1.2 Martingales remarquables et propri´ et´ es de Markov d’un PAISc` ad.

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Universit´e Paris-Dauphine 2009-2010

Cours de ”Processus Continus Approfondis” Janvier 2010

CHAPITRE 1 - LE MOUVEMENT BROWNIEN

Dans tout ce cours, le triplet (Ω,A,P) désigne un espace de probabilité, etEl’espérance associée.

1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es.

1.1 D´ efinition d’un processus de L´ evy, d’un processus de Poisson et du mou- vement Brownien.

Cette section est consacrée à la définition d’un processus de Lévy général, ainsi qu’à celles du mouvement Brownien et du processus de Poisson, vus comme cas particuliers de processus de Lévy. Il existe de nom- breuses autres caractérisations d’un mouvement Brownien et d’un processus de Poisson dont certaines seront vues dans la suite du cours.

Définition 1.1 Un processus de Lévy est un processusX = (Xt)t∈T à valeurs dans un espace mesuré(E,E) tel que

(a) il est `a accroissements ind´ependants (PAI);

(b) il est `a accroissements stationnaires (PAS);

(c) ses trajectoires sont continues à droites et admettent des limites à gauche (càdlàg);

(d)T= [0,∞),E=R^d etX0= 0.

On appelle ”taux de transition (de Lévy)” d’un PAISX (i.e. un processusX vérifiant (a) et (b)) la loi de Xt−X0, on note µt =P^X^t⁻^X⁰. Celui-ci ”caractérise” un PAIS: on parlera ainsi d’un ”PAIS de taux de transition (µt)t∈T”.

Définition 1.2 Un mouvement brownien réel standard(Bt)t≥0 est un processus de Lévy à valeurs dans R tel que

(c’) ses trajectoires sont continues;

(e) Bt∼ N(0, t)pour tout t >0: µt(dx) = 1

√2π te⁻^x

2

2t dx. En particulier, E(Bt) = 0 et var(Bt) = t pour toutt≥0.

Sauf précision expresse du contraire un ”mouvement brownien” désignera un ”mouvement brownien réel standard”. Nous renvoyons à la définition 1.21 pour une définition plus large du mouvement brownien.

Définition 1.3 Un processus de Poisson(Nt)t≥0 de paramètre/intensité λ >0 est un processus de Lévy à valeurs dansNtel que

(e’)µt∼ P(λt)pour toutt >0: P(Nt=n) =µt(n) =e⁻^{λ t}(λ t)ⁿ

n! .En particulier,E(Nt) =λ tet var(Nt) = t pour toutt≥0.

Voici maintenant quelques précisions concernant les notions utilisées dans la définition 1.2.

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Définition 1.4 (na¨ıve d’un processus) Pour le moment, un processus est juste une famille X = (Xt) indexée par t ∈T de v.a. à valeurs dans un espace mesurable d’états (E,E). On supposera dans ce cours T = R₊ ou T = [0, T], T > 0, (mais on pourrait prendre T = N, Z ou R, et même T =R^d dans le cas d’un processus de Poisson ”spatial”). On supposera également E =R^d (mouvement Brownien) ou E =N (processus de Poisson). On a doncX :T×Ω→E avec Xt: Ω→E mesurable pour toutt∈T.

Définition & Proposition 1.5 Un processus stochatique(Xt)t∈T est à accroissements indépendants (PAI) si

∀t1< ... < tk Xt1, Xt2−Xt1, ... , Xt_k−Xtk−1 sont indépendants, (1.1) ou, de manière équivalente, si

∀s < t Xt−Xs est indépendant de la tribu canonique Fs^X :=σ((Xu)u≤s). (1.2) Preuve de l’équivalence entre (1.1) et (1.2). D’après le théorème de classes monotones, l’assertion (1.2) est

´equivalent `a

∀t1< ... < tk Xt_k−Xtk−1 est ind´ependant de la tribu σ{Xt1, Xt2, ... , Xtk−1}, ou formul´e plus explicitement

E(f(Xt_k−Xtk−1)g(Xt1, ... , Xtk−1)) =E(f(Xt_k−Xtk−1))E(g(Xt1, ... , Xtk−1))

pour toutes fonctions def, g∈L⁰₊. En introduisant la fonctionh(y1, ..., yk−1) =g(y1, y1+y2, ..., y1+...+yk−1) on en déduit que (1.2) est équivalent à

E(f(Xtk−Xtk−1)h(Xt1, ... , Xtk−1−Xtk−2)) =E(f(Xtk−Xtk−1))E(h(Xt1, ... , Xtk−1−Xtk−2)) pour toutes fonctions de f, h ∈ L⁰₊. En utilisant la densité des fonctions tensorisées h(y1, ..., yk−1) = h1(y1)...hk−1(yk−1) (ou la densité des fonctions du type e^λ^·^X ou un argument de classe monotone ...) on obtient que (1.2) est équivalent à

E(f(Xtk−Xtk−1)h1(Xt1)... hk−1(Xtk−1−Xtk−2))

=E(f(Xt_k−Xtk−1))E(h1(Xt1)... hk−1(Xtk−1−Xtk−2))

pour toutes fonctionsf, h1, ..., hk−1∈L⁰₊. En itérant cette identité, on voit que cela est équivalent à E(f(Xt_k−Xtk−1)h1(Xt1)... hk−1(Xtk−1−Xtk−2))

=E(f(Xtk−Xtk−1))E(h1(Xt1))...E(hk−1(Xtk−1−Xtk−2)),

ce qui est pr´ecis´emment (1.2). ⊔⊓

D´efinition 1.6 Un processus stochatique(Xt)t∈T est `a accroissements stationnaires (PAS) si

∀t∈T, ∀h >0 la loi deXt+h−Xtne d´epend pas det.

