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systèmes dynamiques continus sous mesures clairsemées
Yassine Khaled
To cite this version:
Yassine Khaled. Contribution à la commande et l’observation des systèmes dynamiques continus sous mesures clairsemées. Automatique. Université de Cergy Pontoise; Université Abou Bekr Belkaid (Tlemcen, Algérie), 2014. Français. �NNT : 2014CERG0706�. �tel-01141871�
Présentée
à l’Université de Cergy-Pontoise
Ecole Nationale Supérieure de l’Electronique et de ses Applications pour obtenir le grade de :
Docteur de l’Université de Cergy-Pontoise Spécialité : Automatique
par
Yassine KHALED
Titre de la thèse :
Contribution à la commande et
l’observation des systèmes dynamiques continus sous mesures clairsemées
Soutenue le 13 Juin 2014 devant le jury suivant : :
Mohammed M’Saad Pr, Université de Caen Président Mondher Farza Pr, Université de Caen Rapporteur Said Djennoune Pr, Université de Tizi-Ouzou Rapporteur Mai Nguyen-Verger Pr, ENSEA, Cergy Examinateur Brahim Cherki Pr, Université de Tlemcen Examinateur Gilles Millerioux Pr, Université de Lorraine Examinateur Jean-Pierre Barbot Pr, ENSEA, Cergy Directeur de thèse Djamila Benmerzouk Pr, Université de Tlemcen Co-Directrice de thèse
ECS-Lab, EA3649, ENSEA 6 Avenue du Ponceau
95014 Cergy-Pontoise, France.
Department de Mathématique Université de Tlemcen
13000 Tlemcen, Algérie.
A mon frère et mes soeurs, A ma femme, A toutes les personnes qui m’ont encouragé, Je dédie ce travail.
Les travaux présentés dans cette thèse sont effectués en cotutelle au sein du La- boratoire ECS-Lab (EA 3649) à L’école Nationale Supérieure d’Eléctroniques et ses Applications en France sous la direction de Monsieur Jean-Pierre Barbot et l’Uni- versité Abou Bekr Belkaid de Tlemcen en Algerie, sous la direction de Madame Djamila Benmerzouk.
Je tiens tout d’abord à exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements les plus sincères à mes directeurs de thèse les professeurs Jean Pierre Barbot et Djamila Benmerzouk, Professeur à l’Université de Tlemcen, pour avoir dirigés mes travaux et m’avoir fait découvrir le monde de la recherche. Merci pour vos échanges scientifiques, vos critiques, vos conseils et votre entière disponibilité. Merci pour votre soutien scientifique et humain. Je voudrais aussi vous remercier d’avoir cru en mes capacités et de m’avoir fourni d’excellentes conditions de travail me permettant d’aboutir à la production de cette thèse. Cette thèse n’aurait jamais vu le jour sans votre confiance et votre générosité.
J’exprime également mes remerciements aux membres du jury, qui ont accepté d’évaluer mon travail de thèse. Merci à Monsieur Mohammed M’Saad, Professeur à l’Université de Caen, qui m’a fait l’honneur de présider le Jury de cette thèse et à Messieurs Mondher Farza, Professeur à l’Université de Caen et Said Djennoune, Pro- fesseur à l’Université de Tizi-Ouzou d’avoir accepté d’être les rapporteurs externes de ce manuscrit. Leurs remarques et suggestions lors de la lecture de mon rapport m’ont permit d’apporter des améliorations à la qualité de ce dernier. J’adresse éga- lement mes remerciements à Monsieur Brahim Cherki, Professeur à l’Université de Tlemcen, à Mai Nguyen-Verger, Professeur à l’ENSEA, Cergy, à Gilles Millerioux, Professeur à l’Université de Lorraine pour avoir accepté d’examiner mon mémoire et de faire partie de mon jury de thèse.
Mes remerciements s’adressent ensuite à Malek Ghanes, Hamid Hamiche qui m’ont beaucoup aidé et conseillé, je leur en suis reconnaissant.
J’aimerais adresser un remerciement particulier à Samer Riachi pour son aide, sa gentillesse et son soutien tout au long de ces années.
Que tous mes professeurs qui m’ont patiemment inculqué connaissances et méthodes au fil des ans, dont certains avec un rare talent, trouvent ici l’expression de ma pro- fonde reconnaissance.
Je remercie aussi mes camarades thésards ou jeunes docteurs qui ont fait de ces
trois années à ESC-lab un moment agréable, convivial et scientifiquement enrichis- sant : Essaid Edjekouane, Rihab EL Houda Thabet, Lei Yu, Jonathan Zerad, Billal Amghar, Lucien Etienne, . . . .
Je remercie aussi mes amis de Master : Fayçal Arichi, Djalal Benmansour, Fouad Bouchareb, Merouane Mehdi, Abou Bekr Rostane, Ibrahim Zerguelaine.
Je n’oublie pas d’associer à ces remerciements tout spécialement mes tantes Hayat et Fatiha et leur familles pour leur aide et leur tendresse au cours de ces longues années d’étude.
Un grand Merci pour ma fiancée et récemment épouse pour son soutien, sa compréhension et sa patience infaillible.
Enfin, mes remerciements les plus chaleureux vont à mes parents, mon frère et mes soeurs ainsi qu’à toute ma famille et mes amis, pour leur soutien moral et leurs encouragements.
