Particle Physics Booklet et notes de cours/TD autoris´es

UGA - Master 2 Physique Subatomique et Cosmologie 18 d´ecembre 2019, dur´ee 3h

Examen de Physique des Particules 1 — Corrig´e

Particle Physics Booklet et notes de cours/TD autoris´es

Exercice 1 : La largeur du quark top

Nous allons calculer dans la suite la largeur de la d´esint´egration suivante du quark top : t(p)→b(p₁) +W_µ⁺(p₂),

en n´egligeant la masse du quarkb.

Rappel : Le vertexV_tbW prend la forme^√ig

2V_tbγ^µP_LavecP_L= (1−γ₅)/2.

a) Justifiez pourquoi la largeur totaleΓ_tot 'Γ(t→bW⁺).

b) Donnez l’´el´ement de matriceM_{f i}.

c) Calculez le carr´e de l’´el´ement de matrice|Mf i|² (en effectuant la somme/moyenne sur les spins et couleurs) en fonction des invariantsp·p₁, p·p₂, p₁·p₂.

Rappel : La relation de fermeture pour le bosonW est donn´ee par : X

λ

ε^µ(λ, p₂)ε^ν∗(λ, p₂) =

−g^µν+p^µ₂p^ν₂ m²_W

.

d) Exprimez les invariantsp·p₁, p·p₂, p₁ ·p₂ en fonction dem_tetm_W et trouvez alors le r´esultat final pour|Mf i|².

Si vous n’avez pas trouv´e la bonne solution vous pouvez supposer par la suite que|M_{f i}|²est une constante.

e) Pr´ecisez la d´efinition de la largeurΓ(t→bW⁺).

f) Calculez l’espace de phaseR

dP S1→2 en fonction dem_tetm_W. g) Montrez ainsi que la largeur peut ˆetre mise sous la forme :

Γ(t→bW⁺) = G_F 8π√

2m³_t|V_tb|²

1− m²_W m²_t

2

1 + 2m²_W m²_t

.

h) Donnez les valeurs num´eriques pour la largeur Γ(t → bW⁺) en GeV et la dur´ee de vie τ en secondes. Comparez la largeur avec la valeur dans le PDG booklet. Commentez pourquoi le quark top est sp´ecial dans un certain sens.

Exercice 1a)

PDG booklet :Γtot 'P

q=b,s,dΓ(t→W⁺q)etΓ(t→W⁺b)/P

q=b,d,sΓ(t→W⁺q) = 0.0957±0.034.

Par cons´equent,Γ_tot 'Γ(t→W⁺b)avec un rapport de branchement d’environ96±3%.

Exercice 1b)

L’´el´ement de matrice (`a leading order) s’´ecrit en utilisant les r`egles de Feynman

−iM_{f i} = ¯u(p₁) ig

√2V_tbγ^µP_L

u(p)^∗_µ(p₂). Donc,

M_{f i} =−¯u(p₁) g

√2V_tbγ^µP_L

u(p)^∗_µ(p₂).

Exercice 1c)

On trouve :

M_{f i}^∗ =−¯u(p) g

√2V_tb^∗P_Rγ^ν

u(p₁)_ν(p₂),

|M|² =M M^∗ = g²

2|Vtb|²u(p¯ 1) [γ^µPLu(p)¯u(p)PRγ^ν]u(p1)^∗_µ(p2)ν(p2),

|M|² = 1 2

X

s1

X

s2

X

λ

|M|²,

ou s₁ est le spin du quark top,s₂ le spin du quarkb etλla polarisation du bosonW⁺. Notez que nous avons ici supprim´e le facteur de couleur qui est ´egale a 1 :

1 3

3

X

i=1 3

X

j=1

δ_ijδ_ji = 1,

o`u il faut moyenner sur la couleur du quark top (i) et faire une somme sur la couleur du quark b (j). Le vertexV<sub>tbW</sub> ne change pas la couleur et est donc proportionnel `aδ_ij (facteur qui serait `a inclure dansM_{f i}).

En utilisant les r`egles de fermeture pour les quarks et le bosonW :

|M|² = 1 2

g²

2|V_tb|²Tr[p/₁γ^µP_L(p/+m_t)P_Rγ^ν]

−g_µν +p_2µp_2ν m²_W

.