Plus précisément, il existe une famille (µh) de lois de probabilité surE telle que pour tout t, h≥0 et toute fonctionφ∈L⁰₊ on a

E(φ(Xt+h−Xt)) = Z

E

φ(y)µh(dy).

Remarque 1.7 Attention, il ne faut pas confondre un processus stochatique(Xt)t∈T`a accroissements stationnaires avec - un ”processus stationnaire”, ce qui signifie que pour toutT, t1, ..., tnla loi de(Xt1+T, ..., Xtn+T)ne d´epend pas deT; - un ”processus stationnaire du second ordre”, ce qui signifie que EX_t² <∞pour tout t∈ Tet la fonction de covariance K(t, s) :=E[(Xt−EXt) (Xs−EXs)]est (seulement) une fonction det−spour toutt, s∈T.

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Définition 1.8 Etant donné un processusX = (Xt)t∈T, pour toutω∈Ωfixe, la fonction X(·, ω) :T→E, t7→Xt(ω)est appellée une trajectoire deX (correspondant à l’aléaω).

On dit qu’un processus stochatique(Xt)t∈T est - `a trajectoires continues si:

∀ω∈Ω l’application T→E, t7→Xt(ω)est continue, - à trajectoires continues à droite (càd) si:

∀ω∈Ω, ∀t∈T Xt(ω) = lim

ε→0,ε>0Xt+ε(ω), - à trajectoires admettant des limites à gauches (làg) si:

∀ω∈Ω, ∀t∈T, ∃ℓt,ω lim

ε→0,ε<0Xt+ε(ω) =ℓt,ω.

Comme cela ne porte pas à ambigu¨ıté, on omettra souvent de préciser “à trajectoires”: on dira simplement queX est un processus continu, càd, làg ou càdlàg.

Définition 1.9 On dit qu’un vecteur aléatoire Y à valeurs dans R^d suit une loi gaussienne centrée et de variance σ >0, on note Y ∼ N(0, σ), ou pour être plus précisY ∼ N(0, σ I), si

P^Y(dy) =gσ(y)dy, gσ(y) := e⁻^|y|

2 2σ

(2πσ)^d/2.

Le but de ce chapitre est d’étudier parallèlement quelques propriétés du mouvement Brownien et des processus à accroissements stationnaires et indépendants à trajectoires continues à droite (PAIScàd). Ceux-ci forment une classe plus vaste puisqu’elle contient, entre autres, le mouvement Brownien, les processus de Poisson (étudiés au chapitre 3) mais également les marches aléatoires et les processus de Lévy. L’intérêt de cette étude simulatannée est d’une part de bien faire ressortir dans les propriétés du mouvement brownien ce qui est conséquence de son caractère PAIScàd et ce qui est conséquence de son caractère plus spécifique

”gaussien” et/ou ”à trajectoires continues”, et d’autre part, de pouvoir utiliser les résultats obtenus ici lors de l’étude des processus de Poisson dans les prochains chapitres.

1.2 Martingales remarquables et propri´ et´ es de Markov d’un PAISc` ad.

Définition 1.10 On dit qu’un processus (Xt)t∈T est sommable (ou intégrable) si E(|Xt|) <∞ pour tout t ∈ T, on note X ∈ L¹. Dans la suite, tous les processus seront sommables, et on oubliera donc souvent de le préciser. On dit qu’un processus est centré si E(Xt) = 0 pour tout t ∈ T. On dit qu’un processus (Xt)t∈T est de carré sommable siE(|Xt|²)<∞pour toutt∈T, on noteX ∈L².

Lemme 1.11 Soit X un PAISc`ad de carr´e sommable. Alors il existeλ∈R etσ≥0 tels que

∀t≥0 E(Xt−X0) =λ t, var(Xt−X0) =σ t.

Preuve du Lemme 1.11. En effet, montrons par exemple la première identité, et on peut supposer X0= 0 (sinon le translatéXt−X0 est encore un PAIScàd). Pourt=p, q∈N, on a

E(Xp) =E(Xp−Xp−1) +...+E(X1) =p E(X1), E(X1) =E(X1−X1−1/q) +...+E(X1/q) =q E(X1/q), d’où on déduitE(Xt) = t E(X1) pour tout t∈Q⁺, puis pour toutt∈R⁺ par l’hypothèse de continuité à droite. De même, en posantYt=Xt−EXt, on a pour toutp∈N,

E(Y_p²) = E((Yp−Yp−1)²) + 2E(Yp−Yp−1)E(Yp−1) +E((Yp−1)²)

= E((Yp−Yp−1)²) +...+E((Y1)²) =p E((Y1)²),

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et on conclut comme précédemment. ⊔⊓ Les martingales constituent une classe très importante de processus car elles possèdent des propriétés de régularités locales (voir notamment la section consacrée aux “inégalités maximales de Doob”) et de com- portement asymptotique (voir le cours de “processus discrets”) tout à fait remarquables, qui en font un outil puissant.

