Table des matières

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Table des matières

I Introduction 5

1 Chaîne de communication . . . 5

1.1 Spécifications . . . 5

2 Conversion AN et Fréquence d’échantillonnage . . . 6

2.1 rythme d’échantillonnage . . . 6

2.2 Dynamique et résolution . . . 6

2.3 Bruit . . . 7

3 Architecture de récepteurs . . . 7

3.1 Conversion multi-étages (figure I.4) . . . 7

3.2 Conversion directe (figure I.5) . . . 8

3.3 Conversion basse FI (figure I.6) . . . 8

4 Implantation numérique . . . 8

4.1 Architecture numérique . . . 8

4.2 Traitements numériques . . . 9

II Sélection de canal 11 1 Sélection de canal . . . 11

2 Up et Down conversion . . . 11

3 Digital Up converter . . . 11

4 Digital down converter . . . 12

5 Implementation down conversion . . . 12

5.1 Down conversion . . . 12

6 CORDIC . . . 14

6.1 Principes . . . 14

6.2 Implantation . . . 15

6.3 Mode rotation . . . 15

6.4 Mode Vecteur . . . 18

6.5 Précision . . . 19

6.6 Nombre d’itérations . . . 19

6.7 Représentation des données . . . 19

7 LUT . . . 21

7.1 Principes . . . 21

7.2 Quantification de l’amplitude . . . 21

7.3 Quantification de la phase . . . 23

7.4 Dithering . . . 24

III Conversion de fréquence d’échantillonnage 27 1 Conversion fixe . . . 27

1.1 Approche cascade . . . 27

1.2 Filtres en peigne . . . 30

2 Changement de fréquence d’échantillonnage non rationnel ou variable . . . 33

2.1 Interpolation du signal . . . 34 1

(2)

2 TABLE DES MATIÈRES 2.2 Interpolation de la réponse impulsionnelle . . . 36 2.3 Interpolation de LAGRANGE . . . 37

A FonctionD_∞(δp, δs) 39

B Facteur d’échelle CORDIC 41

(3)

Table des figures

I.1 chaîne d’émission-réception . . . 5

I.2 Fonctions du front-end de réception . . . 6

I.3 Gamme dynamique [6] . . . 7

I.4 récepteur superhétérodyne, [1] . . . 7

I.5 récepteur FI 0, [1] . . . 8

I.6 récepteur FI basse, [1] . . . 8

II.1 chaîne Tx et Rx . . . 11

II.2 Digital Up Converter . . . 11

II.3 Digital Down Converter . . . 12

II.4 Avant down conversion [6] . . . 13

II.5 complex down conversion IF [6] . . . 13

II.6 complex down conversion zero IF [6] . . . 14

II.7 Itérative . . . 15

II.8 Déroulée . . . 15

II.9 Mode rotation . . . 16

II.10 Facteur d’échelle . . . 16

II.11 Discrétisation relative au vecteur d’entrée . . . 17

II.12 Dynamique en fonction du nombre d’itérations . . . 18

II.13 mode vectoriel . . . 18

II.14 Quantification deφen fonction de l’itération . . . 19

II.15 NCO . . . 21

II.16 NCO . . . 21

II.17 Périodes de l’enveloppe et de la suite d’échantillon (N = 12,m= 8) . . . 22

II.18 Quantification . . . 22

II.19 Spectre en dB sur 1024points,N = 128,m = 13 (la position de la fondamentale est 1024/128 = 8). la quantification de l’amplitude est réalisée sur 12 bits . . . 23

II.20 Quantification . . . 23

II.21 bruit de phase . . . 24

II.22 Spectre en dB sur 1024points,N = 128,m = 13 (la position de la fondamentale est 1024/128 = 8). la quantification de la phase est réalisée sur 8 bits . . . 24

II.23 Architecture NCO . . . 25

II.24 Effet du dithering . . . 25

II.25 Spurious Free Dynamic Range (gc5016 pire cas) . . . 26

II.26 SFDR . . . 26

III.1 Conversion en une étape . . . 27

III.2 Interpolating FIR . . . 28

III.3 Filtre anti-repliement . . . 29

III.4 Structure cascade . . . 29

III.5 Résultats . . . 30

III.6 Conversion enN étapes . . . 30 3

(4)

4 TABLE DES FIGURES

III.7 Filtre en peigne d’ordreM−1comportant 3 cellules,R= 3 . . . 31

III.8 Filtres en peigne . . . 32

III.9 Fonstion de transfert . . . 32

III.10Comparaison des deux approches . . . 32

III.11Structure filtre en peigne . . . 33

III.12DSP d’un signal échantillonné . . . 33

III.13récepteur numérique bande de base . . . 34

III.14Interpolation du signal . . . 34

III.15Interpolateur idéal :T_i=nT_setT_i= (n+ 0.2)T_s . . . 35

III.16Filtres d’interpolation . . . 35

III.17Interpolation de la RI,h_n(µ) =h(n+µ) . . . 36

III.18Structure de FARROW. . . 37

III.19Interpolation de LAGRANGEd’ordre 4 . . . 37

III.20Structure de FARROWpour une interpolation cubique de LAGRANGE. . . 38

(5)

Chapitre I

Introduction

Parmi les sources bibliographiques ayant servies pour réaliser ce cours, on notera [6], [3], [4], [2], [8], [7] et [5].