En utilisant les propri´et´es des projecteurs P_LP_R = 0,P_L² = P_L, P_R² = P_Ret P_Rγ^ν = γ^νP_Lla trace se simplifie :

Tr[p/₁γ^µP_L(p/+m_t)P_Rγ^ν] = Tr[p/₁γ^µP_Lp/P_Rγ^ν] +m_tTr[p/₁γ^µP_LP_R

| {z }

=0

γ^ν]

= Tr[p/₁γ^µp/γ^νP_L] = 1

2Tr[p/₁γ^µp/γ^ν(1 +γ₅)]

= 1

24(p^µ₁p^ν +p^ν₁p^µ−p₁·p g^µν) + 1

24i_αµβνp^α₁p^β.

La partie proportionnelle `a <sub>αµβν</sub> ne contribue pas `a |M|² car elle est anti-sym´etrique en µν et est contract´ee avec−g_µν+ ^p2µ_m2^p2ν

W

qui est sym´etrique enµν. On trouve alors :

|M|² = g²

8 |V_tb|²4(p^µ₁p^ν +p^ν₁p^µ−p₁·p g^µν)

−g_µν +p_2µp_2ν m²_W

= g² 2 |V_tb|²

p₁·p+ 2p·p₂p₁·p₂ m²_W

.

Exercice 1d)

En utilisantp² =m²_t,p²₁ =m²_b = 0,p²₂ =m²_W etp=p₁+p₂:

(p−p₁)² =p²₂ =m²_W =m²_t −2p·p₁, (p−p₂)² =p²₁ = 0 =m²_t +m²_W −2p·p₂, (p₁+p₂)² =p² =m²_t =m²_W + 2p₁·p₂, ce qui donne

p·p1 = 1

2(m²_t −m²_W) = m²_t 2

1− m²_W m²_t

= m²_t

2 (1−x), p·p₂ = 1

2(m²_t +m²_W) = m²_t 2

1 + m²_W m²_t

= m²_t

2 (1 +x), p₁·p₂ = 1

2(m²_t −m²_W) = m²_t 2

1− m²_W m²_t

= m²_t

2 (1−x), avecx:=m²_W/m²_t.

Le carr´e de l’´el´ement de matrice prend donc la forme finale suivante :

|M|² = g²

2|V_tb|²m²_t 2

1−x+ m²_t

m²_W(1 +x)(1−x)

= g²

2|Vtb|²m²_t 2

1−x

x [x+ (1 +x)]

= g²

4m²_W|V_tb|²m⁴_t(1−x)(1 + 2x). Notez que|M|² est une constante.

Exercice 1e)

L’expression g´en´erale s’´ecrit

Γ(t→bW⁺) = 1 F

Z

|M|²dP S1→2,

avecF = 2E_t. Puisque|M|² est une constante, la largeur dans le r´ef´erentiel o`u le quark top est au repos est donn´ee par

Γ(t →bW⁺) = 1 2m_t|M|²

Z

dP S1→2,

Exercice 1f)

L’espace de phase est donn´e par Z

dP S_1→2 =

Z d³~p₁ (2π)³2E₁

d³~p₂

(2π)³2E₂(2π)⁴δ⁽⁴⁾(p₁+p₂−p)

= 1 4π²

Z d³~p₁ 2E₁

d³p~₂

2E₂δ⁽⁴⁾(p1+p2−p)

= 1 4π²

Z

d⁴p₁δ₊(p²₁)d³~p₂ 2E2

δ⁽⁴⁾(p₁+p₂−p)

= 1 4π²

Z

d⁴p₁δ₊((p−p₂)²)d³~p₂ 2E₂ = 1

4π² Z

δ₊(m²_t +m²_W −2m_tE₂)d³~p₂ 2E₂ . En utilisant

δ₊(m²_t +m²_W −2m_tE₂) = 1 2m_tδ₊

m²_t +m²_W 2m_t −E₂

,

d³~p₂ = 4π|~p₂|²d|~p₂|= 4π|~p₂|E₂dE₂ car |~p₂|d|~p₂|=E₂dE₂, d³~p₂

2E₂ = 2π|~p₂|dE₂, l’espace de phase prend la forme

Z

dP S1→2 = 1 4πmt

|~p₂|= 1 4πmt

|~p₁| car~p₁+~p₂ =~p= 0et donc~p₂ =−p~₁.

Notez que ce r´esultat est essentiellement donn´e dans le PDG booklet (Chap. 46, Kinematics).

