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Sary Drappeau
To cite this version:
Sary Drappeau. Sommes friables d’exponentielles et applications. Canadian Journal of Mathematics, University of Toronto Press, 2015, 67, pp.597-638. �10.4153/CJM-2014-036-5�. �hal-01256110�
par
Sary Drappeau
Abstract. — An integer is said to be y-friable if its greatest prime factor is less than y. In this
paper, we obtain estimates for exponential sums over y-friable numbers up to x which are non-trivial when y ≥ exp{c√log x log log x}. As a consequence, we obtain an asymptotic formula for the number of y-friable solutions to the equation a + b = c which is valid unconditionnally under the same assumption. We use a contour integration argument based on the saddle point method, as developped in the context of friable numbers by Hildebrand & Tenenbaum, and used by Lagarias, Soundararajan and Harper to study exponential and character sums over friable numbers.
Table des matières
1. Introduction. . . 1
2. Estimation de E(x, y; ϑ). . . . 6
2.1. Méthode du col. . . 6
2.2. Somme sur les caractères, formule de Perron . . . 7
2.3. Estimation de L(s, χ; y) dans la bande critique. . . 11
2.4. Caractères non principaux, non exceptionnels . . . 18
2.5. Caractères principaux par la méthode du col. . . 20
2.6. Caractères principaux par la transformée de Laplace . . . 23
2.7. Caractères exceptionnels. . . 25
2.8. Démonstration des Théorèmes 1.2 et 1.3. . . 27
3. En norme L2. . . 28
4. Application à un théorème de Daboussi. . . 29
5. Application aux sommes friables d’entiers friables . . . 30
Références. . . 34
1. Introduction
Soit P (n) le plus grand facteur premier d’un entier n > 1, avec la convention P (1) = 1. Un entier n ≥ 1 est dit y-friable si P (n) ≤ y. On note
S(x, y) = {n ≤ x | P (n) ≤ y}
l’ensemble des entiers y-friables inférieurs ou égaux à x. Le cardinal Ψ(x, y) de cet ensemble a fait l’objet d’abondantes études, les techniques variant suivant le domaine en x et y au-quel on s’intéresse (cf. les articles de survol de Hildebrand & Tenenbaum [HT93] et Gran-ville [Gra08] qui exposent de façon exhaustive les travaux antérieurs). Le problème qui nous intéresse est l’étude des sommes d’exponentielles tronquées sur les friables
E(x, y; ϑ) := X
n∈S(x,y) e(nϑ)
où l’on note e(t) := e2iπt. Le comportement de E(x, y; ϑ) diffère selon le degré de proximité de ϑ avec un rationnel de petit dénominateur. Pour tout entier Q ≥ 3 et tout réel ϑ, il existe au moins un rationnel a/q avec
(a, q) = 1, q ≤ Q, ϑ − a q ≤ 1 qQ.
On note q(ϑ, Q) le plus petit des dénominateurs q pour lesquels une fraction a/q vérifie cela ; dans ce cas a = a(ϑ, Q) est unique. Lorsque ϑ est irrationnel, on a
lim
Q→∞q(ϑ, Q) = ∞.
Une question intéressante est de déterminer dans quelle mesure la relation
(1.1) E(x, y; ϑ) = o(Ψ(x, y))
est valable lorsque x et y tendent vers l’infini, avec ϑ irrationnel. Fouvry et Tenen-baum [FT91, théorème 10] montrent que la relation (1.1) a lieu pour tout δ > 0 et ϑ irrationnel fixés lorsque x et y tendent vers l’infini en vérifiant
xδ(log log log x)/ log log x ≤ y ≤ x.
La Bretèche [dlB98, corollaires 4 et 5] montre la validité de (1.1) pour tout ϑ irrationnel fixé lorsque x et y tendent vers l’infini en vérifiant
exp{c(log x log log x)2/3} ≤ y ≤ x
pour une certaine constante c > 0. L’argument présenté ici permet d’étendre encore le domaine de validité de (1.1). On définit le domaine
(Dc) exp{c(log x)1/2log log x} ≤ y ≤ x
Théorème 1.1. — Il existe une constante c > 0 telle que la relation (1.1) soit valable pour
tout ϑ irrationnel fixé lorsque x et y tendent vers l’infini en restant dans le domaine Dc. Le Théorème 1.1 découle d’une estimation asymptotique plus précise de la quan-tité E(x, y; ϑ). On définit
u := (log x)/ log y, H(u) := exp u log(u + 1)2 (u ≥ 1), ζ(s, y) := X P (n)≤y n−s= Y p≤y 1 − p−s−1 (σ > 0).
En remarquant que 1[1,x](n) ≤ (x/n)σ pour tout σ > 0, on obtient la majoration de Ran-kin [Ran38],
Ψ(x, y) ≤ xσζ(σ, y) (2 ≤ y ≤ x, σ > 0). Le membre de droite est minimal lorsque σ = α = α(x, y), la solution à
X
p≤y log p
pα− 1 = log x.
Pour x et y suffisamment grands, on a 0 < α < 1, et plus précisément lorsque 2 ≤ y ≤ x, (1.2) α(x, y) = log(1 + y/ log x) log y 1 + O log log(1 + y) log y ,
voir par exemple [HT86, theorem 2]. On a par ailleurs (cf. [HT86, lemma 2]),
(1.3) α = 1 + O(log(u + 1)/ log y).
La majoration de Rankin fournit en fait une majoration de bonne qualité de Ψ(x, y) : elle n’est qu’à un facteur O(log x) de l’ordre de grandeur exact, obtenu par Hildebrand et Tenenbaum par la méthode du col (cf. [HT86, theorems 1, 2], formule (2.3) infra). Dans ce contexte, le réel α joue le rôle du point-selle.
On reprend les notations de La Bretèche et Granville [dlBG12] pour la région sans zéro des fonctions L de Dirichlet, et du zéro exceptionnel. Il existe une constante b > 0 telle que pour tout Q ≥ 2 et T ≥ 2, la fonction s 7→ L(s, χ) n’admette pas de zéro dans la région (1.4)
s = σ + iτ ∈ C | σ ≥ 1 − b
log(QT ) et |τ | ≤ T
pour tous les caractères χ de modules q avec 1 ≤ q ≤ Q sauf éventuellement pour des caractères tous associés à un même caractère primitif χ1 de module noté q1. Si ce caractère existe, il est quadratique et le zéro exceptionnel, noté β, est unique, simple et réel ; si pour une même valeur de Q et deux valeurs distinctes de T , un tel caractère existe, alors il s’agit du même et on dira que ce caractère est Q-exceptionnel, tout en notant que pour des valeurs de T suffisamment grandes en fonction de Q, un tel caractère n’existe pas. Le « caractère de module 1 » désigne ici le caractère trivial, et la fonction L associée est la fonction s 7→ ζ(s). On note χrle caractère de module q1r associé à χ1, et on pose q 7→ ν(q) la fonction indicatrice
des entiers multiples de q1 si β existe, et la fonction nulle sinon. On garde dans toute la suite la notation s = σ + iτ .
On désigne par ˇΦ0(λ, s) la fonction définie pour σ > 0 par
(1.5) Φˇ0(λ, s) :=
Z 1
0
e(λt)ts−1dt.
En développant en série entière le terme e(λt) on obtient ˇΦ0(λ, s) =Pn≥0(2iπλ)n/((n+s)n!), et cela permet de prolonger s 7→ ˇΦ0(λ, s) en une fonction méromorphe sur C, qui possède
un pôle simple en s = 0 de résidu 1, et lorsque λ 6= 0, un pôle simple en s = −n pour tout entier n ≥ 1, de résidu (2iπλ)n/n!.
Enfin on note respectivement ω(n) et τ (n) le nombre de facteurs premiers et le nombre de diviseurs d’un entier n ≥ 1, et on pose
L := expp
log x,
(1.6) T1 = T1(x, y) := min{y, L}, T2= T2(x, y) := min{y1/ log log log x, L}.
Théorème 1.2. — Il existe des constantes c1 et c2 positives et une fonction W (x, y; q, η)
telles que pour tout (x, y) dans le domaine
(1.7) (log x)c1 ≤ y ≤ exp{(log x)/(log log x)4},
pour tout ϑ ∈ R avec ϑ = a/q + η où (a, q) = 1, q ≤ T2c2 et |η| ≤ T2c2/x on ait
(1.8) E(x, y; ϑ) = αq 1−α ϕ(q) Y p|q (1 − pα−1) ˇΦ0(ηx, α)Ψ(x, y) + ν(q)χ1(a)W (x, y; q, η) + O 2 ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q)(1 + |η|x)α (log q)2(log(2 + |η|x))3 u + Ψ(x, y) T2c2 !
où χ1 est l’éventuel caractère T2c2-exceptionnel, et avec, dans le cas ν(q) 6= 0,
(1.9) W (x, y; q, η) 2 ω(q/q1)√q 1(q/q1)1−αΨ(x, y) ϕ(q)(1 + |η|x)αx1−βH(u)c2 + 2ω(q/q1)√q1(q/q1)1−αΨ(x, y) ϕ(q)T2c2 .