1 Chaîne de communication

FIGUREI.1 – chaîne d’émission-réception

1.1 Spécifications

– Émetteur : Contraintes sur le Front-end analogique et l’interface N/A – Puissance de sortie,

– Gamme de contrôle de puissance, – Émissions parasites.

– Récepteur : Contraintes sur le Front-End analogique, l’interface A/N, le Front-end numérique et le traitement bande de base numérique.

– Sensibilité au signal d’intérêt,

– Dynamique maximale en entrée du signal d’intérêt, – Sensibilité aux bloqueurs

Le premier étage du récepteur de la figure I.1 sélectionne une (large) bande de fréquence pouvant correspondre à un nombreNi de canaux de largeurBicentrée sur une fréquencefc =fRF(figure 1.1).

Le second étage de la figure I.1 a pour rôle de sélectionner un canalB_iet de le ramener en bande de base (f_c = 0).

Les traitements à réaliser sont donc les suivants (figure I.2) :

5

(6)

6 Introduction

(a) Spectre traîté à chaque étage, [1] (b) chaîne de réception [6]

FIGUREI.2 – Fonctions du front-end de réception

Traitements "Digital Front End"

– Sélection de canal (channelization) (analogique et numérique) – Down-conversion.

– Filtrage.

– Numérisation.

– conversion fréquence d’échantillonnage.

Traitements bande de base – synchronisation.

– modulation,démodulation, – Mapping/Demapping,

– entrelacement/désentrelacement, – code correcteur.

2 Conversion AN et Fréquence d’échantillonnage

2.1 rythme d’échantillonnage

– Dérivée de l’horloge principale de chacun des standards de communication.

– Diversité des fréquences à prendre en charge : – Fréquence d’échantillonnage accordable

– Horloge fixe suivie d’une conversion de fréquence d’échantillonnage

2.2 Dynamique et résolution

L’interface AN contient plusieurs canaux : donc des interférents potentiels par rapport à la bande d’in- térêt.

Si on considère les standards GSM, DCS et UMTS on doit considérer une sensibilité de−107dBmet une dynamique maximale de−15dBm, soit une gamme dynamique de92dB entrée du front-end analogique.

Si on veut être capable de traiter d’autres standards (WLAN, ...) on doit considérer par exemple une gamme de fréquence de876M Hz(GSM) à5725M Hz(WiFi).

Plus la largeur de bande du canal d’intérêt est étroite au regard de la largeur de bande du FE, plus la

(7)

Introduction 7 contrainte de dynamique est importante.

Les contraintes induites doivent permettrent :

– De maintenir un rapport signal sur bruit suffisant pour atteindre le taux d’erreurs binaires admis- sible,[niveau système]

– De séparer le signal d’intérêt de celui situé à la fréquence image.[niveau architecture]

– De permettre la détection du signal d’intérêt même en présence d’interférents (bloqueurs, problème de dé-sensibilisation),[niveau architecture] ou encore de ne pas avoir de saturation locale pour des signaux de forte puissance,[niveau design]

Dans la figure I.3 (on noteδle SNR nécessaire et on considère une largeur de bande de5M Hz).

(a) GSM : la bande d’intérêt étant faible (270KHz) devant la bande du canal traîté, cela créé une contrainte sur la dynamique.

(b) UMTS : la bande d’intérêt étant de l’ordre de la bande du canal traîté, la contrainte sur la dynamique est propre au standard traîté.

FIGUREI.3 – Gamme dynamique [6]

2.3 Bruit

Le bruit dans une chaîne d’émission et de réception a plusieurs origines : – Le bruit thermique dont la puissance estP =−174 + 10 log(BW)dBm.

– Le bruit introduit par les composants : facteur de bruit pour les composants analogiques et bruit de quantification pour les composants numériques, notamment le CAN.

Pour les récepteurs bande étroite, c’est plutôt le bruit de quantification qui sera déterminant alors que pour les récepteurs large bande ce sera plutôt le bruit thermique.

3 Architecture de récepteurs

3.1 Conversion multi-étages (figure I.4)

FIGUREI.4 – récepteur superhétérodyne, [1]

– Qualités :

– Bonne sélectivité du traitement analogique RF,

O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2009

(8)

8 Introduction – Défauts :

– Complexité analogique élevée, – Plusieurs oscillateurs locaux.

3.2 Conversion directe (figure I.5)

FIGUREI.5 – récepteur FI 0, [1]

– Qualités :

– Faible complexité analogique,

– Traitement aisé du problème de la fréquence image.

– Défauts :

– Sensibilité aux imperfections IQ, – Auto-mélange→DC offset, – Bruit en1/f.

3.3 Conversion basse FI (figure I.6)

FIGUREI.6 – récepteur FI basse, [1]

Compromis entre les deux approches ci-dessus.

– Qualités :

– Ne souffre pas du problème DC offset, – Faible complexité.

– Défauts :

– Doit gérer le problème de la réjection d’image.