D´efinition 1.12 Soit X un processus et(Ft^X)sa filtration canonique. Un processus stochatique(Mt)t∈T est une F^X-martingale si (Mtest sommable, Ft^X-mesurable/adapt´e et)

∀t≥s E(Mt|Fs^X) =Ms.

Lorsque M est uneF^M-martingale, on dira juste queM est une martingale.

Commen¸cons par un résultat ”très général”, puisqu’il ne repose que sur la seule propriété d’accroissements indépendants.

Proposition 1.13 Soit (Xt)t∈T un PAI.

(i) - Si (Xt) ∈ L¹ pour tout t ∈ T, alors le processus Mt := Xt−EXt est une martingale centr´ee; en particulierBtest une martingale.

(ii) - SiXt∈L² pour toutt≥0, alors le processusM_t²−E(M_t²)est uneFt^X-martingale centr´ee;

(iii) - Si e^{u X}^t ∈ L¹, pour tout t ≥0 et un certain u ∈ R, alors le processus e^{z X}^t/E(e^{z X}^t) est une Ft^X- martingale pour toutz∈C,ℜe z=u.

Exercice 1.14 Appliquer la proposition 1.13 aux processus de Poisson et Brownien.

- En particulier,Bt,B_t²−t,e^{u B}^te⁻^u²^t/²ete^{i u B}^te^u²^t/² sont desF_t^B-martingales pour toutu∈R.

- En particulier,Nt−λ t, (Nt−λ t)²−λ t,a^N^te⁻^{a t}sont desF_t^N-martingales pour touta∈C.

Preuve de la Proposition 1.13. (i) - On a en effet

E(Mt|Fs^M) = E(Xt−Xs|Fs^X) +E(Xs|Fs^X)−EXt

= E(Xt−Xs) +Xs−EXt=Xs, puisque Ft^M =Ft^X.

(ii) - Pour toutt > s, on a d’une part puisqueMt est centr´ee E(M_t²|Fs^X) = E((Mt−Ms+Ms)²|Fs^X)

= E((Mt−Ms)²) + 2 (E(Mt−Ms))Ms+M_s²

= E((Mt−Ms)²) +M_s², et de la mˆeme fa¸con

E(M_t²) = E((Mt−Ms)²) + 2 (E(Mt−Ms))E(Ms) +E(M_s²)

= E((Mt−Ms)²) +E(M_s²).

On conclut en prenant la diff´erence de ces deux identit´es et en remarquant queE(M_t²) =E(B_t²) =tlorsque X =B.

(iii) - Pour toutt > s, on a d’autre part,

E(eûX^t|Fs^X) = E(eû(X^t⁻^X^s⁾eûX^s|Fs^X) = E(eû(X^t⁻^X^s⁾)eûX^s,

(5)

et de la mˆeme fa¸con

E(eûX^t) =E(eû(X^t⁻^X^s⁾ eûX^s) =E(eû(X^t⁻^X^s⁾)E(eûX^s).

On conclut en prenant le quotient de ces deux identités et en remarquant que E(eûB^t) = eû²^t/2 lorsque

X =B. ⊔⊓

Les processus de Lévy (resp. les PAIScàd) jouissent d’une version”particulièrement agréable et puissante”

de la propriété de Markov qui affime qu’un processus de Lévy (resp. un PAIScàd) ”renaˆıt tout neuf de ses temps d’arrêt”. Nous donnons dès à présent un premier résultat qui correspond à un ”temps d’arrêt déterministe”(et qui ne nécessite pas d’hypothèse de régularité). Ce résultat sera généralisé ultérieurement

`

a un temps d’arrêt aléatoire (Théorème 3.14).

Théorème 1.15 SoitX = (Xt)t∈Tun processus etT ∈Tun temps fixe. On définit le processusY = (Yt)t∈T

parYt:=Xt+T −XT,∀t∈T.

- SiX est un PAI alorsY est un PAI de mˆeme taux de transition.

- SiX est un PAS alors Y est un PAS ind´ependant deFT^X.

- La régularité des trajectoires deY est la même que celle des trajectoires deX.

En particulier, siX est un processus de Lévy (resp. un PAIScàd) alors Y est un processus de Lévy (resp.

un PAIScàd) de même taux de transition queX et indépendant de FT^X.

Preuve du Théorème 1.15. Le caractère stationnaire des accroissements résulte de Yt−Ys = XT+t−XT+s ∼ Xt−s−X0 ∼ µt−s.