Finalement, il faut ´evaluer|~p₁|:

|~p₁|=E₁ = p·p₁ m_t

=d) m_t

2 (1−x) avec x= m²_W m²_t , et le r´esultat final pour l’espace de phase s’´ecrit

Z

dP S_1→2 = 1

8π(1−x). Calcul alternatif :

Z

dP S_1→2 =

Z d³~p₁ (2π)³2E₁

d³~p₂

(2π)³2E₂(2π)⁴δ⁽⁴⁾(p₁+p₂−p) avec p= (m_t, ~0)^T

= 1 4π²

Z d³~p₁ 2E₁

d³p~₂

2E₂δ(E1 +E2−mt)δ⁽³⁾(~p1+~p2)

= 1 4π²

1 4

Z d³~p₁ E1E2

δ(E₁+E₂−m_t) avec E₁ =|~p₁|, ~p₂ =−~p₁

= 1 4π²

1 4

Z ∞ 0

4π|~p₁|²d|~p₁|

|~p₁|E₂ δ(|~p₁|+E₂−m_t)

= 1 4π

Z ∞ 0

|~p₁|d|~p₁|

E₂ δ(|~p₁|+E₂−m_t).

Pour ´evaluer la distribution delta il faut prendre en compte queE₂ est une fonction de|~p₁|: E₂ =

q

m²_W +~p²₂ = q

m²_W +~p²₁.

Pour cette raison, c’est plus facile d’int´egrer directement sur l’argument de la distribution delta : d|~p₁|= d|~p₁|

d(|~p₁|+E₂−m_t)d(|~p₁|+E₂−m_t). L’inverse du Jacobien est donn´e par

d(|~p1|+E2−mt)

d|~p₁| = 1 + dE2

d|~p₁| = 1 + |~p1|

E₂ = E2+|~p1

E₂ = E2+E1

E₂ = mt

E₂ et on obtient

d|~p₁|= E₂

m_td(|~p₁|+E₂−m_t). En injectant cette expression dans l’espace de phase donne

Z

dP S1→2 = 1 4π

|~p₁| m_t . Exercice 1g)

Avec les r´esultats pr´ecedentes :

Γ(t→bW⁺) = 1

16πm_t[|M|²](1−x)

= 1

16πmt

g²

4m²_W|V_tb|²m⁴_t(1−x)(1 + 2x)

(1−x)

= 1 16π

g²

4m²_Wm³_t|V_tb|²(1−x)²(1 + 2x). Pour introduire la constante de Fermi on utilise la relation

GF

√2 = g² 8m²_W et la largeur s’´ecrit

Γ(t→bW⁺) = G_F 8π√

2m³_t|Vtb|²(1−x)²(1 + 2x). Exercice 1h)

Application num´erique :

G_F = 1.16638·10⁻⁵GeV⁻², m_W = 80.385GeV,

mt= 173.5GeV,

|V_tb|= 0.99915, Γ(t →bW⁺)'1.51GeV,

τ = 1/Γ'4.36·10⁻²⁵s '1×10⁻¹⁶m .

PDG Booklet (2014) :Γ = 2.0±0.5GeV. On a donc un accord raisonnable vu que notre calcul a ´et´e effectu´e `a leading order.

Particularit´e du quark top :

Le quark top ne peut pas propager plus que O(10⁻¹⁵) m ce qui correspond `a la distance typique d’ha- dronisation d’un quark. Le quark top se d´esint´egre alorsavantde pouvoir s’hadroniser.

Exercice 2 : La production en paire du quark top

Nous ´etudions dans la suite le processusq(p1) + ¯q(p2)→t(p⁰₁) + ¯t(p⁰₂)(non-polaris´e) o`uq=u, d, sest un quark l´eger. On va n´egliger la masse du quark l´eger etm_td´esigne la masse du quark top.

a) Tracez le(s) diagramme(s) de Feynman `a leading order pour l’interaction dominante en indiquant toutes les informations pertinentes et donnez l’´el´ement de matriceM_{f i}.

b) Calculez le carr´e de l’´el´ement de matrice|M_{f i}|² (en effectuant la moyenne/somme sur les spins et couleurs des quarks `a l’´etat initial/final). Donnez le r´esultat final en fonction des variables de Mandelstams,t₁ :=t−m²_t etu₁ :=u−m²_t.

c) Pr´ecisez l’expression pour la section efficacedσ/dten fonction des variables de Mandelstam.

d) D´eterminez les variables de Mandelstam dans le ref´erentiel du CMS et donnez la section efficace dσ/dΩ^∗ en fonction des, θ^∗dans ce r´ef´erentiel.

e) Utilisez le r´esultat en c) ou d) pour obtenir la section efficace totaleσ_q¯q→t¯t(s).

f) Ce processus,qq¯→t¯t, ´etait dominant au collisionneurp−p¯Tevatron (contribuant environ 90%

`a la section efficace). Par contre, au collisionneurp−pLHC il y a un autre processus partonique qui domine (avec environ 90%). Lequel ? Tracez les diagrammes de Feynman.

g) Cherchez dans le PDG booklet les rapports de branchement pour les modes de d´esint´egration dominantst → `ν<sub>l</sub>b (` = e, µ) ett → qqb. Quels sont ainsi les trois canaux les plus importants¯ pour la d´esint´egration de la pairett¯? Donnez les rapports de branchement.

