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utilisant des méthodes basées sur des observateurs :
Application à la transmission par engrenages.
Syrine Derbel
To cite this version:
T
HÈSE DE DOCTORAT
DE L
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NIVERSITÉ DE
C
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-P
ONTOISE
PRÉPARÉE À
ENSEA
École doctorale n
◦417
Science et Ingénierie
Spécialité de doctorat : Génie mécanique
par
M
ME
. S
YRINE
DERBEL
Contribution à la détection des défauts pour la maintenance
prédictive des Systèmes mécatroniques en utilisant des
méthodes basées sur des observateurs : Application à la
transmission par engrenages
Thèse présentée et soutenue à "ENSEA : Avenue du Ponceau, 95000 Cergy", le XX Mars 2020, à 10h.
Composition du Jury :
Mme. DOROTHÉENORMAND-CYROT Directrice de Recherche (Présidente) LSS-CNRS UMR-CentraleSupélec
M. ABDELKHALAKEL HAMI Professeur des Universités (Rapporteur)
INSA de Rouen
M. OLIVIERBETHOUX Professeur des Universités (Rapporteur) Université de Sorbonne
M. ALIAKROUT Professeur des Universités (Examinateur) ENIT
M. JEAN-PIERREBARBOT Professeur des Universités (Directeur)
ENSEA
M. MOHAMEDSLIMABBES Professeur des Universités (Directeur) ENIS
Mme. FLORENTINANICOLAU Maitre de Conférences (Co-Encadrant) ENSEA
M. MOHAMEDHADDAR Professeur des Universités (Co-Encadrant)
ENIS
M. NABIHFEKI Maitre de Conférences (Invité)
Avec l’augmentation continue de la complexité des systèmes industriels et de l’impor-tance à maintenir leurs sécurité, de nombreux travaux de recherche visent à développer différentes méthodes permettant de détecter, localiser et identifier les anomalies d’un sys-tème le plus tôt possible. Dans ce contexte, nous présentons une nouvelle méthode de diagnostic, appelée la reconstruction parcimonieuse, afin d’analyser et diagnostiquer dif-férents défauts intervenants dans des systèmes dynamiques. La méthode de la reconstruc-tion parcimonieuse est fondée sur un algorithme dynamique qui estime un vecteur de dé-faut parcimonieux à partir de quelques mesures du système. Le terme "parcimonieux" si-gnifie que plusieurs défauts sont pris en compte dans la modélisation, mais seulement un nombre restreint peut se produire simultanément. Ces défauts seront appelés "nœds ou défauts actifs" et leur nombre sera noté s. D’un point de vue théorique, le nombre de dé-fauts s dépend des informations disponibles provenant des capteurs (des mesures) et de la condition que 2s+1 soit inférieur ou égal au nombre de mesures. D’autres conditions théo-riques de cette méthode de diagnostic seront discutées dans ce manuscrit. Afin d’illustrer les performances de la méthode de diagnostic proposée, nous l’appliquons à un modèle simplifié d’un système de transmission par engrenages. Différents défauts qui perturbent son fonctionnement sont pris en compte, à savoir des défauts mécaniques tels que défaut d’excentricité et défaut de fissure et des défauts de capteurs (biais). Le diagnostic de ces défauts est effectué en se basant sur des connaissances de certaines caractéristiques du système (par exemple les caractéristiques temporelles et fréquentielles de l’élément d’en-grenages). Dans cette thèse, il est montré qu’à l’aide de la reconstruction parcimonieuse, il est souvent possible de détecter la présence de(s) défaut(s) ainsi que son(leurs) temps d’apparition et de localiser le (les) élément(s) défectueux ainsi que d’identifier son (leurs) amplitude(s).
comportement dynamique des systèmes. L’implémentation des observateurs devient de plus en plus délicate lorsque la complexité du système augmente, notamment dans le cas des systèmes mécatroniques regroupant différentes grandeurs physiques. Dans cette thèse, nous considérons le différenciateur homogène avec un exposant variable. Nous ap-pliquons plusieurs différenciateurs pour estimer les états du système et analyser le com-portement dynamique d’une transmission par engrenages simple étage entrainée par un moteur électrique. A notre connaissance, c’est la première fois que ce type d’observateur est appliqué à un système mécatronique. Ce dispositif mécatronique est largement utilisé dans de nombreuses applications industrielles. Un problème important de la modèlisation est le couplage entre la partie mécanique et la partie électrique du système mécatronique. Plusieurs activités de recherche présentent des idées de couplage entre ces deux éléments. En se basant sur les travaux récents, une nouvelle approche du couplage de l’ensemble moteur-engrenage est présentée. Ce couplage prend en compte le régime transitoire de la partie électrique et l’effet torsionnel du réducteur à engrenages simple étage.
With the ever increase of the complexity and the importance of industrial systems, many re-search works are looking for developing different techniques that allow to detect, locate and identify any abnormalities in the system as early as possible. In this thesis, we present a new diagnosis me-thod, called sparse recovery, that allows to diagnose several faults in dynamical systems. The sparse recovery method is based on a dynamical algorithm that estimates a sparse fault vector from few system measurements. The term sparse means that many faults can be considered but only few of them can occur simultaneously. Those faults will be called "activated node" and their number will be denoted by s. From a theoretical point of view, the faults number s depends on the available information given by the sensor measurements and on the condition that 2s + 1 must be lower or equal than the number of measurements. Other theoretical conditions of the sparse recovery me-thod will be discussed in the manuscript. In order to illustrate the performances of the proposed diagnosis method, we apply it to a reduced gearbox model. Different defects that disrupt its opera-ting are considered, for example mechanical defects such as eccentricity, cracks and sensor defects (bias). The diagnosis of these defects can be carried out based on the knowledge of some characte-ristics of the system (e.g., temporal and frequency charactecharacte-ristics of the gear element). In this thesis, it is shown that with the help of the sparse recovery method, it is often possible to detect the pre-sence of the fault(s) and it(s) time of appearance and to locate the defective element(s) as well as to identify it(s) magnitude(s).
coupling of the system is presented. It takes into account the transient state of the electrical part and the torsional effect of a simple stage gear element.
Afin d’être reconnaissant envers ceux qui m’ont appuyé et encouragé à
effectuer ce travail de recherche, je dédie ce mémoire :
À
mon mari Mahmoud, pour les sacrifices, pour l’amour, le soutien,
l’encouragement, l’aide qu’il a su m’apporter grâce à ses compétences
informatiques.
À
mes chers parents Jalel et Saloua, pour tous leurs sacrifices, leur amour,
leur tendresse et surtout leurs prières tout au long de mes études,
À
mes chers frères Marouen et Aymen, pour leur appui et leur
encouragement,
À
mon adorable neveu Youssef, pour ses sourires et ses yeux brillants qui
m’apportent beaucoup de bonheur dans ma vie.
À
mes chères beaux-parents Nouri et Amel pour leurs encouragements
permanents, et leur soutien moral,
À
toute ma famille Derbel et ma belle famille Masmoudi pour leur soutien
et affection tout au long de ma thèse,
Que
ce travail soit l’accomplissement de vos voeux tant allégués, et le fruit
de votre soutien infaillible,
Merci
d’être toujours là pour moi.
Cette thèse de Doctorat a été réalisée dans le cadre d’une convention de tutelle entre l’École Na-tionale Supérieure d’Electronique et ses Applications (ENSEA) et l’École NaNa-tionale d’Ingénieurs de Sfax (ENIS). La réalisation de ce mémoire a été possible grâce au concours de plusieurs personnes à qui je voudrais témoigner toute ma reconnaissance.
Je voudrais tout d’abord adresser toute ma gratitude à mon directeur de thèse coté Français,
Pr. Jean-Pierre Barbot, pour sa patience, sa disponibilité et surtout ses judicieux conseils, qui ont
contribué à alimenter ma réflexion.
Je tiens à remercier également mon directeur de thèse coté Tunisien, Pr. Mohamed Slim Abbes et mon encadrant Pr. Mohamed Haddar d’avoir bien assurer la direction et l’encadrement de mes travaux de thèse. Merci pour votre gentillesse, vos qualités humaines, votre patience et vos précieux conseils.
Je tiens à remercier mes deux co-encadrants de thèse Mme. Florentina Nicolau et M. Nabih
Feki, à qui j’adresse mes remerciements les plus sincères pour leur disponibilité, leurs conseils,
leurs encouragements et leurs qualités humaines.