Il est possible d’obtenir une estimation plus précise de E(x, y; ϑ), mais valable sous des conditions plus restrictives sur q et η. Il convient d’introduire quelques définitions supplé-mentaires : suivant De Bruijn [DB51] et Saias [Sai89], on définit
Λ(x, y) :=
(
xR∞
−∞ρ(u − v)d(byvc/yv) si x ∈ R \ N
où u 7→ ρ(u) est la fonction de Dickman, l’unique solution continue sur ]0, ∞[ de l’équation différentielle aux différences uρ0(u) + ρ(u − 1) = 0 (u > 1) satisfaisant ρ(u) = 1 (u ∈ [0, 1]). Pour tout ε > 0, dans le domaine (Hε) défini par
(Hε) 3 ≤ exp{(log log x)5/3+ε} ≤ y ≤ x on a
(1.10) Ψ(x, y) = Λ(x, y){1 + Oε(Yε−1)} où l’on a posé pour tout ε > 0,
(1.11) Yε := exp{(log y)3/5−ε}
On pose également, de même que dans [dlBG12],
λ(t, y) := Λ(t, y) t + 1 log y Z ∞ −∞
ρ0((log t)/ log y − v)d(byvc/yv). On a l’égalité entre mesures
(1.12) dΛ(t, y) = λ(t, y)dt − td({t}/t).
Par ailleurs, la quantité λ(t, y)−y{t/y}/(t log y) est dérivable par rapport à t pour tout t ≥ y. On note λ0(t, y) cette dérivée.
Théorème 1.3. — Sous les hypothèses du théorème 1.2 et sous les conditions
supplémen-taires (x, y) ∈ (Hε), q ≤ Yε et |η| ≤ Yε/(qx) pour un certain ε > 0, on a
(1.13) E(x, y; ϑ) = V (x, y; q, η) + ν(q)χe 1(a)W (x, y; q, η) + Oε 2 ω(q)Ψ(x, y) ϕ(q)Yε +Ψ(x, y) T2c2 !
où l’on a posé
(1.14) V (x, y; q, η) :=e X k|q µ(q/k)k ϕ(q) X n≤x k|n e(nη)λ n k, y
et la quantité W (x, y; q, η) vérifie encore (1.9).
Les estimations des Théorèmes 1.2 et 1.3 ne sont valables que lorsque ϑ est proche d’un rationnel à petit dénominateur, ce qui correspond aux arcs majeurs dans la terminologie de la méthode du cercle. La différence entre les deux estimations provient d’un traitement différent des termes principaux qui proviennent des caractères principaux et exceptionnels,
cf. la Proposition 2.2 infra. Les valeurs complémentaires de ϑ sont traitées à l’aide du résultat
suivant, déduit de [dlB98, corollaire 3].
Lemme A ([dlB98], corollaire 3). — Lorsque les réels ϑ, x, R vérifient x, R ≥ 2 et
q(ϑ, dx/Re) ≥ R, on a
E(x, y; ϑ) x(log x)4{1/R1/4+ 1/L}.
Démonstration du Théorème 1.1. — Soient c1 et c2 les constantes données par le
Théo-rème 1.2 et supposons y1/ log log log x ≥ L, de sorte que T1 = T2 = L. On pose q = q(ϑ, dx/Lc2e) et θ = a/q + η avec η ≤ 1/(qdx/Lc2e) ; on a |η|x ≤ Lc2. Lorsque y ≥ exp{(log x)/(log log x)4},
les résultats de La Bretèche [dlB98, théorème 2] s’appliquent, on suppose donc sans perte de généralité que y ≤ exp{(log x)/(log log x)4}. Lorsque q > Lc2, d’après le Lemme A on a E(x, y; ϑ) x/Lc3 pour une constante c3 > 0. Pour exp{c√log x log log x} ≤ y avec c suf-fisamment grande, cela est o(Ψ(x, y)). Enfin, lorsque q ≤ Lc2, l’estimation (1.8) est valable et tous les termes du membre de droite sont o(Ψ(x, y)) quand q → ∞ et x → ∞, en remarquant que ˇΦ0(ηx, α) 1.
La démonstration que l’on propose des Théorèmes 1.2 et 1.3 utilise une majoration du type H(u)−δ(log x) δ 1 pour tout δ > 0 fixé, qui n’est pas valable lorsque y est trop proche de x. Ceci explique la borne supérieure en y du domaine (1.7). La borne inférieure exp{c√log x log log x} dans le domaine (Dc) est expliquée par la condi-tion max{q, |ηx|} ≤ T2c2 dans le Théorème 1.2, qui est due à l’utilisation de la région sans zéros (1.4).
Le domaine en x et y dans lequel on peut majorer non trivialement E(x, y; ϑ) pour ϑ irrationnel a une influence directe sur le domaine de validité de certains résultats qui sont liés aux sommes d’exponentielles. On en cite deux ; le premier est une généralisation d’un théorème de Daboussi [Dab75].
Théorème 1.4. — Il existe une constante c > 0 telle que pour toute fonction Y : [2, ∞[→ R
croissante avec (Y (x), x) ∈ Dc, toute fonction f : N → C multiplicative satisfaisant pour
tous x et y avec Y (x) ≤ y ≤ x,
X
n∈S(x,y)
|f (n)|2≤ KfΨ(x, y)
pour un certain réel Kf > 0 dépendant au plus de f , et tout ϑ irrationnel, lorsque x et y tendent vers l’infini avec Y (x) ≤ y ≤ x, on ait
X
n∈S(x,y)
f (n)e(nϑ) = oϑ(Kf1/2Ψ(x, y)).
Cela est une extension de [dlBT05a, théorème 1.5]. Suivant Dupain, Hall et Tenen-baum [DHT82], on peut se poser la question de savoir pour quelle classe de fonctions multiplicatives f et quelles suites d’ensembles finis d’entiers (EN)N ≥1 la relation
X
n∈EN
f (n)e(nϑ) = o X
n∈EN
|f (n)|
est valable pour tout ϑ irrationnel fixé lorsque N → ∞. Le Théorème 1.4 aborde le cas particulier EN = S(N, yN) avec Y (N ) ≤ yN ≤ N .
La deuxième application que l’on considère concerne le problème du comptage des solutions friables à l’équation a + b = c. Posons
(1.15) N (x, y) := card{(a, b, c) ∈ S(x, y)3 | a + b = c}.
Lagarias et Soundararajan étudient cette quantité dans [LS12]. Leur travail, précisé par l’auteur [Dra12], implique en particulier qu’en supposant l’hypothèse de Riemann généralisée aux fonctions L de Dirichlet, on a
(1.16) N (x, y) ∼ Ψ(x, y)
3
2x
lorsque (log log x)/ log y → 0. Dans [dlBG12], La Bretèche et Granville obtiennent in-conditionnellement, à partir des estimations de E(x, y; ϑ) démontrées dans [dlB98], que la relation (1.16) est valable, pour tout ε > 0 fixé, lorsque x et y tendent vers l’infini avec exp{(log x)2/3+ε} ≤ y ≤ x. Les estimations de E(x, y; ϑ) présentées ici permettent d’étendre le domaine de validité de cette estimation.
Théorème 1.5. — Il existe c > 0 tel que lorsque (x, y) ∈ Dc, on ait
(1.17) N (x, y) = Ψ(x, y) 3 2x 1 + O log(u + 1) log y .
Remarque. — Le terme d’erreur dans l’estimation (1.17) est attendu comme optimal. On peut, à la façon de Saias [Sai89], obtenir un développement du membre de gauche selon les puissances de (log y)−1.
Dans [dlBG12], les auteurs étudient la densité sur les friables d’une suite générale satis-faisant des hypothèses de crible. Cette application n’est pas développée ici mais les Théo-rèmes 1.2 et 1.3 permettent d’étendre leur résultat à tout (x, y) ∈ Dcpour un certain c > 0.
Remerciements. — Ce travail fut réalisé lors de la thèse de doctorat de l’auteur à l’Uni-versité Paris-Diderot. L’auteur adresse ses vifs remerciements à son directeur de thèse Régis de la Bretèche pour sa patience et ses nombreux conseils, et à Adam Harper ainsi qu’au rapporteur anonyme pour des remarques qui ont aidé à améliorer ce manuscrit.
