Section 4.3 La méthode de séparation et d’évaluation progressive
1. Méthode SÉP et noeuds à éliminer.
(a) La région admissible de la relaxation continue (P0) est le polygone OABC représenté à la figure ci-dessous. La solution optimale de (P0) correspond au sommet B = (2,5; 5); en ce point, z atteint sa valeur maximale z0 = 210.
(b) La solution optimale de (P) est le point x* = (4; 4). La valeur maximale du modèle (P) en nombres entiers est z* = 192.
(c) La figure de la page suivante décrit les séparations successives lorsque le modèle (P) est résolu à l'aide de la méthode SÉP. Elle donne également l'arbre d'énumération résultant de ces séparations. La première séparation correspond à enlever la bande
2 < x1 < 3 et x2 0;
la seconde, à enlever la bande
4 < x2 < 5 et x1 3.
4.3.1. Méthode SÉP et noeuds à éliminer - Séquence des séparations et arbre d'énumération
Séparation
Noeud Contraintes
Valeurs optimales
Noeuds
éliminés z z* _ z
Noeuds en attente
z0 = 210 z* 210 P0
x1 2 P0
x1 3
z1 = 177 z2 = 204
z* 204 P1 P2
x2 4 P2
x2 5
z3 = 192 𝒙𝟑∗ adm Adm =
z* = 192 Aucun
P0 : z0 = 210 x1 = 2,50 x2 = 5
x1 2 x1 3
P1 : z1 = 177 P2 : z2 = 204 x1 = 2
x2 = 4,25
x1 = 3 x2 = 4,667
x2 4 x2 5
P3 : z3 = 192 P4
x1 = 4 x2 = 4
Aucune solution admissible
2. Le critère du meilleur cj.
Il est facile de construire l'arbre d'énumération à partir des informations des tableaux ci-dessous.
Noter que les variables n'apparaissant pas explicitement dans les colonnes sous « Solution optimale » prennent la valeur 0 dans toutes les solutions optimales x : par exemple, dans la question (a), la variable x4 est nulle dans les solutions optimales des noeuds (P0), (P1) et (P2).
(a) La solution optimale correspond au noeud (P2) :
x1 = 2 x3 = 4 x2 = x4 = 0 z* = 20.
Séparation Solution optimale Noeuds
z z* _
z Noeuds
Noeud Contraintes x1 x2 x3 z éliminés en attente
3,82 0 3,09 z0 = 20 z* 20 P0
x3 3 P0
x3 4
3,7
2
0,1
0
3
4
z1 = 19,5
z2 = 20
z1 z2
𝒙𝟐∗ adm
z* = 20 Aucun
(b) La solution optimale correspond au noeud (P2) :
x2 = 52 x3 = 36 x1 = x4 = 0 z* = 524.
Séparation Solution optimale Noeuds z z* _
z Noeuds
Noeud Contraintes x2 x3 z éliminés en attente
51,43 35,71 z0 = 518,57 518,57 z* P0
x3 35 P0
x3 36
52,5
52
35
36
z1 = 525
z2 = 524
z1 z2 𝒙𝟐∗ adm
z* = 524 Aucun
3. Le critère de la variable la plus distante.
(a) Pour ce modèle, la suite des séparations dépend du critère retenu, mais la solution optimale obtenue est la même, qu'on utilise le critère de la variable la plus distante ou celui du meilleur cj. Elle correspond, dans le cas du critère de la variable la plus distante, au noeud (P4) :
x1 = 2 x3 = 4 x2 = x4 = 0 z* = 20.
Séparation Solution optimale Noeuds
z z* _
z Noeuds
Noeud Contraintes x1 x3 x4 z éliminés en attente
3,82 3,09 0 z0 = 20 z* 20 P0
x1 3 P0
x1 4
3 3,5 0 z1 = 20
Adm = z* 20 P1
x3 3 P1
x3 4 3
2
3
4
0,2
0
z3 = 19
z4 = 20
z3 z4
𝒙𝟒∗ adm
z* = 20 Aucun
(b) Pour ce modèle également, la suite des séparations dépend du critère retenu, mais la solution optimale obtenue est la même, qu'on utilise le critère de la variable la plus distante ou celui du meilleur cj. Elle correspond, dans le cas du critère de la variable la plus distante, au noeud (P4) :
x2 = 52 x3 = 36 x1 = x4 = 0 z* = 524.
Séparation Solution optimale Noeuds z z* _
z Noeuds
Noeud Contraintes x2 x3 z éliminés en attente
51,43 35,71 z0 = 518,57 518,57 z* P0
x2 51 P0
x2 52 52 35,33 z2 = 522
Adm =
522 z* P2
x3 35 P2
x3 36
52,5
52
35
36
z3 = 525
z4 = 524
z3 z4 𝒙𝟒∗ adm
z* = 524 Aucun
Section 4.4 Ajout de contraintes pour accélérer la méthode SÉP
1. Les premières séparations du modèle pour les meetings préélectoraux.
(a) La séquence des 10 premières séparations est décrite dans le tableau de la page suivante.
