G135 : Peut-on se fier à son intuition première ?
1er exemple :
Je m’adonne à une patience bien connue qui a été livrée sur mon ordinateur personnel. Je gagne la 1ère partie, je perds la 2ème et à partir de la 3ème, ma probabilité de gain de la kième partie est logiquement égale au taux de succès des k- 1 premières. Comme j’ai beaucoup de patience, mon intention est de réaliser cette patience 2009 fois de suite.
Avant de me lancer dans ce marathon, je cherche à calculer p1et p2qui sont respectivement les probabilités de réussir exactement 1004 fois et 2008 fois la patience. Mon intuition première me fait dire que p1> p2.
2ème exemple :
Je dispose d’une urne qui contient 2009 boules bleues et rouges mais j’en ignore la composition.
Toutes les configurations de x boules bleues et 2009 – x boules rouges avec 0!x!2009 sont donc pour moi équiprobables, ce qui revient à écrire: Pr{ x boules bleues et 2009 – x boules rouges dans l’urne} =
2010
1 pour 0!x!2009.
Je tire 2009 fois de suite une boule dont je note la couleur et que je remets dans l’urne après chaque tirage (tirage dit non exhaustif). J’observe que chacun des 2009 tirages donne une boule bleue.
Sur la base cette observation, je cherche à calculer la probabilité p que l’urne ne contienne que des boules bleues. Mon intuition première me fait dire que p est très proche de 1.
3ème exemple :
Je m’apprête à lancer 2009 fois une pièce de monnaie supposée parfaite et mon voisin de son côté s’apprête à lancer 2008 fois une autre pièce de monnaie supposée elle aussi parfaite. Je cherche à calculer la probabilité p que j’obtienne plus de « pile » que mon voisin. Mon intuition première me fait dire que p est plus grand que 1/2.
Dans chacun des trois cas, mon intuition première est-elle bonne ?
1- En réalité, après k+1 patiences, la probabilité d’en avoir réussi n (pour 1≤n≤k) est la même pour tout n, et vaut 1/k : c’est vrai pour k=2, et si l’on suppose que c’est vrai pour k patiences, à la patience suivante, on ne peut obtenir n=1 qu’en ayant n=1 au rang k et en échouant la dernière, avec la probabilité k-1/k, soit (k-1)/k*1/(k-1)=1/k.
Pour obtenir n+1, on peut soit partir de n+1 et échouer (probabilité (k-n-1)/k, ou de n et réussir (probabilité n/k) soit [(k-n-1)/k*1/(k-1)+n/k*(1/(k-1))=1/k.
2- S’il y a x boules bleues sur un total de n=2009, la probabilité de tirer n fois une boule bleue est (x/n)n. La probabilité que l’on soit dans le cas x=n est donc 1/∑(x/n)n, la somme allant de x=0 à n : dans cette somme, les derniers termes (x=n-1, n-2,…) sont loin d’être négligeables devant 1, et p<2/3.
3- Puisque les pièces sont parfaites, le problème est inchangé si l’on inverse pile et face, et la probabilité d’obtenir plus de « pile » que le voisin est la même que celle d’obtenir plus de « face ». Or ces deux évènements sont complémentaires. La probabilité cherchée est égale à ½.