2. Estimation de E(x, y; ϑ)
2.1. Méthode du col. — Soit à étudier la fonction sommatoire sur les entiers friables
d’une suite de nombres complexes de modules ≤ 1
A(x, y) = X
n∈S(x,y)
an
lorsque x 6∈ N, prolongée par A(x, y) := A(x − 0, y) + ax/2 lorsque x est un entier y-friable.
La série de Dirichlet associée
(2.1) F (s, y) := X
P (n)≤y
ann−s
converge absolument lorsque σ > 0. En appliquant la formule de Perron, on écrit
A(x, y) = 1 2iπ Z κ+i∞ κ−i∞ F (s, y)xsds s
où κ > 0 est fixé. La méthode du col consiste à modifier le chemin d’intégration pour faire en sorte que la contribution principale à l’intégrale entière vienne d’une petite partie du chemin d’intégration, suffisamment petite pour pouvoir l’estimer par une formule de Taylor. Dans le cas an = 1, où il s’agit essentiellement d’estimer Ψ(x, y), on intègre sur la droite σ = α. Le point α est le minimum de la fonction σ 7→ xσζ(σ, y) et sa dérivée seconde en ce point est
non nulle, le point τ = 0 est donc un maximum local de la fonction τ 7→ |xα+iτζ(α + iτ, y)|.
On définit σ2 = σ2(x, y) := X p≤y pα(log p)2 (pα− 1)2
qui est la valeur en α de la dérivée seconde de la fonction s 7→ log ζ(s, y). Lorsque 2 ≤ y ≤ x, on a d’après [HT86, theorem 2], (2.2) σ2(x, y) = log x log y 1 +log x y 1 + O 1 log(1 + u)+ 1 log y .
Le résultat principal de [HT86] est l’estimation, uniforme pour 2 ≤ y ≤ x,
(2.3) Ψ(x, y) = x αζ(α, y) α√2πσ2 1 + O 1 u + log y y .
Par rapport aux précédents résultats sur Ψ(x, y), cette estimation a l’avantage, au prix d’un terme principal moins explicite, d’être valide sans aucune contrainte sur x et y. L’estima-tion (2.2) implique en particulier que pour tout (x, y) avec 2 ≤ y ≤ x, on a
(2.4) ζ(α, y)xα (log x)Ψ(x, y).
Un autre intérêt de la méthode du col est qu’elle permet une étude uniforme du rap-port Ψ(x/d, y)/Ψ(x, y), ce qui est utile dans beaucoup d’applications. Cette question ainsi que d’autres problèmes associés sont étudiés en détail dans [dlBT05b].
Lemme B ([dlBT05b], théorème 2.4). — Il existe deux constantes positives b1 et b2 et
une fonction b = b(x, y; d) satisfaisant b1≤ b ≤ b2 telles que pour log x ≤ y ≤ x et 1 ≤ d ≤ x
on ait uniformément Ψ x d, y = 1 + O t u 1 − t 2 u2 !bu Ψ(x, y) dα
où l’on a posé t = (log d)/ log y.
Cela implique sous les mêmes hypothèses la majoration
(2.5) Ψ(x/d, y) Ψ(x, y)/dα,
celle-ci étant valable pour tout d ≥ 1.
2.2. Somme sur les caractères, formule de Perron. — Pour tout caractère de
Diri-chlet χ de module q, on définit la somme de Gauss τ (χ) :=P
b(mod q)χ(b)e(b/q). On a pour tous x et y avec x ≥ y ≥ 2, ϑ ∈ R et (a, q) ∈ Z × N avec ϑ = a/q + η,
(2.6) E(x, y; ϑ) = X d|q P (d)≤y 1 ϕ(q/d) X χ(mod q/d) χ(a)τ (χ) X m∈S(x/d,y) e(mdη)χ(m).
Une façon d’étudier E(x, y; ϑ) est donc d’obtenir des estimations uniformes de la somme
(2.7) Ψ0(z, y; χ, γ) :=
X
n∈S(z,y)
e(nγ)χ(n).
On rappelle que ˇΦ0(λ, s) et F (s, y) sont définis respectivement en (1.5) et (2.1).
Lemme 2.1. — Soit (an)n≥1 une suite de nombres complexes telle que l’abscisse de
conver-gence absolue de la série P
P (n)≤yann−s soit strictement inférieure à 1/2. Lorsque x, y ≥ 2,
η ∈ R, T ≥ 2, κ ∈ [1/2, 1], c ∈]0, 1/2] et M ≥ 0, et lorsque les inégalités suivantes sont satisfaites : X P (n)≤y |an|n−κ ≤ M ζ(κ, y) et X P (n)≤y |n−x|<x/√T |an| ≤ M Ψ(x, y)/Tc, on a uniformément (2.8) X n∈S(x,y) ane(nη) = 1 2iπ Z κ+iT κ−iT F (s, y)xsΦˇ0(ηx, s)ds + O M (log T )(1 + |ηx|)x κζ(κ, y) Tc .
Remarque. — En particulier, si l’on suppose que la suite (an) est bornée, un théorème de Hildebrand sur le nombre des friables dans les petits intervalles [Hil85, theorem 4] ainsi que la majoration (2.5) assurent que les hypothèses sur (an)n≥1 sont satisfaites pour M absolu et c = α(x, y)/2. Lorsque (log x)K ≤ y ≤ x pour un certain K > 1 fixé, on a α(x, y) K 1.
Le Lemme 2.1 découle du lemme suivant, qui est une généralisation d’un lemme classique de Perron (cf. [Ten08, lemme II.2.2]).
Lemme 2.2. — Pour tous réels x, κ, T et λ avec x ≥ 0, κ ∈ [1/2, 1] et T ≥ 2, on a
1[1,∞[(x)e(λ/x) − 1 2iπ Z κ+iT κ−iT xsΦˇ0(λ, s)ds (log T )(1 + |λ|)x κ 1 + T | log x| . On énonce pour cela un lemme qui fournit des informations sur la taille de ˇΦ0.
Lemme 2.3. — Pour tous s ∈ C et λ ∈ R avec σ ≥ 1/2, on a ˇ Φ0(λ, s) min 1 σ, |s| σ log(2 + |λ|) |λ| −σ + |λ|−1 , 1 + |λ|/σ |s| .
Démonstration. — On a trivialement ˇΦ0(λ, s) 1/σ. On a d’une part lorsque |λ| ≥ 1,
Z 1 0 e(λt)ts−1dt = e(λt) − 1 2iπλ t s−1 1 0 − (s − 1) Z 1 0 e(λt) − 1 2iπλ t s−2dt |λ|−1+ |s − 1||λ| −σ σ + |λ|−1− |λ|−σ σ − 1 |s| σ log(2 + |λ|) |λ| −σ + |λ|−1
en séparant l’intégrale selon la position de t par rapport à 1/|λ|, et d’autre part, pour tout λ,
Z 1 0 e(λt)ts−1dt = e(λt)t s s 1 0 −1 s Z 1 0 (2iπλ)e(λt)tsdt 1 + |λ|/σ |s| . Le résultat suit en notant que |s| log(2 + |λ|)/|λ|σ 1 pour |λ| < 1.
Démonstration du lemme 2.2. — Le cas λ = 0 étant démontré dans [Ten08, lemme II.2.2],
on suppose λ 6= 0. On rappelle que la fonction s 7→ ˇΦ0(λ, s) est prolongeable en une fonction
méromorphe sur C ayant pour tout n ≥ 0 un pôle simple en s = −n, de résidu (2iπλ)n/n!.
On suppose x < 1. Pour tout réel k ≥ 0, en intégrant sur le rectangle de côtés
κ + k ± iT, κ ± iT
on obtient grâce aux majorations du Lemme 2.3,
(2.9) Z κ+iT κ−iT xsΦˇ0(λ, s)ds (1 + |λ|)xκ(1 − xk) T | log x| + T (1 + |λ|)xκ+k k + κ (1 + |λ|)xκ T | log x|
en faisant tendre k vers l’infini.
Pour x ≥ 1, d’après la définition de ˇΦ0(λ, s), on a
I := 1 2iπ Z κ+iT κ−iT xsΦˇ0(λ, s)ds = 1 2π Z 1 0 Z T −T (tx)iτdτ ! e(λt)(tx) κ t dt = 1 π Z T log x −∞ sin w w e(λe w/T/x)eκw/Tdw
ayant posé xt = ew/T. Une intégration par parties permet d’écrire I = I1+ I2− I3 avec
I1 := 1 π Z T log x −∞ 1 − cos w w2 e(λe w/T/x)eκw/Tdw, I2 := 1 − cos(T log x) πT log x e(λ)x κ, I3 := 1 π Z T log x −∞ 1 − cos w w 2iπλ xT e w/T + κ T e(λew/T/x)eκw/Tdw.