4 Implantation numérique

4.1 Architecture numérique

– paramétrique : fonction fixe paramétrique, par exemple DDC, DUC, NCO...[cible de type ASIC]

(9)

Introduction 9 – reconfigurable : fréquence d’échantillonnage élevé, accélérateur matériel, reconfigurabilité,[cible de

type FPGA]

– programmable : fréquence d’échantillonnage modérée, "souplesse" dans le traitement, par exemple au cours du temps.[cible de type DSP]

Un autre critère peut être la gestion des modes de consommation pour des terminaux portables.

4.2 Traitements numériques

– NCO : LUT, CORDIC

– Complex mixing (modulateur en quadrature : réjection d’image) – Filtrage multicadence, WDF, CIC, traitement passe-bandeΣ∆

– Techniques multi-porteuses : IFFT-FFT (OFDM), Bancs de filtres modulés (DMT) – Transmultiplexeurs : Bancs de filtre

– Changement de fréquence d’échantillonnage (Entier, rationnel, irrationnel) : – Fixe (changement d’étage) : structure cascade.

– Variable (récupération de rythme)

– Traitements adaptatifs : égalisation (en temps et en fréquence), synchronisation rythme, phase fré- quence, AGC

– algorithmes d’estimation : algorithme de Viterbi, turbo-décodeur, ...

– Calcul arithmétique : puissance, racine carrée, factorisation matricielle (algo d’inversion de matrice) – Dithering (conversion AN/NA, NCO)

– Algorithmes de correction : Prédistorsion, égalisation de délai, erreur de quadrature ...

(10)

10 Introduction

(11)

Chapitre II

Sélection de canal

1 Sélection de canal

– Opération de démodulation et de filtrage,

– Ramène le canal d’intérêt en bande de base et supprime les canaux adjacents interférents.

2 Up et Down conversion

(a) émission (b) réception

FIGUREII.1 – chaîne Tx et Rx – modulation pare^j2πf^C^tdirectement, oue^j2πfÎF^tpuise^j2π(f^C^−fÎF^)t. – démodulatione^−j2π(f^C^−fÎF^)t, puise^−j2πfÎF^t.

x=xi+j xq, (II.1)

y(t) =x(t)e^±j2πf^c^t, (II.2) y(nT) =x(nT)e^±j2πf^c^nT. (II.3)

3 Digital Up converter

FIGUREII.2 – Digital Up Converter – Inputs : real or complex

– Programmable interpolation

11

(12)

12 Sélection de canal – FIR filtering for shaping.

– Decrease output sample rate/input bandwidth.

– Increase filtering.

– Modulation around center frequency

4 Digital down converter

FIGUREII.3 – Digital Down Converter – Inputs : real or complex

– Demodulation around center frequency – Programmable decimation.

– FIR filtering for shaping.

– Decrease output sample rate/input bandwidth.

– Increase filtering.

5 Implementation down conversion

NCO – LUT

– CORDIC (COordinate Rotation Digital Computer)

– Algorithme itératif : calcul les coordonnées rectangulaires d’un vecteur ayant subit une rotation dans le plan complexe. Cet algorithme a été proposé en 1959 par VOLDERet permet de passer de coordonnées rectangulaires à des coordonnées polaires et inversement. Dans ce mode de fonction- nement le CORDIC travaille un système de coordonnées circulaires, c’est uniquement à ce mode que l’on s’intéresse dans la suite. Il existe d’autres implémentations travaillant avec des systèmes de coordonnées linéaires ou hyperboliques.

x_IF(nT)e^−j2πf^IF^nT =x_I(nT) +jx_q(nT). (II.4)

5.1 Down conversion

(13)

Sélection de canal 13

FIGUREII.4 – Avant down conversion [6]

Repliement de spectre sifC+fIF >^F₂^e (figure II.5). Cas de l’échantillonnage classique.

FIGUREII.5 – complex down conversion IF [6]

Synchronisation du signal bande de base en fréquence et en phase (Figure II.6).

(14)

14 Sélection de canal

FIGUREII.6 – complex down conversion zero IF [6]

6 CORDIC

6.1 Principes

On veut calculer :

v=v₀e^j∆φavecv₀=e^jψ. (II.5)

Cette opération correspond à (rotation de GIVENS) :

Re(v) =Re(v0) cos(∆φ)−Im(v0) sin(∆φ), (II.6) Im(v) =Im(v0) cos(∆φ) +Re(v0) sin(∆φ). (II.7) ou encore :

Re(v)

cos(∆φ) =Re(v0)−Im(v0) tan(∆φ), (II.8) Im(v)

cos(∆φ) =Im(v0) +Re(v0) tan(∆φ). (II.9) Algorithme itératif par approximation successive, la rotation∆φ(avec|∆φ|< π/2) est remplacée par une suite de rotations élémentaires∆φ_i:

∆φi=±arctan(2⁻ⁱ)aveci= 0,1,2,· · · (II.10) tan(∆φ_i) = 2⁻ⁱ≈∆φ_ipour∆φ_ipetit. (II.11) Équations de récurrence :

z₀= ∆φ. (II.12)

xi+1=xi−diyi2⁻ⁱ, (II.13)

yi+1=yi+dixi2⁻ⁱ, (II.14)

zi+1 =zi−diarctan(2⁻ⁱ)avecdi= sign(zi). (II.15) Critère de fin :

zi < ≈0. (II.16)

xn=An(x0−y0tan(∆φ)) = (x0cos(∆φ)−y0sin(∆φ)), (II.17) yn=An(y0+x0tan(∆φ)) = (y0cos(∆φ) +x0sin(∆φ)), (II.18)

(15)

Sélection de canal 15 et on a :

A_n= cos(∆φ) = 1 Q

i

√1 + 2⁻²ⁱ. (II.19)

n→+∞lim A_n ≈0.596495. (II.20) Hormis le facteur d’échelle final (annexe B), cet algorithme ne comporte que des décalages, additions et soustractions.

