Gamma

ET TOMOGRAPHIE

Travaux pratiques avancés I-II (PHQ560-660)

Professeur : Jerey Quilliam Coordonnateur : Guy Bernier

Département de physique Faculté des Sciences

Université de Sherbrooke

©Guy Bernier 2019

2 Théorie 3

2.1 Les sourcesγ . . . 4

2.1.1 Le Cs¹³⁷ . . . 4

2.1.2 Le Co⁶⁰ . . . 5

2.1.3 Le Na²² . . . 5

2.2 Diusion Compton . . . 6

2.3 Détection desγ . . . 7

2.3.1 La photofraction . . . 8

2.4 Comportement relativiste des électrons . . . 9

2.5 Tomographie par émission de positrons . . . 10

2.5.1 Principe de fonctionnement . . . 10

2.6 La détection en coïncidence. . . 12

3 Partie expérimentale 16 3.1 Partie I : Spectresγ des sources de Co⁶⁰, Na²² et Cs¹³⁷ . . . 16

3.2 Partie II : Diusion Compton . . . 18

3.3 Partie II : Tomographie par émission de positrons . . . 19

3.3.1 Résolution temporelle . . . 20

3.3.2 Intensité vs distance des détecteurs . . . 20

3.3.3 Résolution spatiale . . . 20

3.3.4 Cartographie bi-dimensionnelle . . . 20

Annexe A La section ecace diérentielle 22

[Radioactivité] : Respecter les consignes de radioprotection qui vous seront données par le moniteur.

[Femme enceinte] : Ne pas faire cette expérience si vous êtes enceinte.

1 Introduction

Vous avez probablement tous utilisé un compteur Geïger pour détecter la présence de radio- activité. Ce type de compteur est cependant incapable de quantier l'énergie des particules détectées. Dans cette expérience, nous utiliserons un détecteur à scintillation qui lui permet d'accéder au spectre d'énergie des particules émises lors d'une désintégration nucléaire. Nous débuterons donc par l'étude de quelques spectres de sources radioactives.

Par la suite, nous nous intéresserons à la diusion Compton. Il s'agit de la collison entre un photon de haute énergie et d'un électron périphérique d'un atome. Lors de cette collision, l'électron est éjecté de l'atome emportant avec lui une certaine énergie cinétique. Le photon lui, est diusé. Il voit son énergie diminuer selon l'angle qui sépare les trajectoires des deux particules après la collision. Cette expérience fut décisive dans la communauté des physiciens pour se convaincre que la lumière peut se comporter comme une particule dont l'énergie est proportionnelle à sa fréquence.

Nous terminerons par une application de la radioactivité en imagerie médicale. Un positron et un électron peuvent s'annihiler pour émettre deux photons dans des directions diamé- tralement opposées. La détection simultanée de ces photons selon une direction particulière nous renseigne sur la position où se trouvait le positron. Nous mettrons donc à prot ce phénomène pour eectuer une cartographie bi-dimensionnelle d'une plaque contenant deux sources radioactives.

2 Théorie

La radiation gamma (rayons-γ) est une onde électromagnétique composée de photons dont la longueur d'onde est très petite : pour des photons de 1 MeV on trouveλ≈1240×10⁻¹³cm ou encore λ= 1240 fm. Tout noyau stable se trouve dans son état fondamental et n'émet rien à moins de subir une excitation par bombardement de particules à grande énergie. Le laboratoire ne possédant pas d'accélérateur pour exciter des noyaux, il faut recourir à une autre méthode pour obtenir des rayons gamma. Il s'agit du phénomène d'émission de rayons bêta, qui résulte de la désintégration de noyaux instables. Trois sources sont disponibles au laboratoires, le Cs¹³⁷, le Co⁶⁰ et le Na²².

Les deux types de désintégration bêta, β⁺ et β⁻, sont présentés à la gure suivante. Les noyaux d'azote 14 et de bore 10 produits sont dans des états excités. C'est en retombant à

l'état fondamental qu'ils émettront des rayons-γ. Les rayons-γ sont donc des sous-produits résultant de la désintégration d'un noyau.

+ + +

+ +

β ν

+ +

Carbone-14 Azote-14

Antineutrino

Désintégration bêta moins

Électron

6 protons

8 neutrons 7 protons

7 neutrons

6 protons

4 neutrons 5 protons

5 neutrons

β ν + +

+ +

−

Carbone-10 Bore-10

Neutrino

Désintégration bêta plus

Positron +

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + + +

+ + +

+ +

Les noyaux sont composés de protons et de neutrons retenus ensemble par les forces nu- cléaires aussi appelées interactions fortes et plus récemment interactions hadroniques . Ils se présentent généralement sous la forme d'une sphère mesurant environ 10 fm de dia- mètre (pour les noyaux lourds). Comparée à la dimension du noyau, la longueur d'onde du photon de 1 MeV est donc grande, un peu comme celle du photon visible comparée à la taille d'un atome. Dans ces conditions, le photonγ est émis globalement par le noyau. Il résulte de la désexcitation du noyau qui passe d'un état d'énergieE₁ à un état d'énergieE₂. L'énergie du photon émis est donnée par E =E₁−E₂, la diérence d'énergie entre l'état initial et l'état nal du noyau. Les énergies des diérents états nucléaires s'obtiennent à l'aide d'un modèle en couches^[1] des noyaux sphériques qui est comparable à bien des égards au modèle planétaire atomique qui l'a inspiré. Une fois émis, le photon γ s'en va en ligne droite, tant qu'il ne rencontre pas de matière qui viendrait perturber son déplacement.