D’une part, pour une suite de tempst1< ... < tk et des fonctions bor´eliennes positivesf1, ... ,fk, on a E(f1(Yt1)f2(Yt2−Yt1).... fk(Ytk−Ytk−1)) =

=E(f1(Xt1+T −XT)f2(Xt2+T −Xt1+T).... fk(Xtk+T −Xtk−1+T))

=E(f1(Xt1+T −XT))E(f2(Xt2+T−Xt1+T))....E(fk(Xtk+T −Xtk−1+T))

=E(f1(Yt1))E(f2(Yt2−Yt1))....E(fk(Yt_k−Ytk−1)),

ce qui démontre que Y est à accroissements indépendants. D’autre part, pour Z une va positive F^T- mesurable, 0≤t1< ... < tk une suite de temps etF une fonction borélienne positive, on a

E(Z F(Yt1, ..., Ytk)) = E(Z F(Xt1+T −XT, ..., Xtk+T−XT))

= E(Z)E(F(Xt1+T−XT, ..., Xtk+T −XT))

= E(Z)E(F(Yt1, ..., Yt_k)),

ce qui d´emontre que Y est ind´ependant de la tribuFT^X. ⊔⊓

1.3 Mouvement brownien et processus gaussiens.

Nous donnons maintenant plusieurs autres caract´erisations d’un mouvement brownien qui reposent sur son caract`ere ”gaussien”.

Définition 1.16 On appelle ”loi d’un processus” stochatique (Xt)t∈T la ”famille des lois marginales de dimension finie”, c’est-à-dire, la famille des loisµ^J des vecteursX^J := (Xt)t∈J lorsqueJ parcours P_f(T) l’ensemble des parties finies de T. En d’autres termes, J = {t1, ..., tk} est un sous-ensemble fini de T, t1< ... < tk et X^J = (Xt1, ..., Xtk)est une va à valeurs dansE^J et de loi µ^J.

- On dit que deux processus X et Y ont mˆeme loi, on note X ∼ Y, si X^J ∼ Y^J pour tout J ⊂ P^f(T).

Attention,cela ne signifie pas que X =Y.

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D´efinition 1.17 Un processus stochatique (Xt)t∈T est gaussien si ses lois marginales de dimension finie sont des vecteurs gaussiens. Un processus stochatique(Xt)t∈T est donc gaussien si

∀t1< ... < tk le vecteur (Xt1, ... , Xtk) est gaussien, c’est-`a-dire si

∀tj ∈T, ∀uj∈R la va X

ujXtj est gaussiennne.

Voici plusieurs autres caract´erisations d’un mouvement brownien.

Proposition 1.18 Soit X = (Xt)t≥0 un processus r´eel continu tel que X0 = 0. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

(i)X est un mouvement brownien;

(ii) X est un processus gaussien centr´e et de covariance

E(XtXs) = min(s, t) =s∧t ∀s, t≥0;

(iii) les marginales deX satisfont: ∀t1, ..., tn,0 =t0≤t1< ... < tn,

(Xt1, ... , Xtn−Xtn−1)∼ N(0, A), Ajk= (tk−tk−1)δjk; (iv) pour toutt1, ..., tn, 0≤t1< ... < tn et toutes fonctions f1, ..., fn ,

E(f1(Xt1)... fn(Xtn)) = Z

R^nd

f1(x1)... fn(xn)gt1(x1)... gtn−tn−1(xn−xn−1)dx1... dxn; (v) pour tout u∈Rle processus e^{i u}^·^X^te^|^u^|²^t/2 est une martingale.

Preuve de la Proposition 1.18. (i)=⇒(ii). X est alors un processus centr´e et gaussien puisque pour toutu1, ..., un∈R^d

XuiXti =X

vi(Xti−Xti−1) +v1Xt1

est une va gaussienne comme somme de va gaussiennes ind´ependantes, et sit > s≥0 E(XtXs) =E(Xt−Xs)E(Xs) +E(X_s²) =s.

(ii) =⇒ (iii). La loi d’un processus gaussien est défini par sa moyenne et sa covariance qui viennent d’être identifiés. Plus précisément, le vecteurY := (Y1, ..., Yn),Yj :=Xtj −Xtj−1, est gaussien centré, de matrice de covarianceAjk= (tj−tj−1)δjk puisque

E(Y_i²) =E(X_t²_j)−2E(XtjXtj−1) +E(X_t²_j−1) =tj−2tj−1+tj−1=tj−tj−1, et pourj > k

E(YjYk) =E[XtjXtk−XtjXtk−1−Xtj−1Xtk+Xtj−1Xtk−1] =tk−tk−1−tk+tk−1= 0.

Cela implique bienY ∼ N(0, A).

(iii)=⇒(i). Il suffit d’une part de remarquer que pour toutφ∈Cb(R) et puisque (Xt+h−Xt, Xt) est un vecteur gaussien de loi connue

E(φ(Xt+h−Xt)) = Z

R²

φ(y2)gt(dy1)gh(dy2)dy1dy2= Z

R

φ(y)gh(dy)dy

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ce qui signifie bien que Xt est un PAS de taux de transition la loi gh(x)dx. D’autre part, pour tout φ1, ..., φn∈Cb(R) on a

E(φ1(Xt1)... φn(Xtn−Xtn−1)) = Z

Rⁿ

φ1(y1)... φn(yn)gt1(y1)... gtn−tn−1(yn)dy1... dyn

= Z

R

φ1(y1)gt1(y1)dy1...

Z

R

φn(yn)gtn−tn−1(yn)dyn

= E(φ1(Xt1))...E(φn(Xt_n−Xtn−1)), ce qui signifie que (Xt) est un PAI.

