La règle des signes du produit 46

(1)

Cours de mathématiques

Classe de Quatrième

C

HAPITRE

3 N

OMBRES ET OPERATIONS

Décimal / Non décimal 44

La règle des signes du produit 46

La division des relatifs 47

Nombres et opérations. 48

Addition des fractions 52

Somme de relatifs 53

Sommes algébriques 54

Réduction d'une écriture littérale 55

Calculs Fiche n°1 56

Calculs Fiche n°2 57

Calculs Fiche n°3 58

Utilisation de la machine 59

Équations 60

(2)

Cours de mathématiques Classe de Quatrième Fiche d'activité

DECIMAL /NON DECIMAL

Partie 1 : introduction

Poser et effectuer les divisions suivantes jusqu'à ce que le reste soit nul, ou jusqu'à être sûr qu'elle ne s'arrêteront jamais.

99 : 36 43 : 7

Il y a donc deux types de quotients : Écriture finie : nombre décimal Écriture infinie : nombre non-décimal

Partie 2 : Les nombres décimaux

Il s'agit de mettre au point une méthode qui permet de prévoir si un quotient (présenté sous forme de fraction) est décimal.

Par exemple pour la fraction 99 36: 1. Simplification de la fraction : 99

36 = . La fraction obtenue est ………

Rappelons la règle de transformation des fractions :

………

2. Transformation de la fraction ……… en fraction décimale, puis en écriture décimale :

= ×

× = =

3. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, qui n'est donc obtenu qu'en multipliant des 2 et des 5. Il faut donc qu'au dénominateur de la fraction initiale on ait un nombre qui soit un produit de facteurs égaux à 2 ou à 5.

Par exemples : 2 ou 4(car 4 = ……) ou 5 ou 8 (car 8 = ………).

Rechercher tous les dénominateurs possibles de ce genre inférieurs à 50.

Application :

Déterminer, parmi les fractions suivantes, celles qui sont des nombres décimaux : 49

28

39 75

172 68

36 91

115 46

(3)

Partie 3 : Les nombres non-décimaux

Écriture périodique d'un quotient non-décimal

Dans le calcul du quotient de 43 par 7, un même nombre réapparaît au reste, qui fait réapparaître le même chiffre dans l'écriture du quotient. A partir de ce moment, on est sûr que la division ne s'arrêtera jamais, car la même séquence va se reproduire infiniment.

On dit que l'écriture est périodique; la période est de 6 pour le quotient de 43 par 7. ce nombre 6 indique que le même groupe de 6 chiffres peut être répété à l'infini dans l'écriture.

On ne peut donc pas écrire ce nombre, mais on peut savoir quels sont tous ses chiffres.

Par exemple, on est sûr que c'est le chiffre 1 qui occupe la première place après la virgule, mais aussi la 7°, la 13°, la 19°, ………

Quel est le chiffre qui occupe la 27° place après la virgule ? Quel est le chiffre qui occupe la 1 203° place après la virgule ? Quel est le chiffre qui occupe la 27 000° place après la virgule ?

Valeurs approchées ; encadrements et arrondis

Puisque l'on ne peut pas donner une écriture décimale de ces nombres, on ne pourra qu'en donner des valeurs approchées.

Poser la division de 24 par 13.

A chaque pas de la division, écrire l'encadrement le plus simple, placer les deux valeurs qui encadrent ce quotient sur l'axe, ainsi que le "milieu" de ces deux nombres. Situer le quotient par rapport aux trois nombres placés. Et choisir parmi les deux valeurs qui encadrent celle qui est la pus proche du quotient. (on appelle q le quotient)

Exemple : au premier pas :

24 13 Encadrement à l'unité: 1 < q < 2 11 1

Le "milieu" s'appelle en réalité la moyenne : la moyenne de 1 et 2 est 1,5; on la calcule en ajoutant les deux nombres et en divisant par 2

q est plus grand que 1,5 car le reste 11 est plus grand que la moitié de 13.(il revient au même de dire que le double du reste 11 est plus grand que le diviseur 13 )

Conclusion : q est plus proche de 2 que de 1. Donc 2 est l'arrondi de q à l'unité.