Des estimations élémentaires fournissent I1 = e(λ/x) − e(λ/x) π Z ∞ T log x 1 − cos w w2 dw + 1 π Z T log x −∞ 1 − cos w w2
e(λew/T/x)eκw/T − e(λ/x)dw = e(λ/x) + O 1 1 + T log x+ xκ T (1 + (log x)2)+ log T T 1 +|λ| x , I2 T (log x)xκ 1 + (T log x)2, I3 log T T 1 +|λ| x +(log T )(1 + |λ|)x κ T log x 1[1,∞[(T log x). Ainsi, lorsque x > 1, on a (2.10) e(λ/x) − Z κ+iT κ−iT xsΦˇ0(λ, s)ds = O (log T )(1 + |λ|)xκ T log x et lorsque x = 1, on a (2.11) Z κ+iT κ−iT ˇ Φ0(λ, s)ds 1 + (log T )(1 + |λ|) T 1 + |λ|.
Lorsque T | log x| ≥ 1 l’estimation voulue découle de (2.9) et (2.10). Si e−1/T < x < e1/T, on a 1 2iπ Z κ+iT κ−iT xsΦˇ0(λ, s)ds = x κ 2π Z T −T ˇ Φ0(λ, κ + iτ )dτ +x κ 2π Z T −T (xiτ− 1) ˇΦ0(λ, κ + iτ )dτ (1 + |λ|)xκ
grâce à la majoration (2.11) et au Lemme 2.3. Cela implique
1[1,∞[(x)e(λ/x) − 1 2iπ Z κ+iT κ−iT xsΦˇ0(λ, s)ds (1 + |λ|)xκ ce qui fournit l’estimation voulue pour T | log x| < 1.
Remarque. — Un traitement plus fin de I1 permet d’obtenir dans le cas x = 1,
e(λ) 2 − 1 2iπ Z κ+iT κ−iT ˇ Φ0(λ, s)ds (log T )(1 + |λ|) T
mais cela ne sera pas utilisé ici.
Démonstration du lemme 2.1. — Une application du Lemme 2.2 avec x remplacé par x/n
et λ par ηx permet d’écrire sous les hypothèses de l’énoncé,
X n∈S(x,y) ane(nη) = 1 2iπ Z κ+iT κ−iT F (s, y)xsΦˇ0(ηx, s)ds + O (log T )(1 + |ηx|)xκ X P (n)≤y |an|n−κ 1 + T | log(x/n)| .
De même que dans [FT91, preuve du théorème 4], on sépare la somme dans le terme d’erreur selon la taille de | log(n/x)|. Les entiers n ∈]x − x/√T , x + x/√T [ contribuent d’une quantité
(log T )(1 + |ηx|) X P (n)≤y x−x/√T <n≤x+x/√T
qui est de l’ordre du terme d’erreur annoncé grâce aux hypothèses sur (an) ainsi que la majoration Ψ(x, y) ≤ xκζ(κ, y). La contribution des entiers n 6∈]x − x/√T , x + x/√T [ est
(log T )(1 + |ηx|) x κ √ T X P (n)≤y |an|n−κ
qui est à nouveau de l’ordre du terme d’erreur annoncé.
On montre enfin le résultat suivant, qui assure que dans le cadre des Propositions 2.3 et 2.5 infra, les hypothèses du Lemme 2.1 sont vérifiées avec κ = α.
Lemme 2.4. — Soient q ≥ 1 un entier y-friable, et q1 un diviseur de q. Soit χ1 un caractère
primitif modulo q1 et pour tout r ≥ 1, χr le caractère modulo q1r associé à χ1. On note r1 :=
q/q1 et on pose pour tout n ≥ 1,
an:= τ (χ1)µ r1 (r1,n) χ1 r1 (r1,n) χ r1 (r1,n) n (r1,n) ϕ(q1)ϕ r1 (r1,n)
Alors lorsque κ ∈ [1/2, 1], 2 ≤ y ≤ x et 2 ≤ T ≤ x, on a uniformément
X P (n)≤y |an|n−κ 2 ω(q/q1)√q 1 ϕ(q) q q1 1−κ ζ(κ, y), X P (n)≤y |n−x|<x/√T |an| 2 ω(q/q1)√q 1 ϕ(q) q q1 1−αΨ(x, y) Tα/2 . Démonstration. — On a, en écrivant (n, r1) = r1/d et n = mr1/d, X P (n)≤y |an|n−κ = √ q1 ϕ(q1) q q1 −κ X d|r1 (d,q1)=1 µ2(d)dκ ϕ(d) X P (m)≤y (m,q1d)=1 m−κ = √ q1 ϕ(q1) q q1 −κ ζ(κ, y)Y p|q1 (1 − p−κ) Y p|q/q1 p-q1 1 +p κ− 1 p − 1 ≤ √ q1 ϕ(q) q q1 1−κ ζ(κ, y)2ω(q/q1).
Par ailleurs, avec les mêmes notations, on a
X P (n)≤y |n−x|≤x/√T |an| = √ q1 ϕ(q1) X d|r1 (d,q1)=1 µ2(d) ϕ(d) X P (m)≤y |mr1/d−x|≤x/√T (m,q1d)=1 1 ≤ √ q1 ϕ(q1) X d|r1 (d,q1)=1 µ2(d) ϕ(d) Ψ(xd(1 + 1/ √ T )/r1, y) − Ψ(xd(1 − 1/ √ T )/r1, y) ≤ 2 √ q1 ϕ(q1) X d|r1 (d,q1)=1 µ2(d) ϕ(d)Ψ(xd/(r1 √ T ), y)
d’après [Hil85, theorem 4]. La majoration (2.5) a lieu avec d remplacé par √T r1/d et ainsi X P (n)≤y |n x−1|≤1/ √ T |an| √ q1Ψ(x, y) ϕ(q1)Tα/2 q q1 −α X d|r1 (d,q1)=1 µ2(d)dα ϕ(d) = √ q1Ψ(x, y) ϕ(q1)Tα/2 q q1 −α Y p|q/q1 p-q1 1 + p α p − 1 ≤ √ q1Ψ(x, y) ϕ(q)Tα/2 q q1 1−α 2ω(q/q1) qui est bien la majoration voulue.
2.3. Estimation de L(s, χ; y) dans la bande critique. — Une application du Lemme 2.1
fournit lorsque z 6∈ N (2.12) Ψ0(z, y; χ, γ) = 1 2iπ Z κ+i∞ κ−i∞ L(s, χ; y)zsΦˇ0(γx, s)ds
où l’intégrale converge en valeur principale. Le lemme suivant, repris pour l’essentiel de [Har12b, Lemma 1], fournit un contrôle sur les variations de L(s, χ; y). La qualité de cette estimation est étroitement liée à notre connaissance d’une région sans zéro pour L(s, χ). Dans cette section et les suivantes, c1 et c2 désignent toujours des constantes absolues
positives, c1 étant choisie typiquement grande et c2 typiquement petite.
Lemme 2.5. — Il existe des constantes c1, c2 > 0 telles que lorsque χ est un caractère
primitif de module q > 1, ε ∈]0, 1/2], H ≥ 4 et lorsque la fonction L(s, χ) n’a pas de zéro dans la région
(2.13) {s ∈ C | σ ∈]0, ε] ∪ [1 − ε, 1], τ ∈ [−H, H]},
alors pour tout y ≥ (qH)c1 et tout s ∈ C avec σ ∈ [0, 1[ et |τ | ≤ H/2, on ait
(2.14) X n≤y Λ(n)χ(n) ns = O y1−σ− 1 1 − σ n y−c2ε+log 2(qyH) H o + log(qH) + 1 ε ! .
Si χ est réel et si L(s, χ) a dans la région (2.13) un unique zéro β, qui est réel, alors
(2.15) X n≤y Λ(n)χ(n) ns = − yβ−s− 1 β − s + O y1−σ − 1 1 − σ n y−c2ε+log 2(qyH) H o + log(qH) + 1 ε ! .
Enfin, si la fonction ζ n’a pas de zéro dans la région (2.13) et y ≥ Hc1, alors
(2.16) X n≤y Λ(n) ns = y1−s− 1 1 − s + O y1−σ− 1 1 − σ n y−c2ε+log 2(yH) H o + log H +1 ε ! ,
Démonstration. — L’estimation (2.14) découle d’un cas particulier de [Har12b, Lemma 1].