Lors des 7e et 8e séparations, deux variables candidates se retrouvent à égalité selon le critère retenu : on les départage à l’aide de l’autre critère. Par exemple, dans le modèle (P2), les variables les plus éloignées de l’entier le plus près sont y5A et y2B ; on retient y5A comme variable de séparation, car son coût unitaire 345 est le «meilleur», c’est-à-dire qu’il est inférieur à celui de y2B.
Les variables xiJ sont entières dans toutes les solutions optimales des différents modèles (Ph) considérés lors des 10 premières séparations. Le tableau ci-dessous donne les valeurs des variables yiJ dans ces mêmes modèles (Ph).
h y1A y2A y3A y4A y5A y6A y1B y2B y3B y4B y5B y6B
0 3,125 – 0,625 4,375 5,750 – – 6,250 5 – – 2,5
1 3,125 – 0,625 4,375 5,750 0,5 – 6,250 5 – – 2
2 3,125 – 0,625 4,375 5,750 – – 6,250 5 – – 3
4 3,125 – 0,625 4,375 5,625 1 – 6,250 5 – 0,125 1,5
5 3,125 – 0,625 4,375 5,125 1,5 – 6,250 5 – 0,625 1
6 3,125 – 0,625 4,375 5,750 1 – 6,250 5 – – 2
8 3,125 – 0,625 4,375 4,625 2 – 6,250 5 – 1,125 0,5
9 3,125 – 0,625 4,375 4,125 2,5 – 6,250 5 – 1,625 –
10 3,125 – 0,625 4,375 5,125 2 – 6,250 5 – 0,625 1
12 3,125 – 0,625 4,375 4,125 3 – 6,250 5 – 1,625 –
13 3,125 – 0,625 4,375 5 – – 6,250 5 – 0,750 3
14 3,125 – 0,625 4,375 6 – – 6,250 5 – – 3
16 3,125 – 1 4 5 – – 6,250 4,625 0,375 – 3
17 3,125 – 1,625 3,375 5 – – 6,250 4 1 0,750 3
18 3,125 – 1 4,375 5 – – 6,250 5 – 0,750 3
20 3,125 – 2 3 5 – – 6,250 3,625 1,375 0,750 3
(b) La contrainte «MINCAR PRh» exige que le nombre total de cars partant du point de rassemblement i ne soit pas inférieur à l’entier obtenu en arrondissant vers le haut le quotient du nombre de partisans rassemblés au point i par la capacité 40 des cars. Voici les 6 contraintes demandées :
MINCAR PR1 y1A + y1B 4
MINCAR PR2 y2A + y2B 7
MINCAR PR3 y3A + y3B 6
MINCAR PR4 y4A + y4B 5
MINCAR PR5 y5A + y5B 6
MINCAR PR6 y + y 3.
4.4.1 Les premières séparations du modèle pour les meetings préélectoraux
Séparation
Noeud Contraintes
Valeurs optimales
Noeuds
éliminés z z* _
z Noeuds
en attente
z0 = 9 726,875 9 726,875 z* P0
y6B ≤ 2 P0
y6B ≥ 3
z1 = 9 738,875 z2 = 9 894,375
9 738,875 z* P1 P2
y6A = 0 P1
y6A ≥ 1 z4 = 9 751,375
Adm =
9 751,375 z* P2 P4
y6B ≤ 1 P4
y6B ≥ 2
z5 = 9 765,375 z6 = 9 918,375
9 765,375 z* P2 P5 P6
y6A ≤ 1 P5
y6A ≥ 2 z8 = 9 779,375
Adm =
9 779,375 z* P2 P6 P8
y6B = 0 P8
y6B ≥ 1
z9 = 9 793,375 z10 = 9 944,875
9 793,375 z* P2 P6 P9 P10
y6A ≤ 2 P9
y6A ≥ 3 z12 = 9 972,875
Adm =
9 894,375 z* P2 P6 P10 P12
y5A ≤ 5 P2
y5A ≥ 6
z13 = 9 897,375 z14 = 9 980,675
4 984 800 z* P6 P10 P12 P13 P14
y3A = 0 P13
y3A ≥ 1
Adm = z16 = 9 901,125
9 901,125 z* P6 P10 P12 P14 P16
y3B ≤ 4 P16
y3B ≥ 5
z17 = 9 907,375 z18 = 10 026,75
9 907,375 z* P6 P10 P12 P14 P17 P18
y3A ≤ 1 P17
y3A ≥ 2 z20 = 9 911,125
Adm =
9 911,125 z* P6 P10 P12 P14 P18 P20
(c) Considérons, à titre d’exemple, le point de rassemblement numéro 6. La méthode SÉP, qui s’interdit de recourir explicitement à des contraintes d’intégrité, proposera initialement de desservir les 100 partisans présents par 2,5 cars. On observe d’ailleurs que, dans les solutions optimales des modèles (P0) et (P1) de la question (a), les variables y6A et y6B atteignent exactement 2,5 au total, ce qui signifie que l’une d’entre elles n’est pas entière. Il faut donc séparer selon ces variables pour les forcer à prendre des valeurs entières. La contrainte
«MINCAR PR6» atteint ce même résultat sans séparation : en exigeant un minimum de 3 pour la somme y6A + y6B, elle rend inadmissibles les solutions optimales de plusieurs modèles (Ph) et
«élimine»les nœuds correspondants.
