ESSAI SUR LE COUPLAGE DES ALTERNATEURS À DISTANCE

les villes stipulent leur droit absolu de se servir de tout procédé nouveau sans aucune indemnité, m ê m e en se liant avec" d'autres occupants qu'avec la C o m p a g n i e du g a z ; dans ce cas, avons-nous dit, le procès ne devrait même pas se poser. La clause que nous envisageons maintenant est moins formelle, elle laisse m ê m e encore supposer que, p o u r ce procédé radicalement nouveau, la ville est liée avec la Compagnie du Gaz, qu'elle a seulement le droit d'exiger de celle-ci l'emploi de cette innovation.

Mais, il nous semble qu'il n'y a guère dans cette diffé- rence q u ' u n e question de mots : q u ' u n e société électrique fasse à la ville des propositions fort nettes d'où il découlera, d e toute évidence, que l'emploi de l'électricité a m è n e r a l'économie prévue ; la ville p o u r r a mettre en d e m e u r e la C o m p a g n i e du Gaz de lui fournir la lumière au prix i n d i q u é . Si cette compagnie accepte, elle a évidemment la préférence ; si elle refuse, elle met la c o m m u n e dans le

•droit de considérer la concession comme résolue aux torts et griefs de la Compagnie du Gaz, et libre de tout engage- ment elle peut traiter avec la Compagnie électrique. Et l'on ne peut invoquer à l'encontre de cette opinion, malgré une apparente similitude, l'arrêt r e n d u par le Conseil d ' E t a t contre la c o m m u n e de S t - E t i e n n e que nous avons indiqué plus h a u t . On se rappelle que la ville avait argué du mot a. faculté » p o u r donner d'emblée à la Société Edison les autorisations nécessaires. L ' a r r ê t du 26 décembre 1891 répond q u e , même p o u r l'exercice de cette faculté, la ville .est liée à la C o m p a g n i e concessionnaire. Mais la grosse

faute de la ville consistait à avoir tranché de son chef l'interprétation du mot « faculté », de s'être liée avec une Compagnie d'électricité, sans avoir m ê m e p r é v e n u la Com- pagnie du Gaz. (Voir § 2).

Allons même plus loin. S u p p o s o n s la clause encore plus connue de la fabrication du gaz par un procédé meilleur au point de vue de l'économie. Ici, la Ville et la Compagnie ne prévoyant que le gaz, m ê m e d a n s ses améliorations possibles, semblent avoir voulu, c o m m e on l'a dit, se lier indissolublement l'une à l'autre.

Mais, d'une part, si le contrat est intervenu à une époque où l'application de l'électricité avait déjà passé dans la pra- tique, la Compagnie sera encore bien plus coupable que la C o m p a g n i e de Deville-les-Rouen, de n'avoir pas spécifié quelle serait sa situation en présence d'un procédé complè- tement nouveau puisqu'elle prévoyait un procédé amélioré.

D'autre part, si le contrat remonte à une époque t r o p ancienne pour admettre cette solution, on a u r a néanmoins toujours intérêt à faire une mise en d é m e u r e . Il est fort probable que le Conseil admettra que la c o m m u n e intention des parties était, non de prévoir exclusivement un procédé par le gaz, mais un procédé q u e l c o n q u e pourvu qu'il fut plus économique, et cette solution p o u r r a être envisagée comme certaine si l'on prouve que, comme cela s'est très souvent présenté, la Compagnie du Gaz a sollicité pour elle-même la concession de l'éclairage électrique, que le Conseil municipal ne s'est jamais considéré comme lié envers elle autrement que pour Véclairage au ga%\ en un mot, si l'on peut développer victorieusement les considé- rations permettant aux juges de tenir compte de la com- mune intention des parties

1 0 . R é s u m é . — N o u s croyons avoir suffisamment expliqué quelle est la marche à suivre dans les procès de cette n a t u r e . Il ne faut point oublier que les arrêts r e n d u s sont avant tout des décisions d'espèces. Mais on peut en tirer, après une lecture attentive des indications très utiles pour les procès à venir ( 1 ) .

P a u l BOUGAULT, Avocat à la Cour d'Appel de Lyon.

ESSAI

S I Î F

le eouplage des Alternateurs à distance.

Fig. 1

A v a n t d'aborder la question du couplage à distance, rappelons c o m m e n t on établit que la mise en parallèle de divers alternateurs dans une m ê m e usine, entraîne un régime stable (2).

« Les grandes usines génératrices comportent générale- ment plusieurs machines ainsi accouplées. Ces machines, toutes de m ê m e force électromotrice, concourent, chacune p o u r sa part, à la production du courant dans le circuit extérieur. Si les courants des diverses machines sont en concordance de phase, le courant extérieur est égal à leur s o m m e .