Table des figures 9
Notations 12
Introduction Générale 14
1 Stabilité des systèmes dynamiques impulsionnels 18 1.1 Introduction . . . 18 1.2 Description des systèmes dynamiques impulsionnels . . . 18 1.2.1 Principales classes de systèmes dynamiques impulsionnels . . . 20 1.2.1.1 Systèmes dynamiques impulsionnels contrôlés . . . 20 1.2.1.2 Systèmes dynamiques impulsionnels autonomes . . 21 1.2.1.3 Cas particulier : systèmes dynamiques linéaires im-
pulsionnels . . . 23 1.2.2 Phénomènes liés aux systèmes dynamiques impulsionnels . . . 23 1.2.2.1 Phénomène de Zénon [111] . . . 23 1.2.2.2 Phénomène de Battement "Beating" [6] . . . 24 1.2.2.3 Phénomène de non continuité de solution "Dead-
lock" [6] . . . 26 1.2.2.4 Phénomène de confluence de solution "Merging" [6] . 26 1.3 Existence et unicité des solutions des systèmes impulsionnels (cas
autonome) . . . 26 1.4 Stabilité des systèmes dynamiques impulsionnels . . . 31 1.4.1 Approche par principe de comparaison . . . 33 1.4.2 Approche par détermination d’une fonction de Lyapunov . . . 34 1.4.3 Théorème d’invariance de LaSalle pour les systèmes dyna-
miques impulsionnels . . . 36 1.4.4 Contribution à l’étude de la stabilité des SDI. . . 38
1.4.4.1 Etude de stabilité pour les systèmes dynamiques im- pulsionnels linéaires . . . 44 1.5 Conclusion . . . 46 2 Synthèse d’observateurs pour des Systèmes linéaires continus avec
mesures discrètes 49
2.1 Introduction . . . 49 2.2 Formulation du problème . . . 50
2.3 Observabilité et observateurs des systèmes linéaires continus avec me-
sures continues . . . 51
2.3.1 Notions d’observabilité : . . . 52
2.3.2 Synthèse d’observateurs : . . . 53
2.3.3 Stabilisation par retour d’état . . . 53
2.4 Observabilité des Systèmes linéaires continus avec mesures discrètes . 54 2.5 Synthèse d’observateurs pour les Systèmes linéaires continus avec me- sures discrètes . . . 58
2.5.1 1er Cas : Le sous-espace instable est mesuré . . . 58
2.5.2 2èmeCas : Une partie du sous-espace instable n’est pas mesurée 61 2.6 Stabilisation basée sur un observateur pour les systèmes linéaires continus avec mesures discrètes . . . 68
2.6.1 1er Cas : Le sous-espace instable est mesuré . . . 69
2.6.2 2ème Cas : Le sous-espace instable n’est pas mesuré . . . 72
2.7 Conclusion . . . 74
3 De l’utilité de la propriété d’isométrie restreinte dans un problème d’observation sous mesures clairsemées 77 3.1 Introduction . . . 77
3.2 Quelques notions sur l’échantillonnage compressif . . . 79
3.3 Description du problème considéré. . . 80
3.4 Condition suffisante pour la détection et la reconstruction des modes actifs . . . 82
3.5 Conception d’un Multi-observateur . . . 86
3.6 Résultats de simulation . . . 87
3.7 Conclusion . . . 91
4 Synthèse d’observateurs pour des Systèmes non linéaires continus avec mesures discrètes : Application aux synchronisation des sys- tèmes chaotiques 92 4.1 Introduction . . . 92
4.2 Rappels sur l’observabilité et les observateurs des systèmes dyna- miques non linéaires . . . 92
4.2.1 Observabilité des systèmes non linéaires . . . 92
4.2.2 Observateurs à modes glissants . . . 94
4.3 Synthèse d’observateurs pour les systèmes non linéaires continus avec mesures discrètes . . . 95
4.3.1 1er cas : Le sous-espace instable est mesuré . . . 98
4.3.2 2ème cas : Une partie du sous-espace instable n’est pas mesurée102 4.4 Application à la Synchronisation des systèmes dynamiques chaotiques 107 4.4.1 Synchronisation du système chaotique de Lorenz. . . 107
4.4.2 Synchronisation du système hyperchaotique de Lorenz généralisé110 4.5 Utilité des observateurs à modes glissants pour un problème d’échan- tillonnage . . . 111
4.5.1 Formulation du problème. . . 113 4.5.1.1 Caractéristiques de la discrétisation d’Euler implicite 114
4.5.1.2 Caractéristiques de la discrétisation d’Euler explicite 115 4.5.2 Discrétisation multi-rate par Euler explicite . . . 116 4.5.3 Application de discrétisation Multi-rate à la conception d’ob-
servateur à modes glissants. . . 118 4.5.4 Synthèse d’observateurs impulsionnels à modes glissants . . . 119 4.5.5 Application numérique . . . 121 4.6 conclusion . . . 123
Conclusion Générale 125
Annexe 128
Bibliographie 130
1.1 La solution du systéme (1.5) . . . 21
1.2 Système à deux bacs . . . 22
1.3 La trajectoire du système (1.8) pour la condition intialex0 = 0.9 . . 23
1.4 La trajectoire de la balle . . . 25
1.5 La vitesse de la balle . . . 25
1.6 La trajectoire du système (1.8) pour la condition intialex0 = 214 . . . 25
1.7 La trajectoire du système (1.8) pour la condition intiale x0 = 4 en bleu et x0 = 214 en vert . . . 26
1.8 La trajectoire du système (1.8) pour la condition intialex0 = 4 . . . 27
1.9 Stabilité dex2 . . . 41
1.10 Stabilité dex1 . . . 41
1.11 La trajectoire de l’état x1 avec θk= 0.2s . . . 42
1.12 La trajectoire de l’état x2 avec θk= 0.2s . . . 43
1.13 La trajectoire de l’état x3 avec θk= 0.2s . . . 43
1.14 La trajectoire de l’état x1 avec θk= 0.6s . . . 46
1.15 La trajectoire de l’état x2 avec θk= 0.6s . . . 47
1.16 La trajectoire de l’état x3 avec θk= 0.6s . . . 47
1.17 La trajectoire de l’état x4 avec θk= 0.6s . . . 47
2.1 Schéma Block de l’observateur impulsionnel . . . 59
2.2 L’ereur dynamique d’observation de l’état x1 avec θk ∈[2s,6s] . . . . 62
2.3 L’ereur dynamique d’observation de l’état x2 avec θk ∈[2s,6s] . . . . 62
2.4 L’ereur dynamique d’observation de l’état x3 avec θk ∈[2s,6s] . . . . 62
2.5 Schéma block de l’observateur impulsionnel généralisé . . . 64
2.6 L’ereur dynamique d’observation de l’état x1 avec θk ∈[0.4s,1s] . . . 68
2.7 L’ereur dynamique d’observation de l’état x2 avec θk ∈[0.4s,1s] . . . 68
2.8 Schéma block de la commande basée sur un observateur impulsionnel 70 2.9 Schéma block de la commande basée sur un observateur impulsionnel généralisé . . . 72
2.10 L’état x1 du système avec θk ∈[0.3s,0.6s] . . . 75
2.11 L’état x2 du système avec θk ∈[0.3s,0.6s] . . . 75
2.12 L’état x1 du système avec θk ∈[0.3s,0.6s] . . . 75
2.13 L’erreur d’observation avec θk ∈[0.3s,0.6s] . . . 76
3.1 Architecture de NCS . . . 78
3.2 Schéma-bloc du système étudié . . . 81
3.3 Schéma bloc du multi-observateur . . . 87
3.4 L’état lx1(t) actif . . . 88