Je remercie Pr. Abdelkhalak El Hami et Pr. Olivier Bethoux d’avoir accepter de rapporter cette thèse. Vos remarques pertinentes et vos conseils précieux m’ont beaucoup aidé à améliorer la qua-lité de ce travail. Soyez assurés, chers professeurs, de mon estime et de ma profonde gratitude.
Mes sincères remerciements et ma gratitude vont aussi à Pr.Dorothée Normand-Cyrot d’avoir accepter de juger ce travail et d’en présider le jury de soutenance. Que vous soyez assuré de mon entière reconnaissance.
Merci également à Pr. Ali Akrout qui a accepté de juger ce travail en tant qu’examinateur. Je lui adresse mes sentiments les plus respectueux.
J’aimerais exprimer ma gratitude à Carole Van Der Eecken et tous les membres, chercheurs et spécialistes des deux laboratoires Quartz et LA2MP , qui ont pris le temps de discuter de mon sujet. Chacun de ces échanges m’a aidé à faire avancer mes travaux de recherche.
Résumés i
Dédicaces v
Remerciements vi
Table des matières viii
Liste des figures xi
Liste des tableaux xiii
Contexte, contributions et structure de la thèse 1
1 CHAPITRE 1 : État de l’art sur le diagnostic 6
1.1 Introduction . . . 7
1.2 Classification des méthodes de diagnostic . . . 7
1.2.1 Redondance matérielle et analytique . . . 8
1.2.2 Diagnostic à base d’un modèle . . . 9
A Diagnostic par les méthodes déterministes . . . 11
B Diagnostic par les méthodes stochastiques . . . 26
1.2.3 Diagnostic par traitement du signal . . . 28
A Diagnostic par les méthodes temporelles . . . 29
B Diagnostic par les méthodes fréquentielles . . . 29
C Diagnostic par les méthodes temps-fréquence . . . 30
1.2.4 Diagnostic par les méthodes guidées par les données . . . 31
A Diagnostic par la logique floue . . . 31
B Diagnostic par les réseaux de neurones. . . 32
1.3 Arbre de décision des méthodes diagnostic. . . 33
1.4 Conclusions . . . 37
2.2 Modélisation du moteur asynchrone . . . 39
2.2.1 Introduction . . . 39
2.2.2 Mise en équations du moteur asynchrone . . . 40
2.3 Modélisation mécanique des réducteurs à engrenages . . . 44
2.3.1 Introduction . . . 44
2.3.2 Présentation du modèle . . . 44
2.3.3 Mise en équations d’un réducteur à engrenages simple étage . . . 47
2.3.4 Mise en équations d’un réducteur à engrenages à deux étages . . . 50
2.4 Modélisation des défauts . . . 53
2.4.1 Défaut d’excentricité . . . 54
2.4.2 Défaut de fissure . . . 55
2.4.3 Défauts de capteurs . . . 57
2.5 Couplage mécatronique . . . 59
2.5.1 Introduction . . . 59
2.5.2 Couplages dans la littérature et leurs rôle pour la détection des défauts . . . 59
2.5.3 Principe du couplage proposé . . . 62
2.6 Conclusions . . . 64
3 CHAPITRE 3 : Diagnostic par la reconstruction parcimonieuse 65 3.1 Introduction . . . 66
3.2 Reconstruction parcimonieuse pour les systèmes dynamiques . . . 67
3.3 Différenciateurs à modes glissants . . . 78
3.3.1 Introduction . . . 78
3.3.2 Différenciateur à modes glissants d’ordre deux : Super Twisting . . . 80
3.3.3 Différenciateur à modes glissants d’ordre supérieur . . . 82
3.3.4 Différenciateur homogène avec un exposant variable . . . 83
A Introduction . . . 83
B Mise en équations du différenciateur homogène avec un exposant va-riable . . . 84
3.4 Conclusions . . . 89
4 CHAPITRE 4 : Étude de cas : Transmission par engrenages 90 4.1 Introduction . . . 91
4.2 Application du différenciateur homogène avec un exposant variable . . . 91
4.2.1 Différenciateur homogène avec un exposant fixe . . . 91
4.2.2 Différenciateur homogène avec un exposant variable . . . 99
4.3 Application de la reconstruction parcimonieuse pour le diagnostic . . . 103
4.3.2 Scénario 2 (s = 1 activation d’un défaut du système) : . . . 111
4.3.3 Scénario 3 (s = 1 activation d’un défaut regroupé : les défauts d’excentricité et de fissure) :. . . 112
4.3.4 Scénario 4 (s = 2 activation de deux défauts simultanées) : . . . 115
4.3.5 Scénario 5 : présence de bruit de mesures . . . 117
4.3.6 Scénario 6 : Régime non-stationnaire . . . 117
4.4 Conclusions . . . 119
1.1 Classification des méthodes de diagnostic. . . 8
1.2 La redondance matérielle et analytique.. . . 9
1.3 La redondance analytique. . . 10
1.4 Principe d’un observateur.. . . 14
1.5 Structure d’un observateur à entrées inconnues. . . 20
1.6 Structure d’un observateur à mode glissant. . . 24
1.7 Exemple d’un réseau de neurone à couche.. . . 33
1.8 Arbre de choix de méthodes de diagnostic . . . 34
2.1 Différents axes du moteur asynchrone. . . 41
2.2 Modèle de base de l’élément d’engrenage entrainé par un moteur. . . 45
2.3 Positions des lignes de contact sur le plan d’action dans le cas des engrenages droits.. 46
2.4 Raideur d’engrènement en fonctionnement sain de l’engrenage d’un engrenage à den-ture droite . . . 47
2.5 Modèle d’un réducteur à engrenages à deux étages. . . 50
2.6 Défaut d’excentricité.. . . 54
2.7 Défaut de fissureERIKIet al.[2012]. . . 55
2.8 Évolution de la rigidité de l’engrenage avec une fissure . . . 56
2.9 Défaut de capteurs de type biais . . . 58
2.10 Défaut de capteur de type dérive . . . 58
2.11 Défaut de capteur de type calibrage . . . 58
3.1 Problème de la reconstruction parcimonieuse . . . 74
3.2 Phénomène de réticence (chattering) . . . 80
3.3 Structure du différenciateur Super Twisting . . . 81
4.1 Emplacement des capteurs. . . 92
4.2 Le courant id set son estimation. . . 95
4.3 Le courant iq set son estimation. . . 96
4.5 Spectre du courant statorique triphasé ia . . . 97
4.6 La vitesse de rotation du pignon et son estimation. . . 98
4.7 L’erreur de transmission et son estimation. . . 98
4.8 L’évolution du courant id set son estimation . . . 100
4.9 Le couple électromagnétique et son estimation . . . 100
4.10 La vitesse de rotation du pignon et son estimation . . . 101
4.11 Spectre fréquentiel du courant ia . . . 101
4.12 L’évolution de l’exposantα1et du bruit associé à la partie électrique. . . 102
4.13 L’évolution de l’exposantα2et du bruit associé à la partie mécanique.. . . 102
4.14 Défaut du capteur∆θ1pour le premier pignon. . . 109
4.15 Défaut du capteur∆θ2pour la première roue. . . 109
4.16 Défaut du capteur∆θ3pour le deuxième pignon. . . 110
4.17 Défaut du capteur∆θ4pour la deuxième roue. . . 110
4.18 La présence de défaut fissure dans le premier pignon du système : premier étage . . . 111
4.19 La présence de défaut fissure dans le deuxième pignon du système : deuxième étage . 111 4.20 La présence de défaut fissure dans la première roue du premier étage . . . 112
4.21 La présence de défaut excentricité dans le premier étage. . . 113
4.22 La présence de défaut fissure dans la deuxième roue : deuxième étage. . . 113
4.23 La présence de défaut excentricité dans le deuxième étage . . . 113
4.24 La présence de deux fissures simultanément. . . 115
4.25 La présence de deux défauts de capteurs. . . 115
4.26 La présence d’un défaut de fissure et d’un défaut capteurs. . . 116
4.27 Présence d’un défaut capteur . . . 117
4.28 Présence d’un défaut de fissure dans le premier pignon du premier étage . . . 117
4.29 Evolution du couple résistant variable . . . 118
4.30 Évolution temporelle de l’accélération . . . 118
1.1 Conditions du choix des méthodes de diagnostic . . . 36
4.1 Les paramètres du moteur asynchrone . . . 95
4.2 Les paramètres des engrenages . . . 95
4.3 Les paramètres du moteur asynchrone . . . 99
4.4 Les paramètres d’engrenages du premier étage . . . 104
Article publié dans une revue internationale
Syrine Derbel, Nabih Feki, Florentina Nicolau, Jean Pierre Barbot, Mohamed Slim Abbes,
Mohamed Haddar, "Application of homogeneous observers with variable exponent to a me-chatronic system" Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C : Journal of
Mechanical Engineering Science, 2019.