(iii)⇐⇒ (iv). Cela r´esulte d’un changement de variables. Partant de (iii), on a

E[φ(Xt1, ..., Xtn)] = E[φ(Xt1, Xt1+ (Xt2−Xt1), ..., Xt1+...+ (Xtn−Xtn−1))]

= Z

Rⁿ

φ(y1, ..., y1+...+yn)gt1(y1)... gtn−tn−1(yn)dy1...dyn

= Z

Rⁿ

φ(x1, x2, ..., xn)

n

Y

k=1

gtk−tk−1(xk−xk−1)dxk

où on a effectué le changement de variables (y1, ..., yn) → (x1, ..., xn), xk = y1+...+yk (de sorte que yk =xk−xk−1). inversement, par densité, de (iv) on déduit

E(φ(Xt1, ..., Xtn)) = Z

Rⁿ

φ(x1, ..., xn)

n

Y

k=1

gtk−tk−1(xk−xk−1)dxk, puis

E(ψ(Xt1, ..., Xtn−Xtn−1) = Z

Rⁿ

φ(x1, ..., xn−xn−1)

n

Y

k=1

gtk−tk−1(xk−xk−1)dxk

= Z

Rⁿ

φ(y1, ..., y−n)

n

Y

k=1

gtk−tk−1(yk)dyk,

où on a effectué le changement de variables (x1, ..., xn)→(y1, ..., yn),yk=xk−xk−1, ce qui est précisément (iii).

(i)=⇒ (iv). Cela a déjà été démontré dans la Proposition 1.13.

(v) =⇒ (iii). L’hypothèse s’écritE(e^{i u}^(X^t⁻^X^s⁾|Fs^X) = e⁻û²^(t⁻^s)/2 pour toutu ∈R, s < t∈ T. On écrit pouru1, ..., uk∈Ret t1< ... < tk ∈T

E

e^{i u}^k^(X^tk⁻^X^tk−1⁾e^{i u}^k−1^(X^tk−1⁻^X^tk−2⁾... e^{i u}¹^(X^t¹⁾

=E E

e^{i u}^k^(X^tk⁻^X^tk−1⁾|Ft^Xk−1

e^{i u}^k−1^(X^tk−1⁻^X^tk−2⁾... e^{i u}¹^(X^t¹⁾

=E

e^{i u}^k−1^(X^tk−1⁻^X^tk−2⁾... e^{i u}¹^(X^t1⁾

e⁻^u²^k^(t^k⁻^t^k−1^)/2

= . . . .

=e⁻û²^k^(t^k⁻^t^k−1^)/2e⁻û²^k^(t^k−1⁻^t^k−2^)/2... e⁻û²¹^t¹^/2.

On en conclut que (Xtk−Xtk−1, Xtk−1 −Xtk−2, ... , Xt1) suit une loiN(0, A) puisque un vecteur al´eatoire

est caractérisé par sa transformée de Fourier. ⊔⊓

Proposition 1.19 SiB est un mouvement brownien, il en est de mˆeme pour 1. Xt:=a⁻¹Ba²tpour tout a6= 0;

2. Xt=Bt+t0−Bt0,t0>0;

3. Xt:=BT−t−BT,t∈[0, T];T >0.

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Preuve de la Proposition 1.19. Le résultat découle de la caractérisation d’un mouvement Brownien en

terme de processus gaussien. ⊔⊓

Proposition 1.20 Soit X = (Xt)t≥0 = (X_t¹, ..., X_t^d) un processus `a valeurs dans R^d. Alors X est un mouvement brownien si, et seulement si,

(i)X^k est un mouvement brownien r´eel pour tout k= 1, ..., d;

(ii) les processus X¹, ...,X^d sont ind´ependants.

Preuve de la Proposition 1.20. En revenant à la définition du mouvement brownien, il est clair (i) et (ii) implique que X est un mouvement brownien à valeurs dans R^d. Il reste à démontrer que si X est un mouvement brownien alors les processus X¹, ..., X^d sont indépendants. Or on a pour j 6= k, u, v ∈R et disonss≤t

E(e^{i u X}^s^je^{i v X}^t^k) = E(e^{i u X}^s^j^{+i v X}^s^ke^{i v}^(X^t^k⁻^X^s^k⁾)

= E(e^{i u X}^s^j^{+i v X}^s^k)E(e^{i v}^(X^t^k⁻^X^s^k⁾) (X est un PAI)

= E(e^{i u X}^s^j)E(e^{i v X}^s^k)E(e^{i v}^(X^t^k⁻^X^s^k⁾) (Xs∼ N^d(0,1) ⇒ X_s^j ⊥⊥X_s^k)

= E(e^{i u X}^s^j)E(e^{i v X}^s^ke^{i v}^(X^t^k⁻^X^s^k⁾) (X est un PAI)

= E(e^{i u X}^s^j)E(e^{i v X}^t^k),

et on conclut par un argument de densit´e. ⊔⊓

Définition 1.21 On appelle parfois mouvement brownien (général) de condition initiale X0, de dérive µet d’écart type σun processus continuX à accroissements stationnaires et indépendants et tel que

Xt−X0 ∼ N^d(µ t, σ I).