Écriture en fraction d'un nombre à écriture périodique :

Appelons a le nombre à écriture infinie , de période 4, dont l'écriture commence par : 342,567567567…

Alors (1 000 × a) a une écriture infinie, de période 4, qui commence par : 342 567,567567 En calculant la différence (1 000 × a - a) les chiffres après la virgule vont disparaître et on obtient un nombre entier égal à 342 225.

Or (1 000 × a - a) est égal à 999 × a. D'où l'égalité : 999 × a = 342 225.

Conclusion : le nombre a est égal au quotient : 342225

999 qui est simplifiable par 27 et est égal à la fraction irréductible : 12675

37 Rechercher de même quel quotient donne : 8,1441 1441 1441……

22,99261 999261 99261

1,5 2

1 q

(4)

LA REGLE DES SIGNES DU PRODUIT

Produit par (- 1)

Rappelons que l'écriture 3 × 5 est une écriture simplifiée pour la somme : 5 + 5 + 5.

De la même manière, la somme (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) peut être remplacée par le produit : ……….

On peut donc écrire l'égalité : (- 1) × …… = ……

De la même manière, on peut écrire :

(- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) × …… = ……

(- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) × …… = ……

(- 1) × 4 = ……… = ……

D'où la règle suivante :

• Le produit d'un nombre a par (- 1) est égal à ……… .(Œ)

• L'opposé de a peut s'écrire sous la forme du produit : ………. (•)

Produit d'un négatif par un positif.

(- 5) × (+ 3) = (•) = (- 1) × (+ 5) × (+ 3) = (- 1) × (+ 15) = (Œ) = (- 15)

(+ 7) × (- 2) = (•) = (- 1) × ( ……) = (Œ) = ……

Conclusion :

Le produit de deux nombres de signes contraires ………(Ž)

Produit de deux négatifs.

(- 5) × (- 3) = (•) = (- 1) × (+ 5) × (- 3) = (Ž) (- 1) × (- 15) = (Œ) = (+ 15)

(- 7) × (- 2) = (•) = (Ž) (- 1) × ( ……) = (Œ) = ……

Conclusion :

Le produit de deux nombres négatifs ………(•)

Généralisation à un produit quelconque :

En groupant les facteurs deux par deux, déterminer le signe de chacun de ces produits : P1 = (- 5) × (+ 9) × (- 4) × (- 7) × (- 3) × (+ 2) × (+ 11)

P2 = (- 5) × (+ 10) × (+ 9) × (- 4) × (- 3) × (- 7) × (+ 1)

P3 = (+ 3) × (+ 5) × (+ 8) × (+ 8) × (+ 9) × (- 12) × (- 37) × (- 2) Conclusion :

Le signe d'un produit ………

(5)

LA DIVISION DES RELATIFS

Nombres relatifs inverses :

Compléter les égalités suivantes :

( ) ( ) ( )

( )

3 2

6

6 1 5

9

45

45 1 7

4

28 28 1 11

3 1 9

17 1 8

2 1 7 1

5

3 1 4

13 1 5 1

0 1

× = = × = = × = =

× = × = × = × =

− × = − × = − × =

× =

Définition :

On appelle nombres inverses, deux nombres dont le produit est égal à 1.

Remarques :

• 0 est le seul nombre ………

• Deux nombres inverses ont ………

Quotient de deux nombres :

Définition :

Le quotient q de a par b est le nombre tel que q × b = a. On écrit : q a

b si q b a

= , × = 8

2 4 4 2 8 105

5 21 5 21 105

= ,car: × = = ,car: × =

Division des fractions :

Compléter : 5

3 1 1 3

2

5 3

3 2

5 3

3 2 6

5 1 1 4

9

6 5

4 9

6 5

4 9 11

3 1 1 5

4

11 3

5 4

11 3

5 4

× = × = × × = × =

et donc et

: : :

Conclusion : A partir de ce qui précède, compléter : 3 2 5 3

4 9 6 5

5 4 11

3

= = =

Quels sont les calculs qui ont permis d'obtenir ces quotients?

(6)

NOMBRES ET OPERATIONS.