L’estimation (2.16) est à rapprocher de [HT86, Lemma 8]. Les cas complémentaires n’ap-portent pas de difficulté essentielle. Par souci de complétude on en reprend ici la démonstra-tion, qui suit celle de Harper [Har12b, Lemma 1]. Afin d’unifier les calculs dans les différents cas, on se donne χ un caractère primitif de module q ≥ 1 qui peut être le caractère trivial, et suivant les cas :
– lorsque χ = 1, on note θ(χ) := −1 et βχ:= 1,
– sinon, si L(s, χ) ne s’annule pas dans la région (2.13), on pose θ(χ) := 0,
– enfin, si χ est réel et si L(s, χ) s’annule une seule fois dans la région (2.13) en s = β,
La quantité βχ n’interviendra pas dans les calculs lorsque θ(χ) = 0. On note
Ss(y) :=
X
n≤y
Λ(n)χ(n)n−s.
La majoration triviale Ss(y) y1−σ1−σ−1 montre que l’on peut supposer ε ≥ 1/ log y. D’autre part, sans perte de généralité on suppose que s n’est pas un zéro de L(s, χ) et est différent de 0.
On note F (s, χ) := L(s, χ)(s − βχ)−θ(χ) et on rappelle les faits suivants, énoncés dans [DM00, chapitres 15 et 16] :
– F est une fonction entière de s dont les seuls zéros sont d’une part les zéros triviaux, qui
sont des entiers négatifs ou nuls, et les zéros non triviaux, de parties réelles dans [0, 1],
– le nombre de zéros ρ = β + iγ de F avec β ∈ [0, 1] et |γ| ≤ T vaut
T π log qT 2π −T π + O(log(qT )),
Enfin, si χ est non trivial et χ(−1) = 1, on pose α(χ) = 1, et α(χ) = 0 dans tous les autres cas. Ainsi, α(χ) = 1 si et seulement si L(0, χ) = 0. Une formule de Perron [Ten08, Corollaire II.2.4] ainsi que des estimations classiques concernant la densité verticale des zéros de L(s, χ) (voir par exemple [DM00, chapitres 17 et 19]) fournissent
(2.17) Ss(y) = − X ρ | Im(ρ)−τ |≤H/2 yρ−s ρ − s − θ(χ) yβχ−s− 1 βχ− s + α(χ)y −s s − F0 F (s, χ) + O y−σ+ y 1−σlog2(qyH) H !
où ρ dans la première somme désigne un zéro non trivial de F (s, χ). Puisque log y 1 quitte à supposer c1 ≥ 2, on a y1−σlog2(qyH) H y1−σ− 1 1 − σ log2(qyH) H
qui est admissible.
On suppose dans un premier temps 1 − σ ≤ ε/2. Alors (2.18) Ss(y) + θ(χ) yβχ−s− 1 βχ− s X ρ=β+iγ |γ|≤H yβ−σ |ρ − s| + F0 F (s, χ) + 1 +y 1−σlog2(qyH) H . On a F0 F(s, χ) F0 F (1 + ε + iτ, χ) + ε max σ≤κ≤1+ε F0 F 0 (κ + iτ, χ) .
En dérivant une formule explicite pour L0/L(s, χ) (voir par exemple [DM00, chapitre 12,
formule (17)]), on obtient (2.19) F0 F 0 (κ + iτ, χ) = −X ρ 1 (κ + iτ − ρ)2 − X m∈Z,m≤0 L(m,χ)=0 1 (κ + iτ − m)2
où, dans la première somme, ρ désigne un zéro non trivial de L(s, χ), sauf éventuellement βχ. On a κ 1, la seconde somme est donc O(1). Dans la première somme sur ρ = β + iγ,
– la contribution de ceux vérifiant |γ| > H est
X ρ |γ|>H 1 |γ|2 log(qH) H
– la contribution de ceux vérifiant |γ| ≤ H et |τ − γ| > 1 est O(log(qH)) grâce à [DM00,
formules (3) des chapitres 15 et 16],
– la contribution de ceux vérifiant |τ − γ| ≤ 1 est
X ρ |γ−τ |≤1 1 |1 + ε + iτ − ρ|2 ≤ 1 εRe X ρ |γ−τ |≤1 1 1 + ε + iτ − ρ ! 1 ε2 + log(qH) ε
en suivant les mêmes calculs que Harper [Har12a, démonstration du lemma 3] et en notant que dans le cas θ(χ) 6= 0, on a 1/(1 + ε + iτ − βχ) 1/ε.
On obtient donc F0/F (s, χ) ε−1+ log(qH). Il reste à majorer la somme sur ρ du membre de droite de (2.18). On utilise pour cela la majoration suivante, qui découle de [Hux74, formule (1.1)] et [Jut77, formule (1.8)],
(2.20) cardnρ = β + iγ ∈ C Y r≤q Y χ0(mod r) L(ρ, χ0) = 0, β ≥ 1 − δ, |γ| ≤ Ho (qH)c3δ
pour une certaine constante c3 > 0, uniformément pour δ ∈ [0, 1/2] ; ici χ0 parcourt les
caractères primitifs modulo r. On a ainsi
X ρ=β+iγ |γ|≤H yβ−σ |ρ − s| X ρ=β+iγ β≤1/2,|γ|≤H y1/2−σ 1 + |γ − τ |+ b1/(2ε)c X k=1 X ρ=β+iγ kε≤1−β<(k+1)ε |γ|≤H y1−σ−kε ε y1/2−σlog2(qH) +y 1−σ−c2ε ε
pour une certaine constante c2 > 0, quitte à supposer c1 > c3. Le second terme est majoré
par O(y−c2ε y1−σ1−σ−1) grâce aux hypothèses 1 − σ ≤ ε/2 et ε log y ≥ 1, ce qui fournit la majoration annoncée.
On considère maintenant le cas 1 − σ > ε/2. On a par une intégration par parties (2.21) Ss(y) = Ss(
√
y) + Siτ(y)y−σ− Siτ( √ y)y−σ/2+ σ Z y √ y Siτ(t)t−σ−1dt.
Soit t ∈ [√y, y] ; on a t ≥ (qH)c1/2. Il est nécessaire de distinguer le cas θ(χ) = 1 car alors F (1 − βχ, χ) = 0. On note donc
1θ=1:=
(
1 si θ(χ) = 1 0 sinon.
On suppose également sans perte de généralité que τ 6= 0. Il découle de la formule (2.17) avec s et y remplacés respectivement par iτ et t que
(2.22) Siτ(t) + θ(χ) tβχ−iτ − 1 βχ− iτ X ρ=β+iγ ρ6=1−βχ |γ|≤H tβ |ρ − iτ |+ α(χ)t −iτ iτ − F0 F(iτ, χ) − 1θ=1 t1−βχ−iτ 1 − βχ− iτ + 1 +t log 2(qtH) H
où dans la somme sur ρ la condition ρ 6= 1−βχn’est à prendre en compte que lorsque θ(χ) = 1. D’après [MV06, formules (10.27), (12.9) et Theorem 11.4], on a
α(χ)t −iτ iτ − F0 F(iτ, χ) − 1θ=1 t1−βχ−iτ 1 − βχ− iτ ≤ L0 L(1 − iτ, χ) − 1θ=1 1 − iτ − βχ + 1θ=1t 1−iτ −βχ− 1 1 − iτ − βχ + α(χ)t −iτ − 1 iτ + O(log(qH)) log(qyH) +√t log t.
Enfin, pour tout ρ = β +iγ zéro non trivial de F (s, χ), sauf éventuellement 1−βχ, on a β ≥ ε, ainsi X ρ=β+iγ ρ6=1−βχ |γ|≤H tβ |ρ − iτ | X ρ=β+iγ |γ|≤H β≤1/4 t1/4 ε + |γ − τ | + X ρ=β+iγ |γ|≤H 1/4<β<1/2 t1/2 1 + |γ − τ | + b1/(2ε)c X k=1 X ρ=β+iγ |γ|≤H kε≤1−β<(k+1)ε t1−kε √t log2(qH) + t (qH)c3 t ε t1−c2ε
en supposant c1 > 2c3 et quitte à réduire la valeur de c2, et où l’on a de nouveau utilisé la
formule (2.20) ainsi que des résultats classiques sur la densité des zéros de L(s, χ) [DM00, formules (1) des chapitres 15 et 16]. On a donc
Siτ(t) + θ(χ) tβχ−iτ− 1 βχ− iτ t1−c2ε+ log(qyH) + t log 2(qyH) H
et ainsi, en reportant dans (2.21),
Ss(y) + θ(χ) yβχ−s− 1 βχ− s θ(χ)y (βχ−s)/2− 1 βχ− s + y (1−σ)/2− 1 1 − σ + y1−σ−c2ε− y(1−σ−c2ε)/2 1 − σ − c2ε + y−σ/2log(qyH) +(y 1−σ− y(1−σ)/2) log2(qyH) (1 − σ)H .