Communications dans des congrès internationaux avec actes
et comité de lecture
Syrine Derbel, Nabih Feki, Jean Pierre Barbot, Florentina Nicolau, Mohamed Slim Abbes,
Mohamed Haddar, "Electro-Mechanical System Control Based on Observers" International
Conference on Acoustics and Vibration (pp. 101-110). Springer International Publishing,
Hammamet-Tunisia 2018.
Communications dans des congrès internationaux sans actes
et comité de lecture
Syrine Derbel, Florentina Nicolau, Nabih Feki, Jean Pierre Barbot„ Mohamed Slim Abbes,
Mohamed Haddar, "Detection of gear faults via a dynamical sparse recovery method"
Inter-national conference on Advances in Materials, Mechanics and Manufacturing (A3M), Hammamet-Tunisie, Décembre 2018.
Articles soumis dans des revues internationales
Wafa Torki, Syrine Derbel, Jean-Pierre Barbot, Lassaad Sbita "A novel FDI Sparse Recovery Method : Application on PMSG Wind Turbine", article soumis au Transactions of the Institute
of Measurement and Control.
Syrine Derbel, Florentina Nicolau, Nabih Feki, Jean Pierre Barbot, Mohamed Slim Abbes,
Séminaires et exposés
Syrine Derbel, Florentina Nicolau, Nabih Feki, Jean Pierre Barbot, Mohamed Slim Abbes,
Mohamed Haddar, "Gear faults detection" 26émejournée GDRMACS Nantes-France, Octobre 2018.
Syrine Derbel,"Ma thèse en 180 secondes" Troisième Edition de la Journée des Doctorants,
Laboratoire Quartz, ECAM-EPMI, France, Avril, 2018.
Syrine Derbel, Torki Wafa, Jean Pierre Barbot, "Fault Diagnosis via Sparse Recovery method :
Applications to mechatronics systems " Journée scientifique Quartz, Supméca, France,
Dé-cembre, 2018.
Syrine Derbel, Florentina Nicolau, Nabih Feki, Jean Pierre Barbot, Mohamed Slim Abbes,
Mohamed Haddar "Sparse Recovery method to faults detection" Séminaire Quartz, ENSEA,
France, Avril 2018, France.
Syrine Derbel, Nabih Feki, Florentina Nicolau, Jean Pierre Barbot, Mohamed Slim Abbes,
Mohamed Haddar "Diagnosis methods for mechatronic systems " Workshop Mechatronics
thèse
Le travail présenté dans ce mémoire résulte d’un partenariat entre le laboratoire QUARTZ de l’Ecole Nationale Supérieure d’Electronique et ses Applications (Université de Cergy-Pontoise) et le laboratoire LA2MP de l’École Nationale d’Ingénieurs de Sfax (Université de Sfax) dans le cadre d’une cotutelle qui a pour but de développer une méthode de diagnostic des défauts pour la main-tenance prédictive des systèmes mécatroniques en utilisant des méthodes basées sur des obser-vateurs. Cette thèse se place alors dans le cadre de diagnostic en ligne et du développement des solutions technologiques (au sens logiciel ou numérique) pour prévoir la présence d’une anomalie dans différents systèmes dynamiques.
La phase de diagnostic représente toujours un grand enjeu pour les industries étant donné l’uti-lisation fréquente des systèmes complexes dans de nombreuses applications industrielles. Cette complexité, provenant à la fois de l’association de différents domaines physiques (mécanique/ électrique/ optiques, etc) et de différentes technologies (numériques/analogiques), permet d’amé-liorer les performances et la productivité des systèmes. Cependant, elle augmente la nécessite de diagnostiquer les défauts afin de maintenir la sécurité, la continuité du fonctionnement des sys-tèmes, de réduire l’impact financier lié à la maintenance ainsi qu’à la réparation et de limiter les conséquences catastrophiques sur le plan des biens et des vies humaines.
des défauts qui permet d’estimer l’évolution temporelle des défauts et de déterminer ses caracté-ristiques (amplitude, profondeur, taille, etc). Le développement des méthodes de diagnostic pour atteindre ces trois phases de diagnostic a été l’objet de nombreux travaux de recherche. L’applica-tion des méthodes de diagnostic dans les industries dépend dans un premier temps, de la nature des données recueillies concernant le fonctionnement du système à surveiller et dans un deuxième temps, de la modélisation du système, si elle existe. Alors, les méthodes de diagnostic peuvent être classifiées selon la classe du système à étudié (linéaire/non linéaire) ou le type de diagnostic que nous souhaitons effectuer (en ligne/hors ligne) ou le régime de fonctionnement du système (ré-gime permanent/ré(ré-gime transitoire), etc. Cette thèse vise à développer une nouvelle méthode de diagnostic basée sur la modélisation des systèmes non linéaires pour l’analyse et la détection pré-coce des défauts pouvant affecter le fonctionnement normal des systèmes dynamiques. Elle sera appliquée à un système de transmission par engrenages.
Les systèmes mécatroniques tels que les transmissions mécaniques par engrenages entraînées par des moteurs à induction sont couramment utilisés dans les équipements disponibles dans le commerce et sont aussi fréquemment appliqués dans de nombreuses applications industrielles. Ils sont intégrés dans plusieurs systèmes de différents domaines tels que la robotique, les énergies re-nouvelables, les transports, etc. Les transmissions mécaniques par engrenages sont avantageuses grâce à leurs robustesses, leurs degrés élevés de fiabilité et leurs coûts réduits. Néanmoins, leur fonctionnement crée des vibrations qui perturbent le comportement dynamique des machines (chocs, arrêt du système...) et accélèrent la présence de défauts dans différents composants mé-caniques, particulièrement dans les engrenages. L’apparition de défauts dans les engrenages dimi-nue l’efficacité et la fiabilité des systèmes et conduit même l’arrêt de la production dans les cas extrêmes. Pour cela, plusieurs conditions sur la conception et les paramètres de défauts doivent être prises en considération dans de la modélisation des systèmes de transmission mécanique par engrenages afin de s’approcher au maximum du comportement réel du système.
La contribution de cette thèse consiste à combiner deux aspects importants : la modélisation analytique des systèmes mécatroniques, en particulier, d’un système de transmission mécanique par engrenages entrainé par un moteur asynchrone et le diagnostic des défauts mécaniques qui peuvent affecter le fonctionnement normal des engrenages. Premièrement, une nouvelle approche du couplage entre le moteur asynchrone et un train d’engrenages droits ou hélicoïdaux simple étage est proposée. Ce couplage est inspiré des travaux suivants développés dans la littérature,FEKIet al.
la prédiction du comportement dynamique du système mécatronique global (train d’engre-nages entrainées par un moteur asynchrone) est une tâche importante pour le diagnostic des dé-fauts pouvant affecter le système. Une deuxième contribution de cette thèse est l’application d’un observateur de type différenciateur homogène avec un exposant variable pour un système modéli-sant un train d’engrenages entrainé par un moteur asynchrone afin d’estimer, à partir de certaines mesures accessibles, l’évolution temporelle de tous les états du système. Nous avons choisi ce dif-férenciateur grâce à sa capacité de converger en temps fini et à sa possibilité d’adapter le gain du différenciateur par rapport aux bruits de mesures. Pouvoir estimer le comportement du système est une étape importante pour son diagnostic.