1. Différents types de nombres . 48

2. Addition des fractions . 48

3. Somme de nombres relatifs 49

4. Opposé d'une somme ; règle des parenthèses. 49

5. Réduction d'une écriture littérale . 49

6. La multiplication 49

7. La division 50

8. Bilan des propriétés des opérations 51

1. Différents types de nombres .

Un nombre relatif est composé de deux parties :

• Un signe qui indique sa relation à 0 (+ pour un nombre plus grand que 0 et - pour un nombre plus petit que 0) .

• Un nombre appelé valeur absolue ( qui représente la distance de ce nombre à 0).

Les nombres sans signe sans classés en fonction de ce que l'on peut en écrire :

• On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers (Un nombre qui n'est pas rationnel est un nombre irrationnel)

• Parmi les nombres rationnels, certains ont une écriture finie ( on peut en écrire tous les chiffres ) : ce sont des nombres décimaux .

• Parmi les décimaux, certains nécessitent l'utilisation d'une virgule.

• Ceux qui s'écrivent sans virgule sont des nombres entiers.

Exemples :

- 12 est un entier négatif .

¾ est un décimal positif (qui peut s'écrire 0,75 en écriture décimale) Le quotient de 24 par 17 est un rationnel positif non décimal

π est un nombre irrationnel .

Remarque importante : Les nombres qui ne sont pas décimaux ne pourront être utilisés que dans leur écriture exacte, ou, si c'est nécessaire, on pourra en donner un arrondi, une valeur approchée ou un encadrement. Il sera alors nécessaire de le faire savoir en utilisant le signe adéquat : ≈

2. Addition des fractions .

Voir fiche d'exercices : Addition des fractions

(7)

3. Somme de nombres relatifs

La somme de deux nombres est le nombre obtenu en additionnant deux nombres donnés appelés les termes de la somme . Cette somme peut être ou non effectuée .

Exemple : 18 + 13 est la somme non effectuée des deux termes 18 et 13 . 31 est la même somme , mais effectuée .

Définition: On appelle nombres opposés deux nombres dont la somme est égale à 0 . Exemples : + 3 et -3 sont opposés car : + 3 - 3 =0

-12,687 et +12,687 également.

Généralisation : - a désigne l'opposé du nombre représenté par a .

Règle de la soustraction : Soustraire un nombre , c'est ajouter son opposé .

Exemples : (+ 7) - (+ 5) = (+ 7) + (- 5) = + 2.

(- 34) - (- 16) = (- 34) + (+ 16) = - 18 Généralisation : a - b = a + (- b)

En application de cette règle, on peut donc traiter ensemble ces deux opérations (addition et soustraction) en une seule à laquelle nous donnons le nom de somme algébrique .

Exemples : Voir fiche d'exercices : Somme de relatifs.

4. Opposé d'une somme ; règle des parenthèses.

L'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés de chacun des termes . Ce qui se traduit par les écritures suivantes :

- ( a + b ) = - a - b et - ( a - b ) = - a + b .

On résume parfois cette règle en disant que l'on change tous les signes lorsque l'on supprime des parenthèses précédées du signe - .

5. Réduction d'une écriture littérale .

Exemples : Voir fiche d'exercices : Réduction d'une écriture littérale

6. La multiplication

Règle des signes :

Le produit de deux nombres de même signe est positif . Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

Exemples :

(- 5) × (+ 6) = - 30 ; (- 8 ) × ( - 7) = + 56

(8)

Généralisation :

Le signe d'un produit dépend du nombre de facteurs négatifs . S'il est pair , le produit est positif.

S'il est impair , le produit est négatif.

Remarque: Le produit d'un nombre par (-1) est l'opposé de ce nombre . Produit de fractions : (simplifications préalables) .

Calculs Méthodes

A= −

 

× −

 

×

7 3

24 13

39 35

S'occuper d'abord du signe : 2 signes moins : produit positif

A= × ×

× ×

× 7

3

3 8 13

3 13 7 5

Faire apparaître les facteurs présents dans les différents nombres

A= × ×7 × × 7

3 3

13 13

8 3 5

En déplaçant les facteurs , faire apparaître des fractions unité.

A= 24 5

Donner le résultat sous forme irréductible .

7. La division

Définition :

Tout nombre non nul admet un inverse.

Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

Remarques :

1. Un produit ayant un facteur égal à 0 est lui-même nul.

2. Deux nombres inverses sont de même signe .

3. Plus un nombre est grand, plus son inverse est petit ( en valeur absolue) 4. 0 est le seul nombre qui n'a pas d'inverse.

Lien entre la division et la multiplication : Si a b = p , alors a = p

b et b

× =

= = × =

p a Si a

b q alors a b q et b a

, q.

Règle de la division :

Diviser par un nombre , c'est multiplier par son inverse . Exemples:

(9)

5

8 5 1

8

5 7

6 5

6

= × ; = × = 7 5

7 5 6 Généralisation

a

b a

b

ad

= ×1 = × = bc ;

a b c d

a b

d c

8. Bilan des propriétés des opérations

Addition Multiplication

écriture littérale

a + b = s a × b = p

Vocabulaire a et b sont les termes de la somme s a et b sont les facteurs du produit p . Commutati

vité

a + b = b + a a × b = b × a

Associativit é

(a + b) + c = a + (b + c ) a × (b × c) = (a × b) × c élément

neutre

a + 0 = a a × 1 = a

éléments symétriques

Deux opposés ont une somme nulle : a + ( -a ) = 0

Deux inverses ont un produit égal à 1:

a × 1/a = 1 Opération

associée

Soustraire un nombre , c'est ajouter son opposé .

a - b = a + ( - b)

Diviser par un nombre , c'est multiplier par son inverse

a/b = a × 1/b

(10)

Cours de mathématiques Classe de Quatrième Fiche d'exercices

ADDITION DES FRACTIONS

Méthode

1. Simplifier les fractions

2. Les mettre au même dénominateur 3. Addition des numérateurs

4. Simplifier le résultat lorsque c'est possible

Exemple

Calculer A= 45 + 162

28 96

Commencer par simplifier les fractions : 45

162

5 9 18 9

5 18

7 4 24 4

7 24

7

= × 24

× = = ×

× = +

et 28

96 d' où A = 5 18 Mettre les fractions au même dénominateur :

72 18 4 24 3 5 4

18 4 20 72

7 3 24 3

21 72 21

72 41 72

= × = × = ×

× = = ×

× = + =

donc 5

18 et 7

24 D' où A = 20

72

Recherche du dénominateur commun

Le dénominateur commun est le plus petit multiple commun aux dénominateurs initiaux Pour le trouver rapidement (par exemple pour 18 et 24) :

On cherche dans les multiples du plus grand le premier qui est aussi multiple de l'autre . Les multiples de 24 : 24 n'est pas un multiple de 18

48 n'est pas un multiple de 18

72 est un multiple de 18 , donc c'est le nombre cherché .

Exercices : Calculer

G

L

= −

= +

= + −

= − +

= − −

= −

77 84

176 165 91 416

35 336 55

132 35 90

66 36 56

48 21 28

52 117 16

60 49 63 45 70

20 16

18 48 115

25 4

H

J

K

104 65

M

N

;

(11)

SOMME DE RELATIFS

Additionner deux nombres

∗ Pour additionner deux nombres de même signe :

On garde le signe commun , on ajoute les valeurs absolues .

∗ Pour additionner deux nombres de signes contraires :

On garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue , on calcule la différence des valeurs absolues .

Exercices Calculer

A = (+27) + (+53) B = (-25) + (-47) C = (-13) + (+55) D = (+17) + (-32) E = (-27) + (+18) F = (+39) + (-27) G = (-5,7) + (-3,2) H = (-17,7) + (+3,4) J = (-2,9) + (+13,7) K = (+35,3) + (-4,5) L = (+5,7) + (+13,3) M = (+4,7) + (-35,9)

Soustraire deux nombres

Soustraire un nombre , c'est ajouter son opposé .