3.5 L’état lx2(t) actif . . . 89
3.6 L’erreur d’observation de l’état 1x1 par rapport à la sortie mesurée . . 90
3.7 L’erreur d’observation de l’état 2x1 par rapport à la sortie mesurée . . 90
3.8 L’erreur d’observation de l’état 3x1 par rapport à la sortie mesurée . . 90
3.9 L’erreur d’observation de l’état 4x1 par rapport à la sortie mesurée . . 91
4.1 Attracteur étrange du système de Lorenz . . . 108
4.2 Synchronisation de l’état z avec θk ∈[0.1s,0.5s] . . . 109
4.3 Synchronisation de l’état ξ1 avec θk∈[0.1s,0.5s] . . . 109
4.4 Synchronisation de l’état ξ2 avec θk∈[0.1s,0.5s] . . . 110
4.5 Attracteur étrange du système généralisé de Lorenz . . . 111
4.6 Synchronisation de l’état z avec θk ∈[0.2s,0.5s] . . . 112
4.7 Synchronisation de l’état ξ1 avec θk∈[0.2s,0.5s] . . . 112
4.8 Synchronisation de l’état ξ2 avec θk∈[0.2s,0.5s] . . . 112
4.9 Synchronisation de l’état ξ3 avec θk∈[0.2s,0.5s] . . . 113
4.10 Deux échelles d’échantillonage . . . 116
4.11 Observateur échantillonné . . . 118
4.12 L’observateur Multi-rate sans prédicteur . . . 119
4.13 L’observateur Multi-rate avec prédicteur . . . 120
4.14 Observateur impulsionnel couplé avec un observateur à modes glis- sants . . . 120
4.15 L’état x1 en vert et l’estimation ˆx1 en bleu . . . 122
4.16 L’état x2 en vert et l’estimation ˆx2 en bleu . . . 122
4.17 L’état x3 en vert et l’estimation ˆx3 en bleu . . . 122
4.18 L’erreur d’observation de l’état x1 . . . 123
4.19 L’erreur d’observation de l’état x2. . . 123
4.20 L’erreur d’observation de l’état x3. . . 123
4.21 Le paramètre b en bleu et son estimé en vert . . . 124
Notations
Symboles et Notations
N ensemble des nombres naturels
R+ ensemble des nombres réels positifs Rn espace euclidien de dimension n δqi symbole de kronecker
I ∈R intervalle de temps
D ensemble ouvert dans Rn
Ω ensemble ouvert dans Rn+1
S ensemble de réinitialisation "reset"
W ensemble positivement invariant
Wc ensemble positivement invariant compact
WA domaine d’attraction
Sk sous-ensemble de reset Co(a, b) ensemble convexe défini par
Co(a, b) ={λa+ (1−λ)b, 0≤λ≤1} Vx voisinage non vide de x dans Rn B(x0, δ) boule de centre x0 et de rayon δ a, b, c, d nombres réels positifs
α(·), β(·), γ(·) fonctions réels
φ(t, x0), r(t, χ0) solutions du système impulsionnel avec la condition initiale x0
x(·), χ(·), z(·) vecteurs d’état u(·) vecteur d’entrée y(·) vecteur de sortie ˆ
x(·) estimateur du vecteur d’état x(·)
˜
x(·) estimateur du vecteur ˆx(·) e(t) erreur entre ˆx(t) et x(t)
˜
e(t) erreur entre ˜x(t) et ˆx(t) f,f , ϕ, ξ˜ champs de vecteurs
g fonction d’interaction de l’entrée sur la dynamique du système
h fonction de sortie
ρ,ρ, ̺˜ fonctions de reset
C([a, b],[c, d]) ensemble des fonctions continues définies sur [a, b] à valeurs dans [c, d]
tk les instants d’impulsion à l’instant k θk période entre deux instants d’impulsion τk fonction définissant les instants d’impulsion
|x|1 norme 1 du vecteur x
kxk norme euclidienne du vecteur x
kxk0 nombre d’éléments non nuls du vecteur x kAk norme matricielle induite associée a A
In matrice identité de dimension n×n
A matrice d’état
B matrice d’entrée
C matrice de sortie
R matrice de reset
AT transposée de la matrice A
P, Q >0 matrices carrées symétriques définies positives M matrice de couplage entre l’observateur impulsionnel
et l’observateur de Luenberger Abréviations et acronymes
CS "Compressive Sensing"
EDO Equations Différentielles Ordinaires EDI Equations Différentielles Impulsionnelles HOSMO "Hight Order Sliding Mode Observer"
LMI "Linear Matrix Inequality" : Inégalité Matricielle Linéaire OI Observateur Impulsionnel
OIG Observateur Impulsionnel Généralisé RIP "Restricted Isometry Property"
SDO Systèmes Dynamiques Ordinaires SDI Systèmes Dynamiques Impulsionnels LPV Linéaire à Paramètres Variants
SDCMD Systèmes Dynamiques Continus avec Mesures Discrètes SDLCMC Systèmes Dynamiques Linéaires Continus avec Mesures
Continues
SDLCMD Systèmes Dynamiques Linéaires Continus avec Mesures Discrètes
SISO "Single Input Single Output" : Entrée simple sortie simple
MIMO "Multiple Input Multiple Output" : Entrées multiples, sorties multiples SCR Systèmes Commandés en Réseaux
CAN "Controller Area Network"
Dans de nombreuses applications pratiques de contrôle des systèmes dynamiques, qu’ils soient chimiques, mécaniques, électroniques, pneumatiques, hydrauliques, . . . , les mesures du vecteur de sortie sont prises en temps discret. De plus, ces me- sures peuvent être apériodiques ou clairsemées (c-à-d en dessous de la fréquence de Shannon-Nyquist). Il est donc légitime de s’intéresser au problème de reconstruc- tion à chaque instant l’état du système au moyen seulement des mesures discrètes disponibles. Ceci est le rôle de l’observateur impulsionnel. Ce dernier est un système dynamique continu qui reçoit des informations en temps discret et qui fourni une estimation des états du système d’origine en temps continu.
Problématiques et objectifs
Ces dernières années, beaucoup de chercheurs se sont intéressés à l’étude des Systèmes Dynamiques Continus avec Mesures Discrètes (SDCMD). Ces recherches sont motivées par le fait que même si le capteur prend des mesures en temps continu la transmission de ces derniers est généralement faite de façon discrète. En effet, ce concept existe aussi bien dans des processus industriels (par exemple les systèmes commandés via des réseaux, les systèmes de contrôle de température,. . . ) et les nom- breux champs d’applications potentiels tels que ceux rencontrés dans les transports (aéronautique, automobile, ferroviaire et maritime), la productique, . . .
Cependant, les SDCMD constituent une nouvelle classe de systèmes introduisant des problèmes spécifiques liés à la perte d’information et la parcimonie des mesures.
Ces contraintes prennent une importance considérable lors de la commande de pro- cédés pour lesquels les caractéristiques du réseau ne peuvent plus être négligées. De ce fait, il existe un besoin croissant d’observer, de commander et de diagnostiquer ces systèmes à l’aide de calculateurs. Cela n’est possible que par l’intermédiaire de combinaison de techniques classiques avec une logique de surveillance discrète.
