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D1841. Rencontre ` a 10

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Academic year: 2022

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D1841. Rencontre ` a 10

`a la mani`ere de Trajan Lalesco

H1est l’homoth´etie (centreA, rapportAJ/AB) qui transformeABC et son cercle circonscrit enAJ I et le cercle (AIJ).

X =BI ∩CJ

G= 2`eme intersection deAM avec (ABC);Gest sym´etrique de E //OM H2est l’homoth´etie (centreX, rapportXI/XB) qui envoieBsurIetC sur J.

F est l’image deM parH1 et parH2, doncX est sur la m´edianeAM et sur le cercle (AIJ).

(BHC) est l’image de (AJ I) parH−11 , doncX est sur (BHC).

X est sym´etrique deG//M, et sym´etrique de E//BC, doncX est sur∆.

O0 = centre de (BHC),O00 = centre de AIJ. O00 est l’image deOparH1, et celle deO0 parH2.

Les bissectrices deBAC\ (ou de DAM) forment un faisceau harmonique avec\ AD etAM ⇒ (DIJ) est l’image deIJ par l’inversion // (AIJ). Donc K, orthocentre deDIJest sym´etrique deO00//IJ : Kest l’image deO0par H1et de OparH2 : O, X etK sont align´es.

A0 = sym´etrique deA//M.

H0 orthocentre deA0BC est sym´etrique deH //M.

H00 = sym´etrique deH0 //BC : H00 est sur (BHC) et est sym´etrique deH //OM, doncH etA0 sont diam´etralement oppos´es sur (BHC)

⇒ HXA\0 =π/2, etX est sur le cercle de diam`etreAH.

Enfin,M X M A=M G M A= M B M C =M B2 =M C2

Et voil`a pour les cercles tangents `a BCenBet C et passant parAet parX.

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