Dans le membre de droite, le premier terme est dominé par le deuxième. Puisque de plus on a 1 − σ > ε/2, donc 1 − σ > log y, on obtient
Ss(y) + θ(χ) yβχ−s− 1 βχ− s y−c2ε/2y 1−σ− 1 1 − σ + y1−σ− 1 1 − σ log2(qyH) H + log(qyH)
qui est la majoration annoncée.
Remarque. — Ainsi qu’il est observé dans la remarque qui suit le lemme 2 de [Har12b], dans la démonstration qui précède, la majoration (2.20) en conjonction avec l’hypothèse y ≥ (qH)c1, remplace avantageusement les résultats classiques sur la densité verticale des zéros des fonctions L [DM00, chapitres 17 et 19]. L’utilisation de ceux-ci induirait un facteur supplémentaire log2(qyH) dans le premier terme d’erreur de chacune des estimations (2.14), (2.15) et (2.16) et rendrait celles-ci triviales lorsque ε = O((log log qyH)/ log y). Des valeurs permises pour ε dépendent le choix des paramètres ε et T dans les Propositions 2.1, 2.3 et 2.5
infra, qui influent sur le domaine de validité en Q ainsi que la qualité des termes d’erreur.
Lemme 2.6. — Il existe des constantes c1, c2 > 0 positives, c2 pouvant être fixée
arbitraire-ment petite, telles que pour tous réels x, y, T supérieurs à 4, ε > 0 et tout entier q ≥ 2, sous les conditions :
– (log x)c1 ≤ y ≤ x,
– ε log y ≥ 1/c2,
– T ≥ yc1ε(log x)2,
et pour tout caractère χ de module q tel que la fonction L(s, χ) ne s’annule pas pour σ ≥ 1−ε et |τ | ≤ 2T , la majoration
L(σ + iτ, χ; y) L(σ0+ iτ, χ; y) x
(σ0−σ)/2
soit valable lorsque (σ, σ0, |τ |) ∈ [α − c2ε, α]2× [0, T ] et σ ≤ σ0.
En particulier, cette majoration est valable avec ε = b/ log QT pour tout Q ≥ 2 véri-fiant QT ≤ yc2, lorsque χ est un caractère de module q ≤ Q qui n’est pas Q-exceptionnel. De plus, elle est également valable lorsque χ est Q-exceptionnel et l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :
|τ | ≥ max{1, yβ−σ} ou β ≤ 1 −√c2/ log QT.
D’autre part, sous les conditions :
– (log x)c1 ≤ y ≤ x,
– yc1(log T )−2/3(log log T )−1/3(log x)2≤ T ≤ yc2,
la majoration
ζ(σ + iτ, y) ζ(α + iτ, y) x
(α−σ)/2
est valable lorsque (σ, |τ |) ∈ [α − c2(log T )−2/3(log log T )−1/3, α] × [y1−α, T ].
Démonstration. — Afin d’unifier les calculs dans les différents cas, on se donne un
carac-tère χ, qui est soit non principal et de module q ≥ 2, soit le caraccarac-tère trivial auquel cas l’on pose q := 1, et on note suivant les cas :
– si χ = 1, on pose βχ:= 1, σ0 = α et ε = b(log T )−2/3(log log T )−1/3,
– si χ est un caractère Q-exceptionnel, on pose βχ:= β et ε = b/ log QT .
Ainsi L(s, χ) est une fonction qui n’a pas de zéro ni de pôle pour σ ≥ 1 − ε et |τ | ≤ 2T , sauf éventuellement en s = βχ. Dans le cas χ = 1, ceci découle de la région sans zéro de Vinogradov-Korobov [MV06, formule (6.24)] quitte à réduire la valeur de b. Quitte à choisir c1 suffisamment grande et c2 suffisamment petite on a σ0 ≥ σ ≥ 1/2. On note χ∗ le
caractère primitif associé à χ et q∗ son module ; on a pour tout s ∈ C,
L(s, χ; y) =Y
p|q
(1 − χ∗(p)p−s)L(s, χ∗; y).
Lorsque q = 1 et χ = 1, le produit sur p est vide, et dans les autres cas, sa dérivée logarith-mique par rapport à s est P
p|q(log p)/(1 − p− Re(s)) log q lorsque Re(s) ≥ 1/2. On a donc dans tous les cas
L(σ + iτ, χ; y) L(σ0+ iτ, χ; y) = exp ( − Z σ0 σ L0 L(κ + iτ, χ
∗; y)dκ + O(ε log q)
)
avec, pour tout κ ∈ [σ, σ0], −L 0 L(κ + iτ, χ ∗ ; y) = X P (n)≤y Λ(n)χ∗(n) nκ+iτ = X n≤y Λ(n)χ∗(n) nκ+iτ + O(1).
Le Lemme 2.5 s’applique avec H = 2T . Lorsque χ est non exceptionnel, le Lemme 2.5 fournit
X n≤y Λ(n)χ∗(n) nκ+iτ y1−κ−c3ε 1 − κ + y1−κlog2(qyT ) (1 − κ)T + log(qT ) y 1−α−c3ε/2 1 − α + log(qT )
pour une certaine constante c3> 0, quitte à supposer c1 suffisamment grande et c2
suffisam-ment petite. Si χ est exceptionnel ou χ = 1, on a
X n≤y Λ(n)χ∗(n) nκ+iτ y1−α−c3ε/2 1 − α + log(qT ) + yβχ−κ−iτ − 1 βχ− κ − iτ
Lorsque |τ | ≥ yβχ−σ, le dernier terme du membre de droite est borné, tandis que lorsque χ
est Q-exceptionnel et β ≤ 1 −√c2/ log QT , ce terme est O(y1−κ− √
c2ε/b/(1 − κ)). Ainsi dans tous les cas, quitte à réduire la valeur de c2, on a
X n≤y Λ(n)χ∗(n) nκ+iτ y1−α−√c2ε/b 1 − α + log(QT ) e− √
c2ε log y/b+log(QT ) log x
log x si χ 6= 1
e−c−1/62 (log y)1/3/(log log y)1/3+log(QT )
log x
log x si χ = 1
grâce à [Ten08, formule (III.5.74)]. Quitte à supposer c1suffisamment grande et c2 suffisam-ment petite, on en déduit
X P (n)≤y Λ(n)χ∗(n) nκ+iτ ≤ log x 2 + O(1) donc L(σ + iτ, χ; y)/L(σ0+ iτ, χ; y) = O(x(σ0−σ)/2).
Le lemme suivant traite de la situation où le zéro exceptionnel existe. La démonstration est analogue à celle de [Ten90, lemme 1].
Lemme 2.7. — Il existe des constantes c1, c2 strictement positives telles que pour tous
réels Q, T supérieurs à 2 et x et y assez grands avec :
– (log x)c1 ≤ y ≤ x,
– QT ≤ yc2/(log log log x),
– T ≥ yc1/ log(QT )(log x)2,
si le zéro exceptionnel β existe et vérifie 1−β ≤√c2/ log QT , alors pour tout τ avec |τ | ≤ T /2
on ait
L(α + iτ + β − 1, χ1; y) ζ(α, y)H(u)−δ.
Démonstration. — Quitte à choisir c1 suffisamment grande, on suppose α ≥ 2/3. Alors on a
L(α + iτ + β − 1, χ1; y) = ζ(α, y) exp X p≤y log 1 − p −α 1 − χ1(p)p1−β−α−iτ ! = ζ(α, y) exp −X p≤y 1 − χ1(p)p1−β−iτ pα + O(1)
le logarithme étant pris en détermination principale. La somme sur p s’écrit
(2.23) X
p≤y
1 − χ1(p)p1−βcos(τ log p)
pα = S1+ S2+ O(1)
où S1 représente la contribution des p ≤ y0 := (2QT )c1 et S2 résulte d’une intégration par
parties : S1:= X p≤y0 1 − χ1(p)p1−βcos(τ log p) pα , S2:= S(y) log y − S(y0) log y0 + Z y y0 S(z)dz z(log z)2,
où S(z) :=X
n≤z
Λ(n)1 − χ1(n)n
1−βcos(τ log n)
nα .
