Séries de Fourier

Exo7

Séries de Fourier

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche surwww.maths-france.fr

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Exercice 1 **

1. Soit f la fonction définie surR, 2π-périodique et impaire telle que∀x∈ 0,^π₂

, f(x) =sin ₂^x

. Déter- miner f(x)pour tout réelx.

2. Soit fla fonction définie surR, 2π-périodique et paire telle que∀x∈ 0,^π₂

, f(x) =sin ₂^x

. Déterminer f(x)pour tout réelx.

CorrectionH ^[005781]

Exercice 2

Développer en série de FOURIERles fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées : 1) (**) f : R→R2π-périodique paire telle que∀x∈[0,π], f(x) =1−^2x_π. En déduire∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 2,∑^+∞_n=1n¹2

et∑^+∞_n=1n¹4.

2) (**) f : R→R2π-périodique impaire telle que∀x∈[0,π], f(x) =x(π−x). En déduire ∑^+∞_n=0 ⁽⁻¹⁾

n

(2n+1)³,

∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 6 et∑^+∞_n=1n¹6.

3) (**) f : R→R2π-périodique telle que∀x∈]−π,π], f(x) =sin ^x₂

. En déduire∑^+∞_n=0(−1)ⁿ_16n2²ⁿ⁺¹+16n+3. 4) (***) f : R→R2π-périodique telle que∀x∈[−π,π], f(x) =ch(λx)(λ réel strictement positif donné).

En déduire∑^+∞_n=1 ⁽⁻¹⁾

n

λ²+n²,∑^+∞_n=1λ2+n^{1 2} et∑^+∞_n=1(λ2+n^{1 2})².

5) (**) f : R→Rtelle que∀x∈R, f(x) =sup(0,sinx). En déduire∑^+∞_n=14p2¹−1.

CorrectionH ^[005782]

Exercice 3 ***

Soita∈C\[−1,1].

1. (a) Développer en série trigonométrique la fonction f : t7→ a−¹cost (utiliser la racine de plus petit module, notéeb, de l’équationz²−az+1=0).

(b) La série obtenue est-elle la série de FOURIERde f? 2. Déduire de 1) la valeur des intégralesIn=^R₀^πcos(nt)_a−cost dt,n∈N.

CorrectionH ^[005783]

Exercice 4 *** I

(un développement en série de fonctions de _sin(πz)^π et cotan(πz)).

Soitα∈C\Z. Soit f l’application deRdansC, 2π-périodique telles que∀x∈[−π,π], f(x) =cos(αx).

1. Développer la fonction f en série de FOURIER. 2. En déduire que pour toutz∈C\Z,

π

sin(πz)=¹_z+∑^+∞_n=1(−1)ⁿ_z2^2z−n² etπcotan(πz) =¹_z+∑^+∞_n=1z2^2z−n².

CorrectionH ^[005784]

Exercice 5 **

Développer en série de FOURIERla fonction f : x7→x−E(x)−¹₂.

CorrectionH ^[005785]

Correction del’exercice 1N

1. •Puisque f est impaire, f(0) =0. Puisque f est impaire et 2π-périodique,−f(π) = f(−π) = f(π)et donc f(π) =0. Puisque fest 2π-périodique, pourk∈Z, f(2kπ) =f(0) =0 et f((2k+1)π) =f(π) =0.

Finalement,∀k∈Z, f(kπ) =0.

Soitx∈]−π,0[. Puisque f est impaire, f(x) =−f(−x) =−sin −^x₂

=sin ^x₂

et donc∀x∈]−π,π[, f(x) =sin ^x₂

.

Soitx∈R\πZ. Il existek∈Ztel que−π<x−2kπ<πet puisque f est 2π-périodique,f(x) =f(x− 2kπ) =sin ^x−2kπ₂

= (−1)^ksin ^x₂

. De plus,−π<x−2kπ<π⇒k<^x+π_2π <k+1 etk=E ^x+π_2π .

∀x∈R, f(x) =

0 six∈πZ (−1)^ksin ^x₂

oùk=E ^x+π_2π

six∈/πZ . 2. • Soit x∈[−π,0]. Puisque f est paire, f(x) = f(−x) =sin −₂^x

=sin ₂^x

et donc∀x∈[−π,π], f(x) =sin

^x

2

.

