Sur une approximation de l'intégrale F1/2 de Fermi Dirac par un développement polynomial

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Sur une approximation de l’intégrale F1/2 de Fermi

Dirac par un développement polynomial

L. Soonckindt, L. Lassabatère

To cite this version:

581

SUR UNE

APPROXIMATION

DE

L’INTÉGRALE

_F1/2

DE FERMI DIRAC PAR UN

DÉVELOPPEMENT

POLYNOMIAL

L. SOONCKINDT et L. LASSABATERE

Centre d’Etudes

_{d’Electronique}

des Solides

_{(LA 21),}

U.S.T.L.,

place

E.

Bataillon,

34060

_Montpellier

Cedex,

France

(Reçu

le 7 mars

_1978,

révisé le

_{26 juillet}

_1978,

_accepté

le

_{26 juillet 1978)}

Résumé. 2014 On donne _une

approximation de _{l’intégrale}

_F1/2

de Fermi-Dirac par un _{développement}

polynomial d’ordre 12.

Abstract. 2014 An

approximation

of the Fermi-Dirac

integral

F1/2

by

a

polynomial

of the 12th

order is given.

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME _13, NOVEMBRE 1978,

Classification Physics Abstracts

05.30

On est souvent conduit dans l’étude des semiconduc-teurs, à utiliser

_{l’intégrale}

de Fermi

_Fj

_{(j :}

ordre de

l’intégrale)

lorsqu’on

s’intéresse à la

conductivité,

à l’effet

Hall,

à la

_{magnétorésistance}

ou tout

simple-ment à la densité d’électrons n ou de trous _p.

Dans ce cas n et _p

_{s’expriment}

en fonction de

l’inté-grale F,12(nf)

par les relations :

Nc

et

_{Nv :}

densité effective d’états dans la bande de conduction et dans la bande de valence.

Pour déterminer n _{et p} on

_peut

se servir des valeurs

tabulées de

_Fl/2(llf)

ou utiliser des

expressions

analy-tiques

approchées (1), (2)

valables dans les domaines de variations

_{de 1}

_{ci-dessous :}

C’est là

_{l’approximation classique}

ou totalement non

dégénérée,

correcte

_lorsque

_{tlf est} assez

_important

mais

mauvaise à faible _tlf.

- Pour 5

ilf oo, ce

qui correspond

au

semi-conducteur totalement

_{dégénéré :}

Si les conditions

_{expérimentales}

ou la

_qualité

des

échantillons utilisés sont telles que le domaine de

variation

_{de ~f}

recouvre deux ou trois zones

d’appro-ximation,

on est conduit à utiliser successivement

plusieurs

des

_expressions

_{précédentes.}

C’est le cas

par

exemple

quand :

-

on travaille en

_température

si le semiconducteur

passe de l’état non

_dégénéré

à l’état

_{dégénéré,}

-

on s’intéresse aux

_populations

au

voisinage

d’une surface en

_présence

d’une barrière de surface :

Ec - EF

varie

_alors,

à

_température

_constante,

_quand

on se

_déplace

de la surface vers l’intérieur du

semi-conducteur. On

_peut

donner comme autre

_exemple

le cas de certains semiconducteurs

_amorphes

carac-térisés _par des fluctuations de

_potentiel

dues au

désordre : ces variations locales de

potentiel

se

582

duisent par des variations de

_{(Ee - E,)IKT}

dans l’échantillon

_{(3), (4).}

Il est alors très intéressant de

_disposer

d’une expres-sion

_analytique

de

_F1/2(r¡r).

Ceci

_explique

_que

diffé-rents

_{développements}

en fonction

_{de If}

aient été

proposés

dans le domaine -

_{5 ~f}

5

_{(3), (5).}

Ces

développements

ne sont

_cependant

pas satisfaisants

car,

quand

on se situe au

_voisinage

des limites de

zone,

l’erreur devient très vite

supérieure

à 3

_%.

C’est

_pourquoi

nous avons recherché une

_expression

simple

sous forme

_{polynomiale, approximant}

_F1/2(r¡r)

dans une

région importante

de variations

_{de If}

à

mieux _que

_Ijl00e.