Face à une telle situation, on peut tenter de discrétiser le système si la sortie est échantillonnée de manière suffisamment rapide de sorte que les équations différen- tielles discrétisées décrivant les systèmes donne une bonne représentation du système continu. Sur cette base, on peut utiliser une commande discrète en boucle fermée ou une commande à base d’observateur discret pour commander le système. Toutefois, dans le cas de la parcimonie des mesures, la discrétisation n’est plus possible. Il faut alors trouver d’autres moyens pour contrôler ces systèmes.
Ici, le premier problème à traiter est celui de la parcimonie des mesures. Celui ci
peut être abordé en se rappelant que dans la théorie du traitement du signal, il est connu, sous certaines hypothèses, il est possible de reconstruire un signal, même si sa fréquence d’échantillonnage est inférieure à la fréquence d’échantillonnage de Nyquist-Shannon (voir par exemple [20,31]). En effet, l’échantillonnage compressif ("compressed sensing" (CS)) est basé sur l’hypothèse que le signal est situé dans un espace élargi reconstruit dans une base appropriée [101] et que la matrice associée vérifie la propriété d’isométrie restreinte (RIP) [19].
Sous ces hypothèses, le signal peut être reconstruit à l’aide des techniques de régres- sion linéaire régularisées.
Ce résultat conduit naturellement à se demander s’il est possible de contourner la contrainte de fréquence d’échantillonnage de Nyquist-Shannon dans un système de contrôle en boucle fermée. Cette question est la base de notre réflexion et génère à son tour plusieurs questions essentielles :
i) Comment pouvons-nous traduire le (CS) donné dans un contexte "si- gnal" à un contexte "système dynamique" ?
ii) Quelle est la base appropriée dans un contexte système dynamique ? iii) Comment pouvons-nous vérifier la propriété (RIP) dans le contexte
système dynamique ?
iv) Comment contourner l’algorithme d’optimisation (généralement ef- fectué hors ligne) afin de faire face à des algorithmes en temps réel ? v) Comment garantir la stabilité en boucle fermée pour les mesures clair-
semées ?
Une réponse à la question i) est partiellement donnée dans la littérature du traite- ment du signal, en particulier dans le travail de Lei et al [107], où un modèle basé sur le (CS) est présenté même si ce genre de modèle est très différent des modèles dynamiques habituels. On peut aussi citer le célèbre Filtre (observateur) de Kalman- Bucy [56] qui effectue un lien fort entre Théorie du signal et Automatique.
Une réponse à la question ii) est implicitement donnée dans plusieurs articles sur l’observation et le diagnostic des systèmes dynamiques [3, 14]. Spécifiquement, une base appropriée est la base de la forme normale [57] associée à la topologie de Whitney avec toutes les considérations restrictives à l’égard de la généricité et la sensibilité des paramètres [45].
Dans ce mémoire nous allons répondre aux questions iii), iv) et iv). Plus préci- sément :
Nous allons proposer une condition suffisante liée à l’observabilité et la distinguabi- lité des systèmes hybrides qui nous permet de détecter et de reconstruire des états non mesurés d’un système continu avec des mesures clairsemées. Ici, la possibilité de reconstruire le vecteur de sortie est basée sur la connaissance du modèle du système
considéré.
Nous allons proposer un observateur dit observateur impulsionnel afin de contourner l’algorithme d’optimisation, cet observateur a la propriété de recevoir des informa- tions en temps discret (soit régulière soit aléatoire) qu’il génère un signal continu.
D’autre part, pour garantir la stabilité en boucle fermée pour les mesures clairsemées, un nouveau schéma d’observateur est proposé dans ce mémoire, Cette conception consiste à ajouter à l’observateur impulsionnel un deuxième observateur classique (par exemple de Luenberger ou à modes glissants), le couplage est effectué par un gain choisi de façon appropriée. Cependant, cette technique est applicable sur une classe réduite de systèmes dynamiques.
Contributions de la thèse
Les contributions que nous apportons dans ce mémoire sont :
1. Le développement de nouvelles conditions de stabilité pour une classe de sys- tèmes dynamiques impulsionnels, notamment les systèmes impulsionnels avec dynamique continue instable. L’objectif est de trouver des conditions sur la dynamique discrète et les périodes d’impulsion afin d’assurer la stabilité du système impulsionnel.
2. La proposition d’un nouveau schéma d’observateur pour les systèmes dyna- miques linéaires continus avec mesures discrètes en se basant sur les propriétés des systèmes impulsionnels. Deux cas peuvent être distingués : les dynamiques instables sont mesurées, les dynamiques instables ne sont pas mesurées. Ceci a donné lieu à [61, 64].
3. La proposition de nouvelles conditions sur les systèmes dynamique linéaires qui peuvent être vues comme les duals de la Propriété d’Isométrie Restreinte (RIP) en traitement du signal. Ceci a donné lieu à [65,66].
4. L’application des résultats trouvés précédemment sur les systèmes non linéaires continus avec mesures discrètes et notamment les applications de synchronisa- tion et décryptage. De plus, nous montrons l’utilité des observateurs à modes glissants dans un problème d’échantillonnage. Ceci a donné lieu à [60,62,63].
Organisation du mémoire
Ce mémoire est organisé en quatre chapitres :
Chapitre 1
Le premier chapitre commence par une étude bibliographique sur les définitions, les méthodes de modélisation et l’existence des solutions pour les systèmes dyna- miques impulsionnels. Ensuite, on présente différents critères et problématiques de stabilité et de stabilisation rencontrés dans le domaine des systèmes impulsionnels afin de proposer de nouvelles conditions de stabilité pour une classe particulière de systèmes dynamiques impulsionnels.
Chapitre 2
Dans ce chapitre, on s’intéresse à la synthèse d’observateurs pour des Systèmes linéaires continus avec mesures discrètes. Ces observateurs seront appliqués dans une commande en boucle fermée afin de stabiliser le système. On commence de prime abord par l’étude de l’observabilité des systèmes linéaires continus avec me- sures discrètes et on montre que ces systèmes peuvent ne pas conserver la propriété d’observabilité. Ensuite, on propose des nouveaux schémas d’observateurs pour les SLCMD afin de pouvoir les stabiliser. On considére ici deux cas : le sous espace instable est complètement mesuré, le sous espace instable n’est pas complètement mesuré.
Chapitre 3
Le troisième chapitre est consacré à l’étude de la dualité entre la propriété d’ob- servabilité en théorie de contrôle et la propriété d’isométrie restreinte "RIP" dans le traitement du signale. Quelques notions sur l’échantillonnage compressif sont pré- sentées en premier lieu. Ensuite, une condition suffisante pour la détection et la reconstruction des modes actifs pour un système hybride sous mesures clairsemées est proposée.