La troisième contribution de cette thèse qui consiste à développer une nouvelle méthode de diagnostic basée sur les observateurs, appelée reconstruction parcimonieuse, pour les systèmes dynamiques. Son principe général est inspiré des techniques d’acquisition comprimée utilisé dans le domaine du traitement d’images (compressive sensing en anglais). Sa particularité est d’offrir un diagnostic en ligne des défauts et d’avoir la possibilité de détecter, localiser et identifier les diffé-rents défauts qui peuvent intervenir dans des systèmes dynamiques à partir d’un seul algorithme. Cependant, la détermination du nombre de défauts qui peuvent se produire simultanément dé-pend essentiellement du nombre de mesures accessibles par les capteurs.
L’organisation en quatre chapitres retenue pour la présentation de ce manuscrit traduit la dé-marche suivie pendant les travaux de cette thèse. Le premier chapitre présente une étude biblio-graphique portante sur les méthodes de diagnostic déjà existantes dans la littérature. Nous com-mençons par donner une classification de ces méthodes basées sur la nature des données acquises sur le système. Nous distinguons deux grandes familles d’acquisition d’informations qui sont la redondance analytique et la redondance matérielle. Puis, nous présentons un rappel sur la mo-délisation des différents systèmes dynamiques tels que les systèmes linéaires et les systèmes non linéaires. Nous montrons comment la présence de différents défauts (du système, de capteurs, d’ac-tionneurs, etc) intervient dans cette modélisation. Ensuite, nous détaillons les différentes méthodes de diagnostic en les classant en trois sous-familles : à base de modèles temporels, à base de "mo-dèle" fréquentiel (traitement du signal) et guidées par les données (expériences souvent des tables). Nous présentons une synthèse du principe général des méthodes les plus populaires de chaque sous-famille, à savoir, l’estimation paramétrique, l’espace de parité, les filtres de Kalman-Bucy et les observateurs. Pour compléter cette étude, nous proposons la nouvelle approche de diagnostic appelée la reconstruction parcimonieuse.
machine diphasée équivalente avec des enroulements fictifs. Quant au modèle mécanique, il est fondé sur la théorie des petits déplacements superposés aux mouvements des corps rigides. Le comportement dynamique de chaque système est décrit par un système d’équations différentielles non linéaires unique présenté sous une représentation d’état et résolu par l’intégration du logiciel Matlab/Simulink. Une modélisation de la transmission par engrenages à deux étages est également détaillée. La deuxième partie de ce chapitre présente les différents défauts qui peuvent affecter le système moteur-engrenages, à savoir, les écarts de forme, les défauts de montages et les défauts localisés d’engrenages, et leurs influences sur le système global ainsi que leur modélisation dans les équations différentielles du système. La troisième partie de ce chapitre traite la synthèse des différents couplages effectués dans la littérature pour le train d’engrenages droits ou hélicoïdales entrainé par le moteur asynchrone. Pour compléter cette partie, le principe d’un nouveau couplage permettant d’obtenir les interactions entre les composants électriques et mécaniques sera présenté pour un réducteur simple étage et à deux étages. Les deux modélisations des systèmes de transmis-sion par engrenages à simple étage et à deux étages seront l’objectif d’une étude de cas présentée dans le quatrième chapitre. En effet, sur le système couplé du réducteur à engrenages simple étage avec le moteur asynchrone sera appliqué un nouveau différenciateur homogène avec un exposant variable pour l’estimation des différentes variables du système global pour le surveiller et le système du réducteur à engrenages à deux étages sera également utilisé pour illustrer les performances de la méthode de diagnostic proposée.
Le troisième chapitre du manuscrit présente en premier lieu, le principe de diagnostic par la reconstruction parcimonieuse pour les systèmes dynamiques non linéaires (une représentation d’état du système est donc utilisée). Différentes conditions théoriques pour l’adaptation de cette méthode au concept de diagnostic sont alors présentées. Une étape nécessaire pour appliquer la reconstruction parcimonieuse est l’estimation des dérivées de mesures. Une synthèse sur les dif-férenciateurs des modes glissants ceci inclut la représentation du nouveau différenciateur nommé le différenciateur homogène avec un exposant variable est également présentée dans la deuxième partie de chapitre. L’originalité de ce travail consiste à appliquer ce type d’observateur à un système mécatronique. En effet, à notre connaissance, c’est la première fois qu’un différenciateur homogène avec un exposant variable est appliqué à un système de transmission d’engrenages. Un des pro-blèmes principaux est la différence de dynamiques (lentes/rapides) entre ces deux sous-systèmes qui rend le choix des paramètres du différenciateur très délicat pour obtenir une convergence pré-cise entre les valeurs réelles du système et les valeurs estimées données par l’observateur. En effet, le différenciateur homogène à modes glissants avec un exposant variable est utilisé pour estimer les différents états du système à partir de mesures accessibles par les capteurs afin de prédire le comportement dynamique du système global et d’illustrer les bonnes propriétés du couplage mé-catronique réalisé.
CHAPITRE 1 : État de l’art sur le
diagnostic
Sommaire
1.1 Introduction . . . . 7
1.2 Classification des méthodes de diagnostic . . . . 7
1.2.1 Redondance matérielle et analytique . . . 8
1.2.2 Diagnostic à base d’un modèle . . . 9
A Diagnostic par les méthodes déterministes . . . 11
B Diagnostic par les méthodes stochastiques . . . 26
1.2.3 Diagnostic par traitement du signal . . . 28
A Diagnostic par les méthodes temporelles . . . 29
B Diagnostic par les méthodes fréquentielles . . . 29
C Diagnostic par les méthodes temps-fréquence . . . 30
1.2.4 Diagnostic par les méthodes guidées par les données . . . 31
A Diagnostic par la logique floue . . . 31
B Diagnostic par les réseaux de neurones. . . 32
1.3 Arbre de décision des méthodes diagnostic. . . 33
1.1 Introduction
Le besoin d’exigences très importantes concernant les performances des systèmes dans les ap-plications industrielles et l’automatisation des différents procédés amènent à placer de plus en plus de capteurs et d’actionneurs. Cependant, ces derniers peuvent être affectés par des défauts ou des changements anormaux du comportement habituel, ce qui diminue les performances et la produc-tivité dans les industries. Alors, la phase de maintenir la sécurité et la fiabilité des systèmes indus-triels est devenue un défi important que tous les industries cherchent à l’atteindre. Dans les années récentes, la tâche d’anticiper les différents défauts existants dans les systèmes industrielles, appelée la phase de diagnostic, a été l’objectif de plusieurs travaux de recherchesCHAARIet al.[2008a]ERIKI
et al.[2012],LUet al.[2017a], etc. Elle est parmi les phases les plus importantes dans la vie d’un
pro-cessus industriel, d’un moyen de transport, d’un système biologique ou encore durant l’activité de tous servicesFREYERMUTH[1991]CHIANGet al.[2000]. La présence des défauts (mécaniques,
élec-triques, thermiques etc) perturbe fortement le fonctionnement et le comportement dynamique du système. Dans ce contexte, plusieurs méthodes de diagnostic ont été proposées. Elles contribuent à assurer principalement la maintenance préventive qui consiste à prévoir l’existence de défauts le plus tôt possible pour garantir une bonne sécurité et continuité du fonctionnement de l’entreprise et éviter les lourdes conséquences comme l’arrêt de la machine et la baisse de la production. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle méthode de diagnostic des systèmes dynamiques non li-néaires qui est basée sur un algorithme d’acquisition comprimée bien connue en traitement du signalCANDESet al.[2007].
Dans ce chapitre, nous présentons une classification de certaines méthodes de diagnostic déjà existantes dans la littérature en se basant sur la nature des connaissances requises. Nous distin-guons essentiellement deux grandes familles : la redondance analytique et la redondance maté-rielle. Nous présentons le principe général des méthodes les plus populaires de chaque famille. La nouvelle méthode de diagnostic proposée dans la thèse (la reconstruction parcimonieuse) fait par-tie de la famille de la redondance analytique. Elle est basée sur la modélisation du système en fonc-tionnement sain et foncfonc-tionnement avec défauts. Nous expliquons dans la Section A.3 son principe général, elle sera présentée en détails dans le Chapitre 3.
1.2 Classification des méthodes de diagnostic
Plusieurs travaux présentent un état de l’art détaillé des différentes méthodes de diagnostic existantes (citons parmi les travaux les plus récents HWANG et al. [2010], MOUZAKITIS[2013] et
méthodes de diagnostic reposant sur la nature des connaissances requises est proposée (voir Fi-gure.1.1).