Soitx∈R. Il existek∈Ztel que−π<x−2kπ6πet puisquef est 2π-périodique,f(x) = f(x−2kπ) = sin

^x−2kπ₂ .

∀x∈R, f(x) =sin ₂^x−kπ

oùk=E ^x+π_2π .

Correction del’exercice 2N

1. La fonction f est continue par morceaux surRet 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1

−1

−π π 2π

−2π

Puisque f est paire,∀n∈N^∗,bn(f) =0 puis pourn∈N,an(f) =²_π^R₀^π 1−^2x_π

cos(nx)dx.

Par suite,a₀(f) =0 puis pourn∈N^∗, a_n(f) = ²_π

h

1−^2x_πsin(nx)

n

iπ

0+_nπ^{2 R}₀^πsin(nx)dx

=_nπ⁴2

h−cos(nx) n

iπ

0 =⁴⁽¹⁻_n2⁽π⁻²¹⁾ⁿ⁾.

La fonction fest 2π-périodique, continue surRet de classeC¹par morceaux surR. D’après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIERde f converge vers f surR. Par suite, pour tout réelx,

f(x) =^a0(₂^f)+∑^+∞_n=1(an(f)cos(nx) +b_n(f)sin(nx)) = _π⁴2∑^+∞_n=1¹⁻⁽⁻¹⁾

n

n² cos(nx) =_π⁸2∑^+∞_p=0cos((2p+1)x) (2p+1)² .

∀x∈R, f(x) = ⁸

π²∑^+∞_n=0cos((2n+1)x) (2n+1)² . L’égalité f(0) =1 fournit∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 2 =^π₈². Ensuite, siS=∑^+∞_n=1n¹2, on a

S=∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 2 +∑^+∞_n=1(2n)¹2 =^π₈²+^S₄, et doncS=⁴₃×^π₈² =^π₆².

D’autre part, puisque f est continue par morceaux sur Ret 2π-périodique, la formule de PARSEVAL

fournit ^(a0(₂^f))2+∑^+∞_n=1((an(f))²+ (bn(f))²) =¹_π^R₋^π_π(f(x))²dxet donc

64

π⁴∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 4 =_π^2R₀^π 1−^2x_π2

dx=

h−¹₃ 1−^2x_π3iπ 0 =²₃ et donc∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 4 = ²₃×^π₆₄⁴ =^π₉₆⁴. Enfin, si on poseS=_n¹4,

S=∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 4+∑^+∞_n=1(2n)¹4 =^π₉₆⁴+₁₆^S, et doncS=¹⁶₁₅×^π₉₆⁴ =^π₉₀⁴.

∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 2 =^π₈²,∑^+∞_n=1n¹2 =^π₆² et∑^+∞_n=1n¹4 =^π₉₀⁴.

2. La fonction f est continue par morceaux surRet 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3

−1

−2

−3

−π π 2π

−2π

Puisque f est impaire,∀n∈N,an(f) =0 puis pourn∈N^∗,

b_n(f) = 2 π

Z _π

0

x(π−x)sin(nx)dx= 2 π

x(π−x)−cos(nx) n

π 0

+1 n

Z _π

0

(π−2x)cos(nx)dx

= 2 nπ

(π−2x)sin(nx) n

π 0

+2 n

Z _π

0

sin(nx)dx

= 4 n²π

−cos(nx) n

π 0

=4(1−(−1)ⁿ) n³π .

La fonction fest 2π-périodique, continue surRet de classeC¹par morceaux surR. D’après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIERde f converge vers f surR. Par suite, pour tout réelx,

f(x) = ^a0₂^(f)+∑^+∞_n=1(an(f)cos(nx) +bn(f)sin(nx)) =_π⁴∑^+∞_n=1¹⁻⁽⁻¹⁾

n

n³ sin(nx) =_π⁸∑^+∞_p=0sin((2p+1)x) (2p+1)³ .