La somme S1 est majorée comme suit :
(2.24) S1 (QT )c1(2−β−α)
X
p≤y0 1
p (log(u + 1))
2uc1c2/ log log log x= o(u/ log(u + 1)2)
lorsque u → ∞, où on a utilisé y1−α u log(u + 1) [HT86, lemma 3]. Afin d’estimer la quantité S2, on applique le Lemme 2.5 deux fois avec ε = b/ log QT , H = 2T , y (dans
l’énoncé de ce lemme) remplacé par z ∈ [y0, y], et s ∈ {α, α + β − 1}. On obtient pour une
certaine constante c3 > 0 (2.25) X n≤z Λ(n) nα = z1−α− 1 1 − α + O z1−α− 1 1 − α n z−c3ε+log 2(QzT ) T o + log(QT ) ! (2.26) X n≤z Λ(n)χ1(n) nα+iτ +β−1 = − z1−α−iτ − 1 1 − α − iτ + O z2−α−β− 1 2 − α − β n z−c3ε+ log 2(QzT ) T o + log(QT ) ! .
Quitte à choisir c1suffisament grande, dans les termes d’erreur, le deuxième terme log2(QzT )/T est dominé par le premier z−c3ε. D’autre part, quitte à supposer c2 suffisament petite, on
a 1 − β ≤ c3ε/2, on en déduit
z2−α−β− 1 2 − α − β ≤ z
c3ε/2z1−α− 1 1 − α .
Ainsi les estimations (2.25) et (2.26) fournissent, en intégrant de nouveau par parties les termes principaux, (2.27) S2 = Z y y0 Re z−α+ z−α−iτ dz log z + O R , R := 1 + y −c3ε/2(y1−α− 1) (1 − α) log y + y−c0 3ε/2(y1−α0 − 1) (1 − α) log y0 + Z y y0 z−c3ε/2(z1−α− 1)dz (1 − α)z(log z)2 .
Dans le terme principal, le numérateur Re{z−α+ z−α−iτ} est positif ou nul, on a donc
Z y y0 Re z−α+ z−α−iτ dz log z ≥ 1 log y Re ( y1−α 1 − α + y1−α−iτ 1 − α − iτ ) + Oy 1−α 0 1 − α ! .
On a y1−α0 /(1 − α) uc2/ log log log xlog y, ainsi que Re ( y1−α 1 − α+ y1−α−iτ 1 − α − iτ ) log x (log(u + 1))2
grâce aux calculs de Hildebrand et Tenenbaum [HT86, Lemma 8], ce qui fournit (2.28) Z y y0 Re z−α+ z−α−iτ dz log z u (log(u + 1))2.
D’autre part, on a d’après les hypothèses y−c3ε/2 ≤ (log log x)−c3b/(2c2). Ainsi, quitte à
réduire la valeur de c2 en fonction de c3, on a
y−c3ε/2 y
1−α− 1
(1 − α) log y
u
(log log x)3.
Par ailleurs, on a de même que précédemment
y01−α− 1 (1 − α) log y0
En utilisant la majoration élémentaire Z b a zγ−1dz (log z)2 aγ log a + γ + bγ γ(log b)2 (0 < γ, 1 < a ≤ b)
ainsi qu’une intégration par parties, on obtient
Z √y y0 z−c3ε/2(z1−α− 1) z(1 − α)(log z)2 dz ≤ y1−α0 − 1 (1 − α) log y0 − 2y (1−α)/2− 1 (1 − α) log y + Z √y y0 z−αdz log z s u log(u + 1), Z y √ y z−c3ε/2(z1−α− 1)dz (1 − α)z(log z)2 ≤ y −c3ε/4n2y (1−α)/2− 1 (1 − α) log y − y1−α− 1 (1 − α) log y + Z y √ y z−αdz log z o .
Le terme entre accolades est O(u) tandis qu’à supposer c2 suffisamment petite en fonction de c3, le facteur y−c3ε/4 est O(1/(log log x)3), d’où l’on déduit
(2.29) R 1 + u
(log log x)3.
En insérant les formules (2.27), (2.28), (2.29) et (2.24) dans la définition (2.23), on obtient pour un certain δ > 0 L(α + iτ + β − 1, χ1; y) ζ(α, y) exp −δ u (log(u + 1))2
qui est la majoration annoncée.
2.4. Caractères non principaux, non exceptionnels. — On s’intéresse au cas des
caractères non principaux et non associés à l’éventuel caractère exceptionnel χ1. Soit χ un tel caractère, de module q. On rappelle que Ψ0(z, y; χ, γ) est la fonction définie par (2.7).
Proposition 2.1. — Il existe des constantes c1 et c2 strictement positives telles que pour
tous réels x, y, γ, ε et T avec 4 ≤ T ≤ yc2 et ε > 0, lorsque q et un entier avec 2 ≤ q ≤ yc2 et χ un caractère de module q, non principal et tel que la fonction L(s, χ) ne s’annule pas dans la région
{s ∈ C | σ > 1 − ε, |τ | ≤ T }
et lorsque 2 ≤ (log x)c1 ≤ y ≤ x, et z ∈ [x2/3, x] on ait
Ψ0(z, y; χ, γ) zαζ(α, y)(1 + |γ|z) (log T )x−c2ε+ T−c2.
En particulier, pour tout Q avec 2 ≤ Q ≤ yc2, ceci est valable pour touts les caractères de module inférieurs à Q qui sont non principaux et non Q-exceptionnels, avec ε = b/ log QT . De plus la même majoration est valable lorsque χ est Q-exceptionnel mais β ≤ 1 −√c2/ log QT .
Remarque. — Lorsque γ = 0, ce résultat est un cas particulier de [Har12b, theorem 3].
Démonstration. — La condition sur (x, y) assure que les hypothèses du Lemme 2.1 sont
vérifiées pour la suite an = e(nγ)χ(n) avec M absolu. On a de plus α ≥ 1/2 quitte à supposer c1 assez grande. Le choix κ = α(x, y) fournit pour une certaine constante c3> 0
Ψ0(z, y; χ, γ) = 1 2iπ
Z α+iT
α−iT
L(s, χ; y)zsΦˇ0(γz, s)ds + O(zαζ(α, y)(1 + |γ|z)T−c3). On modifie le contour pour intégrer sur la ligne brisée passant par les points
α − iT, α − c4ε − iT, α − c4ε + iT, α + iT
où c4 est une constante absolue choisie plus petite que la constante c2 du Lemme 2.6. Soit
Les Lemmes 2.3 et 2.6 s’appliquent ici dans tous les cas envisagés dans l’énoncé. On a ainsi I1 zαζ(α, y) (1 + |γ|z) T Z c4ε 0 √ x z !κ dκ zαζ(α, y)(1 + |γ|z) T , I2 zαζ(α, y)(1 + |γ|z)(log T ) √ x z !c4ε zαζ(α, y)(1 + |γ|z)(log T )x−c4ε/6.
On obtient la majoration annoncée en regroupant ces deux estimations.
Dans la somme du membre de droite de (2.6), la contribution des caractères principaux s’écrit, après interversion des sommes,
V (x, y; q, η) := X
n∈S(x,y)
µ(q/(q, n)) ϕ(q/(q, n))e(nη)
et celle, lorsque ν(q) = 1, des caractères associés à χ1 s’écrit χ1(a)W (x, y; q, η) où
W (x, y; q, η) := τ (χ1) ϕ(q1) X r|q/q1 µ(r)χ1(r) ϕ(r) X m∈S(xq1r/q,y) e mq q1r η χr(m).
On rappelle que T1 est défini en (1.6).
Proposition 2.2. — Il existe deux constantes positives c1 et c2 telles que pour tous réels x,
y et ϑ et tous entiers q, Q ≥ 1, lorsque (log x)c1 ≤ y ≤ x, q ≤ yc2, Q ≤ Tc2
1 et ϑ = a/q + η
avec (a, q) = 1, on ait
(2.30) E(x, y; ϑ) = V (x, y; q, η) + ν(q)χ1
(a)W (x, y; q, η) + O Ψ(x, y)(1 + |η|x) y−c2+ Q−c2
où χ1 désigne le caractère primitif Q-exceptionnel.
Démonstration. — La preuve que l’on propose ici reprend la structure des calculs de la
section 3.3 de [Har12b]. Les caractères de modules inférieurs à Q sont traités grâce à la Proposition 2.1. Pour les caractères de modules supérieurs, lorsque la fonction L a ses zéros de petite partie réelle, la Proposition 2.1 permet encore de conclure. Cela ne concerne pas tous les caractères de modules supérieurs à Q, mais la majoration de Huxley et Jutila (2.20) permet de dire que les caractères restants sont en proportion suffisament peu nombreux pour que leur contribution, même majorée trivialement, soit bien contrôlée.