FIGURE1.1 – Classification des méthodes de diagnostic.
Nous distinguons deux grandes familles :
— les méthodes à base de redondance matérielle,
— les méthodes à base de redondance analytique.
1.2.1 Redondance matérielle et analytique
Le concept de redondance matérielle consiste à multiplier le nombre de capteurs (voir la Figure
1.2, où les capteurs du type (1, ..., n) représentent les capteurs redondants) pour vérifier la présence ou l’absence d’un défaut ainsi que pour isoler le capteur ou/et l’élément défectueuxECKHARDT
et al.[1991],BALJAKet al.[2012], etc. Cette redondance peut être aussi appliquée aux processeurs ou/et logiciels du système. Un principe de décision est ensuite développé sur les mesures redon-dantes pour décider de l’apparition ou de l’absence d’un défaut. La redondance matérielle est mise en œuvre essentiellement pour les systèmes à hauts risques par exemple les centrales nucléaires ou les avions dans lesquelles une redondance des actionneurs est aussi nécessaire pour assurer un fonctionnement minimal en cas de défaillancesBLANKEet al.[2006]. L’avantage de cette méthode
apparaît dans sa simplicité et sa fiabilité. Cependant, son coût élevé, résultant de l’utilisation de capteurs redondants, présente une limitation de son domaine d’applications
ainsi générées pour le diagnostic (voir la Figure.1.2).
FIGURE1.2 – La redondance matérielle et analytique.
La redondance analytique est classiquement divisée en trois axes comme le montre la Figure.1.3: les méthodes basées sur un modèle, les méthodes basées sur le traitement du signal et les méthodes guidées par les données. Nous présentons ensuite ces trois sous-familles.
1.2.2 Diagnostic à base d’un modèle
L’idée générale des méthodes basées sur un modèle repose sur la comparaison entre le fonc-tionnement réel du système et le foncfonc-tionnement estimé obtenu à partir d’un modèle qualitatif et/ou quantitatif établi. En général, les modèles mathématiques des systèmes dynamiques sont ob-tenus en appliquant les lois fondamentales de la physique ou sont issus d’une combinaison entre ces lois et le traitement d’entrées et de sorties appelée également modèle en boite noire ou modèle en boite grise1. Ces modèles sont généralement représentés sous la forme d’un modèle d’état. Dans ce travail, nous distinguons deux grandes catégories : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques (voir la Figure.1.3).
Avant la représentation de ces méthodes, nous rappelons le concept de la représentation d’état :
Représentation d’état. La majorité des systèmes dynamiques peuvent être modélisés, à travers des
équations différentielles, en décrivant la dynamique de leurs variables. Cette représentation s’ap-pelle la représentation d’état et permet de déterminer les états du système à n’importe quel ins-tant futur à condition qu’on connaît l’état à l’insins-tant initial et le comportement des variables exo-gènes qui influent sur le système (par exemple les actions externes choisies par l’utilisateur, appe-lées entrées ou commandes) . La représentation d’état peut être linéaire, non-linéaire, continue ou discrète, elle dépend de la complexité du système dynamique ainsi que des hypothèses prises en compte lors de la modélisation. Le comportement de beaucoup de systèmes dynamiques en temps
FIGURE1.3 – La redondance analytique.
continu peut être décrit par la représentation d’état suivante (qui exclut les systèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles, les systèmes à retard et les systèmes stochastiques, voir par exemple, quelques travauxCOURANTet HILBERT[2008],AGGOUNEet al.[2015]NICOLAUet al.
[2018] pour ces types des systèmes) :
˙ x(t ) = f (t , x(t )) +Pp i =1gi(t , x(t ))ui(t ) y(t ) = h(t , x(t )) +Pp i =1`i(t , x(t ))ui(t ) (1.1)
où x ∈ Rn est le vecteur d’état, u ∈ Rp est le vecteur de commande et y ∈ Rm est le vecteur de me-sures, f , gi, 1 ≤ i ≤ p représentent respectivement les champs de vecteur d’état et de commande,`i
est l’influence de la commande sur la mesure et h = (h1, . . . , hm)Test la vecteur de mesures. Si f ou gi, pour certains 1 ≤ i ≤ p, dépendent explicitement du temps t, le système est considéré
dépen-dant du temps. Une façon classique de le rendre indépendépen-dant du temps est d’introduire l’équation supplémentaire :
˙
x0(t ) = 1
Le système ainsi obtenu aura n + 1 états et il sera de la forme suivante :
˙ X = F(X) +Pp i =1Gi(X)ui Y = H(X) +Pp i =1Li(X)ui (1.2) où X = x x0 ∈ Rn+1, F(X) = f (x, x0) 1 , Gi(X) = gi(x, x0) 0 , H(X) = h(x, x0) et Li(X) =`i(x, x0). Remar-quer que le nombre de commandes et de mesures ne change pas. Afin de simplifier les notations, dans le reste du chapitre, le système (1.1) sera supposé indépendant du temps.
Les systèmes dynamiques les plus simples sont ceux pour lesquels la dynamique (c’est à dire le terme f (x) +Pp
rapport à l’état et la commande : ˙ x = Ax + Bu y = Cx + Du (1.3)
où A ∈ Mn,n(R), B ∈ Mn,p(R), C ∈ Mm,n(R) et D ∈ Mm,p(R). Un système de la forme (1.3) est appelé
linéaire.
Représentation d’état en tenant compte de défauts. L’apparition des défauts et des
perturba-tions dans les systèmes dynamiques est un phénomène inévitable et modifie évidement leur com-portement dynamique. Ils sont modélisés par l’extension suivante de la représentation (1.1)
˙ x = f (x) +Pp j =1gj(x)uj+ Pr j =1aj(x)dj+ Pq j =1αj(x)pj yi= hi(x) +Ppj =1`i j(x)uj+ bi(x)si+Pqj =1βi j(x)pj 1 ≤ i ≤ m, (1.4)
où dj, 1 ≤ j ≤ r sont les défauts du système, si, 1 ≤ i ≤ m représentent les défauts de capteurs, pj, 1 ≤ j ≤ q, sont les perturbations qui peuvent agir sur le système et les mesures. Les champs de
vecteurs aj(respectivement,αj) montrent comment les défauts (respectivement, les perturbations)
agissent sur la dynamique du système et ils sont supposés connus. Les fonctions bi(respectivement
βi j) sont associés aux mesures et montrent comment les défauts de capteurs (respectivement, les
perturbations) agissent sur les sorties. De même que les aj etαj, tous les bi etβi j sont supposés
connus.
En général, les défauts si et dj dépendent du temps. Évidemment si un défaut est
identique-ment nul, alors il n’agit pas sur le système. D’autre part, si dj(t ) = 0, pour t ≤ tj, et dj(t ) 6≡ 0 pour t ≥ tj, (avec, en particulier, dj(tj) 6= 0), alors tj est l’instant à partir du quel le défaut djcommence
à agir sur le système. Détecter la présence d’un défaut si ou/et dj consiste principalement à
dé-terminer son temps d’apparition tj. Quant à localisation de défauts, elle permet de déterminer le
capteur défectueux yi pour un défaut de capteur si et/ou l’élément défectueux du système pour
un défaut du système dj. Finalement, l’identification de ces défauts consiste à déterminer leurs
caractéristiques, c’est à dire, l’allure des défauts siou/et dj, 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ r .
A Diagnostic par les méthodes déterministes
cette méthode.
A.1 Diagnostic basé sur l’espace de parité Le principe général de l’espace de parité est de vérifier la cohérence des estimations données par le modèle avec les mesures issues de capteurs. Cette vérification est généralement effectuée par la méthode de génération de résidus. En effet, en cas d’absence de défauts, le résidu tend vers zero ou converge vers une certaine valeur, inférieure à la valeur seuil. Cependant, si le résidu dépasse la valeur seuil fixée, cela signifie qu’un défaut est produit dans le système. Le diagnostic par l’espace de parité a été utilisé dans plusieurs applications industrielles (GUERNEZet al.[1997],HAFAIFAet al.[2015], etc). Citons l’exemple présenté dansHAN
et al.[2018] où cette méthode de diagnostic est appliquée pour estimer les défauts d’un quadrotor d’un véhicule aérien sans pilote. DansCUIet SUN[2019], l’espace de parité est utilisé pour la dé-tection et l’isolation des défauts de capteurs dans un actionneur électromécanique. Cette méthode est généralement adaptée pour les systèmes linéaires continus.