On passe d’un mouvement brownien B (standard issu de 0) à un mouvement brownien (général) en con- sidérant une va X0 indépendante de B, une dérive µ ∈ R et un écart type σ > 0 et en introduisant le processus Xt:=Bσt+µ t+X0.

Exercice 1.22 [Dur2, page 245]

a) Montrer que Xt :=Bt−t B1, 0 ≤ t ≤1, (pont brownien) et Yt := ({Bt,0 ≤t ≤1}|B1 = 0) sont des processus gaussiens de moyenne nulle et de variance s(1−t).

b) EtudierZt:=e⁻^tBe^2t.

Il est possible de d´evelopper directement (sans lire les sections 2, 3, 4) le calcul stochastique brownien.

Le seul résultat nécessaire est l’inégalité maximale de Doob présentée dans la section 6 et qui permet de démontrer la continuité de l’intégrale stochastique. Ce résultat peut être omis en première lecture.

Nous allons présenter dans la suite de ce chapitre trois propriétés remarquables - la loi du tout ou rien;

- la propri´et´e de Markov forte;

- le théorèmes d’arrêt (ou échantillonage) et des inégalités maximales de Doob.

Pour formuler ces r´esultats nous allons avoir besoin de la notion defiltration, de temps d’arrˆet et enfin de (sous-)martingales.

2 Loi du 0 -1 et applications

Pour aller un peu plus loin nous allons avoir besoin de la notion de filtration, ce qui va nous permettre de généraliser la notion de Martingale, et de la notion detemps d’arrêt, ce qui va nous permettre d’énoncer la propriété de Markov forte.

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2.1 Th´ eor` eme du ”tout ou rien” ou loi du 0 -1 de Blumenthal

Théorème 2.1 (Loi 0-1 de Blumenthal) Soit(Xt)t>0un PAIcàd tel queX0= 0. AlorsF0+^X est triviale:

pour toutA∈ F⁰⁺ on aP(A)∈ {0,1}, o`u on a pos´e F0+^X :=\

s>0

Fs^X = \

s>0, s∈Q

Fs^X.

Preuve du théorème 2.1. Par définition on aXs−Xε⊥ F^εpour touts > ε >0, doncXs−Xε⊥ F⁰⁺

(puisque F⁰⁺ ⊂ F^ε). Par un lemme du chapitre 0 (qui résulte du théorème de la classe monotone) on en déduit B^t := σ(Xs−Xu; 0 < u < s ≤ t) est indépedant de F⁰⁺. Or comme par hypothèse Xs = Xs−X0= limε→0(Xs−Xε), la fonctionXsestB^t-mesurable (comme limite de fonctionsB^t-mesurables), et doncB^t=F^t. On a donc démontréF^t⊥ F⁰⁺, et encore une fois l’inclusionF⁰⁺⊂ F^timpliqueF⁰⁺⊥ F⁰⁺.

Cela implique imm´ediatement queF⁰⁺est triviale. ⊔⊓

2.2 Application du th´ eor` eme du ”tout ou rien”.

Th´eor`eme 2.2 (Visites) (i) On a p.s. pour tout ε >0 sup

0≤s≤ε

Bs>0, inf

0≤s≤εBs<0.

(ii) Pour touta∈R, soit Ta = inf{t, Bt=a} (inf∅=∞). Alors p.s., ∀a∈R, Ta <∞. (iii) En cons´equence, p.s.

lim sup

t→∞ Bt= +∞, lim inf

t→∞ Bt=−∞.

Preuve du théorème 2.2. Par symétrie (−B∼B) on peut ne traiter que le ”cas positif”.

(i) Considérons l’événement

A:=\

n

{ sup

0≤s≤1/n

Bs>0}. Alors d’une partAest clairementF⁰⁺-mesurable, et d’autre part

P(A) = lim

n→∞P({ sup

0≤s≤1/n

Bs>0})≥ 1 2 puisque pour toutn∈N^∗

P({ sup

0≤s≤1/n

Bs>0})≥P({B_1/n>0}) =1 2. Le théoème 2.1 permet de conclure queP(A) = 1 et donc (i) est démontré.

(ii) De (i) et de la propriété de changement d’échelle de la Proposition 1.19, on tire que pour touta >0 1 = P[ sup

s≥0

Bs>0 ] = lim

δց0P[ sup

s≥0

Bs≥a δ]

= lim

δց0P[ sup

s≥0

δ Bδ⁻²s≥a δ] = lim

δց0P[sup

t≥0

Bt≥a] =P[sup

t≥0

Bt≥a].

Par continuit´e de la trajectoire cela implique que p.s. il existe Ta ∈ R₊ tel que BTa =a, en particulier Ta<∞.

(iii) se d´eduit du fait que{lim sup_t_→∞Bt= +∞}= limn→∞{Tn<∞}. ⊔⊓ Corollaire 2.3 Btn’est monotone sur aucun intervalle.

Corollaire 2.4 Btest r´ecurrent.

(10)

3 Filtration, temps d’arrˆ et et propri´ et´ e de Markov forte.

Dans la suite on va souvent supposer que les processus considérés sont càd. Cette hypothèse (peu restrictive) permet de montrer qu’un processus adapté est mesurable par rapports aux deux variables (t, ω) et par rapport à la tribu progressive ... . Cette seule hypothèse permettrait également de développer la théorie des tda, martingales, ... .