Exercices Calculer :

A = (+27) -(+53) B = (-25) - (-47) C = (-13) - (+55) D = (+17) - (-32) E = (-27) - (+18) F = (+39) - (-27) G = (-5,7) - (-3,2) H = (-17,7) - (+3,4) J = (-2,9) - (+13,7) K = (+35,3) - (-4,5) L = (+5,7) - (+13,3) M = (+4,7) - (-35,9)

Sommes algébriques de plusieurs nombres

Méthode 1: ∗ Supprimer les parenthèses lorsqu'elles existent

∗ Regrouper les positifs d'une part , les négatifs d'autre part

∗ Calculer les deux sommes partielles

∗ Effectuer la dernière somme Méthode 2: ∗ Effectuer dans chaque parenthèse

∗ Supprimer les parenthèses

∗ Effectuer la dernière somme

Exercices Calculer :

A = (+27) - (+53) + (-2,9) - (+13,7) B = (-25) - (-47) - (-17,7) - (+3,4)

C = (-13) - (+55) + 17 - 32 + 56 - 32 + 12,87 D = (-26 ) + (+ 75) - (+ 6) + (- 27) - (- 48) E = 19 - 25 + 42 - 27 - 59 + 8

F = 9 - ( - 27 + 13) + 15 + ( 27 - 42 ) - 17

(12)

SOMMES ALGEBRIQUES

Effectuer les calculs suivants :

• A = 4,7 - ( - 3,2 + 0,3) + 1,7 - (7,2 - 0,8)

• B = - 0,9 + 15,2 + ( 3,2 - 0,4) - 1,9 - ( - 4,1 + 0,8 )

• C = - 17,3 + ( 3,7 - 5,2) + 9,4 - ( 9,4 - 11,2 )

• D = 9,9 - ( - 3,9 + 4,1 ) - 0,4 + ( 4,2 - 0,7 )

• E = - 35 - [12 - ( 45 - 85) + (8 - 15 ) ] + 7

• F = 48 + [ -11 + ( 9 - 25 )] -9 + ( 13 - 22 )

• G = 13 - ( 4 - 25 ) + [ 13 - (19 - 32 )]

• H = 4,1 - (5,2 - 0,3 ) - [ 7,1 - ( 4,3 - 0,7)]

• J = 9,3 + ( 4,3 - 5,7 ) + [ 4,2 + ( 0,7 - 9,8)]

• K = - 3,5 - [ 7,8 + ( - 0,9 - 4,7 ) ] - ( - 6,6 + 0,9 )

• L = - 7,5 - [ 3,4 - ( 0,7 - 0,2) ] - 9,6

• M = 27 + [ (7,5 - 8,2) - ( 62,4 + 52,5) ] - (17,24 -27,94)

• N = 25 - ( 3,2 - 2,7 ) - [ - ( 3,2 - 0,7 ) + 0,9]

• P = 19 - 51 +17 -[ 12 - ( 24,5 + 47 - 34,6 ) ]

• Q = 1 - {2 - [ 3 - ( 4 - 5 ) - 6 ] - 7 } - 8

• R = - (14 + 38 - 47 ) + 6,4 - [ 8 - (4,9 + 8,3 ) ]

(13)

REDUCTION D'UNE ECRITURE LITTERALE Développer, c'est supprimer toutes les parenthèses .

Réduire, c'est écrire l'expression sous la forme comportant le moins de termes .

Exemple

Développer et réduire l'expression :

A = 3 - (a + 5 - b )+ 2 - (3 - c ) :

Développer A = 3 - a - 5 + b + 2 - 3 + c (On supprime les parenthèses ) Réduire A = - a + b + c - 3 (On effectue les sommes possibles )

Exercice :

Développer et réduire les expressions : A = a + (b - 5 + a) - (13 - a + b)

B = - 8 + a - b - (4 - b) + (a + b - 6) C = a + (b - 5 - b) + a - 6 + 8 - a D = - (a + b - 7) - b - (- 5 + a - b) E = b - (4- a - b- 6) + (2 - a + a - b) F = 1 - (a - 9) + (3 + b) - (12 + a + b) G = 10 + (a + b + 11) - (17 - a - b) H = (a + b - 5) - (a - b) + (b + 8)

(14)

CALCULS FICHE N°1

Effectuer les calculs suivants ; dans chaque cas , le résultat sera présenté : - sous forme de fraction irréductible

- partie entière + partie décimale

- valeur décimale ou arrondie si le résultat n'est pas décimal.