Considérons le système linéaire continu suivant :
˙ x = Ax + Bu + Dxd + Pxp y = Cx + Lu + Dyd + Pyp (1.5)
où x ∈ Rn, u ∈ Rp, y ∈ Rm, d ∈ Rr, p ∈ Rl représentent, respectivement, les vecteurs d’états, de commande, de mesures, de défauts et de perturbations. Dans ce cas, les matrices A, B, C, L, Px,
Py, Dx et Dy sont des matrices réelles, constantes et de dimensions appropriées. Cette méthode
consiste à réécrire les équations d’états et de mesures de façon à faire apparaître uniquement les variables connues du système. Plus précisément, pour éliminer l’état x de l’équation : y = Cx +Du + Pyp + Dyd , il faut trouver w ∈ Rm non nul tel que wTC = 0.
Nous itérons cela sur une profondeur k, où k est l’ordre des relations de parité, il est démontré dansDINGet al.[1999] que l’ordre minimum des relations de parité représente le plus petit indice
Qd= Dy 0 · · · 0 CDx Dy · · · 0 CADx CDx . .. 0 .. . ... . .. ... CAk−1Dx CAk−2Dx · · · CDx Dy , Qp= Py 0 · · · 0 CPx Py · · · 0 CAPx CPx . .. 0 .. . ... . .. ... CAk−1Px CAk−2Px · · · CPx Py , T = C CA .. . CAk et ¯p(t ) = p p(1) .. . p(k) .
En se référant à (1.6), le vecteur de résidu r (t ) est défini :
r (t ) = WT[ ¯y(t ) − Quu(t )]¯ (1.7)
où W est choisi tel que WTT = 0 et il est appelé le vecteur de parité. Remarquer que W n’est pas unique (il appartient au noyau de T, nommé aussi espace de parité). Le vecteur de parité W est fixé de manière à ce que le résidu soit le plus performant possible (sensible aux défauts) et le plus robuste possible (insensible aux perturbations). Alors, le choix idéal du vecteur de parité est de vérifier les conditions suivantes :
WQp= 0 WQd6= 0 (1.8)
Les relations (1.8) montrent que les perturbations doivent être découpler. Ceci peut être effectué en appliquant des critères de découplage pour le vecteur de parité (voirSIFI[2015] pour plus de détails) ou bien en supposant que les perturbations sont à valeur moyenne nulle et seront ensuite filtrées.
La méthode de l’espace de parité facilite l’analyse des données, c’est à dire que l’isolation des défauts est souvent possible. De plus, elle offre une connaissance sur le diagnostic des défauts en découplant la connaissance sur le système (en éliminant les états). Néanmoins, cette méthode de diagnostic prend en compte uniquement les défauts et les incertitudes additives (dans (1.5), les per-turbations et les défauts qui agissent sur le système sont introduites à travers des termes additives). De plus, cette méthode est mal adaptée pour les non linéarités des systèmes physiques.
nais-sance au diagnostic à base d’observateurs. Le diagnostic basé sur les observateurs est une tech-nique très populaire et très utilisée dans différents domaines d’applicationsFRANK [1987], GUO
et al.[2006],OLIVIERet al.[2014],ZHONGHAIet al.[2018], etc. Les observateurs (appelés aussi des capteurs logiciels) sont des algorithmes basés sur le modèle du système et utilisent l’information donnée par les capteurs physiques afin d’estimer les états d’un système à partir de ses commandes (les entrées) et de ses sorties réelles accessibles par les capteurs (les mesures). Une comparaison entre la sortie reconstruite par les observateurs et la sortie réelle du système est ainsi possible en définissant un vecteur résidu (voir la Figure.1.4).
FIGURE1.4 – Principe d’un observateur.
Dans ce cas, le résidu représente généralement l’écart entre les deux sorties du système (la sor-tie estimée et la sorsor-tie réelle) qui doit être non-nul en présence des défauts afin de les détecter et les isoler. Avant d’entamer une démarche de conception des observateurs, il est nécessaire de vérifier si à partir des informations acquises des entrées et des sorties du système, les états de ce dernier peuvent être estimés. Cette propriété s’appelle observabilité. Pour les systèmes linéaires, l’obser-vabilité est une propriété globale (voir, par exemple,KREINDLERet SARACHIK[1964]). Pour les sys-tèmes non linéaires, différentes notions d’observabilité existent (voirHERMANNet KRENER[1977]).
Nous utilisons ici l’observabilité locale, faible. Une condition nécessaire pour pouvoir construire un observateur est le fait que le système soit observable. Dans la suite, nous présentons une syn-thèse sur les outils de base concernant la théorie de l’observation pour les systèmes linéaires et les systèmes non linéaires.
A.2.1 Notions d’observabilité
Considérons le système de contrôle non linéaire suivant :
où x(t ) ∈ Rn, u(t ) ∈ Rpet y(t ) ∈ Rm est la sortie du système, f est un champs de vecteur suffisam-ment lisse et hi, 1 ≤ i ≤ m sont les mesures du système.
L’observabilité consiste à déterminer, à chaque instant du temps, l’état du système (1.9). L’état
x(t ) est également appelé trajectoire du système. Chaque trajectoire dépend de l’instant initial t0, de l’état initial x(t0) et de commande à chaque instant u(t ). Dans la suite, nous notons x(t , x0, u(t )) la trajectoire du système associée à u(t ), issue de x0(c’est à dire qui vérifie x(t0) = x0). On suppose qu’une trajectoire existe pour tout t ∈ [t0, t0+ T[ où T > 0 est un horizon temporel éventuellement infini.
L’observabilité consiste à distinguer deux trajectoires (distinctes) issues des conditions initiales distinctes.
Définition 1.2.1 (Distinguablité) Deux états initiaux x0, ˜x0∈ Rnavec x06= ˜x0sont dits distinguables
si ∃t ≥ 0 et ∃u : [0, t] ∈ Rpune entrée admissible, telle que les trajectoires des sorties issues des deux états x0et ˜x0restent dansRnsur l’intervalle [0, t ], et satisfont la condition suivante :
y(t , x0, u(t )) 6= y(t, ˜x0, u(t ))
Réciproquement, nous définissons l’indistinguabilité :
Définition 1.2.2 (Indistinguablité) Deux états initiaux x0, ˜x0 ∈ Rn avec x06= ˜x0 sont dits
indistin-guables si, ∀t ≥ 0 et ∀u : [0, t] ∈ Rp, les trajectoires des sorties issues des deux états x0et ˜x0 restent
dansRnsur l’intervalle [0, t ], et satisfont la condition suivante :
y(t , x0, u(t )) = y(t , ˜x0, u(t ))
En se basant sur les définitions1.2.1et1.2.2, il est possible de définir la notion d’observabilité d’un système en tout point deRn.
Définition 1.2.3 (Observabilité globale) Le système (1.9) est observable en x1∈ Rnsi pour tout autre
état x26= x1, les deux états x1, x2sont distinguables dansRn. Par extension, si cette dernière condition
est vraie pour tout x1∈ Rn, alors le système est observable. — Notion d’observabilité pour les systèmes linéaires
L’observabilité pour les systèmes linéaires a été étudiée depuis les années 60, citons, par exemple,
KALMANet BERTRAM[1960],HAUTUS[1970],MÜLLERet WEBER[1972],MOORE[1981], etc.
Considé-rons le système dynamique linéaire suivant :
où x ∈ Rn, u ∈ Rp, y ∈ Rm. La matrice d’observabilitéO du système (1.10) est définie en fonction de la matrice d’observation et des puissances successives de la matrice d’état A comme suit :
O = C CA .. . CAn−1 (1.11)
Théorème 1.2.1 (Critère de KalmanKALMANet BERTRAM[1960])
Le système (1.10) est observable si et seulement si le rang de la matrice d’observabilitéO, donnée par
(1.8), est égal à la dimension du système, c’est à dire :
r ang (O) = n (1.12)
La relation (1.12) du Théorème1.2.1 est aussi appelée condition du rang. Si r ang (O) = k < n, alors le système (1.10) n’est pas observable. L’espace d’observabilité est de dimension k et il est k-observable (c’est à dire k directions parmi n peuvent être estimées). Pour les systèmes de contrôle linéaires, l’observabilité ne dépend pas de la commande (c’est à dire, si le système est observable pour une commande donnée u alors il sera observable pour tout u). Cette propriété n’est plus sa-tisfaite dans le cas des systèmes non linéaires. De plus, en pratique nous n’avons pas besoin de distinguer chaque trajectoire sur l’ensembleRn(c’est à dire, d’être globalement observable) et pour tout intervalle de temps [t0, t0+T[. Pour cela, dans le cas des systèmes non linéaires, on utilise plutôt l’observabilité locale faible.