2.1 Les sources γ 2.1.1 Le Cs¹³⁷

Noyau instable qui par désintégrationβ⁻ devient du Ba¹³⁷. Sa demi-vie est de 30 ans.

Cs

55 30.07 a énergie (MeV)

spin parité 2.55 m

Ba

56

7/2 + 7/2 +

1/2 + 3/2 + 0.6617 0.6617 MeV

0.6617 MeV β _94.6%

1.174 MeV

β

5.4%

0.2834 γ

Figure 1: Schéma de désintégration du Cs¹³⁷.

Ce schéma montre que la majorité des noyaux Cs¹³⁷ se désintègrent par un processus β⁻ vers le niveau à 0.6616 MeV du Ba¹³⁷, qui lui se désexcite vers le fondamental du même noyau en émettant un photon gamma. Le Ba¹³⁷ émettra également un rayon-X à une énergie de 32 keV qui servira à calibrer les spectres à basse énergie.

2.1.2 Le Co⁶⁰

Le Co⁶⁰ est instable et par une désintégration β⁻ devient du Ni⁶⁰. Sa demi-vie est de 5.3 ans.

Co

275.272 a

énergie (MeV) spin

parité

Ni

28

4 + 5 +

1.3325 MeV 1.1732 MeV

2.505 2.158 2 +

2 +

0 + 1.332 γ

γ2

1.48 MeV β

0.12%

0.31 MeV

β 99.88%

1

Figure 2: Schéma de désintégration du Co⁶⁰. 2.1.3 Le Na²²

Ce noyau est également instable (demi-vie de 2.6 ans). Il se transforme par désintégration β⁺ et par capture électronique en Ne²².

Na

112.603 a

énergie (MeV)

(il y aura un autre gamma provenant de l'anihilation du positron: 0.511 MeV)

(émission d'un rayon-X dû à la capture électronique)

spin parité capture électronique 9.7%

Ne

10

1.2746 MeV

2 + 3 +

0 + 1.2746 γ

0.5464 MeV

β ⁺ 90.3%

Figure 3: Schéma de désintégration du Na²².

Le livre Chart of Nuclides^[3] de General Electric vous donne toutes les informations néces- saires concernant les désintégrations des noyaux instables. Il est disponible au laboratoire.

2.2 Diusion Compton

Un photon d'énergie E0 est diusé à un angle θ par un électron au repos. L'énergie E⁰ du photon diusé est donnée par :

E⁰ =E0[1 +α(1−cosθ)]⁻¹ (1) On peut démontrer ceci de la façon suivante :

électron

E h = ν

P

angle de diffusion θ =

φ

P′ = hcν ′

P = h c ν

Figure 4: Schéma d'un diusion Compton.

La conservation d'énergie donne :

hν+mc² =hν⁰+p

P²c²+m²c⁴ (2)

La conservation du mouvement selon xˆ etyˆdonne respectivement :

hν=hν⁰cosθ+cPcosφ (3)

0 =hν⁰sinθ+cPsinφ (4) On transpose (3) et (4), on élève au carré, on fait la somme et on obtient :

h²ν²−2h²νν⁰cosθ+h²ν⁰²=c²P² (5) Par manipulation de (2) :

h²ν²+h²ν⁰²+ 2hmc² ν−ν⁰

−2h²νν⁰ =c²P² (6) Ensuite, (5) - (6) donne :

h

mc²(1−cosθ) = (ν−ν⁰)

νν⁰ (7)

La substitution dans (7) deE =hν etE⁰ =hν⁰ conduit à :

E⁰ = E

1 +_mc^E2(1−cosθ) (8)

où : mc²=masse au repos de l'électron E =énergie du gamma incident

Dans ce processus, on considère l'électron comme libre. Pour que ceci soit valable, il faut que le quanta de lumière ait une énergie plus grande que l'énergie de liaison de l'électron dans l'atome. Si dans le cas contraire un photon est diusé par un électron lié à l'atome, on auram=m_Atome dans (8), ce qui conduit à :

E⁰ = E

1 +_m^E

Ac² (1−cosθ) →E⁰ ≈E (9)

2.3 Détection des γ

En traversant la matière, les photonsγ interagissent avec les atomes par trois processus : 1. Eet photoélectrique

2. Diusion Compton

3. Production de paires e⁺- e⁻

L'importance de ces eets varie selon la longueur d'onde des photons. Dans tous les cas cependant, des électrons libres apparaissent dans la matière, électrons que l'on peut détecter directement comme c'est le cas avec le compteur Geïger ou indirectement à la suite de l'émission de photons par ces électrons. Dans la présente expérience, nous sommes intéressés à connaitre l'énergie des rayons émis par les noyaux. Le compteur Geïger ne convient pas puisqu'il produit un eet d'avalanche, eet indépendant de l'énergie du gamma. De plus, le compteur Geïger utilise un gaz pour détecter la radiation et sa faible densité ne permet pas de détecter plus de 2% des gamma qui le traversent. Le Geïger convient davantage à la détection des particules bêta. Une autre méthode serait l'utilisation d'un spectrographe basé sur une technique de diraction par des cristaux telle qu'utilisée avec les rayons-X. En

pratique, un tel spectrographe ne peut fonctionner aisément vu le grand écart existant entre la longueur d'onde des γ et la distance interatomique dans un cristal.

