TP 9. METHODE DE MONTE CARLO
On rappelle :
Théorème. Loi faible des grands nombres
Soit(Xn)n∈N∗une suite de v.a. indépendantes, admettant une même espéranceE(X), et une même variance.
Pourn∈N∗, notons Xn = 1 n
n
X
k=1
Xk =X1+...+Xn
n . Alors :
∀ >0, lim
n→+∞P(|Xn−E(X)| ≥) = 0
Remarque.
La méthode de Monte Carlo s’appuie sur la loi des grands nombres, qui nous dit que la moyenne empiriqueXnest un estimateur convergent (et par ailleurs sans biais) de l’espérance.
Elle ne mesure cependant pas la rapidité de cette convergence. On pourra ensuite s’en remettre au théorème central limite, afin d’ob- tenir un intervalle de confiance.
La méthode de Monte Carlo est souvent utilisée pour calculer des intégrales (voire des sommes) difficiles à calculer.
On utilise le théorème de transfert pour écrire l’intégrale sous la forme d’une espérance.
En effet, siXest une v.a. etgune fonction telle que la v.a.g(X)est bien définie, alors :
— siXest à densité, E(g(X)) = Z
g(x)fX(x)dx
— tandis que siXest discrète, E(g(X)) =X
g(x)P(X=x).
Méthode. Monte Carlo
SoitX1, ..., Xnun échantillon de la loi d’une v.a.X, telle queg(X)admette une espérance.
Alors E(g(X)) sera approché par 1 n
n
X
k=1
g(Xk).
Exemple.
L’intégrale I= Z 1
0
dt
1 +t se calcule aisément, par un calcul direct. On trouve en effet I= [ln(1 +t)]10= ln(2). Cependant, le théorème de transfert appliqué à une v.a.X ,→U([0; 1])nous donne aussi I=E
1 1 +X
. Une valeur approchée deI sera donc donnée par 1
n
n
X
k=1
1
1 +Xk, oùX1, ..., Xn est un échantillon d’une loi uniforme sur[0; 1].
Exercice I.
Créer le programme calculant une valeur approchée de l’intégraleIde l’exercice précédent.
Exercice II.
En utilisant la méthode de Monte Carlo, et en les écrivant comme des espérances de v.a. à densité, calculer les intégrales suivantes :
1. I= Z 1
0
dt
t2+ 1 2. I= Z 5
2
dt
t3+ 1 3. I= Z 1
0
ln(t)dt 4. I= Z 1
0
(ln(t))2dt 5. I= Z 3
0
e−t2
√t dt 6. I=
Z +∞
0
te−tdt 7. I= Z +∞
0
t2e−tdt 8. I= Z +∞
0
e−2t
√t dt 9. I= Z +∞
0
e−4t t2+ 1dt
10. I= Z +∞
−∞
t2e−t
2
2dt 11. I=
Z +∞
−∞
e−t
2 2
t4+ 1dt 12. I= Z +∞
−∞
e−t2
t3+ 1dt 13. I= Z +∞
0
e−t2
√t dt
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TP 9. METHODE DE MONTE CARLO
Exercice III.
En utilisant la méthode de Monte Carlo, et en les écrivant comme des espérances de v.a. discrètes, calculer les sommes suivantes :
1. S=
13
X
k=0
ek 13
k
0.4k×0.613−k 2. S=
+∞
X
k=1
k4×0.3k−1×0.7 3. S=
+∞
X
k=0
3k k!ek−3
4. S=
20
X
k=0
20 k
k2+√
k+ 1 5. S=
+∞
X
k=1
1 2k√
k 6. S=
+∞
X
k=0
ln(k+ 1)
k! 7. S=
+∞
X
k=1
1 2k k!(k2+ 1)
Exercice IV.
1. On considère l’intégrale I= Z 5
0
3e−3tdt.
a. Exprimer cette intégrale comme la probabilité d’un évènement lié à une loi usuelle.
b. Utiliser les fonctionsfindetlengthde Scilab (voir l’aide) pour en déterminer une valeur approchée.
2. Même question avec l’intégrale I= 1
√2π Z 2
−2
e−t
2 2dt. 3. Même question avec l’intégrale I= 1
√2π Z 3
−3
e−t
2 2dt.
Exercice V.
1. On considère la somme S=
7
X
k=0
4k k!e−4.
a. Exprimer cette somme comme la probabilité d’un évènement lié à une loi usuelle.
b. Utiliser les fonctionsfindetlengthde Scilab (voir l’aide) pour en déterminer une valeur approchée.
2. Même question avec la somme S=
12
X
k=0
20 k
0.2k×0.820−k.
3. Même question avec la somme S=
6
X
k=1
2 3k.
Exercice VI.
Un joueur de poker dispose d’un capital de100e.
Il décide de jouer de nombreuses parties de "quitte ou double" : il mise un montantM, et, s’il gagne la partie, il double la mise et repart avec le montant2M, tandis que s’il perd, il perd sa mise.
Le bilan d’une partie est donc+M s’il gagne et−M s’il perd.
Sur une partie donnée, on suppose que le joueur gagne avec probabilitép∈[0; 1].
1. Dans un programme, créer une fonction "partie" prenant en argument les paramètresM etp, et renvoyant le bilan du joueur (+M ou−M).
2. Compléter le programme pour qu’il simule1000parties successives et donne le capital final détenu par le joueur, ou bien qu’il s’arrête dès que le joueur est ruiné, et renvoie0.
3. On suppose que le joueur gagne40%des parties qu’il dispute. Il choisit de ne disputer que des parties àM = 1e.
Construire un échantillon de1000réalisations de l’expérience, et commenter les résultats observés.
(Au moyen des commandesfindetlength, on pourra déterminer le nombre de sessions où il ne finit pas ruiné.) 4. On suppose que le joueur gagne55%des parties qu’il dispute.
Déterminer une valeur approchée de la probabilité de ruine dans les cas oùM = 100,M = 30,M = 10,M = 1. 5. Pour compléter les programmes, tracer les graphes donnant l’évolution du capital du joueur en fonction du temps.
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