Chapitre 4
Dans le quatrième chapitre, le problème de la synthèse des observateurs pour des systèmes non linéaires continus avec mesures discrètes est abordé, en se basant sur l’utilisation du théorème des accroissements finis. ce dernier permet de ramener, dans notre cas, le problème d’estimation d’état d’un système dynamique non linéaire à un problème de stabilité d’un système linéaire à paramètres variants. Des conditions de stabilité de l’erreur d’observation sous forme d’inégalités linéaires matricielles "LMI"
ont été obtenues. Ensuite, ces observateurs sont appliqués à un problème de synchro- nisation unidimensionnel de systèmes chaotiques. on montre aussi qu’un observateur impulsionnel couplé avec un observateur à modes glissants d’ordre supérieur est une solution pertinente au moins pour une classe particulière de systèmes non linéaires.
Ceci a plus particulièrement été appliqué à l’identification des paramètres inconnus des systèmes dynamiques chaotiques.
Stabilité des systèmes dynamiques impulsionnels
1.1 Introduction
Dans ce chapitre, on s’intéresse à la stabilité des systèmes dynamiques impul- sionnels (SDI). Ces systèmes ont été formulés en premier lieu par Milman et Myshkis [78] en 1963. La théorie fondamentale des équations différentielles impulsionnelles a été développée par de nombreux auteurs : Bainov, Haddad, Lakshmikantham et Samoilenko [6,7,49,68,92]. Cependant, l’étude de la stabilité des SDI reste un pro- blème largement ouvert. Il existe quelques travaux sur ce sujet comme par exemple [7, 49].
Ce chapitre est organisé comme suit :
Dans la première partie, on rappelle des définitions sur les systèmes dynamiques impulsionnels, ensuite deux types de systèmes différentiels impulsionnels sont pré- sentés. Ceux-ci offrent des exemples simples et montrent comment les actions impul- sionnelles influencent le comportement des solutions et provoquent des phénomènes nouveaux et typiques liés à ces systèmes. Ces phénomènes seront explicités sur des exemples. Le but étant de donner une vision globale des problèmes et les difficultés rencontrées pour cette classe de systèmes.
Dans la deuxième partie, un rappel sur l’existence et l’unicité de la solution pour les systèmes dynamiques impulsionnels contrôlés (ici nous traitons les SDI dont les impulsions sont contrôlées) est donné.
Dans la troisième partie de ce chapitre, deux approches pour l’étude de la stabilité des systèmes dynamiques impulsionnels seront discutées, ensuite une nouvelle ap- proche sera proposée et son intérêt par rapport aux autres approches existantes sera mis en évidence.
1.2 Description des systèmes dynamiques impul- sionnels
Les systèmes dynamiques impulsionnels (SDI) sont des systèmes caractérisés par des changements instantanés de leurs états à certains instants du temps. En raison de
ces sauts instantanés, les trajectoires de ces types de systèmes ne conservent pas les propriétés classiques associées aux systèmes dynamiques modélisés par des équations différentielles ordinaires (EDO). Par conséquent, les outils mathématiques utilisés pour analyser ces derniers ne peuvent pas être directement appliqués aux SDI.
Les SDI sont caractérisés par :
i) Un ensemble d’équations différentielles ordinaires définies en temps continu qui régit le mouvement du système entre les instants d’impulsion ;
ii) Un critère régissant l’évolution temporelle des impulsions (c’est-à-dire ; des chan- gements instantanés de l’état du système considéré) ;
iii) Un ensemble d’équations aux différences qui régit la façon dont les états du système changent au moment de l’impulsion. Par hypothèse de modélisation, ce changement est considéré comme simultané pour toutes les composantes de l’état.
C’est ce troisième point (correspondant à une discontinuité des états analogue à un changement instantané de conditions initiales) qui rend les systèmes impulsionnels si particuliers.
Dans cette partie, la classe de systèmes dynamiques impulsionnels considérée est de la forme suivante :
˙
x(t) = f(t, x(t)); (t, x(t))∈/ S (1.1) x(t+) = ρ(x(t−)); (t, x(t))∈S (1.2) avec x(t)∈DetD⊆Rn est un ensemble ouvert caractérisant l’ensemble sur lequel (1.1) et (1.2) sont définis, S ⊆ R+×D est l’ensemble des instants et des états im- pulsionnels appelé ensemble de conditions de réinitialisations ("reset" en anglais, ce vocabulaire sera utilisé par la suite).
L’équation (1.1) représente la dynamique continue du système, où : – x(t)∈D⊂Rn représente l’état du système.
– f : R+×D → Rn est un champ de vecteurs qui décrit le régime de fonc- tionnement du système, il est supposé suffisamment régulier pour qu’une solution locale maximale du problème de Cauchy1 associée à (1.1) existe sur tout intervalleI ⊂R+.
L’équation (1.2) représente la loi de reset de l’état aux instants d’impulsion (c’est- à-dire ; ceux correspondant à (t, x(t))∈S), où :
– ρ : D → Rn est une fonction appelée fonction de reset, elle est supposée continue sur D.
1. Un problème de Cauchy classique est de la forme : X:
x(t)˙ = f(t, x(t)) x(t0) = x0
où l’on se pose la question d’existence et d’unicité de solution deP .
– x(t−k) est l’état du système juste avant l’impulsion etx(t+k) l’état du système juste après l’impulsion tel que :
x(t+k) := lim
h→0+x(tk+h) et x(t−k), lim
h→0+x(tk−h) := x(tk)
D’autres méthodes de modélisation des systèmes dynamiques impulsionnels ont été proposées dans la littérature. On peut citer par exemple l’approche par inclusions différentielles [13], la formulation Hamiltonienne [18]. Une autre approche aussi est celle des systèmes dynamiques hybrides qui correspondent dans ce cas aux systèmes possédant un seul mode et une seule transition liée à la variable d’état continue via une fonction de reset [47].
1.2.1 Principales classes de systèmes dynamiques impulsion- nels
Dans la littérature ([7,49,68],. . . ) une classification assez générale des systèmes dynamiques impulsionnels en fonction de l’ensemble de reset est donnée par : 1) Les systèmes dynamiques impulsionnels contrôlés ;
2) Les systèmes dynamiques impulsionnels autonomes.
