :

P(X + Y = z) = X

(x,y)∈(X,Y )(Ω),x+y=z

P(X = x, Y = y)

= X

x∈X(Ω)

P(X = x, Y = z − x)

= X

y∈Y (Ω)

P(X = z − y, Y = y)

Plus g´en´eralement, si X = (X₁, . . . , X_n) est un vecteur al´eatoire discret et f : X(Ω) → R est une fonction donn´ee, on a :

P(f (X1, . . . , Xn) = z) = X

x1,...,xn,f (x1,...,xn)=z

P(X1 = x1, . . . , Xn = xn).

Exemple : Supposons que (X, Y ) suit une loi trinomiale (n, p_x, p_y) et calculons la loi de X + Y . Cette variable al´eatoire est `a valeurs dans N et on a, pour tout entier k :

P(X + Y = k) =

n

X

j=0

P(X = j, Y = k − j).

Pour tout k > n, chacun des termes de cette somme est nul donc P(X + Y = k) = 0.

Fixons maintenant un entier k ∈ {0, . . . , n}. On a :

P(X + Y = k) =

k

X

j=0

P(X = j, Y = k − j)

=

k

X

j=0

n!

j!(k − j)!(n − k)!p^j_xp^k−j_y (1 − p_x− p_y)^n−k

= n!

(n − k)!(1 − p_x− p_y)^n−k

k

X

j=0

1

j!(k − j)!p^j_xp^k−j_y

= n!

k!(n − k)!(1 − p_x− p_y)^n−k(p_x+ p_y)^k. La variable al´eatoire X + Y suit donc une loi binomiale Bin(n, p_x+ p_y).

1.4 Loi conditionnelle

Consid´erons un couple (X, Y ) de variables al´eatoires discr`etes, dont on connaˆıt la loi jointe et fixons y tel que P(Y = y) > 0.

La loi conditionnelle de X sachant l’´ev´enement {Y = y} est donn´ee par le fait que c’est une loi sur X(Ω) ainsi que par les probabilit´es conditionnelles P(X = x|Y = y) pour tout x ∈ X(Ω).

On v´erifie ais´ement que

X

x∈X(Ω)

P(X = x|Y = y) = 1

ce qui implique que la loi conditionnelle de X sachant {Y = y} est la loi d’une variable al´eatoire.

De plus, la formule des probabilit´es totales implique que P(X = x) = X

y∈Y (Ω)

P(X = x|Y = y)P(Y = y).

Cette d´efinition de la loi conditionnelle s’´etend `a des vecteurs al´eatoires : par exemple pour un triplet al´eatoire (X, Y, Z), on peut ´etudier la loi conditionnelle de X sachant {Y = y}, la loi conditionnelle de X sachant {Y = y et Z = z}, la loi conditionnelle du couple (X, Y ) sachant {Z = z}...

Exemple 1 : La loi de Y sachant {X = 1} est donn´ee par Y (Ω) ∈ N) et, pour tout entier positif k, on a P(Y = k|X = 1) = P(Y = k et X = 1)

P(X = 1) = pe^−λλ^k k! × 1

p = e^−λλ^k k!.

La loi conditionnelle de Y sachant que {X = 1} est donc une loi de Poisson de param`etre λ.

Exemple 2 : La loi de X sachant {Y = 1} est la loi uniforme sur {2, 3, 4}.

Exemple 3 : Supposons que (X, Y ) suit une loi trinomiale (n, px, py) et calculons la loi conditionnelle de X sachant {Y = k}, pour un entier k ∈ {0, . . . , n}. Remarquons tout d’abord que si j < 0 ou j > n − k, P(X = j|Y = k) = 0. Fixons maintenant un entier j ∈ {0, . . . , n − k}. On a

P(X = j|Y = k) = P(X = j et Y = k) P(Y = k)

= n! p^j_xp^k_y(1 − p_x− p_y)^n−j−k j!k!(n − j − k)!

k!(n − k)!

n! p^k_y(1 − p_y)^n−k

= (n − k)!

j!(n − k − j)!

 px

1 − p_y

j 1 − p_x− py

1 − p_y

n−k−j

.

La loi conditionnelle de X sachant {Y = k} est donc une loi binomiale (n − k, p_x/(1 − p_y)).

1.5 Ind´ ependance de variables al´ eatoires discr` etes

D´efinition 3.3. Deux variables al´eatoires discr`etes X et Y sont dites ind´ependantes si pour tout x ∈ X(Ω) et tout y ∈ Y (Ω), les ´ev´enements {X = x} et {Y = y} sont ind´ependants, c’est-`a-dire : P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y).

Si X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes ind´ependantes, on aura donc, pour tout y ∈ Y (Ω) et tout x ∈ X(Ω) tels que P(Y = y) > 0 et P(X = x) > 0, P(X = x|Y = y) = P(X = x) et P(Y = y|X = x) = P(Y = y).

Plus g´en´eralement, les n variables al´eatoires discr`etes X<sub>1</sub>, . . . , X<sub>n</sub> sont (mutuellement ou n `a n) ind´ependantes si, pour tout choix de x₁ ∈ X₁(Ω), . . . , x_n ∈ X_n(Ω), on a P(X₁ = x₁, . . . , X_n = x_n) = P(X₁ = x₁) . . . P(X_n = x_n).