∀x∈R, f(x) =_π⁸∑^+∞_n=0sin((2n+1)x) (2n+1)³ . L’égalité f ^π₂

=^π₄² fournit∑^+∞_n=0(−1)ⁿ_(2n+1)¹ 3 =^π₃₂³. Ensuite, puisque f est continue par morceaux sur Ret 2π-périodique, la formule de PARSEVALfournit^(a0(f₂⁾⁾²+∑^+∞_n=1((an(f))²+(bn(f))²) =¹_π^R₋^π_π(f(x))²dx et donc

64

π²∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 6 =_π^2R₀^πx²(π−x)²dx=_π²h

π^2x₃³ −2π^x₄⁴ +^x₅⁵iπ

0=2π^{4 1}₃−¹₂+¹₅

=^π₁₅⁴ et donc∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 6 = ^π₆₄²×^π₁₅⁴ =₉₆₀^π6. Enfin, si on poseS= _n¹6,

S=∑^+∞_n=0(2n+1)¹ 6+∑^+∞_n=1(2n)¹6 = ₉₆₀^π6 +₆₄^S,

et doncS=⁶⁴₆₃×₉₆₀^π6 =₉₄₅^π6 .

∑^+∞_n=0(−1)ⁿ_(2n+1)¹ 3 =^π₃₂³,∑^+∞_n=1(2n+1)¹ 6 =₉₆₀^π6 et∑^+∞_n=1n¹6 =₉₄₅^π6 .

3. La fonction f est continue par morceaux surRet 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3

−1

−2

−3

−π π 2π

−2π

b

b

) )

La fonction f a mêmes coefficients de FOURIER que la fonction g définie sur R, impaire et 2π- périodique telle que∀x∈

0,^π₂

,g(x) =0. Donc∀n∈N,a_n(f) =0 puis pourn∈N^∗,

b_n(f) = 2 π

Z _π

0

sin x

2

sin(nx)dx= 1 π

Z _π

0

cos

n−1

2

x

−cos

n+1 2

x

dx

= 1 π

"

sin n−¹₂ x

n−¹₂ −sin n+¹₂ x n+¹₂

#π

0

= 1

π −(−1)ⁿ

n−¹₂ −(−1)ⁿ n+¹₂

!

=−(−1)ⁿ π

2n

n²−¹₄ =−(−1)ⁿ π

8n 4n²−1.

La fonction f est 2π-périodique et de classeC¹ par morceaux sur R. D’après le théorème de DIRI-

CHLET, la série de FOURIERde f converge en tout réelxet a pour somme ¹₂(f(x⁺) +f(x⁻). En parti- culier,

∀x∈]−π,π[, sin ₂^x

=−_π⁸∑^+∞_n=1(−1)ⁿ_4n2ⁿ−1sin(nx).

L’égalité f ^π₂

=√¹

2 fournit

√1

2=−_π⁸∑^+∞_n=0(−1)ⁿ_4n2ⁿ

−1sin n^π₂

=_π⁸∑^+∞_p=04(2p+1)^2p+12−1sin (2p+1)^π₂

= ⁸_π∑^+∞_p=0(−1)^p_16p^2p+1_2+1p+3,

∑^+∞_n=0(−1)ⁿ_16n2²ⁿ⁺¹_+16n+3= ^π

8√ 2.

4. f est 2π-périodique, continue par morceaux surRet paire. Pourn∈N^∗,b_n(f) =0 puis pourn∈N, an(f) =_π^1R₋^π_πch(λx)cos(nx)dx.

1ère solution.Soitn∈N.

a_n(f) = 1 πRe

_{Z π}

−π

ch(λx)e^inxdx

= 1 2πRe

_{Z π}

−π

e^(λ+in)xdx+ Z _π

−π

e^(−λ+in)xdx

= 1

2πRe e^(λ+in)π−e^−(λ+in)π

λ+in +e^(−λ+in)π−e^{−(−λ+in)π}

−λ+in

!