Le détecteur utilisé est le compteur à scintillation. Il s'agit d'un cristal qui devient lumines- cent lorsqu'un photon γ le traverse. Pour des cristaux tels que le naphthalène et l'iodure de sodium, les électrons libres produits par eet photoélectrique ou par eet Compton vont émettre une impulsion lumineuse dont l'intensité est proportionnelle à l'énergie du γ inci- dent.

γ

NaI

PHA U.V.

source

photomultiplicateur

Figure 5: Principe de détection des photonsγ. Exemple de l'eet photoélectrique :

Supposons un photonγ provenant d'une source radioactive qui frappe le cristal de NaI. Le NaI est un isolant, donc, tous les électrons sont situés dans la bande de valence. Leγ va céder toute son énergie à un électron du cristal. Celui-ci va à son tour perdre toute cette énergie en faisant passer un nombre n d'électrons de la bande de valence vers la bande de conduction.

Tous ces n électrons vont ensuite redescendre dans la bande de valence du NaI en émettant chacun un photon U.V. Le temps de réponse du photomultiplicateur (< 5 nsec) est plus court que le temps sur lequel les photons sont émis. L'impulsion électrique qui sortira du photomultiplicateur sera donc proportionnelle au nombre d'électrons ayant émis un photon U.V., donc au nombre d'électrons ayant été projetés dans la bande de conduction et donc proportionnelle à l'énergie du γ ayant interagit avec le NaI.

Tout ce qu'il nous faut maintenant, c'est un analyseur de hauteur d'impulsion, communé- ment appelé PHA (Pulse height analyser). Celui du laboratoire est sous forme d'une carte d'acquisition USB. Cette carte permet de classer en 1024 canaux, des impulsions dont la hauteur varie entre 0 et 10 volts. C'est donc dire que l'on peut séparer les énergies détectées en 1024 valeurs. Pour choisir la plage d'énergie disponible sur les 1024 canaux (par ex. 0 à 1024 correspond à la gamme 0 à 1 MeV), il faut régler le gain de l'amplicateur qui amplie les impulsions provenant du photomultiplicateur et utiliser une source calibrée (énergies des γ connues). La carte peut eectuer 25 000 détections par seconde.

2.3.1 La photofraction

La photofraction est la fraction du nombre total d'impulsions produites par le détecteur qui se retrouvent à l'intérieur d'un pic (rapport de la surface d'un pic comparé à la surface totale du spectre). Cette fraction augmente avec l'épaisseur du cristal de NaI et diminue avec l'énergie du gamma incident. Elle s'approche de l'unité pour des énergies inférieures à 0.2

MeV. Cela signie que si deux rayons gamma ayant des énergies diérentes pénètrent dans le cristal de NaI, les intensités des raies détectées ne seront pas égales (cf. spectre du Co⁶⁰).

La raie située à plus faible énergie paraitra plus intense. C'est ce genre de considération qui rend dicile l'évaluation de la probabilité de diusion d'un rayon gamma.

2.4 Comportement relativiste des électrons

Lors du processus de diusion Compton, le maximum d'énergie qu'un photon incident peut céder à un électron correspond au cas de la diusion vers l'arrière. Cela signie que le photon qui s'échappe le fait à 180^o de sa direction incidente. Ceci donne lieu au bord Compton qui apparaît dans les spectres.

Soient : Eγ l'énergie du photon incident

E_e l'énergie du bord Compton (reçue par l'électron)

L'impulsion du photon incident estP_γ=E_γ/c. SoientP_γ¹ etE_γ¹ l'impulsion et l'énergie du photon diusé (vers l'arrière). La conservation de l'impulsion donne :

Pγ=Pe−P_γ¹ Pe=impulsion reçue par l'électron Comme P_γ¹=E_γ¹/c, on obtient :

P_e=P_γ+P_γ¹= E_γ+E_γ¹

c (10)

La conservation d'énergie donne :

Eγ=Ee+E_γ¹ (11)

De ces équations, on tire :

cP_e= 2E_γ−E_e (12)

Cette relation exprime l'impulsion de l'électron diuseur en fonction de l'énergie du pic principal (γ) et du bord Compton. Elle est générale dans le sens que sa dérivation ne fait pas appel à la relativité mais uniquement à des principes de conservation.

En mécanique classique, on a queE_e= _2m^Pe2

0 où m₀ =masse de l'électron.