6.2 Implantation

FIGUREII.7 – Itérative

FIGUREII.8 – Déroulée

6.3 Mode rotation

(16)

FIGUREII.9 – Mode rotation Facteur d’échelle

FIGUREII.10 – Facteur d’échelle

Discrétisation du cercle unité

(17)

(a) 1 itération (b) 2 itérations

(c) 4 itérations (d) 8 itérations

FIGUREII.11 – Discrétisation relative au vecteur d’entrée Dynamique

La dynamique maximum est donné par : φmax= lim

n→+∞

n

X

i=0

arctan(2⁻ⁱ)

!

≈1.7433,

φmin= lim

n→+∞

n

X

i=0

arctan(−2⁻ⁱ)

!

≈ −1.7433,

(II.21)

(18)

FIGUREII.12 – Dynamique en fonction du nombre d’itérations

6.4 Mode Vecteur

FIGUREII.13 – mode vectoriel Équations de récurrences :

x_i+1=x_i−d_iy_i2⁻ⁱ, (II.22)

yi+1=yi+dixi2⁻ⁱ, (II.23)

z_i+1=z_i−d_iarctan(2⁻ⁱ)avecd_i=−sign(y_i). (II.24) que l’on peut ré-écrire (c’est à ces équations de récurrences qu’il sera fait référence par la suite) :

xi+1=xi+diyi2⁻ⁱ, (II.25)

y_i+1=y_i−d_ix_i2⁻ⁱ, (II.26)

zi+1=zi+diarctan(2⁻ⁱ)avecdi= sign(yi). (II.27) Critère de fin :

y_i< ≈0. (II.28)

(19)

z_n=X

i

d_iarctan(2⁻ⁱ) =φ, (II.29)

xn=An

q

x²₀+y²₀, (II.30)

et on a :

An = 1 Q

i

√1 + 2⁻²ⁱ. (II.31)

n→+∞lim An≈0.596495. (II.32)

6.5 Précision

La précision dans un algorithme CORDIC va limiter ses performances à plusieurs niveaux : – Nombre d’itérations : discrétisation du saut de phase à chaque instant d’échantillonage.

– Représentation des données : si on considère que les données sont représentées en virgule fixe, le calcul au cours des itérations de l’algorithme entraînera des opérations d’arrondi et donc des erreurs à la fois sur l’angle et sur le module.

6.6 Nombre d’itérations

De (II.29), on déduit que aprèsnitérations, l’erreur résiduelle sur l’angle sera : δφ=φ−

n−1

X

i=0

diarctan(2⁻ⁱ). (II.33)

On aura donc :

|δφ|<arctan

2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

, (II.34)

car on peut considérer que l’on aura l’erreur maximum si on atteintzi=φà la(n−1)ème itération.

FIGUREII.14 – Quantification deφen fonction de l’itération

6.7 Représentation des données

Si on considère que les données d’entréesx₀ety₀sont codés en virgule fixe surmbits dans un format Q_m−1, la résolution du bit de poids faible est donc2^−(m−1).

– Au premier étage on a une multiplication par2⁰, donc le poids du bit de poids faible reste−(m−1).

(20)

20 Sélection de canal – Au deuxième étage on a une multiplication par2⁻¹, donc le poids du bit de poids faible devient

−(m−2)et on am+ 1bits pour représenter les données.

– Au troisième étage on a une multiplication par 2⁻², donc le poids du bit de poids faible devient

– Au quatrième étage on a une multiplication par2⁻³, donc le poids du bit de poids faible devient

– ...

– Au nème étage on a une multiplication par2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾, donc le poids du bit de poids faible devient

− m−

1 +Pn−1 j=1j

et on a m+

Pn−1 j=1j

bits pour représenter les données.

itérationi tan(∆φ_i) poidsLSB nbre de bits

1 2⁰ −(m−1) m

2 2⁻¹ −(m−2) m+ 1

3 2⁻² −(m−4) m+ 3

4 2⁻³ −(m−7) m+ 6

... ... ... ...

itérationi tan(∆φi) poidsLSB nbre de bits n 2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ −

m−

1 +Pn−1 j=1 j

m+ Pn−1

j=1j

TABLEII.1 – Précision pour le calcul du CORDIC

Il n’est donc pas possible de conserver toute la précision nécessaire et il est nécessaire de limiter la précision en effectuant des opérations d’arrondi.