— Notion d’observabilité pour les systèmes non linéaires
Concernant les systèmes non linéaires, contrairement aux systèmes linéaires, il n’existe pas de dé-finition universelle pour l’observabilité. En outre, elle dépend des entrées du système, voir par exempleKOU et al.[1973], HERMANNet KRENER [1977],KRENER et RESPONDEK [1985], DIOP et
FLIESS[1991],GAUTHIERet KUPKA[1994],BOUTATet al.[2004] etc. Nous envoyons le lecteur àHER
-MANNet KRENER[1977] pour différentes définitions de l’observabilité (locale, globale, etc) pour les
systèmes non linéaires. Nous rappelons ici les notions d’observabilité locale et d’observabilité lo-cale faible.
Définition 1.2.4 (Observabilité locale) Le système (1.9) est dit localement observable en x1si, pour
tout voisinage Vx1de x1, l’ensemble des états indistinguables de x1dans Vx1 se réduit au singleton x1.
Définition 1.2.5 (Observabilité locale faible) Le système (1.9) est localement faiblement observable
en x1s’il existe un voisinage ouvert Vx1de x1tel que pour tout voisinage ouvert Vx01⊂ Vx1, l’ensemble
des états indistinguables de x1dans Vx01se réduit au singleton x1. Alors, le système (1.9) est dit
locale-ment faiblelocale-ment observable s’il est localelocale-ment faiblelocale-ment observable pour tout x1∈ Rn.
Exemple
Prenons l’exemple suivant :
˙ x = u y1= cos(x), y2= sin(x) (1.13)
Pour tout x0∈ [0, 2π[, on remarque que chaque état x0est distinguable des autres états. Alors le sys-tème est localement observable. Cependant, deux états distincts x1et x1+ 2π sont indistinguables, par conséquent le système (1.13) n’est pas globalement observable surR.
N
Nous présentons ensuite une condition du rang permettant de vérifier si le système est locale-ment faiblelocale-ment observable. Cette condition est l’analogue du critère de Kalman pour les systèmes linéaires. Nous aurons besoin de la notion de dérivée de Lie.
Définition 1.2.6 (La dérivée de Lie) La dérivée de Lie d’une fonction réelle h(x) dans la direction du
champ de vecteur f s’exprime comme suit :
Lfh = f1 ∂h ∂x1+ f2 ∂h ∂x2+ · · · + fn ∂h ∂xn (1.14)
Lfh est appelé la dérivée de Lie de la fonction h dans la direction de f .
Pour une entrée u constante, les dérivées de Lie successives de la mesure yi, 1 ≤ i ≤ m peuvent
être calculées comme suit :
˙ yi(t ) = d hi(x(t )) d t = ∂hi(x(t )) ∂x d x d t = d hi(x(t )) d x fu(x(t )) = Lfuhi(x(t )) (1.15) .. . yi( j )(t ) = Lfu(L j −1 fu hi(x(t )) = ∂Lj −1f u hi(x(t )) ∂x fu(x(t )) = L j fuhi(x(t )) (1.16) où Ljf
uhi(x(t )), 1 ≤ i ≤ m, est appelé la dérivée de Lie d’ordre j de la fonction hi le long du champs
de vecteurs fu= f (x, u) pour j ≥ 1 (par convention L0f
uhiest égale à hi).
Nous définissons l’espace d’observabilitéO du système (1.9), comme étant le plus petit sous-espace vectoriel contenant toutes les composantes hi, 1 ≤ i ≤ m, et qui est fermé par rapport à
la dérivation de Lie le long de tous les champs de vecteurs f (x, u) = fu(x), où u ∈ Rp est supposé
constant (c’est à dire, pour toutϕ ∈ O(h), alors Lfuϕ ∈ O, pour tout u ∈ R
O(h) = vectR{Lfuk. . . Lfu2Lfu1hi, 1 ≤ i ≤ m,k ≥ 0,ui∈ Rp} (1.17)
À l’espaceO(h), nous associons la co-distribution :
dO(h) = Span{dϕ,ϕ ∈ O} (1.18)
L’observabilité locale faible pour les systèmes non linéaires peut être vérifiée à l’aide de condi-tion du rang (voir, par exemple,SONTAG[1984],OUEDER[2012] pour plus de détails) :
Théorème 1.2.2 Le système (1.9) est localement faiblement observable en x ∈ Rn, si
r ang (dO)|x= n (1.19)
La vérification de la condition d’observabilité est une étape indispensable pour la conception des observateurs. Par la suite, nous supposons, sauf indications contraires, que les systèmes sont observables. Nous présentons, sans prétention à l’exhaustivité, les observateurs les plus populaires de la littérature. En effet, selon la modélisation établie pour le système dynamique (pour lequel nous réalisons le diagnostic), nous distinguons deux catégories : les observateurs appliqués aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéaires.
1− Diagnostic basé sur les observateurs pour les systèmes linéaires
Depuis les années 70, les observateurs pour les systèmes linéaires ont attiré beaucoup d’attention (voir, par exempleBEARD[1971],PATTONet CHEN [1997], GERTLER[2017]). Ils sont utilisés dans de nombreuses applications pour le diagnostic et la surveillance de l’évolution des systèmes dyna-miquesCHENet al.[1996a],DUANet PATTON[2001].
a) Diagnostic basé sur l’observateur de Luenberger
Pour les systèmes linéaires déterministes, l’observateur de Luenberger est un des observa-teurs les plus employésDUANet PATTON[1998],CHENet al.[2013], etc. Il ne prend pas en
compte explicitement les bruits de mesures et les fluctuations aléatoires des variables d’états. Son principe de construction consiste à ajouter un terme correctif qui dépend de la sortie et de son estimation : ˙ˆx(t) = A ˆx(t) +Bu(t)+L(y(t)− ˆy(t)) ˆ y(t ) = C ˆx(t ) + Du(t) (1.20)
où ˆx(t ) et ˆy(t ) sont, respectivement, les vecteurs d’état et de sorties estimés, L ∈ Mn,mest la
matrice de gain de l’observateur, choisie en fonction des performances souhaitées pour l’er-reur d’observation e(t ) = y(t ) − ˆy(t). La matrice de gain doit notamment garantir que l’erl’er-reur d’observation tend vers zéro pour t assez grand.
en fonction de l’erreur d’observation e(t ) = y(t ) − ˆy(t). Pour un système linéaire de la forme (1.5) et pour l’observateur (1.20) associé à (1.5), le vecteur de résidu est définit comme suit :
r (t ) = Ce(t ) + Pyp + Dyd (1.21)
Comme expliqué précédemment dans la Section A.1, la détection des défauts est possible en fonction de la valeur du résidu et de la valeur seuil fixée. La principale difficulté est de déter-miner le seuil ks. Deux scénarios peuvent se produire et ils sont traduit mathématiquement
par le système logique suivant :
r (t ) < ks, si d (t ) = 0 r (t ) > ks, si d (t ) 6= 0 (1.22)
où ksest la valeur seuil fixée.
Parmi les applications de l’observateur de Luenberger, nous citonsTRAJINet al.[2008] où il est utilisé pour la détection des défauts de roulements dans les moteurs asynchrones. Dans
RAWIAet al.[2016], ce type d’observateur est exploité pour la détection des défauts dans les
chemins de fer. DansJAINet al.[2017], l’observateur de Luenberger a été appliqué pour le diagnostic dans les convertisseurs photovoltaïques DC − DC, etc.