En mécanique classique, un graphique deP_e²/2m0vsEedonne une droite. Qu'en est-il des résultats relativistes ? Pour obtenir les résultats relativistes, on utilise la relation énergie-impulsion :

Ee+m0c²2

=P_e²c²+m²₀c⁴ (13) ce qui devient :

E_e²+ 2Eem0c² =P_e²c² (14) donc :

P_e²

2m₀ =E_e+ E_e²

1.02MeV (15)

2.5 Tomographie par émission de positrons

L'utilisation de la tomographie par émission de positrons (TEP) en médecine nucléaire a connue un essor considérable depuis les années 70. La venue des ordinateurs puissants a révolutionné ce domaine dont les principes de base étaient déjà bien connus. Développée par deux américains, William Sweet et Gordon Brownell, la tomographie par émission de posi- trons (TEP ou PET= Positron emission tomography ) ne donne pas d'image anatomique mais renseigne sur la biochimie des organes. Elle fournit des informations sur le fonctionne- ment des tissus normaux et pathologiques. Elle permet d'étudier in vivo le fonctionnement biochimique d'un organe, tel que le cerveau, le c÷ur ou les poumons, en donnant des infor- mations spéciques sur le métabolisme de ses tissus : ux et volume sanguin, consommation cellulaire du glucose, etc.. Les cellules cancéreuses par exemple consomment plus de glucose que les cellules bénignes, ce qui permet de repérer par cette technique d'éventuels points chauds témoins de récidives cancéreuses. Si elle est particulièrement intéressante en can- cérologie, la TEP a des applications dans d'autres disciplines : en neurologie, elle permet par exemple de visualiser les pertes du système dopaminergique qui signent la maladie de Parkinson, ou bien encore les zones hyperactives du cerveau dans l'épilepsie. Elle ore en outre la possibilité de tester in vivo l'ecacité des médicaments, ce qui intéresse notamment la cardiologie dans la mise au point de nouveaux traitements.

La dose de radiation à laquelle est soumis le patient durant l'examen est de l'ordre de 8 mSv. Cette dose provient de l'administration de radio-isotopes dont l'activité varie entre 1 et 15 mCi, ce qui est considérable. Il ne faut pas confondre ce type d'imagerie avec le scanner ou tomodensitomètre. Ce dernier permet de réaliser des images en coupe à l'aide d'une source à rayons-X tournant autour du patient. L'imagerie par résonance magnétique tend à remplacer cette dernière technique.

2.5.1 Principe de fonctionnement

Supposons un contenant renfermant des sources qui émettent des positrons. L'idée de base est de détecter en coïncidence (< quelques nanosecondes) deux photons colinéaires à l'aide de deux détecteurs diamétralement opposés. En eet, la recombinaison électron-positron génère l'émission de tels photons ayant la même énergie (E_γ = 511keV, ce qui correspond à la masse de l'é ou du e⁺ au repos) mais dont les trajectoires sont diamétralement opposées.

Il faut ensuite eectuer un balayage du contenant pour en déduire l'emplacement des sources à l'intérieur de ce dernier. Pour des raisons de commodité, on utilisera deux sources de Na²² au lieu d'un traceur liquide comme ceux utilisés en médecine nucléaire. Comme on a vu précédemment, le Na²² donne lieu à l'émission de positrons. Pour qu'un positron s'annihile avec un électron, il faut que l'énergie cinétique du positron soit près de l'énergie de liaison de l'électron de l'atome qu'il rencontre, soit quelques électron-volt. Après son émission, le positron perd rapidement de son énergie cinétique dans les tissus humains et se recombine avant d'avoir parcouru moins de 2 mm. C'est une des limitations de la résolution de cette technique expérimentale.

β

e e

0.5 à 2 mm noyau

= 511 keV

E = 511 keVγ dans les tissus humains

Figure 6: Création d'un positron et annihilation de ce dernier.

Considérations temporelles : Supposons le montage suivant :

détecteur A LOR

z

détecteur B

déplacement

source de 6 µ Ci source de 10 µ Ci

Figure 7: Principe de mesure de coïncidences.

Les détecteurs utilisés sont faits de Bi₄Ge₃O₁₂ ou plus communément appelé BGO. On les préfère au NaI pour leur ecacité de comptage. On sait qu'un photon parcourt environ 1 mètre en 3 nanosecondes. Comme le temps de réponse des détecteurs est de l'ordre de 5 nsec., il est impossible de discriminer si deux évènements proviennent de régions séparées de quelques centimètres ! On doit donc utiliser le fait que les détecteurs possèdent une réponse angulaire ayant l'allure d'une Gaussienne. En déplaçant la boite renfermant les sources selon l'axe z, le nombre de détections en coïncidence (<10 nsec.) prend l'allure suivante :

nombre d'événements en coïncidence

z

Figure 8: Nombre de coïncidences en fonction du déplacement selon z.

On voit très bien que les détecteurs possèdent une réponse angulaire importante. En eet, leur ecacité est maximale sur ce qu'on appelle the Line Of Response ou LOR. C'est la droite joignant les deux détecteurs et perpendiculaire au déplacement des sources. Le graphique précédent ne permet pas cependant de déterminer comment sont disposées les sources dans la boîte (gure ci-dessous). On verra plus loin comment résoudre ce problème.

etc.

