E431 – Jouer au chat et à la souris.
Solution
Question n°1 N > 100 0
La souris a une stratégie toujours gagnante.
Elle annonce le nombre d =2. Si le chat a eu la maladresse de choisir un nombre 1 N pair, la 0 souris gagne. On imagine que le chat a eu l’intuition de choisir un nombre impair. Dès lors le reste est N =1 N -2 > 0. On a 0 N11,3,5 modulo 6..
La souris annonce ensuite d =3. Si 2 N est divisible par 3, elle est gagnante. Sinon, le chat 1 calcule N = 2 N - 3 > 0 avec 1 N2 = 2,4 modulo 6 ou encore N2 2,4,8,10 modulo 12.
La souris ne se décourage pas. Elle est certaine que N est un nombre pair et en poursuivant 2 avec d =4, elle a une chance sur deux de trouver le bon diviseur. Si la chance est avec elle, la 3 partie est finie. Sinon le chat continue ses soustractions avec N = 3 N - 4 qui reste encore très 2 largement positif car la somme des termes soustraits à ce stade n’est que 2+3+4 = 9. Par ailleurs, on note que N3 10,6 modulo 12.
La souris qui est devenue experte dans l’utilisation des congruences et des modulos et repère que N3 6 modulo 12, annonce d = 6. Si effectivement on a4 N3 6 modulo 12, la souris gagne. Si a contrarioN3 10 modulo 12, le chat calcule N = 4 N - 6 = 3 N - 15 > 0 avec 0
N4 4 modulo 12 qui peut encore s’écrire N4 4,16,28,40, modulo 48.
La souris sent qu’elle est proche du but et comme sa marge de manœuvre reste confortable, elle fait un bond en avant en proposant d =16. Elle n’a qu’une chance sur quatre de tirer son 5 épingle du jeu si N4 16 modulo 48 mais plus intéressant pour elle, c’est le calcul auquel se livre le chat si 16 n’est toujours pas un bon diviseur . On a en effet N = 5 N - 16 = 4 N - 31 > 0 0 avec N5 36,12,24 modulo 48 et l’on s’aperçoit que N est toujours divisible par 12. 5 Au tour suivant, la souris en annonçant d =12 est certaine que ce nombre divise 6 N . 5
En conclusion, en annonçant respectivement 2, 3, 4, 6, 16 et 12 la souris est toujours de gagner en un maximum de 6 tours. Son seul risque est que le chat pris de dépit ne la croque…
mais c’est une autre histoire.
Question n°2 N0 100
La réponse à la question précédente fournit déjà des éléments d’information intéressants : si N est compris entre 31 et 100, la stratégie de la souris est toujours gagnante car les 0
soustractions effectuées par le chat n’aboutissent jamais à des restes N négatifs. k
Quand N < 31, il apparaît que de nombreuses valeurs sont encore perdantes pour le chat : 0 - les nombres pairs bien entendu
- puis 29 car 29 – 2 = 27 qui est divisible par 3,
- puis 27 car 27 – 2 – 3 – 4 = 18 qui est divisible par 6…
Les seules valeurs qui résistent sont : 31 – 12 = 19 car 19 – 2 = 17 non divisible par 3, 17 – 3
= 14 non divisible par 4, 14 – 4 = 10 non divisible par 6, 10 – 6 = 4 et la souris est bloquée. Il en est de même de 7 et 3 mais il faut le reconnaître que pour ces deux dernières valeurs, le jeu ne présente pas grand intérêt.
En conclusion si l’on admet que N est compris entre 10 et 100, la souris a une stratégie 0 toujours gagnante sauf si le chat choisit 19.
Nota : on peut pousser le raisonnement au 2ème degré. Si la souris laisse au chat le soin de choisir l’entier N quelconque supérieur à 10, il se précipite sur la valeur gagnante pour lui 0 qui est 19 et alors la souris annonce respectivement 3 et 2 en gagnant au 2ème tour à moins que le chat anticipant ce changement de tactique de la souris ne choisisse un nombre différent de 19. Ceci s’appelle bien « jouer au chat et à la souris »