La méthode SÉP, lorsqu’appliquée au modèle (P’) plutôt qu’à (P), démarre avec une valeur 𝑧0′ plus près de la valeur optimale 10 917 et nécessite donc moins de séparations. Pour justifier cette conclusion, considérons cette fois le point de rassemblement numéro 1. La contrainte
«MINCARPR1» exige 4 cars au minimum au point 1; le coût associé sera d’au moins 4 × 355 = 1420 dollars, alors que dans tous les modèles (Ph) rencontrés à la question (a), il s’élève à seulement 3,125 × 355 = 1109,375 dollars. Le même phénomène s’observera pour les autres points de rassemblement. Ainsi, le modèle initialement considéré lors de la résolution de (P’) présentera un coût 𝑧0′ bien plus élevé que ceux des nœuds (Ph) décrits à la question (a).
2. L’impact de l’absence d’un contrainte redondante.
La tableau de la page suivante décrit la séquence des séparations. La solution optimale, la même que celle donnée au tableau 4.6, est obtenue dès la 1re séparation. Mais, il en faudra 5 autres pour confirmer qu’il s’agit bien d’une solution optimale.
3. Les bennes d’asphalte.
(a) Définition des variables de décision :
xJ = nombre de bennes fournies par le concurrent J vJ = 1 si le concurrent J fournit au moins une benne.
Le modèle s'écrit :
Min z = 500 xA + 450 xB + 435 xC + 5 000 vA + 4 000 vB + 6 000 vC
sous les contraintes :
BESOINS xA + xB + xC 1 050 MAX A xA – 500 vA 0 MAX B xB – 900 vB 0 MAX C xC – 400 vC 0
xJ 0 et entier
4.4.2 L’impact de l’absence d’un contrainte redondante : séquence des séparations
Séparation
Noeud Contraintes
Valeurs optimales
Noeuds
éliminés z z* _
z Noeuds
en attente
z0 = 10 749,5 10 749,5 z* P0
y6B ≤ 2 P0
y6B ≥ 3
z1 = 10 761,5
z2 = 10 917 𝒙𝟐∗ adm
10 761,5 z* 10 917 P1
y6A = 0 P1
y6A ≥ 1 z4 = 10 774
Adm =
10 774 z* 10 917 P4
y6B ≤ 1 P4
y6B ≥ 2
z5 = 10 788
z6 = 10 941 𝒙𝟔∗ adm
10 788 z* 10 917 P5
y6A ≤ 1 P5
y6A ≥ 2 z8 = 10 802
Adm =
10 802 z* 10 917 P8
y6B = 0 P8
y6B ≥ 1
z9 = 10 816
z10 = 10 967,5 z10 z2
10 816 z* 10 917 P9
y6A ≤ 2 P9
y6A ≥ 3 z12 = 10 995,5
Adm = z12 z2
10 917 z* 10 917 Aucun
(b) Le tableau de la page suivante décrit les séparations successives et la figure donne l'arbre d'énumération résultant de ces séparations. Une solution optimale donne :
vB = vC = 1 xB = 650 xC = 400 z = 476 500.
(c) Pour accélérer la recherche d'une solution optimale, on peut ajouter au modèle (P) construit en (a) l'inéquation suivante :
vA + vB + vC 2. (*)
Le modèle (P') ainsi obtenu n’exige aucune séparation, car la solution optimale de sa relaxation continue satisfait à toutes les contraintes d'intégrité de (P'). L’efficacité de la contrainte (*) provient du fait qu’elle n’est vérifiée par aucun des nœuds (P0) et (P2) qui doivent être séparés dans l’arbre construit en (b) ; ces nœuds n’ont donc plus à être analysés, et la méthode SÉP en est accélérée.
4.4.3. Les bennes d’asphalte - Séquence des séparations et arbre d'énumération
Séparation
Noeud Contraintes
Valeurs optimales
Noeuds
éliminés z z* _
z Noeuds
en attente
z0 = 475 389 475 389 z* P0
vB = 0 P0
vB = 1 z2 = 476 500
Adm =
476 500 z* P2
vC = 0 P2
vC = 1
z3 = 485 500 z4 = 476 500
z3 z4
𝒙𝟒∗ adm
z* = 476 500 Aucun
P0 : z0 = 475 389 xB = 650 xC = 400 vB = 0,72 vC = 1
vB = 0 vB = 1
P1 P2 : z2 = 476 500 Aucune solution
admissible
xB = 900 xC = 150 vB = 1 vC = 0,38
vC = 0 vC = 1
P3 : z3 = 485 500 P4 : z4 = 476 500 xA = 150
xB = 900 vA = 0,3 vB = 1
xB = 650 xC = 400 vB = 1 vC = 1