Soit ABC le triangle du circuit extérieur et dési- gnons par I l'intensité du courant total, de direction AC.

Considérons une quel- conque des machines, p r o - duisant un courant d'inten- sité / j . Désignons par K{

sa réactance et supposons pour simplifier que le fil qui la relie aux bornes du circuit extérieur (et qui c o m p r e n d le fil de l'induit), ait une résistance négligeable.

O n en déduit immédiatement, /j et 2" étant en phase et, par suite, la force électromotrice de self-induction de la machine E^{ se trouvant perpendiculaire à AC, la force électromotrice AD de cette machine.

Le travail correspondant est :

1\ = 2?, rⁱcos(E^l,Iⁱ)=^Eⁱ.f^lcos(Eⁱ,I)=Eⁱ^ c o s ( E , , 1) =

il

(1) Il n o u s est a c t u e l l e m e n t i m p o s s i b l e de d i r e , s a n s v i o l e r le secret p r o f e s s i o n n e l , q u e l l e s s o n t les r a i s o n s p o u r lesquelles la j u r i s - p r u d e n c e d u C o n s e i l d ' E t a t n o u s p a r a î t d e v o i r être de plus en p l u s f a v o r a b l e a u x c o m m u n e s , m a i s ce s e n t i m e n t d e r é a c t i o n est c e r t a i n .

(2) T h é o r i e é l é m e n t a i r e d e s c o u r a n t s a l t e r n a t i f s , p a r J . V o y e r , c a p i t a i n e d u G é n i e ( G e o r g e s C a r r é , é d i t e u r ) .

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1903007

36 L A H O U I L L E B L A N C H E

et, par suite, il est proportionnel à la distance du point I?

au vecteur de la force électromotrice E^v

AD représente la force électromotrice de la machine en m a r c h e n o r m a l e . S u p p o s o n s maintenant que cette machine prenne une certaine avance : sa force électromotrice sera représentée par une droite telle que AD', égale à AD.

Si l'écart n'est pas trop grand et si les autres machines continuent leur marche n o r m a l e , la différence de potentiel AB aux bornes du circuit extérieur n'aura pas sensiblement varié.

O r , le travail de cette machine devient égal à BF' et il est clair que BF' est > BF. Il en résulte q u ' à une avance de la machine correspond une a u g m e n t a t i o n de travail et inversement, à un retard correspond une diminution de travail.

Ce sont bien là les conditions dans lesquelles un régime est stable. »

C o u p l a g e à d i s t a n c e

I. Sans interposition de transformateurs. — O n ne peut négliger dans ce cas, pas plus la résistance que la réactance du circuit de couplage et, par suite, au d i a g r a m m e du cas précédent, il faut substituer le suivant, où :

j-, , • s du c i r c u i t t o t a l , q u e n o u s d é s i g n o n s s o u s le n o m

R, = résistance i , . . , , .

) de c i r c u i t d e c o u p l a g e , c o m p r i s e n t r e 1 a l i e r n a -

Tr , ) t e u r à c o u p l e r et les b o r n e s d u c i r c u i t e x t é -

K, = réactance f . , . ,

\ r i e u r , au d r o i t du p o i n t d e c o u p l a g e .

De plus, la symétrie qui existait dans le cas précédent se trouve r o m p u e et il n'est plus possible d'admettre qu'il y ait simultanéité dans la concordance de phase des forces électromotrices et des courants, de telle sorte que l'angle a représente, non pas le décalage entre la force électromotrice

D

et le courant dans le circuit extérieur, mais bien le décalage entre la force électromotrice et le courant après couplage, dans le circuit couplé.

T r a ç o n s maintenant la perpendiculaire DG hxxrAF. O n peut écrire :

DF

T^t = Eⁱ I, cos 1,) = E^t -g- cos (E^it J^t) = E. F

= ^J^DFcosF=^ⁱ FG

et, par suite, le travail de cette machine est proportionnel à la distance FG.

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t , c o m m e p r é c é d e m m e n t , une légère avance de la force électromotrice E^{ n'ayant aucune influence sensible sur la force électromotrice E aux bornes du circuit extérieur.

Cela revient à supposer un léger accroissement d\j. de l'angle DBA', et p o u r que le couplage entraîné un régime stable, il faut que les variations de FG soient de m ê m e sens que celles de l'angle FAA'.

F i g . 3

On voit immédiatement que la stabilité du couplage n'est plus évidente à priori et qu'elle doit d é p e n d r e des cons- tantes de l'installation.