=(−1)ⁿ 2π Re

2 sh(λ π)

λ+in +−2 sh(λ π)

−λ+in

=(−1)ⁿsh(λ π)

π Re

λ−in

λ²+n²+ λ+in λ²+n²

=2λsh(λ π)

π × (−1)ⁿ n²+λ² 2ème solution.Une double intégration par parties fournit

an(f) = 1 π

sh(λx)

λ cos(nx) π

−π

+n λ

Z _π

−π

sh(λx)sin(nx)dx

= 1 π

2(−1)ⁿsh(λ π)

λ +n

λ Z _π

−π

sh(λx)sin(nx)dx

= 1 π

2(−1)ⁿsh(λ π)

λ +n

λ

ch(λx) λ sin(nx)

π

−π

−n λ

Z _π

−π

ch(λx)cos(nx)dx

=2(−1)ⁿsh(λ π) λ π −n²

λ²a_n(f),

et donc∀n∈N,an(f) =²⁽⁻¹⁾_{λ π}^{nsh(λ π)}×_n^2λ_+λ^{2 2} =^{2λsh(λ π)}_π ×_n⁽⁻²_+λ¹⁾ⁿ².

La fonction fest 2π-périodique, continue surRet de classeC¹par morceaux surR. D’après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIERde f converge vers f surR. On en déduit que

∀x∈R, f(x) =^{sh(λ π)}_{λ π} +^{2λsh(λ π)}_π ∑^+∞_n=1 ⁽⁻¹⁾

n

n²+λ²cos(nx).

L’égalité f(0) =1 fournit 1=^{sh(λ π)}_{λ π} +^{2λsh(λ π)}_π ∑^+∞_n=1 ⁽⁻¹⁾

n

n²+λ² et donc

∑^+∞_n=1 ⁽⁻¹⁾

n

n²+λ² =_{2λsh(λ π)}^π

1−^{sh(λ π)}_{λ π}

=^{π(sh(λ π)}_2λ2πsh(λ π)^{−π λ)}

et l’égalité f(π) =ch(λ π)fournit

∑^+∞_n=1n2+λ^{1 2} =_{2λsh(λ π)}^π

ch(λ π)−^{sh(λ π)}_{λ π}

=^{λ πch(λ π)}_{2λ2sh(λ π)}^{−sh(λ π)}

∀λ >0,∑^+∞_n=1 ⁽⁻¹⁾

n

n²+λ² =_{2λsh(λ π)}^π et∑^+∞_n=1n2+λ^{1 2} =^{λ πch(λ π)}_{2λ2sh(λ π)}^{−sh(λ π)}.

La fonction fest 2π-périodique, continue par morceaux surR. L’égalité de PARSEVALs’écrit ^(a0(₂^f))2+

∑^+∞_n=1((an(f))²+ (bn(f))²) =_π^1R₋^π_π(f(x))²dxavec

1 π

R_π

−π(f(x))²dx=_π^1R₋^π_πch²(λx)dx=_π^1R₋^π_π^ch(2λx)+1₂ dx=1+^{sh(2λ π)}_2π , et donc 1+^{sh(2λ π)}_2π =^{2 sh2(λ π)}

π²λ² +^{4λ2sh2(λ π)}

π² ∑^+∞_n=1(λ2+n^{1 2})² puis

∑^+∞_n=1(λ2+n^{1 2})² = ^π2

4λ²sh²(λ π)

1+^{sh(2λ π)}_2π −^{2 sh}_π²2^{(λ π)}λ²

=^{2π2λ2+π λsh(2λ π)−4λ2sh2(λ π)}

8λ⁴sh²(λ π) .

∀λ>0,∑^+∞_n=1(λ2+n^{1 2})² =^{π2λ2+π λ}ch(λ π)sh(λ π)−2λ²sh²(λ π) 4λ²sh²(λ π) .

5. La fonction f est continue par morceaux surRet 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3

−1

−2

−3

e

−π π 2π

−2π

Soitn∈N.

a_n(f) = 1 π

Z _π

−π

sup(sinx,0)cos(nx)dx= 1 π

Z _π

0

sinxcos(nx)dx= 1 2π

Z _π

0

sin((n+1)x)−sin((n−1)x)dx

= ( ₁

2π

R_π

0 sin(2x)dxsin=1

1 2π

h

−cos((n+1)x)

n+1 +^cos((n_n−⁻₁^1)x) iπ

0 sin6=1 =







1 2π

h

−^cos(2x)₂ iπ

0 sin=1

1 2π

−⁽⁻¹⁾_n+1ⁿ⁺¹⁻¹+⁽⁻¹⁾_n−ⁿ⁻₁¹⁻¹

sin6=1

=

( 0 sin=1

−¹⁺⁽_π⁻¹⁾ⁿ_n2¹−1 sin6=1 Soitn∈N^∗.