En considérant (II.34) et en faisant l’approximationarctan 2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

≈2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾, on peut en déduire qu’il fautnbits pour représenter les données afin de respecter cette borne d’erreur. En effet si on exprime le vecteur obtenu après lesnitérations en coordonnées polaire, on obtient :

xn+jyn=e^j(φ+δφ^e⁾= cos(φ+δφe) +jsin(φ+δφe)

= cos(φ) cos(δφ_e)−sin(φ) sin(δφ_e) + sin(φ) cos(δφe) + cos(φ) sin(δφe)

≈cos(φ)−sin(φ)δφ_e + sin(φ) + cos(φ)δφe,

(II.35)

on a :

|sin(φ)| ≤1donc |sin(φ)δφe| ≤δφ

|cos(φ)| ≤1donc |cos(φ)δφe| ≤δφ. (II.36) La précision résultante sur les coordonnées rectangulaires peut donc s’écrire :

xn=Re(v) +Re(e(n))avec|Re(e(n)| ≤δφ,

yn=Im(v) +Im(e(n))avec|Im(e(n)| ≤δφ, (II.37) oùvest le vecteur obtenu avec une précision infinie. Si on considère que l’on acbits de garde pour les poids faibles, l’erreur d’arrondi est alors2^{−(n+c−1)−1}. Au bout denitérations, l’erreur cumulée peut donc atteindre :

e(n) =n2^−(n+c). Pour respecter la borne (II.34), on doit avoir :

e(n)≤2⁻ⁿ, on a donc la condition :

c≥log₂(n).

Pournitérations, il faudra donc représenter les données sur1 +n+cbits, correspondant à 1 bits de garde pour les poids fort du fait de la mise à l’échelle par1/cos ∆φet àcbits de poids faible.

(21)

7 LUT

7.1 Principes

(a) NCO (b) phase

FIGUREII.15 – NCO

(a) NCO (b) forme d’onde

FIGUREII.16 – NCO

Figure II.16, si on notem=f N Te, la fréquence générée est alorsf =^m_NFe. La résolution en fréquence (incrément de phase élémentaire) correspond àm= 1.

7.2 Quantification de l’amplitude

On peut déterminer la période M de la séquence numériquex(n)(qui sera dans la plupart des cas différente de la période de l’enveloppe de la fréquence pure que l’on cherche à générer ) en partant de la relationf = ^m_NFe= ^m_N⁰0Feavecm⁰etN⁰premiers entre eux, on obtient la période de la suite d’échantillon tel quex(n) =x(n+M):

N⁰Te=m⁰T.

DoncM =N⁰ou encoreM = _{P GCD(m,N)}^N .

Ceci veut dire que si une imperfection est attachée à une sortie, l’apparition de cette imperfection sera périodique. Ce sera le cas pour la quantification de l’amplitude de la forme d’onde dans la LUT.

Évaluation de la valeur crête de l’erreur de quantification Arrondi :

emax= sin 2π

2N = sin π N ≈ π

N siNest grand. (II.38)

Interpolation linéaire :

cos(φ₀) +α(cos(φ₁)−cos(φ₀)). (II.39) O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2009

(22)

FIGUREII.17 – Périodes de l’enveloppe et de la suite d’échantillon (N = 12,m= 8)

emax= 1−cosπ N

. (II.40)

(a) Arrondi (b) Interpolation

FIGUREII.18 – Quantification

Le signal quantifié est donné parxq(n) =x(n) +e(n), oùe(n)est un signal de périodeN⁰. Il est donc développable en série de Fourier et aura un spectre de raie dont la fondamentale sera à la fréquenceFe/N⁰.

(23)

(a) Sinus non quantifié (N= 128,m= 13)

(b) Erreur de quantification (c) Sinus quantifié

FIGURE II.19 – Spectre endB sur1024points,N = 128,m = 13(la position de la fondamentale est 1024/128 = 8). la quantification de l’amplitude est réalisée sur 12 bits

7.3 Quantification de la phase

la quantification de la phase peut se ramener à un bruit sur l’amplitude, qui elle aussi surviendra avec une certaine périodicité.

FIGUREII.20 – Quantification

(24)

FIGUREII.21 – bruit de phase

Si on notem=m_e+m_f oùm_eest la partie entière conservée après la quantification de la phase et m_f la partie fractionnaire qui est supprimée par cette opération, l’expression du signal en sortie de la LUT devient :

x(n) = cos

2πm_e+m_f N nTe

x(n) = cos

2πm_e+m_f N nT_e

= cos 2πm_e

N nT_e+ ∆φ_e

(II.41)

= cos 2πme

N nTe

cos (∆φe)−sin 2πme

N nTe

sin (∆φe) (II.42)

≈cos 2πme

N nT_e

−sin 2πme

N nT_e

(∆φ_e), (II.43)

oùm⁰_fetN⁰sont des entiers. Ce signal correspond à une modulation de fréquence.

La phase du signal d’erreur due à la quantification est : 2πm⁰_f

N⁰nTe,

et correspond à une suite discrète de périodeN⁰T e=m⁰_fTpavecN⁰etm⁰_f premiers entre eux.

(a) Sinus non quantifié (N= 128,m= 13)

(b) Erreur de quantification (c) Sinus quantifié

FIGURE II.22 – Spectre endB sur1024points,N = 128,m = 13(la position de la fondamentale est 1024/128 = 8). la quantification de la phase est réalisée sur 8 bits

7.4 Dithering

Le "Dithering" consiste à rajouter du bruit au signal afin d’améliorer les performances globales du système au niveau du bruit.