63 54

30 48 77

42 32 72 35 60

78 108 36 112

48 126 189 234

70 273 60

432 105 450 77

84 176 165 91 416

35 336 78

420 77 294 55

132 35 90

66 36 56

48 21 28

52 117 16

60 49 63

104 65 45

70 20 16

18 48 115

25 4 27 126 2 7 30

72 3 35 42

54 144 +

−

− + +

−

− +

−

− + + − + −

− −

− + +

− +

(15)

CALCULS FICHE N°2

Effectuer les calculs suivants ; dans chaque cas , le résultat sera présenté : - sous forme de fraction irréductible

- partie entière + partie décimale

- valeur décimale ou arrondie si le résultat n'est pas décimal.

Toujours commencer par les éventuelles simplifications.

9 162

4 48 1 36

27 14 20 45 20

30 9 16 162

27 14 49 21

30 245 70

75 10 6 196

20 6 63 28

8 70 49

14 63 81

125 15 55

165 27 147

15 21 25 108

81 36 27

182 26

3 147

2 35 3 9

13 4 1

4 7 12 2 30

18 2 21

18 1 3

+ −

×

× −

 



−

 

×

− × −

 



×

× ×

÷

÷ −

 



÷ −

 



÷

 −

 

× − +

 



 −

 

÷ − +

 



(16)

CALCULS FICHE N°3

Dans les équations qui suivent, on peut décrire le principe de résolution par un petit schéma :

Si l'équation est : x + 17,8 = 42,3 , on peut schématiser par : x 42,3. Donc pour retrouver la valeur de x : 42,3 x (on fait l'opération "contraire")

Donc : x = 42,3 - 17,8 = 24,5

Résoudre les équations suivantes en schématisant les opérations.

x

x x

+ =

− = −

+ =

× =

× = −

=

−

2 7

35 9 3 8

5 4 11

3 5

1 3

4 7 3 5

11 4

5 3 8

+ 17,8 - 17,8

(17)

UTILISATION DE LA MACHINE

Exercice 1

Pour chaque calcul , donner : 1. le résultat irréductible

2. la décomposition en partie entière et partie décimale

3. la valeur en écriture décimale ou , si ce n'est pas un décimal , l'arrondi au centième (utiliser correctement les signes = et ≈ .)

A B C D

E

= + −

= − +

= × ×

= − +

 

× − +

 

× −

 



= − × + −

− × + 17

5 21 13

44 67 109

63 25 48

111 17 4

7 27

41 99 17 11

4 32

5 9 7

15

4 3 4 7

3 8 30

11 2

5 8 25 44 2

9 11

7

Exercice 2

Calculer les expressions suivantes , on en donnera , dans chaque cas la valeur sous forme de fraction irréductible .

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

A B C

D

= × −

− × +

+ × +

= × +

− × −

= × −

− × × −

− −

= − × −

− + +− × × −

− +

2 2 4

3

5 2 7

8

7 2 3

6

5 2 2

7

4 2 3

5

8 2 4

35

4 2 1

5

3 2 2 5

8

2 8 20 1

4 2 3

2 3

5 6

1

2 2 2 5

4 9

2 3

(18)

ÉQUATIONS

1. Les règles utilisées

Si x ×× b = p , alors x = Si x / b = q , alors x = Si x - b = d , alors x = Si x + b = s , alors x =

2. Le principe de la vérification

Sans chercher à résoudre ces équations, retrouver parmi les nombres proposés ceux qui sont solutions :

Équations solutions proposées

4 2 7

2 8

− = − +

x x 6 -2 5/4 -1 0

4 5

3

3 4

2

x− x

= − -1 -5 2 -3 4

7

3(9x+15)= −10(− −8 3x) 0 -3 -5 8 4

3. Équations à résoudre

Ces équations sont du type ax + b = c. C'est à dire que x peut avoir subi une, deux ou trois transformations.

Prenons un exemple : Si 5 - 4x = 13. On peut décrire le premier membre de la manière suivante :

x : - 4x 5 - 4x

x : - 4x 13

Donc pour retrouver la valeur de x, il faut , à partir du nombre 13, soustraire 5, puis diviser par - 4. Ce qui donne - 2.

De la même manière, schématiser pour résoudre les équations suivantes :

2 4 10

3

4 15

2 1

3 0

4 2

5

3 7 24

4 1

4 0

1 3

8 1

x x

x + =

= + =

− =

− = + =

− = −

× (- 4) + 5

/ (- 4) - 5

(19)