1.2.1.1 Systèmes dynamiques impulsionnels contrôlés
Dans ce cas, l’ensemble de reset est défini par une suite dépendant du temps et non pas de l’état du système. Les impulsions sont supposées dûes à des variables externes comme par exemple des commandes. Ces systèmes dynamiques peuvent être modélisés par les équations (1.1) et (1.2) tel que l’ensemble de reset est défini comme suit :
S:={t1, t2,· · · } ×D (1.3) Les systèmes (1.1) et (1.2) peuvent se réécrire alors sous la forme suivante :
( x(t)˙ = f(t, x(t)) ; t6=tk
x(t+k) = ρ(x(tk)) ; t=tk , k ∈N∗ (1.4) Exemple 1. [68]
Considérons le système dynamique impulsionnel suivant :
( x(t)˙ = 1 +x2(t); t6= kπ4
x(t+k) = x(tk)−1; t= kπ4 , k ∈N∗ (1.5) La solution x(·) de (1.5) avec la condition initiale x(0) = 0 existe et est continue par morceaux pour t ≥ 0; en effet, la trajectoire x(t) = tan(t − kπ4 ), k ∈ N∗ pour t ∈]kπ4 ,(k+1)π4 ] est continue sur tout intervalle semi ouvert ]kπ4 ,(k+1)π4 ] de période
π
4 (voir figure 1.1). Cependant, la solution x(t) = tant de l’équation différentielle
˙
x(t) = 1 +x2(t) avec x(0) = 0 existe et est continue dans R− {(2k+1)π2 , k∈Z}.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Temps (s)
x
x
Figure 1.1 – La solution du systéme (1.5) 1.2.1.2 Systèmes dynamiques impulsionnels autonomes
Lorsque l’état atteint certaines zones prédéfinies de l’espace d’état, il effectue un saut (ou impulsion) de sa valeur courante à une autre. L’ensemble de reset est alors défini par une région dans l’espace d’état qui est indépendante du temps.
Dans ce cas, l’ensemble de reset S est défini en fonction d’un nombre dénombrable de fonctions τk :D→[0,∞[, il est donné par la formule suivante :
S := [
k∈N∗
{(τk(x), x) : x∈D} (1.6)
Les systèmes (1.1) et (1.2) peuvent se réécrire alors sous la forme suivante :
( x(t)˙ = f(t, x(t)); t6=τk(x)
x(t+k) = ρ(x(t−k)); t=τk(x), k ∈N∗ (1.7) Les systèmes dynamiques impulsionnels autonomes présentent plus de difficultés dans leur étude par rapport aux systèmes contrôlés. En effet, les instants d’impulsion pour les systèmes de la forme (1.7) dépendent des solutionstk =τk(x(tk)), pour tout k∈N∗. Ainsi, les solutions, avec des conditions initiales différentes, auront différents points de discontinuités possibles.
Exemple 2. [47]
Considérons le système à deux bacs simplifié et linéarisé [5] (la loi de Torricelli est négligée sur l’écoulement du bac 1 [99]) décrit par la figure 1.2.
Le système est formé par une pompe située sous le bac 2 qui réalimente le bac 1.
Le bac1peut être partiellement vidé par un système de chasse d’eau. On note parxi
la déviation par rapport au niveau d’équilibre xei correspondant au bac i, dès que la déviationx1 du niveau du bac 1 devient nulle, le système de chasse d’eau intervient en vidant partiellement le bac 1 et agit de ce fait comme un contrôleur.
Le système est décrit par :
˙
x1(t) = −x1(t) +x2(t); (t, x(t))∈/ S
˙
x2(t) = x1(t)−x2(t); (t, x(t))∈/ S x1(t+k) = x1(t)−12x2(t); (t, x(t))∈S x2(t+k) = x2(t); (t, x(t))∈S
Figure 1.2 – Système à deux bacs
où x(t) := x1(t) x2(t)
!
∈R2 , la surface de reset est donnée par : S ={(t, x)∈R+×R2 : x1 = 0}
On voit bien que les instants d’impulsion sont définis par rapport à l’état du système.
Remarque 1. Il existe aussi des systèmes tels que l’ensemble de resetS est fonction detetxsimultanément, par exemple un système autonome mais avec des conditions de reset dépendant du temps entre deux impulsions.
L’exemple académique donné dans [6] illustre ce type de systèmes : Exemple 3. [6]
Soit le système dynamique impulsionnel suivant :
( x(t)˙ = 0; (t, x(t))∈/ S
x(t+k) = x2(tk)sgn(x(tk)); (t, x(t))∈S (1.8) avec :
Sk={(t, x(t))∈R+×R : |x|<3 et x(t) =t−6k, k∈N} (1.9) et
S = [
k∈N∗
Sk
La figure 1.3 montre le comportement impulsionnel de la solution correspondant à la condition initiale x0 = 0.9.
0 2 4 6 8 10 12 14
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
Temps (t)
x
S1 S2 S3 la trajectoire
Figure 1.3 – La trajectoire du système (1.8) pour la condition intiale x0 = 0.9 1.2.1.3 Cas particulier : systèmes dynamiques linéaires impulsionnels
Les systèmes dynamiques linéaires impulsionnels sont de la forme suivante :
( x(t)˙ = Ax(t) ; (t, x(t))∈/ S
x(t+k) = Rx(tk) ; (t, x(t))∈S (1.10) où, les matrices A etR sont constantes et de dimensions appropriées.
La solution du système (1.10) avec une condition initiale x(t0) = x0 est définie comme suit :
x(t, x0) =eA(t−ti) Y
t0<ti<t
ReA(ti+1−ti)x0
avec ti < t < ti+1, pour plus de détails sur le calcul de cette solution, voir [92].
1.2.2 Phénomènes liés aux systèmes dynamiques impulsion- nels
Les trajectoires des systèmes dynamiques impulsionnels peuvent présenter plu- sieurs phénomènes complexes et qui n’ont pas d’équivalent dans la théorie des sys- tèmes continus/discrets ordinaires comme le phénomène de Zénon, phénomène de battement ("Beating") et le phénomène de confluence des solutions ("Merging").
Dans ce qui suit, nous présentons brièvement ces phénomènes physiques qui seront illustrés par des exemples.
1.2.2.1 Phénomène de Zénon [111]
Ce phénomène se produit lorsque la solution du système est une trajectoire ayant une infinité d’instants de reset définis sur un intervalle de temps fini.
Exemple 4.
Soit un ballon qui rebondit sur un sol dur en présence de la gravité g avec x1 la hauteur du ballon au-dessus du sol etx2 sa vitesse. A chaque fois que le ballon touche le sol, il rebondit avec une fraction de la vitesse de contact suivant le coefficient de restitution µ défini sur [0,1[.