(25)

FIGUREII.23 – Architecture NCO

– Pour certaines fréquences, les erreurs de quantification deviennent périodiques et provoquent l’apparition de raies fréquentielles (dégradation des performances SFDR).

– On traite cela en rajoutant du bruit de phase qui va étaler l’erreur entre0etFe. Cela correspond au fait de rendre aléatoire l’effet des défauts qui étaient périodiques.

Le rajout de bruit large bande aura pour effet de remonter le plancher de bruit du système.

Le dimensionnement (puissance) de bruit de "dithering" est réalisé afin de maximiser le SFDR et de mini- miser le plancher de bruit du système.

(a) Sans dithering (b) dithering 3 bits

(c) dithering 5 bits (d) dithering 7 bits

FIGUREII.24 – Effet du dithering

(26)

FIGUREII.25 – Spurious Free Dynamic Range (gc5016 pire cas) Balayage d’une bande fréquences avec maintien des raies parasites hors-bande.

FIGUREII.26 – SFDR

(27)

Chapitre III

Conversion de fréquence d’échantillonnage

1 Conversion fixe

1.1 Approche cascade

L’ordre d’un filtre est proportionnel àD∞(δp, δs)etFeet inversement proportionnel à∆f (Annexe A).

Un changement de fréquence d’échantillonnage élevé impose donc des contraintes sévères sur le filtre

FIGUREIII.1 – Conversion en une étape d’interpolation ou de décimation à implémenter, figure III.1.

Interpolating FIR

Une approche multi-étage permet de relaxer cette contrainte, car le filtre fonctionnant à la fréquence la plus élevée aura besoin d’une sélectivité moindre, la sélectivité étant reportée sur le filtre fonctionnant à la fréquence d’échnatillonnage la plus faible. Cette approche nécessite cependant de répartir les budgets d’ondulation sur l’ensemble des étages de filtrage.

Cette approche se révèle bénéfique si l’augmentation de complexité due au termeD_∞(δp, δs)que celle due au terme∆f /Fe

27

(28)

28 Conversion de fréquence d’échantillonnage

(a) Approche directe (b) Approche cascade

FIGUREIII.2 – Interpolating FIR Exemple dans le cas de la décimation

Soit une décimation parM = 100.

On aFe= 10kHz,F_e⁰= 100Hz,B = 45Hzet la bande de transition∆f = 5Hz.

Ondulation bande passanteδp= 0.01, ondulation bande atténuéeδs= 0.001.

Pour un filtre equiripple, l’ordre est donné par (figure III.3) : N ≈D_∞(δp, δs)

∆f /F_e = 5080. (III.1)

l’approche multi-étage va permettre un gain en nombre d’opération si onM =Q

i(Mi)etL=Q

i(Li).

L’objectif est :

– La réduction de la complexité de calcul.

– La baisse de la contrainte sur les filtres (bande de transition).

– La réduction du bruit de quantification.

Pour que l’approche soit la plus efficace possible, on doit avoir les conditions : L1, M 1et L

M ≈1 (III.2)

Si on choisitM =M1M2= 50×2(figures III.4 et III.5).

On alorsδ_p⁰ =δp/2etD_∞(δ_p⁰, δs) = 2.76.

On a donc :

N1= 281. (III.3)

N₂= 118. (III.4)

Puissance de calcul : – Cas 1 :

R= 5080 2

10e³

100 = 0.254M ips.

– Cas 2 :

R₁= 281 2

10e³

50 = 0.0281M ips.

R₂= 118 2

200

2 = 0.0059M ips.

Soit un total de0.034M ips.

(29)

Conversion de fréquence d’échantillonnage 29 Le gain en complexité est donc de7.5.

Dans une structure cascade le bruit de quantification introduit par les premiers étages est filtré par les suivants.

FIGUREIII.3 – Filtre anti-repliement

(a) Filtre anti-repliement de la première étape (b) Filtre anti-repliement de la deuxième étape

FIGUREIII.4 – Structure cascade

(30)

(a) Filtre anti-repliement résultant (b) Comparaison des deux approches

FIGUREIII.5 – Résultats Approche multi-étages

FIGUREIII.6 – Conversion enNétapes

1.2 Filtres en peigne

H(k) = 1 M

sin(πk/M) sin(πk)

. (III.5)

Le filtre de fonction de transfertH(k)a des0de transmission pour tout lesk/M aveckentier. L’implantation sous forme récursive correspond à la transformée enZ:

H(z) = 1−z^−M

1−z⁻¹. (III.6)

(31)

Conversion de fréquence d’échantillonnage 31 PourRcellules on a (figure III.7) :

H(k) = 1 M

sin(πk/M) sin(πk)

R

. (III.7)

H(z) =

1−z^−M 1−z⁻¹

^R

. (III.8)

FIGUREIII.7 – Filtre en peigne d’ordreM−1comportant 3 cellules,R= 3

Exemple pour une structure comportant 3 étages

On considère une décimation par 64, réalisées en 3 étages, soit 3 décimations successives par4. Les deux premiers étages sont réalisés par des filtres en peigne avecR = 3, le dernier étage est réalisé par un filtre equiripple. On a donc (M = 4etR= 3) :

H₁(z) =

1−z^−M 1−z⁻¹

^R

, (III.9)

et

H₂(z) =H₂⁰(z^M) =

1−z^−M.M 1−z^−M

^R

, (III.10)

Si on considère que la bande d’intérêt estf = 1/128, l’ondulation en bande passante du premier étage est δp₁ = 0.001et l’ondulation en bande du deuxième étageδp₂ = 0.015¹.