O b s e r v o n s , tout d'abord, q u ' u n e fois le couplage réalisé, l'angle que nous appellerons « angle de couplage », est le complément de l'angle <p représentant le décalage de la forcé électromotrice p a r r a p p o r t au c o u r a n t d a n s le circuit de couplage. O r , i l suffit d'enfermer l'angle<pdans-un quadrant^

ce qui renferme l'angle complémentaire u, dans les mêmes limites, p o u r avoir toutes les variations de cet angle qu'il i m p o r t e de considérer ( i ) .

Cela dit, p o u r obtenir la-solution complète du problème, il faut exprimer la longueur FG, ou bien la l o n g u e u r AG qui varie en sens contraire (puisque FG - j - AG =Eⁱ), en fonction de FJ^it E et des angles a, \>., puis discuter le signe de la dérivée.

Ecrivons la valeur de cette dérivée, ou plutôt la valeur de- là quantité qui détermine son signe, prise dans une note annexe, où nous d o n n o n s le développement complet des calculs :

— C O S (\>. ^— 2 a ) + E sin (y. ^{— a )} sin — 2 a ) ^

avec Z = i/E\ — h* s i n² (u. — a)

( i ) N o u s n é g l i g e o n s l'influence d e la c a p a c i t é , q u i d'ailleurs.ne p a r a î t g u è r e s u s c e p t i b l e , en p r a t i q u e , d ' i n f i r m e r c e t t e h y p o t h è s e .

Dans la figure 3 ci-contre, traçons. A V parallèle à BF, ï p u i s £ 7 " et FV perpendiculaires à A V.

On a :

FV= BT = E sin (;;. — a)

A V³- = AF² FV* = E-ⁱ — E^a- sin² ( y . - a ) AV= / / i ^ — i ± '²s m²( ; , . - a )

D ' o ù il résulte que l'expression ci-dessus peut s'écrire :

— (A V ^{C O S} (<J. — 2 a ) + F V sin (;j. — 2 a ) ]

Sous cette forme, il est visible que le t e r m e entre paren- thèses représente la projection de la ligne brisée A VF sur

la droite Z ' Z , faisant avec AB et au-dessus, un angle égal à: « ( T g a = 7 ^ ) .

Mais il faut, bien entendu, tenir soigneusement compte des signes. O r , A V = Z est supposé toujours positif, mais FV -— E sin (p. — a) est positif ou négatif suivant que l'angle a ou que le vecteur BF se trouve dans le premier o u le quatrième quadrant (y. — a est, en effet, compris entre _ ^a e t | - a ) .

D'autre part, le signe de sin (;;. —- 2 a) ou de cos — 2 a ) dépend de la valeur de l'angle VAZ ou bien encore de la position relative des vecteurs BF, AZ.

Dans le cas de la figure 3 ci-dessus : FV — E sin (y. — a) est positif.

A V cos (<^{j. — 2 a) est de m ê m e positif, tandis que FV sin (j;. — 2 a) est négatif.

La valeur de l'expression A V cos (y. — i a ) A- FV sin {;;. —• 2 y.) est donc égale à la différence des projections de A V et de F F sur Z ' Z . De telle sorte que cette expression sera nulle si A F est perpendiculaire à Z ' Z et la position corres- pondante BM du vecteur BF correspond à un maximum ou à un m i n i m u m du travail de l'alternateur Eⁱ.

Il est, d'ailleurs, bien clair que la seconde extrémité M ' d u diamètre M M ' constitue u n e seconde solution, et p o u r avoir les valeurs de \j. qui correspondent à ces deux solu- tions, il suffit d ' a n n u l e r la dérivée dont l'expression est donnée ci-dessus, ou d'écrire :

Z cos (IJ. — 2 a ) + E sin (y. — ^{a )} sin (JJ. — 2 a ) = 0.

On en déduit :

(Ef — E² sin* (y. — a ) ) c o s² {y. — 2 a ) =

= E* s i n² ([/ — a ) sin² (IJ. — 2 a ) E^l cos (y. — 2 ^{a )' +} E sin (y. ^{— a )} et finalement :

+ E sin ^{a —} E\ cos 2 a 0

T g y. =

+ E cos a + E^{ sin 2 a

L'une des solutions correspond aux deux signes + ^e^ l'autre aux deux signes —.