Le calcul dans les questions a) – e) est, avec des substitutions ´evidentes (photon→ gluon dans la voie s,e → g,m_µ → m_t, facteur de couleur), id´entique au calcul du processuse⁻+e⁺ → µ⁻+µ⁺ (non- polaris´e, en gardant la masse du muon) effectu´e en TD (voir aussi Sec. 5.2.2. dans les notes de cours de M´ecanique Quantique Relativiste de Benoit Cl´ement).

Exercice 1a) Diagramme :

On a

−iM_{f i}=

¯ u_s⁰

1(p⁰₁)(−igT_j^a0i⁰γ^µ)v_s⁰

2(p⁰₂)

−ig_µν s

¯v_s2(p₂)(−igT_ji^aγ^ν)u_s1(p₁) M_{f i}=−g²

s T_j^a0i⁰T_ji^a

¯ u_s⁰

1(p⁰₁)γ^µv_s⁰

2(p⁰₂)

[¯v_s2(p₂)γ_µu_s1(p₁)]

avecs= (p₁+p₂)². Exercice 1b)

M_{f i}^∗ =M_{f i} =−g²

s T_j^b∗0i⁰T_ji^b∗[¯u_s1(p₁)γ_νv_s2(p₂)]

¯ v_s⁰

2(p⁰₂)γ^νu_s⁰

1(p⁰₁)

|Mf i|² = g⁴

s²T_j^a0_i⁰T_ji^aT_i^b0_j⁰T_ij^b{¯u_s⁰

1(p⁰₁)γ^µv_s⁰

2(p⁰₂)¯v_s⁰

2(p⁰₂)γ^νu_s⁰

1(p⁰₁)}{¯vs2(p2)γµus1(p1)¯us1(p1)γνvs2(p2)}

Dans la derni`ere ligne on a utilis´e que (T<sup>b</sup>)<sup>∗</sup> = (T<sup>b</sup>)<sup>T</sup> `a cause de l’Hermiteicit´e des g´en´erateurs :T^b = (T^b)^†. Une somme sura = 1, . . . ,8etb = 1, . . . ,8est sous-entendue (convention d’Einstein).

|M_{f i}|² = 1 N_c

3

X

i=1

1 N_c

3

X

j=1 3

X

i⁰=1 3

X

j⁰=1

1 2

X

s1

1 2

X

s2

X

s⁰₁

X

s⁰₂

|M_{f i}|² =C g⁴

4s² T r₁^µνT r_2µν avec

Tr₁^µν = Tr{γ^µ(p/⁰₂−m_t)γ^ν(p/⁰₁+m_t)}= 4(p⁰₂^µp⁰₁^ν +p⁰₁^µp⁰₂^ν −g^µνp⁰₁ ·p⁰₂)−4m²_tg^µν Tr2µν = Tr{γµp/₁γνp/₂}= 4(p1µp2ν+p2µp1ν −gµνp1·p2).

Ici,C est le facteur de couleur : C= 1

N_c

3

X

i=1

1 N_c

3

X

j=1 3

X

i⁰=1 3

X

j⁰=1

T_j^a0i⁰T_ji^aT_i^b0j⁰T_ij^b

= 1 N_c

1 N_c[X

i⁰,j⁰

T_j^a0i⁰T_i^b0j⁰][X

i,j

T_ji^aT_ij^b]

= 1 N_c

1

N_cTr(T^aT^b)Tr(T^aT^b)

En utilisantT r(T^aT^b) = ¹₂δ^ab et avec une somme suraetbsous-entendu, on trouve :

C = 1 2N_c

1 2N_c

N_c²−1

X

a=1

δ^aa = 1 2N_c

N_c²−1 2N_c = 1

2N_cCF .

Notez :N_c²−1 = 8etCF = (N_c²−1)/(2Nc) = 4/3est le Casimir de la repr´esentation fondamentale.

On trouve finalement

|M_{f i}|² =C g⁴

4s²16(2p₁·p⁰₁p₂·p⁰₂

| {z }

=¹₂t²₁

+ 2p₁·p⁰₂p₂·p⁰₁

| {z }

=¹₂u²₁

+ 2p₁·p₂

| {z }

=s

m²_t)

= C_F N_c

g⁴ s²

u²₁+t²₁+ 2sm²_t avec les variables de Mandelstam

s= (p₁+p₂)² = (p⁰₁+p⁰₂)² = 2p₁·p₂ = 2p⁰₁·p⁰₂+ 2m²_t,

t₁ =t−m²_t = (p₁−p⁰₁)²−m²_t = (p₂−p⁰₂)²−m²_t =−2p₁ ·p⁰₁ =−2p₂·p⁰₂, u1 =u−m²_t = (p1−p⁰₂)²−m²_t = (p2−p⁰₁)²−m²_t =−2p1·p⁰₂ =−2p2·p⁰₁, s+t₁+u₁ = 0.