En choisissant un filtre equiripple avec une ondulation en bande passanteδp₃ = 0.001, on obtient une ondulation totaleδ= 0.017. On choisitδs= 0.001.

L’ondulation en bande passante est particulièrement critque dans ce type d’approche.

Pour approche directe avec des caractérisitiques globales équivalentes, on a : N = 759etR= 759

2 1/64 = 5.93F_e, (III.11)

Pour une approche multi-étage :

N= 65etR= 65

2 1/4 = 8.125F_e, (III.12)

La complexité est du même ordre de grandeur (enM ips), avec un filtre en peigne la complexité est reportée sur le dernier étage.

1. Etudier la fonction de transfert en amplitude de ces filtres pourf= 1/128.

(32)

(a) Filtre en peigne 1 (b) Filtre en peigne 2

FIGUREIII.8 – Filtres en peigne

(a) Superposition des réponses en fréquence (b) Filtre résultant

FIGUREIII.9 – Fonstion de transfert

(a) Fonction de transfert globale (b) Détail

FIGUREIII.10 – Comparaison des deux approches

(33)

Conversion de fréquence d’échantillonnage 33 Bruit de quantification

Les deux approches ont des caractéristiques différentes en ce qui concerne le bruit de quantification.

– Implantation directe : 759/2 sources de bruit.

– Implantation cascade : Après application de l’identité remarquable pour la décimation, la structure obtenue (figure III.8). Le bloc de sortie de cette structure correspond à un dérivateur d’ordreRqui aura pour effet de rejeter vers les hautes fréquences le bruit de quantification (figure III.12).

FIGUREIII.11 – Structure filtre en peigne

FIGUREIII.12 – DSP d’un signal échantillonné

La puissance du bruit, pour des dérivateurs d’ordreR, après filtrage des étages suivants à une fréquence f_best donnée par l’expression suivante (dans le cas oùf_b<< F_e) :

σ_b²=σ_q² π^2R 2R+ 1

1 OSR

^2R+1

avecOSR= Fe

2f_b. (III.13)

Le dernier étage rajoutera lui 65/2 sources de bruit.

2 Changement de fréquence d’échantillonnage non rationnel ou va- riable

L’interpolation peut être nécessaire pour réaliser un changement de fréquence d’échantillonnage irrationnel.

Si on considère par exemple une fréquence d’échantillonnageFe = 80M e/s, le rapport avec le débit symbole du GSM (270.83Ks/s) peut être approximé par :

80e⁶ 13

3×5×2⁸ = 270.8333. . . e³, (III.14) Ce qui correspond à une approximation du rapport²⁵¹⁰⁸₈₅ = ³⁸⁴⁰₁₃ .

On a alors :

25108 85 3840

13

= 81601

81600 (III.15)

(34)

34 Conversion de fréquence d’échantillonnage Cela conduit pour le GSM à devoir refabriquer les échantillons à un multiple de270.83e³ et revient à corriger l’erreur de rythme symbole c’est à dire à récupérer de rythme symbole. Le débit chip de l’UMTS est obtenu par :

80e⁶2×3

5³ = 3.84e⁶ (III.16)

FIGUREIII.13 – récepteur numérique bande de base

2.1 Interpolation du signal

FIGUREIII.14 – Interpolation du signal

y(kT_i)

| {z }

sortie du système en fonction deTi

=X

i

x((m_k−i)T_s)h((i+µ_k)T_s)

| {z }

entrée du système en fonction deT_s

(III.17)

et on a

y(kT_i) =y((m_k+µ_k)T_s). (III.18)

Le rapport ⁸¹⁶⁰⁰₈₁₆₀₁définit la périodicité deµ_k, on aura81601T_s= 81600T_i. On devrait alors avoir une table avec les81601×N valeurs des coefs deh, ou calculer au vol lesh(i+µ_k).

(35)

Conversion de fréquence d’échantillonnage 35

FIGUREIII.15 – Interpolateur idéal :T_i=nT_setT_i= (n+ 0.2)T_s

(a) Filter FIR d’interpolation

(b) Filter FIR d’interpolation de longueur finie

FIGUREIII.16 – Filtres d’interpolation

(36)

36 Conversion de fréquence d’échantillonnage Une autre approche consiste à interpoler les coefficients et non plus le signalh(i+µk) =hi(µk):

h_i(µ) =

M

X

m=0

c_m(i)µ^m, (III.19)

donc pour un filtre d’ordreN on aN(M + 1)coefficients.

2.2 Interpolation de la réponse impulsionnelle

FIGUREIII.17 – Interpolation de la RI,hn(µ) =h(n+µ) La transformée enZdu filtre devient donc :

H(z, µ) =X

i

hi(µ)z⁻ⁱ

=X

i M

X

m=0

cm(i)µ^mz⁻ⁱ

=X

m

µ^mX

i

cm(i)z⁻ⁱ

=X

m

Cm(z)µ^m.

OùCm(z)est constant et indépendant deµ.