Ce type d’observateur est connu par sa simplicité mais son inconvénient majeur est son temps de calcul du à son ordre plein (d i m( ˆx) = d i m(x) = n) ainsi que la sensibilité aux
pertur-bations (ce problème a été étudié dansCHENet al.[1996b] pour obtenir un résidu insensible aux perturbations, en vérifiant certaines conditions).
b) Diagnostic basé sur l’observateur à entrées inconnues
Le principe de l’observateur à entrées inconnues (BHATTACHARYYA [1978], HOU et MULLER
[1992], DAROUACH et al.[1994], etc) consiste à générer un résidu qui découple les perturbations.
Ces dernières sont généralement dûes à l’environnement ou/et aux incertitudes de mesures. Dans un contexte de diagnostic, le résidu ainsi créé est censé être à la fois robuste aux perturbations inconnues et sensible aux défauts.
Considérons le système dynamique (1.23), en présence des perturbations et des défauts comme suit : ˙ x(t ) = Ax(t ) + Bu(t) + Pxp(t ) + Dxd (t ) y(t ) = Cx(t ) + Dyd (t ) (1.23)
où x ∈ Rn, u ∈ Rp, y ∈ Rm, d ∈ Rret p ∈ Rl sont, respectivement, les vecteurs d’état, de commande, de mesures, de défauts et de perturbations. A, B, C, Px, Dx et Dy sont des matrices constantes,
La structure d’un observateur à entrées inconnues d’ordre plein est la suivante : ˙ z(t ) = Fz(t ) + TBu(t) + Ly(t) ˆ x(t ) = z(t ) + Ky(t) (1.24)
où ˆx(t ) ∈ Rnest l’état estimé, z(t ) ∈ Rnest l’état d’ordre plein de l’observateur, F, T, L et K sont des matrices de dimensions appropriées construites de façon à obtenir un résidu sensible aux défauts
d (t ), robuste par rapport aux perturbations p(t ), et qui converge vers zéro en fonctionnement sain
(c’est à dire quand d (t ) = p(t ) = 0), voirCOMBASTEL[2018]. Le principe de ce type d’observateur est
donné dans la Figure1.5(où le bloc 1/s représente un intégrateur).
FIGURE1.5 – Structure d’un observateur à entrées inconnues.
Afin de bien choisir les matrices de l’observateur (1.24), nous développons l’équation différen-tielle de l’erreur d’estimation (e(t ) = x(t ) − ˆx(t)), nous obtenons :
˙
e(t ) = Ax(t ) + Bu(t) + Pxp(t ) + Dxd (t ) − Fz(t) − TBu(t) − Ly(t) − K ˙y(t) (1.25)
En découplant arbitrairement L = L1+ L2et en remplaçant Ly(t ) par L1Cx(t ) + L2y(t ) dans (1.25), nous obtenons :
˙
e(t ) =(A − L1C − KCA)e(t) + (A − L1C − KCA − F)z(t)+
(B − TB − KCB)u(t) + (Dx− KCDx− L1Dy)d (t ) − KDyd (t )˙
(Px− KCPx)p(t ) + (K(A − L1C − KCA) − L2)y(t ) (1.26)
En tenant compte des relations précédentes, la dynamique de l’erreur devient :
˙
e(t ) = Fe(t ) + (Dx− KCDx− L1Dy)d (t ) − KDyd (t )˙ (1.27)
DansCHENet al.[1996b], des conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’un observa-teur à entrées inconnues pour le système (1.23) sont données.
Pour l’observateur à entrées inconnues, le vecteur des résidus est défini de telle sorte qu’il soit sensible uniquement aux défauts d (t ). Il dépend essentiellement de l’erreur d’estimation e(t ) dont la dynamique est décrite par (1.27), et qui, sous l’hypothèse que F est stable, converge vers zéro même en présence de perturbations :
r (t ) = Ce(t ) + Dyd (t ) (1.28)
Les observateurs à entrées inconnues peuvent également estimer l’espace d’état d’un système en dimension réduite (par exemple z(t ) ∈ Rq, avec q < n). Dans ce cas, ces observateurs sont appe-lées observateurs à entrées inconnues d’ordre réduitFRANK[1994]. Le travailYANGet WILDE[1988] montre que les observateurs d’ordre réduit présentent une moins bonne convergence que ceux d’ordre plein et une plus grande sensibilité aux bruits de mesures.
L’observateur à entrées inconnues est aussi réalisable pour les systèmes non linéaires qui peuvent être linéarisés autour d’un point d’équilibre2. Cependant, le comportement de certains modèles dynamiques linéarisés diverge du fonctionnement normal du système réel. Alors, des observateurs adaptés aux systèmes non linéaires ont été proposés (voir, par exemple,DEPERSISet ISIDORI[2001],
PERRUQUETTIet BARBOT[2002a] etYANet EDWARDS[2007] et les références citées dans ces articles).
2- Diagnostic basé sur les observateurs pour les systèmes non linéaires
La complexité et la recherche des performances des systèmes industriels créent souvent des non linéarités et une non stationnarité dans leur comportement dynamique, ce qui a incité les cher-cheurs à développer des méthodes de diagnostic pour la surveillance des systèmes non linéaires
FARZAet al.[2004],BESANÇON[2007], etc.
En premier lieu, les travaux de recherche se sont dirigés vers la conception des observateurs pour une classe des systèmes non linéaires dont la dynamique d’erreur peut être linéarisée par une transformation d’état. Cette transformation permet d’avoir des non linéarités dans le système dynamique non linéaire d’origine qui dépend uniquement des entrées et des sorties mesurables du système. Cependant, l’application de ce principe est limitée à une classe réduite de systèmes non linéairesKRENERet ISIDORI[1983],XIAet GAO[1989].
En second lieu, d’autres types d’observateurs pour différentes classes de systèmes non linéaires sont développés, à savoir les systèmes continus ou discrets, etc (voir, par exemple,FRANK[1987],
2. Le point d’équilibre d’un système ˙x = f (x, u) est l’ensemble des points xe,ue tels que la dynamique
GARCIAet FRANK[1997] ) en présentant des approches différentes et parfois complémentaires. Dans les prochains paragraphes, nous présentons uniquement deux observateurs non linéaires fréquemment utilisés : l’observateur à grand gain et l’observateur à mode glissant. Pour simplifier, nous considérons le cas des systèmes non linéaires affines par rapport aux entrées :
˙ x = f (x) +Pp i =1gi(x)ui y = h(x) (1.29)
où x ∈ Rn, u ∈ Rpet y ∈ Rm, f , g , et h sont supposées suffisamment lisses.
a) Diagnostic basé sur l’observateur à grand gain
Les observateurs à grand gain ont été introduits dans les années 90 par BORNARDet HAM
-MOURI[1991] etESFANDIARIet KHALIL[1992] pour les systèmes non linéaires. Ils prennent
en compte généralement la non linéarité et la non stationnarité des systèmes industriels et offrent, en même temps, une bonne estimation des variables d’états avec un réglage aisé du vecteur gain. La caractéristique principale de cet observateur réside dans la facilité de son implémentation. Sa conception est basée sur la structure non linéaire du système qui doit être présentée sous la forme canonique d’observabilitéZEITZ[1990].
Avant de présenter la synthèse d’observateur à grand gain, quelques définitions doivent être rappelées :
Définition 1.2.7 (Observabilité uniformeGAUTHIERet al.[1992])
Un système est dit uniformément observable pour toute entrée définie sur un intervalle de temps fini, si son état initial est uniquement déterminé en fonction de l’entrée et de la sortie. Il sera donc observable pour toute l’entrée.
Définition 1.2.8 (Indices d’observabilitéKRENERet RESPONDEK[1985] )
Soit le système suivant :
˙ x = f (x), x ∈ Rn yi= hi, 1 ≤ i ≤ m (1.30)
Le système (1.30) est observable en x0(l’état initial de (1.30)) si ∃ un voisinage V de x0et
m-entiers (ρ1, . . . ,ρm) tels que :
(i) ρ1≤ ρ2≤ . . . ≤ ρm≤ 0 etPmi =1ρi= n.
(ii) Après une permutation des hi, si nécessaire, les n vecteurs {d Lj −1f hi, 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ ρi} sont linéairement indépendants, pour tout x ∈ V.
(iii) Si (k1, . . . , km) satisfait i ) et si après un permutation des hi, si nécessaire, les n vecteurs
{d Lj −1f (hi), 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ ki} sont linéairement indépendants pour certains x ∈ V alors (k1, . . . , km) ≥ (ρ1, . . . ,ρm) sont donnés dans l’ordre lexicographique3.