Le système peut être décrit par les équations suivantes :
( x˙1(t) =x2(t); (t, x(t))∈/ S
˙
x2(t) =−g; (t, x(t))∈/ S (1.11)
avec (
x1(t+k) = 0; (t, x(t))∈S
x2(t+k) =−µx2(tk); (t, x(t))∈S (1.12) avec µ∈[0,1[. La surface de reset est donnée par :
S={(t, x)∈R+×R2 : x1(t) = 0 et x2(t)≤0} (1.13) En intégrant le système (1.11) avant le premier contact avec le sol, les solutions s’écrivent :
x1(t)−x1(t0) =−1
2g(t−t0)2+x2(0)(t−t0) +x1(0)
x2(t)−x2(t0) =−g(t−t0) (1.14)
Le premier rebond se produit à l’instant t1 =t0+ x2(t0)+
√x22(t0)+2gx1(t0) g
ainsi x2(t+1) = −µx2(t1) =µqx22(t0) + 2gx1(t0)
De même, le second rebond se produit à l’instantt2 =t0+t1+2µg qx22(t0) + 2gx1(t0).
De manière récurrente, les instants des impulsions au kème impact s’écrivent : tk= x2(t0)
g +2qx22(t0) + 2gx1(t0) g
1 2+
k−1X
i=1
µi
!
(1.15) En passant à la limite, les instants d’impulsion ont alors un point d’accumulation qui est :
t∞ = lim
k→+∞tk = x2(t0)
g +
qx22(t0) + 2gx1(t0) g
µ+ 1
1−µ (1.16)
En partant avec des conditions initiales t0 = 0, x1(0) = 0 et x2(0) = 708 et les paramètres suivants où g = 1 et µ= 0.8, les courbes d’évolution de la position et de la vitesse de la balle sont présentées par les figures 1.4 et 1.5.
On remarque que la balle s’immobilise sur le sol en un temps fini.
1.2.2.2 Phénomène de Battement "Beating" [6]
Ce phénomène se produit lorsque la trajectoire du système dynamique impul- sionnel croise la même surface de reset τk(·) en un nombre fini ou infini de fois en un temps fini.
Reprenons le système (1.8) et partant d’une condition initiale x0 = 214, cette solu- tion croise la surface S0 (définie dans (1.9)) trois fois en t3 = 2, mais à partir de t >2 ; elle ne croise plus les autres surfaces (voir figure 1.6), ce phénomène est bien le beating.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Temps (s)
x1
Figure 1.4 – La trajectoire de la balle
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Temps (s)
x2
Figure 1.5 – La vitesse de la balle
0 2 4 6 8 10 12 14
−4
−2 0 2 4 6 8
Temps (t)
x
S1 S2 S3 la trajectoire
Figure 1.6 – La trajectoire du système (1.8) pour la condition intialex0 = 214
0 2 4 6 8 10 12 14
−4
−2 0 2 4 6 8
Temps(t)
S1 S2 S3
Trajectoire avec x0=4 Trajectoire avec x0=21/4
Figure 1.7 – La trajectoire du système (1.8) pour la condition intiale x0 = 4 en bleu etx0 = 214 en vert
1.2.2.3 Phénomène de non continuité de solution "Deadlock" [6]
Ce phénomène correspond à une trajectoire du système dynamique impulsionnel qui atteint la surface et reste en un point sur cette surface (c’est l’équivalent d’un point d’équilibre pour les EDO).
1.2.2.4 Phénomène de confluence de solution "Merging" [6]
Ce phénomène se produit lorsque différentes solutions coïncident après un certain temps et se comportent comme une solution unique
Reprenons le système (1.8) et partant des conditions initiales x(0) = 4 puis x(0) = 214, les trajectoires correspondantes du système (1.8) coincident à partir de t ≥ 2 (voir figure1.7), ce phénomène est le phénomène de "Merging".
Remarque 2. On peut avoir d’autres phénomènes liés aux systèmes dynamiques impulsionnels comme par exemple lorsque la solution x(·) de (1.8), avec une condi- tion initiale x0 = 4, est constante et égale à 4, donc cette solution ne croise pas la surface de reset S, ∀t∈R+ (voir figure 1.8).
1.3 Existence et unicité des solutions des systèmes impulsionnels (cas autonome)
Dans cette partie, nous rappelons quelques résultats connus concernant l’exis- tence et l’unicité des solutions pour les équations différentielles impulsionnelles.
0 2 4 6 8 10 12
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
temps (s)
Figure 1.8 – La trajectoire du système (1.8) pour la condition intialex0 = 4 Soit D⊆Rn un ensemble ouvert, posons Ω =I×D oùI ⊂ R+.
On suppose tout au long de cette section, que l’on a :
1. τk : D −→ [0,+∞] est une application continue avec τk(x) < τk+1(x) et
k→+∞lim τk(x) = +∞.
2. La surface de reset est de la forme suivante : S := [
k∈N
Sk avec Sk:={(τk(x(t)), x(t)), x(t)∈D} (1.17) Considérons maintenant, le problème de Cauchy associé à un système différentiel impulsionnel défini comme suit :
˙
x(t) = f(t, x(t)); t6=τk(x(t))
x(t+k) = ρ(x(tk)) t=τk(x(t)) , k= 1,2,· · · x(t+0) = x0, t0 ≥0
(1.18) oùf : Ω →Rn etρ : D→Rn sont au moins continues.
Définition 1. [68] (Solution d’une équation différentielle impulsionnelle)
On appelle solution de (1.18), toute fonction x : [t0, t0 + a[→ Rn, a > 0 fixé, vérifiant :
1. x(t+0) =x0 et (t, x(t))∈Ω pour t∈[t0, t0+a[, 2. x(·) est continûment différentiable et vérifie :
˙
x=f(t, x(t)) pour t∈ [t0, t0+a[−{τk(x(t)), k ∈N}
3. Six(·)est continue à gauche dans[t0, t0+a[ett∈[t0, t0+a[−{τk(x(t)), k∈N} alors x(t+k) =ρ(x(tk)).
Les systèmes différentiels impulsionnels ne peuvent pas avoir en général de so- lution sur tout l’intervalle du temps considéré même si f(t,·) est continue car la solutionx(·) du problème dépend en général de la fonction de reset τk.
C’est pour cette raison qu’on a besoin de certaines hypothèses supplémentaires sur les fonctions et les surfaces de reset afin d’établir une théorie générale de l’existence de solution pour les systèmes impulsionnels de la forme (1.18).
Rappelons tout d’abord quelques définitions utiles pour la suite.
Définition 2. [48]
f :I×D−→Rn est une fonction de Carathéodory si :
1. Pour tout x(t) ∈ Rn, la fonction ψx : t 7−→ f(t, x) est mesurable presque partout surI;
2. Pour presque tout t ∈I, la fonction ξt : x7−→f(t, x) est continue sur D; 3. Sur tout compact K de D, il existe une application :
mK : I 7−→R+ Lebesgue intégrable sur I telle que :
∀(t, x)∈I×K, |f(t, x)| ≤mK(t) presque partout sur I
Les deux théorèmes suivants donnent des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution pour le système (1.18).