3.1 Filtration et processus adapt´ e.

D´efinition 3.1 Une filtration sur(Ω,A)est une famille croissante(F^t)t∈Tde sous-tribus deA. Si(Xt)t∈T

est un processus alors Ft^X:=σ(Xu,0≤u≤t)est une filtration, appell´ee filtration canonique.

Remarque 3.2 Une filtration représente la quantité d’information connue à chaque instant.

Définition 3.3 Soit F = (F^t)t∈T une filtration. Un processusX = (Xt)t∈T est adapté à la filtration F si Xt estF^t mesurable pour toutt∈T.

Remarque 3.4 Un processusX est adapté à la filtration canoniqueF^X, et celle-ci est la plus petite filtration F qui fait deX un processus F-adapté.

Une question naturelle se pose: pourquoi se compliquer la vie en prenant une filtration différente de la filtration σ(Bs,0≤s≤t)? Il y a trois réponse à cela.

1. Cela permet de considérer simultanément plusieurs processus, et de définir les notions de temps d’arrêt, de martingale, ...

par rapport `a l’information contenue dans l’ensemble de ...

2. On souhaite que la filtrationF satisfasse la propri´et´e suivante:

A∈A et P(A) = 0 implique ∀t∈T A∈ Ft.

Ceci exprime queFt contient tous les ensembles de mesure nulle deA. Le but de cette hypothèse est de pouvoir affirmer que siX=Y Pp.s. et queY estFt-mesurable alorsX est égalementFt-mesurable. En particulier, cela permet d’affirmer que si (Xn) est une suite de processus adaptés à une filtrationF qui est de Cauchy, au sens de la normeL²(Ω) par exemple, alors (Xn) converge vers une limiteX dans L²(Ω), et X est encore un processus adapté! Cette hypothèse est fondamentale pour construire l’intégrale stochastique. Afin de s’assurer queFsatisfasse cette propriété, il suffit de prendre

F_t^X:=σ(Xs;s≤t)∨σ(N),

oùN désigne l’ensemble des ensembles négligeables deA (où doncA est une tribu supposée complète). NON. Le problème est plutôt au niveau des propriétés de continuité des trajectoires. On a besoin deXcontinue ou càd pour que les temps d’atteintes soient des tda. Or pour construire des processus càd on utilise l’inégalité de Doob faisant intervenir des temps ”postérieurs”, ce qui implique qu’on arrive à démontrer la continuité que sur un ensemble Ω\N avec N ∈ F∞ etP(N) = 0. Il faut donc adjoindre àFtau minimum les négligeables deF∞(mais là encore, pas besoin de compléter la tribu!).

3. Une dernière propriété agréable est queFsatisfasse:

Fest continue `a droite (c`ad): ∀t≥0, Ft=\

s>t

Fs.

Cette propriété permet d’avoir∀t >0 {T ≤t} ∈ Ft si, et seulement si,∀t >0{T < t} ∈ Ft. Elle permet également de montrer le théorème d’arrêt (ou d’échantillonnage) pour les martingales (sans supposer de régularité sur celles-ci).

3.2 Temps d’arrˆ et.

D´efinition 3.5 Soit F = (F^t)t≥0 une filtration. Un temps d’arrˆet pour la filtration F, on dira un F-tda, est une application T : Ω→[0,+∞] telle que{T ≤t} ∈ F^t pour toutt≥0.

(11)

Remarque 3.6 - SiT est un tda alors

∀t >0 {T < t}= [

q∈Q, q<t

{T ≤q} ∈ F^t. (3.1)

- SiT est un tda alors{T ≥t},{T > t} ∈ Ft.

- SiT satisfait (3.1) alorsT n’est pas n´ecessairement un tda. On a seulement

∀t≥0 {T≤t}= \

q∈Q, q>t

{T < q} ∈ F_t+:= \

s>t

Fs.

Ainsi, siF est c`ad on a :T est un tda si, et seulement si,{T < t} ∈ Ft pour toutt≥0.

Lemme 3.7 SoitF une filtration etT unF-tda. Il existe une suite(Tn)deF-tda telle queTn est `a valeurs dans{k2⁻ⁿ;k∈N} ∪ {+∞} etTnցT. De plus, siT est fini ps alors (Tn)aussi

Preuve du Lemme 3.7. Il suffit de poser

Tn(ω) =k2⁻ⁿ si (k−1) 2⁻ⁿ≤T < k2⁻ⁿ. En effet, pour toutt≥0, en d´efinissanttn:= [2ⁿt] 2⁻ⁿ ≤t, on a

{Tn≤t}={Tn≤tn}={T < tn} ∈ F^tn⊂ F^t.

⊓

⊔ Exemples 3.8 1. Une vaT constante est un tda;

2. Pour touta∈R, la fonction Ta définie dans le Théorème 2.2 est un tda (voir lemme 3.9);

3. On peut monter queT := sup{s≤1, Bs= 0} n’est pas un tda (voir ?).

Lemme 3.9 Pour touta∈R, la fonctionTa : Ω→[0,∞] d´efinie par Ta(ω) := inf{s;Bs(ω) =a} est une va et unF^B-tda p.s. fini.