b_n(f) = 1 π

Z _π

0

sinxsin(nx)dx= 1 2π

Z _π

0

(cos((n−1)x)−cos((n+1)x))dx= ( ₁

2 sin=1 0 sin6=1 La fonction fest 2π-périodique, continue surRet de classeC¹par morceaux surR. D’après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIERde f converge vers f surR. On en déduit que pour tout réelx

sup(sinx,0) =_π¹+^sinx₂ −¹_π∑^+∞_n=2¹⁺⁽⁻¹⁾

n

n²−1 cos(nx) = ¹_π+^sinx₂ −_π²∑^+∞_p=14p¹2−1cos(2px).

∀x∈R, sup(sinx,0) =_π¹+^sin₂^x−_π²∑^+∞_n=14n2¹−1cos(2nx).

L’égalité f(0) =0 fournit ¹_π−_π²∑^+∞_n=14n2¹−1=0 et donc

∑^+∞_n=14n2¹−1 =¹₂. Remarque.∑^+∞_n=14n2¹−1 =limN→+∞1

2∑^N_{n=1 2n}¹₋₁−_2n+1¹

=limN→+∞1

2 1−_2N+1¹

=¹₂

Correction del’exercice 3N

1. (a) Soita∈C\[−1,1]. Pour tout réelt,a−cost6=0 et

1

a−cost =_2a−e²it−e−it =_(eit)^2−2e−2ae^itit+1.

L’équationz²−2az+1=0 admet deux solutions non nulles inverses l’une de l’autre. On notebla solution de plus petit module de sorte que|b|61.

On ne peut avoir|b|=1 car alors il existeθ ∈Rtel queb=e^iθ. On en déduit que 2a=b+¹_b = 2 cosθ ∈[−2,2] puis que a∈[−1,1]ce qui n’est pas. Donc |b| 6=1. Plus précisément, puisque

|b|6 ¹_b

, on a|b|<1 et ¹_b

. En particulier,b6=¹_b. Ensuite, pour|t|<|b|, on a

1

a−cost = −2e^it (e^it−b) e^it−¹b

= 2

1 b−b

b

e^it−b− 1/b e^it−¹b

!

= 2b 1−b²

be^−it

1−be^−it + 1 1−be^it

= 2b

1−b² be^−it

+∞

∑

n=0

bⁿe^−int+

+∞

∑

n=0

bⁿe^int

!

(car|be^it|=|be^−it|=|b|<1)

= 2b 1−b²

+∞

n=0

∑

bⁿ⁺¹e^−i(n+1)t+

+∞

n=0

∑

bⁿe^int

!

= 2b

1−b² 1+

+∞

n=1

∑

bⁿe^int+

+∞

n=1

∑

bⁿe^−int

!

= 2b

1−b² 1+2

+∞

n=1

∑

bⁿcos(nt)

! .

∀t∈R, _a−cost¹ =₁₋^2b_b2 1+2∑^+∞_n=1bⁿcos(nt) .

(b) Pour tout réelt∈[−π,π]et tout entier naturel non nuln, on a|bⁿcos(nt)|6|b|ⁿ. Comme la série numérique de terme général|b|ⁿconverge, on en déduit que la série de fonctions de terme général t7→bⁿcos(nt),n∈N, converge normalement et donc uniformément sur le segment[−π,π].

On sait alors que la série obtenue est la série de FOURIERde f.

2. Puisque la fonction f est paire, pour tout entier natureln,an(f) = ²_π^R₀^π_a^cos(nt)_−cost dt. Donc, pour tout entier natureln(y compris pourn=0),

R_π

0 cos(nt)

a−cost dt= ^πan₂^(f)=^2b₁^n+1π

−b²

Finalement,

∀n∈N,^R₀^πcos(nt)_a−cost dt=^2b₁^n+1π

−b² .