Figure 9: Positions possibles des sources ayant donné lieu au graphe précédent.

2.6 La détection en coïncidence

Le détecteur recevant un gamma provenant d'une désintégration génère une impulsion plutôt large (200 µsec.) mais dont la montée est très rapide (voir spécication du photomultipli- cateur Hamamatsu R980). Un Timing Filter Amplier est utilisé pour amplier cette impulsion et la rendre plus étroite (≈10 nsec.). L'impulsion est ensuite acheminée à un dis- criminateur qui génère une impulsion TTL à chaque fois qu'une impulsion ayant une hauteur supérieure à un certain seuil est détectée. Deux modes sont possibles sur le discriminateur, LED (leading edge) et CT FRACTION (fraction constante). L'impulsion sortant du second discriminateur est retardée par une ligne à délai. Finalement, les impulsions de la branche du haut sont acheminées à l'entrée START du TAC (Time to amplitude converter) alors que celles de la branche du bas sont reliées à l'entrée STOP du TAC. Le module TAC va générer des impulsions dont la hauteur est proportionnelle à la diérence de temps entre le START et le STOP.

détecteur 1 H. T.

700 volts TFA

TAC DISC 1

PHA

H. T.

700 volts

détecteur 2 TFA DISC 2 délai délai

délai

Start Stop

Figure 10: Schéma du système de détection en coïncidence.

On utilise ensuite un analyseur de hauteur de pulse PHA (pulse height analyzer), contenu dans une carte placée dans l'ordinateur, pour acher le nombre de comptes obtenus en fonction du délai séparant les impulsions générées par les détecteurs. On règle le délai de la branche inférieure de façon à ce que des photons arrivant simultanément aux deux détecteurs produisent un compte au centre des 1024 canaux achés à l'écran. On peut ensuite intégrer la courbe obtenue ou une portion de celle-ci pour obtenir une valeur du taux d'évènements détectés en coïncidence (intensité).

Pour simuler un examen par tomographie, on dispose deux sources de Na²² sur un damier.

Supposons un damier contenant n=12 par m=12, soit 144 emplacements.

x12

x11

y¹²11

y

x2 x₃ x1

y1²

y³ y

q1q₂q₃q₄

q23

q22

q21

Figure 11: Système de positionnement des sources de Na²².

S'il y a n projections dans la direction z et m projections dans la direction y alors on a bien n×m points de croisement. L'amplitude Axy(i, j) associée à chaque point du da- mier de coordonnées (i, j) est calculée à partir des intensités mesurées Ax(i) et Ay(j), (i∈[1, n]),(j∈[1, m]).

Axy(i, j) =Ax(i)Ay(j) (16)

La gure suivante montre un exemple de mesure avec deux sources :

x

x

x

12

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y y y y y y y y y y y y

2 4 6 8 10 12

projection selon x

nbre de comptesnbre de comptes

projection selon y

position

Figure 12: Exemple d'une mesure selon les directions x et y.

D'après les résultats de la gure précédente on semble détecter la présence de quatre sources ! Nous devons donc trouver une solution pour éliminer ces artefacts. Dans un tomographe commercial circulaire, on mesure simultanément des centaines de réponses sur les LOR.

Comme le nombre de détecteurs est ni, l'analyse de Fourier eectuée pour produire les images contient également le même genre d'artefacts. On utilise un processus mathématique qui permet d'éliminer les composantes de Fourier qui ne contiennent pas d'information pertinente.

Dans notre cas où l'on a que deux sources, on peut montrer qu'il s'agit de prendre des mesures dans une troisième direction pour obtenir la bonne reconstruction de l'image. En eet, la gure montrant le damier sur lequel sont disposées les sources permet de voir qu'il faut utiliser (n+m−1)projections diagonales pour toucher à tous les points. La distance entre chaque projection dans la direction q est :

∆q =

p∆x²+ ∆y²

2 (17)

Les mesures selon la direction q sont présentées sur la gure ci-dessous :

projection selon la diagonale

nbre de comptes

position

5 10 15 20 q

Figure 13: Mesures selon la direction q.

La nouvelle valeur de l'amplitude à un point d'indice(i, j),A_xyq(i, j, k) =A_q(k)A_xy(i, j) est calculée à partir des intensités Aq(k) :

Axyq(i, j, k) =Aq(k)Axy(i, j) o`u k=i+j−1 et k∈[1, n+m−1] (18) Comment se fait-il que la multiplication par la troisième intensité Aq(k) permette de faire disparaitre ces artéfacts ? Supposons que les deux sources ponctuelles soient situées aux positions (i, k) et (j, l). En utilisant les directions x et y pour eectuer les déplacements du damier on obtient des maximums pour les coordonnées : Axy(i, k),Axy(i, l),Axy(j, k) et Axy(j, l). Si l'on mesure également dans la direction q, des maxima apparaitront seule- ment pour les valeurs de A_q(i+k−1) et A_q(j+l−1) mais pas pour A_q(i+l−1) et Aq(j+k−1) qui eux appartiennent aux artéfacts. On trouve donc qu'il y a seulement deux sources sur le damier et que leur position réelle est représentée sur la gure suivante :

1 2 2

2

3 4 5 6 7 8 9 0

0

1 11 1

x y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x

Figure 14: Positons réelles des sources.