Preuve du Lemme 3.9. En effet, puisqueB0= 0 etBsest continue (siBs est continu∀ω), on a inf{s;Bs=a} ≤t ⇔ ∃s∈[0, t] Bs=a ⇔ sup

s∈[0,t]

Bs ≥a,

ce qui implique

{ω; Ta(ω)≤t}={ω; sup

s∈[0,t]

Bs(ω) ≥a}.

Pour toutt ∈ R₊, commeBs est F^t-mesurable pour tout s∈ [0, t], on a sup_s_∈_[0,t]Bs est F^t-mesurable, et donc{Ta≤t} est F^t-mesurable. L’ensemble {Ta =∞} ={sup_s_≥₀Bs < a} est ´egalement mesurable (pour la tribuF∞^B ⊂A) et donc Ta est une va (on peut ´egalement remarquer que{Ta =∞}= Ω\ ∪ⁿ{Ta≤n}).

Enfin, le Th´eor`eme 2.2 affirme queTa <∞ps. ⊔⊓

Généralisons un peu ce résultat.

Lemme 3.10 Soit F une filtration,X un processusF-adapté càd à valeurs dans un espace métrique(E,E) de valeur initiale X0 certaine. Pour un ensemble A ∈ E on définit le temps d’atteinte TA : Ω → [0,∞] par TA(ω) := inf{s;Xs(ω) ∈ A} et on définit le temps de contact TÃ : Ω → [0,∞] par TÃ(ω) :=

inf{s; (Xu(ω))0≤u≤s∩A6=∅}.

1 - SiO un ensemble ouvert deE alorsTO est unF^t⁺-tda.

2 - SiF un ensemble fermé deE etX est càdlàg ou siF est un ensemble compact alorsT˜F est unF-tda.

3 - En particulier, siF un ensemble ferm´e de E etX est continu alors TF = ˜TF est unF-tda.

(12)

Preuve du Lemme 3.10. 1. Grâce à la continuité à droite, on a {TO< t}= [

s∈[0,t[∩Q

{Xs∈O},

o`u tous les ensembles sont dansF^t, donc{TO< t} ∈ F^tpour toutt≥0 et{TO≤t} ∈ F^t⁺ pour toutt≥0.

2. Par d´efinition, on a

{T˜F ≤t} = {d( (Xs(ω))0≤s≤t, F) = 0},

puisque les deux ensembles considérés sont fermés et l’un au moins est compact. Il s’ensuit

{T˜F≤t} = { inf

s∈[0,t]d(Xs, F) = 0}

= {∀ε >0, ∃s∈[0, t] d(Xs, F)≤ε}

= \

ε∈Q⁺

[

s∈[0,t]∩Q

{ω; d(Xs(ω), F)≤ε},

et tous ces ensembles appartiennent `a F^tpuisqueω7→d(Xs(ω), F) estF^s-mesurable. ⊔⊓

3.3 Variable arrˆ et´ ee, tribu arrˆ et´ ee et propri´ et´ e de Markov forte.

Définition 3.11 Soit F une filtration, F∞ :=∨F^t, T un F-tda ps fini et X un processus càd F-adapté.

On d´efinit

- (i) la tribu F^T des événements antérieurs à T parF^T :={A∈ F∞; ∀t≥0, A∩ {T ≤t} ∈ F^t}; - (ii) la vaXT du processus arrété en T par(XT)(ω) :=XT(ω)(ω).

Lemme 3.12 Sous les hypoth`eses de la d´efinition 3.11 on a

- (i) F^T est une tribu, et siS est un autre tda tel queS≤T alors F^S⊂ F^T; - (ii)T est une vaF^T-mesurable.

- (iii) XT est une va F^T-mesurable.

Preuve du Lemme 3.12. (i). Pour montrer queF^T (ouF^S) est une tribu il suffit d’´ecrire ce que sont les axiomes d’une tribu! De plus, siA∈ F^S et S≤T alors

∀t∈T A∩ {T ≤t}= (A∩ {S≤t})∩ {T ≤t} ∈ F^t∩ F^t⊂ F^t, de sorte queA∈ F^T, et doncF^S ⊂ F^T.

(ii). Montrer queT est F^T-mesurable revient juste à dire que{T ≤s} ∈ F^T pour touts∈R₊, or cela est clair d’après la définition deF^T puisque{T ≤s} ∩ {T ≤t}={T ≤t∧s} ∈ F^t ∀t∈R₊.

(iii). Soit (Tn) la suite de tda construite au Lemme 3.9 telle queTnցT. Nous allons montrer successivement que XTn∧t est F^t-mesurable, XT∧t est F^t-mesurable puis XT est F^T-mesurable. Pour tout t ≥ 0 et en introduisant les notationstn:= [2ⁿt] 2⁻ⁿ,t^k_n:=k2⁻ⁿ, on a

XTn∧t = XTn1Tn≤t+Xt1Tn>t= X

k, t^k_n≤tn

XTn1T_n=t^k_n+Xt1Tn>tn

= X

k, t^k_n≤tn

Xt^k_n1_t^k−1

n ≤T <t^k_n+Xt1T≥tn