Td n1

Sidi Mohamed Maouloud ISCAE 2014-2015 SAE2 S4 1

TD Econométrie 1 Régression linéaire simple

Quelques rappels

Soient 𝑌₁, ⋯ , 𝑌_𝑛 des variables aléatoires indépendantes de même variance 𝜎². On a alors : a. 𝐶𝑜𝑣 𝛼_{𝑖 𝑖}𝑌_𝑖 ; 𝛽_{𝑗 𝑗}𝑌_𝑗 = 𝜎² 𝛼_{𝑖 𝑖}𝛽_𝑖

b. 𝑉 𝑌 = ^𝜎2

𝑛

Exercice 1.

Démontrer les formules de cours suivantes : - 𝑒_{𝑖 𝑖} = 0

- 𝑦_{𝑖 𝑖} = 𝑦 _{𝑖 𝑖} - 𝑦 = 𝑦

- 𝑦_{𝑖 𝑖} − 𝑦 ² = 𝑦 _{𝑖 𝑖} − 𝑦 ²+ 𝑦 _{𝑖 𝑖} − 𝑦_𝑖 ² - 𝑅² = 𝑟_𝑦𝑥² .

- 𝐹 = 𝑡² ou 𝑡 = ^𝑏

𝜎_𝑏

Exercice 2.

On considère le modèle 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝜖. Calculer l’estimateur MCO de 𝑏. A-t-on 𝑦 = 𝑦 ? Exercice 3. Soit le modèle 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝜖.

1. Montrer que

V b = 𝜎² 𝑥_𝑖 − 𝑥 ² 2. Monter que

𝑉 a = 𝜎² 1

n+ x ²

𝑥_𝑖− 𝑥 ² , Indication : calculer 𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑏

3. Monter que

et que 𝑐𝑜𝑣 a , b = −𝑥 𝑉 b

Sidi Mohamed Maouloud ISCAE 2014-2015 SAE2 S4 2

Exercice 4.

Soit le modèle suivant 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝜖. Pour estimer ce modèle nous disposons d’un échantillon de 30 observations. Nous avons calculé les sommes suivantes

𝑥_𝑖 𝑦_𝑖 𝑥_𝑖² 𝑦_𝑖² 𝑥_𝑖𝑦_𝑖 60.06 161.99 180.94 999.55 397.46 1. Estimer les paramètres du modèle

2. Calculer 𝑟_𝑥𝑦 et en déduire 𝑅² 3. Calculer SCT, SCE et SCR

4. Calculer la valeur de la statistique du test de Fisher. Commenter 5. Calculer 𝜎 ² et en déduire 𝜎 _𝑎 et 𝜎 _𝑏

6. Tester si la pente est supérieure à 1.

7. Tester si on a simultanément 𝑎 = 2.8 et 𝑏 = 1.1 8. Donner un intervalle de prévision de 𝑦 lorsque 𝑥 = 4

Exercice 5. On considère un modèle de régression simple estimé par

𝑦_𝑖 = 1,251𝑥 − 32,95 + 𝜖_𝑖 avec 𝑛 = 20, 𝑅² = 0,23 𝑒𝑡 𝜎 _𝜖 = 10,66 1. Retrouver les statistiques suivantes : SCR, SCT, SCE, la statistique 𝐹 du test de

significativité du modèle ainsi que l’écart-type de l’estimateur de la pente.

2. Tester si la pente est significativement inférieure à 1.5.