Soient c01 et c02 les constantes de la Proposition 2.1. On suppose c1≥ c01 et c2 ≤ c02. Il s’agit
de majorer (2.31) X d|q 1 ϕ(q/d) X0 χ(mod q/d) χ(a)τ (χ)Ψ0(x/d, y; χ, ηd)
où la sommeP0 porte sur les caractères non principaux et non Q-exceptionnels. Lorsqu’un
tel caractère est lui-même de module q/d ≤ Q, la Proposition 2.1 s’applique avec z = x/d et
γ = ηd, T = T1 et ε = b/ log QT et fournit
Ψ0(x/d, y; χ, ηd) xαζ(α, y)d−α(1 + |η|x)
pour une certaine constante c3 > 0. On sépare la somme sur d dans (2.31) selon si q/d ≤ Q
ou pas. La contribution des d|q avec d ≥ q/Q est certainement
Ψ(x, y)(log x)(1 + |η|x)y−c3+ L−c3 + (log x)1/2x−c3/ log Q X r|q, r≤Q
√
r(q/r)−α
Ψ(x, y)(1 + |η|x) y−c2+ L−c2
en majorant trivialement la somme sur r par O min{q, Q}3/2
, quitte à réduire la valeur de c2 et augmenter la valeur de c1 afin d’avoir α ≥ 2/3 et pour absorber le facteur log x. La
dernière inégalité fait usage de l’hypothèse Q ≤ T1c2, quitte à supposer c2< 1.
Il reste à majorer la contribution à l’expression (2.31) des d|q avec d < q/Q, autrement dit des caractères de modules r|q avec Q < r ≤ yc2. Soit χ un tel caractère et c03 la constante apparaissant en exposant dans la formule (2.20). On pose c3 = 2/c02 et c4 = 1/(10(c3+ 1)c03). Quitte à diminuer la valeur de c2, on a rc3 ≤ yc0
2. Lorsque L(s, χ) ne s’annule pas pour σ ≥ 1 − c4 et |τ | ≤ rc3, on a pour (log x)c1 ≤ y ≤ x et d|q la majoration
Ψ0(x/d, y; χ, ηd) Ψ(x, y)(1 + |η|x)(x−c02c4/2+ (log x)r−2). La contribution de tous ces caractères à la somme 2.31 est donc
Ψ(x, y)(1 + |η|x)(x−c2+ (log x)Q−1/2).
Pour tout r ≥ 2, notons Nr le nombre de caractères de module r tel que la fonction L(s, χ) s’annule au moins une fois pour σ ≥ 1 − c4 et |τ | ≤ rc3. La majoration (2.20)
four-nit P
r≤RNr R1/10. Pour un tel caractère, on a τ (χ)/ϕ(r) r−1/3. La majoration triviale |Ψ(x/d, y; χ, ηd)| ≤ Ψ(x, y) montre que la contribution de tous ces caractères à la somme (2.31) est Ψ(x, y) X Q<r≤yc2 Nr r1/3 Ψ(x, y)(Q −c2/5+ y−c2/5)
ce qui fournit la conclusion souhaitée.
Remarque. — Il est possible de montrer que cette estimation est valable pour q ≤ xc2,
cf. [Har12b, Lemma 2]. Cela n’a cependant pas d’utilité pour les applications que l’on
envisage ici.
2.5. Caractères principaux par la méthode du col. — On note pour tout s = σ + iτ
avec σ > 0 et tout entier q qui est y-friable
ζ(s, q; y) := X P (n)≤y µ(q/(n, q)) ϕ(q/(n, q))n −s = q 1−s ϕ(q) Y p|q 1 − ps−1ζ(s, y).
Pour σ ≤ 1, le facteur devant ζ(s, y) est 2ω(q)q1−σ/ϕ(q). On montre une première
estimation de V (x, y; q, η) par la méthode du col. Par rapport à celle de la Proposition 2.4, qui sera montrée dans la section suivante, elle a l’avantage d’être valide sous des conditions moins restrictives sur q et η, au détriment du terme d’erreur.
Proposition 2.3. — Il existe des constantes c1 et c2 positives telles que pour tout (x, y)
vérifiant |η|x ≤ x1/4, on ait (2.32) V (x, y; q, η) = αq 1−α ϕ(q) Y p|q 1 − pα−1Φˇ0(ηx, α)Ψ(x, y) + O 2 ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q)(1 + |η|x)α (log q)2log(2 + |η|x)3 u ! + O 2 ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q) (1 + |η|x)
y−c2+ e−c2(log x)3/5(log log x)−1/5
!
.
Remarque. — En particulier, lorsque |η|x ≤ min{yc2/2, ec2(log x)3/5(log log x)−1/5/2}, on a
(2.33) V (x, y; q, η) 2
ω(q)q1−αΨ(x, y)(log q)2(log(2 + |η|x))3
ϕ(q)(1 + |η|x)α .
Démonstration de la Proposition 2.3. — Soit T un réel supérieur à 4. La série de
Diri-chlet ζ(s, q; y) est absolument convergente pour σ > 0, donc les Lemmes 2.4 (avec q1 = 1) et 2.1 s’appliquent et fournissent (2.34) V (x, y; q, η) = 1 2iπ Z α+iT α−iT ζ(s, q; y)xsΦˇ0(ηx, s)ds + O 2 ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q) (1 + |η|x) log x log T Tα/2 ! .
On note ε := c3(log T )−2/3(log log T )−1/3 pour un certain réel c3 > 0 fixé plus petit que
la constante c2 du Lemme 2.6, et on choisit T = min{yc2, e(log x)
3/5(log log x)−1/5)
}. Alors les hypothèses du Lemme 2.6 sont satisfaites quitte à choisir c1 assez grande et c2 assez petite.
D’autre part, quitte à augmenter la valeur de c1 et diminuer celle de c2, on suppose que α −
c2ε ≥ 1/2. On intègre suivant le chemin ∪7i=1Cj, où 1. C1 est le segment [α − iT, α − ε − iT ],
2. C2 est le segment [α − ε − iT, α − ε − iy1−α+ε],
3. C3 est le chemin reliant le point α − ε − iy1−α+ε au point α − iy1−α en suivant la courbe τ = y1−σ,
4. C4 est le segment [α − iy1−α, α + iy1−α],
5. C5 est le chemin reliant le point α + iy1−α au point α − ε + iy1−α+ε en suivant la
courbe τ = −y1−σ,
6. C6 est le segment [α − ε + iy1−α+ε, α − ε + iT ],
-6 6 6 6 -T y1−α+ε y1−α −y1−α −y1−α+ε −T 0 α − ε α C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
Pour j ∈ {1, · · · , 7} on note Ij la contribution du chemin Cj :
Ij = Ij(η) := 1 2iπ Z Cj ζ(s, q; y)xsΦˇ0(ηx, s)ds.
La contribution du segment C7 est, grâce aux Lemmes 2.6 et 2.3,
I7 Z α α−ε 2ω(q)q1−σ ϕ(q) ζ(α, y)x σ1 + |η|x T dσ 2ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q) (1 + |η|x) log x T .
Sur le segment C6 on a |τ | ≥ y1−σ. Le Lemme 2.6 est donc encore applicable et on a
I6 2ω(q)q1−α+ε ϕ(q) x α−ε/2ζ(α, y)(1 + |η|x) log T 2ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q) (1 + |η|x) log T log x xε/4 . Sur le segment C5, le traitement est analogue. On a
I5 2ω(q) ϕ(q) Z α α−ε q1−σ|ζ(σ + iy1−σ, y) ˇΦ0(ηx, σ + iy1−σ)|(log y)xσy1−σdσ.
Pour tout κ ∈ [0, ε], on a pour un certain δ > 0
ζ(α − κ + iy1−α+κ, y) ζ(α, y)H(u)−δ
ˇ
Φ0(ηx, α − κ + iy1−α+κ) y1−α+κlog(2 + |η|x)/(1 + |η|x)α−κ
où la première inégalité est conséquence du Lemme 2.6 et de [HT86, lemma 8]. Ainsi on obtient
I5
2ω(q)q1−αxαζ(α, y)(log x)(log y)y2(1−α) ϕ(q)(1 + |η|x)αH(u)δ Z ε 0 y2q(1 + |η|x) x !κ dκ 2 ω(q)q1−αΨ(x, y) (1 + |η|x)αϕ(q)H(u)δ/2
où l’on a utilisé l’inégalité (log x)(log y)y2(1−α) H(u)δ/2 qui découle de nos hypothèses sur (x, y).
Sur le segment C4, le traitement est identique à celui des segments C3, C4 et C5 dans la
preuve de la proposition 3.5 de [Dra12]. On reprend ici les étapes principales. La contribution des s vérifiant 1/ log y ≤ |τ | ≤ y1−α est
2 ω(q)q1−αxα ϕ(q) Z y1−α 1/ log y |ζ(α + iτ ) ˇΦ0(ηx, α + iτ )|dτ 2ω(q)q1−αΨ(x, y) ϕ(q)(1 + |η|x)αH(u)δ/2