Exercice 1c) On a

dσ

dt = 1

16πλ_i|M_{f i}|² = 1

16πs²|M_{f i}|²

= C_F N_c

g⁴ 16πs⁴

u²₁+t²₁+ 2sm²_t

= C_F N_c

(4πα_s)² 16πs⁴

(s+t₁)²+t²₁+ 2sm²_t

= dσ dt₁ Exercice 1d)

Dans le r´eferentiel du CMS :

p₁ = (E,0,0, E), p₂ = (E,0,0,−E), E =

√s 2 ,

p⁰₁ = (E, p_fsinθ^∗,0, p_f cosθ^∗), p⁰₂ = (E,−p_fsinθ^∗,0,−p_f cosθ^∗), avec

p_f =

pλ(s, m²_t, m²_t) 2√

s =

√s

2 β_f =Eβ_f avec β_f = r

1− 4m²_t s . On trouve alors

t₁ =−s

2(1−β_fcosθ^∗), u₁ =−s

2(1 +β_fcosθ^∗). On a

dσ

dΩ^∗ = dσ dt₁

dt₁

2πdcosθ^∗ = s 4πβf

dσ dt₁

= s 4πβ_fC_F

N_c

(4πα_s)² 16πs⁴

u²₁+t²₁+ 2sm²_t

= C_F 2N_c

α_s² 4s

1 + cos²θ^∗+4m²_t

s (1−cos²θ^∗)

β_f.

Exercice 1e)

σ_q¯q→t¯t(s) = Z t1+

t1−

dt₁ dσ

dt₁ , t1− =−s

2(1 +β_f), t₁₊ =−s

2(1−β_f)

= C_F N_cα²_sπ

s⁴ Z t1+

t1−

dt₁

s²+ 2sm²_t + 2st₁+ 2t²₁

= C_F N_cα²_sπ

s⁴

(s²+ 2sm²_t)(t₁₊−t1−) +s(t²₁₊−t²₁₋) + 2

3(t³₁₊−t³₁₋)

.

Avec

t₁₊−t1− =sβ_f,

t²₁₊−t²₁₋ = (t₁₊−t1−)(t₁₊+t1−) =−s²β_f , t³₁₊−t³₁₋ = (t₁₊−t1−)(t²₁₊+t₁₊t1−+t²₁₋) =s³β_f

1− m²_t s

, on trouve facilement

σ_q¯q→t¯t(s) = C_F 2N_c

4πα²_s 3s

1 + 2m²_t s

βf .

Alternativement (probablement plus facile) σ_q¯q→t¯t(s) = 2π

Z 1

−1

dcosθ^∗ dσ dΩ^∗

= 2πC_F 2N_c

α²_s 4sβ_f











 Z 1

−1

dcosθ^∗(1 + cos²θ^∗)

| {z }

=⁸₃

+4m²_t s

Z 1

−1

dcosθ^∗(1−cos²θ^∗)

| {z }

=⁴₃













= C_F 2N_c

4πα²_s 3s

1 + 2m²_t s

βf.

Exercice 1f)

Au LHC le processus gg → t¯t est dominant. Il y a trois diagrammes de Feynman qui contribuent `a leading order (voie-t, voie-u et voie-s avec vertex `a 3 gluons :

Exercice 1g) Avec

— BR(t→qq¯⁰b)'0.68

— BR(t→`ν<sub>`</sub>b)'0.32(somme sur tous les leptons) les trois canaux de d´esint´egration les plus importants sont

— tt¯→W⁺bW⁻¯b →q¯q⁰bq⁰⁰q¯⁰⁰⁰¯b(45.7 %) : ”all jets”

— tt¯→W⁺bW⁻¯b →q¯q⁰b`<sup>−</sup>nu¯ <sub>`</sub>¯b+`<sup>+</sup>ν<sub>`</sub>bq⁰⁰q¯⁰⁰⁰¯b(43.8 %) : ”leptons + jets”

— tt¯→W⁺bW⁻¯b →`<sup>+</sup>ν<sub>`</sub>b`<sup>−</sup>nu¯ <sub>`</sub>¯b(10.5 %) : ” dilepton channel”