Il est, de plus, évident que les secondes extrémités M^{, M\ des cordes MB, M'B satisfont également à la relation précédente, car ces points M^{, M\ correspondent à des angles t. + \i. ( a y a n t par suite la même tangente que l'angle p.), attendu qu'au vecteur BM relatif à l'angle y.^m — a correspond bien le vecteur opposé i?A7,, relatif à l'angle

~ + i*m «•

E n r é s u m é , les quatre points M , M , , Af, M\ déterminés par la construction très simple qui vient d'être indiquée, correspondent à des maxima ou m i n i m a du travail de l'al- ternateur E^{, c'est-à-dire que la variation du travail de cet alternateur change de sens chaque fois que le vecteur BF franchit l'un des secteurs déterminés par les quatre vecteurs BM, BMⁱ. BM', BM\. Mais il est bien clair que le point M est seul intéressant dans l'évolution des gran- deurs de \j. entre 0 et — , et c'est le signe du produit

— [AV cos ([i. — 2 a ) + FV sin ([j. — 2 a)) qui déterminera dans chaque cas si ce point M correspond à un maximum ou à un m i n i m u m .

R e m a r q u o n s maintenant que l'angle y, — « s'annule p o u r [j. = ^a, de telle sorte que l'origine des angles \j.

se trouve déterminée p a r l a droite BX parallèle à une droite faisant avecyfZ?, mais cette fois au-dessous deAB, un angle égal à a. Les a n - gles [j. étant d'ailleurs crois- sants dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est.la perpendiculaire B Y au-dessus de BX qui limitera les variations de l'angle

Dès maintenant, le problème que nous nous sommes posé se trouve complètement résolu.

Il suffit, en effet, de construire la figure très simple que nous reproduisons ci-dessus et de déterminer si le point Al, contenu ou non dans l'angle YBX, correspond à un maxi- m u m ou à un m i n i m u m .

Les secteurs.de stabilité ou d'instabilité s'en déduiront, i m m é d i a t e m e n t puisque le travail de l'alternateur E^{ doit

croître en même temps que c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une m o n t r e .

Cette recherche, qui peut être faite dans chaque cas particulier, entraîne dans le cas général, une discussion que nous allons ex- poser.

R e m a r q u o n s que l'angle a étant compris entre 0 e t ™ , les vecteurs A M et BX se trouvent nécessairement au-dessous de AB. Mais ils a r r i v e n t ou non à se rencontrer, suivant le sens de l'inégalité :

•z + B — 8 / en désignant par S le c o m p l é m e n t de l'angle a, c'est-à-dire le décalage dû à l'inductance p r o p r e du circuit de couplage.

Fig. 4

Fig. 5

38 L A H O U I L L E B L A N C H E

On a d'autre part :

E E,

sin n sin (T: + 3) D'où l'on déduit :

E (sin T: COS S + sin 3 cos x) = Ex sin x.

E sin 8 i i cos S

L'inégalité précédente peut en conséquence s'écrire E sin 5 sin 3

— +

E^A — E cos cos s

E sin sin 8 - " ^ °

£'d — £" cos S cos 3 Et sin S ^ cos S i s j cos 3 — E ^ sin 3 0 ^ cos 2 3 — E cos 3.

„ . E, cos o

E t enfin : -y=r ;:•

,E cos 2 o

Dans le p r e m i e r cas le point M est à l'intérieur, et dans le second à l'extérieur, de l'angle YBX.

Si nous reprenons m a i n t e n a n t l'expression — (AV cos

— 2 a) + F F sin —• 2oc)j, nous avons déjà vérifié qu'elle est négative après le point M, de telle sorte que le point M correspond à un m a x i m u m de la longueur AG et, par suite, à un m i n i m u m du travail de l'alternateur Eⁱ.

Les secteurs de stabilité s'en déduisent comme l'in- diquent les schémas ci-après :

Ei cos S E cos 2 3

cos 0 E C O S 2 S

7C

Stabilité partielle (entre 'y-^m et —) Stabilité totale.

Q u a n t à la valeur de u.^m, elle est définie dans le cas présent, comme il est facile de le voir en remontant à la détermination p r é c é d e m m e n t donnée de cette valeur, par la relation suivante :

T g p.m = E^{ cos 2 ^{a +} E sin a

— E{ sin 2 ^{a +} E cos a

. „ E, cos 2 8 — E cos 8

F.^m = Arc T g rr—= ; —;

Et sin 2 S — E sin S

A côté de ces résultats, qui représentent la solution

analytique de la question, on p e u t placer la solution géo- métrique suivante :

r, i r En cos 3 R e p r e n o n s le cas limite - —

cos 2 S ( 0

Fig. 6

Si on trace M^t T^{ perpendiculaire à M^B et A Tⁱ perpen- diculaire à AB, on reconnaît i m m é d i a t e m e n t que les deux angles 'MiATl etMlTiA sont l'un et l'autre égaux à a{, de telle sorte que le triangle AMiTi est isocèle et Mil\ = AMⁱ = E^v

O r , il sera é v i d e m m e n t très simple de tracer p a r tâton- n e m e n t s , le vecteur BM qui satisfait à cette c o n d i t i o n .

cos 3

- équivaut à D a u t r e p a r t , l'inégalité ^4-

E ~~ COS 2 3

D a n s la figure ci-contre, traçons m a i n t e n a n t AR perpen*

diculaire à AM^t ; l'angle QAR est égal à a., et MAP k-\.