Théorème 1. [68]
Supposons que :
i) La fonction f : Ω−→Rn est de Carathéodory ;
ii) S’il existe (t1, x1) ∈ Ω tel que t1 = τk(x1) pour un certain k alors il existe des voisinages Vt1 et Vx1 tel que pour tout (t, x)∈Vt1 ×Vx1 avec t 6=t1 et x6=x1, on a :
t6=τk(x) (1.19)
Dans ce cas, il existe α > 0 tel que pour tout (t0, x0) ∈ Ω, il existe au moins une solution x(·) pour le problème (1.18) définie de [t0, t0+α[−→Rn.
Preuve. Pour montrer ce théorème il suffit de distinguer les deux cas suivants : 1) ∀k ∈ N∗, t0 6= τk(x0) : on peut se placer dans le cas d’un problème de Cauchy classique pour toutt ∈[t0, t0+a[,a >0 fixé et commeτi(x)< τj(x) pouri < j, alors l’existence d’une solution locale est assurée par le théorème d’existence de solution pour un problème de Cauchy classique appliqué à ce système (1.18) (voir [48]).
2) ∃k ∈Ntel quet0 =τk(x0) : le problème (1.18) se ramène au problème de Cauchy suivant ˙x(t) = f(t, x(t)) avec x(t+0) =x0.
D’autre part, commeτi(x)< τj(x) pour i < j, i6=k, j 6=k, alors la condition (1.19) assure qu’il existe deux voisinages Vt0 et Vx0 tel que pour tout (t, x)∈ Vt0 ×Vx0 avec t 6= t0 et x 6= x0, on a t 6= τk(x(t)) et par conséquent, une solution locale existe au sens classique entre deux sauts consécutifs.
Ceci achève la démonstration du théorème.
Notons que la condition (1.19) peut ne pas être satisfaite dans quelques cas particuliers liés à un certain type de surfaces de reset τk. En effet, si les fonctions τk(·) sont différentiables ent0 et∃h ∈N pour lequel on at0 =τh(x0) et ∂τ∂th |t=t06= 1, alors d’après le théorème des fonctions implicites, il existe un voisinage Vt0 et un voisinage Vx0 et une application τh : Vt0 −→Vx0 définie de manière unique tel que t=τh(x). Ce qui contredit la condition (1.19).
Pour remédier à ce problème quelques conditions supplémentaires sur la régularité des fonctions de surfaces τk sont ajoutées :
Théorème 2. [68]
Supposons que :
1. La fonction f : Ω−→Rn est de Carathéodory ; 2. Les fonctions τk :D−→[0,+∞[ sont différentiables ;
3. Si (t0, x0) ∈ Ω tel que t0 =τk(x0) pour un certain k fixé, alors il existe deux voisinages det0 etx0 notés respectivement Vt0 et Vx0 tel que pour tout (t, x)∈ Vt0 ×Vx0, on a :
∂τk(x)
∂x f(t, x)6= 1 (1.20)
Dans ce cas, il existe a > 0 tel que pour tout (t0, x0) ∈ Ω, il existe au moins une solution x(·) pour le problème (1.18) définie de [t0, t0+a[−→Rn.
Preuve. Si t0 = τk(x0) pour un certain k ∈ N et x(·) est une solution pour le
problème suivant :
˙
x(t) =f(t, x(t))
x(t+0) = x0 (1.21)
La première condition du théorème assure l’existence d’une solution locale du pro- blème (1.21).
Posons σ(t) :=t−τk(x(t)), ce qui donneσ(t0) = 0 et ˙σ(t) = ∂σ
∂x.∂x
t = 1−∂τk(x(t))
∂x f(t, x)6= 0, ∀(t, x0)∈Vt0 ×Vx0
La condition (1.20) assure que ˙σ(t) 6= 0 dans un voisinage ϑt0 ⊂ Vt0 et par conséquent, la fonction σ est monotone sur ϑt0, donc pour tout t ∈ ϑt0 on a t 6= τk(x(t)) et par conséquent la solution existe au sens classique entre deux impulsions consécutives.
Définition 3. [68] (Prolongement par continuité à droite de la solution)
a) Soit x(·) une solution du problème (1.18) définie sur l’intervalle [t0, t0+a[ avec a >0. On dit que χ(·) est un prolongement par continuité à droite de x(·)si :
1. χ(·) est définie sur l’intervalle [t0, t0+h[ avec h > a; 2. χ(·) est une solution du problème (1.18) sur [t0, t0+h[;
3. χ(t) =x(t) sur [t0, t0+a[.
b) [t0, t+a[est appelé intervalle maximal d’existence de la solution x(·)du système (1.18) si :
1. x(·) est définie sur [t0, t0+a[;
2. x(·) n’admet pas de prolongement continu à droite.
Remarquons ici que les définitions du prolongement continu et l’intervalle d’exis- tence maximal pour les problèmes de la forme (1.18) définies précédemment sont celles d’un problème de Cauchy classique.
Théorème 3. [68]
Supposons que les conditions du théorème 2 sont satisfaites, soit x : [b, c[−→ Rn une solution du problème (1.18) avecI ⊂[b, c[, alors x(·) admet un prolongement à droite de l’instant de temps c si et seulement si :
1. limt→c−x(t) =z;
2. L’une de ces conditions est assurée :
• c6=τk(x) pour tout k ≥1 et z ∈Ω;
• c=τk(x) pour un certain k ∈N∗.
Le théorème suivant donne des conditions pour garantir l’existence globale d’une solution pour le problème (1.18). Pour simplifier, on considère que D=Rn
Théorème 4. [68]
Supposons que :
1. Les hypothèses du théorème 2 sont satisfaites ;
2. Il existe une fonction f˜∈ C[R+×R+,R+] tel que f˜(·, x) est croissante en x pour tout t∈R+ et tel que :
|f(t, x)| ≤f(t,˜ kxk) pour tout (t, x)∈R+×Rn
Soit χ(·, χ0) la solution maximale définie sur [0,+∞[ pour le problème de Cauchy classique suivant :
( χ(t)˙ = f(t, χ(t))˜
χ(t+0) = χ0 (1.22)
Alors, toute solutionx(·)du problème (1.18) aveckx0k ≤χ0 existe et est définie sur [0,+∞[.
On donne, dans ce qui suit, le théorème d’unicité de solution pour les SDI.
Théorème 5. [68].
Supposons que :
1. f :D0 −→Rn est continue avec :
D0 :={(t, x) : |t−t0| ≤a et kx−x0k ≤b}, a, b∈R∗
+ fixés