Correction del’exercice 4N

1. Soitα∈C\Z. La fonction f est 2π-périodique, continue surRet de classeC¹par morceaux surR.

Donc la série de FOURIERde f converge vers f surRd’après le théorème de DIRICHLET. Puisque f est paire,∀n∈N^∗,b_n(f) =0 puis pourn∈N,

an(f) = 2 π

Z _π

0

cos(αx)cos(nx)dx= 1 π

Z _π

0

(cos((n+α)x) +cos((n−α)x))dx

= 1 π

sin((α+n)x)

α+n +sin((α−n)x) α−n

π 0

(carα∈/Z)

= 1 π

sin((α+n)π)

α+n +sin((α−n)π) α−n

= (−1)ⁿ2αsin(α π) π(α²−n²) Finalement,

∀α∈C\Z,∀x∈[−π,π], cos(αx) =^{sin(α π)}_{α π} +^{sin(α π)}_π ∑^+∞_n=1(−1)^{n 2α}

α²−n²cos(nx).

2. Soitz∈C\Z.

On prendα =zetx=0 dans la formule précédente et on obtient 1=^sin(πz)_πz +^sin(πz)_π ∑^+∞_n=1(−1)ⁿ_z2^2z−n²

(∗). Maintenant,

sin(πz) =0⇔_2i¹(e^iπz−e^−iπz) =0⇔e^iπz=e^−iπz⇔e^2iπz=1⇔2iπz∈2iπZ⇔z∈Z. Puisquez∈C\Z, sin(πz)6=0 et l’égalité(∗)peut s’écrire _sin(πz)^π =¹_z+∑^+∞_n=1(−1)ⁿ_z2^2z−n².

De même, en prenantα=zetx=π, on obtient cos(πz) =^sin(πz)_πz +^sin(πz)_π ∑^+∞_n=1z2^2z−n² et doncπcotan(πz) =

1

z+∑^+∞_n=1z2^2z−n².

π

sin(πz)=¹_z+∑^+∞_n=1(−1)ⁿ_z2^2z−n² etπcotan(πz) =¹_z+∑^+∞_n=1z2^2z−n².

Correction del’exercice 5N

La fonction f est 1-périodique, continue par morceaux surR. On peut donc calculer ses coefficients de FOU-

RIER.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1

−1

b b b b b

b

b

b

b

( ( ( ( (

( ( ( (

La fonction f a mêmes coefficients de FOURIERque la fonctiong : x7→

f(x)six∈/Z

0 six∈Z qui est impaire.

Donc,∀n∈N,an(f) =0 puis pourn∈N^∗

b_n(f) =2 1

Z ₁

0

f(t)sin 2nπt

1

dt= Z ₁

0

(2t−1)sin(2nπt)dt

=

−(2t−1)cos(2nπt) 2nπ

1 0

+ 1 nπ

Z ₁

0

cos(2nπt)dt=

− 1 2nπ − 1

2nπ

+0

=− 1 nπ.

La fonction f est de plus de classeC¹ par morceaux surRet d’après le théorème de DIRICHLET, en tout réel x, la série de FOURIERde f converge et a pour pour somme¹₂(f(x⁺) +f(x⁻)). En particulier,

∀x∈R\Z, f(x) =x−E(x)−¹₂=−∑^+∞_n=1^sin(2nπx)_nπ .

Soit p∈N^∗. Pourn∈N^∗,

b_n(f_p) =2 Z ₁

0

f(pt)sin(2nπt)dt=2 Z p

0

f(u)sin

2nπu p

du p

=

−(2t−1)cos(2nπt) 2nπ

1 0

+ 1 nπ

Z ₁

0

cos(2nπt)dt=

− 1 2nπ− 1

2nπ

+0

=− 1 nπ.

Remarque.Soientp∈N^∗etx∈[0,1]\n

k

p,k∈[[0,p]]

o

. Alorspx∈/Zet donc

f_p(x) =f(px) =−∑^+∞_n=1^sin(2npπx)_nπ =∑^+∞_k=1b_k,psin(2kπx) où∀k∈N^∗,b_k,p=

( 0 sik∈/ pZ

−^k1

pπ sik∈pZ mais malheureusement, on ne peut pas récupérer ces coefficients car la série obtenue ne converge pas normalement.

∀(p,q)∈(N^∗)²,^R₀¹fq(x)fq(x)dx=(PGCD(p,q))² 12pq .