Évidemment, cette méthode n'est bonne que pour un très petit nombre de sources car le nombre de direction nécessaires vaut :

N_dir.=N_sources+ 1

3 Partie expérimentale

3.1 Partie I : Spectres γ des sources de Co⁶⁰, Na²² et Cs¹³⁷

[Précautions] : L'activité de chacune de ces trois sources est de 1µCi. Vous pouvez donc les manipuler sans danger. Prenez soin de vous lavez les mains après utilisation ou utilisez des gants de latex.

Question 1 : Décriver le principe de fonctionnement d'un compteur à scintilla- tion ?

Allumez l'amplicateur et la source haute tension (Model 5010 The Nucleus) et at- tendez 15 minutes qu'ils se stabilisent. Le coarse gain de l'amplicateur devrait être de 160 et la tension du photomultiplicateur à 1400 volts (9 tours). N'ajustez pas le ne gain de l'amplicateur car ce dernier a été préalablement ajusté pour que les spectres couvrent la majorité des 1024 canaux de l'achage.

Attention : N'utilisez pas d'adaptateur 50 ohms pour visualiser les signaux à l'oscilloscope.

Relier la sortie amplier OUTPUT de l'appareil (The Nucleus 5010) à l'entrée PULSE de la carte d'acquisition en utilisant un T et visualisez ce signal à l'os- cilloscope sur le canal 1.

Relier la sortie TRIGGER de la carte d'acquisition au canal 2 de l'oscilloscope.

Synchroniser l'oscilloscope sur le canal 2 (le trigger de la carte).

À l'aide du bouton TRIGGER POSITION de la carte d'acquisition, positionner le front descendant du trigger là où les impulsions du détecteur sont maximales.

Attention : Aucun de ces paramètres ne doit plus être modié an d'obtenir des données cohérentes entre elles. Ne débranchez pas les câbles de l'oscilloscope également (cela risque de modier les impédances).

1. À l'aide de ruban adhésif, coller une des sources radioactives directement sur le dé- tecteur (sans la brique de plomb devant le détecteur). Prenez soin de placez les autres sources loin du détecteur.

2. Pour chacune des sources (Co⁶⁰, Na²², Cs¹³⁷), faire un spectre de 20 minutes. Noter que c'est le logiciel d'acquisition force les premiers canaux à zéro. En réalité, le spectre devrait se poursuivre de façon monotone.

3. Reprendre les spectres gamma des trois sources, mais cette fois, en utilisant le bloc de plomb disposé devant le détecteur. Acquisitionner pendant 10 minutes pour chaque spectre. Vous noterez qu'un grand pic mince est toujours présent à basse énergie (≈75 keV). Quelle est l'origine de ce pic ?

4. Utiliser le pic à 32 keV du spectre du Cs¹³⁷ et celui à 1.332 MeV du Co⁶⁰pour calibrer l'abscisse de vos spectres (en énergie) à l'aide du logiciel. Appliquer cette calibration à tous vos spectres.

Pour chacune des sources utilisées vous devez : Décrire le schéma de désintégration.

Décrire l'origine des structures observées sur le spectreγ.

Relever la position en énergie du picγ, du bord Compton et du Gamma rétrodiusé.

Question 2 : Quelle est la principale cause d'erreur pour la position ?

Note : La position du bord Compton est normalement évaluée en retranchant l'énergie du gamma rétrodiusé de celle du gamma principal. On peut également évaluer sa position en prenant environ le point milieu de la descente comme indiqué ci-dessous mais l'incertitude augmente lorsqu'on utilise cette dernière méthode.

bord Compton

Intensité relative

Énergie rétro-diffusé

γ

γ

Figure 15: Spectre gamma typique.

Question 3 : En utilisant les résultats obtenus à l'aide des trois sources disponibles, vérier si le comportement des électrons est relativiste. Pour ce faire, tracer un graphique de _2m^Pe2₀ vs Ee pour les électrons du bord Compton.

Tracer également la relation classique de même que la relation relativiste reliant ces deux quantités.

3.2 Partie II : Diusion Compton

[Précautions] : L'activité de la source de Cs¹³⁷ utilisée pour cette partie est de 2.7 mCi (très intense). Ne vous exposez jamais directement à la radia- tion de cette source. Vous n'aurez qu'à déplacer la brique de plomb qui donne accès à la radiation pour eectuer votre expérience.

Éviter de toucher les briques de plomb avec les doigts (portez des gants de latex). Le plomb (surtout sous forme de vapeur) est un métal qui s'assimile facilement dans l'organisme et peut, à dose excessive, causer des troubles nerveux graves. Lavez-vous les mains après l'expérience.

Il faut retenir que la meilleure règle de sécurité en ce qui concerne la radioactivité est de se tenir à la plus grande distance possible de la source car la dose reçue s'atténue comme le carré de la distance.

Attention : Les mesures doivent être prises lors d'une même séance pour une meilleure précision.