Pour cela on

_décompose

_F1/2(~f)

sous la forme :

Pour

_{obtenir ai}

on se fixe m valeurs de ’1r, par

exemple

’1r = -

4, - 3,

..., +

11,

+ 12. Connaissant à

partir

des tables les valeurs de

_F1/2

_{correspondant}

à

_chaque

’1r,

déterminer ai

revient donc à résoudre un

système

de m

équations

à m inconnues. Le calcul a été effectué

ici _{pour la} fonction

plus

habituellement utilisée.

On obtient un résultat satisfaisant dans la gamme

-

4 ~f

8 avec un

polynôme

d’ordre 12. Les

coefficients ai

sont donnés dans le tableau I. Sur le tableau II sont

_reportées

les

_précisions

_0394F/F.

La

_précision

est

_toujours

meilleure que 10-2 dans le

domaine -

_{4 ~f}

7. Il est à noter toutefois _que si

on ne conserve _que les termes d’ordre inférieur à 5 par

exemple, l’approximation

avec une

précision

de

1

_%

n’est valable _{que dans} le domaine

_{0 ~f}

2

(Fig.

1).

Si on souhaite

_approximer

_F1/2(~f)

_par un

polynôme

d’ordre inférieur à 12, cela est

_possible

à condition de calculer les coefficients du nouveau

polynôme

mais la

_plage

_pour

_laquelle

la

_précision

TABLEAU 1

Valeur des

_coefficients

ai de

l’équation (8)

TABLEAU Il

Précision obtenue sur le calcul de :

0394F

:F

583

FIG. 1. - Variation de

0394F F

pour différentes approximations

poly-nomiales. Les chiffres _{correspondent} aux courbes d’erreur obte-nues en ne conservant que les termes d’ordre inférieur ou _égal à 2, 3,

5, 7, 12 du _{développement} donné dans _{le texte.}

[Variation

of AT

for different _polynomials. The _{subscript correspond}

to the error curves obtained _{by keeping} the terms of order 2, 3, 5, 7, 12 of the _{polynomial given} in the _text.]

est satisfaisante

_«

1

_%

_par

_exemple)

est

_beaucoup

plus

réduite. Pour un

_polynôme

d’ordre _{5 par}

_exemple

la

_précision

est meilleure _{que 1}

_%

dans _{la gamme}

0

~f

6. Pour un

_polynôme

d’ordre 7 la

_précision

est meilleure _{que 1}

_%

dans la _gamme

_{0 ~f}

8. La

_plage

satisfaisante décroît avec l’ordre du

poly-nôme,

ce

_qui

_explique

_{que pour} obtenir une

appro-ximation valable on soit conduit à utiliser un

poly-nôme d’ordre assez élevé.

Le

_{développement}

_que nous avons

_présenté,

outre son intérêt dans des

_{expressions analytiques,}

_permet

une évaluation

_précise

de la fonction

_F1/2(~f)

à l’aide d’un

_simple

calculateur de

_poche

et ce dans une

_plage

de variation

_{de ilf}

très

_supérieure

à celle couverte _par

les

_plus

récentes

_expressions

_publiées

ces dernières

années. Pour mieux situer ce

point

nous avons calculé

les valeurs de

0394F F

pour

l’expression

approchée

de

Joyce

et Dixon

_[5].

Pour + 4 = If l’erreur atteint

déjà

5

_%

ce

_qui

est très

_supérieur

à nos résultats.

L’expression polynomiale

avec 12 termes devrait donc être

_susceptible

d’intéresser les chercheurs travaillant sur les semiconducteurs tant

_amorphes

que monocristallins.

Remerciements. - Nous remercions MM. N.

Giam-biasi du

LAM,

Montpellier,

et J. Chevrier du

CEES,

Montpellier,

pour l’aide

qu’ils

nous ont

_apportée

dans la mise au

_point

des _programmes de calcul.

Bibliographie

[1] BLAKEMORE, J. S., Semiconductor Statistics (Pergamon Press,

London) 1962.

[2] KIREEV, P., La _Physique des Semiconducteurs (Editions Mir, Moscou) 1975.

[3] MELL, H., Amorphous and Liquid semiconductors, J. Stuke and W. _Brening Ed. (Taylor and Francis LTD, London) 1974.

[4] PISTOULET, B., ROBERT, J. L., DUSSEAU, J. M., ENSUQUE, L.,

J. Non-Cryst. Solids, à paraître en 1978.