Ce calcul est réalisé par l’algorithme de HORNER:

H(z, µ) = (· · ·(CM(z)µ+CM−1(z))µ+· · ·+C1(z))µ+C0(z). (III.20) Cette approche débouche sur la structure de Farrow (figure III.18). On est donc passé d’un filtre d’interpolation à coefficients fixes à un filtre d’interpolation dont les coefficients sont calculés par interpolation polynomiale.

(37)

Conversion de fréquence d’échantillonnage 37

FIGUREIII.18 – Structure de FARROW

2.3 Interpolation de L

AGRANGE

L’interpolation de Lagrange correspond à une approximation d’une fonctionx(n)connue enN + 1 points répartis uniformément (n= 0,1,· · · , N).

L’approximation polynomiale est donnée par le polynome enµ,hn(µ)d’ordreN qui est unique.

x(µ) =

N

X

n=0

hn(µ)x(n)avec0≥µ≥N.

Cette approximation passe par les pointsx(n), on a donch_n(µ) =δ(n−µ)pourµ=n.

Les coefficients du polynome d’interpolation sont : hn(µ) =

N

Y

k6=nk=0

µ−k n−k.

(a) Polynome de LAGRANGEd’ordre 4 (b) Réponse impulsionnelle du filtre d’interpolation

FIGUREIII.19 – Interpolation de LAGRANGEd’ordre 4

Si on considère une interpolation par un polynome de LAGRANGEd’ordre 3 Les coefficients du polynome d’interpolation pour−1≤µ≤0sont donnés par :

h_n(µ) =

1

Y

k=−2 k6=n

µ−k

n−kpour −1≤µ≤0.

(38)

h₋₂(µ) = (−µ+ 1)−µ(−µ−1)

−1· −2· −3 = µ³ 6 −µ

6

h₋₁(µ) = (µ+ 2)(−µ)(−µ−1)

1· −1· −2) =−µ³ 2 +µ²

2 +µ h₀(µ) = (−µ+ 2)(−µ+ 1)(−µ−1)

2·1· −1 =µ³

2 −µ²−µ 2 + 1

h1(µ) = (−µ+ 2)(−µ+ 1)(−µ) 3·2·1 =−µ³

6 +µ² 2 −µ

3 Soit l’expression :

H(z, µ) =

M

X

m=0

µ^mX

i

cm(i)z⁻ⁱ,

La valeur des coefficientscm(i)est donné dans le tableau 2.3, la structure de FARROWcorrespondante est représentée figure III.20.

i\m 3 2 1 0

0 1/6 0 -1/6 0

1 -1/2 1/2 1 0

2 1/2 -1 -1/2 1

3 -1/6 1/2 -1/3 0

TABLEIII.1 – Coefficients d’une structure de FARROWpour un polynome de LAGRANGEd’ordre 3

FIGUREIII.20 – Structure de FARROWpour une interpolation cubique de LAGRANGE

(39)

Annexe A

Fonction D _∞ (δ _p , δ _s )

La fonctionD_∞(δp, δs)est donné dans [2] (chap. 4, p. 149) et correspond à : D_∞(δp, δs) = log

δs

h

a1(logδp)²+a2logδp+a3

i

+h

a4(logδp)²+a5logδp+a6

i

avec

a₁= 0.005309, a₂= 0.07114, a₃=−0.4761, a4=−0.00266, a5=−0.5941eta₆= 0.4278.

39

(40)

40 FonctionD∞(δp, δs)

(41)

Annexe B

Facteur d’échelle CORDIC

Le facteur d’échelle à introduire après chaque itération correspondant à une rotation∆φicorrespond à cos(∆φ_i), mais comme :

cos(∆φ_i) = 1

p1 + arctan²(∆φ_i), et

arctan(∆φi) = 2⁻ⁱ, le facteur d’échelle à appliquer est :

cos(∆φ_i) = 1

√

1 + 2⁻²ⁱ,

41

(42)

42 Facteur d’échelle CORDIC

(43)

Bibliographie

[1] Giuseppe Baruffa. SOFTWARE RADIO ARCHITECTURES FOR DIGITAL COMMUNICATIONS, 1999. I.2(a), I.4, I.5, I.6

[2] R.E. Crochiere and L.R. Rabiner. Multirate Digital Signal Processing. Prentice hall edition, 1983. I, A

[3] Fredric J. Harris. Multirate Signal Processing for communication systems. Prentice Hall, 2004. I [4] H. Meyr and H. Dawid. CORDIC Algorithms and Architectures. K.K. Parhi and T. Nishitani, marcel

dekker edition, 1999. I

[5] Heinrich Meyr, Marc Moeneclaey, and Stefan A. Fechtel.Digital Communication Receivers : Synchro- nization, Channel Estimation, and Signal Processing. John Wiley & Sons Inc, 2nd edition, November 1997. I

[6] Walter Tuttlebee.Software Defined Radio. Wiley, 2002. I, I.2(b), I.3, II.4, II.5, II.6

[7] P.P. Vaidyanathan. Multirate Systems and Filter Banks. Prentice Hall PTR, February 1993. I

[8] Jouko Vankka. Digital Synthesizers And Transmitters For Software Radio. Kluwer Academic Publi- shers, illustrated edition edition, May 2005. I

43

Table des matières