Vous avez à votre disposition le montage suivant :

cible θ (Cu ou Al)

enceinte de plomb détecteur

source Cs¹³⁷

Figure 16: Montage expérimental pour l'eet Compton.

Ajuster le corse gain de l'amplicateur à 360 (ne touchez pas au FINE). Placer le bloc de plomb devant le détecteur.

Faire un spectre de la petite source de Cs¹³⁷an de pouvoir calibrer l'abscisse de vos prochains spectres en utilisant les pics à 32 keV et 0.6617 MeV. Un temps d'acquisition de 10 à 15 minutes devrait sure.

Retirer la petite source de Cs¹³⁷ et conserver le bloc de plomb avec un trou devant le détecteur.

Attention : On utilisera maintenant la source intense de Cs¹³⁷ enfermée dans les blocs de plomb. Il faut déplacer la brique de plomb, munie d'une poignée, de 5 cm pour eectuer les mesures.

Les γ quittent la source de Cs¹³⁷et frappent la tige de cuivre où ils sont diusés par les électrons à un angleθet à une énergieE⁰. Le montage expérimental vous permet de déplacer le détecteur entre 30^oet 110^ode façon à venir détecter les γ diusés.

En mode additionner les données , prendre un spectre d'une durée de 20 min. avec la tige de cuivre. Prendre un spectre à tous les 10^o (à partir de 30^o).

Lorsque vous serez rendus à 110^o, acquisitionner pendant 20 min. en mode additionner les données puis passez en mode soustraire les données et accumuler encore durant 20 min., mais cette fois, sans la tige de cuivre.

Remplacer la tige de cuivre par celle en aluminium et reprenez la dernière mesure.

Question 4 : Tracer un graphique pour vérier la formule de Compton. Que concluez- vous ? Quelle est la principale cause d'erreur ?

Question 5 : Comparer l'aire sous le pic des γ diusés à 110^o dans le cas de la tige de cuivre et dans le cas de la tige d'aluminium. Comment ses aires se comparent-elles si ce sont les électrons qui diusent les gamma ?

3.3 Partie II : Tomographie par émission de positrons

[Précautions] : Les sources de Na²²utilisées pour la tomographie ont une intensité de 6 et 10 µCi. Ces intensités sont assez faibles mais les gamma produits par le Na²² ont de très grandes énergies 1.173 et 1.332 MeV. Ces rayons sont extrêmement pénétrants et nécessitent un épais blindage. Utilisez le miroir suspendu au haut du montage pour observer le montage expérimental. Vous n'êtes pas autorisés à vous approcher de ces sources.

Utiliser l'oscilloscope Tektronix TDS 2014 (100MHz) pour visualiser les signaux.

Placer le générateur d'impulsions en polarité négative pour simuler les impulsions qui seront produites par les détecteurs.

Utiliser la plus grande largeur d'impulsion possible et n'atténuez pas le signal.

Diviser le signal de sortie en deux et acheminez-les aux Timing Filter ampliers.

Ajuster les paramètres des amplicateurs pour obtenir des impulsions de faible durée.

Vous devez utiliser un adapteur 50Ωpour visualiser la sortie de l'amplicateur. Pour le 474 Timing amplier : coarse X 4, ne MAX, Integrate 20 nsec, Di 20 nsec et Input Non-Inv.

La sortie de l'amplicateur doit maintenant être reliée à l'entrée du discriminateur.

Utiliser la documentation disponible sur le site Web des T.P. pour bien saisir le rôle du discriminateur. En mode LED, ajuster la hauteur du seuil à 0.3 tour pour éliminer le bruit en visualisant la sortie (50 Ωrequis).

À l'aide de l'inverseur disponible, inversez la polarité des deux signaux car le module TAC n'accepte que les impulsions positives.

Avant d'acheminer les 2 signaux provenant des discriminateurs au TAC, insérer un délai de 50 nsec à celui qui ira à l'entrée STOP du TAC. Branchez l'autre signal directement à l'entrée du TAC.

Placez le TAC sur l'échelle de 100 nsec. Et observez le signal de sortie. Varier le délai entre les deux signaux et décrire ce qui ce passe à l'oscilloscope.

3.3.1 Résolution temporelle

Utiliser maintenant les sources de Na²² au lieu du générateur d'impulsions.

À l'aide du logiciel Tomographie.exe, positionner le plateau (en utilisant le mode libre) contenant les sources pour que l'une d'elle soit au centre des deux détecteurs.

Ajuster les paramètres des amplicateurs,des discriminateurs et du TAC comme dans la section précédente. Regarder chacun des signaux à l'oscilloscope et visualiser l'eet du Threshold sur le discriminateur.

Faire un spectre d'une mesure unique (position du damier xe) d'environ 5 minutes avec les discriminateurs en mode LED puis un autre en mode fraction constante, CF . Discuter de la diérence entre ces deux techniques.

Avec les données prises en mode CF, vérier que la forme de la courbe obtenue est bien gaussienne, et expliquer pourquoi. Déduire également à partir de la courbe expérimentale la résolution temporelle du système. Pourquoi une bonne résolution est-elle importante ?