( i ) C e t t e é g a l i t é c o r r e s p o n d t o u t s i m p l e m e n t à \>-^m = 0 et J'inégà»

lité c o n d i t i o n n e l l e ' é q u i v a u t d e m ê m e à ^ —, c o m m e il est

• 2

facile d a i l l e u r s d e le v é r i f i e r .

Les angles a et S étant compris entre 0 et ~ \ on aura tous les cas qui peuvent se présenter en supposant une rotation du vecteur AZ de AQ vers AP. _

J u s q u ' à AR, la stabilité est complète ; elle est ensuite partielle jusqu'à AP, où elle cesse d'exister. E n d'autres tejmes et inversement, q u a n d le vecteur AZ balaie l'espace ,de AP vers AQ dans le sens des aiguilles d ' u n e m o n t r e , le vecteur du travail minimum de l ' a l t e r n a t e u r ^ , balaie dans

le sens des décalages croissants, le q u a d r a n t dans lequel se meut le vecteur du courant d a n s le circuit couplé.

Cette é p u r e , très simple, mérite donc bien le nom d'épure de stabilité, et la construction en traits discontinus m o n t r e c o m m e n t on d é t e r m i n e pour chaque valeur de 5, par le tracé de quelques lignes, le secteur de stabilité.

{A suivre). p . DUMAS,

Ingénieur des Ponts et Chaussées.

N O T E A N N E X E

Détermination de AG et de sa dérivée par rapport à p.

R^l

AG = Ei — FG — Ei — -rr Ei7, cos ( E „ / , ) .

&i

Mais Eⁱ Ii cos (Eⁱ Ii) représente la puissance mise en jeu dans le circuit et cette puissance est égale à 7?j If A- El{ cos (EflA.

D'autre part :

DF BF sin « sin a , . „ . sin a / „ „ . \

/ l = ^ = - _ _ = - 5 r ( 4 F - . ^ 7 ) = ^ - ( Z - £ ' c o s ( , - . ) )

en posant Z = f / l F ² - 7 ^ = \/'Ef - 7±² s i n² (;, — a) Donc, on peut écrire :

A '^i-y E

7?^{t S} ^ * ^ Z — E cos — a ) ^ A- E (^Z — E cos (y. — a ) ^ sin y.

AG — E ( Z ~ E cos 6* — *))sin * _{( Z — 7l C O S ([j. — a ) ) s i n a -f-} E s i n y.

dAG

et les v a r i a t i o n s d e c e t t e l o n g u e u r a v e c l ' a n g l e y. s o n t r é g l é e s p a r le s i g n e d e la d é r i v é e — o u p a r le s i g n e d e la q u a n t i t é :

— (z — E c o s (y.— a)^ ^ s i n a ^ — s i n (y. — «) c o s (y. — a) + E s i n (u. — a ) ^ -f- JE" c o s y^j

— ^ s i n a ( ( Z — 7 ? COS — a ) ) + E s i n y^j ^ — — sin ({j,— a) COS — a) A- E sin — a ) ^ =

— ^ Z — E COS (jj. — a ) ^ (^E s i n a s i n (y. — a) ^ — ^ c o s (y. — a) + [

j

j

— ^ s i n a ^ Z — 7? COS (y*— a ) ^ - f 7l sin

y^j

( Z eus (;;. a ) ) ^si^{n a S}m ( t j , —^a) ^ Z — £ " cos a ) ^ -f- EZ cos p. -f- E sin —a) ^sin a ( Z — 7 l cos (jj.—a)) -f- 2i sin y. j j

= — E

^2-

— ^{j^Z}

a)^J

= — ^ Z cos (2 a — y) + 2? sin ( p . — a ) ^sin u. — 2 sin a cos (1;. — a ) ^

= — (Z cos (y. — 2 a ) + E sin (y. — «) sin ( p . — 2 x)j en remarquant que Z — 2? cos (y. — <*)=]/Ef — 77* s i n² ( p . — a ) — 7? cos (y. — a)

est nécessairement positif, puisque Eⁱ > E. P . D ,