Remarques :

• L’ind´ependance n `a n entraˆıne l’ind´ependance 2 `a 2 (mais la r´eciproque est fausse). ´Ecrire la preuve de ce r´esultat pour n = 3.

• Des ´ev´enements A₁, . . . , A_n sont ind´ependants si et seulement si les variables al´eatoires 1_A1, . . . , 1_An le sont.

Proposition 3.4. Si les n variables al´eatoires discr`etes X1, . . . , Xn sont ind´ependantes alors on a X(Ω) = X₁(Ω) × · · · × X_n(Ω).

Remarque : Lorsque les variables al´eatoires X et Y sont ind´ependantes, connaˆıtre les lois marginales permet donc de connaˆıtre la loi jointe du couple (X, Y ), alors que pour des variables al´eatoires quelconques, cela ne suffit pas.

1.6 Esp´ erance, matrice de covariance

Dans un souci de clart´e, tous les r´esultats de ce paragraphe et du suivant sont ´enonc´es pour les couples de variables al´eatoires discr`etes, et ils s’´etendent sans peine aux vecteurs al´eatoires discrets.

On consid`ere un couple al´eatoire discret (X, Y ).

D´efinition 3.5. • L’esp´erance du couple (X, Y ) est d´efinie si X et Y sont int´egrables et on a alors : E(X, Y ) = (E(X), E(Y )).

Remarque : Cette op´eration ne fait intervenir que les lois marginales.

• Si X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes de carr´e int´egrable, la covariance de X et de Y , ou covariance du couple (X, Y ), est donn´ee par

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))].

• Si X et Y sont deux variables al´eatoires de carr´e int´egrable, la matrice de covariance du couple (X, Y ) est la matrice

C =  var (X) cov(X, Y ) cov(X, Y ) var (Y )

 .

Plus g´en´eralement, la matrice de covariance d’un vecteur (X1, . . . , Xn), dont chacune des composantes est de carr´e int´egrable, est une matrice n × n dont les termes diagonaux sont les variances des X_i et dont le terme (i, j) est la covariance cov(X_i, X_j) pour tout i 6= j.

Proposition 3.6. 1. Une matrice de covariance C est toujours une matrice sym´etrique et positive (i.e., pour tout v ∈ Rⁿ, < v, Cv >≥ 0).

2. Si X et Y sont deux variables al´eatoires ind´ependantes et int´egrables, on a E(XY ) = E(X)E(Y ) et donc cov(X, Y ) = 0. La r´eciproque de ce r´esultat est fausse.

3. Si X et Y sont deux variables al´eatoires ind´ependantes et f et g deux fonctions telles que les variables al´eatoires f (X) et g(Y ) sont int´egrables, on a E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y )). La r´eciproque de ce r´esultat est fausse.

4. Si les variables al´eatoires X₁, . . . , X_n sont ind´ependantes et de carr´e int´egrable, alors la matrice de covariance de (X₁, . . . , X_n) est diagonale. La r´eciproque de ce r´esultat est fausse.

Preuve : 1. Soit X = (X₁, . . . , X_n) un vecteur al´eatoire dont chaque composante est de carr´e int´egrable, notons C sa matrice de covariance et fixons v = (v₁, . . . , v_n) un vecteur de Rⁿ. Quitte `a remplacer chaque Xi par Xi− E(Xi), on supposera les variables al´eatoires centr´ees (d’esp´erance nulle).

On a

< v, Cv > = X

i,j

C_ijv_iv_j

= X

i,j

E(X_iX_j)v_iv_j

= E X

i,j

v_iX_iv_jX_j

!

= E

X

i

viXi

!

× X

j

vjXj

!!

= E



 X

i

v_iX_i

!2



On a donc bien < v, Cv >≥ 0.

2. Consid´erons deux variables al´eatoires discr`etes X et Y ind´ependantes et int´egrables. Montrons que XY est int´egrable et calculons son esp´erance. On a

E(|XY |) = X

x∈X(Ω),y∈Y (Ω)

|xy|P(X = x, Y = y)

Comme X et Y sont ind´ependantes, P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) donc

E(|XY |) = X

x∈X(Ω),y∈Y (Ω)

|xy|P(X = x)P(Y = y)

= X

x∈X(Ω)



|x|P(X = x) X

y∈Y (Ω)

|y|P(Y = y)





=



 X

x∈X(Ω)

|x|P(X = x)







 X

y∈Y (Ω)

|y|P(Y = y)





= E(|X|)E(|Y |).

On montre alors par un calcul similaire que E(XY ) = E(X)E(Y ), puis on en d´eduit que cov(X, Y ) = 0.

3. et 4. se d´eduisent ais´ement de 2.

La proposition suivante, bien que tr`es simple `a prouver, est fort utile :

Proposition 3.7. Si X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes et de carr´e int´egrable, on a var (X + Y ) = var (X) + var (Y ) + 2cov(X, Y ).

Si de plus, X et Y sont ind´ependantes, on a

var (X + Y ) = var (X) + var (Y ).

De plus, pour deux variables al´eatoires de carr´e int´egrable, il est possible d’obtenir une majoration de cov(X, Y ) `a partir des variances de X et Y :