3.3.2 Intensité vs distance des détecteurs

Quelle est la loi décrivant l'intensité reçue au détecteur en fonction de la distance le séparant de la source ?

3.3.3 Résolution spatiale

Eectuer un balayage en x du plateau de façon à mesurer la résolution spatiale du système sachant que les sources font environ 2 mm de diamètre. Discuter de la résolution obtenue et de ses limitations.

Vérier l'eet des bornes d'intégration sur la résolution du système. Pour cela, utiliser au moins 5 séries de bornes diérentes et vérier si un eet est observable.

3.3.4 Cartographie bi-dimensionnelle

Eectuer maintenant un balayage complet x-y-d qui permet de retracer la position des sources sur le plateau. Utiliser premièrement une grille de 12 points. À l'aide des résultats contenus dans les chiers des intégrales, faire les calculs nécessaires pour retrouver la position des sources. Expliquer votre façon de procéder et comparez avec le résultat fourni par le logiciel d'acquisition.

Le graphique 3D obtenu, suite au calculs proposés dans le protocole, ne donne pas les amplitudes réelles des sources. Quelle opération mathématique doit-on faire pour les obtenir ?

Refaire un acquisition sur une grille de 55 points pour visualiser l'amélioration de la qualité de l'image. Discuter.

Note : Dans le protocole et dans la publication en référence^[2], les indices de la grille vont de 1 à 12 alors que le logiciel utilise des indices de 0 à 11.

Références

[1] Valentin L.. Subatomic Physics : Nuclei and Particles. Elsevier/North- Holland Inc., 1981.

[2] North P. & Zilges A. Sonnabend K., Bayer W. A simple experimental setup to demonstrate the basics of positron emission tomography. Amerian Journal of Physics, 70(9) :929934, 2002.

[3] Kirouac G.J. & Rourke F. M. Walker F.W. Chart of the Nuclides. General Electric, 1977.

Annexe A

Lorsqu'on parle d'un processus de collision ou de diusion, on quantie l'ecacité du ma- tériau diuseur à l'aide d'une quantité mesurable appelée section ecace ou encore section ecace diérentielle. Pour illustrer la situation, considérons d'abord le cas simple où il n'y a qu'un seul centre diuseur et une particule incidente dont la trajectoire est caractérisée par la distance b dénie dans le schéma suivant :

b

diffuseur

A θ

dθ

B

Figure A-1: Diusion d'une particule.

Si la particule suit la trajectoire B, elle sera diusée à un angle θ par le centre diuseur.

Une particule incidente suivant la trajectoire A, séparée du diuseur par une distance un peu plus grandeb+db, sera quant à elle diusée à un angleθ+dθ (ici,dθ prend une valeur négative).

Dans l'exemple précédent, nous avons supposé que tout se passait dans un plan. Dans le contexte plus général d'une diusion dans l'espace à 3 dimensions, on aborde le problème d'une manière similaire : une particule incidente ayant sa trajectoire caractérisée par la distance b et passant dans un petit élément de surface, d'aire dσ, centrée sur le point B, sera diusée dans un angle solide donné dΩ, centré sur la direction θ, ϕ (voir gure). La quantité _dΩ^dσ est par dénition la section ecace diérentielle correspondant à cette diusion.

Si on suppose maintenant qu'un matériau contenant n centres diuseurs par cm³ est soumis à un ux uniforme de particules incidentes I (qui s'exprime en nombre de particules par cm²et par seconde). Le nombre de particules dN diusées par seconde dans l'angle solide dΩ sera donné pa r :

dN = dσ

dΩ I n V dΩ

oùV est le volume du matériau (on doit rajouter le volume pour avoir des unités cohérentes).

L'ecacité du matériau pour la diusion est donc proportionnelle à la section ecace dié- rentielle.

Dans de nombreux cas d'intérêt, les centres diuseurs présentent un potentiel central (en d'autres mots, l'interaction entre une particule incidente et un centre diuseur ne dépend

que de la distance qui les sépare, et est indépendant de l'orientation). Le problème possède alors une symétrie circulaire autour de l'axe z, et l'élément d'angle solidedΩpeut alors être choisi de la manière indiquée dans la gure suivante :

r

θ θ

rdθ

dθ Ω

dθ

r sin

θ 2π sin

= surface =r d

dN particules dans l'angle solide I particules

incidentes

3 2

n centres diffuseurs/cm

Figure A-2: Diusion sur plusieurs centres diuseurs.

L'angle solide dΩ est sous-tendu par la surface de la portion d'une sphère, de rayon unité et centrée sur le centre diuseur, délimitée par les anglesθetθ+dθ. La valeur de la section ecace diérentielle dépend de la nature de l'interaction entre les particules incidentes et les centres diuseurs. Notez que l'approche présentée ci-dessus est basée sur un traitement classique : un traitement rigoureux doit faire appel à la mécanique quantique. Notez éga- lement qu'on peut caractériser l'ecacité d'une diusion donnée par l'intermédiaire de la section ecace dσ = _dΩ^dσdΩ

plutôt que la section ecace diérentielle. La section ecace totale (pour une diusion dans n'importe quelle direction) est donnée par :

σ= N I n V